Rectas Planos Y Superficies 5eu6r

RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO

Mtro. Óscar Ruiz Chávez

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

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INDICE RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO_____________________________________3 PLANOS EN EL ESPACIO...................................................................................... ...............5 Ecuación de un plano..............................................................................................................................5 Ángulo entre dos planos..........................................................................................................................6 Trazado de planos en el espacio..............................................................................................................8 Distancia de un punto a un plano............................................................................................................9 Distancia de un punto a una recta.........................................................................................................10

SUPERFICIES EN EL ESPACIO..................................................................... ....................11 Esferas...................................................................................................................................................11 Cilindros................................................................................................................................................12 Superficies cuádricas.............................................................................................................................13 Superficies de revolución......................................................................................................................18

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RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO RECTAS EN EL ESPACIO. En el espacio, al igual que en el plano, para expresar la ecuación de una recta es suficiente, ya sea, conocer dos puntos diferentes por los que pase la recta o conocer un punto y su dirección. En el plano la dirección la dá el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje ‘x’ o su pendiente, que es la razón de cambio de las coordenadas de sus puntos. En el espacio, la dirección la determina un vector.

Ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas de la recta. Supongamos que conocemos un punto P ( x1 , y1 , z1 ) que pertenece a la recta y un r vector v  a, b, c paralelo a la recta. v es el vector de dirección de la recta v

Si tomamos un punto cualquiera de la recta Q( x, y, z ) y formamos el vector uuur que es PQ  x  x1 , y  y1 , z  z1

z Q

paralelo y, por lo tanto, múltiplo r escalar del vector de dirección v .

P

y

x

uuur r PQ  tv x  x1 , y  y1 , z  z1  t a, b, c x  x1 , y  y1 , z  z1  at , bt , ct

de la igualdad de vectores tenemos que: x  x1  at  x  x1  at  y  y1  bt   y  y1  bt  z  z  ct z  z1  ct 1  Que se denominan como las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa r por P ( x1 , y1 , z1 ) y es paralela al vector v  a, b, c . La variable t es el parámetro, y conforme t varía el punto Q se mueve sobre la línea. Los coeficientes a, b y c son los números directores ( o de dirección) de la recta. Si despejamos t en cada una de las ecuaciones paramétricas e igualamos obtendremos las ecuaciones simétricas de la recta:

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x  x1 y  y1 z  z1   a b c Ejemplo: Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas para la recta que pasa por el punto P  1,3,5  y es paralela al vector r v  2, 4,1 . Solución: Tomamos las coordenadas del punto P z x1  1, y1  3, z1  5 y los números de P(1,3,5) r dirección del vector v : a  2, b  4, c  1 v y x

ecuaciones  x  x1  at  x  1  2t   paramétricas   y  y1  bt   y  3  4t  z  z  ct  z  5t 1   ecuaciones simétricas:

x 1 y  3 z  5   2 4 1

Ejemplo: Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas para la recta que pasa por los puntos P  1,5,3 y Q  2,3, 6  . Solución: z Q(2,3,6) PQ P(-1,5,3)

Como nos dan dos puntos de la recta, con ellos formamos un vector de dirección r uuur v  PQ  2  1,3  5, 6  3  3, 2,3 y tomando

uno de los puntos (P por ejemplo) tenemos un conjunto de x  1  3t x ecuaciones paramétricas: y  5  2t y las z  3  3t x 1 y  5 z  3   ecuaciones simétricas . 3 2 3 Si en lugar de tomar el punto P usamos las coordenadas del punto Q tendríamos ecuaciones diferentes: x  2  3t x  2 y 3 z 6   paramétricas: y  3  2t simétricas . 3 2 3 z  6  3t uuur O, incluso si el vector de dirección fuera el vector QP obtendríamos otros conjuntos de ecuaciones representando a la misma recta. y

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paramétricas:

x  2  3t y  3  2t z  6  3t

simétricas

x  2 y 3 z 6   . 3 2 3

PLANOS EN EL ESPACIO Cuando empezamos a trabajar en tres dimensiones, el espacio se dividió en ocho octantes por medio de tres planos coordenados: el plano xy, el plano xz y el plano yz. Cada uno de estos planos es perpendicular a uno de los ejes, por ejemplo, el plano xy es perpendicular al eje z. Por lo tanto cualquier vector normal (perpendicular) al plano xy es paralelo al eje z y al vector unitario kˆ .

z Plano yz plano xz i j y k x

plano xy

vectores unitarios normales a los planos coordenados

Suponiendo que el vector normal fuera una palanca pegada al plano que tiene que permanecer perpendicular a éste. Si cambiamos la orientación (dirección) del vector cambiaría tambien la orientación del plano.

