Regimen Permanente 1c4yl
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RÉGIMEN PERMANENTE
Apuntes Teoría de Circuitos. Universidad de La Laguna – www.ull.es
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial.
TABLA DE CONTENIDO TABLA DE CONTENIDO.....................................................................................................2 1.
INTRODUCCIÓN......................................................................................................3
2.
CONCEPTOS BÁSICOS...........................................................................................3 2.1 2.2 2.3
3.
CIRCUITOS DE CONTINUA ........................................................................................3 CIRCUITOS DE ALTERNA (SENOIDALES) ..................................................................3 RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE .........................................4 CIRCUITOS DE CONTINUA EN RÉGIMEN PERMANENTE..........................4
3.1 CARACTERÍSTICAS DE ESTOS PROBLEMAS ..............................................................4 3.2 RESOLUCIÓN DE ESTOS PROBLEMAS .......................................................................5 3.3 EJEMPLOS ................................................................................................................5 3.3.1 Ejemplo 1..............................................................................................................5 3.3.2 Ejemplo 2..............................................................................................................7 4.
CIRCUITOS DE ALTERNA SENOIDAL EN RÉGIMEN PERMANENTE ......9 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 4.6.6
CONCEPTOS .............................................................................................................9 LOS FASORES Y SUS PROPIEDADES ........................................................................10 Ejemplo...............................................................................................................10 El famoso √2 en los fasores ................................................................................10 Propiedades ........................................................................................................11 LEYES DE KIRCHOFF .............................................................................................12 Primera ley de Kirchoff ......................................................................................12 Segunda ley de Kirchoff......................................................................................12 EL CONCEPTO DE IMPEDANCIA ..............................................................................12 Impedancia de una resistencia ...........................................................................13 Impedancia de una inductancia..........................................................................14 Impedancia de un condensador ..........................................................................14 Ejemplo...............................................................................................................14 Asociación de impedancias.................................................................................15 EJEMPLO SENCILLO DE RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LOS FASORES ...............15 POTENCIAS ............................................................................................................16 Potencia instantánea ..........................................................................................16 Potencia media (activa)......................................................................................17 Potencia aparente...............................................................................................18 Potencia reactiva................................................................................................18 Otras fórmulas para el cálculo de potencias en las impedancias ......................19 Teorema de Boucherot........................................................................................20
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial.
1.
INTRODUCCIÓN
Los circuitos eléctricos más simples (con resistencias, inductancias y condensadores) son sistemas lineales. Cuando son alimentados por una señal periódica cualquier salida (es decir, cualquier corriente o tensión del circuito) es, al cabo de un cierto tiempo, otra señal periódica, aunque con una forma que puede ser diferente que la de la señal de entrada. Cuando se llega a esta situación estable en que la salida ya es una señal periódica si las excitaciones (fuentes) también lo son estaremos en lo que se denomina régimen permanente. El período transcurrido entre que se conecta el circuito y se llega al régimen permanente se denomina régimen transitorio, tiempo durante el cual el circuito aún no está estabilizado. La duración del régimen transitorio dependerá de la configuración particular de nuestro circuito.
2. CONCEPTOS BÁSICOS 2.1
Circuitos de continua
Si en nuestro circuito todas las fuentes de alimentación independientes (de tensión o de corriente) tienen valores constantes, decimos que estamos trabajando con un circuito de corriente continua. Y, dado que los circuitos con los que trabajamos son sistemas lineales, se puede demostrar que, en un circuito de continua, cualquier corriente o tensión acaba siendo un valor constante una vez alcanzado el régimen permanente.
2.2
Circuitos de alterna (senoidales)
Si en nuestro circuito todas las fuentes de alimentación independientes (de tensión o de corriente) son senoidales y de una misma frecuencia f, decimos que estamos trabajando con un circuito de corriente alterna senoidal. Y, dado que los circuitos con los que trabajamos son sistemas lineales, se puede demostrar que, en un circuito de corriente alterna senoidal cualquier corriente o tensión acaba siendo una señal senoidal de la misma frecuencia f que las fuentes de alimentación una vez alcanzado el régimen permanente. Es importante ver que estamos en un caso muy particular (aunque muy habitual en la práctica): •
Todas las fuentes de alimentación son senoidales
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Todas las fuentes tienen la misma frecuencia f (aunque cada una tendrá su amplitud y fase).
En este caso, podemos garantizar que, en régimen permanente (no así durante el transitorio) todas las tensiones y corrientes serán funciones senoidales de la misma frecuencia f. Si las fuentes fueran señales periódicas no senoidales la forma de las señales (corrientes y tensiones) en permanente no habría de ser la misma que la de las fuentes. Por ejemplo, si metemos una señal periódica cuadrada probablemente ni las tensiones ni las corrientes sean cuadradas una vez alcanzado el régimen permanente. Serán señales periódicas pero con otra forma diferente.
2.3
Resolución de circuitos en régimen permanente
Hemos visto que cuando los circuitos son de continua o de alterna senoidal las corrientes y tensiones en régimen permanente tienen una forma simple (continua o senoidal). Esta propiedad nos permitirá resolver, como veremos más adelante, este tipo de circuitos de manera muy simple en régimen permanente, evitando tener que resolver complejas ecuaciones diferenciales. Aunque parezca que los circuitos de continua y de alterna senoidal sean sólo casos muy particulares, en la práctica suponen un porcentaje muy importante de los circuitos que nos encontraremos en la vida real. Por otro lado, el teorema de Fourier, nos permitirá descomponer cualquier señal periódica en una suma de una señal de continua más un número de señales senoidales. Aplicando el teorema de Fourier, convertiremos un problema de régimen permanente para una señal periódica de forma cualquiera, en una serie de problemas de continua y de alterna senoidal, que se resolverán de manera relativamente simple cada uno de ellos. Empecemos ya, pues, por estos casos más simples, es decir, veamos cómo resolver circuitos de continua y de alterna senoidal cuando sólo nos piden el régimen permanente (si nos piden también el transitorio no queda más remedio que recurrir a las ecuaciones diferenciales).
3. CIRCUITOS DE CONTINUA EN RÉGIMEN PERMANENTE 3.1
Características de estos problemas o
Todas las fuentes de alimentación independientes, de tensión o de corriente, son valores de continua (constantes)
o
Nos piden sólo el comportamiento del circuito en régimen permanente
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3.2
Resolución de estos problemas o
Al ser circuitos lineales, tenemos la garantía de que, en régimen permanente, cualquier tensión o corriente del circuito será constante.
o
En una inductancia V = Ldi/dt. Por tanto, si i es constante en régimen permanente V = 0 en régimen permanente. Una inductancia se comportará como un cortocircuito.
o
En un condensador i = CdV/dt. Por tanto, si V es constante en régimen permanente I = 0 en régimen permanente. Un condensador se comportará como un circuito abierto (corriente nula); la tensión será constante pero, ojo, no ha de ser 0, simplemente sabemos que será constante.
3.3
Ejemplos
3.3.1
Ejemplo 1
Para este circuito, la ecuación diferencial sería: 10 - R1I-L1dI/dt = 0 10 - 5I - 10-5dI/dt = 0 Podríamos resolver la ecuación diferencial que nos daría (suponiendo, por ejemplo, que I(0) = 0): •
I(t) = 2(1-e-500000t)
•
Vinductancia(t) = LdI/dt = 10e-500000t
•
Vresistencia(t) = RI = 10(1-e-500000t)
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. Si pintamos esas formas de onda obtenemos:
Vemos, que para este circuito en particular, a partir de un tiempo de 1.2*10-5s aproximadamente, podemos considerar que estamos en régimen permanente. Y vemos que, en régimen permanente: •
I = 2A , Vresistencia = 10V, Vinductancia = 0V.
Si sólo nos hubiera interesado el régimen permanente podríamos haber llegado más directamente a estos valores porque ya sabíamos que: •
La inductancia se comportaría como un cortocircuito Su tensión sería 0V en régimen permanente.
•
El circuito quedaría simplificado como:
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donde vemos claramente que I = 2A y la tensión en la resistencia 10V. Fijémonos que, aunque la tensión en la inductancia es 0V, su corriente no es 0A sino 2A. Al ser constante, su derivada es 0 y de ahí que la tensión sea nula. Como la tensión en la inductancia es 0V, la potencia que consume es 0W la energía acumulada en ella permanece constante, lo cual es lógico ya que la E = ½ LI2 . I es constante y, por tanto, la E es constante. Esta energía la ganó la inductancia durante el transitorio, en que su consumo de potencia era no nulo (V e I no eran 0 durante el transitorio).
