Resistencia De Los Materiales m174w

INDICE

1. Introducción………………………………………………………………………...…pág. 2

2. Objetivos……………………………………………………………………………….pag.3 3. Justificación……………………………………………………………………...……pág. 4 4. Marco teórico…………………………………………………………………….…...pág. 5

5. Ejercicios resueltos…………………………………………………….……..……Pág. 21 6. Ejercicios Propuestos………………………………………………………………Pág.27 7. Conclusiones……………………………………………………………………..…Pág.28 8. Recomendaciones…………………………………………………………………Pág. 29 9. Referencias…………………………………………………………………………Pág.30

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INTRODUCCIÓN

Toda estructura está conformada por un conjunto de elementos que se combinan de forma ordenada para cumplir una función dada, de esta manera la estructura debe cumplir la función a la que está destinada con un grado razonable de seguridad y de manera que tenga un comportamiento adecuado en las condiciones normales de servicio, cada uno de los elementos que intervienen en este comportamiento son muy importantes sin embargo son las columnas las responsables de dar estabilidad a una estructura. Las columnas son elementos que sostienen cargas, sometidas principalmente a compresión, por lo tanto el diseño está basado en la fuerza interna, conjuntamente debido a las condiciones propias de las columnas. El diseño de las columnas consiste básicamente en seleccionar una sección transversal adecuada para la misma, con armadura para soportar las combinaciones requeridas de cargas axiales y momentos incluyendo la consideración de los efectos de la esbeltez de la columna. El presente trabajo resume las características y métodos para determinar la carga critica, pandeo, esfuerzo máximo y esbeltez.

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL: “La estabilidad de columnas mediante sus esfuerzos. “

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

 Determinar la carga critica, esfuerzo máximo y pandeo de columnas  Aplicar el teorema de Euler  Aprender a identificar los tipos de esfuerzo al cual está sometido una columna.  Determinar las consideraciones en el diseño para columnas esbeltas para llevar a la práctica.

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JUSTIFICACIÓN:

El presente trabajo tiene como único fin aportar a la formación del alumno de ingeniería civil, en temas referentes esfuerzos de columnas las cuales serán de gran importancia en el campo laboral, siendo uno de los requisitos más importantes en el curso de Resistencia de Materiales II, la investigación.

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MARCO TEÓRICO ESTABILIDAD DE ESTRUCTURAS Suponga que debe diseñarse una columna AB longitud L, para soportar una carga P (figura 1). Imagine que P es una carga axial céntrica y que la columna tiene sus dos extremos articulados. Si el área transversal A de la columna es tal que el valor 𝜎 = 𝑃/𝐴 del esfuerzo en la sección transversal es menor que el valor permisible 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 para el material utilizado y si la deformación 𝛿 = 𝑃𝐿/𝐴𝐸 cae dentro de las especificaciones dadas, podría concluirse que la columna se ha diseñado bien. Sin embargo, puede suceder que al aplicar la carga la columna se pandee, en lugar de permanecer recta, y se curve repentinamente (figura 2). La figura 3 muestra una columna, similar a la de la fotografía que da inicio a este capítulo, después de que se le ha cargado de modo tal que ya no es recta; la columna se pandeó. Obviamente, una columna que se panda bajo la carga especificada está especificada está mal diseñada.

Una columna de acero de ala ancha está siendo probada en la máquina universal de cinco millones de libras de la Lehigh University, en Bethelehem, Pennsylvania.

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Figura 3 Columna pandeanda Antes de estudiar la estabilidad de la s coumnas elásticas, será necsario familiarizarse con el problema considerado un modelo simplificado que consta de dos barras rígidas AC y BC, conectadas en C por un pasador y un resorte torsional de constante K (Figura 4)

