Proyecto 13e2

Nombre :Emmanuel de Jesús Canche Tzec

Proyecto Integrador: En un tiempo…

Módulo: Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales.

Facilitadora: Hermelinda Reyes Riego

Grupo: M18C4G3-088

Fecha: 11 de enero de 2016.

Analiza el siguiente problema y de acuerdo con lo que has revisado en las unidades anteriores, desarrolla y responde el planteamiento, además de explicar tu solución paso a paso.

Una asociación contra el cáncer de niños se encarga de recolectar latas de refrescos desechables con el propósito de venderlas y así obtener una cantidad de dinero extra para continuar su labor. Según su estadística, la ecuación que representa el numero de latas a recolectar es la siguiente f(x)=-𝑥 2 +15x donde x señala la cantidad de tapas recolectadas. Ligado a esto, la asociación ya cuenta con 10,000 latas que ha recolectado por su cuenta.

Realiza el bosquejo de la gráfica que representa la ecuación, y con ayuda de la gráfica responde las siguientes preguntas: Tabulación a)

¿Cuál es el punto máximo del número de latas que se recolectan, así como el tiempo en el que ya no se recolecta nada? (No olvides que los resultados son en miles).

Con ayuda de la gráfica podemos encontrar que el punto máximo es en el punto (7.5,56.25), donde el eje de las “x” nos indica el tiempo transcurrido y el eje de las “y” la cantidad de latas en miles, entonces la cantidad total de latas recolectadas en el punto máximo es 56,250 y el tiempo en el que ya no se recolecta nada es el tiempo 15.

b) ¿Cuál es la relación que existe entre el tiempo y el número de latas que se juntaron? y ¿cuál sería el total de latas en el punto máximo, en conjunto con lo ya obtenido por la asociación con anterioridad? El total de latas se calcula por medio de la integración de la función definida por los intervalos 0 a 15. Calcular el total de latas en el punto máximo, en conjunto con lo ya obtenido por la asociación con anterioridad

𝟏𝟓

න (−𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙) 𝟎

f(x)= -x2+15x

= (− = (− = (−

= −

= −

𝒙𝟐+𝟏 𝟑 𝒙𝟑 𝟑

𝒙𝟑 𝟑

+ 𝟏𝟓

𝟐

𝟐

) Para calcular la cantidad de latas en el punto máximo, se sustituye x=7.5 en la función original.

)

+ 7.5(15)2 − −

3375 3

𝒙𝟐

𝒙𝟏+𝟏

=-(7.5)2+15(7.5)

𝟏𝟓 + 𝟕. 𝟓𝒙𝟐 ) ] 𝟎

153 3

+ 𝟏𝟓

(0)3 3

+ 7.5(0)2

=56.25 + 7.5(225) − 0

= −1125 + 1687.5 − 0

= 562.5

=--56.25+112.5

(562.5)(1000)=562,500 Número total de latas juntadas es 562,500 latas.

En miles el resultado es 56,250, siendo el máximo el punto (7.5, 56,250). Para obtener el total de tapas en el punto máximo, se le suma los 10,000 ya recolectados quedando: 56,250+10,000=66,250.

Obtén la ecuación de la recta tangente a partir de la función derivada (de la que ya te fue dada anteriormente) y el valor de su pendiente. f(x) = -x2 + 15x f´(x) = -2x + 15 punto crítico (7.5, 56.25). f´(7.5)=-2(7.5)+15=-15+15=0

Pendiente de la recta tangente es igual a cero.

y-y1= m (x1-x) Y-56.25=0(7.5-x)

Y-56.25=0 Y=56.25

Ecuación de la recta tangente

Luego, integra la recta tangente en la misma gráfica anterior y responde (en un audio) a la siguiente pregunta: c) Qué relación existe entre el punto máximo alcanzado y la recta tangente y su pendiente; relaciónalo con los datos obtenidos en tu actividad.