Ecuación de un plano Suponiendo que conocemos un vector r n  a, b, c normal al plano y las coordenadas de uno de sus puntos si Si tomamos un punto P ( x1 , y1 , z1 ) ,

z Q

n PQ P y

cualquiera del plano Q( x, y, z ) y formamos el uuur vector PQ  x  x1 , y  y1 , z  z1 ortogonal al r vector normal n .

Como sabemos el producto escalar de dos vectores ortogonales es cero: r uuur n PQ  a, b, c  x  x1 , y  y1 , z  z1  a  x  x1   b  y  y1   c  z  z1   0 x

ecuación del plano en su forma canónica : a  x  x1   b  y  y1   c  z  z1   0

a  x  x1   b  y  y1   c  z  z1   ax  by  cz   ax1  by1  cz1   0 de donde se desprende la forma general de la ecuación del plano: ax  by  cz  d  0

con d  -ax1 - by1 - cz1 . M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

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Ejemplo: Encuentre la ecuación general del plano que contiene a P(1,3,-2) y con r un vector normal n  2,5,1 Solución: Sustituimos las coordenadas de P ( x1 , y1 , z1 ) y los números de dirección r del vector normal n  a, b, c en la ecuación a  x  x1   b  y  y1   c  z  z1   0 . 2  x  1  5  y  3  1 z  2   0 2 x  2  5 y  15  z  2  0 2 x  5 y  z  15  0 Ejemplo: Encuentre la ecuación general del plano que contiene a los puntos P(1,2,0), Q(0,3,4) y R(2,0,2). Solución: Si los puntos dados no son colineales entonces el producto vectorial de dos de los vectores que unen a dichos puntos da como resultado un vector ortogonal a los vectores en el plano y, por lo tanto, normal al plano. uuur uuu r PQ  1,1, 4 , PR  1, 2, 2 r uuur uuu r n  PQ  PR  10, 6,1

Q

4

2 PQ

La ecuación del plano, tomando el punto P(1,2,0)

R PR P2

1 2

3

El vector normal como el producto cruz de PQ y PR

n=PQxPR

10  x  1  6  y  2   1 z  0   0 10 x  10  6 y  12  z  0 10 x  6 y  z  22  0

Ángulo entre dos planos Dos planos no paralelos se intersectarán en una recta formando un ángulo entre ellos. Si tomamos sus vectores normales podemos ver que forman el mismo ángulo que los planos, por lo tanto, si es dicho ángulo, entonces

n2

ur uu r n1 n2 cos   ur uu r n1 n2

n1

n1x n2

Ángulo entre 2 planos

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ó

ur uu r  n  n 1 2    cos  ur uu r  n1 n2    1



y el producto cruz de las normales es un vector paralelo a la recta intersección de los planos. Ejemplo: Calcule el ángulo entre planos y encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta intersección. 2x  3y  z  6  0 Plano 1: 5 x  2 y  4 z  10  0 Plano 2: Solución: de las ecuaciones de los planos obtenemos los vectores normales r r r r n1  2, 3, 1 y n2  5, 2, 4 , con n1  14 y n2  45 , sustituyendo en la fórmula: r   ur uu n1 n2   10  6  4  1  1   cos ur uu r  cos 1    cos  0   90  n1 n2   14 45    r r los planos son perpendiculares  n1 n2  0  . Para las ecuaciones de la recta intersección solamente necesitamos encontrar un punto común a los planos, ya que sabemos que el producto cruz de las normales es paralelo a la recta. iˆ ˆj kˆ r r r v  n1  n2  2 3 1  10iˆ  13 ˆj  19kˆ 5 2 4 El punto común lo hallamos resolviendo el sistema de ecuaciones 2x  3y  z  6  0 5 x  2 y  4 z  10  0 de donde tenemos que y

34  13x 10

y

z

42  19 x , 10

si hacemos que x  2 , entonces y  6 y z  8 . r Con el punto P (2, 6,8) y el vector v  10iˆ  13 ˆj  19kˆ , las ecuaciones paramétricas de la recta serían: x  2  10t y  6  13t z  8  19t

