Razonamiento Matematico 4q6lc

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN REGI ON AL D E ED UCACI ÓN UNID AD DE GE STION EDU CATIVA LOCAL AREQUI PA L A J OYA

ONG PASO AL DESARROLLO

GOBIERNO REGIONAL DE AREQUIPA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA FACULTAD DE ECONOMIA

PUBLICADO JULlO DEL 2009

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

Razonamiento Matemático A1

AUTOR: YHONY BENIQUE ARIAS

1.- CONTEO DE SEGMENTOS FÓRMULA: #de segmentos = n (n+1) 2 Donde: n: “número de espacios por segmento mayor” Ejemplo: En la siguiente figura: E

1e

F

2e

3e

A

B

C

D

Aquí se observan 3 segmentos mayores (se considera de principio a fin un segmento mayor), estos son: AB, EC, DF. Por consiguiente la fórmula se aplicará 3 veces. En AB (1 segmento mayor) hay 3 espacios (segmentos) , 1e,2e, y 3e, entonces existen: #de segmentos = 3 (3+1) = 6 2 En CD y DF ( 2 segmentos mayores), hay en cada uno 2 espacios y por tanto el número de segmentos que hay en cada uno de ellos es: 2 (3) = 3 segmentos 2 Concluyendo en total hay: 6 + 3 +3 = 12 segmentos en la figura anterior. Contando también se obtiene 12 (sin aplicar la fórmula), debe considerarse segmentos de un espacio, segmento de dos espacios (consecutivos), segmento de tres espacios (consecutivos), etc. Hasta donde exista. Ejemplo: 1e

2e

3e

F

G

Los puntos generan espacios. En FG (un segmento mayor) hay 3 espacios, entonces el: Numero de segmentos: 3 (4) = 6 segmentos 2 Contando también se obtiene 6 (sin aplicar la fórmula)

2

1.- Hallar el número total de segmentos que hay en la siguiente figura.

I

J

A

B F

H

E D

#segmentos = n( n 1) 2

G

L

n: # de espacios por segmento mayor, hay 10 segmentos mayores en la figura.

C K

En AB En BC En CD En DA En HI En En En En En

3(4) 2 2(3) 2 3(4) 2 2(3) 2 3(4) 2

=6

+

=3

+

=6

+

=3

+

=6

+

1 3 3 15 3 49

+ + + + +

EF FG GE KJ HL

2.- En la pregunta anterior, determine el número total de segmentos que constan de dos espacios cada uno En AB

2

+

En BC

1

+

En CD

2

+

En AD

1

+

En FG

1

+

En EG

1

+

En HI

2

+

En KJ

4

+

En KL

1

+

15

3

3.- Por cada segmento recto que existe en la figura se paga tres soles. Luis encontró la mitad del total, disminuído en cuatro y Elías el resto. ¿Cuántos soles recibió en total de Elías?

A

B

D

En AB En BC

C

(LUIS) =

1 2

TOTAL

–4=

5(6)/2 = 15 + 2(3)/2 = 3

En CD

10

En AB En DE En EC

3 6 1 38

1 38 – 4 = 15 2

(ELLAS) = (TOTAL) – (LUIS) = 38 – 15 = 23

LUEGO :

3(23) = 69 SOLES 4.- Repetir el ejercicio número 3, si se omite el signo de puntuación coma (,) que aparece antes de la palabra “disminuido” SIN COMA SERA: (LUIS) =

1 2

TOTAL

4 =

1 38 4 = 17 2

(ELLAS) = (TOTAL) – (LUIS) = 38 – 17 = 21 3(21) = 63 SOLES 5.- Hallar el número total de segmentos que hay en la siguiente figura

9 . . . 2 1 1

2

…

10

Existen 9 segmentos mayores horizontales y 10 verticales; luego: # Segmentos = 9

11 12 2

+ 10

10 11 2

= 1144

Nota : “porque hay 10 verticales que cortan a cada horizontal mayor ( n vale 11). Si hubiese 12 verticales sería 13 (en vez de 11” ).

4

6.- Hallar el número total de segmentos que hay en la siguiente figura.

C

E D

B F

A

En AB

4(5) = 6 2

+

En BC

1

+

5(6) = 15 + 2

En CD En BE

6

+

En CF

3

+

35 7.- Hallar el número total de segmentos que hay en la siguiente figura. Los rayos son paralelos

I

B

F

A

C

E G

H

D

En AB

2(3) =3 2

+

En BC

2(3) 2

+

3

En CD

1 +

En EB

6

+

En BF

6

+

En AF

3 +

En AC

10

+

32

5

8.- Hallar el número total de segmentos que hay en la siguiente figura

A

B

E D

C F

En AB

1(2) =1 2

+

En BC

1

+

En CD

6 +

En EB

6

+

En BF

6

+

En AF

6 +

En AC

6

+

35

9.- Cuantos segmentos existen en la figura tales que encima de cada uno de ellos hay por lo menos (al menos) dos triángulos sombreados.

CON DOS TRIANGULOS De un espacio de

1 +

De 2 espacios : ce, ac,

2

De 3 espacios : ad,

1 4

CON 3 TRIANGULOS : De 3 espacios : BE……… De 4 espacios :

CON 4 TRIANGULOS: De 4 espacios : AE

1+ 0 1

1 1

TOTAL : 6

6

2.- CONTEO DE TRIANGULOS Existen triángulos de una región, de dos regiones, de tres regiones, etc. Una región:

Dos regiones: Tres regiones:

En cada problema se cuenta primero el número de triángulos de una región que existen, luego de dos regiones, etc. Finalmente se suman los resultados anteriores para obtener el total de segmentos que existen en la figura del problema. Se recomienda enumerar a los triángulos de una región con números y a los de una región que no son triángulos con letras.

1.- Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura.

2 1

3 a

8 7

c b 6

4 5

d

De 1 región De 2 regiones 12, 18, 2a , 4d, 5d, 87, 8 De 3 regiones 187, 8a3, 7b5, De 4 regiones 12a8 , De 5 regiones 2ab46, 7b45d De 6 regiones 8a37b5, 2ab45d De 7 regiones 78ab45d De 9 regiones 128a7b45d

8 + 7 3 1 2 2 1 1 25

7

2.- Hallar el número total de triángulos que hay en la siguiente figura que contenga un triángulo sombreado

a b 1 c h 3

d f

e

De 1 región: De 2 regiones: 1a, 1g, bc, De 3 regiones: 1ab, 1gf, ghc,bcd De 4 regiones: 1agh , abch De 5 regiones: 1aghfe, abch De 6 regiones: 1ahgfe, abcdhe, ghcfed De 7 regiones :

1 + 3 4 2 2 3 0 13

3.- Hallar el número total de triángulos rectángulos en:

a b 1 2

d

3

c

De 1 región: De 2 regiones: a1, b2, c3, De 3 regiones: dc3 De 4 regiones: 1agh , abch

3 + 3 1 1 8

4.- Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura:

2 A 1

3 b

7

6 5

De 1 región: De 2 regiones: 1a, 17, 23, 34, 45, 56 De 3 regiones: 7b2, 345, 2b6, 7b4 De 4 regiones: 1b7b4 , 7b234,

7 + 6 4 2 19

8

5.- En la pregunta número 4, hallar el número total de triángulos que contengan al menos dos letras. c

B b

d

BB h

B a

B

4

Bi

6 B 5

con 2 letras de una región de 2 regiones: ab, ai con 3 letras de 3 regiones: ihe, con 4 letras de 3 regiones: ihc, chg de 5 regiones: ihcde con 5 letras: abhei

0 + 2 1 2 1 1 total : 7

6.- En la pregunta número 4, hallar el número total de triángulos que contengan al menos tres letras: De la solución de ejercicio anterior, consideramos parte de esa solución: Con 3 letras, con 4 letras, y con 5 letras. 1+2+1+1=5

7.- Hallar el número total de triángulos:

8 2

9 7

A 3 B c 4

6

1 D De 1 región: De 2 regiones: 89, 67, 96, De 3 regiones: 2a3, 3c4, 485, De 4 regiones: 8976 De 5 regiones: 2a3bc4, 3c4ef5 De 6 regiones: 2a3bc4def5 De 7 regiones : 12a3bc4def5

e

f

5 9 + 3 3 1 2 1 1 20

9

8.- Hallar el número total de triángulos isósceles que hay en la figura siguiente. ABCD es un cuadrado.

B

C 1 g f

A de 1 región: de 2 regiones: ab, fg de 3 regiones: 1ab, 1fg, edc de 4 regiones: 1adg de 5 regiones: abcde, fgedc

a d

e

b c

D 1 + 2 3 1 2 9

10

CONTEO DE CUADRILATEROS Cuadriláteros Convexos son el cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio, paralelogramos y cualquier otro cuadrilátero que cumpla las siguientes propiedades: Tomados 2 puntos interiores del cuadrilátero, el segmento recto que los reune queda siempre dentro de dicho cuadrilátero.

1.- Hallar el número total de cuadriláteros convexos que hay en la siguiente figura

a b

1

4

c

d

g f

2 e 3

de 1 región: de 2 regiones: de 3 regiones: de 4 regiones: de 5 regiones: de 6 regiones:

4 + 6 6 3 2 3 24

2.- Hallar el número total de cuadriláteros que hay en la figura

1

2

3

b

De 1 región: De 2 regiones: 23, 34, 56, De 3 regiones: b12, 234, De 4 regiones: b123, 456a De 5 regiones: b1234, 3456a De 6 regiones: 23456a De 7 regiones : b123456a

4

5 6 a

6 + 3 2 2 2 1 1 17

11

3.- Hallar el número total de cuadriláteros convexos que hay en la siguiente figura

De 2 regiones

0+

De 3 regiones: bif, gid, big, hid, cig, bid, hif, hic

8

De 5 regiones: bidef, habif, habid, hidef

4

de 7 regiones: abhidef

1 13

4.- Hallar el número total de cuadriláteros convexos que hay en la siguiente figura 1 2

4 3

7 8 9 10 11 12 13 14 15

a

5 6

b

De una region De 2 regiones: 5a, 6b De 4 regiones 1234, 781011, 891112, 10111314 11121415 De 9 regiones: 789101112131415 De 17 regiones:

15 + 2 5 1 1 24

12

5.- Hallar el número total de cuadriláteros que contengan dos triángulos sombreados

d c

b

e

a

f

g

1 i

h

De 1 región: De 2 regiones: ef, 1c, fg, 1i, a1 De 3 regiones: dc1, a1i, 1ih, cfg, efi, icd De 4 regiones: b123, 456a

1 + 5 5 4 15

6.- En la pregunta anterior ¿cuántos cuadriláteros hay, tales que contengan por lo menos dos triángulos sombreados?