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Si las dos barras y las dos fuerzas P y P’ están perfectamente alineadas, el sistema permanecerá en la posición de equilibrio que muestra la figura 5.a siempre que no sea perturbado. Pero suponga que C se mueve ligeramente a la derecha, de modo que cada barra forma ahora un pequeño ángulo ∆𝜃 con la vertical (Figura 5.b). ¿Volverá el sistema a su posición de equilibrio original o se alejará aún más de dicha posición? En el primer caso se dice que el sistema es estable en el segundo, que es inestable. Para determinar si el sistema de dos barras es estable o inestable, se considera las fuerzas que actúan sobre la barra AC (Figura 6). Estas fuerzas constan de dos pares, el formado por P y P’, de momento 𝑃(𝐿/2)𝑠𝑒𝑛∆𝜃, que tiende a alejar La barra de la vertical y el par M, ejercicio por el resorte, que trata de regresar la barra a su posición inicial. Dado que el ángulo de deflexión del resorte es 2∆𝜃, el momento del par M es 𝑀 = 𝐾(2∆𝜃). Si el momento del segundo par es mayor que el del primero, el sistema tiende a retornar a su posición original de equilibrio; el sistema es estable. Si el momento del primer par es mayor que el momento del segundo, el sistema tiende a alejarse de su posición original de equilibrio; el sistema es inestable. El valor de la carga para a cual los dos pares son iguales es la carga crítica 𝑃𝑐𝑟′ se tiene: 𝐿 𝑃𝑐𝑟 ( ) 𝑠𝑒𝑛∆𝜃 = 𝑘(2∆𝜃) 2

(1)

Y como 𝑠𝑒𝑛∆𝜃 ≈ ∆𝜃, 𝑃𝑐𝑟 = 4𝐾/𝐿

(2)

Claramente se ve que el sistema es estable para 𝑃 < 𝑃𝐶𝑅 . Es decir, para los valores de la carga menores que el valor crítico, y no estable para 𝑃 > 𝑃𝐶𝑅 . Suponga que una carga 𝑃 > 𝑃𝐶𝑅 .

Se ha aplicado a las dos barras de la figura

10.4 y que el sistema ha sido perturbado. Como 𝑃 > 𝑃𝐶𝑅 . El sistema se alejara de la vertical y luego de algunas oscilaciones, se establecerá en una Nueva posición de equilibrio (figura 10.7a). Considerando el equilibrio del cuerpo libre Resistencia de los Materiales 2

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AC (figura 10.7b). Se obtiene una ecuación similar a la ecuación (10.1). Pero que incluye le ángulo finito θ. 𝐿 𝑃 ( ) sin 𝜃 = 𝐾(2𝜃) 2

𝑃𝐿 𝜃 = 4𝐾 sin 𝜃

(3)

El valor de θ que corresponde a la posición de equilibrio de la figura 10.7 se obtiene resolviendo la ecuación (3). Por prueba y error. Sin embargo, se observa que, para cualquier valor positivo de θ, se tiene que 𝑠𝑒𝑛 (𝜃) < 𝜃. Así, la ecuación 10.3 da u valor de θ diferente de cero solo cuando el miembro izquierdo de la ecuación es mayor que uno. Recordando la ecuación (10.2). Se observa que ese es el caso aquí. Ya que se ha supuesto 𝑃 > 𝑃𝐶𝑅 . Pero si hubiera supuesto 𝑃 < 𝑃𝐶𝑅 . La segunda posición de equilibrio mostrada en la figura 10.7 no existiría y la única posición de equilibrio seria la correspondiente a 𝜃 = 0. Así se verifica que, para 𝑃 < 𝑃𝐶𝑅 . la posición 𝜃 = 0 debe ser estable. Esta observación se aplica a estructuras y sistemas mecánicos en general y se usara en la próxima sección. Donde se estudiara la estabilidad de las columnas elástica. Resistencia de los Materiales 2

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FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS ARTICULADAS Con base en la columna AB de la sección anterior (figura 1), se busca hallar el valor crítico de la carga P, es decir, el valor Pcr de la carga para el cual la posición de la figura 1 deja de ser estable. Si P > P cr la menor falta de alineación o perturbación provocará que la columna se doble, es decir, que adopte una forma curva como en la figura 2.

