Simbolo Sommatoria x1d2w

I SIMBOLI DI SOMMATORIA E DI PRODUTTORIA Date più quantità o elementi di un insieme (ad esempio numeri reali) dipendenti da un indice:

a1, a2, a3, ....... , an

la loro somma:

a1 + a2 + a3, ....... + an si indica, in forma compatta, col simbolo di sommatoria:

n

a1 + a2 + a3 +.......+ an = ∑ ai i =1

che si legge: “sommatoria delle ai, variando i da 1 ad n”; il simbolo i si dice indice di sommatoria. Il simbolo di sommatoria risulta particolarmente efficace e conveniente allorché i termini oppure gli elementi ai sono individuati esplicitamente in dipendenza dell’indice i; vediamo degli esempi:

5  1 1 1 1 1 ∑  3 = 1+ 3 + 3 + 3 + 3 2 3 4 5 i = 1 i  n 2 2 2 2 2

=2 ( ) i =2

∑ i

+ 3 + 4 +.......+ n

Osserviamo che se l’indice di sommatoria i viene sostituito con un qualsiasi altro indice j, k, purché in tutte le espressioni in cui questo compare, il senso della sommatoria non muta: ovvero:

n

n

i =2

j =2

∑i2 = ∑ j2 mentre:

n

m

∑r ≠ ∑k3 3

r =1

k =1

poiché i due simboli r e k indicano, rispettivamente, la somma dei primi n oppure dei primi m cubi, e se n ≠ m, il risultato fornirà valori differenti. Esaminiamo, ora, alcune proprietà della sommatoria: a) sommatoria con termine costante:

n

c +2 c+44 .....3 +c = c ⋅ n ∑ c = c1+44

i =1

n .volte

b) sommatoria di prodotto per una costante:

n

n

i =1

i =1

∑ c ⋅ ai =c ⋅ ∑ ai

Infatti per definizione di sommatoria si ha:

n

n

i =1

i =1

∑ c ⋅ ai = c ⋅ a1 +c ⋅ a2 +.....+ c ⋅ an = c ⋅ (a1 + a2 +.....+ an ) = c ⋅ ∑ ai

c) somma di sommatorie:

n

n

n

k =1

k =1

k =1

∑ a k + ∑ bk = ∑ ( a k + bk )

Infatti per definizione di sommatoria si ha:

n

n

k =1

k =1

∑ a k + ∑ bk = (a1 + a2 +.....+ an ) + (b1 + b2 +.....+bn ) = n

= (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) +.....+ (an + bn ) = ∑ (a k + bk ) k =1

d) scomposizione di una sommatoria:

n

n+m

n+m

k =1

k = n +1

k =1

∑ ak + ∑ ak = ∑ ak

Infatti per definizione di sommatoria si ha:

n

n+m

k =1

k = n +1

∑ a k + ∑ a k = (a1 + a2 +.....+ an ) + (an +1 + an + 2 +.....an + m ) = n+m

= (a1 + a2 +.....+ an + an +1 + an + 2 +.....an + m ) = ∑ a k k =1

e) traslazione dell’indice di sommatoria:

n

n+m

k =1

k =1+ m

∑ ak =

∑ ak − m

Si tratta di valutare separatamente l’espressione del secondo membro e verificarne l’uguaglianza col primo; per definizione di sommatoria si ha:

n+m

∑ a k − m = a[(1+ m) − m] + a[(1+ m +1) − m] + a[(1+ m + n ) − m] +...+ a[( n + m) − m]

k = 1+ m

n

= a1 + a 2 + a 3 +.....+ a n = ∑ a k k =1

f) riflessione dell’indice di sommatoria:

n

n

n −1

k =1

k =1

k =0

∑ a k = ∑ a n − k + 1 = ∑ an − k

Infatti per definizione di sommatoria si ha:

n

∑ an − k +1 = a( n −1+1) + a( n − 2 +1) +.....+ a(n − n +1) = an + an −1 +.....+ a1

