Metodo Simplex Y Problemas De Metodo Grafico 91g45
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´ ´ TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO ´ INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA LAGUNA
M´etodo Simplex Unidad 2: M´etodo Simplex
Alumno: Rolando Martinez Aguilar Dra.: Dra. Alejandra Olvera Willies
Semestre Enero-Junio 2018
Torre´on, Coahuila- 8 de marzo de 2018 Fecha de entrega: 8 de Marzo del 2018
´ INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA LAGUNA ´ ´ TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO MAESTRIA EN INGENIERIA INDUSTRIAL
M´etodo Simplex
Anteriormente utilizamos el m´etodo gr´afico para resolver problemas de dos variables,sin embargo en la realidad pocos casos tienen s´olo dos variables, por lo que es importante contar con herramientas que nos permitan resolver modelos con m´as de dos variables. En 1947 el matem´atico norteamericano Jorge Dantzig desarroll´o un algoritmo para resolver problemas de PL de dos o m´as variables conocido como m´etodo s´ımplex. El m´etodo s´ımplex es otra de las herramientas importantes con que cuenta la investigaci´on de operaciones para apoyar la toma de decisiones cuantitativas, es decir, este m´etodo se utiliza para resolver modelos de programaci´on lineal, del mismo modo que el m´etodo gr´afico, con la ventaja de no tener l´ımite en la cantidad de variables de decisi´on que se incorporen al modelo. Por lo tanto, se pueden manejar n variables y m restricciones, siempre y cuando cumplan con las caracter´ısticas de la programaci´on lineal. El m´etodo s´ımplex tiene un algoritmo para su aplicaci´on, el cual revisaremos en esta unidad. Algunas caracter´ısticas importantes del m´etodo s´ımplex son que: • Es un proceso iterativo que puede generar varias aproximaciones a la soluci´on a trav´es de distintas tablas de soluci´on. • Se puede identificar cu´ando se ha llegado a la soluci´on o´ptima del modelo. Una observaci´on importante sobre el m´etodo es que puede ser muy sensible a errores de redondeo, dado que se llevan a cabo gran cantidad de operaciones. Para evitar este tipo de errores, se recomiendan dos acciones: 1. Utilizar el redondeo sim´etrico con la cantidad de decimales adecuadas a la magnitud de las variables de decisi´on. 2. Realizar las operaciones con fracciones. El m´etodo s´ımplex est´a basado en el m´etodo de Gauss-Jordan, pero adem´as de resolver un sistema de ecuaciones, eval´ ua la funci´on objetivo en la soluci´on y con esto permite determinar si esta soluci´on es ´optima o no; en caso de no ser o´ptima el algoritmo recorre los v´ertices del pol´ıgono de soluciones factibles analizando el proceso iterativo hasta obtener el valor que maximiza o minimiza la funci´on objetivo.
Dra. Alejandra Olvera Willies
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Investigaci´ on de Operaciones
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Forma est´ andar de programaci´ on lineal La forma est´andar o can´onica del modelo de programaci´on lineal est´a compuesta por una funci´on objetivo y un conjunto de restricciones. En general, la forma est´andar del modelo de programaci´on lineal puede expresarse como:
Zmax = C1 x1 + C2 x2 + . . . + Cn xn Sujeto a: a11 x1 + a12 x2 + . . . a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . a2n xn ≤ b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + . . . amn xn ≤ bm x, x2 , . . . , xn ≥ 0 Y su forma matriarcal esta dada por la expresi´on: Zm ax = CX Sujeto a: AX ≤ B X≥0 Donde: C = Es la matriz de costos o utilidades, formada por los coeficientes de la funci´on objetivo. A = Es la matriz de coeficientes del sistema formado por las restricciones. B = Es la matriz columna de t´erminos independientes del sistema de restricciones. X = Es la matriz columna de las variables x1 , x2 , x3 , . . . xn del sistema de restricciones.
Dra. Alejandra Olvera Willies
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Investigaci´ on de Operaciones
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Algoritmo Simplex Un algoritmo es una secuencia que se caracteriza por tener pasos l´ogicos que siempre se realizan en el mismo orden. Por esto es necesario que para aplicar el algoritmo s´ımplex, siempre se realice en el orden indicado. Partiendo de un modelo de programaci´on lineal en su forma est´andar se realizan los siguientes pasos: Paso 1. Convertir las desigualdades en igualdades al sumarles una variable de holgura h1 . Esta variable representa la cantidad que le falta a la desigualdad para ser igualdad. Las variables de holgura siempre son positivas. No se incluye la CNN: a11 x1 + a12 x2 + . . . a1n xn + h1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . a2n xn + h2 = b2 .. . am1 x1 + am x2 + . . . amn xn + hm = bm Paso 2.Escribir la funci´on objetivo como una igualdad a cero sumando las variables de holgura h1 con coeficiente cero y conservando positivo el cociente de Zmax , es decir: Zmax − C1 x1 − C2 x2 − . . . − Cn xn + 0h1 + 0h2 + . . . 0hm = 0 Paso 3.Formar una tabla simplex o tabla inicial. • Se construye una tabla como la que se muestra a continuaci´on:
• En la primera celda escribimos la etiqueta “Variables b´asicas”, en la siguiente la etiqueta “Z”, despu´es de esta celda se escriben los nombres de las variables originales del modelo, seguidas de las variables de holgura. En la u ´ltima celda se coloca la etiqueta “Soluci´on”. • El segundo rengl´on contiene los coeficientes, correspondientes a cada variable original, de la funci´on objetivo escrita como se obtuvo en el Paso 2 y con el coeficiente cero para todas las variables de holgura y la “Soluci´on”.