3.3.2
Ejemplo 2
En el circuito de la figura en el momento de conectarse el circuito las tensiones son: VA = 3V; VB = 8V; VC = 6V Se pide calcular, en régimen permanente: •
VA , VB , VC
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Energía consumida por el conjunto de los 3 condensadores entre el instante de conexión del circuito y el momento en que se alcanza el régimen permanente
SOLUCIÓN: Inicialmente: VC3 (0) = VA(0) = 3V VC2 (0) = VB(0) - VA(0) = 5V VC1 (0) = VC(0) – VB(0) = -2V En régimen permanente: Los condensadores habrán ganado todos la misma cantidad de carga ∆Q, ya que están en serie. VC1 (tpermanente) = VC1 (0) + (1/C1)
∫
tpermanente
VC2 (tpermanente) = VC2 (0) + (1/C2)
∫
tpermanente
VC3 (tpermanente) = VC3 (0) + (1/C3)
∫
tpermanente
0
0
0
i (t )dt = VC1 (0) + ∆Q/C1
i (t )dt = VC2 (0) + ∆Q/C2
i (t )dt = VC3 (0) + ∆Q/C3
Por otro lado, en régimen permanente no circulará corriente (se comportan como un circuito abierto) por los condensadores con lo que VC = 12V = VC1 (tpermanente) + VC2 (tpermanente) + VC3 (tpermanente). VC = 12V porque en la resistencia no cae tensión al ser la corriente 0. Operando obtenemos ∆Q = 3.2727 µC y, a partir de las ecuaciones de arriba, la tensión de cada uno de los condensadores: VC1 (tpermanente) = VC1 (0) + ∆Q/C1 = 1.2727 V VC2 (tpermanente) = VC2 (0) + ∆Q/C2 = 6.6364 V VC3 (tpermanente) = VC3 (0) + ∆Q/C3 = 4.0909 V
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. Lógicamente las 3 tensiones suman 12V. Vemos que C1 ha ganado 3.2727 V, C2 ha ganado 1.6364 V, y C3 ha ganado 1.0909 V, de forma inversamente proporcional al valor de las capacidades (a más C se gana menos tensión a misma cantidad de carga). Finalmente: VA = VC3 = 4.0909 V VB = VA + VC2 = 10.7273 V VC = VB + VC3 = 12 V, como por otro lado ya sabíamos. Para la energía:
Energía inicial = ½ C1 VC21 (0) + ½ C2 VC22 (0) + ½ C3 VC23 (0) = 40.5 µJ Energía final = ½ C1 VC21 (tper ) + ½ C2 VC22 (tper ) + ½ C3 VC23 (tper ) = 69.955 µJ Donde tper es el tiempo ya en régimen permanente. La energía consumida por los condensadores será, pues: 69.955-40.5 = 29.455 µJ
4. CIRCUITOS DE ALTERNA SENOIDAL EN RÉGIMEN PERMANENTE 4.1
Conceptos •
Todas las entradas (fuentes) van a ser senoidales y de la misma frecuencia f
•
Como el circuito es un sistema lineal, todas las salidas en régimen permanente (tensiones y corrientes del circuito) van a ser senoidales y de la misma frecuencia f que las fuentes. Por tanto: o
Toda tensión va a ser, en permanente, de la forma V(t) = VMsin(wt + φv)
o
Toda corriente va a ser, en permanente, de la forma I(t) = IMsin(wt + φI)
donde w = 2πf Fijémonos en que, como todas las tensiones (o corrientes) son senoidales de la misma frecuencia f, sólo se distinguen unas de otras en su amplitud (VM o IM) y en su fase (φv o φI). Por ello, con dar de una señal su amplitud y fase automáticamente sabemos
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. cómo va a ser. Si una señal s(t) tiene una amplitud A y una fase φ, la señal será A*sin(wt+ φ)
4.2
Los fasores y sus propiedades
Hemos visto en el apartado anterior que con dar el valor de la amplitud A y la fase φ de una señal en régimen permanente senoidal lo estamos dando todo, puesta que ya sabemos que será una señal senoidal de la misma frecuencia que el resto de señales del circuito. Imaginemos un número complejo que tiene de módulo la amplitud A y de argumento (ángulo) la fase φ de una determinada señal senoidal. Ese número complejo que representa a esa señal senoidal es lo que se denomina fasor. Los fasores sólo tienen sentido si todas las señales del circuito son senoides de la misma frecuencia.
4.2.1
Ejemplo
Sea un circuito en que todas las fuentes son de frecuencia f = 50 Hz w = 2πf = 314.16 Hz. Cualquier tensión será de la forma: V(t) = VMsin(314.16t + φv) y se podrá representar por un número complejo de amplitud VM y argumento φv. Por ejemplo, si V(t) = 10sin(314.16t + 20º) El fasor V será el número complejo 10 a 20º = 9.3969 + 3.4202j En este documento representaremos los fasores (que no son sino números complejos) en negrita por cuestiones de claridad. Se llaman fasores porque su argumento representa, precisamente, la fase de una determinada señal senoidal. De igual forma, si tengo el fasor I = 10 + 10j = 14.142 a 45º, estará representando a la señal senoidal I(t) = 14.142 sin (wt + 45º), donde w será la correspondiente a la frecuencia de nuestro circuito, 314.16 rad/s en nuestro ejemplo.
4.2.2
El famoso √2 en los fasores
Por lo que hemos visto en el apartado anterior, lo normal sería que una señal de la forma s(t)=A*sin(wt+φ) se represente por un fasor S de amplitud A y argumento φ. Sin embargo, habitualmente, se suele usar un fasor con módulo A/√2 y argumento φ. La razón de esto es que el número A/√2 (valor máximo entre √2) coincide, en el caso de una señal senoidal (no en otras), con su valor eficaz. Y las fórmulas de potencia que veremos más adelante usan los valores eficaces y no los máximos. Si el módulo del fasor es directamente el valor eficaz de la señal en vez de su valor máximo, podremos poner directamente en las fórmulas de potencia los módulos de los fasores para que todo nos salga más sencillo. Sea como sea, lo importante de todo esto es ser coherente. En resumen, podemos: •
Hacer corresponder el módulo del fasor con la amplitud (valor máximo) de la senoide. Pero habrá que tener cuidado al usar las fórmulas de potencia de manera adecuada.
•
Hacer corresponder el módulo del fasor con el valor eficaz (valor máximo entre √2) de la senoide. Será directo usar las fórmulas de potencia de manera adecuada
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. pero hay que acordarse de dividir entre √2 para calcular el módulo del fasor a partir de la amplitud de la senoide y de multiplicar por √2 para calcular la amplitud de la senoide a partir del módulo del fasor. Esta segunda opción suele ser la más habitual, porque las fórmulas de potencia pueden usar directamente los módulos de los fasores y porque los módulos de los fasores indican directamente tensiones y corrientes eficaces, que es lo que normalmente marcan los voltímetros y amperímetros. Es importantísimo tener claro cómo estamos haciendo las cosas y ser coherentes con ello.
•
Por ejemplo, cuando en casa decimos que tenemos una tensión de 230V, es porque el valor eficaz es de 230V. Lo más normal es que usemos un fasor de módulo 230V para representar la tensión de casa. Supongamos que el argumento es 0º. Eso significaría que la tensión en casa serían 230√2(sin(wt)+0º) = 325sin(wt), con w = 2πf = 314.16 Hz, ya que en casa tenemos una f=50 Hz. Representamos V(t) = 325sin(wt) mediante el fasor 230 a 0º, ya que 230 es el valor eficaz de V(t).
4.2.3
Propiedades
Sea una señal V1(t) = A1*sin(wt+ φ1) Se representará por un fasor V1 Sea una señal V2(t) = A2*sin(wt+ φ2) Se representará por un fasor V2 Sea la señal V(t) = V1(t) + V2(t) Se cumple que la suma de 2 senoides de igual frecuencia es otra senoide de la misma frecuencia. Por tanto, estará representada por otro fasor V. Como V(t) = V1(t) + V2(t) se puede demostrar que V = V1+V2 Ejemplo: Sumar 1.45sin(2t+20º) + 2sin(2t-10º) 1.45sin(2t+20º) 1.45/√2 a 20º = 1.0253 a 20º = 0.9635 + 0.3507j = Z1 (fasor 1) 2sin(2t-10º) 2/√2 a -10º = 1.4142 a -10º = 1.3927 - 0.2456j = Z2 (fasor 2) Z = Z1+Z2 = 2.3562 + 0.1051j = 2.3585 a 2.55º 2.3585√2sin(2t+2.55º) = 3.3355sin(2t+2.55º) Por tanto, se deduce que: 1.45sin(2t+20º) + 2sin(2t-10º) = 3.3355sin(2t+2.55º) De lo anterior se puede deducir que si tenemos n señales: V1(t) = A1*sin(wt+ φ1) … Vn(t) = An*sin(wt+ φn) representadas por los fasores V1 ... Vn V1(t) + … + Vn(t) = 0 V1 + ... +Vn = 0 Expresado en palabras: “Varias funciones senoidales sumarán 0 en cualquier instante de tiempo si y sólo si sus respectivos fasores (que son números complejos) suman 0 (el número complejo 0 + 0j)” Esta importante propiedad la aplicaremos en las siguientes secciones para aplicar las leyes de Kirchoff en régimen permanente senoidal.
