Rpp + Lks Vektor k6m4q

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

Mata Pelajaran

: Matematika

Materi Ajar

: Vektor

Kelas/Semester

: XI/Ganjil

Pertemuan Ke-

: ....

Alokasi Waktu

: 2 x 45 Menit

A. Standar Kompetensi Memahami vektor dalam ruang tiga dimensi, serta operasi dan resultannya. B. Kompetensi Dasar 1. Memahami vektor dalam ruang tiga dimensi. C. Indikator 1.1. Menjelaskan titik di ruang tiga dimensi. 1.2. Menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi. 1.3. Mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi. 1.4. Mencari resultan dari beberapa vektor. D. Tujuan Pembelajaran Setelah proses pembelajaran : 1.1.1. Siswa dapat menjelaskan titik di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.1.2. Siswa dapat menjelaskan titik di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan; 1.2.1. Siswa dapat menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.2.2. Siswa dapat menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;

1.3.1. Siswa dapat mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.3.2. Siswa dapat mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan; 1.4.1. Siswa dapat mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.4.2. Siswa dapat mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan; E. Materi Ajar 1.1.1.1. Pemahaman tentang titik di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.1.2.1. Pemahaman tentang titik di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan; 1.2.1.1. Pemahaman tentang bagaimana menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.2.2.1. Pemahaman tentang bagaimana menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan; 1.3.1.1. Pengenalan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.3.2.1. Pengenalan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan; 1.4.1.1. Pemahaman tentang pengertian resultan vektor dan bagaimana mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.4.2.1. Pemahaman tentang pengertian resultan vektor dan bagaimana mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;

F. Pendekatan Pendekatan yang digunakan adalah : 

Pendekatan Contekstual Teaching and Learning

G. Metode Pembelajaran Metode : 

Pengajaran langsung



Ekspositori dan demonstrasi



Diskusi kelompok



Penugasan

H. Model Pembelajaran Model pembelajaran yang digunakan adalah pembelajaran kooperatif. I.

Langkah-Langkah Pembelajaran

A. Pendahuluan Tahapan Kegiatan No.

Alokasi Waktu Guru

Siswa

1.

Mengucapkan salam

Menjawab salam

1 menit

2.

Memberi apersepsi kepada

Merespons apersepsi

5 menit

siswa menggunakan metode

dan antusias dalam

tanya jawab.

tanya jawab yang

Misalnya :  Guru mengingatkan definisi tentang vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.  Guru mengingatkan kembali

dilakukan guru.

tentang vektor dalam ruang dua dimensi, dengan cara menyuruh siswa maju secara acak ntuk menentukan vektor dari titik A (4,2) dan B (-2,-4).  Lalu dengan metode ekspositori dan demonstrasi, guru menjelaskan tentang titik pada ruang tiga dimensi. Jika pada ruang dua dimensi dikenal hanya dengan 2 sumbu utama (x,y) maka pada ruang tiga dimensi terdapat 3 sumbu utama (x,y,z). 3.

Menyampaikan tujuan

Mencatat untuk

pembelajaran yang akan

dijadikan acuan dalam

dicapai siswa.

mengikuti kegiatan

4 menit

belajar selanjutnya.

B. Kegiatan Inti No. 1.

Kegiatan Guru

Kegiatan Siswa

Guru membagi siswa dalam

Siswa duduk

beberapa kelompok kecil dan

berkelompok.

Alokasi Waktu 1 menit

menginstruksikan murid untuk duduk berkelompok. 2.

Dengan menggunakan media

Siswa memperhatikan

pembelajaran yang telah

materi melalui media

disiapkan, guru mengenalkan

dan menyimak apa yang

konsep vektor dalam ruang

disampaikan guru.