k =1 n −1

∑ an − k = an − 0 + an −1 +.....+ a[n − ( n −1)] = an + an −1 +.....+ a1

k =0

Ricordando, poi, la proprietà commutativa della somma si ha che:

an + an −1 +.....+ a 2 + a1 = a1 + a 2 +.....+ an −1 + an

e pertanto resta verificata la proprietà della riflessione dell’indice di sommatoria. Si può verificare la necessità di dovere considerare anche “sommatorie di sommatorie”; così, per la quantità o per gli elementi ars dipendenti da due indici r ed s, variabili il primo da 1 a 3 ed il secondo da 1 a 4, si avrà:

a11 + a12 + a13 + a14 + a21 + a22 + a23 + a24 + a31 + a32 + a33 + a34 = 3

3

4

4

3

∑ (ar1 +ar 2 + ar 3 + ar 4 ) = ∑ ∑ ars = ∑ ∑ ars

r =1

r =1 s =1

s =1 r =1

Parimenti può verificarsi la necessità di considerare anche “prodotti di sommatorie”, così come di seguito riportato:

n m  n   m  (a1 + a2 +.....+ an ) ⋅ (b1 + b2 +.....+bm ) =  ∑ ar  ⋅  ∑ bs  = ∑ ∑ (ar bs )  r =1   s =1  r =1 s =1 ESERCIZIO 0: Si vuole verificare, applicando le opportune proprietà della sommatoria, la validità della seguente relazione:

n

∑ j = n ⋅ (n + 1) 2 j =1 Il primo membro della relazione proposta dal problema si può utilizzare per definire la relazione, ottenuta applicando la proprietà della riflessione dell’indice di sommatoria, di seguito riportata:

n

n

n

j =1

j =1

j =1

2∑j= ∑j+ ∑j

n

n

n −1

j =1

j =1

j =0

⇒ 2 ∑ j = ∑ j + ∑ (n − j )

Ne consegue l’ovvia formulazione espressa nella scrittura:

n

∑ j= j =1

1 n 1 n −1 ⋅ ∑ j + ⋅ ∑ (n − j ) 2 j =1 2 j =0

Pertanto, si ottiene:

n

1 2

1 2

∑ j = ⋅ [1 + 2 +.....+ (n − 1) + n ] + ⋅ [n + (n − 1) +.....+2 + 1] j =1

ovvero, espletati i necessari aggi algebrici:

n

1 2

∑ j = ⋅ [(1 + n) + (2 + n − 1) +.....+ (n − 1 + 2) + (n + 1)] j =1 n

1

1

1 + n) + (1 + n)4 +..... + (n + 1) + (n + 13 )] = ⋅ (n + 1) ⋅ n = ∑ j = ⋅ [( 24444444 2 1444444 2

j =1

n ⋅volte

n ⋅ (n + 1) 2

ESERCIZIO 1: Utilizzando il simbolo di sommatoria si scriva, in forma compatta, la seguente somma:

1 1 1 1 1 1 + + + + + +....... 2 3 4 5 6 7

Si tratta di individuare le proprietà strutturali della somma di infiniti addendi assegnata, cioè la legge dalla quale i singoli addendi principiano; in particolare: • al numeratore di ciascuna frazione addendo è sempre presente il numero 1; • al denominatore delle frazioni addendo ci sono i numeri naturali di valore maggiore o uguale 2

Quanto premesso serve per stabilire, senza ambiguità, la scrittura compatta della somma assegnata; infatti si ottiene la scrittura di seguito riportata:

+∞ 1 1 1 1 1 1 + + + + +..... = ∑ 2 3 4 5 6 n = 0 ( n + 2) ESERCIZIO 2: Utilizzando il simbolo di sommatoria si scriva, in forma compatta, la seguente somma:

1−

1 1 1 1 1 1 + − + − + −....... 2 3 4 5 6 7

Individuiamo nella somma algebrica di infiniti addendi assegnata la legge dalla quale i singoli addendi principiano; in particolare: • il primo addendo può essere visto come la frazione impropria 1/1; • al numeratore di ciascuna frazione addendo è sempre presente il numero 1; • al denominatore delle frazioni addendo ci sono i numeri naturali a partire dal numero 1; • si evince una alternanza di segno nei singoli addendi; considerando il numero zero come numero pari, si evince che le frazioni poste in posizione pari sono positive, quelle poste in posizione dispari sono negative. È necessario un coefficiente opportuno che gestisca l’alternanza di segno in stretta dipendenza dall’indice n della sommatoria, ovvero dal posto occupato dai termini da sommare; ciò può essere realizzato dalla struttura: (-1)n; Quanto premesso serve per stabilire, senza ambiguità, la scrittura compatta della somma assegnata; infatti si ottiene la scrittura di seguito riportata:

+∞ 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − +..... = ∑ ( −1) n 2 3 4 5 6 (n + 1) n=0

⇒

+∞  ( −1) k 

∑ −

k

k =1 

 

ESERCIZIO 3: Utilizzando il simbolo di sommatoria si scriva, in forma compatta, la seguente somma:

1+

1 1 1 1 1 + + + + +....... 4 9 16 25 36

Individuiamo nella somma algebrica di infiniti addendi assegnata la legge dalla quale i singoli addendi principiano; in particolare: • il primo addendo può essere visto come la frazione impropria 1/1; • al numeratore di ciascuna frazione addendo è sempre presente il numero 1; • al denominatore delle frazioni addendo sono presenti i quadrati dei numeri naturali a partire dal numero 1; Quanto premesso serve per stabilire, senza ambiguità, la scrittura compatta della somma assegnata; infatti si ottiene la scrittura di seguito riportata:

+∞  1  1 1 1 1 1 1+ + − + − +..... = ∑   2 4 9 16 25 36 n = 1 n 

⇒

+∞

∑

1

k = 0 ( k + 1)

2

ESERCIZIO 4: Utilizzando il simbolo di sommatoria si scriva, in forma compatta, la seguente somma:

1 2 3 4 5 6 + + + + + +....... 2 3 4 5 6 7 Individuiamo nella somma algebrica di infiniti addendi assegnata la legge dalla quale i singoli addendi principiano; in particolare: • numeratore e denominatore di ciascuna frazione addendo sono numeri naturali consecutivi; • per ogni frazione addendo il numeratore è inferiore di una unità dal corrispondente denominatore; Quanto premesso serve per stabilire, senza ambiguità, la scrittura compatta della somma assegnata; infatti si ottiene la scrittura di seguito riportata:

+∞ 1 2 3 4 5 6  n  + + + + + +....... = ∑     2 3 4 5 6 7 n + 1 n =1

⇒

+∞

 k + 1   k + 2 k =0

∑ 

ESERCIZIO 5: Utilizzando le proprietà dei logaritmi si determini una scrittura equivalente della seguente struttura che utilizza il simbolo di sommatoria:

+∞

   ∑ log  n + 1 n =1 n

Ricordando che il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza fra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore, si ottiene la scrittura di seguito riportata:

+∞

+∞ +∞  n  +∞  = ∑ [log n − log(n + 1)] = ∑ log n − ∑ log(n + 1) = ∑ log  n =1 n + 1 n =1 n =1 n =1 ESERCIZIO 6: Dimostrare la validità della relazione di seguito riportata: n

∑ ( a k − a k − 1 ) = a n − a0

k =1 Basta esplicitare l’agito del segno di sommatoria in stretta osservanza della corrispondente relazione costitutiva, ottenendo: n

∑ (a k − a k −1 ) = (a1 − a0 ) + (a 2 − a1 ) + (a 3 − a 2 ) + .......+ (an − an −1 )

k =1 Tale relazione può diversamente, ma in forma algebricamente del tutto equivalente, essere scritta nel modo di seguito riportato: n

