Problema 3f6v3b

Problema. Un tanque está lleno de agua hasta una altura H. En una de sus paredes se taladra un orificio a una profundidad h, bajo la superficie del agua (Como se muestra en la figura). A) Calcular la rapidez con que sale el agua por el orificio B) El alcance X del chorro respecto a la base. Datos: H= 10 m h= 2m v=? X=? Donde: H= Altura del tanque h=Altura del orificio V=Velocidad X=Alcance recorrida del chorro Formulas: 1

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Bernoulli P1+ρgh1+2ρv1²=P2+ρgh2+2ρv2² Torrichelli V= √2𝑔ℎ

A) Calcular la rapidez con que sale el agua por el orificio *Aplicar Bernoulli 1

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P1+ρgh1+2ρv1²=P2+ρgh2+2ρv2² Se tomaran en cuenta las siguientes consideraciones: 1)La presion (P) en el tanque y del chorro sera la presion atmosterica por que se encuentra al aire por lo tanto P en el punto 1 es la misma que el punto 2 asi que se cancelan. 1

1

P1+ρgh1+2ρv1²=P2+ρgh2+2ρv2² 2)La altura (h) en el punto 1 sera el nivel maximo de agua dentro del tanque mientras que la altura en el punto 2 sera el orificio del tanque asi que su valor sera de cero. 1

1

ρgh1+2ρv1²= ρgh2+2ρv2²

3)La velocidad en el punto 1 donde el agua del tanque desciende es muy pequeña asi que se pondra el valor de cero, mientras que la velovidad en el punto dos es la velocidad del chorro es nuestra incognita. 1

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ρgh1+2ρv1²=2ρv2²

4)Como la densidad es la misma al tratarse de un mismo fluido se puede descartar. 1

ρgh1=2ρv2² 5)Nuestra ecuacion quedara de la siguiente forma: 1

gh1= 2v2² 6)Aplicar algebra para despejar la velocidad en el punto 2 (Notamos que esta ecuacion es el Teorema de Torrichelli : V2= √2𝑔ℎ 7)Sustituir datos, donde g es la gravedad 9.81𝑚/𝑠²: V2=√2(9.81𝑚/𝑠²)(2𝑚) V2=6.26 m/s² B) El alcance X del chorro respecto a la base. 1)Consideraremos el chorro como un tiro parabolico y calcularemos el alcance (X) de la siguiente manera, donde Vox es la rapidez inicial en X y t es el tiempo. X=(Vox)(t) (1) 2) Sabemos que Vox se puede expresar de la siguiente manera. Vox= √2𝑔ℎ

(2)

3) No se conoce el tiempo de la ecuacion (1), pero contamos con otros datos como la distancia del chorro hasta la base (H-h), considerando que se encuentra en el eje Y: 1

Y= (Voy)( t) − 2 (g)(t²) 4) Como se mensiona la medicion se hace en el eje Y entonces decimos que la velocidad (Voy) es cero considerando que el chorro sale en la direccion X. 1

Y= (Voy)( t) − 2 (g)(t²) 5)Considerando que Y es igual a (H-h) al considerar Y como el punto maximo de agua en el tanque, sustituimos los valores: 1 2

-(H-h)= − (g)(t²)

6)Despejando el tiempo:

t= √

2(𝐻−ℎ)

(3)

𝑔

7)Sustituyendo en la ecuacion (1) la ecuacion (2) y (3) sabemos: X= √2𝑔ℎ √

2(𝐻−ℎ) 𝑔

8)Aplicando algebra tenemos que se puede eliminar la gravedad, multiplicar el dos y sacarle raiz: X=√2𝑔ℎ (

2(𝐻−ℎ) ) 𝑔

9)La formula final seria la siguiente: X=2√ℎ(𝐻 − ℎ) 10)Sustituimos datos: X=2√2𝑚(10𝑚 − 2𝑚) X=8m