Material Didactico Estadistica Clase 1 sih

Universidad Autónoma de Chapingo, México Universidad Agraria de La Habana, Cuba

“ Metodologías para el procesamiento de datos en Investigaciones Científicas. Uso de Software ” Dra. C Lucía Fernández Chuairey Profesor Titular [email protected]

Dirección General Académica (UACh) Secretaría de Relaciones Exteriores de México (SRE)

Problemas actuales La Estadística Matemática, la Modelación y Simulación de procesos entre otros aspectos, son herramienta indispensable en la solución de problemas y tomas de decisiones en las investigaciones agrarias, biológicas y sociales. Necesidad de actualizarse en modelos y otras herramientas estadísticas de avanzada cuyo uso favorecen las investigaciones y sistemas productivos.

Estadística como Ciencia (que se ocupa en general de los fenómenos observables); Método de Investigación, tecnología del Método Científico, herramientas sumamente útiles para la investigación. (Bernard Ostle)

¿Qué instrumento utilizar? ¿Cómo usarlo? ¿Cómo interpretar el resultado?

1

“ Metodologías para el procesamiento de datos en Investigaciones Científicas. Uso de Software ” Teoría - Práctica

METODOLGÍA DE TRABAJO

 Tema de generalidades del trabajo Estadístico (uso de software)  Tema de Modelación de Procesos (Uso del cálculo Diferencial e Integral, lenguaje matemático –biológico (interpretación de resultado)  Algunos tópicos de Análisis Multivariado

En una investigación Agropecuaria se desea analizar el rendimiento de cierta variedad de maíz teniendo en consideración cuatro tipos de suelos diferentes (c.suelo, vermicompost, 1/3, 1/4) . Por tal motivo se realizaron estudios previos, donde se observó la longitud del tallo (en cm) de estas plantas al cabo de los 21 días, para un total de 120 observaciones (30 observaciones por tipo de suelo). Defina el tipo de variable  Caracterizar y /o describir en comportamiento de cada muestra seleccionada.  A partir de la muestra inferir para la población, con niveles de confianza superior al 90%

 Comprobar científicamente si existen diferencias estadísticamente significativa entre las alturas promedios de las plaantas debido al factor suelo ¿DATOS? ESTADISTICA DESCRIPTIVA , ESTADISTICA INFERENCIAL, DOCIMAS DE HIPOTESIS

2

Se desea probar dos nuevos medicamentos A y B que van a ser utilizado para combatir cierta enfermedad. Se tiene la sospecha que el medicamento A hace disminuir mas los glóbulos rojos que el medicamento B durante el tratamiento y se desea verificar dicha sospecha. Por tal motivo se seleccionaron al azar 32 animales de laboratorio y 16 de ellos fueron tratados con el medicamento A y 16 con el medicamento B . Pasado el tiempo se hizo un conteo de glóbulos rojos 1.

Caracterizar y /o describir en comportamiento de cada muestra seleccionada.

2.

A partir de la muestra inferir para la población, con niveles de confianza superior al 90%

3.

Comprobar científicamente la eficiencia de un medicamento. Comparación de medias

EATADÍSTICA UNIVARIADA Pruebas paramétricas y No paramétricas

De un experimento en aves , se conoce el peso vivo promedio (g) durante las primeras 35 semanas dado por : (1 , 56) (3, 120.3) (5, 219.5) (7, 350.5) (9, 410)(11, 375)( 13 , 685) (15, 840) ( 17, 1039) (19, 1137) (21, 1300) (23, 1401) (25, 1410) (27, 1439) (29, 1500) (31, 1559) ( 33,1616) (34, 1808) (35, 1580) Se desea conocer • La dinámica del crecimiento con respecto al tiempo

•Indicadores zootécnicos como son: ganancia diaria, edad en que se produce la máxima tasa de ganancia, peso promedio en la madurez , etc. ¿Cómo describir el crecimiento animal?

Uso de herramientas estadísticas (regresión), del Cálculo Diferencial y con Interpretación Biológica del resultado

3

“Modelación Estadístico-Matemática Proceso de crecimiento

¿Cómo ajustar datos a expresiones matemáticas? Análisis de Regresión ¿Cómo describir el proceso de crecimiento? f(x) y Predicción

Ganancias instantáneas f´(x), OPTIMOS Punto de inflexión asociado a la pubertad (es donde el animal empieza a rendir económicamente). ¿peso a la madurez? Asíntota INDICADORES ZOOTECNICOS:

De un experimento en Plantas, se conoce la altura promedio (en cm) durante los primeros 294 días dados por: (21, 9.9) (42, 30.8) (63, 84.0) (84,140.3) (105, 177.3) (126, 196) (147, 204.3) (168, 207.8) (210, 209.8) (252,210.2) (294,210.2)

Y se desea conocer la dinámica del crecimiento de las mismas con respecto al tiempo, velocidad de crecimiento,

edad en que se

produce la máxima velocidad de crecimiento, altura promedio a la que se estabiliza el crecimiento, entre otras.

¿Cómo describir el crecimiento vegetal?

4

En un análisis económico de funciones de producción versus agua aplicada mediante regadío. Se conoce cantidad total de agua aplicada (m 2/ha) y sea la variable dependiente el rendimiento de alfalfa (kg/ha) dadas por: (2 000 , 8 100)(3 000, 10 000) (4 000, 13 500) (5 000, 15 010) (6 000, 16 000)

(7 000, 16 500)(8 000, 17 100)( 9 000 , 17 300) (10 000, 17 500)

Y se desea conocer la dinámica del comportamiento del rendimiento de este producto en las diferentes cantidades de agua aplicada

Se ha observado el crecimiento de una población de bacterias, obteniéndose los datos siguientes referidos a una unidad de volumen Días (X)

1

3

5

7

9

11

Millones de bacterias (Y)

1.6

4.5

13.8

40.2

125

300

En un estudio de producción de leche de cierta raza en el trópico, bajo condiciones de experimentación y con suplemento alimentario adecuado, se realizaron los pesajes mensuales en una muestra de 3 655 animales cuyos promedios son de: Días (x)

1

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

Prod leche (y)