20 menit

dimensi tiga dengan menyajikan permasalahan yang telah disinggung pada apersepsi mengenai titik dan garis pada ruang dimensi tiga. Setelah diberikan apersepsi tentang titik pada ruang tiga dimensi, guru menjelaskan tentang menggambar vektor garis pada ruang tiga dimensi . Misalnya vektor akan terbentuk jika terdapat minimal dua titik pada ruang tiga dimensi, dan memiliki besar dan arah. Misal titik A (0,2,4) dan B (4,6,8) sehingga ketika dua titik dihubungkan dari A ke B akan membentuk vektor AB. Contoh :

3.

Selanjutnya guru menjelaskan

Siswa memperhatikan

tentang operasi penjumlahan,

materi melalui media

pengurangan, dan perkalian

dan menyimak apa yang

pada vektor tiga dimensi.

disampaikan guru.

a. Penjumlahan :

a + b = PQ + QR = PR

15 menit

b. Pengurangan A-B = A + (-B) c. Perkalian  Perkalian Titik (vektor dengan vektor) A.B = AB cos θ AB cos θ merupakan bilangan biasa (skalar).  Perkalian Vektor dengan Skalar

4.

Masih menggunakan media

Siswa memperhatikan

pembelajaran, guru

materi melalui media

menjelaskan kepada siswa

dan menyimak apa yang

bagaimana mencari resultan

disampaikan guru.

10 menit

dari beberapa vektor dalam ruang tiga dimensi. R2 = |A2| + |B2| 5.

Guru memberikan suatu tanya

Siswa merespons

jawab terhadap siswanya

pertanyaan yang

sebagai indikator akan

disampaikan oleh guru

pemahaman siswa terkait

dan berusaha

pengajaran dan pembelajaran

memecahkan soal yang

tentang konsep vektor dalam

diberikan.

ruang tiga dimensi. 1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2),

10 menit

dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. 2. Diketahui | a | = 2 , | b | = 1 , sinus sudut antara a danb adalah

1 2

3 nilai | a  b | = ...

 2 1    3. Jika a = 4 , b =  5  ,      3  9   3 c =  1     2 dan p = a – 2b + 3c , maka panjang p =...

C. Penutup No.

Kegiatan Guru

1.

Guru membimbing siswa

Setiap siswa membuat

untuk membuat

kesimpulannya.

kesimpulan dari yang telah disampaikan. Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Titik pada ruang tiga dimensi (x,y,z). Minimal dua titik pada ruang dimensi tiga akan membentuk vektor garis

Kegiatan Siswa

Alokasi Waktu 3 menit

pada ruang dimensi tiga. Adapun operasi pada vektor yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, serta resultan dari beberapa vektor dengan beberapa cara. 2.

Guru memberikan tugas-

Siswa mengerjakan tugas-

tugas kepada siswa

tugas yang diberikan oleh

terkait materi dari

guru.

20 menit

konsep-konsep yang telah dipelajari. (Tugas terlampir pada LKS) 3.

Menutup pembelajaran

Menjawab salam yang

dengan mengucap salam.

diucapkan guru.

1 menit

Penilaian : Jumlah soal : 50 soal Pedoman Penilaian: Tiap soal jika benar bernilai 2, dan jika salah bernilai 0. Total nilai maksimum yaitu 100.

J.

Alat dan Sumber Belajar



Buku Teks, LCD projektor, laptop, spidol, papan tulis, bahan ajar materi, LKS.

LEMBAR KERJA SISWA Untuk menentukan letak suatu titik dalam ruang tiga dimensi diperlukan patokan mula. Salah satu patokan mula yang diambil adalah tiga garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus yang biasanya diberi nama sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. sistem ini dinamakan system koordinat cartesius dalm ruang tiga dimensi. Dalam system ini suatu titik ditentukan oleh pasangan tiga bilangan (tripel), misalnya P(

x1 , y1 , z1 ). Disebut koordinat absis, y disebut koordinat y atau ordinat dan z disebut koordinat z atau aplikat dari titik P. tiap dua sumbu menentukan sebuah bidang yang dinamakan bidang koordinat. Tiga bidang koordinat yaitu xy, yz, dan xz membagi ruang menjadi 8 ruang bagian yang masing-masing disebut oktan.