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Trazado de planos en el espacio Si queremos dibujar un plano es útil hallar las intersecciones con los ejes coordenados y trazar rectas por esos puntos. Las rectas de intersección con los planos coordenados se denominan trazas. Ejemplo: Dibuje los planos y la recta intersección x  2 y  6z  6  0 Plano 1: 5 x  3 y  5 z  15  0 Plano 2: Solución: Para encontrar las intersecciones del plano con cada eje, hacemos que los valores de las otras dos variables sean cero en la ecuación y resolvemos Pla no 1 Intersección con: condición yz0 Eje ‘x’

ecuación x6  0

punto  6, 0, 0 

x z0

2y  6  0

x y0 Eje ‘z’ Pla no 2 Intersección con: condición yz0 Eje ‘x’

6z  6  0

ecuación 5 x  15  0

Eje ‘y’

x z0

3 y  15  0

Eje ‘z’

x y0

5 z  15  0

Eje ‘y’

z 6

 0,3, 0   0, 0,1

5 4 3

Plano 2 5x+3y+5z-15=0

2 Recta intersección de los planos

punto  3, 0, 0 

1 1

1

2

3

4

5

2 3 4 x+2y+6z-6=0 5 Plano 1

 0,5, 0   0, 0,3

6 x

Cuando no aparece alguna de las variables en la ecuación entonces el plano es paralelo al eje de esa variable. Cuando faltan dos variables, es paralelo al plano coordenado de las variables ausentes. z

z z

6

6

5

4 3

2

1 1

5

Paralelo al eje 'y'

4 3

Plano 3y+5z-15=0

2 Paralelo al eje 'x'

6

5

4 3

1

2

3

4

5

Plano xz

2

1

y

2

1

3

1

1

2

3

4

5

y

1

2

4

3

5

4

6

2

1

2

3

4

5

y

Paralelo al plano 'xz'

3

Plano 5x+5z-15=0 5

5 x

Plano 3y-15=0

4

6

6 x

x

Cuando no aparece el término independiente ( d = 0 ), el plano corta a los tres ejes en el origen O(0,0,0).

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y

z

Plano x+y-z=0

6 5 4 3

y=z

2 1

x=z 1 2

1

2

3

4

5

6

y

pasa por el origen

3 4 5 6 x

Distancia de un punto a un plano Ya analizamos el caso de querer calcular la distancia entre dos puntos en el espacio, pero, ¿qué pasa cuando queremos encontrar la distancia de un punto a un plano o a una recta? Primero, consideremos un plano y un punto Q que no pertenezca a éste. La distancia D es la longitud del n Q segmento QR perpendicular al plano r n ). (paralelo al vector normal PQ D Proy n

PQ

Tomamos un punto cualquiera uuur P del plano y formamos el vector PQ con uuur r como el ángulo entre PQ y n . uuur r PQ n Donde cos   uuur r PQ n

R P

La distancia D entre el punto Q y el plano:

uuur r PQ n uuur D  PQ cos   r n

uuur r Para el plano ax  by  cz  d  0 con n  a, b, c y PQ  x0  x1 , y0  y1 , z0  z1 la distancia entre el punto Q  x0 , y0 , z0  y el plano está dada por D

ax0  by0  cz0  d ax  by0  cz0  d  0 r n a 2  b2  c 2

Ejemplo: ¿Qué tan cerca pasa el plano x  2 y  6 z  6  0 del origen? ¿A qué distancia del punto Q(1,2,3)? Solución: M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

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De la ecuación del plano obtenemos los valores de a=1, b=2, c=6 y d = - 6. Los sustituimos junto con las coordenadas del punto dado en la fórmula: D

D

ax0  by0  cz0  d a 2  b2  c 2 ax0  by0  cz0  d a b c 2

2

2





1(0)  2(0)  6(0)  6 12  22  62 1(1)  2(2)  6(3)  6 1 2 6 2

2

2



6  0.937 del origen. 41



17  2.655 del punto Q. 41

Distancia de un punto a una recta

r Si tenemos una recta que pasa por el punto P y es paralela al vector v  a, b, c , uuur la distancia de un punto Q a la recta está dada por D  PQ sen  . Con como uuur el rángulo entre los vectores PQ y v , tal que uuur r uuur r PQ  v  PQ v sen  , de donde uuur r PQ  v sen   uuur r y, por lo tanto, PQ v

