2

Limits and Derivatives

Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.

2.3

Calculating Limits Using the Limit Laws

Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.

Calculating Limits Using the Limit Laws In this section we use the following properties of limits, called the Limit Laws, to calculate limits.

3

Calculating Limits Using the Limit Laws In this section we use the following properties of limits, called the Limit Laws, to calculate limits.

4

Calculating Limits Using the Limit Laws These five laws can be stated verbally as follows: Sum Law

1. The limit of a sum is the sum of the limits.

Difference Law

2. The limit of a difference is the difference of the limits.

Constant Multiple Law

3. The limit of a constant times a function is the constant times the limit of the function. 5

Calculating Limits Using the Limit Laws Product Law

4. The limit of a product is the product of the limits.

Quotient Law

5. The limit of a quotient is the quotient of the limits (provided that the limit of the denominator is not 0).

For instance, if f(x) is close to L and g(x) is close to M, it is reasonable to conclude that f(x) + g(x) is close to L + M. 6

Example 1 Use the Limit Laws and the graphs of f and g in Figure 1 to evaluate the following limits, if they exist.

Figure 1

7

Example 1(a) – Solution From the graphs of f and g we see that

and Therefore we have (by Law 4)

(by Law 3)

8

Example 1(b) – Solution

cont’d

We see that limx 1 f(x) = 2. But limx  1 g(x) does not exist because the left and right limits are different:

So we can’t use Law 4 for the desired limit. But we can use Law 4 for the one-sided limits:

The left and right limits aren’t equal, so limx  1 [f(x)g(x)] does not exist. 9

Example 1(c) – Solution

cont’d

The graphs show that and

Because the limit of the denominator is 0, we can’t use Law 5. Figure 1

The given limit does not exist because the denominator approaches 0 while the numerator approaches a nonzero number. 10

Calculating Limits Using the Limit Laws If we use the Product Law repeatedly with g(x) = f(x), we obtain the following law. Power Law

In applying these six limit laws, we need to use two special limits:

These limits are obvious from an intuitive point of view (state them in words or draw graphs of y = c and y = x). 11

Calculating Limits Using the Limit Laws If we now put f(x) = x in Law 6 and use Law 8, we get another useful special limit.

A similar limit holds for roots as follows.

More generally, we have the following law. Root Law

12

13

Calculating Limits Using the Limit Laws In this section we use the following properties of limits, called the Limit Laws, to calculate limits.

14

Calculating Limits Using the Limit Laws

15

Calculating Limits Using the Limit Laws

16

17

18

Contoh-contoh





1. Hitung lim 3x 2  x  6 . x 1

Penyelesaian:





lim 3x  x  6  lim 3x  lim x  lim 6 2

x  1

2

x  1

x  1

x  1

 3 lim x  (1)  6 2



x  1



 3 lim x  1  6 x  1

2

 3(1) 2  1  6  2 19

Contoh-contoh x 2  2 x  15 2. Hitung lim . x 2 x3 Penyelesaian:

x  2 x  15 lim  x 2 x3 2



lim x 2  2 x  15 x 2



lim x  3

 lim x   2 lim x  lim 15 2  2.2  15   x2

2

x 2

x 2

lim x  lim 3 x 2

 3

x 2

x2

2

23

20

Contoh-contoh 3. Hitung

lim

x 2

1 5x  1

.

Penyelesaian: 1/ 2

lim

x2

1  1   lim   5 x  1 x2  5 x  1  1/ 2

  1    lim (5 x  1)   x2  1/ 2

 1     5. 2  1 

1/ 2

1     lim   x2 5 x  1 

1/ 2

  1    5 lim x  lim 1  x2   x2

1  3 21

Contoh-contoh x 2  3x  2 4. Hitung lim . 2 x 1 x 1 Penyelesaian: Karena lim x 2 x1









1  0 dan lim x 2  3x  2  0, x1

maka sifat

f ( x) f ( x) lim lim  x c x c g ( x ) lim g ( x) x c

tak dapat langsung digunakan. Apakah dengan demikian limit yang ditanyakan menjadi tak ada? 22

Contoh-contoh Perhatikan bahwa untuk

x ,1

.

x 2  3x  2 ( x  1)( x  2) x  2   2 x 1 ( x  1)( x  1) x  1 Oleh karena itu,

,

x 2  3x  2 x2 lim  lim 2 x 1 x 1 x  1 x 1 lim ( x  2) 1  2 1 x 1    lim ( x  1) 1  1 2 x 1