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4.3 4.3.1
Leyes de Kirchoff Primera ley de Kirchoff
La usamos en el método de mallas y básicamente nos dice que la suma de las tensiones a lo largo de un camino cerrado es siempre 0 (o, si se prefiere, la suma del voltaje ganado en una parte del camino es igual al que se pierde en la otra parte). De modo general, esto lo escribiríamos como: V1(t) + … + Vn(t) = 0, donde cada Vi(t) es una tensión (una fuente, una caída en una resistencia...) Por lo que hemos visto en el apartado anterior esto lo vamos a sustituir en régimen permanente senoidal por: V1 + … Vn = 0 donde cada Vi será un fasor que representará a una determinada tensión senoidal (una fuente, una caída en una resistencia...) de nuestro circuito en permanente. Decir una cosa o la otra es equivalente pero, para resolver el circuito de forma más sencilla, plantearemos la segunda forma, es decir, que la suma de todos los fasores de tensión en una trayectoria cerrada es 0.
4.3.2
Segunda ley de Kirchoff
La usamos en el método de nudos y básicamente nos dice que la suma de las corrientes en un nudo (cruce de varias ramas) es siempre 0 (o, si se prefiere, la suma de corrientes entrantes en el nudo es igual a la suma de las corrientes salientes). De modo general, esto lo escribiríamos como: I1(t) + … + In(t) = 0, donde cada Ii(t) es una corriente por una rama del circuito. Por lo que hemos visto en el apartado anterior esto lo vamos a sustituir en régimen permanente senoidal por: I1 + … In = 0 donde cada Ii será un fasor que representará a una determinada corriente senoidal de nuestro circuito en permanente. Decir una cosa o la otra es equivalente pero, para resolver el circuito de forma más sencilla, plantearemos la segunda forma, es decir, que la suma de todos los fasores de corriente en un nudo es 0.
4.4
El concepto de impedancia
Cojamos una carga de un circuito: una resistencia, un condensador, una inductancia o una combinación de ellos. Sea V(t) la tensión entre los extremos de esa carga y I(t) la corriente que atraviesa la carga. La relación entre V(t) e I(t), que son señales que varían con el tiempo, es una ecuación diferencial, más o menos compleja. Por ejemplo:
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En una resistencia V(t) = Ri(t)
•
En una inductancia V(t) = Ldi(t)/dt
•
En un condensador i(t) = CdV(t)/dt
Estas ecuaciones son siempre válidas, tanto si las señales i(t) y v(t) son senoidales como si no lo son. Ahora bien, en un circuito en régimen permanente senoidal, además de cumplirse las relaciones anteriores, sabemos que todas las V e i van a ser senoides. Y, por tanto, se van a poder representar por fasores. La señal V(t) se representará por el fasor (número complejo) V. La señal i(t) se representará por el fasor (número complejo) I. Para una carga determinada, al cociente de los 2 números complejos (fasores) V/I que representan a la tensión y a la corriente de la carga, se le denominará impedancia de la carga y se suele representar por la letra Z. Es el cociente de 2 números complejos y, por tanto, será otro número complejo. Z = V/I La impedancia de una carga sólo tiene sentido en régimen permanente senoidal pues es el cociente de los fasores que representan a la tensión y a la corriente. Y los fasores sólo tienen sentido en régimen permanente senoidal. Veamos cuánto vale la impedancia de los principales elementos.
4.4.1
Impedancia de una resistencia
En una resistencia se cumple siempre que: V(t) = R*i(t) Además, en régimen permanente senoidal sabemos que V(t) e i(t) van a ser señales senoidales. Por tanto: V(t) =VR*sin(wt+φv) Fasor V de módulo VR/√2 y argumento φv i(t) = IR*sin(wt+φi) Fasor I de módulo IR/√2 y argumento φi Combinando estas expresiones con el hecho de que V(t) = R*i(t) tenemos que: VR = R*IR y φv = φi Por tanto Z = V/I = VR/√2 a φv entre IR/√2 a φi = R a 0º = R + 0j En una resistencia se tiene, pues ZR = V/I = R + 0j = R a 0º Que se interpreta físicamente como que la amplitud de la tensión es R veces mayor que la de la corriente y que el desfase entra ambas senoides es 0 (tensión y corriente van en fase, tienen el mismo ángulo de fase las dos).
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4.4.2
Impedancia de una inductancia
En una resistencia se cumple siempre que: V(t) = L*di(t)/dt Además, en régimen permanente senoidal sabemos que V(t) e i(t) van a ser señales senoidales. Por tanto: V(t) =VL*sin(wt+φv) Fasor V de módulo VL/√2 y argumento φv i(t) = IL*sin(wt+φi) Fasor I de módulo IL/√2 y argumento φi Combinando estas expresiones con el hecho de que V(t) = L*di(t)/dt tenemos que: V(t) = L*di(t)/dt = wL*IL*cos(wt+φi) = wL*IL*sin(wt+φi+90º) = VL*sin(wt+φv) VL = wL*IL y φv = φi+90º Por tanto Z = V/I = VL/√2 a φv entre IL/√2 a φi = wL a 90º = 0+ wLj En una inductancia se tiene, pues, que la impedancia, la relación entre los fasores tensión y corriente, es siempre: ZL = V/I = 0 + wLj = wL a 90º = wL a π/2 radianes Que se interpreta físicamente como que la amplitud de la tensión es wL veces mayor que la de la corriente (por la L de antes de la derivada y por la w que sale fuera al derivar) y que el desfase entra ambas senoides es 90º (la tensión se adelanta 90º a la corriente; al derivar la corriente pasamos de un seno a un coseno, que es un seno adelantado 90º).
4.4.3
Impedancia de un condensador
Se puede demostrar por un razonamiento semejante al de la inductancia que, para un condensador: ZC = V/I = 0 -
1 1 1 j = a -90º = a -π/2 radianes. wC wC wC
Que se interpreta físicamente como que la amplitud de la tensión es wC veces menor que la de la corriente y que el desfase entra ambas senoides es -90º (la tensión se retrasa 90º con respecto a la corriente).
4.4.4
Ejemplo
Sea una inductancia de L = 10H por la que circula una corriente en régimen permanente que vale i(t) = 2sin(6t+20º). ¿Cuánto vale la tensión V(t)? Modo 1: Usar directamente la ecuación diferencial V(t) = Ldi(t)/dt = 10*12cos(6t+20º) = 120sin(6t+110º)
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. Modo 2: Usando impedancias i(t) = 2sin(6t+20º) Fasor I = 2/√2 a 20º Impedancia Z = wLj = 60j Fasor V = Z*I = 120/√2 a 110º V(t) = 120sin(6t+110º)
4.4.5
Asociación de impedancias
Las impedancias se pueden asociar entre sí. Se asocian exactamente igual que las resistencias aunque sean impedancias correspondientes a inductancias o a condensadores. Por ejemplo, si hay 2 condensadores en serie de impedancias Z1 y Z2 la impedancia correspondiente a los 2 condensadores en serie será, simplemente: Z = Z1 + Z2 . También podríamos haber asociado primero los condensadores en serie para obtener el condensador equivalente y, a partir de ahí, obtener la impedancia de ese condensador equivalente. El resultado habría sido exactamente el mismo.