9

12

14

11

10

8

9

7

5

4

3,9

REGRESIONES NO LINEALES

ESTADÍSTICA BIVARIADA ASPECTOS METODOLÓGICOS A TENER EN CUENTA EN LA MODELACIÓN ESTADÍSTICO - MATEMÁTICO DE PROCESOS

5

En un experimento se estudió el comportamiento del rendimiento de 10 variedades de calabaza sometidas a 8 ambientes o condiciones diferentes de estrés de temperatura y humedad. Los resultados se presenta en la siguiente tabla: Ambientes Variedades

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

1

8.44

8.01

2.50

3.29

1.33

0.80

1.84

1.19

2

9.57

5.63

3.60

6.27

0.37

1.35

1.76

1.54

3

10.93

5.42

3.70

6.10

0.90

0.99

1.30

0.14

4

8.60

8.87

5.10

4.90

0.90

0.91

1.22

1.57

5

9.60

3.37

1.45

2.80

0.35

0.56

0.97

0.62

6

6.58

2.53

2.83

2.97

0.57

0.13

3.10

0.13

7

4.66

3.64

2.80

1.52

0.35

0.32

2.74

0.37

8

5.70

4.65

2.74

1.83

0.92

0.20

1.46

0.37

9

5.33

3.03

1.92

2.91

1.09

0.27

1.71

0.54

10

3.40

3.68

2.38

1.62

0.41

1.65

0.72

0.52

Se presentan los datos correspondientes a siete variables socioeconómicas para 14 países (Batista Forguet y Martines Áreas 1989) Estas son : Densidad de población, porcentaje de personas empleadas en la agricultura, renta (ingreso nacionales percápita), Inversiones de rendimiento de capital en maquinaria y otros , . tasa de mortalidad Infantil, consumo de energía por 100 habitantes, aparatos de TV por 100 habitantes

Manual de Estadística para proyectos de Investigación Autor Pereyra A.M; Abbiati,N ,N; Fernández, E.N Universidad Nacional de Lomas de Zamora ISBN 987-9455-33-9, Argentina, año 2004) Pág. 124

6

Se estudió el comportamiento de 18 variedades de boniato, a las que se le evaluaron un total de 10 variables

Var.

Peso (g)

Largo (cm)

Ancho (cm)

.

.

.

Azuc. Total.

Ceniza (%)

Fibra (%)

1

191.2

11.0

4.5

.

.

.

5.95

1.46

1.28

2

150.4

13.5

5.0

.

.

.

4.39

1.53

1.51

3

155.7

15.0

6.5

.

.

.

4.43

1.25

1.26

. . .

. .

.

.

. . .

. . .

.

.

.

. . .

17

237.8

23.5

6.0

.

.

.

3.98

0.83

1.11

18

176.8

15.5

4.0

.

.

.

3.71

0.82

1.04

FUENTE: Varela, M. Análisis Multivariado de Datos. Aplicación a las Ciencias Agrícolas. Monografía. ISBN:959-7023-04-0. Ediciones INCA. 1998.

ESTADISTICA MULTIVARIADA

Gran parte de los procesos de investigación generan un conjunto de datos de diferentes características, muchos de los cuales necesitaran de un análisis estadístico. De ahí la necesidad de comprender la naturaleza del proceso estadístico íntimamente relacionado con el de investigación y de conocer algunos métodos mas comúnmente usados en el Diseño de experimentos, encuesta y en el análisis de datos (Pereyra y col, 2004) PROCESOS DE INVESTIGACION

GENERAN DATOS

REQUIEREN DE UN ANÁLISIS ESTADÍSTICO

MÉTODOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS EN UN PROCESOS DE INVESTIGACIÓN

• • •

Observación La encuesta Experimentación

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•CONTENIDOS  Papel de la Bioestadística en las investigaciones Agrarias. Generalidades del trabajo Estadístico. Consideraciones sobre el manejo y resumen de datos. Estimación y pruebas según las escalas de medición, metodologías Estadístico– Matemáticas para el procesamiento de la información. Interpretación de resultados. Uso de software Estadístico.

 ¿Cómo ajustar datos a expresiones matemáticas?. Análisis de regresión. Regresión lineal y no lineal. Métodos de ajuste. Uso de diferentes ecuaciones en la modelación de proceso. Bondad de ajuste, criterios para la selección. Discriminación entre modelos. Aplicaciones  Modelación estadístico-Matemático de Procesos Biológicos (curvas de crecimiento animal y vegetal, curvas de lactancia, entre otros procesos). Consideraciones prácticas de los modelos. Interpretación de los modelos. Empleo del cálculo diferencial e integral en la búsqueda de soluciones óptimas en el contexto descrito.  Elementos generales de análisis multivariado. Método de Componentes Principales, Análisis de Cluster. Aplicaciones e interpretación de resultados. Seminarios teórico-práctico con aplicaciones afines con el perfil de los profesionales (evaluación final)

OBJETIVOS  Actualizar a los profesionales en cuanto al empleo de Métodos Estadísticos con el correspondiente procesamiento, presentación e interpretación de los resultados en función de las características propias de su objeto de estudio, con vistas a lograr una mayor eficiencia en la actividad docente y científica –Investigativa.  Valorar aspectos teóricos y prácticos relacionados con el uso adecuado de las herramientas estadísticas, a partir de consideraciones metodológicas correspondientes con el tipo de variable y el objeto de estudio.

8

•EVALUACIÓN

Seminario taller: Debates de contenidos teóricos y prácticos. Trabajo final: Discusión de un trabajo relacionado con una problemática de la especialidad que permita medir el usos de los Modelos Matemáticos, así como los paquetes estadísticos y software empleados para su realización. REFERENCIAS BIBLIORAFIACAS  Bouxa,C.N; Sistachs Vivian. Estadística. Teoría Básica y ejercicios. Editorial Félix Varela, 2006

 Guerra, C.W. Estadística. Editorial Pueblo y Educación Cuba, 1987.  Peña, D. Estadística Modelos y Métodos (parte I y II) Alianza Editorial. Madrid. 2000.  Pereyra A.M; Abbiati,N ,N; Fernández, E.N. Manual de Estadística para proyectos de Investigación Autor Universidad Nacional de Lomas de Zamora ISBN 987-9455-33-9, Argentina, año 2004.