Con 2 triángulos Con 3 triángulos De 4 regiones 1cfi De 6 regiones ab1cfi Con 4 triángulos De 6 regiones 1cfigh, decf1i De 8 regiones ab1cfigh

15 1 1 2 1 Total: 20

7.- Cuantos cuadriláteros hay que contengan al menos tres triángulos sombreados

Cantidad de triángulos mayores iguales a 3 De la solución del último ejercicio Se tiene: 1 + 1 + 2 + 1 = 5 13

CONTEO DE SUPERFICIES No existe una regla general para contar superficies, se procede aplicando criterios 1.- determina el número total de superficies del siguiente sólido

Vistos desde de arriba: 5 Vistos desde abajo: 1 Vistos al rotarlo: 7 Total: 13

parte superior parte inferior otros

2.- En la pregunta anterior halle el número de superficies que se ven a simple vista

Vistos desde arriba: 5 Vistos desde abajo: 0 Los otros : 5 Total : 10

3.- En el sólido de la pregunta número 1. hallar el número de superficies “que no se ven”

Vistos desde arriba: 0 Vistos desde abajo: 1 Otros: 2 Total: 3

4.- El número total de superficies del siguiente sólido es:

Vistos desde arriba: 6 Vistos desde abajo: 1 Los otros :13 Total :20

14

5.- ¿Cuántas superficies no se ven en el siguiente sólido?

Vistos desde de arriba: 0 Vistos desde abajo: 1 Vistos al rotarlo: 5 Total: 6

parte superior parte inferior otros

6.- El número total de superficies que existe en el sólido siguiente es:

Vistos desde arriba: 5 Vistos desde abajo: 1 Otros: 9 Total:15

7.- El número total de superficies que existe en el sólido siguiente es:

Vistos desde arriba: 4 Vistos desde abajo: 1 Otros: 9 Total:14

8.- En el sólido anterior ¿Cuántas superficies no se ven?

No se ven : 4

15

CONTEO DE CUBOS No existe una regla general para contar cubos, se procede aplicando criterios 1.- En la siguiente figura se observan cubos de un centímetro de arista ¿Cuántos cubos de dicha medida existen en total?

En el primer nivel (base) : 8 En el segundo nivel : 4 En el tercel nivel : 2 En el cuarto nivel : 1 Total: 15

2.- En la figura de la pregunta anterior ¿ Cuántos cubos de un centímetro no se ven?

En el cuarto nivel no se ven: 0 En el tercer nivel no se ven: 0 En el segundo nivel no se ven : 1 En el primer nivel :1

Total: 2 3.- En la pregunta anterior determine el número de cubos que se ven a simple vista

(A simple vista) = (total) – (los que no se ven) = 15 – 2 = 13

4.- En la pregunta numero 1 ¿Cuántas aristas del cubo sombreado, están en o con otras aristas de otros cubos del mismo tamaño?

Contando: 7

(ver figura)

5.- En la figura de la pregunta número 1 ¿cuántos cubitos están en o cara a cara con el cubito que esta inmediatamente del cubito sombreado?

Contando: 4

(ver figura)

6.- Se pinta cinco caras de un cubo de 3 cm. De arista. En seguida se le corta en 27 cubitos de 1 cm. De arista. ¿Cuántos cubitos de 1 cm. De arista solo tiene dos caras pintadas. Dibujar.

Contando: 14

16

7.- En la pregunta anterior ¿Cuántos cubitos de un centímetro de arista tienen 2 caras y 3 caras pintadas respectivamente?

Contando: 12 y 4 respectivamente

8.- En la pregunta 6 ¿Cuántos cubitos de un centímetro de arista no tienen caras pintadas y cuántos tienen una cara pintada respectivamente?

Contando : 2 y 9 respectivamente

9.- En la figura anterior ¿Cuántos cubitos están en op cara a cara con al menos cuatro cubitos?

Contando : 5 + 9 + 4 = 18 10.- En la figura siguiente se observan cubos de 1 cm. De arista ¿Cuántos cubos con dicha medida existen en total?

Contando: 54

11.- ¿Cuántos cubos de 1 centímetro de arista faltabn para formar un bloque cubico de 4 cm. de arista?

Bloque cúbico de 4cm de arista Posee 4x4x4 = 64 cúbitos Luego faltan: 64 – 11 = 53 cúbitos

Existen 2 cúbitos

12.- En un bloque cúbico de 5 centímetros de arista ¿Cuántos cubos de 1 centimetro de arista hay? Dibuje. Contando: 106

17

CONTEO DE FIGURAS Según criterio 1.- Determinar el número de cuadriláteros con un “*” en la figura:

a b

1

c

i

d

h g

e

f

De 1 región: De 2 regiones: 1i, de, bc, bi De 3 regiones: abc, cde, 1ih, bih, ihg De 4 regiones: bcih

1 + 4 5 1 11

2.- En la pregunta número 1, determine el número de cuadriláteros con al menos tres asteriscos.

Del ejercicio anterior: 5 + 1 = 6

3.- Hallar el número total de cuadriláteros que hay en la figura, tales que contengan por lo menos dos triángulos sombreados.

a b c

Con 2 triangulos: De 1 región De 2 region cl, Con 3 triángulos : De 4 regiones

1

1+ 1 1 3

18

4.- En la figura ¿Cuántos cubos están en o cara a cara con 3 cubos?

9 8 5 4

son los cubos numerales con: 2, 3, Respuesta: 2 7 2 1

5.- ¿Cuántos cubos están en ocntacto cara a cara con el cubito ubicado inmediatamente debajo del cubito sombreado?

Del la figura se observa que son : 4

6.- En la pregunta anterior ¿Cuántos cubos están en o cara a cara con el cubito sombreado?

Contando: 3

7.- En la figura de la pregunta número 5, ¿Cuántas aristas del cubito sombreado están en o con otro cubito?

Contando: 10

8.- Halle el número total de cuadriláteros

Contando: 30

19

9.- Halle el número total de cuadriláteros convexos

a

H

b

g

c

f

d

e

De 2 regiones: ab, cd, ef, hg De 3 regiones: abh, bcd, ahg, cde, def, efg, fgh De 4 regiones: abh, cdef, abcd, hgfe, De 8 regiones:

4 + 7 5 1 16

20

ECUACIONES LINEALES Es una ventaja para los alumnos que dominen este tema, lo que hay que tener en cuenta es: Primero: despejar las incógnitas o variables en el lado izquierdo de la ecuación, y los números en el lado derecho. Segundo: al pasar de un lado a otro cambia la operación, si está sumando pasa restando y viceversa; si esta multiplicando pasa dividiendo y viceversa. Tercero : eliminar hasta hallar la respuesta.

1.- Juan puede comprar con el dinero que dispone, 24 papayas y 20 manzanas o 36 papayas y 15 manzanas. Si puede comprar solo manzanas ¿Cuál es la cantidad máxima que puede comprar? Sean P y M los precios unitarios de papayas y manzanas respectivamente. Luego : 24P + 20M = 36P + 15M = “ Lo que se dispone “ P=

5M ; 12

Sustituyendo la última expresión en el primer miembro de la penúltima expresión: 24 (

5M ) + 20M = 30M = “ Lo que se dispone “ 12 RESPUESTA: 30

2.- Pedro gasta S/. 30840 en la compra de azucar y arroz. El saco de arroz vale S/. 10 más que el azúcar que vale S/ 38.00. Si hubiera pagado el arroz al precio del azúcar y viceversa hubiera gastado S/.2250.00 más ¿Cuántos sacos más de azucar que arroz compro?

Sean Ar y Az la cantidad de saco de arroz y azucar respectivamente.

(2) – (1)

38Az + 48Ar = 30840

(1)

48Az + 38Ar = 30840 + 2250

(2)

10Az – 10Ar = 2250 Az – Ar = 225

Es decir compro 225 sacos más de azúcar que arroz.

21

3.- De un juego de 32 cartas se saca primero “x” cartas y 3 más, luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía le quedan 10 cartas ¿Cuántas cartas saco la segunda vez? SE SACA I

QUEDA 32 – (X + 3) = 29 – X

X+3

1 (29 – X) 2

II

Luego, la segunda vez se saco:

1 (29 – X) = 10 2

1 (29 – X) = 10 2

4.- Los dos factores de uan multiplicación suman 91 si se aumentan 5 unidades al multiplicando y se disminuyen en 2 al multiplicador, el producto aumenta en 67. Uno de los factores es: a.b producto a + b = 91

(1)

(a + 5)(b – 2) = ab + 67

(2)

a = 91 – b..…… (3)

(1)

[ 91 – b + 5] (b - 2) = (91 – b) b + 67

(3) en (2)

96b – 192 – b2 + 2b = - b2 + 91b + 67 7b = 259

b = 37

a = 54

5.- Qué número es aquel cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre 2/5 y 1/8 del mismo?

N – 232 =

2 1 N 5 8

Donde N es el número desconocido. Resolviendo; N = 320 6.- La diferencia de dos números más 80 unidades es igual al cuádruplo del número menor, disminuido en 60 unidades. Hallar el número menor, sabiendo que el mayor es el triple del menor Sean a y b dichos números, a > b a – b + 80 = 4b – 60 a = 3b

(1) (2)

b=?

Resolviendo al sistema se tiene que b = 70

22

7.- Hallar el mayor de tres números enteros positivos consecutivos. Si los 475 del mayor exceden a los ¾ del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor , disminuída en un 1/5.

Sean

n – 1, n, n + 1 los tres números.

4 n 1 5

3 1 n n 1 4 6

1 5

, del enunciado

n = 10 , luego n + 1 = 11

8.- Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yop tengo; que es 80 soles más de los que tu tendrás: ¿Cuántos soles tienes? Tenias: x Tienes:

x 2

Tendrás:

3x 2

Del enunciado:

X+

1 3 3 x + x = x + 180 2 2 2

x = 120

x = 60 2

9.- Si se forman varias filas de 7 niños (por cada fila) sobran 5 niños, pero faltarían 7 niños para formar 3 filas más de 6 niños ¿Cuántos niños son?

Sean x: número de niños Y: número de filas (de 7 en 7 niños) Del enunciado: x = 7y + 5

(1)

x = 6y – 7

(2)

Resolviendo el sistema se tiene: x = 47

23

10.- En un examen de isión no hay puntos en contra, la correcta en la parte de números vale 6 puntos y en la parte de letras vale 4 puntos. Un estudiante responde correctamente igual número d epreguntas de cada parte y obtiene 140 puntos. Para obtener en la parte de letras el mismo puntaje que en números, ¿Cuántas preguntas adicionales debió responder?