∑ (a k − a k −1 ) = − a0 + a1 − a1 + a2 − a2 + a3 − a3 +.......+ an −1 − an −1 + an

k =1 ovvero, procedendo alle necessarie e dovute semplificazioni algebriche: n n

∑ ( a k − a k − 1 ) = − a0 + an ⇒

∑ ( a k − a k −1 ) = a n − a0

k =1 k =1 Un altro itinerario risolutivo è espresso dalla procedura che fa ricorso alla proprietà della somma di sommatorie, proprietà c), procedura che di seguito si riporta: n n n

∑ (a k − a k −1 ) = ∑ a k − ∑ a k − 1 =

k =1

k =1

k =1

= a1 + a2 +.....+an −1 + an − a0 − a1 − a2 −.....−an −1

Eseguite le dovute e necessarie semplificazioni si perviene alla scrittura finale: n n n

∑ ( a k − a k − 1 ) = ∑ a k − ∑ a k − 1 = a n − a0

k =1

k =1

k =1

ESERCIZIO 7: Dimostrare la formula di seguito riportata: n −1 n

∑ (a + hr ) = ⋅ [2a + (n − 1) ⋅ r ]

2 h=0 L’operatore di Sommatoria, in ossequio a quanto asserito nella proprietà c), è un operatore lineare. La proprietà di linearità si esplicita in forma globale con la particolarità della scrittura che di seguito si riporta: n n n

∑ ( β ⋅ xi ± α ⋅ yi ) = β ⋅ ∑ xi ± α ⋅ ∑ yi i =1 i =1 i =1 Attesa pertanto la proprietà della linearità, la sua applicazione al fine di pervenire alla dimostrazione del quesito proposto dalla traccia, unitamente al risultato sancito nell’esercizio 0, consentono così di esplicitare la seguente relazione: n −1 n −1 n −1 n −1 n −1 (n − 1) ⋅ n ∑ (a + hr ) = ∑ a + ∑ hr = ∑ a + r ∑ h = na +

h=0

h=0

h=0

h=0

h=0

2

⋅r =

n n n = ⋅ 2a + ⋅ (n − 1) ⋅ r = ⋅ [2a + ( n − 1) ⋅ r ] 2 2 2 ESERCIZIO 8: Nell’ipotesi che sia q ≠ 1, dimostrare la validità della posizione seguente: n −1 qn − 1 k

∑q =

q −1 k =0 Esplicitando l’agito insito nel simbolo di sommatoria, in riferimento alla sua relazione costitutiva, si ottiene la posizione seguente: n −1 k 2 3 n −1

∑ q = 1 + q + q + q +.....+q

k =0 Nell’ipotesi che sia soddisfatta la condizione q ≠ 1, moltiplicando ambo i membri per la quantità (1-q), si perviene alla relazione: n −1 (1 − q ) ∑ q k = (1 − q ) ⋅ (1 + q + q 2 + q 3 +.....+ q n −1 ) ovvero k =0 n −1 k 2 3 n −1 2 3 n −1 n

(1 − q ) ∑ q = (1 + q + q + q +.....+ q

k =0 In conclusione, si ottiene: n −1 k

n

− (q − 1) ∑ q = − (q − 1) k =0

n −1

− q − q − q +.....− q

−q )

(q n − 1) ⇒ ∑q = q −1 k =0 k

OSSERVAZIONE: si ritiene opportuno ricordare che l’espressione (-1)n è molto utile per gestire le alternanze di segno. Infatti si ottiene:

+ 1 se n è pari ( −1) n =  − 1 se n è dispari di conseguenza, risulta:

16 1 1 1 1 1 1 1 − + − + −.....− = ∑ (−1) k +1 2 3 4 5 16 k =1 k

La somma dei primi sedici numeri interi dispari può essere scritta come di seguito mostrato: 16 15

1 + 3 + 5 + 7+.....+29 + 31 = ∑ (2 k − 1) = ∑ (2 n + 1) k =1

n= 0

Il simbolo Π indica, invece il prodotto di più quantità od elementi dipendenti da un indice. Si pone

n

di solito:

a1 ⋅ a 2 ⋅ a 3⋅.....⋅a n −1 ⋅ an = ∏ ai i =1

In ossequio all’agito intrinseco al simbolo di produttoria, in riferimento alla sua relazione costitutiva, è facile verificare la proprietà seguente: n n n ( β ⋅ x ) = β ∏ ∏ xk k k =1 k =1 Si presti, inoltre, particolare attenzione al rispetto della seguente disuguaglianza: n n n