4.5
Ejemplo sencillo de resolución por el método de los fasores
Sea el siguiente circuito de ejemplo:
donde V(t) = 100*sin (100000t + 45º). Se pide calcular el valor de las funciones i(t), VR(t), VL(t) y VC(t) en régimen permanente. Se ve que w = 100000 rad/s f = w/(2π) = 15915 Hz Calculamos las impedancias de los distintos elementos: ZR = 6 ohm ; ZL = wLj = 9j ; ZC =
−1 j = -j wC
Calculamos el fasor que representa a la tensión V = 100/√2 a 45º Y, a partir de ahí, resolvemos el circuito: I = V/(ZR+ZL+ZC) = V/(6+8j) = 10/√2 a -8.13º i(t) = 10*sin (100000t-8.13º)
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. VR = ZRI = 6I = 60/√2 a -8.13º VR(t) = 60*sin (100000t-8.13º) VL = ZLI = 9jI = 90/√2 a 81.87º VL(t) = 90*sin (100000t+81.87º) VC = ZCI = -jI = 10/√2 a -98.13º Vc(t) = 10*sin (100000t-98.13º) Los voltímetros y amperímetros normalmente miden los valores eficaces. Si pusiéramos un voltímetro en los distintos elementos del circuito veríamos: •
En bornes de la fuente marcará 100/√2 = 70.71 V
•
En bornes de la resistencia marcará 60/√2 = 42.43 V
•
En bornes de la inductancia marcará 90/√2 = 63.64 V
•
En bornes del condensador marcará 10/√2 = 7.01 V
IMPORTANTE: Si sumamos lo que marcan los voltímetros en bornes de la resistencia, inductancia y condensador no da lo que marca en bornes de la fuente ¿Es eso normal? No hay nada extraño en eso. En cualquier instante se tiene que cumplir que VR(t) + VL(t) + VC(t) - V(t) = 0, lo que matemáticamente equivale a que los fasores que representan a estas tensiones suman 0. Que varios fasores (que son como vectores) sumen 0 no significa que sus módulos (valores eficaces de las tensiones) hayan de sumar necesariamente 0. De hecho, en general no será así.
4.6 4.6.1
Potencias Potencia instantánea
Sea un elemento de un circuito en que su tensión en función del tiempo es V(t) y su corriente i(t). En cualquier instante, la potencia instantánea consumida (o producida, según los signos de V(t) e i(t)) será P(t) = V(t)*i(t). En régimen permanente senoidal, tanto la tensión como la corriente serán funciones senoidales, de la forma: V(t) = VM*sin(wt+φv)
; I(t) = IM*sin(wt+φI)
Como V(t) e I(t) son periódicas, la función P(t) = V(t)*i(t) también lo será. Sean por ejemplo: V(t) = 10*sin (10t+20º) p(t) = 100*sin(10t+20º)*cos(10t-10º) i(t) = 10*sin (10t-10º) En la siguiente figura representamos la tensión en voltios (línea roja a trazos), la corriente en amperios (línea azul con trazos cortos y largos) y la potencia en W (línea negra continua). Como se ve, la potencia es una función periódica aunque no senoidal.
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4.6.2
Potencia media (activa)
Ya que la potencia en régimen permanente senoidal es una función periódica (aunque no senoidal) se podrá calcular al valor de la potencia media en un ciclo de duración T como: to +T
Pmedia =
∫ to
to +T
p(t )dt =
∫ v(t )i(t )dt to
Se puede demostrar que si V(t) = VM*sin(wt+φv) potencia media se puede calcular como: Pmedia =
e
i(t) = IM*sin(wt+φI) entonces la
VM I M V I cos(ϕ V − ϕ I ) = M M cos( µ V − ϕ I ) = Vef*Ief*cos(φV-φI) 2 2* 2
ya que, en una señal senoidal, los valores eficaces se pueden calcular como los máximos divididos por √2. A esta potencia media en régimen permanente senoidal se le llama potencia activa, está expresada en W, y se representa por la letra P. Aquí vemos por qué normalmente los fasores tenían un módulo igual al valor eficaz (y no al máximo) de las señales senoidales. Si el módulo |V| del fasor V es igual al valor eficaz de la tensión senoidal que representa y el módulo |I| del fasor I es igual al valor eficaz de la corriente senoidal que representa , podemos escribir directamente: P = |V|*|I|* cos(φV-φI)
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. Al término cos(φV-φI) se le llama factor de potencia o, simplemente, “coseno de fi”. Es importante destacar que no es el coseno ni del ángulo de la tensión ni del ángulo de la corriente si no de la diferencia de los dos. Como se ve, por tanto, la potencia media en un ciclo no depende sólo de los valores eficaces de tensión y de corriente sino del desfase entre ambas formas de onda.
4.6.3
Potencia aparente
Al producto |V|*|I| se le denomina potencia aparente y se representa por S. Para no confundirla con la potencia activa (o potencia media en un ciclo) se le asigna una unidad diferente, que es el voltamperio VA. La potencia P se puede calcular como P = S *cos(φV-φI)
4.6.4
Potencia reactiva
Al producto |V|*|I|*sin(φV-φI) = S* sin(φV-φI) se le denomina potencia reactiva y se representa por Q. Para no confundirla con las otras potencias se le asigna una unidad diferente, que es el voltamperio reactivo VAr Veamos qué significado físico tiene la potencia reactiva. Imaginemos 2 situaciones diferentes: 1) Carga 1. V1(t) = 5*sin (100t); I1(t) = 8*sin(100t) 2) Carga 2. V2(t) = 5*sin(100t); I2(t) = 10*sin(100t-36.87º) Vemos que ambas cargas se alimentan con la misma tensión pero la corriente de la segunda es superior. Sin embargo, si calculamos la potencia media en ellas obtenemos: 1) Carga 1 P1 = (5/√2)*(8/√2)*cos(0º) = 20 W 2) Carga 2 P2 = (5/√2)*(10/√2)*cos(36.87º) = 20 W Ambas tienen la misma potencia media (activa). En la siguiente figura se representa la potencia P(t) de cada una de ellas respecto al tiempo. La azul (línea continua) representa a P1 y la roja (discontinua) a P2. Ambas tienen la misma media pero P2 tiene más variaciones respecto a esa media. Eso es lo que representa la potencia reactiva Q. A más potencia reactiva más variaciones de la potencia instantánea respecto a la potencia media para una misma potencia media (activa). Además, si tenemos más Q es porque el seno de la diferencia de ángulos es mayor el coseno es menor para una misma tensión necesitamos más corriente para producir una misma potencia activa. Resumiendo, si |V| e |I| son los módulos de los fasores que representan a la tensión y a la corriente respectivamente y si los hemos tomado iguales a los valores eficaces (es decir, a los máximos divididos por √2) tendremos: S = Vef*Ief = |V|*|I| P = S* cos(φV-φI) = |V|*|I|* cos(φV-φI) Q = S* sin(φV-φI) = |V|*|I|* sin(φV-φI)
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. Y se cumple que: P2+Q2 = S2
Por otro lado, se puede demostrar que si V es el fasor que representa a la tensión e I el fasor que representa a la corriente, entonces: V*I’ = P+Qj donde I’ es el complejo conjugado (parte imaginaria cambiada de signo) de I. Es decir, el producto de V por I’ es un complejo cuya parte real es la P y cuya parte imaginaria es la Q. Esto puede ser útil si nos es más fácil multiplicar entre sí los fasores V e I’ que calcular sus módulos y ángulos para poder usar las expresiones de más arriba.
4.6.5
Otras fórmulas para el cálculo de potencias en las impedancias
En una impedancia Z de módulo |Z| y argumento φZ, se cumple, por definición: V = Z*I |V| = |Z|*|I| y φV = φI + φZ φV - φI = φZ Por tanto:
| V |2 = | I |2 * | Z | S = |V|*|I| = |Z | P = |V|*|I|* cos(φZ) =
| V |2 * cos(φZ) = | I | 2 * | Z | * cos(φZ) |Z |
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Q = |V|*|I|* sin(φZ) =
| V |2 * sin(φZ) = | I | 2 * | Z | * sin(φZ) |Z |
Fijémonos que las fórmulas anteriores valen para cualquier tipo de impedancias (resistencia, inductancia, condensador o combinación de ellas) y para las potencias S, P y Q, no para las potencias instantáneas. Error típico: No hay que cometer el siguiente error típico para el cálculo de la potencia instantánea: La P(t) = V(t)*i(t) para cualquier elemento. En una resistencia por la ley de ohm sabemos que V(t) = R*i(t) P(t) también se puede expresar como P(t) = i2(t)*R = V2(t)/R Sin embargo, en una inductancia y en un condensador no se cumple que V(t) = L*I(t) ni V(t) = C*I(t) con lo que la P(t) hay que calcularla como P(t) = V(t)*I(t). No se pueden usar fórmulas semejantes a las de las potencias P y Q y decir que: •
En una inductancia: P(t) = ZL* i2(t) (incorrecto)
¡¡¡¡MAL !!!! •
4.6.6
En un condensador: P(t) = ZC* i2(t) (incorrecto)
Teorema de Boucherot
La suma de las potencias activas producidas en un circuito es igual a la suma de las potencias activas consumidas. La suma de las potencias reactivas producidas en un circuito es igual a la suma de las potencias reactivas consumidas. Con las potencias aparentes esto no se cumple.