Dra. Alejandra Olvera Willies
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Investigaci´ on de Operaciones
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• En la primera columna y a partir del tercer rengl´on se en listan verticalmente todas las variables de holgura empleadas. Tambi´en a partir del tercer rengl´on y despu´es de la primera celda del mismo, se colocan los coeficientes de cada una de las restricciones en la columna de la variable correspondiente (esto genera los componentes de una matriz identidad en las variables de holgura).
En la columna soluci´on se colocan los t´erminos independientes y adem´as identificamos un elemento pivote en la celda en la que se intersectan el rengl´on de h1 con la columna de h1. Se asocia el valor de la columna soluci´on con la variable del mismo rengl´on de la columna de variables b´asicas, esto es h1 = b1 .
De manera similar para todas las variables y para Z: Z=0 h1 = b1 h2 = b2 ... hm = bm
Dra. Alejandra Olvera Willies
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Investigaci´ on de Operaciones
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´ Esta es la primera soluci´on. Con la tabla inicial s´ımplex asociada al modelo de PL se contin´ ua para encontrar la soluci´on o´ptima (si es que existe) o bien se determina que el problema no tiene soluci´on o´ptima. Paso 4. Vericamos si todos los coecientes asociados al rengl´on de Z son mayores o iguales a cero. Si es as´ı, entonces la soluci´on en la tabla es la ´optima y el proceso termina. Si no es as´ı, se contin´ ua. Paso 5.Delos coecientes del rengl´onZ se toma el que tenga el mayor valor negativo (n´ umero menor) y se selecciona toda la columna. La variable de esta columna es la que entra al sistema (pasa a ser b´asica). Paso 6. Se divide el t´ermino de la columna “Soluci´on” entre el elemento correspondiente de la columna seleccionada en el punto anterior, y de los resultados de la divisi´on se selecciona el ´ menor valor positivo y todo el rengl´on asociado a este valor. Esta es la variable que sale de la base (pasa a ser no b´asica). Nota: Las divisiones entre cero o entre n´ umeros negativos no se toman en cuenta. Si todas son negativas o indeterminadas el problema no tiene soluci´on y el proceso termina. Paso 7. La celda que se encuentra en la intersecci´on de la columna con el rengl´on seleccionado contiene un elemento al que, por medio de operaciones elementales entre renglones, se convierte en elemento pivote y los dem´as elementos de su columna, en ceros; con esto se obtiene una nueva columna de la matriz identidad. Paso 8. Se repite el proceso desde el Paso 4 operando sobre matrices hasta obtener todos los coeficientes del rengl´on Z, con valores mayores o iguales a cero.
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Ejemplo Resolver el siguiente modelo de programaci´on lineal utilizando el m´etodo s´ımplex.
Zmax = 6x1 + 10x2 Sujeto a: 6x1 + 2x2 ≤ 36 1x1 ≤ 8 1x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥ 0
Paso 1. Convertir las desigualdades en igualdades al sumarles una variable de holgura hi . Esta variable representa la cantidad que le falta a la desigualdad para ser igualdad. Las variables de holgura siempre son positivas. No se incluye la CNN: 6x1 + 2x2 + h1 = 36 1x1 + h2 = 8 1x2 + h3 = 12 Paso 2. Escribir la funci´on objetivo como una igualdad a cero sumando las variables de holgura h1 con coeficiente cero y conservando positivo el coeficiente de Zmax , es decir: Zmax − 6x1 − 10x2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 = 0 Paso 3. Formar la tabla s´ımplex o tabla inicial.
• Se construye una tabla como la que se muestra a continuaci´on para este caso:
• En la primera celda escribimos la etiqueta “Variables b´asicas”, en la siguiente la etiqueta “Z”, despu´es de esta celda se escriben los nombres de las variables originales del modelo, seguidas de las variables de holgura. En la u ´ltima celda se coloca la etiqueta“Soluci´on”. Adem´as, identificamos los renglones de la tabla para realizar operaciones entre ellos con mayor facilidad. Dra. Alejandra Olvera Willies
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• El segundo rengl´on contiene los coeficientes, correspondientes a cada variable original, de la funci´on objetivo escrita como se obtuvo en el Paso 2 y con el coeficiente cero para todas las variables de holgura y la “Soluci´on”.