∏(x j + yj ) ≠ ∏ x j + ∏ yj

j =1 j =1 j =1 Infatti, già per n = 2 si verifica con immediatezza quanto di seguito evidenziato: 2

∏ ( x j + y j ) = ( x1 + y1 ) ⋅ ( x2 + y2 ) = x1 x2 + x1 y2 + y1 x2 + y1 y2

j =1 mentre: n

n

∏ x j + ∏ y j = x1 x 2 + y1 y 2

il che manifesta appunto la valenza della disuguaglianza. j =1 j =1 Di notevole interesse è il prodotto dei primi n numeri interi naturali, che definisce il fattoriale di n: n Il fattoriale di n o n fattoriale, che si indica con n!, n! = ∏ h = 1 ⋅ 2 ⋅ 3⋅.......⋅(n − 1) ⋅ n è definito dal prodotto dei primi n numeri interi decrescenti consecutivi a partire da n. h =1 Si osservi inoltre che: n +1 n

(n + 1)! = ∏ h = 1 ⋅ 2 ⋅ 3⋅.......⋅(n − 1) ⋅ n ⋅ (n + 1) = ( n + 1) ⋅ ∏ h = (n + 1) ⋅ n !

h =1 h =1 Dalla relazione ( n + 1)!= ( n + 1) n! si evince immediatamente la relazione di seguito riportata: (n + 1)! n! 1 n

n! =

(n + 1)

⇒ (n − 1)! =

n

= ⋅ ∏h n h =1

con n ∈ N

Si deve, altresì, ricordare che vale la seguente definizione: 0! = 1! = 1. L’utilizzo del fattoriale di un numero trova grande riscontro nel calcolo combinatorio e nel calcolo dei coefficienti dello sviluppo della potenza ennesima di un binomio.

I LOGARITMI Siano a e b due numeri appartenenti all’insieme dei numeri reali ℜ e tali che risulti: a>0, a ≠ 1, b>0. Si definisce “logaritmo in base a del numero b, l’esponente x che si deve dare alla base a per ottenere il numero b”; in formula si ha:

⇒ ax = b

log a b = x

Se a>0, a ≠ 1 e b>0, si può dimostrare che esiste ed è unico il numero reale x = loga b Per x, y, a>0, con a ≠ 1 e per α∈ℜ, sussistono le seguenti proprietà dei logaritmi:

log a (x ⋅ y ) = log a x + log a y infatti, se si pone rispettivamente:

log a x = v

⇒ av = x

⇒ aw = y

log a y = w

nonché

ne consegue che il prodotto membro a membro delle due relazioni fornisce la scrittura:

x ⋅ y = a v ⋅ a w = a ( v + w)

[

log a ( x ⋅ y ) = log a a (v + w)

ovvero:

]

cioè:

(v + w) = loga ( x ⋅ y ) da cui si conclude che: log a x + log a y = log a ( x ⋅ y )

 x log a   = log a x − log a y  y

infatti, se si pone rispettivamente:

log a x = v

⇒ av = x

log a y = w

⇒ aw = y

ne consegue che il quoziente membro a membro fornisce la scrittura:

x av = = a ( v − w) y aw

ovvero:

 x log a a ( v − w) = log a    y

[

]

 x (v − w) = log a    y

da cui si evince:

che permette di concludere :

 x log a x − log a y = log a    y log a xα = α ⋅ log a x

infatti, si può formulare che:

log a x α = log a ( 1 x4 ⋅ x2 ⋅..... ⋅x ) = 4 3 α ⋅volte

= log a x + log a x +.....+ log a x = 14444 4244444 3 = α ⋅ log a x

α ⋅volte

Ricordando la proprietà relativa al logaritmo di un prodotto, e precisamente:

log k (a ⋅ b) = log k a + log k b

risulta facile affermare, − verificato che ai > 0, k > 0, k ≠ 1 − la validità della seguente relazione:

n  n  log k  ∏ ai  = ∑ (log k ai )  i =1  i =1

IL VALORE ASSOLUTO − EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Si chiama valore assoluto o modulo del numero reale x il numero non negativo:

x se x ≥ 0 x =  − x se x < 0 Se a ≥ 0, allora: x ≤ a ⇔ −a≤x≤a La disuguaglianza triangolare, ∀ x, y ∈ ℜ, è espressa dalle relazioni:

x+y ≤ x + y

x−y ≥ x − y

e per un numero qualsiasi di addendi, si ottiene:

n

n

i =1

i =1

∑ xi ≤ ∑ xi

ESERCIZIO 9: Si desiderano determinare le soluzioni dell’equazione seguente:

4 + x = 5 − 2x + 7x Inizialmente si devono individuare i valori della variabile indipendente x per i quali gli argomenti dei due moduli sono positivi o nulli; a tale riguardo si deve osservare che:

4+ x ≥0 ⇒

x ≥ −4

5 − 2x ≥ 0 ⇒

x≤

5 2

Si procede col disporre in ordine crescente i capisaldi della discussione sopra sostenuta e si esamina il seguente schema: 5/2 L’equazione di partenza “equivale”, −4 pertanto, a tre equazioni diverse a 4+x≥0 seconda degli intervalli in cui può variare l’incognita x; esse possono 5 − 2·x ≥ 0 ricondursi ai tre seguenti sistemi misti, l’insieme delle cui soluzioni rappresenta la soluzione dell’equazione proposta dalla traccia.

a)

 x ≤ −4  x ≤ −4  x ≤ −4 − (4 + x ) = (5 − 2 x ) + 7 x ⇒  x − 2 x + 7 x = −4 − 5 ⇒ 6x = −9    Si perviene così alla conclusione seguente: Il sistema È manifestamente impossibile, atteso che la  x ≤ −4 ⇒  x ≤ −4 6 x = −9  x = − 3 2 soluzione x = − 3/2 è in antitesi con la condizione x ≤ −4,   essendo, appunto, evidente che: − 3/2 > −4.

b)

− 4 < x ≤ 5 2 ( 4 + x ) = (5 − 2 x ) + 7 x ⇒ 

− 4 < x ≤ 5 2 − x − 2 x + 7 x = 4 − 5 ⇒ 

Si perviene così alla conclusione seguente:

− 4 < x ≤ 5 2 ⇒  − 4 < x ≤ 5 2 4 x = −1 x = −1 4  

− 4 < x ≤ 5 2 4 x = − 1 

La soluzione x = −1/4 È accettabile in quanto verifica la condizione −4 < x ≤ 5/2 essendo, appunto, evidente che: −4<−1/4 < 5/2.

c)

x > 5 2 ( 4 + x ) = − (5 − 2 x ) + 7 x ⇒ 

x > 5 2 − x + 2 x + 7 x = 4 + 5 ⇒ 

x > 5 2 8 x = 9 

Si perviene così alla conclusione seguente: Il sistema È manifestamente impossibile, atteso che la x > 5 2 ⇒ x > 5 2 soluzione x = 9/8 è in antitesi con la condizione x > 5/2, 8x = 9 x = 9 8 essendo, appunto, evidente che: 9/8 < 5/2.   Si perviene così alla conclusione che l’equazione assegnata ammette come unica soluzione x = −1/4

ESERCIZIO 10: Si desidera risolvere la disequazione seguente:

3 + 2 x < 4 (1)

Osserviamo che, in base alla definizione di “valore assoluto”, risultano immediate le posizioni seguenti:

∀x :(3 + 2 x ) ≥ 0 ⇒

3 + 2 x = + (3 + 2 x )

