Principio De La Termodinamica 4l4d70

Modelos de problemas para ayuda a los estudiantes en los temas para el 2° examen (2011): Victor H. Rios 1. 2. 3. 4. 5.

Estática y dinámica de un sólido rígido Gravitación universal Hidrostática e hidrodinámica Elasticidad Termodinámica: calorimetría y dilatación térmica.

P1) a) Si dos cuerpos de igual masa, uno de cobre y otro de hierro, ambos a la misma temperatura inicial, reciben la misma cantidad de calor, ¿cuál de los dos alcanzará una temperatura mayor?, ¿por qué?. b) Dos cuerpos de igual material y distinta masa se introducen, con temperaturas iniciales diferentes, en un recipiente adiabático de capacidad calorífica despreciable hasta que alcanzan el equilibrio térmico, ¿cuál de los dos experimenta mayor variación en su temperatura? ¿Qué suposición hay que hacer para responder esta pregunta? Solución Este es bien sencillo. Dos cuerpos de igual masa, misma cantidad de calor, misma temperatura inicial... si no elevan su temperatura en la misma cantidad, ha de ser que tienen una capacidad calórica diferente. Miremos la expresión de calorimetría expresada para ambos cuerpos: Q = m . cFe . ΔTFe Q = m . cCu . ΔTCu Parece claro que para que haya igualdad (de calor y masa) el que tenga un calor específico menor deberá obtener una variación de temperatura mayor. O, lo que es lo mismo el que tenga un calor específico mayor, tendrá una variación de temperatura menor. Como el calor específico del hierro es mayor que el del cobre, cFe > cCu (se trata de valores que en este ejercicio debés considerar como dato). ΔTCu > ΔTFe b) Dos cuerpos de igual material y distinta masa se introducen, con temperaturas iniciales diferentes, en un recipiente adiabático de capacidad calorífica despreciable hasta que alcanzan el equilibrio térmico, ¿cuál de los dos experimenta mayor variación en su temperatura? ¿Qué suposición hay que hacer para responder esta pregunta?

Casi se repite la historia. Porque como estando adentro de un calorímetro sólo pueden inter-cambiar calor entre sí, el calor que reciba un cuerpo será igual al que pierda el otro, la misma cantidad de calor. En este caso los calores específicos son iguales ya que ambos cuerpos están hechos del mismo material... Q = m1 . c . ΔT1 Q = m2 . c . ΔT2 Antes de sacar conclusiones algebraicas debo explicar algo. En realidad debería haberle colocado un signo menos al calor del cuerpo que cede (el que inicialmente estaba a mayor temperatura), pero como ese cuerpo ha de enfriarse, también tendrá un signo menos su variación de temperatura. Ambos signos se cancelan y las ecuaciones quedan como te las escribí ahí arriba. Nuevamente, puedes ver que masa y variación de temperatura son magnitudes inversamente proporcionales... el cuerpo que tenga mayor masa tendrá una menor variación de temperatura... y viceversa. Respondiendo la pregunta: el de menor masa Si te cuesta comprender las proporcionalidades directas e inversas, puedes fabricarte sencillos ejemplos numéricos y simular variaciones de la magnitud que quieras para ver cómo varía la otra (sólo puedes jugar con 2 magnitudes a la vez).

P2) El volumen de agua en un tanque abierto es de 2 x 106 litros ¿Qué cantidad de calor cede el agua durante una tarde en que su temperatura desciende 20°C a 18°C? Solución ¿Tienes idea de qué estamos hablando? Un volumen de 2 x 106 lit es lo mismo que 2.000.000 lit, o, si querés, 2.000 m3... y eso... será mucho... poquito... La idea del metro cúbico es fácil: se trata de un volumen igual al de un cubo que tiene una arista de 1 m, ¿ok? Y para llegar a tener 2.000 de esos, los podríamos poner así: apilados de a dos (uno arriba de otro) en una cuadrícula de 20 por 50. ¡Un tamaño equivalente al de una pileta olímpica! Que le entra una masa de agua de... mH2O = δH2O . V mH2O = 1.000 gr/lit . 2 x 106 lit

mH2O = 2 x 109 gr Vamos ahora a la calorimetría Q = mH2O . cH2O . ΔT Q = 2 x 109 gr . 1 cal/gr°C . 2°C