• En la primera columna y a partir del tercer rengl´on se en listan verticalmente todas las variables de holgura empleadas. Tambi´en a partir del tercer rengl´on y despu´es de la primera celda del mismo, se colocan los coeficientes de cada una de las restricciones en la columna de la variable correspondiente (esto genera los componentes de una matriz identidad en las variables de holgura).
Identificamos un elemento pivote en la celda en la que se intersectan el rengl´on de H1 con la columna de h1 . Se asocia el valor de la columna “Soluci´on” con la variable del mismo rengl´on de la columna de variables b´asicas, esto es h1 = 36.
De manera similar para todas las variables y para Z: Z=0
h1 = 36
h2 = 8 Dra. Alejandra Olvera Willies
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h3 = 12 ´ Esta es la primera soluci´on. Con la tabla inicial s´ımplex asociada al modelo de PL se contin´ ua para encontrar la soluci´on o´ptima (si es que existe) o bien determinar que el problema no tiene soluci´on ´optima. Paso 4. Verificamos si todos los coeficientes asociados al rengl´on de Z son mayores o iguales a cero, si es as´ı, entonces la soluci´on en la tabla es la o´ptima y el proceso termina. Si no es as´ı, se contin´ ua.
En este caso existen dos coeficientes negativos asociados al rengl´on de Z, por lo que se debe continuar con el proceso. Paso 5.De los coeficientes del rengl´on Z se toma el que tenga el mayor valor negativo (n´ umero menor) y se selecciona toda la columna. La variable de esta columna es la que entra al sistema (pasa a ser b´asica).
Seleccionamos x2 como la variable que entra. Paso 6. Se divide el coeficiente de la columna “Soluci´on” entre el elemento correspondiente de la columna seleccionada en el punto anterior, y de los resultados de la divisi´on se selecciona ´ el menor valor positivo y todo el rengl´on asociado a este valor. Esta es la variable que sale de la base (pasa a ser no b´asica). Nota: Las divisiones entre cero o entre n´ umeros negativos no se toman en cuenta. Si todas son negativas o indeterminadas, el problema no tiene soluci´on y el proceso termina.
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De la tabla se selecciona el rengl´on de la restricci´on tres. Paso 7. La celda que se encuentra en la intersecci´on de la columna con el rengl´on seleccionado contiene un elemento al que, por medio de operaciones elementales entre renglones, se convierte en elemento pivote y los dem´as elementos de su columna, en ceros; con esto se obtiene una nueva columna de la matriz identidad.
La celda con doble marco contiene al que deber´a servir como elemento pivote para este ejemplo y como se tiene un 1 en la celda no es necesario convertirlo. Entonces, la nueva tabla s´ımplex para el rengl´on del elemento pivote se escribe como:
Nota que la variable que entra se escribe en el lugar de la variable que sale, x2 en el lugar de h3 , para esta tabla, y que lo que se busca es formar una columna con un 1 en el lugar de las intersecciones, esto es, obtener un elemento pivote y ceros en los dem´as sitios de la misma columna. En la parte derecha, fuera de la tabla, se indica la operaci´on que se realiz´o para obtener como resultado el nuevo rengl´on. Continuamos con el rengl´on R0 o de la funci´on objetivo:
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Donde se realiz´o la operaci´on:
Para el rengl´on R1 se tiene la tabla:
Donde se realiz´o la operaci´on:
Para el rengl´on R2 se tiene la tabla:
Donde no se realizaron operaciones, ya que en la posici´on correspondiente se tiene un cero, entonces s´olo se reescribe el rengl´on en la nueva tabla, como se indica en la parte derecha de la tabla.
Paso 8. Se repite el proceso desde el Paso 4 operando sobre matrices hasta obtener todos los coeficientes del rengl´on Z, con valores mayores o iguales a cero.
Regresemos al Paso 4. En este caso existe un coeficiente negativo asociado al rengl´on de Z, por lo que debe continuar el proceso.
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Paso 5. De los coeficientes del rengl´on Z se toma el que tenga el mayor valor negativo (n´ umero menor) y se selecciona toda la columna. La variable de esta columna es la que entra al sistema (pasa a ser b´asica).
Seleccionamos x1 como la variable que entra. Paso 6.Se divide el coeficiente de la columna “Soluci´on” entre el elemento correspondiente de la columna seleccionada en el punto anterior, y de los resultados de la divisi´on se selecciona ´ el menor valor positivo y todo el rengl´on asociado a este valor. Esta es la variable que sale de la base (pasa a ser no b´asica). Nota: Las divisiones entre cero o entre n´ umeros negativos no se toman en cuenta. Si todas son negativas o indeterminadas, el problema no tiene soluci´on y el proceso termina.
De la tabla se selecciona el rengl´on de la restricci´on uno. Paso 7. La celda que se encuentra en la intersecci´on de la columna con el rengl´on seleccionado contiene un elemento al que, por medio de operaciones elementales entre renglones, se convierte en elemento pivote y los dem´as elementos de su columna, en ceros; con esto se obtiene una nueva columna de la matriz identidad.
