Matematika 1q5y29
This document was ed by and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this report form. Report r6l17
Overview 4q3b3c
& View Matematika as PDF for free.
More details 26j3b
- Words: 4,266
- Pages: 20
See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://idoc-pub.descargarjuegos.org/publication/286450932
Zbirka zadataka iz matematike za VII i VIII razred sa teorijskim osnovama i rešenjima Book · January 2001
CITATIONS
READS
0
2,447
2 authors, including: Kuka Miroslav University "St. Kliment Ohridski" - Bitola 146 PUBLICATIONS 105 CITATIONS SEE PROFILE
All content following this page was ed by Kuka Miroslav on 11 December 2015. The has requested enhancement of the ed file.
Mr Miroslav Kuka Vesna M. Mijailovi}
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE za VII I VIII razred sa teorijskim osnovama i re{enjima
Autori: Miroslav Kuka, Vesna Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike za VII i VIII razred sa teorijskim osnovama i re{enjima Prvo izdanje Izdava~: autori Za izdava~a: Miroslav Kuka Recenzenti:
dr Miroslav Star~evi}, redovni profesor Rudarsko-geolo{kog fakulteta u Beogradu,
dipl. in`enjer Mi{a Milojevi}, profesor u O[ "Vasa ^arapi}" u Beogradu, Olivera Todorovi}, nastavnik u O[ "Josif Pan~i}" u Beogradu Kompjuterska obrada teksta i prelom: Zlatko Leki} Izrada crte`a: ing. informatike Vera Stojanovi} Lektura i korektura: Ljiljana Milojevi} Priprema za {tampu: dipl. astrofizi~ar Tatjana Milovanov Idejno re{enje i dizajn korica: Autori [tampa: "Janus", Beograd CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna Biblioteka Srbije, Beograd 372.851(075.2) (076) KUKA, Miroslav Zbirka zadataka iz matematike : za VII i VIII razred : sa teorijskim osnovama i re{enjima / Miroslav Kuka, Vesna Mijailovi}. - (1. izd. 1. - Beograd : M. Kuka : V. Mijailovi}, 2001 (Beograd : Janus). - 263 str. : graf. prikazi : 24 cm Tira` 1000. - Bibliografija: str. [264]. ISBN 86-902231-3-4 1. Mijailovi}, Vesna ID=92939276
PREDGOVOR
Ovom zbirkom zadataka obuhva}eno je celokupno gradivo matematike koje u~enici treba da savladaju u osnovnoj {koli, na nivou VII i VIII razreda. Posebno smo obratili pa`nju da sadr`aji zadataka u~enicima budu pristupa~ni, tako da pomo}u njih mogu da shvate pojedine matemati~ke zakonitosti, njihovu me|usobnu povezanost, svakodnevnu primenljivost itd. S obzirom na namenu, svaki zadatak u ovoj zbirci ima re{enje. U ve}ini re{enja je pored toga ostalo ne{to nedore~eno, tako da }e u~enik imati svuda po ne{to da zaklju~i sam. Ovakav na~in re{avanja zadataka trebalo bi uvek primenjivati, jer se tako uveliko umanjuju kumulativne gre{ke pri ra~unanju, {to je na svim, a posebno na osnovno{kolskom uzrastu ~esta pojava. Zbirka je koncepcijski zami{ljena i kao priru~nik sa teorijskim uvodom svake od obuhva}enih matemati~kih celina, {to sa svoje strane, po mi{ljenju autora, pored homogenizacije gradiva i njima komplementarnih zadataka, inicira i razvija interesovanje u~enika za tako koncipirane sadr`aje. Na kraju smatramo svojim prijatnim dugom da se najsrda~nije zahvalimo svojim porodicama, recenzentima, prof. Verici Radojkovi}, dipl. astrofizi~aru Tatjani Milovanov, ing. informatike Veri Stojanovi}, Zlatku Leki}u i Ljiljani Milojevi} na podr{ci, sugestijama i tehni~koj realizaciji ovako koncipirane zbirke zadataka.
Autori
SADR@AJ VII RAZRED 1. REALNI BROJEVI 1.1.
KVADRAT RACIONALNOG BROJA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. Zadaci za samostalan rad..................................................................... Re{enja ..................................................................................................
1.2.
3 4 5
RE[ENJE JEDNA^INE x2=a, (a ≥ 0). KVADRATNI KOREN. IRACIONALNI BROJ Teorijske osnove sa primerima ............................................................. Zadaci za samostalan rad..................................................................... Re{enja ..................................................................................................
1.3.
REALNI BROJEVI. BROJEVNA PRAVA. JEDNAKOST
1.4.