23

Contoh-contoh 5. Hitung

lim

x 2

x 2  5 . 3 x2

Penyelesaian:

x 5 3 x 5 3 x 5 3 lim  lim . 2 x2 x2 x2 x2 x 5 3 2  x 59 x  2  x  2   lim  lim 2 2 x2 x2 x  2 x  5  3 x  2 x  5  3  x  2 22 2  lim   2 x2 9 3 3 x 5 3 2

2

2

24

One-Sided Limits

25

One-Sided Limits Fungsi H didefinisikan oleh . H(t) mendekati 0 ketika t mendekati 0 dari kiri dan H(t) mendekati 1 ketika t mendekati 0 dari kanan. Situasi ini dinyatakan secara simbolik dengan menuliskan

and

26

One-Sided Limits Lambang“t  0–” menunjukkan bahwa yang kita pertimbangkan hanyalah nilai t yang lebih kecil dari 0. “t  0+” menunjukkan bahwa yang kita pertimbangkan hanyalah nilai t yang lebih besar dari 0.

27

One-Sided Limits

Perhatikanlah bahwa Definisi 2 berbeda dari Definisi 1 hanyalah bahwa kita syaratkan x harus lebih kecil dari a.

28

One-Sided Limits Secara serupa, jika kita syaratkan bahwa x lebih besar dari a, kita peroleh limit kanan dari f(x) ketika x mendekati a adalah sama dengan L” dan kita tuliskan Jadi lambang “x  a+” bermakna bahwa yang kita pertimbangkan hanyalah x > a. Definisi ini diilustrasikan pada Gambar 9.

Figure 9

29

One-Sided Limits Dengan membandingkan Definisi 1 dan definisi limit satusisi, kita lihat bahwa yang berikut adalah benar.

30

cont’d

31

cont’d

32

Example 7 The graph of a function g is shown in Figure 10. Use it to state the values (if they exist) of the following:

Figure 10

33

Example 7 – Solution From the graph we see that the values of g(x) approach 3 as x approaches 2 from the left, but they approach 1 as x approaches 2 from the right. Therefore

and

(c) Since the left and right limits are different, we conclude from that limx2 g(x) does not exist.

34

Example 7 The graph of a function g is shown in Figure 10. Use it to state the values (if they exist) of the following:

Figure 10

35

Example 7 – Solution

cont’d

The graph also shows that

and

(f) This time the left and right limits are the same and so, by , we have

Despite this fact, notice that g(5)  2. 36

Contoh  1, x  0 f ( x)   .  2, x  0 Untuk x  0, lim f ( x)  lim 1  1. x 0 

x 0 

limit kanan.

Untuk x  0, lim f ( x)  lim (2)  2. limit kiri . x 0 

Maka

x 0 

lim f ( x) tidak ada x 0

37

Contoh Diketahui

1.

 x2 , x  0  f ( x)   x , 0  x  1 2  x 2 , x  1 

f ( x) a. Hitung lim x0 f ( x) b. Hitung lim x1

Jika ada

f ( x) c. Hitung lim x 2 d. Gambarkan grafik f(x) Jawab a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0

38

38

lim f ( x )  lim x 2  0

x 0

x 0

x0 lim f ( x )  xlim 0

x 0

lim f ( x)  0 x 0



b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1

lim f ( x)  lim x  1

x 1

lim f ( x)

x 1

x 1

 lim 2  x 2  3

Karena lim f ( x)  lim f ( x)   x 1

x 1

lim f ( x ) Tidak ada x1

x 1

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2

lim f ( x)  lim 2  x 2  6 x 2

x 2

39

39

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

3  cx, x  1 f ( x)   2  x  c, x  1 mempunyai limit di x=-1

Jawab Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan limit kanan

lim f ( x )  lim  3  cx  3  c

x  1

x  1

Agar limit ada

3+ c=1-c

lim  f ( x )  lim x 2  c  1  c x  1 x 1

C=-1 40

40

Grafik f(x) 3

di x=1 limit Tidak ada º 1

Untuk x

0

f ( x)  x

Untuk 0<x<1 2

Grafik: parabola

f(x)=x Grafik:garis lurus

Untuk x

 1

f ( x)  2  x 2 Grafik: parabola 41

Soal Latihan A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.

f ( x) 1. xlim  3

f ( x) 5. xlim 1

2. lim f ( x)

6.

f(-3)

7.

f(-1)

8.

f(1)

x  1

f ( x) 3. lim x1

f ( x) 4. xlim 1

42

42

Soal Latihan B.  x 2  1, x  1 1. Diketahui : f ( x)   2  x  x  2, x  1 a.Hitung

lim f ( x) dan lim f ( x) x 1

x 1

b. Selidiki apakah lim f ( x )ada, jika ada hitung limitnya x 1

2. Diketahui g ( x)  x  2  3x , hitung ( bila ada ) : a.

lim

x 2 

g( x)