Oktan-oktan I, II, III dan IV diatas bidang xy dan lainnnya dibawah bidang xy. Oktan-oktan V, VI, VII, VIII berturut-turut berada tepat dibawah oktan oktan I, II, III dan IV.

Pada gambar berikut berturut-turut adalah contoh letak titik P (2,3,4) dan Q (4,-2,3) :

Jarak dua titik

Jarak dua titik P( x1 , y1 , z1 ) dan Q ( x2 , y2 , z 2 ) adalah |PQ | =

( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 )

2

Vektor dalam ruang tiga dimensi Vector posisi titik P ( x1 , y1 , z1 ) terhadap titik asal O adalah OP=( x1 , y1 , z1 )=

x1i  y1 j  z1k , i,j,k disebut vektor-vektor basis yang berturut-turut adalah vectorvektor satuan yang searah dengan sumbu x positif, y positif dan z positif.

Rumus perbandingan vektor Jika a =( x1 , y1 , z1 ) adalah vektor posisi dari titik A, dan b=( x2 , y2 , z 2 ) adalah vector posisi titk B, serta titik C berada pada ruas garis AB sedemikian sehingga |AC| : |CB| = m : n , maka vektor posisi titik C adalah

c

na  mb mn

Jika vector posisi titik C adalah c = ( xc , yc , zc ) diperoleh hubungan bahwa

xc 

nx1  mx2 ; mn

yc 

ny1  my2 ; mn

zc 

nz1  mz2 mn



Jika a = ( a1 , a2 , a3 ) maka panjang vector a adalah:

a  a1  a 2  a3 2

2

2

Jika a =( a1 , a2 , a3 ) adalah vector posisi A, dan b =( b1 , b2 , b3 ) vector posisi B, maka | AB |= (b1  a1 ) 2  (b2  a2 ) 2  (b3  a3 ) 2

Perkalian dua vektor Jika u = (u1 , u2 , u3 ) dan v = (v1 , v2 , v3 ) maka perkalian titiknya adalah

u  v  u  v cos dengan 0<  < 

j  (0,1,0)

i  (1,0,0) ,

Mengingat

dan k  (0,0,1)

Maka, mudah dimengerti dari sefinisi tersebut bahwa

i  j  j  k  i  k  0 dan i i  j  j  k k 1 Sehingga dapat diturunkan

u  v  (u1 , u2 , u3 )  (v1 , v2 , v3 ) u  v  u1v1  u2 v2  u3v3

Hasil kali kedua vector adalah suatu skalar. Jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama dengan nol

u  0 atau v  0

u  v  0  u  v atau

Untuk menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua vektor u  v1 , v2 , v3  dapat digunakan rumus:

cos 

u v uv

Atau

cos 

u1v1  u 2 v2  u3 v3 u1  u 2  u3  v1  v2  v3 2

2

2

2

2

2

Kosinus arah suatu vector

Misalkan a  (a1 , a 2 , a3 )  (a1 i  a2 j  a3 k ) adalah vektor posisi titik A dengan A berimpit dengan O, sudut-sudut antara vektor a dengan vektor satuan i, j, k maka sudut-sudut arah vektor a . Sudut-sudut  ,  dan  Maka cos , cos  , dan cos

cos 

cos  

cos 

a a i  1 ai a

a j a j



a2 a

a ak  3 ak a

Dengan cos2   cos2   cos2   1

Hasil kali silang dua vektor

a  a1 i  a2 j  a3 k dan b  b1 i  b 2 j  b 3 k

 =sudut yang dibentuk oleh a dan b dengan 0<  <  a  b  a  b  sin  Dengan u = vektor satuan, maka

a  b  a  b  sin  b  a  b  a  sin   (u) = - a  b sin  (u) = -( a  b )