Q = 4 x 109 cal P3) ¿Cuál es la variación de temperatura que sufre un trozo de latón de 450 g al perder 1.800 cal? (clatón = 0,094 cal/g °C) Solución Este es un ejercicio archidifícil de aplicación directa de la ecuación de calorimetría: – Q = mlatón . clatón . ΔT El signo menos obedece a que es un calor cedido por el latón. Lo único que no conocemos aquí es la variación de temperatura, despejamos... ΔT = – Q / mlatón . clatón ΔT = 1.800 cal / 450 g . 0,094 cal/g °C ΔT = – 42,55 ºC P4) El té de una taza está muy caliente y se decide agregarle un poco de agua fría para poder tomarlo ¿Cuánta agua de la canilla habrá que agregarle? (Estime Ud. los datos que necesite).

Solución ¿A qué temperatura te gusta tomar el té? Te diré que no es lo mismo el boldo que la peperina, bolsita o en hebras, reposado o sin reposar... en fin... de todos modos lo mío es el mate, así que hacé como quieras.

Suponte que lo querés a 80 °C y te lo acaban se servir directo de la tetera hirviente, a 100 °C, tenés que bajarle 20 °C. La igualdad entre el calor cedido por el té, QT , y capturado por el agua fría, QA, se planteará de esta forma: – QT = QA – mT . cT . ( TF – T0T) = mA . cA . ( TF – T0A) Donde la masa de té, mT, es 200 gr; y la masa de agua que debemos echar, mA, es nuestra incógnita. Si tomamos el agua de la canilla, supongamos a unos 18 °C, y que la infusión tiene el mismo calor específico que el agua (cT = cA)... – 200 gr ( 80 °C – 100 °C) = mA ( 80 °C – 18 °C) 200 gr 20 °C = mA 62 °C





mA = 200 gr . 20 °C / 62 °C

mA = 64 gr

Es demasiado... te recomiendo que la tasa sea bien grande (un despropósito para el buen té) o, mejor aún, dejá reposar y que la temperatura baje sola... andá probando de a sorbitos hasta que la temperatura te resulte agradable. Luego sí... en bocanadas amplias y profundas... para saborear correctamente. ¡Pero sin hacer ruido!

P5) ¿Cuántas calorías requiere un bloque de hielo de 40 kg a –20°C para pasar, a presión atmos-férica normal, al estado: a) Líquido a 40°C. b) Vapor a 100°C. c) 20 Kg. de líquido a 100 °C en equilibrio con su vapor. Considere Lf = 80 cal/g; Lv = 540 cal/g y , hielo = 0,5 cal/g °C Solución Este ejercicio es sencillo... pero fundamental. Les voy a mostrar una curva de calentamiento del agua, que es independiente de la masa de agua que estemos calentando (porque no le puse valores al calor recibido por el cuerpo de agua).

Se las voy a leer de izquierda a derecha. El asunto comienza a una temperatura de -20ºC. Al recibir calor, como cualquier cuerpo... aumenta la temperatura. Si la potencia con la que se recibe el calor es constante, el aumento de temperatura también será constante y la gráfica se corresponderá con una recta oblicua ascendente de pendiente típica (es el tramo rojo). Después te hago el cálculo del calor total necesario para que la temperatura alcance los 0ºC. La cuestión es que al alcanzar los 0ºC la gráfica se aplana mostrando que la temperatura deja de aumentar. Nos es que haya cesado el aporte de calor... es que el hielo se está derritiendo. Los tramos horizontales de la gráfica (tramo verde) representan cambios de estado. Cuando toda la masa de hielo se derritió, recién ahí el agua comienza a aumentar su temperatura (tramo celeste). Si observamos, la pendiente (la inclinación) del segmento celeste es bastante menor que la del segmento rojo. Eso nos está describiendo que el agua líquida es mas "dura" de calentar que el agua sólida. De hecho, el agua líquida es una de las sustancias más difíciles de calentar... hay que suministrarle mucho calor para que varíe su temperatura. Al llegar a los 100ºC vuelve a plancharse la gráfica. Es otro cambio de estado: de líquido a gaseoso. Justo en inicio, cuando el agua alcanza los 100ºC, rompe el hervor, y mientras el agua hierve se va evaporando. Si el flujo de calor se mantiene constante el segmento que representa ese cambio de estado es tan largo como lo hice -en comparación con el verde-. Se trata de otra particularidad atípica del agua: que necesite tanto calor para evaporarse. La cuestión es que ése es el motivo por el cual podemos cocinar los fideos con cierta tranquilidad. Nuestras abuelas, apenas comenzaba el hervor, bajaba el fuego de la hornalla, y así lograba que esa recta en lugar de larga fuera larguísima, entonces metían las verduras confiadas de que podía dedicarse a otra tarea sin peligro de que el agua se evapore totalmente y la comida se malogre. El resto no es fácil de hacer en la cocina, pero si pudiésemos retener el vapor para calentarlo, la gráfica sería muy parecida a la del hielo, ya que requiere más o menos la misma cantidad de calor para obtener los mismos aumentos de temperatura. (tramo violeta).