PRIBLI@NA VREDNOST REALNOG BROJA
7 8 9
a2 = a
Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 12 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 14 Re{enja .................................................................................................. 15 1.5.
OSNOVNA SVOJSTVA OPERACIJA SA REALNIM BROJEVIMA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. Zadaci za samostalan rad..................................................................... Re{enja .................................................................................................. Skup realnih brojeva (dodatak)............................................................ Re{enja ..................................................................................................
16 17 18 18 19
2. PITAGORINA TEOREMA I NJENA PRIMENA 2.1. 2.2.
PITAGORINA TEOREMA PRIMENA PITAGORINE TEOREME Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 21 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 23 Re{enja .................................................................................................. 24
2.2.1 2.2.2.
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGAONIK Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 29 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 30 Re{enja .................................................................................................. 31
2.2.3.
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI I JEDNAKOSTRANI^NI TROUGAO Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 33 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 35 Re{enja .................................................................................................. 36
2.2.4. 2.2.5.
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KRUG Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 39 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 40 Re{enja .................................................................................................. 40
2.2.6. 2.2.7.
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI I PRAVOUGLI TRAPEZ PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KOCKU I KVADAR Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 42 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 43 Re{enja .................................................................................................. 44
3. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZ 3.1. 3.2.
STEPEN ^IJI JE IZLO@ILAC PRIRODNI BROJ ALGEBARSKI IZRAZ. BROJNA VREDNOST IZRAZA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 48 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 50 Re{enja .................................................................................................. 51
3.3. 3.4.
MONOM. KOEFICIJENT POJAM POLINOMA. SVO\ENJE POLINOMA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 53 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 54 Re{enja .................................................................................................. 54
3.5. 3.6.
SABIRANJE MONOMA I POLINOMA ODUZIMANJE MONOMA I POLINOMA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 55 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 56 Re{enja .................................................................................................. 57
3.7. 3.8.
MNO@ENJE MONOMA I POLINOMA DELJENJE MONOMA I POLINOMA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 59 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 61 Re{enja .................................................................................................. 62
3.9. 3.10.
KVADRAT BINOMA I RAZLIKA KVADRATA RASTAVLJANJE POLINOMA NA ^INIOCE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 64 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 66 Re{enja .................................................................................................. 68
4. MNOGOUGAO 4.1. 4.2.
POJAM MNOGOUGLA I BROJ DIJAGONALA MNOGOUGLA UGLOVI MNOGOUGLA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 71 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 72 Re{enja .................................................................................................. 73
4.3. 4.4. 4.5. 4.6.
KONSTRUKCIJA PRAVILNIH MNOGOUGLOVA OBIM MNOGOUGLA POVR[INA MNOGOUGLA POVR[INA PRAVILNOG MNOGOUGLA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 75 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 80 Re{enja .................................................................................................. 81
5. KRUG 5.1.
CENTRALNI I PERIFERNI UGAO KRUGA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 87 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 87 Re{enja .................................................................................................. 88
5.2. 5.3.
OBIM KRUGA DU@INA KRU@NOG LUKA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 90 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 92 Re{enja .................................................................................................. 93
5.4.
POVR[INA KRUGA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 96 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 96 Re{enja .................................................................................................. 98
5.5. 5.6.
KRUG, KRU@NI ISE^AK, KRU@NI ODSE^AK, KRU@NI PRSTEN POVR[INA KRU@NOG ISE^KA I KRU@NOG PRSTENA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 100 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 101 Re{enja .................................................................................................. 102
Krug - razni zadaci ................................................................................ 103 Re{enja .................................................................................................. 104
6. NEKE OSNOVNE FUKCIJE 6.1.
PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM U RAVNI. KOORDINATNE TA^KE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 107 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 109 Re{enja .................................................................................................. 110
6.2.
FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI. TABLI^NO, ANALITI^KO I GRAFI^KO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJE DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 113 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 116 Re{enja .................................................................................................. 118 k x Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 120 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 121 Re{enja .................................................................................................. 122
6.3.
OBRNUTA PROPORCIONALNOST, FUNKCIJA y=
6.4.
PROPORCIJA I NJENA PRIMENA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 125 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 125 Re{enja .................................................................................................. 126
7. SLI^NOST 7.1. 7.2.
MERENJE DU@I, SMERLJIVE I NESMERLJIVE DU@I RAZMERA DU@I. PROPORCIONALNE DU@I Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 130 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 131 Re{enja .................................................................................................. 132
7.3.
TALESOVA TEOREMA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 134 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 135 Re{enja .................................................................................................. 136
7.4.