NUMEROS

LETRAS

Correcta: 6 puntos

correcta: 4

X correctas

x correctas

6x + 4x = 140

x = 14

En números obtuvo: 14(6) = 84 puntos. La diferencia es 84 – 4(14) = 28

.Luego: 28 4 = 7

11.- Luz recibe una propina de su tía tanto como ella tenía, luego su mamá le da S3.00; su madrina el doble hasta lo que entonces tenía. Si con su dinero va al cine con Alicia y Luz gasta S24.00 quedándose sin dinero ¿Cuánto tenía inicialmente?

Sea x soles lo que tenia al inicio Luz su tía le da x soles, entonces Luz tendrá: 2x soles. Luego su mamá le da 3 soles, entonces Luz tendrá: 2x + 3 soles. Su madrina el doble, entonces Luz tendrá: (2x + 3) + 2(2x + 3) = 3(2x + 3) Va al cine y gasta todo (24 soles). x=

3(2x + 3) = 24

5 = 2.5 soles 2

12.- Dividir 350 en dos partes tales que la diferencia entre la parte menor y los 3/5 de la mayor equivalen a la diferencia entre la parte mayuor y los 17/15 de la menor. Hallar el mayor menos el menor Sean a y b dichas partes, a > b; del enunciado: a + b = 350 b-

(1)

3 17 a=ab 5 15

Resolviendo el sistema:

(2)

a–b=?

a = 200 ; b = 150 a – b = 50

24

13.- El cuadrado de la suma d elas dos cifras de un número es 121, si de este cuadrado se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble producto de las dos se obtiene 81. Hallar el número.

Sea ab dicho numero 121 – a2 – 2ab = 81

(a + b)2 = 121

A2 + 2ab + b2 = 121….(1) a2 + 2ab = 40…(2) 40 + b2 =121

(2) en (1)

2

a=?

b2 =81

(a + 9) = 11

2

b=9

a =2 ab = 29

14.- A y B comenzaron a jugar con igual suma de dinero; ¿Cuándo B ha perdido los ¾ del dinero con que empezó a jugar lo que ha ganado A es S/ 24.00 más que la tercera parte de lo que le queda a B ¿Con cuánto empezaron a jugar?

A

B

gana:

3 x 4

tiene: x + Del enunciado:

3 x 4

pierde:

3 x 4

queda:

1 x 4

3 1 1 x = ( x) + 24 4 3 4

x = 36 soles

15.- El producto de dos números es 918. Si al multiplicando se resta 2, el producto disminuye en 68, hallar el mayor a.b = 918;

“a” el multiplicando

(a - 2)b = 918 – 68

a b – 2b = 850

918 – 2b = 850 (al sustituir ab) b = 34

a = 918

34 = 27

mayor : 34

25

16.- Ocho amigos deben pagar a partes iguales la suma de 200 soles. Pero algunos de ellos no llevaron dinero y los restantes pagaron 15 más cada uno. ¿Cuántos no pagaron? 200 soles (total a pagar) Sea x la cantidad de amigos que pagan :

200 = 25 soles cada uno debió pagar 8 Luego: 25x + 15x = 200

x=5 Pagan demás Lo que les corresponde.

Respuesta: 8 – 5 = 3

17.- El jueves perdí los 3/5 de lo que perdí el miércoles; y el viernes los 576 de lo que perdí el jueves. Si en los tres días perdí 252 soles. Hallar la diferencia de lo que perdí el jueves y el viernes. Perdí el miércoles: x soles Jueves perdí:

3 x 5

Viernes perdí:

5 3 1 ( x)= x 6 5 2

x+

3 1 x + x = 252 5 2 3 1 3 1 x - x = (120) – (120) = 12 dólares 5 2 5 2

x = 120

18.- tenía cierta suma de dinero, gaste veinte soles y preste los dos tercios de lo que me quedaba. Si ahora tengo diez soles ¿Cuánto tenía al principio?

X soles tenia al inicio GASTE

QUEDA

I

20

x – 20

II

2 (x – 20) 3

1 (x – 20) 3

Del enunciado:

1 (x – 20) = 10 3

ojo:

2 3

1 3

x = 50 soles

26

19.- Hoy gane un sol mas que ayer. Y lo que he ganado en los dos días es veinticinco soles más que los 2/5 de lo que gane ayer. ¿Cuánto suma lo que he ganado ayer y hoy? Gane ayer : x soles Hoy gané: x + 1 Del enunciado:

x+x+1=

2 x + 25 5

x = 15.

x + x + 1 = 31 soles

20.- La cabeza de un pescado mide 20 cm. La cola tanto como la cabeza más medio cuerpo. Y el cuerpo tanto la cabeza y la cola juntas ¿Cuál es la longitud del pescado?

CUERPO

20 +

x 2

x

20

20 + 20 + Del gráfico: x = 40 + Longitud del pescado:

x 2

x 2

x = 80 20 +

x x + 40 + + 20 = 60cm = 1.6m 2 2

21.- Cierto número multiplicado por 2, por 3 y por 7 da tres nuevos números cuyo producto es 55902 ¿Cuál es este número? Sea N dicho número: N3 = 1331

2N .3N. 7N = 55902

N = 11

22.- El largo de un rectángulo excede al ancho en 3 m.; si cada lado se aumenta 1 metro el área aumenta en 22 m2 hallar el número mayor. a+3

a +4 a

a(a + 3)

a+1

(a + 4)(a +1) =a(a + 3) + 22 a2 + a + 4a + 4 = a2 + 3ª + 22 a=9

a + 3 = 12m

27

23.- La diferencia de dos número es 44, si el mayor se divide entre el menor el cociente es 3 y el residuo 2. Hallar el número mayor. a – b =44; a > b a

b

2

3

3b + 2 =a…..(1)

Sustituyendo (1) en la diferencia: 3b + 2 – b =44

2b = 42

b =21 a = 65

24.- La relación de dos números es de 2 a 3. Si el menor se aumenta en 8 y el mayor en 7 la relación es de 3 a 4. Hallar los números y dar como respuesta su diferencia.

a 2 = ; a
4(

4a + 32 = 3b + 21….(1) a=

2 b……(2) 3

2 b) + 32 = 3b + 21 3

b = 33

a = 22

b –a = 11

25.- Un octavo de la suma de dos números es 608 y los 3/3 de su diferencia es 36. Hallar los números y dar como respuesta la suma de los dígitos de ambos.

1 (a + b) = 608 ; a y b son los números. 8 2 (a – b) = 36 3

a – b = 54 a + b = 4864 2a = 4918

b = 2405

a = 2459

2 + 4 + 5 + 9 + 2 + 4 + 0 + 5 = 31

28

26.- Timoteo gasta S/.300.00 comprando manzanas, peras y duraznos. Las manzanas y peras cuestan S/. 20.00 c/u y los duraznos S/10. c/u. Si las manzanas y las peras costaran S/5.00 menos cada una. Timoteo podría ahorrarse S/. 60.00 ¿Cuántos duraznos compro? Número de manzanas ;

P número de peras etc.

20 M + 20P + 10D = 300 2M + 2P + D =30…..(1) 15M + 15P + 10D = 300 – 60 = 240 3M + 3P +2P = 48…….(2) POR – 3

a (1)

y por 2 a (2)

- 6M – 6P – 3D = - 90 6M + 6P + 4D = 96 D=6

27.- En un corral de chanchos y pelicanos el número de ojos es 24 menos que el número de patas. Hallar el número de chanchos. (Número de ojos) = (número de patas) – 24 P , número de pelicanos. C número de chanchos. 2C + 2P = 4C + 2P – 24 C = 12 CHANCHOS

29

EDADES Se mantiene el sistema de solución de las ecuaciones lineales, hay que tener en cuenta la ley de los signos y dar la preferencia al paréntesis.

1.- Dentro de 5 años tendrás la edad que ahora tengo ¿Qué edad tendrás cuando mi edad y tu edad sean proporcionales a 13 y 8? Y y T edades actuales mío y tuyo Y – T = 5 diferencia de edades. 13K – 8K = 5

K =1 ;

k constante de proporcionalidad.

tú edad en el futuro mi edad en el futuro. 8K = 8 años 2.- Me preguntaron por la edad que tengo y respondí: “toma 5 veces los años que tendré dentro de 5 años y réstale 5 veces los años que tenía hace 5 años y resulta los años que tengo” ¿Cuál es mi edad? Sea Y la edad que tengo actualmente. 5(y + 5) – 5(y – 5) = y

y = 50 años

3.- Un padre le dice a su hijo “Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías, pero dentro de 8 años sólo será el doble” ¿Qué edad tiene el padre?

P: Edad del padre (actual) P – 8 = 4(T – 8)

(1)

T: tu edad actual

P + 8 = 2(T + 8)

(2)

P=?;

Resolviendo el sistema: p = 40 años

4.- Cuando tú naciste yo tenía la tercera parte de la edad que tengo ahora ¿Cuál será tu edad cuando yo tenga el doble d ela edad que tienes si en ese entonces nuestras edades sumaran 56 años

propiedades

Pasado

3x + 0 = 3x 2x + 4x = 6x

Yo

a

Tu

d

x

presente b

0

a + e = 3x f = 3x ;

3x e

2x

f

futuro

a+e=b+d

c

b+f=e+c

4x 3x

a+f=d+c e = 3x – a = 3x – x = 2x

7x = 56

x=8

3x = 24 años

30

5.- Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cunado yo tenía la edad que tú tienes. Si cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 90 años ¿Qué edad tenía yo cuando tú naciste?