Les voy a calcular esas cantidades de calor necesarias durante todo el proceso. La primera cantidad de calor, que voy a llamar QH, se calcula de esta manera: QH = m cH . (TFH – T0H) QH = 40 kg 0,5 (kcal/kg°C) (0°C + 20°C) QH = 400 kcal La cantidad de calor necesaria para fundir todo el hielo, QF: Q F = m LF Q F = 40 kg 80 (kcal/kg) QF = 3.200 kcal La cantidad de calor necesaria para llevar el agua -ya líquida- de 0 a 100 grados, QL: QL = m cL . (TFL – T0L) QL = 40 kg 1 (kcal/kg°C) (100°C – 0°C) QL = 4.000 kcal La cantidad de calor necesaria de agua, QV: QV = QV = QV =

para evaporar íntegramente los cuarenta litros m LV 40 kg 540 (kcal/kg) 21.600 kcal

El calor para elevar la temperatura del vapor sabrías cómo calcularlo, pero deberías tener una temperatura final.

Ahora resolvamos el ejercicio: para llevar desde los -20°C a los 40°Cfinales del ítem a) habrá que sumar el calor necesario para calentar el hielo, el calor para

derretirlo, con el calor -que todavía no calculamos- para llevar el agua líquida de 0 a 40 grados. Calculemos este último, al que llamaré Q1. Q1 = 40 kg 1 (kcal/kg°C) (40°C – 0°C) = 1.600 kcal Por lo tanto, el calor necesario para lograr el objetivo del ítem a), Qa, será: Qa = QH + QF + Q1 Qa = 400 kcal + 3.200 kcal + 1.600 kcal Qa = 5.200 kcal Vamos al ítem b).

El calor necesario para llevar esos 40 kilos de hielo a -20 grados iniciales hasta el vapor (cantidad de calor que llamaré Qb) será la suma de las cantidades de calor necesarias para cada etapa de la transformación.

Por suerte ya las calculamos a todas previamente:

Qb = QH + QF + QL + QV Qb = 400 kcal + 3.200 kcal + 4.000 kcal + 21.600 kcal Qb = 29.200 kcal Y ahora vamos al último ítem, el c).

Nuevamente, el calor necesario para llevar esos 40 kilos de hielo a -20 grados hasta evaporar la mitad (cantidad de calor que llamaré Qc) será la suma de las cantidades de calor necesarias para cada etapa de la transformación. Están todas calculadas menos una, la última, que podríamos llamar Q2.

Q2 = m2 LV Q2 = 20 kg 540 (kcal/kg) Q2 =10.800 kcal

Ahora sí, la cantidad de calor Qc valdrá: Qc = 400 kcal + 3.200 kcal + 4.000 kcal + 10.800 kcal

Qc = 18.400 kcal

P6) Un trozo de platino de 200 g a 150°C se introduce en un recipiente adiabático que tiene 200 g de agua a 50°C ( platino = 0,032 cal/gr °C). Desprecie la capacidad calorífica del recipiente. a) Responda sin hacer cuentas: ¿espera que la temperatura de equilibrio sea mayor, igual o menor que la media entre 150 y 50 ºC? Explique. b) Calcule la temperatura de equilibrio que alcanza la mezcla. c) Repita el cálculo, suponiendo que la capacidad calorífica del recipiente no es despreciable, sino que vale 20 cal/ºC.