SLI^NOST TROUGLOVA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 138 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 140 Re{enja .................................................................................................. 142
VIII RAZRED 1. TA^KA, PRAVA I RAVAN 1.1. 1.2.
ODNOS TA^KE I PRAVE, TA^KE I RAVNI, ODRE\ENJA PRAVE I ODRE\ENOST RAVNI ODNOS RAVNI I PRAVE, ODNOS PRAVIH Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 151 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 154 Re{enja .................................................................................................. 155
1.3. 1.4.
ORTOGONALNA PROJEKCIJA DIEDAR I ROGALJ Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 157 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 160 Re{enja .................................................................................................. 161
2. LINEARNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM 2.1. 2.2.
LINEARNE JEDNA^INE (OP[TI POJMOVI). EKVIVALENTNE JEDNA^INE RE[AVANJE LINEARNE JEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM I NJENA PRIMENA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 164 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 167 Re{enja .................................................................................................. 169
2.3. 2.4.
LINEARNE NEJEDNA^INE (OP[TI POJMOVI). EKVIVALNETNE NEJEDNA^INE RE[AVANJA LINEARNE NEJEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 176 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 177 Re{enja .................................................................................................. 179
3. PRIZMA 3.1.
OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 186 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 187 Re{enja .................................................................................................. 187
3.2.
POVR[INA I ZAPREMINA PRIZME Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 189 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 189 Re{enja .................................................................................................. 192
4. PIRAMIDA 4.1.
OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 202 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 203 Re{enja .................................................................................................. 203
4.2.
POVR[INA I ZAPREMINA PIRAMIDE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 207 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 207 Re{enja .................................................................................................. 209
5. LINEARNA FUNKCIJA 5.1.
FUNKCIJA y=kx + n Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 217 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 217 Re{enja .................................................................................................. 218
5.2.
GRAFIK LINEARNE I NULA FUNKCIJE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 220 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 222 Re{enja .................................................................................................. 225
5.3.
GRAFI^KO PRIKAZIVANJE STATISTI^KIH PODATAKA, SREDNJE VREDNOSTI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 234 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 235 Re{enja .................................................................................................. 236
6. SISTEM LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE 6.1.
RE[ENJE I EKVIVALENTNOST SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 238 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 240 Re{enja .................................................................................................. 241
6.2.
GRAFI^KI NA^IN RE[AVANJA SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 243 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 244 Re{enja .................................................................................................. 245
6.3.
METODE RE[AVANJA SISTEMA DVE LINEARNE JEDNA^INE SA DVE NEPOZNATE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 247
Zadaci za samostalan rad..................................................................... 248 Re{enja .................................................................................................. 249 6.4.
PRIMENA SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 252 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 252 Re{enja .................................................................................................. 253
7. VALJAK 7.1.
OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 258 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 258 Re{enja .................................................................................................. 259
7.2.
POVR[INA I ZAPREMINA VALJKA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 262 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 262 Re{enja .................................................................................................. 264
8. KUPA 8.1.
OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 271 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 271 Re{enja .................................................................................................. 272