CONTENIDO (tópico 1) •Papel de la Bioestadística en las investigaciones Agrarias. Generalidades del trabajo Estadístico. Consideraciones sobre el manejo y resumen de datos. Estimación y pruebas según las escalas de medición, metodologías Estadístico–Matemáticas para el procesamiento de la información. Interpretación de resultados. Uso de software Estadístico.

9

TRABAJO CON VARIABLE (ESTADÍSTICA UNIVARIADA) ¿VARIABLE? Una variable es una propiedad que puede variar y cuya variación es susceptible de medirse Ejemplo de variables:

INVESTIGACIÓN Altura de plantas •Rendimiento •Evaluación sanitaria •DATOS •

•Rendimiento de un cultivo (ton/ha, kg./ha). • Evaluación sanitaria de un producto (M, B, E) •Tipos de suelo •Número de cerdos por camada •

•Altura de las plantas (cm) •Producción de leche (kg./día). • raza

•

•altura, temperatura, presión, humedad etc

Caracterizar el área en estudio • ¿existe diferencia entre los rendimientos promedios debido al factor variedad, o al tipo de suelo, o época siembra u otro factor? Describir un proceso en búsqueda de óptimos. • Resumir información • entre otros aspectos

Pasos en un estudio Estadístico Estadística Descriptiva ¿Tipo de variable? ¿Qué dice el dato? ¿Para que me sirve? TIPO DE VARIABLES CUALITATIVAS (sus valores

no se pueden asociar a un número)

NOMINALES

ORDINALES

CUANTITATIVAS

(sus valores son númericos)

DISCRETAS

CONTINUAS

Nominales (Sus valores no se pueden ordenar ): variedad, color, Sexo Ordinales (sus valores se pueden ordenar) : Evaluación B R M, nivel de infección Discreta (Si toma valores enteros): Número de hijos, cdad de cerdos por camada. Continua (toman valores en un intervalo, corresponden a medir magnitudes continuas): costo, ganancia, rendimiento, producción, etc

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TRABAJO CON VARIABLE ¿VARIABLE? Una variable es una propiedad que puede variar y cuya variación es susceptible de medirse

EJERCICIO Clasifique las siguientes variables: •Rendimiento de un cultivo (ton/ha, kg./ha). • Evaluación sanitaria de un producto (M, B, E)

Tabulación y Presentación de datos

•Tipos de suelo •Número de cerdos por camada •Altura de las plantas (cm) )

Diagramas de barras Histogramas de frecuencia

•Producción de leche (kg./día). • raza •altura, temperatura, presión, humedad etc

Histograma

Diagrama de Barras de evaluaciones 6

8

frecuencia

frecuencia

10

6 4

5 4 3 2 1

2

0

0 B

M

R

0

1

2

3

4

5

6

evaluac num

VARIABLE CUALITATIVA:

Ejemplo: Estudio de la evaluación sanitaria de una muestra de 30 piñas, tres días después de cosechado el producto

Tabulación y presentación de datos Tabla de Frecuencia para las evaluaciones ------------------------------------------------------------------Relative Cumulative Cum. Rel. Class Value Frequency Frequency Frequency Frequency ------------------------------------------------------------------1 B 10 0,3333 10 0,3333 2 E 6 0,2000 16 0,5333 3 M 4 0,1333 20 0,6667 4 MB 5 0,1667 25 0,8333 5 R 5 0,1667 30 1,0000 -------------------------------------------------------------------

Nota: Hay momentos en que es conveniente codificar variables con números, pero no debemos olvidar el tipo de variable con que se esta trabajando y su significado.

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Uso de SOFTWARE Statgraphics (versión 6.1)

EJERCICIO Estudio de la evaluación sanitaria de una muestra de 30 piñas, tres días después de cosechado el producto

VARIABLE CUALITATIVA: Estudio de la evaluación sanitaria de una muestra de 30 piñas, tres días después de cosechado el producto

Tabulación y presentación de datos Tabla de Frecuencia para las evaluaciones ------------------------------------------------------------------Relative Cumulative Cum. Rel. Class Value Frequency Frequency Frequency Frequency ------------------------------------------------------------------1 B 10 0,3333 10 0,3333 2 E 6 0,2000 16 0,5333 3 M 4 0,1333 20 0,6667 4 MB 5 0,1667 25 0,8333 5 R 5 0,1667 30 1,0000 -------------------------------------------------------------------

Las tablas de Frecuencia y las representaciones gráficas son dos maneras EQUIVALENTES de presentar la información. Las dos exponen ordenadamente la información recogida

MATERIALES Y MÉTODOS – RESULTADOS Y DISCUSIÓN

12

EJERCICIO

En

una

Investigación

Agraria,

relacionada

con

la

caracterización de tipos y subtipos de suelos, se analizaron las 21 subregiones correspondientes al área en estudio, obteniéndose

los

siguientes resultados :Leyenda :1-Pardo con Carbonatos 2-Ferralitico Rojo Lixiviado 3-Ferralitico Rojo

4-Ferralitico Purpura 5-Ferralitico

Amarillento De una caracterización, teniendo en cuenta el tipo de dato. Represente gráficamente. Interprete el resultado 2, 1, 3, 3, 4, 3, 1, 4, 5, 1, 2, 5, 3, 2, 4, 3, 4, 5, 3, 4, 2.

MATERIALES Y MÉTODOS – RESULTADOS Y DISCUSIÓN

A MODO DE EJEMPLO MATERIALES Y MÉTODOS La descripción del tipo de suelo y subsuelo se llevo a cabo mediante el muestreo de las 21 subregiones correspondiente al área en estudio ubicada al…., para la caracterización del suelo de la región se realizó una estadística descriptiva que incluyó tablas de frecuencia y diagramas de barras. Para el procesamiento de la información se utilizó el software…….. Versión….

RESULTADOS Y DISCUSIÓN El estudio realizado en cuanto a tipo de suelo mostró (tabla. 1) la presencia de cinco tipos de suelos, donde los suelos que mayormente prevalecen en la región son los Ferralíticos Rojos (28.57% del total) y con menor frecuencia predominan los suelos Pardos con Carbonatos y los Ferralíticos Amarillentos (14.29 % del total), similares resultados fueron encontrados por García (2014) quien considera que esto pudiera favorecer en gran medida …………………………,.Se puede apreciar que CRITERIO DEL AUTOR

13

Descripción estadística de una variable:  cualitativa y cuantitativa discreta  continua  El Diagrama de barras se utiliza para representar datos

cualitativos y

cuantitativos discretos Diagrama de barras: Se deja un hueco entre barras para indicar los valores que no son posible

Histogramas:

Se utilizan para variables cuantitativas continuas.

