Mecanismos De Cuatro Barras Como Generador De Funciones 182n1g

Mecanismos de cuatro barras como generador de funciones.

Frecuentemente es necesario diseñar un mecanismo articulado para generar una función determinada. Usando las diferentes longitudes de los elementos y aplicando en ellos movimientos con intervalos limitados, se pueden obtener relaciones que trazan de forma geométrica la función que se desea diseñar. Ferdinand Freudenstein desarrollo un método para el diseño de mecanismos de 4 barras para la generación de funciones que es exacta en un nuero finito de puntos, llamados puntos de precisión. Cuando un mecanismo es diseñado para generar una función, generalmente no es posible la obtención de una solución matemática exacta aun así el mecanismo puede ser exacto en ciertos puntos, los puntos de precisión. El numero de puntos de precisión será igual al numero de parámetros que podrán ser usados en el análisis y generalmente varían entre 3 y 6. Los puntos de precisión son raíces del polinomio de Chebyshev, y sus valores pueden ser convenientemente calculados como se describe a continuación: Tomando desde el centro del intervalo (a-h , a+h) en el eje x, dibuje un circulo con un radio igual a una mitad del intervalo, y circunscriba un polígono regular de 2n lados en el de modo que dos de sus lados sean perpendiculares al eje X. La proyección de los vértices de este polígono en el eje X, determina los puntos de precisión. La construcción para puntos de precisión n=4 se muestra en la Figura 1.

Figura 1.- Determinación de los puntos de precisión con el espaciado de Chebyshev

Al desarrollar el método de Freudenstein, el primer pasó es determinar la relación entre ɸ y ψ usando el número mínimo de relaciones de lados. Esta relación se puede obtener mediante la figura 2 en que se ha dibujado una línea paralela al eslabón OA desde el punto B y una línea

paralela al eslabón AB desde el punto O para dar el paralelogramo OABD. Los eslabones forman una figura cerrada y la suma de las componentes X de las longitudes a, b, c debe ser igual a la longitud d. en forma de ecuación;

Fig. 2 a cos ( π−ɸ ) +b ( cosα ) +c cos ( ψ )=d

(1)

Aplicando la ley de los cosenos al triangulo DOC

e 2=b2 +d 2−2bd cosα

(2)

Adicionalmente, del triángulo DBC

e 2=a2 +c 2−2ac cos ⁡( ɸ−ψ)

(3)

Obteniendo el valor de b cosα de las ecuaciones anteriores:

b cosα=

( b 2+ d 2−a2−c 2+2 ac cos ( ɸ−ψ ) ) 2d

(4)

Sustituyendo la ecuación 4 en la ecuación 1 y haciendo que cos (π-ϕ) = -cos ϕ

ϕ ψ ) (5) a −b +c + d + 2 ad cos ϕ−2 cdcos ψ=2 accos ¿ 2

2

2

2

Dividiendo entre 2ac, a ϕ ψ ) (¿ ¿ 2−b2+ c 2+ d 2) d d + cos ϕ− cos ψ=cos ¿ 2 ac c a ¿ Haciendo R 1=

d c

R2=

d a

R 3=

a2 −b2 +c 2 +d 2 2ac

Fig. 3 La ecuación (6) queda

R1 cosϕ−R2 cosΨ + R 3=cos ⁡( ϕ−Ψ )

(7)

(6)

En que

R1 , R2 , R3 , son tres relaciones de los lados en formas

independientes. La ecuación 8 da la relación más simple posible entre Ψ y ϕ. Usando la ecuación 8 ahora se extiende el método para cubrir el diseño de un mecanismo para generar una función que es exacta en tres puntos. Se han desarrollado aproximación de cuatro y cinco puntos para tener mayor exactitud; sin embargo, estos sistemas son mucho más complicados y no se presentan en este texto. Los pares de ángulos (ϕ,Ψ) que corresponden a los puntos de precisión se sustituyen en la ecuación 8, lo cual da tres ecuaciones simultaneas. Entonces es posible determinar las relaciones de los lados a partir de la solución de estas ecuaciones. Si se requiere que el mecanismo pase por ϕ ϕ ϕ (¿ ¿ 1Ψ 1) , (¿ ¿ 2 Ψ 2) y (¿ ¿ 3 Ψ 3 ) , entonces ¿ ¿ ¿