3. Diketahui f ( x)  a.

lim

x 2

f ( x)

b. lim g( x ) x 2 

x2 x2

b.

c.

lim

x 2

g( x )

, hitung ( bila ada )

lim

x 2

f ( x)

c.

lim x 2

f ( x)

43

43

44

45

46

47

48

Misal f ( x)  g ( x)  h( x)

untuk x disekitar c dan

lim f ( x)  L serta lim h( x)  L maka

x c

x c

lim g ( x)  L x c

Contoh Hitung lim ( x  1) 2 sin x 1

Karena dan

 1  sin(

 ( x  1) 2  ( x  1) 2 sin

1  ( x  1) 2 x 1

lim  ( x  1) 2  0 , lim ( x  1)  0 2

x 1

maka

1 ) 1 x 1

1 x 1

x1

1 lim ( x  1) sin 0 x 1 x 1 2

49

cos(x)  sin(x)/x  1/cos(x) 1 sin( x) lim cos( x)  1  lim , maka lim 1 x 0 x 0 cos( x) x 0 x

50

Karena

tidak ada, namun karena

Beberapa pertidaksamaan bernilai benar saat dikalikan dengan suatu bilangan positif. Kita tahu bahwa x2 > 0 for all x dan dengan mengalikan setiap sisi pertidaksamaan (4) dengan x2, kita peroleh: Sebagaimana pada gambar 8. kita ketahui bahwa Dengan mengambil Kita peroleh 51

Contoh Tunjukkan Bukti:

1 lim x sin  0. x 0 x 2

Untuk x  0,  1  sin

1 1 x

 x 2  x 2 sin

karena maka

dan

x2  0

1  x2 x

lim(  x 2 )  0 dan lim x 2  0 x 0

x 0

1 lim x sin  0 (menggunak an Prinsip Apit). x 0 x 2

52

53

54

Company

LOGO

1. 2. 3.

55

Sin x Limit 1 x 0 x x Limit 1 x 0 Sin x Sin ax Limit 1 x 0 ax

4.

ax Limit 1 x 0 Sin ax

5.

Limit Sin x  0

6.

Limit Sin x  Sin c

23 January 2018

x 0

x c

Editor Hendry. P

55

Company

LOGO

1. 2. 3.

56

Cos x Limit 1 x 0 x x Limit 0 x 0 Cos x Cos ax Limit 1 x 0 ax

4.

ax Limit 1 x 0 Cos ax

5.

Limit Cos x  1

6.

Limit Cos x  Cos c

23 January 2018

x 0

x c

Editor Hendry. P

56

Company

LOGO

1. 2. 3.

57

Tan x Limit 1 x 0 x x Limit 1 x 0 Tan x Tan ax Limit 1 x 0 ax

4.

ax Limit 1 x 0 Tan ax

5.

Limit Tan x  0

6.

Limit Tan x  Tan c

23 January 2018

x 0

x c

Editor Hendry. P

57

B

Perhatikan gambar di samping. Misalkan =AOB adalah sudut pusat lingkaran dengan jari jari =1.

D

Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOB Sehingga ½  cos2  ≤ ½ sin  cos  ≤ ½  .1  OC= cos  ; CB= sin  Bagi dengan ½  cos  > 0 diperoleh; A O C sin  1

cos  





cos 

Jika →0 maka cos →1 sehingga : 1  lim it  0

Sehingga : lim it  0

sin 



sin 



1

1

58

Bukti bahwa lim sin x = sin c xc

Untuk t > 0,berlaku 0<|BP|<|AP| Karena |BP| = sin t dan |AP| < t, maka 0 < sin t < t. Jika t<0, maka t < sin t < 0. Dengan Teorema Apit, Serupa dengan itu,

jadi

Untuk melengkapi bukti. Dengan cara serupa kita memerlukan bukti bahwa 59

Limit x  3

π (x  ) 3



Tan (x  ) 3

Misalkan u  x 

sehingga Limit

 3

Jika x  -

π (x  ) 3



x - 3

Jadi Limit x - 3

Tan (x  ) 3 π (x  ) 3 1

 3

, maka u  0,

 limit

u 0

u 1 Tan u



Tan (x  ) 3 60

61

62

63

Penerapan identitas trigonometri dan teorema 1.3 A

Identitas Penambahan

64

65

66

67

sin x 1. lim 1 x 0 x 2. lim cos x  1 x 0

tan x 1 x 0 x

3. lim

Contoh sin 4 x sin 4 x .4 3  lim .4 3x  sin 4 x x 0 4 x 4 x lim  lim  x 0 5 x  tan 2 x x 0 tan 2 x tan 2 x 5 .2 5  lim .2 x 0 2x 2x sin 4 x x  0 ekivalen dgn 4x  0 3  lim .4 7 4 x 0 4 x   tan 2 x 5  lim .2 3 2 x 0 2 x 3