Solución Este es un problema bastante sencillo de una mezcla en calorímetro. El agua y el platino se ponen en estrecho o y como el platino se halla a mayor temperatura le cederá calor al agua. El agua se calentará y el platino se enfriará. El intercambio de calor cesará cuando la temperatura final de ambos sea la misma. Ya me animo a responder la primera pregunta, ya que como ambos cuerpos tienen igual masa la diferencia de temperatura sólo dependerá del calor específico y, siendo el del agua mucho mayor que el del platino... a) La temperatura final del sistema debe ser mucho más próxima a la tem-peratura inicial del agua que a la temperatura inicial del platino Ahora queremos saber precisamente cuánto vale esa temperatura. Voy a llamar QA al calor que recibe el agua y QPt al calor que cede el platino. A los calores cedidos les asignamos signo negativo. Como las paredes son adiabáticas y no existe intercambio de calor con ningún otro cuerpo tenemos que:

QA = – QPt

donde: QA = mA . cA . (TF – T0A) QPt = mPt . t . (TF – T0Pt)

de modo que, reemplazando, tenemos: mA . cA . (TF – T0A) = – mPt . t . (TF – T0Pt) distribuyo los factores m . c en los binomios entre paréntesis mA . cA . TF – mA . cA . T0A = – mPt . t . TF + mPt .

t . T0Pt reordeno los términos que contienen o no la incógnita mA . cA . TF + mPt . t . TF = mA . cA . T0A + mPt . t . T0Pt saco la incógnita como factor común TF . (mA . cA . + mPt . t ) = mA . cA . T0A + mPt . t . T0Pt y la despejo: ( mA . cA . T0A + mPt . t . T0Pt ) TF =

(mA . cA + mPt . t ) b)

TF = 53,1ºC

Es cierto que en esta etapa que pasó del problema, podría haber simplificado las masas de ambos cuerpos, por ser iguales. No quise hacerlo porque me gustaba más la idea de que te acostumbres a ver la expresión general con la que se resuelven los problemas de calorímetro de mezclas. En la última etapa nos piden que consideremos que el recipiente (el calorímetro) también recibe un poco de calor, o sea, también se calienta: QA + QR = – QPt donde QR es el calor que recibe el recipiente, cuya temperatura inicial debe ser la misma que la del agua y la final, la del equilibrio. No nos dan ni la masa ni el calor específico del recipiente. Pero nos dan lo que interesa que es su capacidad calórica (el producto entre la masa y el calor específico): CR = mR . cR Reemplazo nuevamente y realizo los mismos pasos que antes: mA . cA . (TF – T0A) + CR . (TF – T0R) = – mPt . t . (TF – T0Pt) etcétera...

( mA cA T0A + CR T0R + mPt t T0Pt) TF = c)

(mA . cA + CR + mPt . t ) TF = 52,8 ºC

Los resultados son lógicos y predecibles. Nunca dejes de pensar en los resultados. Si te equivo-caras en una cuenta y te diese un resultado físicamente imposible tu profesor te amonestaría por el error de cuentas como si del ABC de la Física fuese. Para patalear por un error de cuentas (todos los tenemos) el resultado tiene que ser físicamente posible.

P7) Entre las propiedades térmicas del cobre sólido figuran su calor específico sensible y su conductividad térmica. Explique qué significa que el calor específico sensible del cobre sea cCu= 0,091 cal/g ºC y que su conductividad térmica sea kCu = 0,9 cal/ ºC cm seg.