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La celda con doble marco contiene al elemento que deber´a servir como pivote y como se tiene un 6 en la celda es necesario convertirlo en 1. Entonces, la nueva tabla s´ımplex para el rengl´on del elemento pivote se escribe como:
Nota que la variable que entra se escribe en el lugar de la variable que sale, x1 en el lugar de h1 , para esta tabla, y que lo que se busca es formar una columna con un 1 en el lugar de las intersecciones, esto es, obtener un elemento pivote y ceros en los dem´as sitios de la misma columna. En la parte derecha, fuera de la tabla, se indica la operaci´on que se realiz´o para obtener como resultado el nuevo rengl´on. Continuamos con el rengl´on R0 o de la funci´on objetivo:
Donde se realiz´o la operaci´on:
Para el rengl´on R2 se tiene la tabla:
Donde se realiz´o la operaci´on:
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Para el rengl´on R3 se tiene la tabla:
Donde no se realizaron operaciones, ya que en la posici´on correspondiente se tiene un cero, entonces s´olo se reescribe el rengl´on en la nueva tabla, como se indica en la parte derecha de la misma.
Paso 8. Se repite el proceso desde el Paso 4 operando sobre matrices hasta obtener todos los coeficientes del rengl´on Z con valores mayores o iguales a cero.
Como en esta u ´ltima tabla, todos los coeficientes de rengl´on R0 o Z son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, se ha concluido el proceso.
La u ´ltima operaci´on por realizar es transferir los valores de la soluci´on de la tabla a las variables b´asicas.
´ Estos son los valores de las variables b´asicas del modelo de programaci´on lineal, y el valor m´aximo de la funci´on objetivo. Con el fin de presentar el m´etodo con un modelo de programaci´on lineal de m´as de dos variables se realiza el siguiente ejemplo con tres variables; sin embargo, se debe tener presente que el m´etodo puede funcionar con n variables y m restricciones que cumplan las caracter´ısticas de los modelos de programaci´on lineal.
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Problema 1 El candidato a la alcald´ıa en un peque˜ no pueblo asign´o $40,000 para propaganda de u ´ltimo minuto en los d´ıas anteriores a la elecci´on. Se utilizar´an dos tipos de anuncios:radio y televisi´on. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a unas 3,000 personas. Cada anuncio de televisi´on cuesta $500 y llega a un estimado de 7,000 personas. En la planeaci´on de la campa˜ na de propaganda, la jefa de la campa˜ na quiere llegar a tantas personas como sea posible, aunque ha establecido que se deben utilizar al menos 10 anuncios de cada tipo. Asimismo, el n´ umero de anuncios de radio debe ser al menos tan grande como el n´ umero de anuncios de televisi´on. ¿Cu´antos anuncios de cada tipo se deber´ıan utilizar? ¿A cu´antas personas llegar´an?
Soluci´ on: Siendo: x1 = Radio x2 = Televisi´on En este caso se desea maximizar la cantidad de gente que se vea afectada politica obteni´endose como funci´on objetivo:
Zmax = 3, 000x1 + 7, 000x2 Sujeto a: 200x1 + 500x2 ≤ 40, 000 x1 ≥ 10 x2 ≥ 10 x1 , x2 ≥ 0 y x1 > x2 Restricci´on 1: x1 =
40, 000 − 500x2 200
x2 =
40, 000 − 200x1 500
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x1 0 200
x2 80 0
Restricci´on 2: x1 = 10 x1 10 10 10
x2 0 1 2
Restricci´on 3: x2 = 10 x1 0 1 2
x2 10 10 10
Graficaci´on:
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La soluci´on optima es de 175 anuncios de radio as´ı como 10 de televisi´on, dando una poblaci´on m´axima afectada por los anuncios de 595,000.
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Problema 2 La corporaci´on Outdoor Furniture fabrica dos productos, bancos y mesas de picnic, para su uso en jardines y parques. La empresa cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (mano de obra) y el suministro de madera de secoya para fabricar muebles. Durante el siguiente ciclo de producci´on est´an disponibles 1,200 horas de mano de obra de acuerdo con el sindicato. La empresa tambi´en cuenta con un inventario de 3,500 pies de secoya de buena calidad. Cada banco que produce Outdoor Furniture requiere de 4 horas de mano de obra y de 10 pies de secoya, en tanto que cada mesa de picnic toma 6 horas de mano de obra y 35 pies de secoya. Los bancos terminados dar´an una utilidad de $9 cada uno; y las mesas una utilidad de $20 cada una. ¿Cu´antos bancos y mesas deber´ıa fabricar Outdoor Furniture para obtener la mayor utilidad posible? Utilice el m´etodo gr´afico de la PL.
Soluci´ on: Siendo: x1 = Bancos x2 = Mesas de picnics En este caso se desea maximizar la utilidad obteni´endose como funci´on objetivo:
Zmax = 9x1 + 20x2 Sujeto a: 4x1 + 6x2 ≤ 1, 200 10x1 + 35x2 ≤ 3, 500 x1 , x2 ≥ 0 Restricci´on 1: x1 =
1, 200 − 6x2 4
x2 =
1, 200 − 4x1 6
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x1 0 300
x2 200 0
Restricci´on 2: x1 =
3, 500 − 35x2 10
x2 =
3, 500 − 10x1 35
x1 350 0
x2 0 100
Graficaci´on:
La soluci´on optima es de 262 bancos as´ı 25 mesas para picnics, dando una utilidad m´axima de $2,858.