8.2.
POVR[INA I ZAPREMINA KUPE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 274 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 275 Re{enja .................................................................................................. 276
9. LOPTA 9.1.
OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 282 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 282 Re{enja .................................................................................................. 282
9.2. POVR[INA I ZAPREMINA LOPTE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 283 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 283 Re{enja .................................................................................................. 284
ZA[TO I KAKO RADITI ZADATKE IZ MATEMATIKE? Poznavanje neke nau~ne discipline ne sastoji se u tome da se zapamte ili reprodukuju opisi pojava i formulacije njihovih zakonitosti, ve} u sposobnosti da se na osnovu tih zakonitosti mogu re{avati konkretni problemi. U tome i jeste razlika izme|u stru~nog i lai~kog znanja. Dakle, samo izradom zadataka i primenom teorije koja prethodno mora biti usvojena ({to je preduslov da se zadaci uop{te mogu re{iti), mogu}e je kod u~enika u {kolskom procesu posti}i ono ~emu se i te`i: da se znanje koje je usvojeno pravilno i efikasno upotrebi, da se pove`u i shvate pojmovi, da se koriste}i postoje}e znanje iniciraju ideje za nova otkri}a itd. Proces re{avanja zadataka u velikoj meri je sli~an istra`iva~kom radu. Sli~nost je u tome {to se u oba slu~aja do rezultata dolazi na osnovu odgovaraju}ih znanja, uo~avanja bitnih elemenata problema, logi~kog razmi{ljanja i zaklju~aka, pri ~emu i ma{ta mo`e da ima presudnu ulogu. Drugim re~ima, re{avanje zadataka - problema sadr`i u ve}oj ili manjoj meri elemente kreativnosti, {to predstavlja dodatnu, veoma va`nu komponentu procesa obrazovanja. Ali, vratimo se postavljenom pitanju: kako i na koji na~in raditi zadatke iz matematike? ^itanje (i to vrlo pa`ljivo) zadataka jedan je od osnovnih preduslova da se zadatak pravilno re{i. Ponekad je potrebno zadatak pro~itati i vi{e puta da bi se shvatilo {ta je u zadatku poznato, a {ta je potrebno izra~unati. Rezultat pravilnog ~itanja zadatka treba da bude shvatanje o kakvom se problemu radi, {ta je u okviru njega poznato, a {ta treba odrediti. Pravilno postaviti zadatak, tj. navesti poznate veli~ine i njihove brojne vrednosti, kao i veli~ine kojima treba odrediti brojnu vrednost. Me|u datim veli~inama uspostaviti matemati~ke relacije ~ijim re{enjem dolazite do izraza koji predstavlja op{te re{enje, iz koga se, zamenom brojnih podataka, izra~unava kona~an rezultat. Nacrtati sliku kojom bi se predstavio problem, jer ona ~esto omogu}ava da se mnogo lak{e vidi ono {to se "napamet" te`e shvata i primenjuje. Biti uveren u svoje sposobnosti primene nau~enog i potvr|ivati ih na svakom konkretnom primeru. Nadamo se da smo ovom kratkom analizom za{to i kako raditi zadatke bar malo pomogli u te`nji da se shvati uloga i zna~aj pravilne izrade zadataka iz matematike. Jedino {to se od u~enika o~ekuje jeste da ulo`e ve}i napor da usvojena teorijska znanja na ~asovima oplemene kroz ra~unske zadatke za samostalan rad. Unapred se radujemo njihovom uspehu.
M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
48
3. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZ 3. 1.
STEPEN ^IJI JE IZLO@ILAC PRIRODNI BROJ
Proizvod istih ~inilaca u skupu prirodnih brojeva zapisuje se kra}e u obliku stepena: a ñ a ñ a . . . . a = an. Broj a je osnova stepena, a n je izlo`ilac stepena an. Ako je n = 1, pisa}emo a1= a. Svojstva stepena 1) Za svaki broj a i prirodne brojeve m i n va`i: am ñ an=am+n Proizvod datih stepena jednakih osnova jednak je stepenu iste osnove kome je izlo`ilac zbir izlo`ilaca datih stepena. Primer 1: a7 ñ a5=a7+5=a12 (m6 ñ m3)m2=m6 ñ m3 ñ m2=m6+3+2=m11 (Ùn)7 ñ (Ùn)3=n7+3=n10 Ùt3 ñ (Ùt)4=Ùt3 ñ t4=Ùt3+4=Ùt7 2) Za svaki broj a i prirodne brojeve m i n va`i: (am)n =amn Stepen stepena date osnove jednak je stepenu iste osnove kome je izlo`ilac proizvod izlo`ilaca. Primer 2: (a7)3 = a7ñ3 = a21
[(-m) ] = ( m ) = m = m [(-n) ] = -n = -n = n 2
3
7
4
2
3ñ 4
7
2ñ 7
12
14
12
Ukoliko je osnova stepena negativna (Ùa), a izlo`ilac paran broj 2,4,6, . . . njihov proizvod je pozitivan (Ùa)2=a2 Ù pravilo proizvoda brojeva 3) Za prirodni broj n va`i: (a ñ b)n=an ñ bn Stepen datog proizvoda jednak je proizvodu stepena ~inilaca datog proizvoda. Primer 3: (3a)2=32 ñ a2=9a2 (Ù5t)2=(Ù5)2 ñ t2=25t2 =(Ù4x5y7)3 = (Ù4)3ñ x5ñ3 ñ y7ñ3 = Ù64 x15 y21 n an æaö 4) Za prirodan broj n va`i: ç ÷ = n b èbø
Racionalni algebarski izraz
49
Stepen datog razlomka jednak je razlomku kome su brojilac i imenilac stepeni brojioca i imenioca datog razlomka. Primer 4: 2 32 9 æ3ö ç ÷ = 2 = 16 4 è4ø 2
æ6ö 6 2 36 çç ÷÷ = = y2 y2 è yø 2 t2 æ tö ç- ÷ = 25 è 5ø 5) Za a ¹ 0 i prirodne brojeve m i n (m>n) va`i: am:an=amÙn. Koli~nik stepena jednakih osnova, pozitivnih ili negativnih, jednak je stepenu iste osnove kome je izlo`ilac razlika izlo`ioca deljenika i izlo`ioca delioca. Primer 5: a7:a5=a7Ù5=a2 Ùn6:(Ùn)3=n6:Ùn3=Ùn6Ù3=Ùn3 6) Za svaki broj a koji nije 0 : a0=1. 7) Za svaki broj a koji nije 0 i svaki prirodni broj n : aÙn =
3. 2.