En una investigación Agropecuaria se desea analizar el rendimiento de cierta variedad de maíz teniendo en consideración cuatro tipos de suelos diferentes (c.suelo, vermicompost, 1/3, 1/4) . Por tal motivo se realizaron estudios previos, donde se observó la longitud del tallo (en cm) de estas plantas al cabo de los 21 días, para un total de 120 observaciones (30 observaciones por tipo de suelo). Defina el tipo de variable. Construya la tabla de frecuencias e histograma para datos correspondiente a c suelo .  Caracterizar y /o describir en comportamiento de cada muestra seleccionada.  A partir de la muestra inferir para la población, con niveles de confianza superior al 90%  Comprobar científicamente si existen diferencias estadísticamente significativa entre las alturas promedios debido al factor suelo ¿DATOS? ESTADISTICA DESCRIPTIVA , ESTADISTICA INFERENCIAL, DOCIMAS DE HIPOTESIS

14

15

Descripción estadística de una variable Histogramas: Conjunto de rectángulos que representa un intervalo de agrupación o clase.  Los Histogramas muestran la distribución de los datos. Distribuciones teóricas de probabilidad

¿¿Prueba de normalidad??

Descripción (variable cuantitativa)

Medidas de tendencia central, de posición y dispersión

Estadística Descriptiva Variables CUANTITATIVA

Resumen de datos Descripción de datos

MUESTRA

POBLACIÓN

Parámetros : Es una cantidad numérica calculada sobre una Población  ; 2





Estadígrafo: Es una cantidad numérica calculada sobre una muestra 2

x ; s 

16

Estadística Descriptiva

Estadística Inferencial

Resume la masa de datos y los describe. No hace conclusiones sobre el grupo

Se infieren y se toman importantes conclusiones de la población del análisis de la muestra

•

•

Moda (Mo)

Medidas de tendencia central y posición

x

•

Medidas de asimetría Medidas de apuntamiento

n

 (X

S 2  i 1

n

n 1

Mide el promedio de las desviaciones (al cuadrado) de las observaciones respecto a la media

s CV  .100 x Medida de dispersión relativa Permite además comparar conjuntos de observaciones con respecto a su dispersión

S

i 1

i

n

S2 

Curtosis

DESVIACIÓN ESTANDAR



n

CV= S *100 X

Coeficiente de asimetría

VARIANZA

( X i X ) 2

i

i 1

(S, )

Coeficiente de Variación •

x

( S2 ,  2 )

Desviación Estándar

mas

n

Mediana (Me) Varianza

Medidas de dispersión

)

(x ,

Media

X) 2

i 1

i

X ) 2

n 1

ERROR ESTANDAR

ES X 

n 1

Grado de espaciamiento de las observaciones con respecto la media Tiene la misma dimensión que la variable

(X

S n

En que medida se puede estar equivocado. Mientras más pequeño sea el ES más cerca se esta de la media Se utiliza para determinar los intervalos de confianza

Teorema: Si se extraen repetidamente muestras aleatorias de tamaño fijo n de una población que tiene media  y desviación típica . La distribución resultante de las medias será aproximadamente normal con media  y S desviación típica   n (error típico o estándar o típico), a medida que n crece. X

x  ES

Ley de los grandes números

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Estadística Descriptiva ¿medidas de dispersión ? Normal Distribution Medida de tendencia central más importante, Normal Distribution VENTAJA: es fácil de calcular, se 0,6 entiende rápidamente

0,24

MEDIA

0,5

DESVANTAJA: Está afectada por los valores extremos y por consiguiente puede 0,4 estar muy lejos de ser una representación 0,3de la muestra. density

density

0,2 0,16 0,12 0,08 0,04

0,2 0,1

Producción de leche (kg/día) 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

10

0

1

muestra 1

Muestra 1

3

4

5

6

7

8

9

10

muestra 2

( 3, 5, 8, 5, 4)

Muestra 2

Count = 5 Average = 5,0n Median = 5,0 i Mode = 5,0 12 Variance = 3,5 ikg Standard deviation = 1,87 kg. Standard error = 0,83666 Skewness = 1,14541 Stnd. skewness = 1,04561 Coeff. of variation = 37,4166%

x

2

x n

S

( 6, 5, 5 , 4, 5)

Count = 5 Average = 5,0 n Median2= 5,0 ( X i Mode X ) = 5,0 i 1 Variance = 0,5 kg2 Standard deviation = 0,70 kg. n 1 Standard error = 0,316228 Skewness = 0,0 Stnd. skewness = 0,0 Coeff. of variation = 14,1421%



Características Distribución Normal • Simétrica respecto a x= µ • Según sea σ habrá mayor o menor concentración de los datos respecto al valor central (µ) PROPIEDADES DE LAS TRES SIGMAS Toda distribución Normal con media µ , tiene la característica de tener el área de la curva de su función de densidad distribuida de la forma siguiente

p    X       68.27 % p  2  X    2   95.45 % p  3  X    3   99.73 %

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Matriz de datos

Para las variables en escala nominal: No tiene sentido la media, ni la desviación estándar, ni máximo ni mínimo. Para las variables en escala ordinal no tiene sentido ni la desviación estándar, pero si el máximo y mínimo Para las variables continuas tiene sentido todas estas medidas.