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TABLA DE CONTENIDO TABLA DE CONTENIDO.....................................................................................................2 1.
INTRODUCCIÓN......................................................................................................3
2.
CONCEPTOS BÁSICOS...........................................................................................3 2.1 2.2 2.3
3.
CIRCUITOS DE CONTINUA ........................................................................................3 CIRCUITOS DE ALTERNA (SENOIDALES) ..................................................................3 RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE .........................................4 CIRCUITOS DE CONTINUA EN RÉGIMEN PERMANENTE..........................4
3.1 CARACTERÍSTICAS DE ESTOS PROBLEMAS ..............................................................4 3.2 RESOLUCIÓN DE ESTOS PROBLEMAS .......................................................................5 3.3 EJEMPLOS ................................................................................................................5 3.3.1 Ejemplo 1..............................................................................................................5 3.3.2 Ejemplo 2..............................................................................................................7 4.
CIRCUITOS DE ALTERNA SENOIDAL EN RÉGIMEN PERMANENTE ......9 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 4.6.6
CONCEPTOS .............................................................................................................9 LOS FASORES Y SUS PROPIEDADES ........................................................................10 Ejemplo...............................................................................................................10 El famoso √2 en los fasores ................................................................................10 Propiedades ........................................................................................................11 LEYES DE KIRCHOFF .............................................................................................12 Primera ley de Kirchoff ......................................................................................12 Segunda ley de Kirchoff......................................................................................12 EL CONCEPTO DE IMPEDANCIA ..............................................................................12 Impedancia de una resistencia ...........................................................................13 Impedancia de una inductancia..........................................................................14 Impedancia de un condensador ..........................................................................14 Ejemplo...............................................................................................................14 Asociación de impedancias.................................................................................15 EJEMPLO SENCILLO DE RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LOS FASORES ...............15 POTENCIAS ............................................................................................................16 Potencia instantánea ..........................................................................................16 Potencia media (activa)......................................................................................17 Potencia aparente...............................................................................................18 Potencia reactiva................................................................................................18 Otras fórmulas para el cálculo de potencias en las impedancias ......................19 Teorema de Boucherot........................................................................................20
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1.
INTRODUCCIÓN
Los circuitos eléctricos más simples (con resistencias, inductancias y condensadores) son sistemas lineales. Cuando son alimentados por una señal periódica cualquier salida (es decir, cualquier corriente o tensión del circuito) es, al cabo de un cierto tiempo, otra señal periódica, aunque con una forma que puede ser diferente que la de la señal de entrada. Cuando se llega a esta situación estable en que la salida ya es una señal periódica si las excitaciones (fuentes) también lo son estaremos en lo que se denomina régimen permanente. El período transcurrido entre que se conecta el circuito y se llega al régimen permanente se denomina régimen transitorio, tiempo durante el cual el circuito aún no está estabilizado. La duración del régimen transitorio dependerá de la configuración particular de nuestro circuito.
2. CONCEPTOS BÁSICOS 2.1
Circuitos de continua
Si en nuestro circuito todas las fuentes de alimentación independientes (de tensión o de corriente) tienen valores constantes, decimos que estamos trabajando con un circuito de corriente continua. Y, dado que los circuitos con los que trabajamos son sistemas lineales, se puede demostrar que, en un circuito de continua, cualquier corriente o tensión acaba siendo un valor constante una vez alcanzado el régimen permanente.
2.2
Circuitos de alterna (senoidales)
Si en nuestro circuito todas las fuentes de alimentación independientes (de tensión o de corriente) son senoidales y de una misma frecuencia f, decimos que estamos trabajando con un circuito de corriente alterna senoidal. Y, dado que los circuitos con los que trabajamos son sistemas lineales, se puede demostrar que, en un circuito de corriente alterna senoidal cualquier corriente o tensión acaba siendo una señal senoidal de la misma frecuencia f que las fuentes de alimentación una vez alcanzado el régimen permanente. Es importante ver que estamos en un caso muy particular (aunque muy habitual en la práctica): •
Todas las fuentes de alimentación son senoidales
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Todas las fuentes tienen la misma frecuencia f (aunque cada una tendrá su amplitud y fase).
En este caso, podemos garantizar que, en régimen permanente (no así durante el transitorio) todas las tensiones y corrientes serán funciones senoidales de la misma frecuencia f. Si las fuentes fueran señales periódicas no senoidales la forma de las señales (corrientes y tensiones) en permanente no habría de ser la misma que la de las fuentes. Por ejemplo, si metemos una señal periódica cuadrada probablemente ni las tensiones ni las corrientes sean cuadradas una vez alcanzado el régimen permanente. Serán señales periódicas pero con otra forma diferente.
2.3
Resolución de circuitos en régimen permanente
Hemos visto que cuando los circuitos son de continua o de alterna senoidal las corrientes y tensiones en régimen permanente tienen una forma simple (continua o senoidal). Esta propiedad nos permitirá resolver, como veremos más adelante, este tipo de circuitos de manera muy simple en régimen permanente, evitando tener que resolver complejas ecuaciones diferenciales. Aunque parezca que los circuitos de continua y de alterna senoidal sean sólo casos muy particulares, en la práctica suponen un porcentaje muy importante de los circuitos que nos encontraremos en la vida real. Por otro lado, el teorema de Fourier, nos permitirá descomponer cualquier señal periódica en una suma de una señal de continua más un número de señales senoidales. Aplicando el teorema de Fourier, convertiremos un problema de régimen permanente para una señal periódica de forma cualquiera, en una serie de problemas de continua y de alterna senoidal, que se resolverán de manera relativamente simple cada uno de ellos. Empecemos ya, pues, por estos casos más simples, es decir, veamos cómo resolver circuitos de continua y de alterna senoidal cuando sólo nos piden el régimen permanente (si nos piden también el transitorio no queda más remedio que recurrir a las ecuaciones diferenciales).
3. CIRCUITOS DE CONTINUA EN RÉGIMEN PERMANENTE 3.1
Características de estos problemas o
Todas las fuentes de alimentación independientes, de tensión o de corriente, son valores de continua (constantes)
o
Nos piden sólo el comportamiento del circuito en régimen permanente
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3.2
Resolución de estos problemas o
Al ser circuitos lineales, tenemos la garantía de que, en régimen permanente, cualquier tensión o corriente del circuito será constante.
o
En una inductancia V = Ldi/dt. Por tanto, si i es constante en régimen permanente V = 0 en régimen permanente. Una inductancia se comportará como un cortocircuito.
o
En un condensador i = CdV/dt. Por tanto, si V es constante en régimen permanente I = 0 en régimen permanente. Un condensador se comportará como un circuito abierto (corriente nula); la tensión será constante pero, ojo, no ha de ser 0, simplemente sabemos que será constante.
3.3
Ejemplos
3.3.1
Ejemplo 1
Para este circuito, la ecuación diferencial sería: 10 - R1I-L1dI/dt = 0 10 - 5I - 10-5dI/dt = 0 Podríamos resolver la ecuación diferencial que nos daría (suponiendo, por ejemplo, que I(0) = 0): •
I(t) = 2(1-e-500000t)
•
Vinductancia(t) = LdI/dt = 10e-500000t
•
Vresistencia(t) = RI = 10(1-e-500000t)
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. Si pintamos esas formas de onda obtenemos:
Vemos, que para este circuito en particular, a partir de un tiempo de 1.2*10-5s aproximadamente, podemos considerar que estamos en régimen permanente. Y vemos que, en régimen permanente: •
I = 2A , Vresistencia = 10V, Vinductancia = 0V.
Si sólo nos hubiera interesado el régimen permanente podríamos haber llegado más directamente a estos valores porque ya sabíamos que: •
La inductancia se comportaría como un cortocircuito Su tensión sería 0V en régimen permanente.
•
El circuito quedaría simplificado como:
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donde vemos claramente que I = 2A y la tensión en la resistencia 10V. Fijémonos que, aunque la tensión en la inductancia es 0V, su corriente no es 0A sino 2A. Al ser constante, su derivada es 0 y de ahí que la tensión sea nula. Como la tensión en la inductancia es 0V, la potencia que consume es 0W la energía acumulada en ella permanece constante, lo cual es lógico ya que la E = ½ LI2 . I es constante y, por tanto, la E es constante. Esta energía la ganó la inductancia durante el transitorio, en que su consumo de potencia era no nulo (V e I no eran 0 durante el transitorio).