Pasado Yo

presente

3x

Tu

futuro

4x

2x

90 - 4x

3x

4x

Nos pide diferencia de edades 

4x + 4x = 3x + 90 – 4x



x = 10

3x – 2x = 10

6.- La edad de Inés es 1/101 del año de su nacimiento ¿En qué año cumplió 60 años, sabiendo que nació en 19ab. Ines =

1 19ab 101

101x (ines) = 19ab

El único número multiplicando por101 que da el número de 4 cifras que comience en 19 es 19, entonces la edad de inés es 19 años . 101 19 = 1919 = 19ab

a = 1 ; b = 9;

1919 + 60 = 1979

7.- Una señora tuvo a los 24 años dos mellizos. En el año en que las edades de los tres juntos sumaban 78, se casa uno d elos mellizos y tienen su primer vástago un año después ¿Cuántos años tenía la madre cuando el hijo del que se caso cumplió dos años? Sra

1er mellizo

2do mellizo

24 años

0

0 años

24 + x

x

x años → 24 + x + x = 78 años

→ 24 + 18 24 + 18 + 1 24 + 18 + 1+2

18 años

18 años (se casó)

19

19 (tiene su hijo)

19 + 2

19 + 2

→

x = 18

Respuesta: 45 años

8.- Si a la suma del año en que nací con el año en que tuve 18 años le restamos la suma del año actual con el año que tendré 30 años; resultaría mi edad actual menos 52 ¿Qué edad tendré dentro de 2 años? Sea x el año en que nací (x posee 4 cifras) → x + x + 18 – (x + a + x + 30) = a - 52 Año actual; x = 20

a: edad actual.

x + 2 = 22 años

31

9.- Marco tiene el triple de la edad de Sara, que tiene 12 años. ¿Cuántos años pasaran para que Marco tenga el doble de la edad de Sara? Sara: 12 años

;

36 + x = 2(12 + x);

Marco: 3(12) = 36 años x = 12 años

x años transcurren

10.- Un padre tiene 44 años y tiene 3 hijos de 18,15 y 14 años. Hace cuantos años la edad del padre fue el doble de la suma de las edades de sus hijos. Tenemos que retroceder x años (para todos) 44 – x = 2(18 – x + 15 – x + 14 – x)

x = 10 años

11.- Hace 30 años Juan tenía la sexta parte de la edad que tiene ahora ¿Qué edad tendrá dentro de 4 años? Sea J su edad actual de Juan, entonces: J – 30 =

1 J 6

J = 36 años 36 + 4 = 40 años

12.- dentro de “m+n” años tendré el triple de la edad que tenía hace “m-n” años. ¿Actualmente tengo? Sea y mi edad actual, entonces: y = 2m – n

y + m + n = 3( y – (m – n) )

años

13.- Fidel le dice a Paola: cuando yo tenga la edad que tienes, tu edad sera dos veces la edad que tengo y cuando yo tenía 10 años tú tenías la edad que tengo. ¿Cuánto suman las edades actuales de Fidel y Paola?

Pasado

presente futuro

Fidel

10

y

x

Paola

y

x

2y

x+y=?

Por propiedad: 10 + x = 2y

(1)

3y = 2x

(2)

Resolviendo el sistema: x = 30; y = 20 x + y = 50

32

14.- Dentro de 15 años la edad de Teresa será el doble de la edad de Ana. Hallar la suma de las edades actuales. Si hace 6 años Teresa tenía el triple de la edad de Ana.

Sean T y A sus edades actuales de Teresa y Ana. T + 15 = 2(A + 15) (1) T – 6 = 3(A – 6)

(2)

Resolviendo el sistema: T = 69 ;

A = 27

T + A = 96 años

15.- La edad de Eduardo es el triple de la edad de Juana. Si hace 3 años ella tenía a + eb años. ¿Dentro de cuántos años la edad de Eduardo será el doble de la de Juana? E = 3J,

E, edad actual de Ernesto

J – 3 = a + 3b

J = a + 3b + 3

E= 3(a + 3b + 3)

E + X = 2(J + X) , transcurren x años, sustituyendo en la última expresión J y E 3(a + 3b + 3) + x = 2[a + 3b + 3 + x]

x = a + 3b + 3 años

16.- La edad de los años de mi abuela es 12 años más que el cuadrado d ela edad d emi primo y menor en 5 años que el cuadrado de la edad de mi primo en el próximo año ¿Qué edad tiene mi abuela? Sea A la edad actual de mi abuela. A = 12 + p2 ; p edad actual de mi primo A = (P + 1)2 – 5 ;

Igualando ambos segundos .

12 + p = (p + 1) – 5 2

2

p = 8;

A = 12 + 82 = 76 años

17.- la edad de “A” es 1/3 de la edad de B y hace 15 años la edad de “A” era 1/6 de la edad de “B”. Hallar la suma de las edades actuales. A=

1 B 3

A – 15 =

(1)

1 (B – 15) 6

(2)

Resolviendo el sistema: A = 25 ;

B = 75

A + B = 100 años

33

18.- Rosa le dice a Clovis; mi edad es 4 años menor de la edad que tú tenías cuando yo tenía 8 años menos de la edad que tú tienes; cuando tengas el doble de la edad que tengo; nuestras edades sumaran 82 años ¿Qué edad tiene Rosa?

Del enunciado Presente Rosa Clovis

y–8 x

pasado

futuro

x–4

82 – 2(x – 4)

y

2(x – 4)

Por la propiedad del aspa Y+Y–8=x+x–4;

y = x + 2 …..(1) De (1) y (2) se tiene x = 26

x – 4 + 2(x – 4) = y + 82 – 2(x – 4)

y = 5x – 102 ……(2) x – 4 = 22 años

34

ATRASOS - ADELANTOS Cuando existe adelanto. HR = HM – ADELANTO Y cuando existen atraso: HR = HM + ATRASO HR: HORA REAL (HORA CORRECTA) HM: HORA MARCADA (INCORRECTA)

1.- Un reloj se adelanta dos minutos cada 3 horas ¿Qué hora será en realidad cuando marque las 10:15 a.m. si hace 30 horas lleva adelantandose?

ADELANTA

CADA( EN )

2min

HR = ?

3hr

Adelanta

HM = 10:15

30 hr

Adelanta =

2 30 = 20 min = 0: 20 3

HR = 10:15 – 0:20 = 9:75 – 0:20 = 9:55

2.- Hace 12 horas y media se descompuso el reloj sufriendo un atraso de 8 minutos cada 4 horas. Si en ese instante marca 8 horas 57 minutos ¿Cuál es la hora correcta?

ATRASA

CADA EN

8min

4hr

Atrasa

12.5hr

Atraso =

8 12.5 = 25 min = 0:24 4

HM = 8:57 HR = ?

HR = 8:57 + 0: 25 = 8:82 = 9:22

3.- Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj 5 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará cuando la hora correcta sea 9 p.m. del mismo día?

Adelanta

cada

5min

1hr

HM = ?

13hr

de 8am a 9pm hay

Adelanta

HR = 21:00

21 – 8 = 13 hrs. Adelanta =

5 13 = 65min = 1:05 hr. HR = HM – adelanta 1

HM = HR + adelanta = 21:00 + 1:05 = 10:05 = 22:05

35

4.- Un reloj se descompuso a las 6 a.m. del primero de marzo, sufriendo un atraso de 4 minutos cada 24 horas. ¿Qué hora marcara al medio día del 6 de marzo?

Atrasa

cada

HM = ?

4min

24hr

HR = 12

Atrasa

5 x 24 + 6 6hr 6am

24hr

24hr

12m

12m

0

0

1 marz 2 Atrasa =

12m 0

3

12m

4

0

12m

12m

0

60

5

4(5 24 6) = 21min = 0:21 24

HM = HR – ATRASO = 12:00 – 0:21 = 11:60 – 0:21 = 11:39

5.- Un reloj se atrasa 5 minutos cada 45 minutos. Si marca las 4 horas 10 minutos y hace ya 6 horas que se atrasa ¿Cuál es la hora correcta?

Atrasa

cada

HR= ?

5min

45min

HM = 4:10

Atraso

6 x 60min = 6hr

Atraso =

6 60 5 = 40min = 0:40 45

HR= 4:10 + 0:40 = 4:50

6.- Un reloj marca la hora exacta un día a las 2 p.m. si se adelanta5 minutos cada 10 horas a partir de esa hora ¿A qué hora empezó a adelantarse, si a las 23:10 horas marca 23:18 horas?

Adelanta

cada

Para que vuelva a marcar la hora correcta por

5min

10hrs

primera vez (puede existir por 2a vez etc)

12 x 60min

xhrs

debe adelantarse 12hrs = 12 x 60min

X=

12 60 10 = 1440 hrs Al dividir entre 24 se tiene: X = 60 días < > 2 meses 5

36

7.- Un reloj digital se adelanta 4 minutos cada 7 horas. ¿A que hora empezó a adelantarse, si a las 23:10 horas marca 23:18 horas?

Adelanta

cada

HR = 23:10

4min

7 hr

HM = 23:18

8min

x hr

HR = HM – adelanto Adelanta = HM – HR

X=

8 7 = 14hrs 4

= 23:18 – 23:10 = 0:8= 8 min Luego : 23:10 – 14:00 = 9:10

8.- Un reloj se atrasa 2 minutos cada 45 minutos, si se puso a la hora a las 7:45 p.m. ¿Qué hora marcara cuando realmente sean las 8:30 a.m.del día siguiente?

Atrasa

cada

HR = 8:30

2min

45min

de 7:45pm a 12:00 de la noche hay: 4:15

Atraso

765min

y de 12 de la noche a 8.30am. Hay 8:30. luego han transcurrido 12:45 horas = 765min.

Atraso =

765 min = 34min 45

HM = HR - ATRASO = 8:30 – 0:34 = 7:90 – 0:34 =

7:56am 9.- Supongamos que los dos tercios del tiempo transcurrido del día de hoy es la mitad de los 4/5 de lo que falta por transcurrir ¿Qué hora es? 24 – x hrs. X Transcurrio 0hr

falta transcurrir xhrs

24hr

2 1 4 x= (24 – x) 3 2 5

x = 9am

10.- Un reloj se adelanta un minuto cada 900 segundos. Si ahora marca las 4:20 y hace 8 horas que se adelanta ¿Cuál es la hora correcta?

Adelanta 1min Adelanta

cada 900seg 8 x 60 x 60seg

HM = 4.20 HR = ? = HM - adelanto HR = 4:20 – 0:32 = 3:80 – 0:32 = 3:48

37

11.- Un reloj que sae atrasa 5 minutos en cada hora, es sincronizado hoy al mediodía ¿Qué tiempo, como mínimo deberá transcurrir para que vuelva a marcar la hora exacta?

Atrasa 5min 12 x 60min X=

cada 1 hr

Para que vuelva a marcar la hora correcta por primera vez (puede existir por 2a vez etc)

xhrs

debe retrasarse 12hrs = 12 x 60min

12(60)1 = 144 hrs 5

144hrs x 1dia = 6dias 24hrs

12.- Dos relojes se sincronizan a las 8 a.m.; uno de ellos se adelanta 15 segundos cada cuarto de hora y el otro se atrasa 45 segundos cada hora. ¿Cuántos minutos estarán separados a las 8.== p.m. lo sminuteros de los dos relojes?

De 8am a 8pm.