Q

D

PQ

v

P

uuur r PQ  v D r v

Ejemplo:  x  1  2t  Calcule la distancia entre la recta con ecuaciones  y  3  t y el punto Q(2,-1,3)  z  4t  uuur Solución: un punto de la recta es P(1,3,0) (cuando t=0). El vector PQ  1, 4,3 y uuur r r el vector v  2,1, 4 . El producto cruz de PQ y v : ˆj kˆ iˆ uuur r PQ  v  1 4 3  19iˆ  10 ˆj  9kˆ , 2 1 4 uuur r r PQ  v  192  102  92  542 , v  21 10

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La distancia del punto a la recta: z

uuur r PQ  v 542 D   5.08 r v 21

Q -1 P

3

y

4

1 2

x

SUPERFICIES EN EL ESPACIO Los planos son un tipo de superficie en el espacio. Existen muchos otros tipos de superficies, de las cuales, vamos a estudiar algunas en esta sección.

Esferas Una esfera es el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio que se encuentran a una misma distancia de un punto fijo. Ese punto fijo es el centro de la esfera C  x0 , y0 , z0  y la distancia el radio r.

Si tomamos un punto cualquiera de la esfera P  x, y, z  y consideramos que la distancia a C es igual a r, entonces d  PC   Ecuación canónica de la esfera:

 x  x0 

 x  x0 

2

2

  y  y0    z  z0   r .

  y  y0 

2

2

  z  z0 

2

2

 r2

Desarrollando obtenemos la ecuación general de una esfera x 2  y 2  z 2  Gx  Hy  Iz  J  0

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la esfera con centro en el origen y radio r = 3. Solución: Sustituimos las coordenadas del centro y el 2 2 2 radio:  x  0    y  0    z  0   32 de donde obtenemos la ecuación: Esfera creada en Derive

x2  y 2  z 2  9  0

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Ejemplo: Encuentre las coordenadas del centro y la longitud del radio de la esfera con ecuación x 2  y 2  z 2  8 x  6 y  4 z  4  0 7.5 5

Solución: De la ecuación general obtenemos la forma canónica reordenando términos y completando trinomios cuadrados perfectos. x 2  y 2  z2  8x  6 y  4 z  4  0 x  8 x  16  y  6 y  9  z  4 z  4  4  16  9  4 2

2

 x  4

2

2.5 0

5 2.5

2

0

  y  3   z  2   25 2

2

-2.5 -7.5 -5

De donde obtenemos las coordenadas del centro C ( 4,3, 2) y el radio r  5

-2.5 0

Esfera creada en Mathematica

Cilindros Regularmente, cuando pensamos en un cilindro nos viene a la mente la figura del cilindro circular recto, como el que se muestra en la figura. Para obtener esta superficie imaginemos que dibujamos un círculo en un plano y hacemos pasar rectas perpendiculares al plano por cada uno de los puntos de la circunferencia.

Recta L Rectas generatrices

curva directriz C

Ahora, si tomamos una curva cualquiera C en el plano y una recta L no paralela al mismo plano y hacemos pasar rectas paralelas a L por cada punto de la curva C, entonces la superficie que obtendremos es un cilindro. La curva C se denomina curva directriz del cilindro y las líneas paralelas a la recta L se conocen como rectas generatrices.

Si el plano que contiene a la curva C es alguno de los planos coordenados y las rectas generatrices son perpendiculares a éste, entonces la ecuación del cilindro es una expresión que contiene solamente las variables de dicho plano. Por ejemplo, la gráfica de la ecuación z  x 2 es una parábola en el plano xz. En el espacio z  x 2 representa a la superficie que se muestra en la figura. En el plano yz.

5 2.5 0

En el espacio es un cilindro

-2.5 -5

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2

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0 -2 -4 -2 0 2 4

Otro ejemplo de un cilindro es la ecuación z  3 sen y en el plano yz es una curva senoidal y en el espacio es la superficie mostrada.

¿Cómo será la superficie con ecuación y  x  1 ? 2

2

Su traza (intersección de la superficie con el plano) en el plano xy es una hipérbola.