3.3.2
Ejemplo 2
En el circuito de la figura en el momento de conectarse el circuito las tensiones son: VA = 3V; VB = 8V; VC = 6V Se pide calcular, en régimen permanente: •
VA , VB , VC
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Energía consumida por el conjunto de los 3 condensadores entre el instante de conexión del circuito y el momento en que se alcanza el régimen permanente
SOLUCIÓN: Inicialmente: VC3 (0) = VA(0) = 3V VC2 (0) = VB(0) - VA(0) = 5V VC1 (0) = VC(0) – VB(0) = -2V En régimen permanente: Los condensadores habrán ganado todos la misma cantidad de carga ∆Q, ya que están en serie. VC1 (tpermanente) = VC1 (0) + (1/C1)
∫
tpermanente
VC2 (tpermanente) = VC2 (0) + (1/C2)
∫
tpermanente
VC3 (tpermanente) = VC3 (0) + (1/C3)
∫
tpermanente
0
0
0
i (t )dt = VC1 (0) + ∆Q/C1
i (t )dt = VC2 (0) + ∆Q/C2
i (t )dt = VC3 (0) + ∆Q/C3
Por otro lado, en régimen permanente no circulará corriente (se comportan como un circuito abierto) por los condensadores con lo que VC = 12V = VC1 (tpermanente) + VC2 (tpermanente) + VC3 (tpermanente). VC = 12V porque en la resistencia no cae tensión al ser la corriente 0. Operando obtenemos ∆Q = 3.2727 µC y, a partir de las ecuaciones de arriba, la tensión de cada uno de los condensadores: VC1 (tpermanente) = VC1 (0) + ∆Q/C1 = 1.2727 V VC2 (tpermanente) = VC2 (0) + ∆Q/C2 = 6.6364 V VC3 (tpermanente) = VC3 (0) + ∆Q/C3 = 4.0909 V
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. Lógicamente las 3 tensiones suman 12V. Vemos que C1 ha ganado 3.2727 V, C2 ha ganado 1.6364 V, y C3 ha ganado 1.0909 V, de forma inversamente proporcional al valor de las capacidades (a más C se gana menos tensión a misma cantidad de carga). Finalmente: VA = VC3 = 4.0909 V VB = VA + VC2 = 10.7273 V VC = VB + VC3 = 12 V, como por otro lado ya sabíamos. Para la energía:
Energía inicial = ½ C1 VC21 (0) + ½ C2 VC22 (0) + ½ C3 VC23 (0) = 40.5 µJ Energía final = ½ C1 VC21 (tper ) + ½ C2 VC22 (tper ) + ½ C3 VC23 (tper ) = 69.955 µJ Donde tper es el tiempo ya en régimen permanente. La energía consumida por los condensadores será, pues: 69.955-40.5 = 29.455 µJ
4. CIRCUITOS DE ALTERNA SENOIDAL EN RÉGIMEN PERMANENTE 4.1
Conceptos •
Todas las entradas (fuentes) van a ser senoidales y de la misma frecuencia f
•
Como el circuito es un sistema lineal, todas las salidas en régimen permanente (tensiones y corrientes del circuito) van a ser senoidales y de la misma frecuencia f que las fuentes. Por tanto: o
Toda tensión va a ser, en permanente, de la forma V(t) = VMsin(wt + φv)
o
Toda corriente va a ser, en permanente, de la forma I(t) = IMsin(wt + φI)
donde w = 2πf Fijémonos en que, como todas las tensiones (o corrientes) son senoidales de la misma frecuencia f, sólo se distinguen unas de otras en su amplitud (VM o IM) y en su fase (φv o φI). Por ello, con dar de una señal su amplitud y fase automáticamente sabemos
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. cómo va a ser. Si una señal s(t) tiene una amplitud A y una fase φ, la señal será A*sin(wt+ φ)
4.2
Los fasores y sus propiedades
Hemos visto en el apartado anterior que con dar el valor de la amplitud A y la fase φ de una señal en régimen permanente senoidal lo estamos dando todo, puesta que ya sabemos que será una señal senoidal de la misma frecuencia que el resto de señales del circuito. Imaginemos un número complejo que tiene de módulo la amplitud A y de argumento (ángulo) la fase φ de una determinada señal senoidal. Ese número complejo que representa a esa señal senoidal es lo que se denomina fasor. Los fasores sólo tienen sentido si todas las señales del circuito son senoides de la misma frecuencia.
4.2.1
Ejemplo
Sea un circuito en que todas las fuentes son de frecuencia f = 50 Hz w = 2πf = 314.16 Hz. Cualquier tensión será de la forma: V(t) = VMsin(314.16t + φv) y se podrá representar por un número complejo de amplitud VM y argumento φv. Por ejemplo, si V(t) = 10sin(314.16t + 20º) El fasor V será el número complejo 10 a 20º = 9.3969 + 3.4202j En este documento representaremos los fasores (que no son sino números complejos) en negrita por cuestiones de claridad. Se llaman fasores porque su argumento representa, precisamente, la fase de una determinada señal senoidal. De igual forma, si tengo el fasor I = 10 + 10j = 14.142 a 45º, estará representando a la señal senoidal I(t) = 14.142 sin (wt + 45º), donde w será la correspondiente a la frecuencia de nuestro circuito, 314.16 rad/s en nuestro ejemplo.
4.2.2
El famoso √2 en los fasores
Por lo que hemos visto en el apartado anterior, lo normal sería que una señal de la forma s(t)=A*sin(wt+φ) se represente por un fasor S de amplitud A y argumento φ. Sin embargo, habitualmente, se suele usar un fasor con módulo A/√2 y argumento φ. La razón de esto es que el número A/√2 (valor máximo entre √2) coincide, en el caso de una señal senoidal (no en otras), con su valor eficaz. Y las fórmulas de potencia que veremos más adelante usan los valores eficaces y no los máximos. Si el módulo del fasor es directamente el valor eficaz de la señal en vez de su valor máximo, podremos poner directamente en las fórmulas de potencia los módulos de los fasores para que todo nos salga más sencillo. Sea como sea, lo importante de todo esto es ser coherente. En resumen, podemos: •
Hacer corresponder el módulo del fasor con la amplitud (valor máximo) de la senoide. Pero habrá que tener cuidado al usar las fórmulas de potencia de manera adecuada.
•
Hacer corresponder el módulo del fasor con el valor eficaz (valor máximo entre √2) de la senoide. Será directo usar las fórmulas de potencia de manera adecuada
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. pero hay que acordarse de dividir entre √2 para calcular el módulo del fasor a partir de la amplitud de la senoide y de multiplicar por √2 para calcular la amplitud de la senoide a partir del módulo del fasor. Esta segunda opción suele ser la más habitual, porque las fórmulas de potencia pueden usar directamente los módulos de los fasores y porque los módulos de los fasores indican directamente tensiones y corrientes eficaces, que es lo que normalmente marcan los voltímetros y amperímetros. Es importantísimo tener claro cómo estamos haciendo las cosas y ser coherentes con ello.
•
Por ejemplo, cuando en casa decimos que tenemos una tensión de 230V, es porque el valor eficaz es de 230V. Lo más normal es que usemos un fasor de módulo 230V para representar la tensión de casa. Supongamos que el argumento es 0º. Eso significaría que la tensión en casa serían 230√2(sin(wt)+0º) = 325sin(wt), con w = 2πf = 314.16 Hz, ya que en casa tenemos una f=50 Hz. Representamos V(t) = 325sin(wt) mediante el fasor 230 a 0º, ya que 230 es el valor eficaz de V(t).
4.2.3
Propiedades
Sea una señal V1(t) = A1*sin(wt+ φ1) Se representará por un fasor V1 Sea una señal V2(t) = A2*sin(wt+ φ2) Se representará por un fasor V2 Sea la señal V(t) = V1(t) + V2(t) Se cumple que la suma de 2 senoides de igual frecuencia es otra senoide de la misma frecuencia. Por tanto, estará representada por otro fasor V. Como V(t) = V1(t) + V2(t) se puede demostrar que V = V1+V2 Ejemplo: Sumar 1.45sin(2t+20º) + 2sin(2t-10º) 1.45sin(2t+20º) 1.45/√2 a 20º = 1.0253 a 20º = 0.9635 + 0.3507j = Z1 (fasor 1) 2sin(2t-10º) 2/√2 a -10º = 1.4142 a -10º = 1.3927 - 0.2456j = Z2 (fasor 2) Z = Z1+Z2 = 2.3562 + 0.1051j = 2.3585 a 2.55º 2.3585√2sin(2t+2.55º) = 3.3355sin(2t+2.55º) Por tanto, se deduce que: 1.45sin(2t+20º) + 2sin(2t-10º) = 3.3355sin(2t+2.55º) De lo anterior se puede deducir que si tenemos n señales: V1(t) = A1*sin(wt+ φ1) … Vn(t) = An*sin(wt+ φn) representadas por los fasores V1 ... Vn V1(t) + … + Vn(t) = 0 V1 + ... +Vn = 0 Expresado en palabras: “Varias funciones senoidales sumarán 0 en cualquier instante de tiempo si y sólo si sus respectivos fasores (que son números complejos) suman 0 (el número complejo 0 + 0j)” Esta importante propiedad la aplicaremos en las siguientes secciones para aplicar las leyes de Kirchoff en régimen permanente senoidal.