De 8am a 8pm

Transcurren 12hr

transcurren 12hr

Adelanta

cada

1 hrs 4

15seg Adelanta Adelanta =

12hr

15(12) = 720 seg 1 4

Atrasa

cada

45seg

1hr

atrasa

12hr

atraso =

45 12 = 540 seg 1

= 12 min

= 9min.

HM = 20:00 + 0:12 = 20:12

HM = 20:00 – 0:09 = 19:51

Luego distande las 8 ambos relojes:

20:12 – 19:51 = 19:72 – 19:51 = 0:21

38

MANECILLAS Propiedad Fundamental.- Se aplica para hallar el ángulo convexo entre el horario y el minutero. Se divide en dos casos: a) Cuando el horario adelanta al minutero después de la 12 en sentido horario, se tiene:

α0 = –

11 M + 30 H 2

b) Cuando el minutero adelanta al horario después de las doce

α0 =

11 M – 30H 2

M= Número de minutos H= La hora que sucede α0 α0= ángulo entre H y M en grados sexagesimales

1.- ¿Qué hora es cuando el horario y el minutero están sobrepuestas entre las 3 y las 4? Sobrepuesta, entonces Un santiámen atrás el horario adelantaba al minutero entonces H adelanta a M. 0o= –

11 M + 30(3)……(1) 2

Como se dice entre las 3 y las 4, entonces H = 3 Si dijese entre las 4 y 5, entonces H seria igual a 4. (1) 3hr 16min

M=

180 min 11

4 240 min = 3hr 16min seg. 11 11

Respuesta: 3hr

180 min 11

; 1min < > 60 seg.

39

2.- ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 3:35?

H = 3 ; M = 35 M adelanta a H αo=

11 (35) – 30(3) = 102.5 2

= 102o 0.5o = 102o 30’

3.- ¿A qué hora exactamente entre las 4 y las 5 el horario y el minutero forman ángulo recto por primera vez? H = 4 ; α0 = 900 Por primera vez (antes de que le alcance el minutero al horario) H adelantada a M 90 = -

11 60 M + 30(4); M = min = 5min 2 11

5 min 11 4hr 5min

5 300 (60seg) = 4hr 5min seg. 11 11

4.- ¿A qué hora exactamente entre las 4 y las 5 el horario y el minutero forman ángulo recto por segunda vez? H = 4; α0 = 900 por segunda vez (luego de que el min. Pase al horario) M adelanta a H 90 =

11 M - 30(4); 2

M=

420 2 min = 38min (60seg) 11 11 4hr 38min

2 (60seg) 11

40

5.- ¿A que hora entre las 2.00y 2:15 horas, el ángulo formado por el horario y el minutero es igual al que ellas forman 15 minutos después?

- todo ángulo en minutos (una vuelta de 60 min) - por cada x min que avanza el minutero, el horario avanza

x min 12

Estas dos proposiciones hay que aplicar:

Del gráfico: 2θ +

1

15 = 15……(1) 12

10 = M + θ -

M' 12

2 1

M

tiene:

M …..(2) 12

Resolviendo el sistema se

θ

15 ' 12

θ

3

15 15’ ’

M= 2hr

75 22

75 min 22

4

6.- Faltan para las 9 horas la mitad del tiempo (en minutos) que paso desde las 7 horas ¿Qué hora marca el reloj?

xhrs 9–(7+x) PASO 7hr

FALTAN 7 + x hrs 9 – (7 + x) =

7 + x = 7 + (1hr +

1 hr) = 8hr 20min 3

9h

x 2

x=

4 1 = 1hr hr 3 3

1 1 hr = (60min) = 20min 3 3

41

7.- ¿Cuál es el menor ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 9 horas 10 minutos?

H=9 ;

M = 10

H adelanta a M α0 = –

11 (10) + 30(9) 2

α0 = 2150 menor ángulo será : 3600 - 2150 = 1450

8.- A que hora entre las 7 y las 8 las agujas de un reloj está superpuestas? H=7;

α 0 = 00

H adelanta a 0 = α0 = – M=

M ( instantes atrás )

11 M + 30(7) 2

420 2 min = 38min min 11 11

M = 38min

120 seg 11

7hr 38min

120 seg 11

9.- Hallar el ángulo que forman las agujas de un reloj a las 3 horas con 38 minutos

H = 3;

M = 38 ;

α0 = ?

H adelanta a M

3 α0 =

0

α

11 (20) – 30(3) = 1190 2

4 7

6

42

10.- ¿Qué ángulo forman entre si las agujas de un reloj a las 11 horas 20 minutos?

12 H =11;

11

M = 20 ;

H adelanta a

10

α0 = –

9

3

α0

α0 = ?

M

11 (20) + 30(11) = 2

α0 = 2200

ó

360 – 220 = 1400

11.- ¿Qué hora indica el reloj? - Todo ángulo en minutos - Por cada x min que avanza el minutero, el horario avanza

x min. 12

lo que avanza el minutero Del gráfico θ + 3h (35 +

35 =5 12

θ=

25 13

25 12 )min = 3hr 36 min 13 13

12.- ¿A qué hora después de las 2 el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta a la marca de las 12 ¿ Del gráfico θ = 10 +

M 12

2θ = M

1

(1) (2)

2 M min

θθ

M 12 12

3

θ

4 5

Resolviendo el sistema:

M = 24min 2hr 24min

43

MOVILES Hay que considerar las fórmulas de velocidad e=vt donde e= espacio v= velocidad t= tiempo

1.- José se dirige de A a B, llegando en su auto en un timepo de 30 horas; si al regreso aumenta su velocidad en 4 km/h llegará en 6 horas menos que a la ida ¿Cuál es la distancia total recorrida en Km? Se trata de identificar los 3 elementos para cada tramo ( e, v y t ) y aplicar la formula ( e = v t ) e=x v=V t = 30 A

B v = V+ 4;

Luego x = 30V

t = 24 ;

e =x

(1)

x = 24(V + 4)

(2)

De donde: V = 16 ; x = 480 km.

Nos pide 2x = 960 km. 2.- Dos moviles parte de un punto comun en direcciones que forman 120 grados con velocidades de 6 m/s y 10 m/s. Determine la distancia que están separados al cabo de tres segundos?

d: distancia de los móviles después de 3 seg.

30o 15

3 0

3

60o 1 5

d 120 o

1 8 2

d=

15 3

15 18

2

=

1764 = 42m

44

3.- Un estudiante sale de su casa todos los días al a misma hora con velocidad constante, llegando a clases a las 4 p.m. pero si duplica su velocidad llega 1 hora antes ¿A qué hora parte de su casa? Sale: T hrs

llega: 16 hr

v=v e=x t = 16 – T

x v’ = 2v e’ = x t ’ = 15 – T

llega: 15hr

aplicando la fórmula( e = vt ): x = v(16 – T) (1) x = 2v(15 – T) (2)

resolviendo el sistema: T = 14 hr < >

2pm.

4.- Un tren pasa delante de un observador en 8 segundos y demora 20 segundos en cruzar completamente un puente de 180 metros de largo ¿Cuál es la longitud del tren en metros? Observador. (justo antes de pasar)

TREN x

TREN x

TREN

e=x v=V t=8

PUENTE

TREN

x x + 180 e´ = x + 180 v´ = V t´ = 20

x = 8V

(1)

x + 180 = 20V

(2)

resolviendo el sistema: x = 120m

5.- Un móvil recorre 961 kilómetros en tantas horas como kilómetros recorre por hora ¿Cuál es su velocidad en kilómetros por hora?

e = 961 km. Tantas horas cmo recorre por hora < > t = v = x e=vt

961 = x.x

x = 31 = V = 31

45

6.- En cuanto tiempo un tren de 200 metros dse largo y velocidad de 36 km/h pasará delante de una estación de 80 m de frentera a la riel.

80m ( frentera de la estación a la riel ) v = 36 km/h = 36000 m / ( 3600 seg.) = 10 t=? Longitud del tren: 200m.

Para lograr pasar por la frentera, el tren debe recorrer:

200 + 80 = 280 m = e.

Luego e = vt

280 = 10t

t = 28seg.

7.- Un tren emplea 6 segundos en pasar delante de un observador y le es necesario 28 segundos para atravesar un tunel de 550 metros de longitud ¿Cuál es la longitud del tren? Similar a la pregunta número 4. respuesta 150m

8.- Un tren demora 13 minutos en pasar delante de Doris y 23 minutos en cruzar un puente de 800 metros. ¿Calcular la longitud del tren y dar como repsuesta la suma de los valores de la longitud y la velocidad del tren. Ver la pregunta número 4, es similar respuesta: 1120m

9.- Dos autos salen a las 8 a.m. de dos ciudades M y N distantes 150 km y van uno hacia el otro. El q

ue sale de M a 30 km/h y el que sale de N a 20 km/h ¿A qué hora se encontraran y a que

distancia de M ¿Dar como respuesta la suma de los valores de la hora y la distancia mencionada? VM = 30 M

VN = 20 150 – x

x km

N

150km VM = 30 EM = X TM = T

VN = 20 EN = 150 – x TN = T

X = 30T …….(1) 150 – X = 20T….. (2)

Resolviendo el sistema ; T = 3 ; x = 90 Como parten a las 8 am, entonces se encuentran a las 8 + 3 = 11am. 11 + 90 = 101

46

10.- Un auto sube una cuesta a una velocidad de 4 km/h y desciende por la misma a 6 km/h si demora en subir y bajar 20 horas ¿En cuanto disminuye el tiempo de subida si la velocidad aumenta en 1 km/h ?

eb=x t b = 20 - T vb=6

es=x ts =T vs=4 x = 4T

(1)

x = 6(20 – T)

(2)

luego: 12 -

resolviendo el sistema: T = 12

e = 48;

v = 4 + 1 = 5;

X = 48

t =? ;

t=

e 48 = v 5

48 12 2 2 = = (2 + )hr = 2hr (60min.) = 2h 24min. 5 5 5 5

11.- Durante tres horas un barco navega a la misma velocidad. En la siguiente hora baja su velocidad a la mitad, si navega una idstancia total de 161 km ¿Cuál fue su velocidad inicial en km/h?