(3 + 2 x ) < 4 ∀x :(3 + 2 x ) < 0 ⇒ 3 + 2 x = −(3 + 2 x ) da cui: − (3 + 2 x ) < 4 e la disequazione (1) di partenza assume la forma che di seguito si riporta: ( 3 + 2 x ) > −4

e la disequazione (1) di partenza assume la forma che di seguito si riporta:

Le due relazioni ottenute si compendiano nella scrittura unione seguente:

− 4 < (3 + 2 x ) < 4 ⇒ − 3 − 4 < 2 x < 4 − 3 ⇒ − 7 < 2 x < 1

Si perviene, pertanto, alla determinazione dell’insieme dei valori della variabile x che soddisfano la disequazione (1) di partenza; infatti si ottiene:

( −7 2) < x < (1 2) ESERCIZIO 11: Si desidera risolvere la disequazione seguente:

1 − x 2 > 8 ( 2)

Osserviamo che, in base alla definizione di “valore assoluto”, risultano immediate le posizioni seguenti: 2 2 2

∀x :(1 − x ) ≥ 0 ⇒

1 − x = + (1 − x )

e la disequazione (2) di partenza assume la forma che di seguito si riporta: 2 2 2

∀x :(1 − x ) < 0 ⇒

(1 − x 2 ) > 8

1 − x = − (1 − x ) da cui: − (1 − x 2 ) > 8

e la disequazione (2) di partenza assume la forma che di seguito si riporta: Le due relazioni ottenute si compendiano nella scrittura seguente: 2 2

(1 − x ) > 8

(1 − x ) < −8

Risolvendo la prima disequazione si ottiene: 2 2

(1 − x ) > 8 ⇒ 1 − 8 > x

(1 − x 2 ) < −8

⇒ x 2 < −7

che è, manifestamente, impossibile.

Mentre la soluzione della seconda disequazione porge: 2 2 2

(1 − x ) < −8 ⇒ − x < −8 − 1 ⇒

x >9

Si perviene, pertanto, alla determinazione dell’insieme dei valori della variabile x che soddisfano la disequazione (2) di partenza; infatti si ottiene: 2 2

1− x > 8 ⇒

x >9 ⇒

x < −3 ∨ x > 3

ESERCIZIO 12: Si desidera risolvere la disequazione seguente:

1− x < 1 ( 3) 2+x Osserviamo che, in base alla definizione di valore assoluto, sono immediate le seguenti posizioni:

 1− x ∀x :   ≥0 ⇒  2 + x  1− x ∀x :  <0 ⇒  2 + x

1− x 1− x =+ 2+x 2+ x 1− x 1− x =− 2+ x 2+x

1− x < 1 ( x ≠ −2 ) 2+ x 1− x 1− x ⇒ − < 1⇒ > −1 2+ x 2+x ⇒

Ciò premesso, per la determinazione della soluzione della disequazione (3) si deve risolvere il sistema di seguito riportato:

1 − x 1 − x + 2 + x  3 1 > − > 0 2 + x > 0 2 + x  2 + x > 0 x + 2 ⇒  ⇒  ⇒ 2 x + 1 1 − x 1− x − 2 − x − 1 − 2x  2 + x > 0    <1 <0 <0 2 + x   2+ x 2+x

Si perviene, pertanto, alla determinazione dell’insieme dei valori della variabile x che soddisfano la disequazione (3) di partenza; infatti si ottiene:

2 + x > 0 ⇒  x > −2 2 x + 1 > 0 x > − 1 2 ⇒  

x>−

1 2

ESERCIZIO 13: Si desidera risolvere la disequazione seguente:

2−x > 1 ( 4) 1+ x Osserviamo che, in base alla definizione di valore assoluto, sono immediate le seguenti posizioni:

 2 − x ∀x :  ≥0 ⇒  1+ x  2 − x ∀x :   <0 ⇒  1+ x

2−x 2−x =+ 1+ x 1+ x 2−x 2−x =− 1+ x 1+ x

2−x > 1 ( x ≠ −1) 1+ x 2−x 2−x ⇒ − > 1⇒ < −1 1+ x 1+ x

⇒

dalla prima disequazione, ritenuto x ≠ −1, si ottiene:

2−x −1> 0 ⇒ 1+ x 1 − 2x −1> 0 ⇒ 1+ x

2 − x − (1 + x ) >0 1+ x 1 − 2 x > 0 ⇒ 1 + x > 0 

2 − x −1− x > 0, 1+ x 2 x < 1 ⇒  x < 1 2  x > −1  x > −1   ⇒

ovvero:

L’insieme dei valori della variabile x che soddisfano la prima disequazione è rappresentato dalla scrittura seguente:

− 1< x < 1 2 Dalla seconda disequazione, ritenuto sempre x ≠ −1, si ottiene:

2−x +1< 0 ⇒ 1+ x

2 − x + 1+ x 3 <0 ⇒ <0 1+ x 1+ x

Atteso che il numeratore è sempre positivo, dovrà essere verificato che (1 + x) < 0 , cioè: x < −1

Riunendo le due risultanze sopra conseguite si perviene alla determinazione dell’insieme dei valori della variabile x che soddisfano la disequazione (4) di partenza; infatti, sempre con x ≠ −1, si ha:

x < 1 2 ⇒ ( −∞ , − 1) ∨ ( −1, 1 2)

ESERCIZIO 14: Si desidera risolvere la disequazione seguente:

−x+3−2 ≤ 0 (5) 7x − 9 − 2 Atteso che una frazione algebrica è negativa allorché numeratore e denominatore hanno segno opposto ed è nulla quando è nullo il numeratore, la relazione (5) sarà soddisfatta se si verifica una delle due condizioni seguenti:

51 . a) − x + 3 − 2 ≤ 0 5.2a ) − x + 3 − 2 ≥ 0 oppure 51 . b) 7 x − 9 − 2 > 0 5.2b ) 7 x − 9 − 2 < 0 Considerando le relazioni 5.1a) e 5.1b) e ricordando la definizione di valore assoluto, sono manifeste le posizioni seguenti:

∀x :( − x + 3) ≥ 0 ∀x :( − x + 3) < 0 ∀x :( 7 x − 9) > 0 ∀x :(7 x − 9) < 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

∀x : x ≤ 3 ∀x : x > 3 ∀x : x > 9 ∀x : x < 9

⇒ − x + 3 = + ( − x + 3) ⇒ − x + 3 = −( − x + 3) 7 ⇒ 7 x − 9 = + ( 7 x − 9) 7 ⇒ 7 x − 9 = − ( 7 x − 9)

per cui, specificatamente per la 5.1a), può scriversi: quanto si riporta:

x≤3 x>3 ( − x + 3) − 2 ≤ 0 ⇒ − x + 3 − 2 ≤ 0 − ( − x + 3) − 2 ≤ 0 ⇒ x − 3 − 2 ≤ 0 − x + 1 ≤ 0 ⇒ − x ≤ −1 ⇒ x ≥ 1 x − 5 ≤ 0 ⇒ x ≤ 5 mentre, specificatamente per la 5.1b), può relazionarsi come di seguito riportato:

x>9 7 x<9 7 + (7 x − 9) − 2 > 0 ⇒ 7 x − 9 − 2 > 0 − (7 x − 9) − 2 > 0 ⇒− 7 x + 9 − 2 > 0 7 x − 11 > 0 ⇒ x > 11 7 − 7 x > −7 ⇒ 7 x < 7 ⇒ x < 1 L’insieme dei valori della variabile x che soddisfano contemporaneamente le relazioni 5.1a) e 5.1b) si evince dalla rappresentazione grafica che di seguito si mostra, nella quale sono disegnati con la linea tratteggiata gli intervalli in cui la relativa espressione è negativa:

1

11/7

5

−x+3 −2≤0 7x − 9 − 2 > 0

+

+

−

+

Si perviene, per tanto, alla conclusione espressa dalla relazione che segue ed in base alla quale la disequazione (5) è soddisfatta da tutti e solo i valori della variabile x tali che:

(11 7) < x ≤ 5