Superficies cuádricas La ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es la ecuación de segundo grado de tres variables Ax 2  By 2  Cy 2  Dxy  Exz  Fyz  Gx  Hy  Iz  J  0 Para dibujar una superficie es útil determinar sus trazas con los planos coordenados y con algunos otros planos paralelos. Elipsoide x2 y 2 z 2    1 con centro a 2 b2 c2 en el origen O(0,0,0) y a,b,c como las longitudes de los semiejes en la dirección de x,y,z respectivamente. La forma canónica de la ecuación de un elipsoide es

Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación

x2 y 2 z 2   1 9 4 1

Trazas con los planos coordenados. Plano xy ( z = 0). x2 y 2 Elipse  1 9 4

Plano xz ( y = 0). x2 z 2 Elipse  1 9 1

traza con el plano xy 1 0.5 0 -0.5 -1

Plano yz ( x = 0). y2 z2 Elipse  1 4 1

traza con el plano

2 1

-2

0 0

-1 2

-2

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Elipsoide

Hiperboloide de una hoja x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 c2 (uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es negativo, el eje es el de la variable del término negativo). La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es

Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación

Trazas con los planos coordenados. Plano xy ( z = 0). Plano xz ( y = 0). 2 2 x y x2 z 2 Elipse Hipérbola  1  1 9 4 9 4

traza con el plano xy

traza con el plano xz

x2 y 2 z 2   1 9 4 4

Plano yz ( x = 0). y2 z2 Hipérbola  1 4 4

traza con el plano yz

Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas z 2 x2 y 2   1 c2 a2 b2 (uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es positivo, el eje es el de la variable del término positivo y no hay traza en el plano perpendicular al eje). La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es

Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación Trazas con los planos coordenados. Plano xy ( z = 0). Plano xz ( y = 0). 14

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z 2 x2 y 2   1 4 9 4 Plano yz ( x = 0).



x2 y 2  1 9 4

Hipérbola

z 2 x2  1 4 9

Hipérbola

z2 y2  1 4 4

No hay traza

el plano xz con el plano yz

traza con traza

Hiperboloide de dos hojas

Cono elíptico La ecuación canónica del cono elíptico es parecida a la del hiperboloide solo que se iguala a cero en vez de igualar a uno. x2 y 2 z 2 Ecuación de un cono elíptico 2  2  2  0 (uno de los coeficientes de los a b c términos cuadráticos es de signo diferente a los otros dos, el eje es el de la variable de signo diferente). x2 y 2 z 2 Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación   0 9 4 4 Trazas con los planos coordenados. Plano xy ( z = 0). Plano xz ( y = 0). 2 2 x y x2 z 2  0  0 9 4 9 4 2 es el punto (0,0) son las rectas z   x 3

traza con el plano xy

traza con el plano xz

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Plano yz ( x = 0). y2 z2  0 4 4 son las rectas z   y

traza con el plano yz

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Cono elíptico

Paraboloide elíptico La ecuación canónica del paraboloide elíptico solo tiene términos cuadráticos en dos de sus variables y de la tercera solo término lineal. x2 y 2 Ecuación de un paraboloide elíptico z  2  2 (los coeficientes de los términos a b cuadráticos son del mismo signo, el eje del paraboloide es el de la variable sin término cuadrático). x2 y2 Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación z   9 4 Trazas con los planos coordenados. Plano xy ( z = 0). Plano xz ( y = 0). 2 2 2 x y x Parábola z   0 9 4 9 es el punto (0,0)

Plano yz ( x = 0). y2 Parábola z  4

traza con el plano xy traza con el plano yz

traza con el plano xz

Paraboloide elíptico

Paraboloide hiperbólico La ecuación canónica del paraboloide hiperbólico, al igual que la superficie anterior, solo tiene términos cuadráticos en dos de sus variables y de la tercera solo término lineal.

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x2 y2 (los coeficientes de los  a 2 b2 términos cuadráticos son de signo contrario, el eje del paraboloide es el de la variable sin término cuadrático). x2 y 2 Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación z   9 4 Trazas con los planos coordenados. Plano xy ( z = 0). Plano xz ( y = 0). Plano yz ( x = 0). 2 2 2 x y y2 x Parábola z  Parábola z    0 9 4 4 9 2 rectas y   x 3 Ecuación de un paraboloide hiperbólico z 

tr za con el plano xy traza con el plano xz

a traza con el plano yz

curvas de nivel En ocaciones no basta con conocer las trazas con los planos coordenados para imaginarse a la superficie y será necesario utilizar otros planos paralelos a alguno de los planos coordenados para realizar cortes a la superficie y dibujar esas trazas. Por ejemplo, con planos paralelos al xy, dando diferentes valores a la variable z, obtendremos las curvas de intersección con los planos a diferentes alturas. Estas gráficas se denominan curvas de nivel ( son todos los puntos que se encuentran a la misma altura con respecto al plano xy ). En topografía esas curvas de nivel se conocen como mapas de contorno, en metereología se usan para determinar zonas de temperaturas ( cada curva es una isoterma-“misma temperatura” ) ó zonas de presión ( isobaras ).