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4.3 4.3.1
Leyes de Kirchoff Primera ley de Kirchoff
La usamos en el método de mallas y básicamente nos dice que la suma de las tensiones a lo largo de un camino cerrado es siempre 0 (o, si se prefiere, la suma del voltaje ganado en una parte del camino es igual al que se pierde en la otra parte). De modo general, esto lo escribiríamos como: V1(t) + … + Vn(t) = 0, donde cada Vi(t) es una tensión (una fuente, una caída en una resistencia...) Por lo que hemos visto en el apartado anterior esto lo vamos a sustituir en régimen permanente senoidal por: V1 + … Vn = 0 donde cada Vi será un fasor que representará a una determinada tensión senoidal (una fuente, una caída en una resistencia...) de nuestro circuito en permanente. Decir una cosa o la otra es equivalente pero, para resolver el circuito de forma más sencilla, plantearemos la segunda forma, es decir, que la suma de todos los fasores de tensión en una trayectoria cerrada es 0.
4.3.2
Segunda ley de Kirchoff
La usamos en el método de nudos y básicamente nos dice que la suma de las corrientes en un nudo (cruce de varias ramas) es siempre 0 (o, si se prefiere, la suma de corrientes entrantes en el nudo es igual a la suma de las corrientes salientes). De modo general, esto lo escribiríamos como: I1(t) + … + In(t) = 0, donde cada Ii(t) es una corriente por una rama del circuito. Por lo que hemos visto en el apartado anterior esto lo vamos a sustituir en régimen permanente senoidal por: I1 + … In = 0 donde cada Ii será un fasor que representará a una determinada corriente senoidal de nuestro circuito en permanente. Decir una cosa o la otra es equivalente pero, para resolver el circuito de forma más sencilla, plantearemos la segunda forma, es decir, que la suma de todos los fasores de corriente en un nudo es 0.
4.4
El concepto de impedancia
Cojamos una carga de un circuito: una resistencia, un condensador, una inductancia o una combinación de ellos. Sea V(t) la tensión entre los extremos de esa carga y I(t) la corriente que atraviesa la carga. La relación entre V(t) e I(t), que son señales que varían con el tiempo, es una ecuación diferencial, más o menos compleja. Por ejemplo:
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En una resistencia V(t) = Ri(t)
•
En una inductancia V(t) = Ldi(t)/dt
•
En un condensador i(t) = CdV(t)/dt
Estas ecuaciones son siempre válidas, tanto si las señales i(t) y v(t) son senoidales como si no lo son. Ahora bien, en un circuito en régimen permanente senoidal, además de cumplirse las relaciones anteriores, sabemos que todas las V e i van a ser senoides. Y, por tanto, se van a poder representar por fasores. La señal V(t) se representará por el fasor (número complejo) V. La señal i(t) se representará por el fasor (número complejo) I. Para una carga determinada, al cociente de los 2 números complejos (fasores) V/I que representan a la tensión y a la corriente de la carga, se le denominará impedancia de la carga y se suele representar por la letra Z. Es el cociente de 2 números complejos y, por tanto, será otro número complejo. Z = V/I La impedancia de una carga sólo tiene sentido en régimen permanente senoidal pues es el cociente de los fasores que representan a la tensión y a la corriente. Y los fasores sólo tienen sentido en régimen permanente senoidal. Veamos cuánto vale la impedancia de los principales elementos.
4.4.1
Impedancia de una resistencia
En una resistencia se cumple siempre que: V(t) = R*i(t) Además, en régimen permanente senoidal sabemos que V(t) e i(t) van a ser señales senoidales. Por tanto: V(t) =VR*sin(wt+φv) Fasor V de módulo VR/√2 y argumento φv i(t) = IR*sin(wt+φi) Fasor I de módulo IR/√2 y argumento φi Combinando estas expresiones con el hecho de que V(t) = R*i(t) tenemos que: VR = R*IR y φv = φi Por tanto Z = V/I = VR/√2 a φv entre IR/√2 a φi = R a 0º = R + 0j En una resistencia se tiene, pues ZR = V/I = R + 0j = R a 0º Que se interpreta físicamente como que la amplitud de la tensión es R veces mayor que la de la corriente y que el desfase entra ambas senoides es 0 (tensión y corriente van en fase, tienen el mismo ángulo de fase las dos).
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4.4.2
Impedancia de una inductancia
En una resistencia se cumple siempre que: V(t) = L*di(t)/dt Además, en régimen permanente senoidal sabemos que V(t) e i(t) van a ser señales senoidales. Por tanto: V(t) =VL*sin(wt+φv) Fasor V de módulo VL/√2 y argumento φv i(t) = IL*sin(wt+φi) Fasor I de módulo IL/√2 y argumento φi Combinando estas expresiones con el hecho de que V(t) = L*di(t)/dt tenemos que: V(t) = L*di(t)/dt = wL*IL*cos(wt+φi) = wL*IL*sin(wt+φi+90º) = VL*sin(wt+φv) VL = wL*IL y φv = φi+90º Por tanto Z = V/I = VL/√2 a φv entre IL/√2 a φi = wL a 90º = 0+ wLj En una inductancia se tiene, pues, que la impedancia, la relación entre los fasores tensión y corriente, es siempre: ZL = V/I = 0 + wLj = wL a 90º = wL a π/2 radianes Que se interpreta físicamente como que la amplitud de la tensión es wL veces mayor que la de la corriente (por la L de antes de la derivada y por la w que sale fuera al derivar) y que el desfase entra ambas senoides es 90º (la tensión se adelanta 90º a la corriente; al derivar la corriente pasamos de un seno a un coseno, que es un seno adelantado 90º).
4.4.3
Impedancia de un condensador
Se puede demostrar por un razonamiento semejante al de la inductancia que, para un condensador: ZC = V/I = 0 -
1 1 1 j = a -90º = a -π/2 radianes. wC wC wC
Que se interpreta físicamente como que la amplitud de la tensión es wC veces menor que la de la corriente y que el desfase entra ambas senoides es -90º (la tensión se retrasa 90º con respecto a la corriente).
4.4.4
Ejemplo
Sea una inductancia de L = 10H por la que circula una corriente en régimen permanente que vale i(t) = 2sin(6t+20º). ¿Cuánto vale la tensión V(t)? Modo 1: Usar directamente la ecuación diferencial V(t) = Ldi(t)/dt = 10*12cos(6t+20º) = 120sin(6t+110º)
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. Modo 2: Usando impedancias i(t) = 2sin(6t+20º) Fasor I = 2/√2 a 20º Impedancia Z = wLj = 60j Fasor V = Z*I = 120/√2 a 110º V(t) = 120sin(6t+110º)
4.4.5
Asociación de impedancias
Las impedancias se pueden asociar entre sí. Se asocian exactamente igual que las resistencias aunque sean impedancias correspondientes a inductancias o a condensadores. Por ejemplo, si hay 2 condensadores en serie de impedancias Z1 y Z2 la impedancia correspondiente a los 2 condensadores en serie será, simplemente: Z = Z1 + Z2 . También podríamos haber asociado primero los condensadores en serie para obtener el condensador equivalente y, a partir de ahí, obtener la impedancia de ese condensador equivalente. El resultado habría sido exactamente el mismo.