El propósito será determinar las condiciones para que la configuración de la figura 2 sea posible. Como una columna puede considerarse como una viga en posición vertical y bajo carga axial, y se denotará por x la distancia desde el extremo A de la columna. Hasta el punto dado Q de la curva elástica y por y la deflexión de dicho punto. El eje x será vertical y dirigido hacia abajo y el eje Y horizontal y dirigido a la derecha. Considerando el equilibrio del cuerpo libre de AQ, se halla en el momento en Q es 𝑀 = −𝑃𝑦. Sustituyendo este valor de M en la ecuación. d2 M P   y 2 dx EI EI

(4)

d2 P  y0 2 dx EI

(5)

Transponiendo el último termino:

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Esta ecuación diferencial es lineal, homogénea, de segundo orden, con coeficientes constantes. Haciendo. P2 

P EI

(6)

La ecuación (5) se escribe d2y  p2 y  0 2 dx

(7)

Que es la misma ecuación diferencial que la del movimiento armónico simple excepto, por supuesto, que en la variable independiente es x en lugar de t. la solución general es: y  Asenpx  B cos px

Como puede verificarse con facilidad, calculando 𝑑2𝑦/𝑑𝑥2 y sustituyendo (y) y 𝑑2𝑦/𝑑𝑥2 en la ecuación Recordando las condiciones de frontera que deben satisfacerse en los extremos A y B de la columna, primero se hace 𝑥 = 0 y 𝑦 = 0 en la ecuación y se tiene que B=0. Sustituyendo enseguida 𝑥 = 𝐿, 𝑦 = 0 se obtiene AsenpL  0

Esta ecuación se satisface para 𝐴 = 0 o si sen 𝑝𝐿 = 0. Si ocurre lo primero la ecuación se reduce a 𝑦 = 0 y la columna es recta si se satisface la segunda 𝑝𝐿 = 𝑛  o sustituyendo p en y despejando P. n 2 2 EI P L2

(10)

El menor de los valores de P definido por la ecuación (10) es el que corresponde a n=1. Entonces Pcr 

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 2 EI L2

(11)

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Esta es la fórmula de Euler, llamada así en honor del matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) sustituyendo esta expresión par P en la Ecuación (6) y el valor obtenido para p en la ecuación (8) y recordando que B=0, se tiene y  Asen

x

(12)

L

Que es la ecuación de la curva elástica después de haberse doblado la columna (fig2) note que el valor de la deflexión máxima 𝑦𝑚 = 𝐴, es indeterminado. Esto se debe a que la ecuación diferencial (5) es una aproximación línea lisada de la ecuación diferencial real para la curva elástica. Si 𝑃 < 𝑃𝑐𝑟 la condición 𝑠𝑒𝑛 𝑝𝐿 = 0 no puede satisfacerse, por lo que la solución dada por la ecuación (12) no existe. Debe tenerse entonces 𝐴 = 0 y la única configuración posible para la columna es una línea recta. Así para 𝑃 < 𝑃𝑐𝑟 la forma recta de la figura 1 es estable. En el caso de una columna con sección circular o cuadrada, el momento de inercia I de la sección transversal es el mismo con respecto a cualquier eje centroidal y la columna se curvara en un plano u otro, excepto bajo las condiciones que se impongan a los extremos. Para otras sección la carga critica debe calcularse haciendo I=Imin en la ecuación (11) si ocurre la curvatura tendrá lugar en un plano perpendicular al correspondiente eje de inercia principal. El valor del esfuerzo correspondiente a la carga critica es el esfuerzo crítico y se lo designa por  cr . Retomando la ecuación (11) y haciendo I=Ar 2, donde A es el área de la sección transversal y r el radio de giro se tiene

 cr 

Pcr  2 EAr 2  A AL2

 cr 

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 2E ( L / r )2

(13)

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La cantidad L/r es la relación de esbeltez de la columna. Es claro, dado la anotación del párrafo precedente, que el mínimo valor del radio de giro r debe usarse al calcular la relación de esfuerzo crítico de la columna. La ecuación (13) muestra que el esfuerzo critico es proporcional al módulo de elasticidad del material e inversamente proporcional al cuadrado de la relación de esbeltez de la columna la gráfica de  cr contra L/r se muestra en la figura (9) para el acero estructural suponiendo

E=200 GPa y  cr =250 MPa debe

recordarse que al elaborar la gráfica  cr no se ha usado el factor de seguridad. También se observa que, si el valor obtenido para  cr de la ecuación (13) o de la curva de la fig (9) es mayor que el límite de fluencia  y este valor no es de interés pues la columna fluirá a compresión y dejara de ser clásica antes de curvarse.

El análisis del comportamiento de una columna se ha basado hasta aquí en la hipótesis de una carga céntrica perfectamente alineada. En la práctica este caso es raro por lo que en la sección (5) se tendrá en cuenta el efecto de excentricidad de la carga. Este método no conducirá a una transición más suave de la falla por Resistencia de los Materiales 2

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curvatura de columnas largas y delgadas a la falla por compresión de columnas cortas. También dará una visión más realista entre la relación de esbeltez de una columna y la carga que la hace fallar.