161 – x

x e=x

e´= 161 - x

v=V

v´=

t´ = 1

t =3

x = 3v 161 – x =

1 V 2

(1)

1 v 2

(2)

x = 138 ;

v = 46

47

12.- En una marathon el primer lugar corre a 4.5 km/h y lleva 15 km de ventaja al Segundo lugar; pero este logra alcanzarlo en 1 hora y media. Hallar la velocidad del segundo movil en km /hr. 15km ventaja Donde P es el punto de encuentro. v2=v e 2 = 15 + x t 2 = 1.5 15 + x = 1.5v

(1)

x = 1.5(4.5)

(2)

x P

v 1 = 4.5 e1=x t 1 = 1.5

x = 6.75 ; v = 14.5 km/h

13.- Dos ciclcistas Manuel y Enzo parten simultáneamente de una ciudad a otra distante 60 km. La velocidad del 1º es 4 km menos d ela de Enzo. Después de llegar Enzo a la 2ª ciudad emprende el retorno inmediatamente y se encuentra con Manuel a 12 km de la segunda ciudad. La velocidad de Manuel en Km/h es …?

60 km A

B vM = V – 4

12

ve = V punto de encuentro para Manuel v M= V – 4 e M = 60 – 12 = 48 tM=T

para enzo e e = 60 + 12 = 72 ve= V te= T

48 = (V – 4)T …..( 1 ) ;

Entonces de (1) y (2) se tiene:

72 = VT…. (2)

T = 6.

Luego vM =

48 = 8 km/h. 6

48

En un mismo sentido: 120 km

v2 P punto de encuentro.

ventaja v1 = V1 ;

x

e1 = 120 + x ; t1 = 8

;

v2 = V2 ; e2 = x ; t 2 = 8 ;

luego:

120 + x = 8 V 1 …….(1) V 1 – V 2 = 15….. ( 3 ) ;

x = 8 V 2 ..........(2)

V1>V2

En sentidos contrarios: 120 km

v2

120 – x v1 = V1 e1 = 120 – x t1 = 5 luego: 120 – x = 5 V1T……(4) x = 5 V2T …...(5) de (3) y (6) por reducción se tiene:

x v2 = V2 e2 = x t2 = 5 V1 + V2 = 24…..(6) v1 =

39 = 19.5 km/h 2

49

PROBLEMAS SOBRE LAS OPERACIONES BÁSICAS PROBLEMAS SOBRE DIFERENCIA UNITARIA METODO DEL RECTÁNGULO Diferencia total y unitaria Se aplica en problemas en que participan los términos: GANA –PIERDE, QUEDA-SOBRA GANARIA-GANARIA

CASO 1: Antagónico u opuestos (se suma, nos referimos a los de la derecha) En este caso se suma A y B a

b

A

(gana)

+

–

B (pierde)

Nº de elementos = A + B a - b

CASO 2.- El mismo tipo (se resta, nos referimos a los de la derecha

Nº de elementos = A - B a - b

1. Si vendemos portaminas a 4 soles cada uno ganamos 18 soles, pero si vendemos portaminas en 2 soles perdemos 4 soles ¿De cuantos portaminas disponemos para la venta? 4 soles portamina 2 soles portamina

18 soles

–

(gana)

+ 4 soles

(pierde)

50

Cuando son diferentes (gana – pierde) se suma (+), si fuesen iguales se resta. El otro de la izquierda, siempre es negativo. Luego: (18 + 4) soles = 11 portaminas (4 – 2) soles portamina

2. Si un comerciante vende a S/ 11.00 cada calculadora y gana S/( 75.00; pero si decide vender cada calculadora a S/.6.00 cada una pierde S/.50.00 ¿Cuántas calculadoras tiene para vender? 11 soles calculadora 6 soles calculadora

75 soles

–

(gana)

+ 50 soles

(pierde)

(75 + 50) soles = 25 calculadoras (11 – 6) soles calculadora 3. Tengo cierta cantidad de relojes, si los vendo a 12 dólares cada uno, obtengo 60 dólares de ganacia y si los vendo a 15 dólares, obtengo 90 dólares de ganancia ¿Cuántos relojes tengo para la venta?

12 dólares reloj 15 dólares reloj

60 dólares

–

(gana)

– 90 dólares

(gana)

(90 – 60) dólares = 10 relojes (15 – 12) dólares reloj

51

4. Un estudiante dice: Para comprar una docena de lapiceros me faltan S/ 15.00 pero si compro 8 lapiceros me sobran S/. 3.00 ¿Cuánto cuesta cada lapicero y cuánto es lo que tiene?

12 lapiceros

8 lapiceros

15 soles

(falta)

+

–

3 soles

(15 + 3) soles = (12 – 8) lapiceros

4.5 soles lapicero

(sobra)

Precio unitario: 4.5 soles

Tiene: 12 x 4.5 – 15 = 39 soles

5. Un ingeniero quiere premiar a alguno de sus ayudantes. Dando 5 soles a cada uno le faltaría 3 soles y dándoles 4 soles le sobrarían 7 soles. Dar la suma del número de ayudantes y el número total de soles. 5 soles ayudante 4 soles ayudante

3 soles (falta)

+

–

7 soles

(sobra)

(3 + 7) soles = 10 ayudantes (5 – 4) soles ayudante Total de soles: 5 x 10 – 3 = 47

10 + 47 = 57

6. Si se venden cierta cantidad de carpetas a 54 soles cada una, se obtendría como ganacia 200 soles y si lo vendemos a 50 soles cada uno se ganaría 80 soles. ¿Cuántas carpetas se tien para la venta? 54 soles carpeta 50 soles carpeta

200 soles

–

(gana)

– 80 soles

(gana)

(200 – 80) soles = 30 carpetas (54 – 50) soles carpeta

52

7. Hemos decidido comprar un escritorio con mis socios aportando 45 soles cada uno, pero nos dimos cuenta que nos faltaban 20 soles para dicha compra; entonces decidimos dar 10 soles más cada uno, así cobro 40 soles ¿Cuántos socios somos? 45 soles persona 55 soles persona

20 soles

–

(falta)

+ 40 soles

(sobra)

(40 + 20) soles = 6 personas (55 - 45) soles persona

53

RETROALGORITMO 1. Multiplicamos po 6 l a edad de Daniel añadiendo al resultado 28, dividiendo el nuevo resultado entre 4 obtenemos por fin 25 ¿Cuál será la edad de Daniel?

Retroceder con operaciones inversas

x4 25

-28 100

6 72

12

2. Si a un número lo multiplico por 8, luego lo divido por 10 y le cociente lo pmultiplico por 3 añadiendo enseguida 36, entonces obtendría 180 ¿Cuál es el número inicial?

-36 180

3 144

8

x10 48

480

60

3. La cantidad de alumnos de la sección A3 en el CFJavier de Luna Pizarro disminuído en 20 es tal que si su tercera parte, disminuye en 20, resulta 1; calcular la cantidad de alumnos en cuestión. +20 1

x3 21

+20 63

83

alumnos

4. Un estudiante tiene inicialmente un cuaderno con hojas en blanco. Cada día escribe la mitad d elas hojas en blanco más 25 hojas de lo que sabía el día anterior, luego de 3 días gasto todas la hojas ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno al inicio? Cada día disminuye en su mitad y 25 hojas más. Luego recuperamos las hojas en blanco sumando 25 hojas y duplicando . +25 0

x2 25

x2

+25 50 3er día

75

+25 150 do

2 día

x2 175

350 1er día

54

5. El chofer de un microbús observa que en cada paradero siempre se baja la mitad más uno de sus pasajeros y no sube pasajero al guno. Si para el quinto paradero ya no había ningún pasajero ¿Cuántos pasajeros tenía al inicio de la ruta? “Si para el quinto paradero ya no había ningún pasajero”, significa que todos ó los que faltaban bajaron en el 4to. Luego: +1 0

x2

x2

+1

1

2 4

3

ro

x2

+1 14

7

6

to

x2

+1

15

do

3

30 er

2

1 paradero

6. A un número se le multiplica por 3, se le resta 6, se multiplica por 5, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 171 y se le extrae raíz cúbica obteniendose 9 ¿Cuál es dicho número? Retrocedemos con operaciones inversas:

( )3 9

x8

+171 729

900

30

+6

5 48

240

3 54

18

7. Felipe tiene una cantidad de soles ala que se le agrega 25, si se triplica la nueva cantidad y al resultado se le resta 20; el nuevo resultado dividido entre 20 personas hace que cada una reciba 5 soles. ¿Cuántos soles tendía Felipe al comienzo? Retrocedemos con operaciones inversas:

x20 5

3

+20 100

-25

120

40

15 soles

8. La edad de Perico se multiplica por 4, el resultado se disminuye en 50, la diferencia obtenida se eleva al cuadrado, este resultado se divide entre 5 para luego sumarle 40 y se obtiene 60. ¿Cuál es la edad de Perico? -40 60

+50

x5 20

100

10

4 60

15 años

55

FALSA SUPOSICIÓN M

x N

_

_

R

( de elementos asociados a m) =

NxM – R M-m

m

N : Número de elementos que intervienen M : Unidad mayor m : Unidad menor R : Total recaudado

1. Entre gallinas y conejos se cuenta en un corral 48 cabezas y 158 patas ¿Cuántas gallinas y conejos hay?

Del enunciado, identificamos los 4 vértices 4 patas

x 48

_

_

158 patas

Gallinas = Luego

2 patas

48x4 – 158 4-2

= 17

conejos = 48 – 17 = 31

2. El valor de una entrada para adulto a un teatro es de S/. 8.00. Si un niño paga por boleto S/. 5.00 y la recaudación total fue de S/. 1260.00 ¿Cuántos boletos de un total de 195 fueron de adultos? Del enunciado: 8

x 195

_

_ 1260

5

de niños =

195x8 - 1260 8-5

= 100

de adultos = 195 – 100 = 95

56

3. En una concentración de estudiantes había triciclos y bicicletas. Se contaron 85 timones y 185 llantas. ¿Cuántos eran los triciclos que había en dicha reunión? Del enunciado: 3 llantas

x 85

_

_

bicicletas =

185 llantas

85x3 - 185 3-2

= 70

de triciclos = 85 – 70 = 5

2 llantas

4. Entre monedas de S/10.00 y S/ 5.00 se tiene 20 monedas. Si utilizamos todas estas monedas en el pago de una deuda de S/ 130. ¿Cuántas monedas son de S/.10?