Solución Debo aclarar que calor específico - calor sensible - calor específico sensible son prácticamente el mismo concepto... y describen la propiedad térmica de una sustancia de variar su temperatura (aumentar, por ejemplo) al intercambiar calor (recibir, sería el caso del ejemplo). La ley que describe el calentamiento de las sustancias es: Q = c . m . ΔT que nos está diciendo que cuanto más calor, Q, se le suministra a un cuerpo, mayor será su aumento de temperatura, ΔT, (en una proporción directa). Y

también nos dice que cuanto mayor sea la masa, m, del cuerpo menor el aumento de la temperatura (en una proporcionalidad inversa). Pero también nos dice que el calentamiento descripto depende una propiedad intrínseca del cuerpo que hará que no todos (aún con la misma masa) se calienten por igual. Esa propiedad intrínseca, que dice cuán fácil o difícil resulta variarle su temperatura a un cuerpo es, justamente, el calor específico, c. Si lo despejamos de la ley anterior y lo especificamos para el cobre, sería... cCu = Q / m . ΔT Si tuvieras un cacho de cobre (sólido) cuya masa fuese 1 g, y le entregamos una cantidad de calor igual a 0,091 cal, observaría que el pedacito de cobre aumenta su temperatura en 1 ºC (por ejemplo: si se hallaba 17 ºC a pasará a tener 18 ºC). La palabra sensible (que casi ya no se usa) alude al hecho de que se puede sentir el cambio de la temperatura. Y se utilizó en contraposición a latente, el que un cuerpo recibía -o cedía- calor sin cambiar la temperatura (pero cambiando su estado, por ejemplo de sólido a líquido... proceso que ocurre a temperatura constante). Calor específico, que es el término corriente, se impone después de haber normalizado los calores sensibles de las substancias respecto del calor sensible del agua líquida a 15 ºC. La conductividad térmica es otro parámetro que describe el comportamiento de una sustancia. En este caso, lo que se describe es cuán permisiva o prohibitiva es una sustancia para que el calor viaje a través suya. Con qué facilidad o dificultad permite que el calor la atraviese. Si tuviésemos por ejemplo un cubito de cobre de 1 cmde arista, y una de sus caras (de 1 cm²) se halla en o con una fuente a cierta temperatura y la otra cara (también de 1 cm²) se halla en o con otra fuente de temperatura 1 ºC superior a la otra fuente... entonces, en un intervalo de tiempo igual a 1s, una cantidad de calor de 0,9 cal viajaría de una cara a la otra atravesando la longitud que las separa, que en nuestro caso vale 1 cm.

La ecuación que describe este proceso se llama Ley de Fourier y se expresa así: Q/Δt = k A ΔT / Δx donde Q es el calor, Δt es el intervalo de tiempo, k es la constante de conductividad térmica, A es el espacio (sección) por la que viaja el calor, ΔT es la diferencia de temperatura entre los extremos del viaje del calor, y Δx es la longitud del viaje. Despejando k y especializando para nuestro ejemplo del cubito de cobre, tenemos: kCu = Q . Δx / ΔT . A . Δt kCu = 0,9 cal . 1 cm / 1 ºC . 1 cm² . 1 s kCu = 0,9 cal/ºC. cm. s Las propiedades térmicas de las substancias son datos empíricos... aunque tienen su lógica, y alguna gente suele incorporar esa lógica a la intuición. Por ejemplo casi todas las substancias metálicas conducen el calor con facilidad y las llamarán conductorasdel calor; en cambio otras como la lana, el telgopor, la grasa... no permiten que el calor las atraviese fácilmente y las llamarán aislantes.

P8) ¿Qué longitud debe tener una barra cilíndrica de cobre, de sección 15 cm2, que se encuentra en o, por un extremo con una fuente a 100°C y por el otro con una fuente a 20°C, para que el flujo de calor en ella en estado estacionario sea 300 W? (Suponga que la barra sólo intercambia calor por los extremos). Dato: kcu = 0,92 cal/cm.°C. seg.

Solución Se trata de un ejercicio demasiado simple, de aplicación de la Ley de Fourier, que describe la conducción del calor:

en el que la potencia de la conducción vale Q/Δt = 300 W = 71,65 cal/s (la convertí a calo-rías por segundo para homogeneizarlas con las de la conductividad térmica y realizar el cálculo directamente). 71,65 cal/s = 0,92 (cal/cm oC s) . 15 cm² . 80 ºC / Δx

Despejo Δx y calculo: Δx = 15,4 cm