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M´etodo Simplex Unidad 2: M´etodo Simplex
Alumno: Rolando Martinez Aguilar Dra.: Dra. Alejandra Olvera Willies
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Torre´on, Coahuila- 8 de marzo de 2018 Fecha de entrega: 8 de Marzo del 2018
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M´etodo Simplex
Anteriormente utilizamos el m´etodo gr´afico para resolver problemas de dos variables,sin embargo en la realidad pocos casos tienen s´olo dos variables, por lo que es importante contar con herramientas que nos permitan resolver modelos con m´as de dos variables. En 1947 el matem´atico norteamericano Jorge Dantzig desarroll´o un algoritmo para resolver problemas de PL de dos o m´as variables conocido como m´etodo s´ımplex. El m´etodo s´ımplex es otra de las herramientas importantes con que cuenta la investigaci´on de operaciones para apoyar la toma de decisiones cuantitativas, es decir, este m´etodo se utiliza para resolver modelos de programaci´on lineal, del mismo modo que el m´etodo gr´afico, con la ventaja de no tener l´ımite en la cantidad de variables de decisi´on que se incorporen al modelo. Por lo tanto, se pueden manejar n variables y m restricciones, siempre y cuando cumplan con las caracter´ısticas de la programaci´on lineal. El m´etodo s´ımplex tiene un algoritmo para su aplicaci´on, el cual revisaremos en esta unidad. Algunas caracter´ısticas importantes del m´etodo s´ımplex son que: • Es un proceso iterativo que puede generar varias aproximaciones a la soluci´on a trav´es de distintas tablas de soluci´on. • Se puede identificar cu´ando se ha llegado a la soluci´on o´ptima del modelo. Una observaci´on importante sobre el m´etodo es que puede ser muy sensible a errores de redondeo, dado que se llevan a cabo gran cantidad de operaciones. Para evitar este tipo de errores, se recomiendan dos acciones: 1. Utilizar el redondeo sim´etrico con la cantidad de decimales adecuadas a la magnitud de las variables de decisi´on. 2. Realizar las operaciones con fracciones. El m´etodo s´ımplex est´a basado en el m´etodo de Gauss-Jordan, pero adem´as de resolver un sistema de ecuaciones, eval´ ua la funci´on objetivo en la soluci´on y con esto permite determinar si esta soluci´on es ´optima o no; en caso de no ser o´ptima el algoritmo recorre los v´ertices del pol´ıgono de soluciones factibles analizando el proceso iterativo hasta obtener el valor que maximiza o minimiza la funci´on objetivo.
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Forma est´ andar de programaci´ on lineal La forma est´andar o can´onica del modelo de programaci´on lineal est´a compuesta por una funci´on objetivo y un conjunto de restricciones. En general, la forma est´andar del modelo de programaci´on lineal puede expresarse como:
Zmax = C1 x1 + C2 x2 + . . . + Cn xn Sujeto a: a11 x1 + a12 x2 + . . . a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . a2n xn ≤ b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + . . . amn xn ≤ bm x, x2 , . . . , xn ≥ 0 Y su forma matriarcal esta dada por la expresi´on: Zm ax = CX Sujeto a: AX ≤ B X≥0 Donde: C = Es la matriz de costos o utilidades, formada por los coeficientes de la funci´on objetivo. A = Es la matriz de coeficientes del sistema formado por las restricciones. B = Es la matriz columna de t´erminos independientes del sistema de restricciones. X = Es la matriz columna de las variables x1 , x2 , x3 , . . . xn del sistema de restricciones.
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Algoritmo Simplex Un algoritmo es una secuencia que se caracteriza por tener pasos l´ogicos que siempre se realizan en el mismo orden. Por esto es necesario que para aplicar el algoritmo s´ımplex, siempre se realice en el orden indicado. Partiendo de un modelo de programaci´on lineal en su forma est´andar se realizan los siguientes pasos: Paso 1. Convertir las desigualdades en igualdades al sumarles una variable de holgura h1 . Esta variable representa la cantidad que le falta a la desigualdad para ser igualdad. Las variables de holgura siempre son positivas. No se incluye la CNN: a11 x1 + a12 x2 + . . . a1n xn + h1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . a2n xn + h2 = b2 .. . am1 x1 + am x2 + . . . amn xn + hm = bm Paso 2.Escribir la funci´on objetivo como una igualdad a cero sumando las variables de holgura h1 con coeficiente cero y conservando positivo el cociente de Zmax , es decir: Zmax − C1 x1 − C2 x2 − . . . − Cn xn + 0h1 + 0h2 + . . . 0hm = 0 Paso 3.Formar una tabla simplex o tabla inicial. • Se construye una tabla como la que se muestra a continuaci´on:
• En la primera celda escribimos la etiqueta “Variables b´asicas”, en la siguiente la etiqueta “Z”, despu´es de esta celda se escriben los nombres de las variables originales del modelo, seguidas de las variables de holgura. En la u ´ltima celda se coloca la etiqueta “Soluci´on”. • El segundo rengl´on contiene los coeficientes, correspondientes a cada variable original, de la funci´on objetivo escrita como se obtuvo en el Paso 2 y con el coeficiente cero para todas las variables de holgura y la “Soluci´on”.
