Mcin_u2_a4_jogs 3m3b3x
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UNIDAD 2. APLICACIONES DE LA INTEGRACION
ACTIVIDAD 4. VALOR MEDIO DE UNA FUNCION. RESOLVER EJERCICIOS PARA DETERMINAR EL VALOR MEDIO DE UNA FUNCION
ALUMNO: JOSUE GOMEZ SAN GERMAN
1. Obtén el valor medio de la función f (�) = ��� � y � = � /2
entre
� = 0
b
Valor medio =
1 ( )∫ f ( x ) dx b−a a
A=0, B=π/2 π /2−0 senxdx=¿ π 2
(¿ ¿) ∫ ¿ 0
1 ¿ ¿ 2 2 x=0+ =¿ π π −2 cos ¿ π
2. Calcula el valor medio de f (�) = 3�2 −2� en el intervalo [1, 4] b
Valor medio = A=1, B=4
4−1 (3 x −2 x )dx=¿ 2
4
( ¿¿)∫ ¿ 1
1 ¿ ¿
1 ( )∫ f ( x ) dx b−a a
2
(3 x −2 x )dx=¿❑ 4 1 ∫¿ 31
(
3
1 3x 2x − 3 3 2
2
)
1 ¿ ( 64−16−1+1 ) =16 3
3. Dado que ∫ [2 −1] ���, encuentra el valor medio de la función identidad en el intervalo [-1,2] b
Valor medio =
1 ( )∫ f ( x ) dx b−a a
A=-1 B= 2 x dx=¿ 2 1 ¿ 2+ 1 ∫ −1
( )
x dx=¿ 2 1 ∫¿ 3 −1
()
2
( )( ) 1 3
x 2 1 = − =1/6 2 6 6
4. Un tanque con 5 000 litros se vacía en 10 minutos. Después de � minutos la cantidad de agua que queda en el tanque es de f (�) = 50(10−�)2 litros. ¿Cuál es la cantidad media de agua en el tanque durante el tiempo en que se vacía? b
Valor medio =
(
1 )∫ f ( x ) dx b−a a
A=0 min. B= 10 min.
( 50 t 2−1000 t+5000 ) dt=¿
(
1 10−0
( )( 1 10
¿
)
10 2
0
1 10
10
( )∫ ¿
∫ 50 ( 10−t ) dt=
50 t 2 −500 t 2 +5000 t 3
0
)
50 t 3 50 −50t 2 +500 t= =1.666 30 30
5. Una dosis de 2 miligramos de insulina es inyectada en el torrente sanguíneo de una persona. La cantidad de insulina que queda en la sangre después de � horas está dada por f (�) = 2 �−0.321. Calcula la cantidad media de insulina en el torrente sanguíneo durante la segunda hora. b
Valor medio =
1 ( )∫ f ( x ) dx b−a a
A=0 h . B= 2 h. 1 2−0
2
( )∫ ( e
−0.321
0
) dt=¿
1 4
2
1 e ( )∫ ( e ) du= −1.284 u
−0.321
=¿
0
−0.40+
1 =¿ −1.284
0.3690
6. La velocidad de cierta reacción química varía con la temperatura a la que ocurre de acuerdo a: (�) = 16−0.3� +0.0016�2. Establece el valor medio de la velocidad entre 273oF y 300oF. b
Valor medio =
(
1 )∫ f ( x ) dx b−a a
A=300 °F. B= 273 °F
300
1 R ( V )= ❑ ( 16−0.3 T + 0.0016T 2 ) dT ∫ 300−273 273 300
¿
[
1 0.0016 3 T2+ T ∫ ❑ 16T − 0.3 27 273 2 3
R ( V )=61.478
]
❑
ACTIVIDAD 4. VALOR MEDIO DE UNA FUNCION. RESOLVER EJERCICIOS PARA DETERMINAR EL VALOR MEDIO DE UNA FUNCION
ALUMNO: JOSUE GOMEZ SAN GERMAN
1. Obtén el valor medio de la función f (�) = ��� � y � = � /2
entre
� = 0
b
Valor medio =
1 ( )∫ f ( x ) dx b−a a
A=0, B=π/2 π /2−0 senxdx=¿ π 2
(¿ ¿) ∫ ¿ 0
1 ¿ ¿ 2 2 x=0+ =¿ π π −2 cos ¿ π
2. Calcula el valor medio de f (�) = 3�2 −2� en el intervalo [1, 4] b
Valor medio = A=1, B=4
4−1 (3 x −2 x )dx=¿ 2
4
( ¿¿)∫ ¿ 1
1 ¿ ¿
1 ( )∫ f ( x ) dx b−a a
2
(3 x −2 x )dx=¿❑ 4 1 ∫¿ 31
(
3
1 3x 2x − 3 3 2
2
)
1 ¿ ( 64−16−1+1 ) =16 3
3. Dado que ∫ [2 −1] ���, encuentra el valor medio de la función identidad en el intervalo [-1,2] b
Valor medio =
1 ( )∫ f ( x ) dx b−a a
A=-1 B= 2 x dx=¿ 2 1 ¿ 2+ 1 ∫ −1
( )
x dx=¿ 2 1 ∫¿ 3 −1
()
2
( )( ) 1 3
x 2 1 = − =1/6 2 6 6
4. Un tanque con 5 000 litros se vacía en 10 minutos. Después de � minutos la cantidad de agua que queda en el tanque es de f (�) = 50(10−�)2 litros. ¿Cuál es la cantidad media de agua en el tanque durante el tiempo en que se vacía? b
Valor medio =
(
1 )∫ f ( x ) dx b−a a
A=0 min. B= 10 min.
( 50 t 2−1000 t+5000 ) dt=¿
(
1 10−0
( )( 1 10
¿
)
10 2
0
1 10
10
( )∫ ¿
∫ 50 ( 10−t ) dt=
50 t 2 −500 t 2 +5000 t 3
0
)
50 t 3 50 −50t 2 +500 t= =1.666 30 30
5. Una dosis de 2 miligramos de insulina es inyectada en el torrente sanguíneo de una persona. La cantidad de insulina que queda en la sangre después de � horas está dada por f (�) = 2 �−0.321. Calcula la cantidad media de insulina en el torrente sanguíneo durante la segunda hora. b
Valor medio =
1 ( )∫ f ( x ) dx b−a a
A=0 h . B= 2 h. 1 2−0
2
( )∫ ( e
−0.321
0
) dt=¿
1 4
2
1 e ( )∫ ( e ) du= −1.284 u
−0.321
=¿
0
−0.40+
1 =¿ −1.284
0.3690
6. La velocidad de cierta reacción química varía con la temperatura a la que ocurre de acuerdo a: (�) = 16−0.3� +0.0016�2. Establece el valor medio de la velocidad entre 273oF y 300oF. b
Valor medio =
(
1 )∫ f ( x ) dx b−a a
A=300 °F. B= 273 °F
300
1 R ( V )= ❑ ( 16−0.3 T + 0.0016T 2 ) dT ∫ 300−273 273 300
¿
[
1 0.0016 3 T2+ T ∫ ❑ 16T − 0.3 27 273 2 3
R ( V )=61.478
]
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