10

x 20

_

_

130

( de monedas de 5) = Luego:

5

20x10 - 130 10 - 5

= 14

de monedas de 10 : 20 – 14 = 6

5. Halle el valor de “A” sabiendo que el número de elementos asociados a “A” es igual a 30. 5

x 80

_

_

30 =

220

80x5 - 220 5-A

A=–1

A

6. Un examen consta de 120 preguntas. Por cada pregunta bien rersuelta se abona 4 puntos y por cada problema mal contestado o no resuelto se resta un punto. ¿Cuál es la diferencia entre el número de preguntas bien y mal resueltas, si se obtuvo un puntaje de 200 puntos? 4

x 120

_

_

( de mal contestadas) = 200

120x4 - 200 4 – (-1)

= 56

de bien contestadas = 120 – 56 = 64 –1

64 – 56 = 8

57

7. Debo pagar 2050 con 28 billetes de 50 y 100 soles ¿Cuántos billetes de 50 soles debo emplear?

100

x 28

_

_

( de billetes de 50) = 2050

28(100)-2050 = 15 100 - 50

50 8. un alumno del colegio obtuvo 71.25 puntos en un examen, luego de contestar la totalidad de preguntas (140 preguntas) la respuesta correcta vale 1 punto, incorrecto ( -0,25). Hallar el número de preguntas correctas que contesto dicho alumno. 1

x 140

_

_

( de mal contestadas) = 71.25

140(1) – 71.25 = 55 1 – (-0.25)

140 – 55 = 85 -0.25 9. En un oconcurso de Razonamiento Matemático que trae 100 preguntas, por la respuesta correcta que s ele asigna 1 punto y por la incorrecta tiene un puntaje en contra de un cuarto de punto; Arturo ha obtenido en dicha prueba 50 puntos habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas ¿En cuántas se equivocó? 1

x 100

_

_

( de equivocadas) = 50

100(1) – 50 1 – (-1/4)

= 40

-1/4

58

10. En un corral hay 180 patas y 54 cabezas, si lo único que hay son gallinas y conejos ¿Cua´es el número de alas? 4

x 54

_

_

de gallinas = 180

54(4) - 180 4-2

= 18

18x2 alas = 36 2 patas 11. Se han de repartir 180 galletas entre 48 niños de un salón, dándole 5 a cada varon y 3 a cada niña. ¿Cuántos de los niños son varones?

5

x 48

_

_

de niñas = 180

48(5) - 180 5-3

= 30

48 – 30 = 18 niñas 3 galletas (niñas)

59

REGLA DE CONJUNTA (EQUIVALENCIAS) 1. Dos libros de matemáticas equivalesn a 5 cuadernos. ¿Cuántos libros de matemáticas equivalen a 10 libros de historia, sabiendo que 7 cuadernos equivalen a 2 libros de historia?. Ordenando en zigzag teniendo en cuenta que en la siguiente fila debe ir a la izquierda, la unidad con la cual se terminó la fila anterior:

2 libros de matem

< > 5 cuadernos

7 cuadernos

< > 2 libros de historia

10 libros de historia

< > x libros de matem

2 (7) (10) = 5 (2) x Nota:

x = 14

Las equivalencias (símbolos) se sustituyen por igualdad y los coeficientes se multiplican.

2. Con dos motos obtenemos 15 bicicletas, con 7 patines obtenemos 16 pelotas, con 49 patines obtenemos 5 bicicletas; con 6 motos ¿Cuátas pelotas se obtendrán?

2 motos

< > 15 bicicletas

5 bicicletas < > 49 patines 7 patines

< > 16 pelotas

x pelotas

< > 6 motos

(2) (5) (7) x = (15) (49) (16) 6

x = 1008 pelotas

3. Un herrero toma un aprendiz y además de mantenerlo, promete darle 2 años de trabajo, S/74 y un pantalón; al cabo de 1 año y 4 meses los despide dándole S/ 42 y el pantalón. ¿Cuánto vale el pantalón? Sea x soles el precio del pantalón (74 + x) soles < > 24 meses 16 meses

< > (42 + x) soles

16 (74 + x) = 24 (42 + x)

x = 22 soles

60

4. Se contrato a un profesional por un año y al final del cual se le tenía que abonar 10800 soles más un auto. Al cabo de 5 meses fue despedido recibiendo sólo 17000 soles más el auto ¿Cuánto vale el auto? Sea x el precio del auto 12 meses

< > ( 10800 + x ) soles

(1700 + x) soles < > 5 meses

12 (1700 + x) = 5 (10800)

x = 4800 soles

5. En un pueblo africano por cada tres espejos dan 5 diamantes, por cada 2 diamantes dan 30 monedas de oro. Por 888 espejos ¿Cuántas monedas de oro darán ? 3 espejos

< > 5 diamantes

2 diamantes

< > 30 monedas

x monedas

< > 888 espejos

(3) (2) x = 5 (30) 888

x = 22200 monedas

6. Sabiendo que 12 varas de tela cuesta lo mismo que 10 metros y que 4 metros cuestan 60 nuevos soles ¿Cuánto costaran 8 varas? 12 varas

< > 10 metros

4 metros

< > 60 soles

x soles

< > 8 varas

(12) (4) x = 10 (60) 8

x = 100 soles

7. En un zoológico se distribuyen las aves en jaulas. Si por cada 4 loros se colocan 10 pericos y por cada 4 papagayos se ponen 14 pericos ¿Cuántos losros habrá en una jaula en la que se contaron 20 papagayos? 4 loros

< > 10 pericos

14 pericos

< > 4 papagayos

20 papagayos < > x loros

(4) (14) 20 = 10 (4) x

x = 28 loros

61

8. Se contrató a un profesro por un año y al final del cual se le tenía que abonar 24 000 soles y un automóvil, luego de 5 meses se le rescinde el contrato recibiendo por ello 3700 soles más el auto. ¿Cuánto vale el automóvil? 12 meses

< > (24000 + x) soles

; x es el valor del auto

(3700 + x) soles < > 5 meses

12 (3700 + x) = 5(24000 + x)

x = 10800 soles

9. En un restaurante, 4 lomos equivalen a 10 churrascos; 9 churrascos equivalen a tres secos del mismo modo que ocho secos es a seis ceviches, por 160 nuevos soles nos dan 4 ceviches ¿Cuántos platos de lomo dan por 150 nuevos soles?

4 lomos

< > 10 churrascos

9 churrascos

< > 3 secos

8 secos

< > 6 ceviches

4 ceviches

< > 160 soles

150 soles

< > x lomos

4(9)(8)(4)150 = 10(3)(6)(160) x

x = 6 lomos

10. ¿Qué suma necesitará una empresa para pagar a 4 contadores, si el sueldo de 6 contadores equivale al de 10 técnicos ; el de 5 técnicos al de 12 bachilleres; el de 6 bachilleres al de 9 empleadas, y si 4 empleados ganan 2 400 soles al mes? 6 contadores

< > 10 técnicos

5 técnicos

< > 12 bachilleres

6 bachilleres

< > 9 empleados

4 empleados

< > 2400 soles

x soles

< > 4 contadores

6(5)(6)(4) x = 10(12)(9)(2400)4

x = 14400

62

PROBLEMAS DIVERSOS 1. En una librería por cada 3 lapiceros que se venden se obsequian 2. Si el stock disminuye en 180 lapiceros ¿Cuántos se obsequió? 180 lapiceros (3 + 2) lapiceros vez

= 36 veces se regaló 36(2) = 72 lapiceros

2. Al dividir un número entre 50 el operador olvida el 0 de la derecha del divisor, hallando así un cociente que se diferencia del verdadero en 135 ¿Cuál es el dividendo original? N 0

5 q

N 5 q=

N = 5q

N 0

Pero debió ser:

N = 50q’

50 q

N 5

q > q’ ; luego : q – q’ = 135

_

q’ =

N 50

N = 135 50

N = 750 3. Siete fichas están numeradas del 1 al 7 y se toman 2 sin importar el orden ¿En cuántos casos la suma d elos números esacritos en ellos no seran ni 9 ni 7?

1

2

3

4

5

6

7

; ni suma 7, ni 9

Los casos son: 12, 13, 14, 15, 17, 23, 24, 26, 35, 37, 46, 47, 56, 57, 67 Rpta: 15 4. Si “n” se divide por 9 el residuo es 5, ¿Cuál será el residuo si “3n” se divide por 9? n = 9q + 5 3n = 27q + 15

multiplicando por 3 ambos 3n =

9+9+6

3n = 9 + 6

3n = 9 + 9 + 6 resto : 6

63

5. La suma del minuendo, sustrayendo y diferencia de una resta es 64. Además el producto del sustrayendo por la diferencia es sextuplo del minuendo. Indicar la resta del sustrayendo y la diferencia. M + S + D = 64 . . . (1) SD = 6M

; M : Minuendo, etc.

. . . (2)

Por teoría: M – S = D

M = S + D . . . (3)

(3) en (1)

M + M = 64

M = 32

. . . (4)

(4) en (3)

S + D = 32 ; este último por “D”

SD + D2 = 32D

pero SD = 6(32) = 192

192 + D2 = 32D

D2 – 32D + 192 = 0

D= Luego, si

32 ± D=8

= { 8 ó 24 322 – 4(1)(192) S= S – D = ? = 16 2 24

6. A una fiesta asistieron 53 personas entre varones y mujeres. Si en una pieza musical no bailaron 8 mujeres y 15 varones. ¿Cuántas mujeres asistieron a dicha fiesta?

Sea V, número de varones y M el de mujeres. V + M = 53 M – 8 = V – 15

(1) (2)

Resolviendo el sistema se tiene: M = 23

7. Varias personas van a comer a un restaurante y al final por el consumo, cada uno debe pagar 80 soles; Pero sucede que cuatro de ellas no tienen dinero; por lo que cada una de las restantes debe abonar 20 soles más. ¿Cuántas personas asistieron a dicha comida? Sea x el número de personas al inicio. 4 no pagan, entonces x – 4 pagan todo 80(x – 4) + 20(x – 4) = 80x

x = 20 personas

8. Lo que tiene Alberto es el doble d elo que tiene Manuel. Si lo de Alberto excede en el doble de 100 a lo de Manuel ¿Cuánto tiene María si tiene el triple de Alberto? A: lo que tiene Alberto ; M : lo que tiene Manuel A = 2M A = M + 2(100)

2M = M + 2(100)

M = 200 A = 400

(Maria) = 3A = 1200 soles

64

9. Se han comprado cigarros de S/ 100 y de S/ 30.00 la cajetilla por un total de S/ 9500; los más baratos en conjunto cuestan 3/16 de lo que cuestan los restantes. ¿Cuántos cigarros se han compraod en total, si cada cajetilla en general trae 20 cigarros?

Sean C: # de cajetillas de 100 soles T: # de cajetillas de 30 soles 100C + 30T = 9500 También: 30T = (2) en (1)

5C 8

10C + 3.