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• En la primera columna y a partir del tercer rengl´on se en listan verticalmente todas las variables de holgura empleadas. Tambi´en a partir del tercer rengl´on y despu´es de la primera celda del mismo, se colocan los coeficientes de cada una de las restricciones en la columna de la variable correspondiente (esto genera los componentes de una matriz identidad en las variables de holgura).
En la columna soluci´on se colocan los t´erminos independientes y adem´as identificamos un elemento pivote en la celda en la que se intersectan el rengl´on de h1 con la columna de h1. Se asocia el valor de la columna soluci´on con la variable del mismo rengl´on de la columna de variables b´asicas, esto es h1 = b1 .
De manera similar para todas las variables y para Z: Z=0 h1 = b1 h2 = b2 ... hm = bm
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´ Esta es la primera soluci´on. Con la tabla inicial s´ımplex asociada al modelo de PL se contin´ ua para encontrar la soluci´on o´ptima (si es que existe) o bien se determina que el problema no tiene soluci´on o´ptima. Paso 4. Vericamos si todos los coecientes asociados al rengl´on de Z son mayores o iguales a cero. Si es as´ı, entonces la soluci´on en la tabla es la ´optima y el proceso termina. Si no es as´ı, se contin´ ua. Paso 5.Delos coecientes del rengl´onZ se toma el que tenga el mayor valor negativo (n´ umero menor) y se selecciona toda la columna. La variable de esta columna es la que entra al sistema (pasa a ser b´asica). Paso 6. Se divide el t´ermino de la columna “Soluci´on” entre el elemento correspondiente de la columna seleccionada en el punto anterior, y de los resultados de la divisi´on se selecciona el ´ menor valor positivo y todo el rengl´on asociado a este valor. Esta es la variable que sale de la base (pasa a ser no b´asica). Nota: Las divisiones entre cero o entre n´ umeros negativos no se toman en cuenta. Si todas son negativas o indeterminadas el problema no tiene soluci´on y el proceso termina. Paso 7. La celda que se encuentra en la intersecci´on de la columna con el rengl´on seleccionado contiene un elemento al que, por medio de operaciones elementales entre renglones, se convierte en elemento pivote y los dem´as elementos de su columna, en ceros; con esto se obtiene una nueva columna de la matriz identidad. Paso 8. Se repite el proceso desde el Paso 4 operando sobre matrices hasta obtener todos los coeficientes del rengl´on Z, con valores mayores o iguales a cero.
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Ejemplo Resolver el siguiente modelo de programaci´on lineal utilizando el m´etodo s´ımplex.
Zmax = 6x1 + 10x2 Sujeto a: 6x1 + 2x2 ≤ 36 1x1 ≤ 8 1x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥ 0
Paso 1. Convertir las desigualdades en igualdades al sumarles una variable de holgura hi . Esta variable representa la cantidad que le falta a la desigualdad para ser igualdad. Las variables de holgura siempre son positivas. No se incluye la CNN: 6x1 + 2x2 + h1 = 36 1x1 + h2 = 8 1x2 + h3 = 12 Paso 2. Escribir la funci´on objetivo como una igualdad a cero sumando las variables de holgura h1 con coeficiente cero y conservando positivo el coeficiente de Zmax , es decir: Zmax − 6x1 − 10x2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 = 0 Paso 3. Formar la tabla s´ımplex o tabla inicial.
• Se construye una tabla como la que se muestra a continuaci´on para este caso:
• En la primera celda escribimos la etiqueta “Variables b´asicas”, en la siguiente la etiqueta “Z”, despu´es de esta celda se escriben los nombres de las variables originales del modelo, seguidas de las variables de holgura. En la u ´ltima celda se coloca la etiqueta“Soluci´on”. Adem´as, identificamos los renglones de la tabla para realizar operaciones entre ellos con mayor facilidad. Dra. Alejandra Olvera Willies
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• El segundo rengl´on contiene los coeficientes, correspondientes a cada variable original, de la funci´on objetivo escrita como se obtuvo en el Paso 2 y con el coeficiente cero para todas las variables de holgura y la “Soluci´on”.
• En la primera columna y a partir del tercer rengl´on se en listan verticalmente todas las variables de holgura empleadas. Tambi´en a partir del tercer rengl´on y despu´es de la primera celda del mismo, se colocan los coeficientes de cada una de las restricciones en la columna de la variable correspondiente (esto genera los componentes de una matriz identidad en las variables de holgura).