Ejercicio En una investigación Agropecuaria se desea analizar el rendimiento de cierta variedad de maíz teniendo en consideración cuatro tipos de suelos diferentes (c.suelo, vermicompost, 1/3, 1/4) . Por tal motivo se realizaron estudios previos, donde se observó la longitud del tallo (en cm) de estas plantas al cabo de los 21 días, para un total de 120 observaciones (30 observaciones por tipo de suelo). Pregunta 1¿Se desea caracterizar los grupos con los diferentes tipos de suelo?. DISEÑO v.a Longitud del tallo (continua) C. suelo •

Factor suelo

Equipo 2 S. vermicompost

•

Cuatro tratamientos

Equipo 3 1/3

Equipo 4 1/4

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Algunos conceptos básico Tratamiento: (Asignaciones del factor o combinaciones de niveles de factores, cuyos efectos serán medidos) Es el factor cuyo efecto será medido: Ejemplo tipos de suelo en el crecimiento de un cultivo,

dosis de un herbicida para determinado cultivo, otro

ejemplo es el ambiente es decir se analiza el rendimiento de un cultivo bajo diferentes condiciones ambientales o estrés. Cantidad de tratamientos dependen de los Niveles y factores en estudio

Un experimento puede ser : Unifactorial: Si Solamente se estudia un factor, todos los demás permanecen constantes Multifactoriales o Factoriales: Se estudian como mínimo dos factores y los demás permanecen constantes Factor Suelo Niveles A, B, C, D en una Variedad Tratamientos 1 x 3 =3 1A, 1B, 1C Unifactorial

Factor Fertilizante Niveles A, B, C Factor variedad Niveles 1 y 2 Tratamientos 2 x 3 = 6 1A, 2A, 1B, 2B, 1C, 2C multifactorial

Caracterizar el comportamiento de la longitud del tallo teniendo en cuenta el tipo de suelo. Que herramientas estadísticas utilizó en este análisis. ?¿Cuál grupo de observaciones resultó más variable?. Fundamente su respuesta.

MATERIALES Y MÉTODOS El análisis del rendimiento del maíz, requirió de un estudio preliminar que consistió en medir la longitud del tallo de las plantas (en cm) a los 21 días de germinadas, las mediciones se realizaron a partir del diseño utilizado (DESCRIBIR EL DISEÑO) ---------por lo que se tuvo en cuenta los cuatro tipos de suelos diferentes (C. suelo, vermicompost, 1/3 y 1/4). Se tomo un total de l20 plantas (30 observaciones por tratamiento). Para la caracterización de la variable se utilizó una estadística descriptivita que incluyo medidas de tendencia central y dispersión. Para el procesamiento de la información se utilizó el software…….. Versión….

20

Caracterizar el comportamiento de la longitud del tallo teniendo en cuenta el tipo de suelo. Que herramientas estadísticas utilizó en este análisis. ?¿Cuál grupo de observaciones resultó más variable?. Fundamente su respuesta.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN En la tabla 1 se observa que las longitudes promedios del tallo oscilaron entre 4, 96 cm y 7,37 cm, con errores estándar inferiores a 0,29cm, estos resultados …………… . Por otra parte el grupo que presentó menor variabilidad fue el relacionado con el suelo vermicompost con Coeficientes de Variación de 9,24% esto pudiera estar explicado …………………………… Cuidar en la redacción el vocabulario estadístico Tener en cuenta que la estadística descriptiva, solo permite describir, NO compara

Estadística Inferencial Parámetros: Indicador constante que caracteriza la población Estadígrafos: Es una función de n valores muestrales

Muestra

Población

1- cercanos a 1 0.90 0.95 0.99

Probabilidad Estimación puntual Estimación intervalo de confianza

~  pˆ x  ˆ s  ˆ p

...

  s p  I    x  t n 1   1   n 1 2   ES

percentil

Nivel de confianza

21

 p  I    x  

 s t n 1   1   n 1 2 

5.24  0.240721 * 2.04  5.24  0.491 

t n 1  t029 .975  2.04 1

5.24  0.491 ; 5.24  0.491 4.75 ; 5.73

2

Se estima con un 95% de confianza que la altura promedio de las plantas sembradas en suelos vermicompst a los 21 días de germinada oscila entre 4,74 cm y 5,73cm

¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo alcanzada en las plantas sembradas en C,suelo y S. vermicompost?

¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo alcanzada en las plantas sembradas en los diferentes tipos de suelo??

22

MATERIALES Y MÉTODOS ------ RESULTADOS Y DISCUSIÓN

¿Cómo comparar si existen diferencias significativas entre dos o más poblaciones ? ¿comparación de medias? Muestras Independientes

Muestras Pareadas

Estimación y Dócima de hipótesis sobre parámetros poblacionales

¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo alcanzada en las plantas sembradas en C,suelo y S. vermicompost? Muestras Independientes Lenguaje estadístico

H 0 : cs   sv H1 : cs   sv

H 0 : cs   sv Ó

H1 : cs   sv

¿Qué SIGNIFICA ACEPTAR a Ho?

23

Estimación y dócima de medias Análisis de Varianza (ANOVA)

PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA TOMA DE DECISIONES

Hipótesis estadística: Es un enunciado, una suposición de algo posible de lo que se saca una conclusión

¿Quién es H0 y H1? H0: Hipótesis nula (están los valores de probabilidad que pertenecen a H 0) H1: Hipótesis alternativa TOMA DE DECISIONES

H0 CIERTA H0 SE RECHAZA H0 SE ACEPTA

H0 FALSA DECISIÓN ACEPTADA

ERROR DE TIPO I

ERROR DE TIPO II

DECISIÓN ACEPTADA

Tipos de Contrastes: unilateral y bilateral (zona de aceptación o de rechazo de H 0)

 2

    2 2

 2

24

P A 0,1

Definiciones y axiomas de PROBABILIDAD se tiene que:

Suceso seguro P(A)=1

suceso imposible P(B)=0

suceso aleatorio 0 ≤ P(C) ≤ 1

Espacios muestrales finitos)

p( A) 

NA N

NA

- Números

de resultados favorables de A

N -Número de todos los resultados elementales posible del experimento

Ejemplo : La probabilidad de que “al lanzar una moneda se obtenga cara ” Experimentador nro. de tiradas nro. de caras Bufón 4040 2048 K Pearson 12000 6019 K Pearson 24000 12012

v.a.d

P A 0,1

F (t )  P ( x  t ) 

 ( P( x)

v.a.c

frecuencia 0.5070 0.5016 0.5005

Área bajo la curva



 f (t)dt  1 x 

x t

Tipos de Contrastes: unilateral y bilateral (zona de aceptación o de rechazo de H 0)

    2 2

 2

 2

¿ Comparación de medias ? PARA MUESTRAS INDEPENDIENTES o MUESTRAS PAREADAS Lenguaje estadístico