b  a = -( a  b ) sifat anti komutataif Apabila a sejajar dengan b yaitu  =0 maka,

a  b  a  b  sin  u ab = 0

Hasil kali silang dua vektor-vektor bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor yaitu:

a  (b  c)  (a  b)  (a  c) (a  b)  c  (a  c)  (b  c) Untuk vektor i , j dan k :

i  j  i  j  sin

 2

k

i j  k Dengan cara yang sama kita peroleh:

jk  i

j  i  k

ii  o

k i  j

k  j  i

j j  o

i  k  i

k k  o

Selanjutnya dapat diturunkan teknik perhitungan dengan menggunakan determinan:

i j a  b  a1 a 2 b1 b2

k a3 b3

b  a  (a  b)  Sifat determinan

Luas jajaran genjang

Luas jajaran genjang yang sisi-sisinya a dan b adalah;

a  b  a  b  sin 

Volume balok genjang

Volume balok genjang yang rusuknya a , b dan c adalah a  b  c

a1 a  b  c = b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

LATIHAN Nama

:

Kelas

:

No. Absen

:

Pelajaran

: Vektor

1.

Diketahui | a | = 2 , | b | = 1 ,sinus sudut antara

a danb adalah

1

3.

Diketahui | a | = a+b|=

3.

2

a. 45o c. 3

b. 6

d.

e.

9 dan |

5 besar sudut antara a dan

b adalah...

Nilai | a  b | =... a. 7

2 , |b|=

b. 60o

c. 120o

d. 135o

e. 150o

6

7 4.

Diketahui a = 3 i – 4 j – 4 k , b = 2 i – j + 3 k dan c = 4 i – 3 j +5 k Panjang

2.

Diketahui panjang proyeksi vektor

proyeksi ( a + b ) pada c adalah...

a=

 3   3 3     , pada adalah . b  p 3     2 3  1     

a. 3 2

b. 4 2

c. 5 2 d. 6 2

e. 7 2

Nilai p = . . . . .

a. 4

b.

26 9

c. 2 d.

1 2

e.

1 4

5.

Diketahui A ( 1, 2, 3 ), B ( 3, 3, 1 ) dan C ( 7, 5, -3 ). Jika A, B, dan C segaris (kolinier ), perbandingan AB : BC = ... a. 1 : 2 e. 7 : 5

b. 2 : 1

c. 2 : 5

d. 5 : 7

6.

Diketahui vektor u = a i +2 j + 4 k , v = 4 i + 2 j + 2k dan w = 4 i + 2 j + 6 k . Jika u dan v saling tegak lurus, maka u + w

a. – 11

b. – 10

c. 8

d. 10

e. 11

adalah ... a. i + 4 j + 10 k

b. i – 4 j + 10 k

c. 3 i + 4 j + 10 k

d. 3 i – 4 j + 10 k

10. Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k.

e. 4 i + j + 10 k Panjang proyeksi vektor a pada b adalah ... 7.

Vektor a dan vektor b membentuk

 . Diketahui | a | = 6 , | b | = 6 , dan cos  = 0,7 maka nilai dari a.( a + sudut

a. 34

b . 89

c. 34

d . 83

8 e. 36

b ) = ... 11. Jika titik A ( 1 , 2 , - 1 ) , B ( 3 , 0 , 2 ) , a. 49

b. 89

c. 99 d. 109

e. 115

dan C ( 5 , - 2 , a + 1 ) terletak pada satu garis lurus , nilai a = …

8.

Diketahui | a | = 2 , | b | = 1 . kosinus

a. – 6

b. – 4

c. 4

d. 5

e. 6

sudut antara a dan b adalah 0,5. Nilai | a + b | = ... 12. Dikethui a = 2 i + x j + y k , b = y i + 2 a. 7

b. 6

c. 3

d.

7

e.

6

j + z k dan a = x i + z j + 2 k , Jika a + b = c maka ...