Identificamos un elemento pivote en la celda en la que se intersectan el rengl´on de H1 con la columna de h1 . Se asocia el valor de la columna “Soluci´on” con la variable del mismo rengl´on de la columna de variables b´asicas, esto es h1 = 36.
De manera similar para todas las variables y para Z: Z=0
h1 = 36
h2 = 8 Dra. Alejandra Olvera Willies
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h3 = 12 ´ Esta es la primera soluci´on. Con la tabla inicial s´ımplex asociada al modelo de PL se contin´ ua para encontrar la soluci´on o´ptima (si es que existe) o bien determinar que el problema no tiene soluci´on ´optima. Paso 4. Verificamos si todos los coeficientes asociados al rengl´on de Z son mayores o iguales a cero, si es as´ı, entonces la soluci´on en la tabla es la o´ptima y el proceso termina. Si no es as´ı, se contin´ ua.
En este caso existen dos coeficientes negativos asociados al rengl´on de Z, por lo que se debe continuar con el proceso. Paso 5.De los coeficientes del rengl´on Z se toma el que tenga el mayor valor negativo (n´ umero menor) y se selecciona toda la columna. La variable de esta columna es la que entra al sistema (pasa a ser b´asica).
Seleccionamos x2 como la variable que entra. Paso 6. Se divide el coeficiente de la columna “Soluci´on” entre el elemento correspondiente de la columna seleccionada en el punto anterior, y de los resultados de la divisi´on se selecciona ´ el menor valor positivo y todo el rengl´on asociado a este valor. Esta es la variable que sale de la base (pasa a ser no b´asica). Nota: Las divisiones entre cero o entre n´ umeros negativos no se toman en cuenta. Si todas son negativas o indeterminadas, el problema no tiene soluci´on y el proceso termina.
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De la tabla se selecciona el rengl´on de la restricci´on tres. Paso 7. La celda que se encuentra en la intersecci´on de la columna con el rengl´on seleccionado contiene un elemento al que, por medio de operaciones elementales entre renglones, se convierte en elemento pivote y los dem´as elementos de su columna, en ceros; con esto se obtiene una nueva columna de la matriz identidad.
La celda con doble marco contiene al que deber´a servir como elemento pivote para este ejemplo y como se tiene un 1 en la celda no es necesario convertirlo. Entonces, la nueva tabla s´ımplex para el rengl´on del elemento pivote se escribe como:
Nota que la variable que entra se escribe en el lugar de la variable que sale, x2 en el lugar de h3 , para esta tabla, y que lo que se busca es formar una columna con un 1 en el lugar de las intersecciones, esto es, obtener un elemento pivote y ceros en los dem´as sitios de la misma columna. En la parte derecha, fuera de la tabla, se indica la operaci´on que se realiz´o para obtener como resultado el nuevo rengl´on. Continuamos con el rengl´on R0 o de la funci´on objetivo:
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Donde se realiz´o la operaci´on:
Para el rengl´on R1 se tiene la tabla:
Donde se realiz´o la operaci´on:
Para el rengl´on R2 se tiene la tabla:
Donde no se realizaron operaciones, ya que en la posici´on correspondiente se tiene un cero, entonces s´olo se reescribe el rengl´on en la nueva tabla, como se indica en la parte derecha de la tabla.
Paso 8. Se repite el proceso desde el Paso 4 operando sobre matrices hasta obtener todos los coeficientes del rengl´on Z, con valores mayores o iguales a cero.
Regresemos al Paso 4. En este caso existe un coeficiente negativo asociado al rengl´on de Z, por lo que debe continuar el proceso.
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Paso 5. De los coeficientes del rengl´on Z se toma el que tenga el mayor valor negativo (n´ umero menor) y se selecciona toda la columna. La variable de esta columna es la que entra al sistema (pasa a ser b´asica).
Seleccionamos x1 como la variable que entra. Paso 6.Se divide el coeficiente de la columna “Soluci´on” entre el elemento correspondiente de la columna seleccionada en el punto anterior, y de los resultados de la divisi´on se selecciona ´ el menor valor positivo y todo el rengl´on asociado a este valor. Esta es la variable que sale de la base (pasa a ser no b´asica). Nota: Las divisiones entre cero o entre n´ umeros negativos no se toman en cuenta. Si todas son negativas o indeterminadas, el problema no tiene soluci´on y el proceso termina.
De la tabla se selecciona el rengl´on de la restricci´on uno. Paso 7. La celda que se encuentra en la intersecci´on de la columna con el rengl´on seleccionado contiene un elemento al que, por medio de operaciones elementales entre renglones, se convierte en elemento pivote y los dem´as elementos de su columna, en ceros; con esto se obtiene una nueva columna de la matriz identidad.