68

Sin x Sin x Limit  Limit x 0 Sin 2x x 0 2Sin x Cos x 1  Limit x 0 2Cos x 1  2.1 1  2

69

1  Cos 2x 2 Sin x Limit  Limit x 0 x 0 Sin x Sin x  Limit 2 Sin x 2

x 0

 2 Sin 0 0 70

Hitung

tan 2 3t 1. lim t 0 2t 2. lim t 0

cot  t sin t 2 sec t

cos 2 t 3. lim t 0 1  sin t sin 3t  4t 4. lim t 0 t sec t 5. lim x 0

tan x sin 2 x

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

Infinite Limits

87

LIMIT TAK HINGGA Untuk c   , definisi limit dapat dituliskan sebagai berikut. Definisi 5. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati ∞ , ditulis

lim f ( x)  L x 

jika untuk nilai x yang “sangat besar tak terbatas” arah positif berakibat f(x) “mendekati” L.

LIMIT TAK HINGGA Untuk c   , definisi limit dapat dituliskan sebagai berikut. Definisi 6. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati ─∞ , ditulis

lim f ( x)  L

x  

jika untuk nilai x yang “sangat besar tak terbatas” arah negatif berakibat f(x) “mendekati” L.

LIMIT TAK HINGGA Definisi 7. Fungsi f dikatakan mempunyai limit tak hingga untuk x mendekati c , ditulis

lim f ( x)   x c

jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c, tetapi x  c berakibat nilai f(x) menjadi “besar tak terbatas” arah positif.

LIMIT TAK HINGGA Definisi 8. Fungsi f dikatakan mempunyai limit negatif tak hingga untuk x mendekati c , ditulis

lim f ( x)   x c

jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c, tetapi x  c berakibat nilai f(x) menjadi “besar tak terbatas” arah negatif.

LIMIT TAK HINGGA Definisi 9. Fungsi f dikatakan mempunyai limit tak hingga untuk x mendekati tak hingga , ditulis

lim f ( x)   x 

jika untuk nilai x yang “cukup besar” arah positif, berakibat nilai f(x) menjadi “besar tak terbatas” arah positif.

LIMIT TAK HINGGA Untuk limit-limit

lim f ( x)  , lim f ( x)  , dan lim f ( x)   x 

x  

didefinisikan secara sama.

x  

LIMIT TAK HINGGA Dari definisi-definisi di atas, bisa dipahami:

1 1. lim  , untuk x  0 x 0 x 1 2. lim  , untuk x  0 x 0 x 1 3. lim  0 5. lim x   x  x x  1 4. lim  0 6. lim x   x   x x  

CONTOH-CONTOH x 1 1  1. lim 2  lim ( x  1) lim   1.   x 0 x x 0  x 0 x  1 1 2. lim  lim , ( y  x  1) x  x  1 y  y 0 2

3. lim x 2  3x  7   lim x( x  3)  lim 7   x 

x 

x 

CONTOH-CONTOH 1.

3x 2  1 Hitunglah lim 2 x  x  2 x  5 Penyelesaian: Perhatikan bahwa

lim (3x  1)   dan lim ( x  2 x  5)   2

x

2

x

Hal ini berakibat nilai limit yang ditanyakan menjadi susah dikatakan. Apakah limit tersebut tak ada?

CONTOH-CONTOH Perhatikan bahwa

3x 2  1 x 2 (3  1 x 2 ) 3 1 x2  2  2 2 x  2 x  5 x (1  2 x  5 x ) 1  2 x  5 x 2 Oleh karena itu, menggunakan sifat limit diperoleh

3x  1 3 1 x 3 lim 2  lim  3 2 x  x  2 x  5 x  1  2 x  5 x 1 2

2

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Limit Tak Hingga

f ( x)  Misal lim f ( x)  L  0 dan lim g ( x)  0 , maka lim x  a g ( x) x a x a

(i )   , jika L  0 dan g ( x)  0 dari arah atas (ii )   , jika L  0 dan g ( x)  0 dari arah bawah

(iii )   , jika L  0 dan g ( x)  0 dari arah bawah (iv )  , jika L  0 dan g ( x)  0 dari arah atas Ctt :

g(x)  0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif. g(x)  0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif. 98

Contoh Hitung x2 1 a. lim x 1 x  1

x2 1 b. xlim  1 x 2  1

c. lim x 

x sin x

Jawab x1

Sehingga

Sehingga

,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x  1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif

x2 1 lim   x 1 x  1

2 b. lim  x  1  2  0 x1

99

a. lim x 2  1  2  0

g ( x)  x 2  1 akan menuju 0 dari arah atas, karena x  -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga x 2  1 bernilai positif

x2 1 lim  2   x  1 x  1

c.