H 0 :  A  B H1 :  A   B

H 0 :  A  B H1 :  A   B

H 0 :  A  B H1 :  A   B

Se toma (1 - ) nivel de confianza cercanos a 1

0.90 , 0.95 ó 0.99

25

COMPARACIÓN DE MEDIAS

H 0 :  A  B H1 :  A   B Estadígrafo

Tcalculada 

xy (n1  1) S12  (n2  1) s22 n1  n2  2

Marca la Región de rechazo

Ttabulada  T1n1 n2 2

1 1  n1 n2

Probabilidad

P rechazar H0 / H0 cierta   

entonces rechazo a H0

En una muestra de 30 plantas se observó la longitud del tallo de plantas de maíz (en cm) al cabo de los 21 días. Al procesar los datos se obtuvieron los siguientes resultados en la altura promedio alcanzadas en los diferentes tipos de suelo. C. suelo, S. vermicompost

¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo alcanzada en las plantas sembradas en C,suelo y S. vermicompost?

T calculada

Lenguaje estadístico

H 0 :  A  B H1 :  A   B

T

xy (n1  1)S  (n 2  1)s 22 n1  n 2  2 2 1

1 1  n1 n 2

Dos vías para decidir •

Estadígrafo

•

P-valor

Ttabulada  T1n1 n2 2

26

H 0 :  A  B

¿nivel de confianza?

H1 :  A   B

T calculada

T tabulada n1  n2  2 1

t

t

t058.95  1.64

1-α = 0.95

3030 2 0.95

T

T

xy (n1  1)S  (n 2  1)s 22 n1  n 2  2 2 1

1 1  n1 n 2

5.2433  7.3733   7.864 (30  1) 1.7384  (30  1) 0.46478 1 1  30  30  2 30 30

Cae en la región de Rechazo de H0

Procesar por el STATGRAPHIS

Se estima con un 95% de confianza que existe diferencias significativas entre las longitudes promedios de los tallos, analizados en estos dos tipos de suelo.

H 0 :  A  B H1 :  A   B

27

p  rechazar H 0 / H 0cierta

0.0000

 



entonces

rechazo a H 0

0.05

Rechazo a H0

H0 : A  B H1 :  A   B Se estima con un 95% de confianza que existe diferencias significativas entre las longitudes promedios de los tallos, analizados en estos dos tipos de suelo.

En una investigación Agropecuaria se desea analizar el rendimiento de cierta variedad de maíz teniendo en consideración cuatro tipos de suelos diferentes (c.suelo, vermicompost, 1/3, 1/4). Por tal motivo se realizaron estudios previos, donde se observó la altura (cm) del cultivo, para un total de 120 observaciones (30 observaciones por tipo de suelo). C. suelo, S. vermicompost , 1/3 , 1/4

EJERCICIO (Equipo 1)

EMPLEAR SOFTWARE ESTADÍSTICO

¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo alcanzada en las plantas sembradas en C,suelo y S. 1/3? EJERCICIO (Equipo 2) ¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo alcanzada en las plantas sembradas en S ¼ y S. 1/3?

28

Equipo 1

¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo alcanzada en las plantas sembradas en C,suelo y S. 1/3?

H 0 :  A  B H1 :  A   B

t058.95  1.64

Se estima con un 95% de confianza que NO existe diferencias significativas entre la longitud promedios de los tallos al ser sembrados en estos dos tipos de suelos.

p  rechazar H 0 / H 0cierta



 

entonces

rechazo a H 0

??

0.5876

0.05

NO Rechazo a H0

H0 : A  B H1 :  A   B Se estima con un 95% de confianza que NO existe diferencias significativas entre la longitud promedios de los tallos al ser sembrados en estos dos tipos de suelos.

29

Equipo 2 ¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo alcanzada en las plantas sembradas en S ¼ y S. 1/3?

H 0 :  A  B H1 :  A   B

t058.95  1.64 Se estima con un 95% de confianza que NO existe diferencias significativas entre la longitud promedios de los tallos al ser sembrados en estos dos tipos de suelos.

p  rechazar H 0 / H 0cierta

 



entonces

H0 : A  B

?? 0.2965

rechazo a H 0

0.05

H1 :  A   B

NO Rechazo a H0

Se estima con un 95% de confianza que NO existe diferencias significativas entre la longitud promedios de los tallos al ser sembrados en estos dos tipos de suelos. RESUMEN Pasos para docimar  Plantear la hipótesis H0 y H1  Fijar el nivel de significación α  Calcular el estadígrafo  Determinar la región crítica  Tomar la decisión de aceptación o rechazo  Conclusiones

ó

Hacer el análisis a partir del P-valor

30

¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo, al ser sembradas en cuatro tipos de suelos diferentes? En caso de existir diferencia ¿Cuáles difieren?????’ C. suelo,

S. vermicompost ,

¿Cómo comparar dos o más poblaciones?

Fundamento teórico del Análisis de Varianza

1/3 , 1/4

Análisis de Varianza

ANOVA

ANOVA SIMPLE ANOVA DOBLE ANOVA MULTIFACTORIAL

• Aditividad de efectos: Esta suposición está implícita en el modelo desde el momento en que se asume que la variable aleatoria “y”, puede expresarse como una combinación lineal de los efectos presentes en el modelo. • Distribución normal de los errores: Se asume que los errores aleatorias normalmente distribuidas.

son variables

• Incorrelación de errores: Los errores son variables aleatorias independientes entre sí. • Homogeniedad de varianza: Los errores son variables aleatorias con media cero y varianza homogénea 2. Variación Total = Variación entre niveles + Variación dentro de niveles

31

Variación Total = Variación entre niveles + Variación dentro de niveles

MEDIA GENERAL MEDIA

5.2433

7.3733

5.1666

4.96

5.6858

32

I

ni

SC error   eˆi2 i 1 j 1

MEDIA

5.2433 I

7.3733

5.1666

eˆij  yij  yi

4.96

ni

ˆij2   2,243332  (1,94333) 2  ....   0,162  192,631 SC error    e i 1

j 1

¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo, al ser sembradas en cuatro tipos de suelos diferentes?