4.5
Ejemplo sencillo de resolución por el método de los fasores
Sea el siguiente circuito de ejemplo:
donde V(t) = 100*sin (100000t + 45º). Se pide calcular el valor de las funciones i(t), VR(t), VL(t) y VC(t) en régimen permanente. Se ve que w = 100000 rad/s f = w/(2π) = 15915 Hz Calculamos las impedancias de los distintos elementos: ZR = 6 ohm ; ZL = wLj = 9j ; ZC =
−1 j = -j wC
Calculamos el fasor que representa a la tensión V = 100/√2 a 45º Y, a partir de ahí, resolvemos el circuito: I = V/(ZR+ZL+ZC) = V/(6+8j) = 10/√2 a -8.13º i(t) = 10*sin (100000t-8.13º)
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. VR = ZRI = 6I = 60/√2 a -8.13º VR(t) = 60*sin (100000t-8.13º) VL = ZLI = 9jI = 90/√2 a 81.87º VL(t) = 90*sin (100000t+81.87º) VC = ZCI = -jI = 10/√2 a -98.13º Vc(t) = 10*sin (100000t-98.13º) Los voltímetros y amperímetros normalmente miden los valores eficaces. Si pusiéramos un voltímetro en los distintos elementos del circuito veríamos: •
En bornes de la fuente marcará 100/√2 = 70.71 V
•
En bornes de la resistencia marcará 60/√2 = 42.43 V
•
En bornes de la inductancia marcará 90/√2 = 63.64 V
•
En bornes del condensador marcará 10/√2 = 7.01 V
IMPORTANTE: Si sumamos lo que marcan los voltímetros en bornes de la resistencia, inductancia y condensador no da lo que marca en bornes de la fuente ¿Es eso normal? No hay nada extraño en eso. En cualquier instante se tiene que cumplir que VR(t) + VL(t) + VC(t) - V(t) = 0, lo que matemáticamente equivale a que los fasores que representan a estas tensiones suman 0. Que varios fasores (que son como vectores) sumen 0 no significa que sus módulos (valores eficaces de las tensiones) hayan de sumar necesariamente 0. De hecho, en general no será así.
4.6 4.6.1
Potencias Potencia instantánea
Sea un elemento de un circuito en que su tensión en función del tiempo es V(t) y su corriente i(t). En cualquier instante, la potencia instantánea consumida (o producida, según los signos de V(t) e i(t)) será P(t) = V(t)*i(t). En régimen permanente senoidal, tanto la tensión como la corriente serán funciones senoidales, de la forma: V(t) = VM*sin(wt+φv)
; I(t) = IM*sin(wt+φI)
Como V(t) e I(t) son periódicas, la función P(t) = V(t)*i(t) también lo será. Sean por ejemplo: V(t) = 10*sin (10t+20º) p(t) = 100*sin(10t+20º)*cos(10t-10º) i(t) = 10*sin (10t-10º) En la siguiente figura representamos la tensión en voltios (línea roja a trazos), la corriente en amperios (línea azul con trazos cortos y largos) y la potencia en W (línea negra continua). Como se ve, la potencia es una función periódica aunque no senoidal.
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial.
4.6.2
Potencia media (activa)
Ya que la potencia en régimen permanente senoidal es una función periódica (aunque no senoidal) se podrá calcular al valor de la potencia media en un ciclo de duración T como: to +T
Pmedia =
∫ to
to +T
p(t )dt =
∫ v(t )i(t )dt to
Se puede demostrar que si V(t) = VM*sin(wt+φv) potencia media se puede calcular como: Pmedia =
e
i(t) = IM*sin(wt+φI) entonces la
VM I M V I cos(ϕ V − ϕ I ) = M M cos( µ V − ϕ I ) = Vef*Ief*cos(φV-φI) 2 2* 2
ya que, en una señal senoidal, los valores eficaces se pueden calcular como los máximos divididos por √2. A esta potencia media en régimen permanente senoidal se le llama potencia activa, está expresada en W, y se representa por la letra P. Aquí vemos por qué normalmente los fasores tenían un módulo igual al valor eficaz (y no al máximo) de las señales senoidales. Si el módulo |V| del fasor V es igual al valor eficaz de la tensión senoidal que representa y el módulo |I| del fasor I es igual al valor eficaz de la corriente senoidal que representa , podemos escribir directamente: P = |V|*|I|* cos(φV-φI)
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. Al término cos(φV-φI) se le llama factor de potencia o, simplemente, “coseno de fi”. Es importante destacar que no es el coseno ni del ángulo de la tensión ni del ángulo de la corriente si no de la diferencia de los dos. Como se ve, por tanto, la potencia media en un ciclo no depende sólo de los valores eficaces de tensión y de corriente sino del desfase entre ambas formas de onda.
4.6.3
Potencia aparente
Al producto |V|*|I| se le denomina potencia aparente y se representa por S. Para no confundirla con la potencia activa (o potencia media en un ciclo) se le asigna una unidad diferente, que es el voltamperio VA. La potencia P se puede calcular como P = S *cos(φV-φI)
4.6.4
Potencia reactiva
Al producto |V|*|I|*sin(φV-φI) = S* sin(φV-φI) se le denomina potencia reactiva y se representa por Q. Para no confundirla con las otras potencias se le asigna una unidad diferente, que es el voltamperio reactivo VAr Veamos qué significado físico tiene la potencia reactiva. Imaginemos 2 situaciones diferentes: 1) Carga 1. V1(t) = 5*sin (100t); I1(t) = 8*sin(100t) 2) Carga 2. V2(t) = 5*sin(100t); I2(t) = 10*sin(100t-36.87º) Vemos que ambas cargas se alimentan con la misma tensión pero la corriente de la segunda es superior. Sin embargo, si calculamos la potencia media en ellas obtenemos: 1) Carga 1 P1 = (5/√2)*(8/√2)*cos(0º) = 20 W 2) Carga 2 P2 = (5/√2)*(10/√2)*cos(36.87º) = 20 W Ambas tienen la misma potencia media (activa). En la siguiente figura se representa la potencia P(t) de cada una de ellas respecto al tiempo. La azul (línea continua) representa a P1 y la roja (discontinua) a P2. Ambas tienen la misma media pero P2 tiene más variaciones respecto a esa media. Eso es lo que representa la potencia reactiva Q. A más potencia reactiva más variaciones de la potencia instantánea respecto a la potencia media para una misma potencia media (activa). Además, si tenemos más Q es porque el seno de la diferencia de ángulos es mayor el coseno es menor para una misma tensión necesitamos más corriente para producir una misma potencia activa. Resumiendo, si |V| e |I| son los módulos de los fasores que representan a la tensión y a la corriente respectivamente y si los hemos tomado iguales a los valores eficaces (es decir, a los máximos divididos por √2) tendremos: S = Vef*Ief = |V|*|I| P = S* cos(φV-φI) = |V|*|I|* cos(φV-φI) Q = S* sin(φV-φI) = |V|*|I|* sin(φV-φI)
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial. Y se cumple que: P2+Q2 = S2
Por otro lado, se puede demostrar que si V es el fasor que representa a la tensión e I el fasor que representa a la corriente, entonces: V*I’ = P+Qj donde I’ es el complejo conjugado (parte imaginaria cambiada de signo) de I. Es decir, el producto de V por I’ es un complejo cuya parte real es la P y cuya parte imaginaria es la Q. Esto puede ser útil si nos es más fácil multiplicar entre sí los fasores V e I’ que calcular sus módulos y ángulos para poder usar las expresiones de más arriba.
4.6.5
Otras fórmulas para el cálculo de potencias en las impedancias
En una impedancia Z de módulo |Z| y argumento φZ, se cumple, por definición: V = Z*I |V| = |Z|*|I| y φV = φI + φZ φV - φI = φZ Por tanto:
| V |2 = | I |2 * | Z | S = |V|*|I| = |Z | P = |V|*|I|* cos(φZ) =
| V |2 * cos(φZ) = | I | 2 * | Z | * cos(φZ) |Z |
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Autor: Fernando Gago Rodríguez. Ingeniero Industrial.
Q = |V|*|I|* sin(φZ) =
| V |2 * sin(φZ) = | I | 2 * | Z | * sin(φZ) |Z |
Fijémonos que las fórmulas anteriores valen para cualquier tipo de impedancias (resistencia, inductancia, condensador o combinación de ellas) y para las potencias S, P y Q, no para las potencias instantáneas. Error típico: No hay que cometer el siguiente error típico para el cálculo de la potencia instantánea: La P(t) = V(t)*i(t) para cualquier elemento. En una resistencia por la ley de ohm sabemos que V(t) = R*i(t) P(t) también se puede expresar como P(t) = i2(t)*R = V2(t)/R Sin embargo, en una inductancia y en un condensador no se cumple que V(t) = L*I(t) ni V(t) = C*I(t) con lo que la P(t) hay que calcularla como P(t) = V(t)*I(t). No se pueden usar fórmulas semejantes a las de las potencias P y Q y decir que: •
En una inductancia: P(t) = ZL* i2(t) (incorrecto)
¡¡¡¡MAL !!!! •
4.6.6
En un condensador: P(t) = ZC* i2(t) (incorrecto)
Teorema de Boucherot
La suma de las potencias activas producidas en un circuito es igual a la suma de las potencias activas consumidas. La suma de las potencias reactivas producidas en un circuito es igual a la suma de las potencias reactivas consumidas. Con las potencias aparentes esto no se cumple.
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