 1   1, 9. Diketahui vektor vektor a =   1   1   b= 2 , c=    1 

 0  4   x

   

dan a . ( b + c ) = a . a Nilai x = ...

a. x = 1 ,

y=3 , z=3

b. x = 3 , y = 3 , z = 1 c. x = – 1 , y = 1 , z = 1 d. x = 3 ,

y=–1 , z=1

e. x = 1 ,

y=–1 , z=3

 3  2 1        13. Jika a = 4 , b =  5  , c =  1  dan p = a – 2b + 3c , maka panjang p = ...     2  3  9  a. 12

b. 4 6

4 3   

14. Jika a =

c 3 14

,

a. – 1 b. – 2

b =

c. – 3

d. 3 17

e. 2 38

2  1  2 , c = 7  , jika c = p a + q b , maka p.q = …     d. 2

e. 3

15. Jika | a | = 10 , | b | = 6 dan  ( a , b ) = 60o maka | a - b | = … a. 4

b. 8

c. 14

d. 2 17 e. 2 19

16. Pada segi empat sembarang OABC , S dan T masing-masing titk tengah OB dan AC . Jika u = OA

a.

c.

1

v = OB dan w = OC maka ST =…

u 

1

2

1 1 1 1 v  w b.  u  v  w 2 2 2 2 2

1

u 

1

2

e.

,

1 2

u 

1 v  w 2 2

d.

1 2

u 

1

1 v  w 2 2

1

1 v  w 2 2

17. Diketahui titik A ( 0 , 1 , 5 ) , B ( 0 , - 4 , 5 ) dan C ( 3 , 1 , - 2 ) . Titik P membagi AB sehingga AP : PB = 3 : 2 maka vektor yang diwakili PC adalah ...

 3  3  3  3 3            a.  1   b.  3 c.  3  d.  3  e. 3   7   3   7   7  7 

18. Diketahui A ( - 2 , - 2 , - 2 ) , B ( 1 , 0 , - 1 ) dan titik M membagi AB di luar sedemikian sehingga MB : MA = 1 : 2 Panjang vektor posisi M adalah... a.

b.

13

20 c.

d.

34

42 e.

50

19. Diketahui segi tiga ABC dengan A ( -2 , 3 , 5 ) B ( 4 , 1 , 3 ) C ( 4 , -1 , 1 ) . Koordinat titik berat segi tiga ABC adalah... a. ( 2 , 3 , 3 )

b. ( 2 , 3 , 9 )

c. ( 2 , 1 , 9 )

d. ( 2 , 1 , 3 )

e. ( 3 , 1

1 2

, 4 12 )

20. Diketahui P ( -3 , -1 , -5 ) , Q ( -1 , 2 , 0 ) dan R ( 1 , 2 , -2 )Jika PQ  a dan QR  PR  b maka a . b = ... a. 16 b. 22

c. 26 d. 30

e. 38

 1  1  0       21. Diketahui a   1 , b   2 , c   4 dan a . ( b + c ) = a . a , nilai x = …  1  1  x a. – 11 b. – 10

c. 8 d. 10

e. 11

3   2    3  adalah… 22. Besar sudut antara a  2 , b      4  3  a. 180o b. 90o

c. 60o

d. 30o

e. 0o

23. Diketahui titik titik A ( 2 , -1 , 4 ) , B ( 4 , 1 , 3 ) dan C ( 2 , 0 , 5 ) . Nilai kosinus sudut antara AB dan AC adalah... a.

1 6

b.

1 6

2

c.

1 3

d.

1 3

2

e.

1 2

2

 3   1 , dan b  24. Diketahui a     2 a. – 5 b. – 1 c. 0

d. 1

 2   4 saling tegak lurus nilai x adalah ...    x 

e. 5

25. Diketahui P ( a , 0 , 3 ) , Q ( 0 , 6 , 5 ) dan R ( 2 , 7 , c ) agar PQ tegak lurus QR , maka a – c = … a. – 3 b. – 2 c. 2 d. 3

e. 5