R1 cos ɸ1−R2 cos ψ 1 + R3=cos ⁡( ɸ1−ψ 1 ) R1 cos ɸ2−R 2 cos ψ 2 + R3=cos ⁡( ɸ2−ψ 2 ) R1 cos ɸ3−R 2 cos ψ 3 + R3 =cos ⁡( ɸ3−ψ3 )

Al resolver las ecuaciones simultáneas (9), sea

cos ϕ1−cos ϕ 2=ω 1 cos ϕ1−cos ϕ 3=ω 2 cos ψ 1−cos ψ 2 =ω3 cos ψ 1−cos ψ 3 =ω 4 cos ( ɸ1−ψ 1 )−cos ⁡( ɸ2−ψ 2)=ω5 cos ( ɸ1−ψ 1 )−cos ⁡( ɸ3−ψ 3 )=ω 6

(9)

Entonces: (10) R 1=

ω3 ω 6−ω 4 ω5 ω 2 ω 3−ω 1 ω 4

R 2=

ω 1 ω 6−ω 2 ω 5 ω2 ω3 −ω1 ω 4

ɸi−ψ (¿¿ i)+ R2 cos ψ i−R1 cos ɸi R3=cos ¿ Con

i=1,2 o 3

Es posible determinar las relaciones de los lados de las longitudes de los eslabones a partir de las ecuaciones de R1 , R2 , R3 . Al determinar las longitudes de los eslabones a y c e debe interpretar un signo negativo en el sentido de los vectores cuando se dibuje el mecanismo.

Ejemplo: Se desea dimensionar un mecanismo articulado de cuatro barras para 1.5 generar y=x , en que x varía entre 1.0 y 4.0. Emplear el espaciado de Chebyshev hacer que

ɸ s=30 ° , Δϕ=90°,

que d=1 pulg. ɸ s=30 °

ψ s=90° ,

Δϕ=90°

ΔΨ =90 °

x s=1.0

y S =1.0

x 1=2.5−1.5 cos 30 °=1.201

y 1=1.317

x 2=( x f −x s )/2=2.5

y 2=3.96

ψ s=90° ,

ΔΨ =90 ° . Suponer

x 3=2.5+1.5 cos 30 °=3.799

y 3=7.40

x f =45

y f =8.0

x 1−¿ x x f −x s ¿ ¿ ɸ1=ɸs +¿ s

x 2−¿ x x f −x s ¿ ¿ ɸ2=ɸ1+¿ 1

x 3−¿ x x f −x s ¿ ¿ ɸ3=ɸ1 +¿ 1

y 1−¿ y yf − ys ¿ ¿ ψ 1=ψ s +¿ s

y 2−¿ y y f− y s ¿ ¿ ψ 2=ψ 1 +¿ 1

y 3−¿ y y f− y s ¿ ¿ ψ 3=ψ 1 +¿ 1

ω1 =cos ɸ1−cos ɸ2=¿ 0.8087-0.2583=0.5504 ω2 =cos ɸ1 −cos ɸ3 =¿ 0.08087+0.4067=1.2154

ω3 =cos ψ 1−cos ψ 2 =¿

-0.0713+0.6159=0.5446

ω 4=cos ψ 1 −cos ψ 3=¿

-0.0713+0.9909=0.9196

ɸ 1−ψ ɸ 2−ψ (¿¿ 2)=¿ 0.5292-0.6019= -0.0727 (¿¿ 1)−cos ¿ ω 5=cos ¿ ɸ 1−ψ ɸ 3−ψ (¿¿3)=¿ (¿¿ 1)−cos ¿ ω 6=cos ¿

0.5292-0.5262=0.003

R 1=

ω3 ω 6−ω 4 ω5 ( 0.545 ) ( 0.003 )−( 0.920 ) (−0.073 ) = =0.440 ω 2 ω 3−ω 1 ω 4 ( 1.25 )( 0.545 )−( 0.550 ) ( 0.92 0 )