EXTENCION DE LA FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES DE EXTREMO La fórmula de Euler (11) se dedujo en la sección precedente para una columna con extremos articulados y ahora se estudiara como obtener Pcr para columnas con diferentes condiciones de extremo. En el caso de una columna con un extremo libre en A y empotrada en B con la carga P figura (10a) se observa que la columna se comportara como la mitad superior de una columna articulada figura (10b) la carga critica para la columna de la figura (10 a) es la misma que para la columna articulada de la figura (10b) y puede obtenerse mediante la fórmula de Euler.

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Usando una longitud igual al doble de la longitud real L de la columna dada. Se dice que la longitud efectiva Le dé la columna de la figura 9 es igual a 2L en la fórmula de Euler: 𝜋2 𝐸𝐼

𝑃𝑐𝑟 = (𝐿

𝑒)

(11)

2

En forma similar se encuentra el esfuerzo crítico mediante la ecuación 𝜎𝑐𝑟 =

𝜋2 𝐸𝐼

(13)

2

𝐿 ( 𝑒) 𝑟

La cantidad

𝐿𝑒 𝑟

es la relación efectiva de esbeltez de la columna y en el caso

considerado aquí, es igual a

2𝐿 𝑟

.

Sea una columna con dos extremos empotrados A y B que soporta una carga P (figura 11). La simetría de los apoyos y de la carga con respecto a un eje horizontal a través del punto medio C requiere que la fuerza cortante en C y los componentes horizontales de las reacciones en A y B sean cero (figura 12.) se sigue que las restricciones impuestas sobre la mitad superior AC de la columna por el soporte en A y por la mitad inferior CB son idénticos (figura 13). La porción AC debe ser simétrica con respecto a su punto medio D y éste debe ser un punto de inflexión, con momento flector cero. Un rozamiento similar muestra que el momento flector en el punto medio E de la mitad inferior de la columna también debe ser cero (Figura 14a). Puesto que el momento en los extremos de una columna articulada es cero, se tiene que la porción DE de la columna de la figura 14ª debe conducirse como una columna articulada (Figura 14b). Así se concluye 𝐿

que la longitud efectiva de una columna con dos extremos fijos es 𝐿𝑒 = 2.

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En el caso de una columna con un extremo fijo B y un extremo articulado A que sostiene una carga P (figura 10.15), deberá escribirse y resolverse la ecuación diferencial de la curva elástica para determina la longitud efectiva de la columna. En el diagrama de cuerpo libre de la columna entera (fig. 10.16), se observa primero que se ejerce una fuerza transversal V en el extremo A, además de la fuerza axial P, y que V es estáticamente indeterminada. Considerando ahora el diagrama de cuerpo libre de una porción AQ de la columna (fig. 10.17), se halla el momento flector en Q es: Resistencia de los Materiales 2

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M   Py  Vx

Sustituyendo este valor en la ecuación

d2y M P V   y x 2 dx EI EI EI Transponiendo el término que contiene a Y y haciendo

P2 

P EI

(6)

Como se hizo en la sección 3, se escribe

d2y V  P2 y   x 2 dx EI

(14)

Esta ecuación diferencia es lineal, no homogénea y se segundo orden con coeficientes constantes. Al observar que los izquierdos de las ecuaciones (7) y (14) son idénticos, se concluye que es posible obtener la solución general de la ecuación (10.14) añadiendo una solución particular de la ecuación (14) a la solución (8) obtenida para la ecuación (7). Es fácil ver que la solución es y

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V x P 2 EI Página 16

O recordando (6) y

V x P

(15)

Añadiendo las soluciones, (8) y (15) la solución general de la ecuación (14) se expresa como:

y  AsenPx  B cos Px 

V x P

(16)

Las condiciones A y B y la magnitud V de la fuerza transversal V no conocida se obtienen de las condiciones de frontera indicada en la figura. Haciendo primero x=0, y=0 en la ecuación (16), se halla que B = 0. Haciendo x = L, y = 0, se obtiene: AsenPL 

V L P

(17)

Finalmente, calculando dy V  AP cos Px  dx P

Y

haciendo,

x

AP cos PL 

=

L,

dy 0 dx

resulta.(18)

V P

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones anteriores, la ecuación solo puede existir sólo si

tan PL  PL

(19)

Resolviendo esta ecuación por prueba y error, se encuentra que el menor valor de PL que satisface a la ecuación de la anterior (20)

PL  4.4934

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Llevando el valor de P definido por PL, despejamos P, se obtiene la carga crítica de la columna de la figura.

