Test De Wald 575u1e

Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau

22 de Abril

Contenidos Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

1 Inferencia

Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

Inferencia Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau

Entonces, nuestras hip´ otesis son:

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H0 : Rβ = r

(1)

Ha : Rβ 6= r

(2)

con lo cual, s´olo nos resta derivar el test que nos permita rechazar o no rechazar nuestra nula. La construcci´on del estad´ıgrafo es como sigue. Dado que MCO (bajo los supuestos relevantes) es insesgado, ˆ = β, por lo tanto, E (R β) ˆ = Rβ, mientras tenemos que E (β) ˆ que la varianza de R β corresponde a

Inferencia Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau

ˆ = E [R(βˆ − β)(βˆ − β)′ R ′ ] V [R β] ˆ ′ = RVar (β)R

Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

= σ 2 R(X ′ X )−1 R ′ Necesitamos a´ un un supuesto m´ as para determinar la distribuci´ on muestral de nuestra nula. Dado que βˆ es funci´on de u y u ∼ N(0, σ 2 ), entonces βˆ ∼ N(β, σ 2 (X ′ X )−1 ) y por lo tanto R βˆ ∼ N(r , σ 2 R(X ′ X )−1 R ′ ), entonces: βˆ ∼ N[β, σ 2 (X ′ X )−1 ]

(3)

R βˆ ∼ N[Rβ, σ 2 R(X ′ X )−1 R ′ ]

(4)

y

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y si la nula Rβ = r es cierta:

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∴

(R βˆ − r ) ∼ N[0, σ 2 R(X ′ X )−1 R ′ ]

(5)

asumiendo que q = 1 podemos estandarizar simplemente: (R βˆ − r ) p ∼ N[0, 1] σ 2 R(X ′ X )−1 R ′

(6)

Adem´as, se puede demostrar que

uˆ′ uˆ ∼ χ2(n−k) σ2

(7)

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Luego, se puede demostrar que cuando q > 1: (R βˆ − r )′ [σ 2 R(X ′ X )−1 R ′ ]−1 (R βˆ − r ) ∼ χ2q

(8)

luego, combinando los dos resultados anteriores, se puede demostrar que [(R βˆ − r )′ [R(X ′ X )−1 R ′ ]−1 (R βˆ − r )]/q ∼ F(q,n−k) uˆ ′ uˆ/(n − k) que ser´a el test “F” que usaremos generalmente.

(9)

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Test F como test t

Test F como test t Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

Cuando q = 1 y estamos en los casos 1 o 2, podemos reescribir el test F como: d β)R ˆ ′ ]−1 (R βˆ − r )] ∼ F(q,n−k) [(R βˆ − r )′ [R Var(

y haciendo el reemplazo respectivo de R y r correspondientes a las hip´ otesis 1 o 2 (H0 : βi = 0 = βi 0 ), llegaremos a: F =

(βˆi − βi 0 )2 ∼ F (1, n − k) d (βi ) Var

(10)

Recordando que t 2 es una caso particular de una F con un grado de libertad en el numerador, tenemos que: βˆi − βi 0 ∼ tn−k t=q d (βi ) Var

(11)

Test t Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

Lo anterior es conocido como el test t (test de significancia) y βˆ , donde en su versi´on m´ as utilizada corresponde a t = √ d Var (βi )

se busca testear la hip´ otesis nula de que el par´ametro es cero. El test t tambi´en cubre los casos 3. y 4.. En el caso 3. por ejemplo (H0 : βi + βj =1), el estad´ıgrafo corresponder´a a: t=q

βˆi + βˆj − 1

d (βˆi ) + 2Cov d (βˆi , βˆj ) + Var d (βˆj ) Var

∼ tn−k

(12)

Test de una cola Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

Criterio de Rechazo y Nivel de Confianza Test de una cola Supongamos que nuestra hip´ otesis es: H0 : βi = βio H1 : βi > βio donde βi 0 ∈ R. En dicho caso, el estad´ıgrafo es calculado seg´ un lo propuesto en la secci´ on anterior. El punto est´a en como acumulamos la probabilidad de rechazo. En este caso, el total de la probabilidad de rechazo se acumula en la cola derecha de la distribuci´ on, como lo muestra la siguiente figura:

Test de una cola Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

Test de dos colas Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

Supongamos que nuestra hip´ otesis es: H0 : βi = βio H1 : βi 6= βio En este caso estamos repartiendo uniformemente la probabilidad de rechazo en ambas colas de la distribuci´ on como lo muestra la siguiente figura (al 95 % de confianza):

Test de dos colas Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

Test de dos colas Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

Por lo tanto, rechazaremos la nula si el valor calculado es en m´ odulo mayor que el valor cr´ıtico de tabla. Note que en este caso, la probabilidad de rechazo se reparte un partes iguales en ambas colas. Ello se justifica en que la distribuci´ on t corresponde a una distribuci´ on sim´etrica.