; 119 Ftab  F1 I 1; n I   F03.95  2.68

33

H 0 : 1   2   3   4   H 1 : Al menos dos  i difieren

Dos vías para decidir •Estadígrafo

Yi    i  ei

•P-valor

FACTOR SUELO

AL MENOS DOS LONGITUDES PROMEDIO DIFIEREN DEBIDO AL TIPO DE SUELO OTRA VÍA

p  rechazar H 0 / H 0cierta

 

entonces

rechazo a H 0

P-valor <0.05 entonces rechazo a Ho 0.0000 <0.05 entonces rechazo a Ho AL MENOS DOS LONGITUDES PROMEDIO DIFIEREN DEBIDO AL TIPO DE SUELO

EJERCICIO. Procesar LOS DATOS por el software estadístico???

34

ANOVA

AL MENOS DOS LONGITUDES PROMEDIO DIFIEREN DEBIDO AL TIPO DE SUELO

¿Cuáles difieren?????’ DOCIMAS DE COMPARACIÓNES MÚLTIPLES

PRUEBAS O DÓCIMAS DE COMPARACIONES MÚLTIPLES Una vez efectuado un Análisis de Varianza y rechazada la igualdad de medias de un efecto

Se requiere determinar cuales son los que difieren

PRUEBAS O DOCIMAS DE COMPARACIONES MÚLTIPLES •M.D,S- Prueba de Mínima Diferencia Significativa. •Prueba de comparaciones Múltiples de Duncan •Prueba de comparaciones Múltiples de Tukey. •Prueba de comparación con un control de Dunnett •Otras.

35

¿¿¿Interpretación de resultados??

DOCIMAS DE COMPARACIÓN MÚLTIPLES

EJERCICIO. En un experimento se estudió el comportamiento del rendimiento de una variedad de calabaza sometidas a 5 ambientes diferentes de estrés de temperatura y humedad. Los resultados se presenta en la siguiente tabla: Ambientes

media

E1

E2

E3

E4

E5

8.44

5.01

3.50

8.29

6.33

8.57

5.63

3.60

8.27

6.37

8.93

5.42

3.70

8.10

5.90

9.01

5.87

3.10

8.90

5.90

9.00

5.37

3.45

8.80

5.35

8.58

5.53

2.83

8.97

5.57

8.75

5.47

3.36

8,55

5.90

Diseño Completamente aleatorizado, cinco tratamientos , seis réplicas o repeticiones.

36

Modelo que describe la información

Yij     i  eij Yij - rendimiento de la i-esima repetición del tratamiento i. μ - es el promedio general αi

-

eij

-

es el efecto del ambiente (E) i es el error aleatorio correspondiente a la j-esima repetición del tratamiento i.

H 0 : 1   2  3   4  5

H1 : Al menos dos i difieren

Yi    i  ei

37

H 0 : 1   2  3   4  5

H1 : Al menos dos i difieren p  rechazar H 0 / H 0 cierta    entonces rechazo a H 0 0.000

<

0.05

Existen diferencias significativas entre los rendimientos promedios alcanzados en los diferentes ambientes

¿Cuáles difieren???????????

Emita sus criterios de los resultados alcanzados en la presente investigación

38

MATERIALES Y MÉTODOS Se utilizó un diseño completamente aleatorizado, y se observó el rendimiento (t/ha) bajo cinco tipos de ambientes diferente (DESCRIBIR LOS AMBIENTES), se realizaron seis replicas por tratamiento para un total de 30 observaciones. Para caracterizar en rendimiento en cada ambiente se utilizó una estadística descriptica (media , error estándar y coeficiente de variación) y se realizó un Análisis de Varianza (ANOVA) simple para comparar los rendimientos promedios, así como la docima de Duncan en caso de diferencias significativas. Para el procesamiento de la información se realizó mediante el software……

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

ANOVA SIMPLE ANOVA DOBLE ANOVA MULTIFACTORIAL

Suponga que se desea analizar la altura a los 21 días de sembrado de cierta variedad de maíz (cm), teniendo en consideración los cuatro tipos de suelos y tres sistemas de riego, y se disponen de 10 observaciones por combinación de tratamientos, el resto de las condiciones del experimento son homogéneas. De acuerdo a esta problemática, ¿Que análisis y herramientas usted emplearía para caracterizar, describir y comparar los resultados alcanzados?

Yij     i   j  eij Factor Riego

Factor Suelo

Factor Riego H 0 :  RAS   RA   RL  

Factor Suelo

H1 : al

H1 : al menos dos difieren

menos dos difieren

H 0 :  S1   S 2   S 3   S 4  

39

Tipo de riego

Tipos de suelos Csuelo

vermicompost

3 1/3

4 1/4

RAs

3 3,3 4,1 4,6 7 6,4 4,2 4 5 4,3

8 8 8 8 8,3 7,3 8 7,7 7,3 7,1

5,9 6,4 2,4 4 5,1 4,6 6,2 6,3 5,9 6,4

6,2 6,3 6,2 4,1 4 2,2 6,6 6,4 6,7 4,3

RA

4,6 5,1 5,5 6 6 5 5,3 5,1 3 7,3

6,6 6,2 6,5 7,2 8 8 8 8 8,3 7,3

2,4 4 5,1 4,6 6,2 6,3 5,9 6,4 2,4 4

4,4 2,5 2,6 6,2 6,3 6,2 4,1 4 2,2 6,6

RL

7,5 5,3 5,8 5,9 6 7 7,6 3,2 6 4,2

8 7,7 7,3 7,1 6,6 6,2 6,5 7,2 6,5 6,3

5,1 4,6 6,2 6,3 6,5 5,2 5,5 6,3 2,5 6,3

6,4 6,7 4,3 4,4 2,5 2,6 6,9 6,8 5,3 4,8

ANOVA MULTIFACTOR

¿Cómo entrar los datos?? ¿Cómo procesar la información??

40

En una investigación Agropecuaria se desea analizar el rendimiento de cierta variedad de maíz teniendo en consideración cuatro tipos de suelos diferentes (c.suelo, vermicompost, 1/3, 1/4) . Por tal motivo se realizaron estudios previos, donde se observó la longitud del tallo (en cm) de estas plantas al cabo de los 21 días, para un total de 120 observaciones (30 observaciones por tipo de suelo).