20.19 EI Pcr  L2

(21)

La longitud efectiva de la columna se encuentra igualando los de la derecha de las ecuaciones anteriores.

 2 EI 2 c

L



20.19 EI L2

Despejando L2c se obtiene que la longitud efectiva de una columna con un extremo fijo y el otro articulado es Lc  0.699L  0.7 L En las figuras siguientes se muestran las efectivas correspondientes a las diferentes condiciones de extremo considerada para cada sección.

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COLUMNAS ESBELTAS: Una columna es esbelta si sus dimensiones transversales son pequeñas respecto a su longitud o también si su relación de esbeltez definida como la longitud sobre el radio de giro “l / r” supera ciertos límites especificados. El primero que intento resolver el problema fue el matemático Suizo Leonhard Euler y sus resultados no fueron aceptados a pesar de que treinta años más tarde P. Van Musschenbroek logro demostrar mediante análisis matemático la confiabilidad de los resultados de Euler. Por ejemplo Coulomb ( 1776 ) sostenía que “ La resistencia de una columna era únicamente función de su sección transversal y no dependía de su longitud “ tesis apoyada por numerosos ensayos en columnas de madera y hierro de longitud relativamente corta. Hasta ahora se ha estudiado que cuando un elemento de hormigón armado se somete a compresión simple, la falla se presentara ya sea por agotamiento del hormigón a compresión o por fluencia del acero a tracción. En estos casos no se ha considerado el efecto de la esbeltez porque se ha asumido por hipótesis que se trata de una columna corta es decir de baja esbeltez.

EFECTOS DE LA ESBELTEZ: La esbeltez de una columna se expresa en términos de su relación de esbeltez kℓu/r, donde k es un factor de longitud efectiva (que depende de las condiciones de vínculo de los extremos de la columna), ℓu es la longitud de la columna entre apoyos y r es el radio de giro de la sección transversal de la columna. En general, una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas en relación con su longitud. Una "columna esbelta" se define como una columna cuya resistencia se reduce debido a las deformaciones de segundo orden (momentos de segundo orden). Según estas definiciones, una columna con una determinada relación de esbeltez se puede considerar como columna corta bajo un determinado conjunto de restricciones, y como columna esbelta bajo otro conjunto de restricciones. Resistencia de los Materiales 2

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Con el empleo de hormigones y armaduras de mayor resistencia, y con métodos de análisis y diseño más precisos, es posible diseñar secciones de menores dimensiones, lo cual da origen a elementos más esbeltos. En consecuencia, la necesidad de contar con procedimientos de diseño confiable y racional para las columnas esbeltas se convierte así en una consideración importante en el diseño de columnas.

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EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIO 1 Una columna articulada de 2m de longitud y sección cuadrada debe hacerse de madera. Suponiendo 𝐸 = 13 𝐺𝑃𝑎 y 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 = 12 𝑀𝑝𝑎 y usando un factor de seguridad de 2.5. Para calcular la carga crítica de pandeo de Euler, determine el tamaño de la sección transversal si la columna debe soportar. a) Una carga de 100 KN. b) Una carga de 200 KN. SOLUCION a) Para una carga de 100 KN. (usando el factor de seguridad especificado) 𝑃𝐶𝑅 = 2.5(100𝐾𝑁) = 250

𝐿 = 2𝑚

𝐸 = 13 𝐺𝑃𝑎

Según la fórmula de Euler (10.11) y resolviendo para I 𝐼=

𝑃𝐶𝑅 𝐿2 (250 ∗ 103 𝑁) ∗ (2𝑚2 ) = = 7.794 ∗ 10−6 𝑚4 𝜋 2𝐸 𝜋 2 ∗ (13 ∗ 109 𝑃𝑎)