R 2=

ω 1 ω 6−ω 2 ω 5 ( 0.550 )( 0.003 )−( 1.215 ) (−0.073 ) = =0.578 ω2 ω3 −ω1 ω 4 ( 1.215 ) ( 0.545 )− ( 0.550 )( 0.920 )

ɸ1−ψ (¿¿ 1)+ R 2 cos ψ 1−R 1 cos ɸ1 R 3=cos ¿ R3=( 0.5292 ) + ( 0.578 )(−0.0713 )−( 0.440 )( 0.8087 )=0.132

d 1 a= R 2 = 0.578 =1.730 pulg 2 2 2 1 /2 2 2 2 1 /2 b= (a +c +d −2 acR 3) =(1.73 +2.273 +1 −2 (.73 )( 2.2730 ) ( 0.132 ) ) =2.850 pulg

d 1 c= R 2 = 0.44 =2.273 pulg

Problema propuesto. Se desea dimensionar un mecanismo articulado de cuatro barras para generar y=¿ , en que x varía entre 1.0 y 2.0. Emplear el espaciado de Chebyshev hacer que

ɸ s=45 ° , Δϕ=90°,

ψ s=90° ,

ΔΨ =90 ° . Suponer

que d=1 pulg.

x Valor inicial Valor final Rango Primer punto de precisión Segundo punto de precisión Tercer punto de precisión

Variables F(x)=1/x Ys=

1.1465

0.8768

58.185°

112.176°

1.5

0.6666

90°

150.012°

1.8535

0.5395

121.815°

172.89°

y S =1.0

x 1=1.5−1.5 cos 45 °=1.1465

y 1=0.8768

x 2=(x f −x s )/ 2=1.5

y 2=o .6666

x 3=1.5+1.5 cos 45 ° =1.8535

y 3=0.5395

x f =2

y f =0.5 s

Ψ

Xs=1

x s=1. 0

x 1−¿ x x f −x s ¿ ¿ ɸ1=ɸs +¿

ϕ

x 2−¿ x x f −x s ¿ ¿ ɸ2=ɸ1+ ¿ 1

x 3−¿ x x f −x s ¿ ¿ ɸ3=ɸ1 +¿ 1

y 1−¿ y yf − ys ¿ ¿ ψ 1=ψ s +¿ s

y 2−¿ y y f− y s ¿ ¿ ψ 2=ψ 1 +¿ 1

ΔΨ =112.176+

( 0.5395−0.8768 )∗90=172.892 ° 0.5−1

ω1 =cos ɸ1−cos ɸ2=0.5271 4 ω2 =cos ɸ1 −cos ɸ3 =¿ 1.0543 ω3 =cos ψ 1−cos ψ 2 =¿

0.4886

ω 4=cos ψ 1 −cos ψ 3=¿

0.6148

ɸ 1−ψ ɸ 2−ψ (¿¿ 2)=¿ 0.880 (¿¿ 1)−cos ¿ ω 5=cos ¿

ɸ 1−ψ ɸ 3−ψ (¿¿3)=¿ (¿¿ 1)−cos ¿ ω 6=cos ¿

R1=

-0.0403

ω3 ω 6−ω 4 ω5 ( 0.4886 ) (−0.0403 )−( 0.6148 ) (−0.088 ) = =−0.1456 ω 2 ω 3−ω 1 ω 4 ( 1.0543 )( 0.4886 )−( 0.5271 ) ( 0.6148 )

ɸ1−ψ (¿¿ 1)+ R 2 cos ψ 1 −R1 cos ɸ1 ω 1 ω 6−ω 2 ω 5 ( 0.5271 )(−0.0403 )−( 1.0543 ) ( 0.6148 ) R 2= = =−3.5035 R 3=cos ¿ ω2 ω3 −ω1 ω 4 ( 10543 ) ( 0.4886 )− ( 0.5271 )( 0.6148 )

R3=0−0.8812

d 1 a= R 2 = 0.3503 =2.85 pulg 2 2 2 1 /2 b= (a +c +d −2 acR 3) =4.94 .850 pulg

d 1 = c= R 2 0.1456 =6.86 pulg