Equipo 1 C. suelo Equipo 2 S. vermicompost Equipo 3 1/3 Equipo 4 1/4

•

v.a Longitud del tallo

•

v.a. continua

¿Existirá diferencias estadísticamente significativas entre la longitud promedio del tallo alcanzada en las plantas sembradas en los diferentes tipos de suelo y tipos de riego??

Yij     i ( suelo)   j ( riego)  eij FACTOR SUELO

H 0 : CS  VC  13  14   H1 : al menos dos difieren FACTOR RIEGO

H 0 :  RAs   RA   RL   H1 : al menos dos difieren

41

Factor riego

0.467 < 0.05 NO existen diferencias significativas en al menos dos alturas promedios debido al factor riego

Factor suelo

0.000 < 0.05 Existen diferencias significativas en al menos dos alturas promedios debido al factor suelo

Interacción entre los factor riego y suelo

42

Interacción entre los factor riego y suelo

EJERCICIO. En una investigación realizada sobre la calibración de una asperjadora, se observó el gasto en litros/minuto a diferentes niveles de presión (2, 5, 8, 10 kg/cm2). ¿Existen diferencias significativas en el gasto promedio (litros/minuto) que se obtiene en los diferentes niveles de presión (2, 5, 8, 10 kg/cm2)

43

Comparar medias en cuatro poblaciones

ANOVA SIMPLE H 0 :  P 2   P 5   P 8   P10   H1 : Al menos dos i difieren

Yi     i  ei

H 0 :  P 2   P 5   P 8   P10   H1 : Al menos dos i difieren

p  rechazar H 0 / H 0 cierta    entonces rechazo a H 0 0.000

<

0.05

Existen diferencias significativas entre al menos dos promedios de cantidad de L/min que se obtienen debido a los diferentes niveles de presión

44

Cuáles difieren????

En la una Empresa Azucarera se quiere evaluar el rendimiento agrícola de caña de Azúcar logrado por la aplicación de tres tecnologías de preparación de suelo: Laboreo Tradicional (LT), Laboreo Mínimo con inversión del prisma de suelo (LM) y Laboreo Localizado (LL) Se cuenta con los datos brindados en toneladas por hectárea por un experimento montado con las tres variantes y seis réplicas. De acuerdo a esta problemática, ¿Que análisis y herramientas usted emplearía para caracterizar, describir y comparar los resultados alcanzados? Utilice un software estadístico para el procesamiento de la información e interprete los resultados alcanzados

45

Situación problémica Se desea probar el efecto de 5 distancias de siembra sobre el rendimiento (en t/ha) de cierto cultivo, el cual ha sido preparado con la misma tecnología de preparación de suelos. Se dispone de 20 parcelas con características similares de tipo de suelo, condiciones climáticas y de manejo pero se conoce por la topografía del terreno, que puede haber variación en la fertilidad del suelo en un solo sentido, de menos a más fertilidad y se debe tener en cuenta a la hora de diseñar el experimento

El diseño a aplicar, ¿será el completamente al azar? Por qué? No, porque las unidades experimentales no son homogéneas.

¿Qué Diseño experimental debe aplicarse? Diseño de bloques al azar MODELO QUE DESCRIBE LA SITUACIÓN

Yij     i   j  eij

Datos. Después de aplicar el diseño v,a. rendimiento (t/ha)

DISTANCIA

F E R T I L I F A D

T1

T2

T3

T4

T5

I

0,9

2,3

3,6

2,7

0,5

II

1,4

1,8

3,2

2,3

3,6

III

1,4

2,3

4,5

2,3

2,7

IV

2,3

2,3

4,1

1,9

0,9

BLOQUE

46

T1

T2

T3

T4

T5

BLOQUE

I

0,9

2,3

3,6

2,7

0,5

II

1,4

1,8

3,2

2,3

3,6

III

1,4

2,3

4,5

2,3

2,7

IV

2,3

2,3

4,1

1,9

0,9

H 0 : T 1  T 2  T 3  T 4

H1 : Al menos dos i difieren

47

observ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

observ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

C,suelo S.vermicompost tall 1/3 3 8 5,9 3,3 8 6,4 4,1 8 2,4 4,6 8 4 7 8,3 5,1 6,4 7,3 4,6 4,2 8 6,2 4 7,7 6,3 5 7,3 5,9 4,3 7,1 6,4 4,6 6,6 2,4 5,1 6,2 4 5,5 6,5 5,1 6 7,2 4,6 6 8 6,2 5 8 6,3 5,3 8 5,9 5,1 8 6,4 3 8,3 2,4 7,3 7,3 4 7,5 8 5,1 5,3 7,7 4,6 5,8 7,3 6,2 5,9 7,1 6,3 6 6,6 6,5 7 6,2 5,2 7,6 6,5 5,5 3,2 7,2 6,3 6 6,5 2,5 4,2 6,3 6,3

tall 1/4 6,2 6,3 6,2 4,1 4 2,2 6,6 6,4 6,7 4,3 4,4 2,5 2,6 6,2 6,3 6,2 4,1 4 2,2 6,6 6,4 6,7 4,3 4,4 2,5 2,6 6,9 6,8 5,3 4,8

C,suelo S.vermicompost tall 1/3 3 8 5,9 3,3 8 6,4 4,1 8 2,4 4,6 8 4 7 8,3 5,1 6,4 7,3 4,6 4,2 8 6,2 4 7,7 6,3 5 7,3 5,9 4,3 7,1 6,4 4,6 6,6 2,4 5,1 6,2 4 5,5 6,5 5,1 6 7,2 4,6 6 8 6,2 5 8 6,3 5,3 8 5,9 5,1 8 6,4 3 8,3 2,4 7,3 7,3 4 7,5 8 5,1 5,3 7,7 4,6 5,8 7,3 6,2 5,9 7,1 6,3 6 6,6 6,5 7 6,2 5,2 7,6 6,5 5,5 3,2 7,2 6,3 6 6,5 2,5 4,2 6,3 6,3

tall 1/4 6,2 6,3 6,2 4,1 4 2,2 6,6 6,4 6,7 4,3 4,4 2,5 2,6 6,2 6,3 6,2 4,1 4 2,2 6,6 6,4 6,7 4,3 4,4 2,5 2,6 6,9 6,8 5,3 4,8

RAS

RA

RL

48

49