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La celda con doble marco contiene al elemento que deber´a servir como pivote y como se tiene un 6 en la celda es necesario convertirlo en 1. Entonces, la nueva tabla s´ımplex para el rengl´on del elemento pivote se escribe como:
Nota que la variable que entra se escribe en el lugar de la variable que sale, x1 en el lugar de h1 , para esta tabla, y que lo que se busca es formar una columna con un 1 en el lugar de las intersecciones, esto es, obtener un elemento pivote y ceros en los dem´as sitios de la misma columna. En la parte derecha, fuera de la tabla, se indica la operaci´on que se realiz´o para obtener como resultado el nuevo rengl´on. Continuamos con el rengl´on R0 o de la funci´on objetivo:
Donde se realiz´o la operaci´on:
Para el rengl´on R2 se tiene la tabla:
Donde se realiz´o la operaci´on:
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Para el rengl´on R3 se tiene la tabla:
Donde no se realizaron operaciones, ya que en la posici´on correspondiente se tiene un cero, entonces s´olo se reescribe el rengl´on en la nueva tabla, como se indica en la parte derecha de la misma.
Paso 8. Se repite el proceso desde el Paso 4 operando sobre matrices hasta obtener todos los coeficientes del rengl´on Z con valores mayores o iguales a cero.
Como en esta u ´ltima tabla, todos los coeficientes de rengl´on R0 o Z son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, se ha concluido el proceso.
La u ´ltima operaci´on por realizar es transferir los valores de la soluci´on de la tabla a las variables b´asicas.
´ Estos son los valores de las variables b´asicas del modelo de programaci´on lineal, y el valor m´aximo de la funci´on objetivo. Con el fin de presentar el m´etodo con un modelo de programaci´on lineal de m´as de dos variables se realiza el siguiente ejemplo con tres variables; sin embargo, se debe tener presente que el m´etodo puede funcionar con n variables y m restricciones que cumplan las caracter´ısticas de los modelos de programaci´on lineal.
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Problema 1 El candidato a la alcald´ıa en un peque˜ no pueblo asign´o $40,000 para propaganda de u ´ltimo minuto en los d´ıas anteriores a la elecci´on. Se utilizar´an dos tipos de anuncios:radio y televisi´on. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a unas 3,000 personas. Cada anuncio de televisi´on cuesta $500 y llega a un estimado de 7,000 personas. En la planeaci´on de la campa˜ na de propaganda, la jefa de la campa˜ na quiere llegar a tantas personas como sea posible, aunque ha establecido que se deben utilizar al menos 10 anuncios de cada tipo. Asimismo, el n´ umero de anuncios de radio debe ser al menos tan grande como el n´ umero de anuncios de televisi´on. ¿Cu´antos anuncios de cada tipo se deber´ıan utilizar? ¿A cu´antas personas llegar´an?
Soluci´ on: Siendo: x1 = Radio x2 = Televisi´on En este caso se desea maximizar la cantidad de gente que se vea afectada politica obteni´endose como funci´on objetivo:
Zmax = 3, 000x1 + 7, 000x2 Sujeto a: 200x1 + 500x2 ≤ 40, 000 x1 ≥ 10 x2 ≥ 10 x1 , x2 ≥ 0 y x1 > x2 Restricci´on 1: x1 =
40, 000 − 500x2 200
x2 =
40, 000 − 200x1 500
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x1 0 200
x2 80 0
Restricci´on 2: x1 = 10 x1 10 10 10
x2 0 1 2
Restricci´on 3: x2 = 10 x1 0 1 2
x2 10 10 10
Graficaci´on:
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La soluci´on optima es de 175 anuncios de radio as´ı como 10 de televisi´on, dando una poblaci´on m´axima afectada por los anuncios de 595,000.
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Problema 2 La corporaci´on Outdoor Furniture fabrica dos productos, bancos y mesas de picnic, para su uso en jardines y parques. La empresa cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (mano de obra) y el suministro de madera de secoya para fabricar muebles. Durante el siguiente ciclo de producci´on est´an disponibles 1,200 horas de mano de obra de acuerdo con el sindicato. La empresa tambi´en cuenta con un inventario de 3,500 pies de secoya de buena calidad. Cada banco que produce Outdoor Furniture requiere de 4 horas de mano de obra y de 10 pies de secoya, en tanto que cada mesa de picnic toma 6 horas de mano de obra y 35 pies de secoya. Los bancos terminados dar´an una utilidad de $9 cada uno; y las mesas una utilidad de $20 cada una. ¿Cu´antos bancos y mesas deber´ıa fabricar Outdoor Furniture para obtener la mayor utilidad posible? Utilice el m´etodo gr´afico de la PL.
Soluci´ on: Siendo: x1 = Bancos x2 = Mesas de picnics En este caso se desea maximizar la utilidad obteni´endose como funci´on objetivo:
Zmax = 9x1 + 20x2 Sujeto a: 4x1 + 6x2 ≤ 1, 200 10x1 + 35x2 ≤ 3, 500 x1 , x2 ≥ 0 Restricci´on 1: x1 =
1, 200 − 6x2 4
x2 =
1, 200 − 4x1 6
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x1 0 300
x2 200 0
Restricci´on 2: x1 =
3, 500 − 35x2 10
x2 =
3, 500 − 10x1 35
x1 350 0
x2 0 100
Graficaci´on:
La soluci´on optima es de 262 bancos as´ı 25 mesas para picnics, dando una utilidad m´axima de $2,858.
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