Karena

f(x)=sinx

lim x    0

x 

dan



x

100

Jika x menuju  dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif) sehingga

lim

x 

x   sin x

Limit di Tak Hingga f ( x)  L a. lim x 

  0  M  0  x  M  | f ( x)  L |  

jika

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga L x Contoh Hitung x 2  2x  5 lim x  2x 2  4

Jawab

x (1   ) x 2  2x  5  lim  lim lim 2 2 x  4 x  x  2x  4 x (2  x 2 ) 2

2 x

5 x2

2 5  2 x x 4 2 2 x

1

= 1/2 101

b.

lim f ( x)  L

x  

jika

  0  M  0  x  M  | f ( x)  L |  

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga L

x Contoh Hitung 2x  5 x   2 x 2  4 Jawab lim

x (x  2x  5 lim  lim 2 x   2 x 2  4 x   x ( 2  2 2

5 x2 4 x2

) )

 lim

x  

( 2x 

5 x2 4 x2

)

(2  )

=0 102

Contoh Hitung

x2  x  3  x

lim

x 

Jawab : Jika x 

lim

x 



, limit diatas adalah bentuk (    )

x  x  3  x  lim 2

x  x 3  x( 2

x 

x2  x  3  x2

 lim x | x | 2

x2  x  3  x x(1  3x )

x 

 lim

x  

 lim

x 

x2  x  3  x x  x3  x 2

x3

 lim

x  

x2  x  3  x

x 2 (1  1x  x32 )  x  xlim   1  3x

 ( 1  1x  x32  1)



)

1 2

x(1  3x )  x 1  1x  x32  x 103

Infinite Limits

Another notation for limxa f(x) =  is

f(x)   as x  a

104

Infinite Limits Again, the symbol  is not a number, but the expression limxa f(x) =  is often read as “the limit of f(x), as approaches a, is infinity”

or or

“f(x) becomes infinite as approaches a” “f(x) increases without bound as approaches a”

105

Infinite Limits This definition is illustrated graphically in Figure 12.

Figure 12

106

Infinite Limits A similar sort of limit, for functions that become large negative as x gets close to a, is defined in Definition 5 and is illustrated in Figure 13.

Figure 13

107

Infinite Limits

The symbol limxa f(x) = – can be read as “the limit of f(x), as x approaches a, is negative infinity” or “f(x) decreases without bound as x approaches a.” As an example we have

108

Infinite Limits Similar definitions can be given for the one-sided infinite limits

ing that “x  a–” means that we consider only values of x that are less than a, and similarly “x  a+” means that we consider only x > a.

109

Infinite Limits Illustrations of these four cases are given in Figure 14.

Figure 14

110

Infinite Limits

111

Example 10 Find the vertical asymptotes of f(x) = tan x. Solution: Because

there are potential vertical asymptotes where cos x = 0. In fact, since cos x  0+ as x  ( /2)– and cos x  0– as x  ( /2)+, whereas sin x is positive when x is near  /2, we have 112

Example 10 – Solution

cont’d

This shows that the line x =  /2 is a vertical asymptote. Similar reasoning shows that the lines x = (2n + 1) /2, where n is an integer, are all vertical asymptotes of f(x) = tan x. The graph in Figure 16 confirms this.

y = tan x Figure 16

113

Calculating Limits Using the Limit Laws

Functions with the Direct Substitution Property are called continuous at a. In general, we have the following useful fact.

114

Calculating Limits Using the Limit Laws Some limits are best calculated by first finding the left- and right-hand limits. The following theorem says that a two-sided limit exists if and only if both of the one-sided limits exist and are equal.

When computing one-sided limits, we use the fact that the Limit Laws also hold for one-sided limits.

115

Calculating Limits Using the Limit Laws The next two theorems give two additional properties of limits.

116

Calculating Limits Using the Limit Laws The Squeeze Theorem, which is sometimes called the Sandwich Theorem or the Pinching Theorem, is illustrated by Figure 7. It says that if g(x) is squeezed between f(x) and h(x) near a, and if f and h have the same limit L at a, then g is forced to have the same limit L at a.

Figure 7

117