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Test F: casos 5-6

Inferencia Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia

Caund q > 1 debemos hacer el test “F” y escribir las hip´ otesis as´ı:

Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

H0 : Rβ = r

(13)

Ha : Rβ 6= r

(14)

donde el estad´ıstico

F =

[(R βˆ − r )′ [R(X ′ X )−1 R ′ ]−1 (R βˆ − r )]/q uˆ ′ uˆ/(n − k)

(15)

rechaza para valores mayores al cr´ıtico de una F (q, n − k) para un valor de significancia α

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Ejemplo

Ejemplo Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

Suponga el siguiente Modelo de Regresi´ on Lineal Simple: Yi = β1 + β2 Xi + ui

para

i = 1, ..., N

Adem´as posee la siguiente informaci´on muestral de X e Y: 2 5 6 7 0 10 18 20 P 2 P considere uˆ = 0,436 y (Yi − Y )2 = 14 Y X

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El estimador MCO de β1 y β2 es el siguiente: βˆ =



βˆ1 βˆ2



=



4 48 48 824

−1

20 298



=



2,1935 0,2338



La matriz de varianzas y covarianzas de βˆ es: ˆ (β) ˆ = σ V ˆu2 (X ′ X )−1 −1 0,436 4 48 0,180866 −0,010536 = = 48 824 −0,010536 0,000878 2

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Primero veamos el ajuste de este modelo, es decir, en que grado la variable x explica a la variable y , para lo cual 2 calculemos el R 2 y R : P4 uˆ 2 0,436 RSS 2 =1− R = 1− = 1 − P4 i =1 i = 0,969 2 TSS 14 i =1 (Yi − Y ) P4 uˆ 2 /2 RSS/2 2 = 1 − P4 i =1 i = 0,953 R = 1− 2 TSS/3 i =1 (Yi − Y ) /3

Como podemos ver, el grado de ajuste del modelo es bastante bueno, como el modelo incluye constante, el R 2 se puede interpretar como la proporci´on de la variabilidad de la variable independiente que es explicada por la variabilidad de la variable dependiente, la que en este caso alcanza un 97 %.

Ejemplo Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau

Test de significancia de βˆ2 : H0 : βˆ2 = 0

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H1 : βˆ2 6= 0 t=

βˆ2 ∼ t2 Var (βˆ2 )

De esta forma, el valor calculado para el estad´ıstico t es: 0,233870968 = 7,892762865 tc = √ 0,000878

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El valor de tabla del estad´ıstico t a un 95 % de confianza y con dos grados de libertad es 4,303.

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De esta forma, se rechaza la hip´ otesis nula de que βˆ2 =0, y por lo tanto el par´ametro estimado resulta ser estad´ısticamente significativo. Considere la siguiente hip´ otesis nula: H0 : βˆ1 − βˆ2 = 2 H1 : βˆ1 − βˆ2 6= 2 Luego, R = [1, −1] y r = 2. Dado que q = 1 podemos proceder con el test-t t=q

βˆ1 − βˆ2 − 2

\ \ Var (β1 ) − 2Cov\ (β1 , β2 ) + Var (β2 )

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t=√

−0,0403 2,1935 − 0,2338 − 2 =√ = −0,0895 0,1806 + 2 × 0,0105 + 0,000878 0,202478

Dado que t1−α/2,2 = 4,303 cuando α = 0,05, no rechazamos la hip´ otesis nula.

Ejemplo Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau

por u ´ltimo testeamos la siguiente hip´ otesis:

Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

H0 : β1 + β2 = 3 β2 = 1 note que R=



1, 1 0, 1

R βˆ − r =



;r =



3 1

−0,5727 −0,7662



Ejemplo Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau

Recuerde,

Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

[(R βˆ − r )′ [R(X ′ X )−1 R ′ ]−1 (R βˆ − r )]/q ∼ F(q,n−k) uˆ ′ uˆ/(n − k)

(16)

luego, debemos evaluar este producto

′

−1

R(X X )

R

′



1, 1 0, 1





4 48 = × 48 824 0,7379, −0,0443 = −0,0443, 0,004

−1

×



1, 0 1, 1



Ejemplo Clase 11 Econometr´ıa I Tom´ as Rau Inferencia Test t: una hip´ otesis lineal (casos 1-4) Test F: casos 5-6

As´ı todo junto queda: F = 1077 y el cr´ıtico de una F (2, 2) a un 5 % es 19.00, luego rechazamos la hip´ otesis nula.