80 + 50 = 130 cajetillas

10C + 3T = 950 . . . (1) T= 5 C = 950 8

. . . (2) C = 80

3 [100C] 16

T = 50

130(20) = 2600 unidades

65

CORTES Nº de cortes = L t - 1 Lu

1. Se tiene una barra de metal de 91 cm. De largo; que se desea dividir en trazos de 7cm de largo cada uno. ¿Cuánto nos cobra el cortador por cada corte, sabiendo que recibí un total de S/ 120.00? Lt = 91 cm ;

longitud total

Lu = 7 cm ;

longitud unitaria

# cortes =

–1 Lt Lu

Luego:

# cortes =

120 soles = 12 cortes

- 1 = 12 cortes

10 soles 1 corte

91 7 Rpta: 10 soles

2. Cuáles la longitud total de una madera a la que se le aplica 17 cortes, si se obtienen reglitas de 15 cm. Cada una.

# cortes = 17; # cortes =

Lu = 15 ; L–t 1 Lu

Lt = ?

17 =

- 1Lt 15

Lt = 270 cm Lt = 2m 70cm

3. Una varilla de oro de 96 cm. De largo debe ser cortada en retazos de 6 cm de longitud cada uno. Si la persona que nos hara el trabajo noscobra S/.75 por todo. ¿Cuánto nos cuesta cada corte?

Lt = 96 cm; #cortes =

Lu = 6 cm;

# cortes =

Lt Lu -1

- 1 = 15 cortes 96 6

= 75 soles 15 cortes

5 soles 1 corte

4. En una tienda se tiene un stock de 124 metros de tela y diario se vende un corte de tela de 4 metros. ¿En cuantos días cortaran totalmente la tela? Lt = 124 m ; Lu = 4m. Pide número de cortes: -124 1 = 30 cortes (30 días) Nota: ¿En cuántos4días se terminará de vender toda la tela? Rpta. 31 días #cortes =

66

5. Una larga soga debe dividirse en trrozos de 27 m de largo cada uno, si la soga mide 1215 metros. ¿Cuántos cortes debemos hacer?

Lt = 1215 ;

Lu = 27

#cortes =

1215 27

- 1 = 44

6. Una varilla de fierro ha sido seccionada en pedazos de 24 cm de largo, si se hicieran 11 cortes ¿Cuál erá l a longitud de la varilla? Lt = 24 cm; 11 = Lt - 1 24

# cortes = 11;

Lt = ?

Lt = 288 cm

7. Una regla de madera de 270 cm de longitud ha sido cortada 17 veces ¿Qué longitud tienen las reglitas resultantes? Lt = 270 cm; 17 = 270- 1

# cortes = 17 ;

Lu = ?

Lu = 15

Lu 8. Hemos trozado una madeja de lana logrando pedazos de 8 cm. Cada uno; si para esto fue necesario obtener 20 cortes ¿Cuál fue la longitud inicial de la madeja? Lu = 8 ; 20 =

# cortes = 20 ; Lt = ? Lt -1 Lt = 168 8

9. Cuantos pedazos de soga de 3m, de longitud cada una se ha unido en uno solo, si para ello ha sido necesario hacer dos nudos.

Rpta: 3

67

POSTES 1. ¿Cuántas estacas se debe colocar en el borde de un rectángulo de 20 m de largo por 10 de ancho si entre estaca y estaca debe haber 3 metros de distancia? 20 10

# estacas =

Perímetro = Lu

2(20 + 10) = 20 3

2. A lo largo de un pasaje se desea plantar árboles cada 6 m de tal modo que aparezca un árbol en cada extremo del pasaje, que además tiene 138 metros de l ongitud. ¿Cuántos árboles se requieren para tal fin?

... Lu = 6m ;

Pasaje

# árboles =

Lt = 138 L+t 1 = Lu

138 + 1 = 24 6

3. Se desea plantar postes cada 15m a lo largo de una avenida de 645m. Si se nos ha cobrado S/308 por el total de mano de obra ¿Cuántos nos han ocbrado por plantar cad poste, sabiendo que hay uno al inicio y otro al final d ela avenida?.

Avenida 308 soles= 44 postes

Lu = 15 ;

Lt = 645

# postes =

645 + 1 = 44 15

7 soles 1 poste

4. Se tiene un terreno rectangular cuyo peímetro es de 60 cm. ¿Cuántos postes debería colocarse cada 3 metros, si uno de estos postes mide 2 metrosa de longitud?

# postes =

perímetro 60 = 3 Lu

= 20

No importa el tamaño del poste

68

5. Alrededo r de una mesa circular se ubica sillas cada dos metros, Si el perímetro de la mesa es de 16m, ¿cuántas personas se pueden sentar como máximo en la mesa?

# personas =

Perímetro Lu

=

16 2 =8

6. En una central telefónica, una telefonista recibe llamadas sin cesar y cada llamada atiende en un intervalo de 4 minutos. Si su trabajo es de 7 horas, ¿Cuántas llamasa llega a atender?

Cada persona es atendida 4 minutos; luego: # llamadas = # de personas =

7 x 60 min = 105 4 min

7. Se dispone de 3, 7, 8 y 6 personas respectivamente en cada lado de un terreno rectangular. ¿Cuántas personas hay en total, sabiendo que en cada vértice hay una persona? Como en cada vértice hay una persona, la respuesta será: 3 + 7 + 8 + 6 – 4 = 20 personas Nota: Se cuenta dos veces a los que están en los vértices, de ahí que se resta 4. Si hubiese 6 vértices, sería menos 6. 8. A lo largo de una avenida de “2b” kilómetros de longitud se van a plantar postes equidistantes uno del otro, desde el inicio d ela avenida hasta el final; si para los “b” primeros km ya se han plantado “n” pooostes ¿Cuántops postes ser´na necesarios plantar para concluir el trabajo? En toda la mitad se plantaron n postes, luego faltarían n – 1 postes puesto que en toda la otra mitad también habría n postes y el del punto medio (el poste que está ahí) ya está plantado. n–1 9. A lo largo de un pasaje de 138 metros de longitud se desea plantar árboles cada 6 metros ¿Cuántos árboles se requiere? Lt = 138; Lu = 6m

# árboles =

138 +6 1 = 24

10. Un terreno de 40 metros de ancho se requiere cercado, colocando 80 estacas cada 5 metros en todo su perímetro. Calcular el largo del terreno L 40

# estacas =

perímetro Lu L = 160 m

= 2(L + 40) 5

= 80

69

11. Ocho postes de teléfono están situados a una distancia de 5 m cada uno del otro ¿Cuál es la distancia del primewro al último poste? Lt Lu # postes =

Lt 5

+1

8=

+1

Lt = 35 m

12. En una autopista existen puentes peatonales en los kilómetros 3 y 33. Se desea instalar dos puentes más entre los dos anteriores a igula distancia. ¿Cada cuántos kilómetros se instalarán dichos puentes? Lt = 33 – 3 = 30 ; Lu = ? ; # puentes = 4, considerando los dos existentes Luego: 4 = 30+ 1 Lu

Lu = 10 Km

13. Para cercar un jardín de forma pentagonal se utilizó 100 postes; si se contó 20,21,22,23 postes en cuatro lados ¿Cua´ntos postes tiene el lado que no se contó, si en cada esquina había un poste?

# postes = 100; Luego: x = 19

20 + 21 + 22 + 23 + x – 5 = 100

(menos 5 porque tiene 5 vértices y en cada vértice había un poste)

14. En una avenida se desea plantar árboles cada 6 m de tal modo que aparezca un árbol en cada extremo y la avenida tiene 138 m. de longitud. ¿Cuántos árboles se requiere para tal fin?

# árboles =

138 6 + 1 = 24

15. Angel y Edy ws3e comprometieron a construir un muro en 12 días, pero luego de trabajr junto duranmte 4 días, Edy se retiro del trabajo, por lo que Angel entregó la obra ocn 12 días de retraso. Si se hubiera retirado Angel ¿Con cu´ 16. antos días de retrazo habría entregado la obra Edy? # estacas = 28 =

Lt 3

+1

Lt = 81

No importa la longitud de las estacas

70

PASTILLAS 1. Yeni toma 2 pastillas cada 8 horas. Debido a una enfermedad durante 4 días. Si toma las pastillas desde el inicio del primer día hasta el final del último día ¿Cuántas pasatillas consumió?

Problemas de pastillas es de postes, estacas. El tiempo hace las veces de longitud. Se aplica la fórmula de postes.

Lt = 4 días = 4 x 24 horas

. . .

Lu = 8 h

Resolvemos primero para el caso en que toma de 1 en 1 pastilla, al final duplicamos.

# pastillas =

Lt 4x24 +1 = + 1 = 13 pastillas (1 en 1) Lu 8 2(13) = 26 pastillas

2. Se le suministra a una persona 73 pastillas durante 15 días y cada ciewrto intervalo de tiempo “x” horas. Hallar el valor de “x” si se le suministro desde inicio hasta le final. 73 = 15x24 hrs + 1 x hrs

x = 5 hrs

3. Una enfermera le da una pastilla cada 24 minutos a su paciente durante 8 horas ¿Cuántas pastillas tomará el paciente?

# pastillas =

8x60 min 24 min

+ 1 = 21 pastillas

REGLA DE TRES SIMPLE 71

1. Para pintar una pared de 120m de largo, se emplearon cierto número de obreros. Si la pared fuese 40 m más larga, haría falta 5 obreros más ¿Cuántos obreros se emplearon? 120 m

x obreros

160 m

(X + 5)obreros;

160 = 120 + 40

Son directamente proporcionales; entonces multiplicamos en aspa : 120 (X + 5) = 160 X

X = 15 obreros

2. Arquimides le regala a Lucy un cubo compacto de madera valorizado en 12 soles. Si le regalara un cubo de la misma madera pero de doble arista ¿Cuánto costaría dicho cubo? Sea “a” la longitud de su arista inicial en metros ; compacto significa “macizo”, sin huecos; entonces interesa el volumen: a3 m3 3

12 soles 3

(2a) m

x soles

Son directamente proporcionales; entonces: x = 96 soles

3. Un barco tiene viveres para 22 días, silleva 69 TRIPULANTES, DIGA ¿Cuánto puede durar un viaje de 33 tripulates?

69 tripulantes

22 días

33 tripulantes

x días

Son magnitudes inversamente proporcionales; entonces multiplicamos en línea: 69 (22) = 33 x

x = 46 días

4. un recipiente esférico de 6m de diámetro recepciona 200 kg de maíz. ¿Cuántos kilogramos de maiz recepcionara otro recipiente esférico de 12 m de diámetro Interesa el volumen esférico, entonces V =

4 3

(3)3 m3

200 Kg

4 3

(6)3 m3

X Kg

4 3

;

r3; formula del volumen

3=6 / 2

;

(6)3. x = 200

4 3

son D.P.

4 3

(6)3

X = 1600 Kg

72