𝑎4

Pero 𝐼 = 12 , por tratarse de un cuadrado de lado “a”, entonces 𝑎4

12

= 7.794 ∗ 10−6 𝑚2 𝑎 = 98.3𝑚𝑚 ≈ 100𝑚𝑚

Se verifica el valor del esfuerzo normal de la columna 𝑃 100𝐾𝑁 𝜎= = = 10𝑀𝑃𝑎 𝐴 (0.100𝑚)2 A qué 𝜎 es menor que el esfuerzo permisible, una sección transversal de 100x100mm es aceptable. b) Para una carga de 200 KN. Resolviendo la ecuación de Euler (10.11) Para un 𝑃𝐶𝑅 = 2.5(100𝐾𝑁 ) = 500𝐾𝑁 𝐿 = 2𝑚 𝐸 = 13 𝐺𝑃𝑎 Se tiene que: 𝐼 = 15.588 ∗ 10−6 𝑚4 𝑎4 12

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= 15.588 ∗ 10−6 𝑚4 𝑎 = 116.95𝑚𝑚

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El valor del esfuerzo normal es: 𝑃 200𝐾𝑁 𝜎= = = 14.62𝑀𝑃𝑎 𝐴 (0.11695𝑚)2 Dado que este valor es mayor que el esfuerzo permisible, las dimensiones obtenidas no son aceptables y debe elegirse una sección con base en su resistencia a compresión. Se escribe. 𝐴=

𝑃 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚

=

200𝐾𝑁 = 16.67 ∗ 10−3 𝑚2 12𝑀𝑃𝑎

𝑎2 = 16.67 ∗ 10−3 𝑚2

𝑎 = 129.1𝑚𝑚

Una sección trasversal de 130x130mm. Es aceptable.

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EJERCICIO 2 Una columna de aluminio, de longitud L y sección transversal rectangular, tiene un extremo fijo B y soporta una carga céntrica en A. Dos placas lisas y redondeadas restringen el movimiento del extremo A en uno de los planos verticales de simetría de la columna, pero le permiten moverse en el otro plano. a) Determine la relación 𝑎/𝑏 de los lados de la sección correspondiente al diseño más eficiente contra pandeo. b) Diseñe la sección transversal más eficiente para la columna, si 𝐿 = 20 𝑖𝑛., 𝐸 = 10.1 × 106 𝑝𝑠𝑖, 𝑃 = 5 𝑘𝑖𝑝𝑠, y el factor de seguridad es 2.5.

SOLUCIÓN 𝐏𝐚𝐧𝐝𝐞𝐨 𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝑥𝑦. En la figura 18 se observa que la longitud efectiva de la columna con respecto al pandeo en este plano es 𝐿𝑒 = 0.7𝐿. El radio de giro 𝑟𝑧 de la sección transversal se obtiene escribiendo: 𝐼𝑥 = y, como 𝐼𝑧 =

𝐴𝑟𝑧2 ,

𝑟𝑧2

1 𝑏𝑎3 12

=

𝐼𝑧 𝐴

=

𝐴 = 𝑎𝑏

1 𝑏𝑎3 12

𝑎𝑏

=

𝑎2 12

𝑟𝑧 =

𝑎 √12

La relación efectiva de esbetez de la columna con respecto al pandeo en el plano xy es 𝐿𝑒 0.7𝐿 = 𝑎 𝑟𝑧 √12 Resistencia de los Materiales 2

(1)

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𝐏𝐚𝐧𝐝𝐞𝐨 𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝑥𝑧. La longitud efectiva de la columna con respecto al pandeo en este plano es 𝐿𝑒 = 2𝐿, y el correspondiente radio de giro es 𝑟𝑦 =

𝑏 √12

.

Así 𝐿𝑒 2𝐿 = 𝑏 𝑟𝑧 √12

(2)

a. 𝐃𝐢𝐬𝐞ñ𝐨 𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐚𝐧𝐝𝐞𝐨. El diseño más eficiente es aquel para el cual los esfuerzos críticos correspondiente a los dos posibles modos de pandeo son iguales. Refiriendose a la ecuación (a), se tiene que éste será el caso si los dos valores obtenidos arriba para la relación efectiva de la esbeltez son iguales. Se escribe 0.7𝐿 2𝐿 𝑎 = 𝑏 √12 √12 y, dspejando