x2 y 2 ya obtuvimos las trazas con los planos  9 4 coordenados las cuales no nos dan mucha información. Ahora probemos con algunas curvas de nivel. Para la superficie z 

Planos paralelos al xy

ecuación de la curva M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

tipo de curva 17

z  4

x2 y2 y2 x2    1 9 4 16 36 x2 y2 y2 x2 2     1 9 4 8 18 x2 y2 y2 x2 1     1 9 4 4 9 x2 y 2 2 0   y x 9 4 3 x2 y2 1  9 4 2 2 x y x2 y2 2    1 9 4 18 8 x2 y 2 x2 y2 4    1 9 4 36 16

4 

z  2 z  1 z0 z 1 z2 z4

hipérbola hipérbola hipérbola rectas hipérbola hipérbola hipérbola

2

1

0

-1

-2

Cortes con planos z=1, z=-2

-3

-2

-1

0

1

Curvas de nivel

2

3

Paraboloide hiperbólico

Superficies de revolución Ya vimos que un cilindro circular recto se forma cuando hacemos girar, por un círculo, a una recta perpendicular al plano que contiene a ese círculo. Existe un eje central paralelo a la recta generatriz y, por lo tanto, a la superficie. ¿Que pasaría si , en lugar de una recta, lo que se moviera alrededor del eje fuera cualquier curva? Lo que obtenemos se denomina una superficie de revolución. Por ejemplo, si tenemos una curva C, definida por una función que determine la distancia de sus puntos a alguno de los ejes coordenados. Digamos, y  r ( x)  x , para una curva en el plano xy. Cuando hacemos girar la curva alrededor del eje x nos genera la superficie de revolución.

18

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

Paraboloide circular x  y 2  z 2

C es la curva generatriz de la superficie de revolución

y  r ( x) es la función radio de los círculos paralelos al plano yz que se forman al girar todos los puntos de C alrededor del eje x. Para cada valor xo de x 2 obtendremos un círculo de radio r ( x0 ) con ecuación y 2  z 2   r  x0   . Si hacemos que x pueda tomar cualquier valor del dominio de r ( x) entonces la ecuación de la superficie de revolución es y 2  z 2   r  x   . En el ejemplo, la función radio es y  r ( x)  x , la ecuación de la superficie es 2

y 2  z 2   r  x   y 2  z 2   x  y2  z2  x

2

2

ecuación de un paraboloide.

Ecuación de la superficie de revolución Si el eje de giro es alguno de los ejes coordenados, la ecuación toma la forma: Alrededor del eje x:

y 2  z 2   r  x  

2

Alrededor del eje y:

x 2  z 2   r  y  

2

x 2  y 2   r  z   Ejemplo: Hallar la ecuación de la superficie que se genera al girar la gráfica de 4 x 2  9 z 2  36  0 alrededor del eje z. Bosqueje su gráfica 2

Alrededor del eje z:

Solución: La curva C está en el plano xz y gira alrededor del eje z, debemos obtener una función radio x  r ( z ) despejando la variable x, tenemos 4 x 2  9 z 2  36  0  4 x 2  36  9 z 2 36  9 z 2 36  9 z 2 36  9 z 2 x  x función radio r ( z )  4 4 4 para la ecuación de la superficie tomamos la tercera opción (alrededor de z) 2

x 2  y 2   r  z   

x y  2

2



x2  y 2 

2

36  9 z 2 4

2

  

36  9 z 2 4

4 x 2  4 y 2  9 z 2  36 

x2 y 2 z 2   1 9 9 4 Elipsoide

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

19

Ejemplo: Hallar la ecuación de la superficie que se genera al girar la gráfica de yz  1 alrededor del eje y. Bosqueje su gráfica Solución: La curva C está en el plano yz y gira alrededor del eje y, debemos obtener una función radio z  r ( y ) despejando la variable z, tenemos

yz  1  z 

1 y

Alrededor del eje y:

20

función radio r ( y ) 

1 , y

x 2  z 2   r  y  

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

2

 x2  z 2 

1 y2