𝑎 𝑏

, 𝑎 0.7 = 𝑏 2 𝑎 = 0.35 𝑏

b. Diseño para datos dados. (Como 𝐹𝑆 = 2.5 ) 𝑃𝐶𝑅 = (𝐹. 𝑆. )𝑃 = 2.5(5𝑘𝑖𝑝𝑠) = 12.5𝑘𝑖𝑝𝑠 Usando 𝑎 = 0.35𝑏, se tiene 𝐴 = 𝑎𝑏 = 0.35𝑏2 y 𝜎𝐶𝑟 =

𝑃𝑐𝑟 1500 𝑙𝑏 = 𝐴 0.35𝑏2

Haciendo 𝐿 = 20𝑖𝑛. En la ecuación (2), se tiene E,

𝐿𝑒 𝑟𝑦

𝐿𝑒 𝑟𝑦

=

138.6 𝑏

, sustituyendo

y 𝜎𝐶𝑟 en la ecuación (10.13)’, se tiene: 𝜎𝐶𝑟 =

𝜋2 𝐸 2

𝐿 ( 𝑒) 𝑟

1500 𝑙𝑏 0.35𝑏2

=

𝜋2 (10.1∗106 𝑝𝑠𝑖) 138.6 2 ) 𝑏

(

𝑏 = 1.620𝑖𝑛 𝑎 = 0.35𝑏 → 𝑎 = 0.567𝑖𝑛. Resistencia de los Materiales 2

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EJERCICIO 3 La columna uniforme AB consta de una sección de 8 pies de tubo estructural cuya sección se muestra. a) Usando la fórmula de Euler con un factor de seguridad de 2, halle la carga céntrica isible para la columna y el correspondiente esfuerzo normal. b) si la carga permisible, hallada en la parte a, se aplica como se muestra en un punto a 0.75 pulgadas del eje geométrico de la columna, determine la deflexión horizontal del tope de la columna y el esfuerzo normal máximo en la columna. Considere E=29x106 psi.

SOLUCION Longitud efectiva: Como la columna tiene un extremo fijo y uno libre, su longitud efectiva es: Le=2(8 pies) =16 pies = 192 pulgadas.

Carga crítica: usando la fórmula de Euler se escribe

Pcr 

 2 EI L2c



 2 (29*106 psi)(8 pu lg 4 ) (192 pu lg) 2

Pcr  62.1kips

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a) Carga isible y esfuerzo. Para un factor de seguridad de 2, se tiene Pperm 

Pcr 62.1kips  F .S . 2

Pperm  31.05kips



Pperm A



31.1kips 3.54 pu lg 2

  8.79ksi b) Carga excéntrica. Obsérvese q la columna AB y su carga son idénticas a la mitad superior de la columna que se utilizó en la deducción de las fórmulas de la secante; se concluye que la fórmula de la sección 10.5 se P 1 aplican directamente al presente caso. Recordando perm  y usando Pcr 2

  la ecuación ymax  e  sec 2  punto A:

  ymax  e  sec 2 

 P  1 , se calcula la deflexión horizontal de Pcr 

 P     1 = 0.75 pu lg   sec  1 Pcr 2 2   

 (0.75 pu lg)(2.252 1)

Ym=

0.939 pulg

El máximo esfuerzo normal se obtiene de la ecuación

 max 



P  ec  1  2 sec A r 2

31.1kips 3.54 pu lg 2

P   Pcr 

 0.75*2    1  1.502  sec  2 2   

8.79ksi  1  0.667(2.252)  max  22.0ksi Resistencia de los Materiales 2

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EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

EJERCICIO 3

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CONCLUSIONES

 Se pudo aplicar en los ejercicios la ecuación de Euler para hallar la carga crítica.  El pandeo se producirá de acuerdo a la longitud y a los apoyos al cual está la columna.  Se pudo obtener la excentricidad (e) de la carga aplicada a la columna.  Se obtuvo el esfuerzo máximo a través de una carga puntual.

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RECOMENDACIONES  A demás de los procedimientos teóricos se bebe realizar ensayos de laboratorio para poder aplicar de manera más dinámica lo aprendido en clase.

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REFERENCIAS

 MORALES MORALES, ROBERTO, Diseño en Concreto Armado, Fondo Editorial I.C.G, Lima 2006.  BEER, RUSELL JOHNSTON y DEWOLF (2001).Columnas. Mecánica de Materiales (pp.606-668).México. Tercera Edición.

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