1 . an
ALGEBARSKI IZRAZ. BROJNA VREDNOST IZRAZA
Kada se u jednom algebarskom izrazu umesto op{tih brojeva (slova) uvrste njihove date brojne vrednosti, dobije se jedan brojni (numeri~ki) izraz. Na primer, kada se u izraz (a+b)2, koji predstavlja obim pravougaonika, uvrsti a=5 i 1 1ö æ b=4 dobije se brojni izraz ç 5 + 4 ÷ × 2 . 2 2ø è Izra~unata vrednost ovog brojnog izraza naziva se brojna (numeri~ka) vrednost algebarskog izraza. 1 1ö æ Po{to je ç 5 + 4 ÷ × 2 = 19, brojna vrednost algebarskog izraza (a+b) ñ 2, za a=5 i b=4 2 2ø è iznosi 19. Na osnovu svega re~enog, pri izra~unavanju brojne vrednosti algebarskog izraza treba se dr`ati, uglavnom, ovih uputstava: a) Umesto op{tih brojeva uvrste se dati posebni brojevi. b) Ako u izrazu nema zagrada, onda se prvo mno`i i deli, a zatim se sabira i oduzima.
50
M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
c)
Kad u izrazu ima i zagrada, onda se prvo izvr{e ra~unske radnje ozna~ene zagradama, i to postepeno: najpre u maloj, zatim u srednjoj i najzad, u velikoj zagradi.
Primer 6: Treba odrediti obim komada zemlji{ta, oblika trougla, znaju}i da jedna strana iznosi a metara, druga je za 2 metra du`a od prve, a tre}a iznosi b metara. Na}i zatim brojnu vrednost obima, ako je a=6,5, b=8,75. Stranice trougla su a, a+2, b, a obim (zbir stranica) a+(a+2)+b. Brojna vrednost obima je 6,5+(6,5+2)+8,75=8,6+8,5+8,75=23,75 m. Primer 7: Izra~unati brojnu vrednost algebarskog izraza [2xÙ3(y+1)] ñ (zÙ4) ako je x=6, y=1, z=7. Najpre se izvr{i smena: [2 ñ 6 Ù 3(1 + 1)] ñ (7 Ù 4) = 6 ñ 3 = 18. GAUS Karl Fridrih (GauÔ, Carl Friedrich, 1777-1855), jedan od najve}ih matemati~ara svog vremena, istaknuti astronom i fizi~ar, profesor univerziteta, osniva~ ~uvene matemati~ke {kole i direktor nove astronomske opservatorije u Getingenu. Ve} u najranijoj mladosti objavio zna~ajne radove i nove metode u teoriji brojeva, algebri (dokaz tzv. osnovne teoreme algebre: svaka cela algebarska jedna~ina n-tog stepena ima n korena), geometriji (podela kruga na n jednakih delova pomo}u {estara i lenjira), analizi (teoriji redova); prona{ao je metodu najmanjih kvadrata, kojom se izravnavaju eksperimentalni podaci, stvorio teoriju povr{i i vi{u geodeziju, i dr. Prona{ao je metodu za odre|ivanje putanje tek otkrivenog asteroida Ceresa na osnovu tri bliska posmatranja, omogu}iv{i time njegovo ponovno opa`anje u slede}oj opoziciji.
ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD 1.
Predstavi stepen u obliku proizvoda: a) 25 b) (3a)3 c) (Ù3xy)2 d) (2a Ù b)3 e) (p + q Ù r)2 2 3 0 3 2. Usmeno izra~unaj: a) 5 b) 3 c) 100 ; d) 4 3 2 1 1 æ ö æ ö e) ç - ÷ f) ç - ÷ g) (Ù1)100 + (Ù1)51 h) (Ù2)2 Ù (Ù2)3 è 2ø è 3ø 3. Izra~unaj: 2 1 æ 1ö a) (Ù2)3 + (Ù32) Ù 2 + 2 3 + ç - ÷ 2 è 2ø 4 : 92 ñ (Ù3)4 + 27 ñ 3 b) (Ù3)
Racionalni algebarski izraz
4.
a)
( 2 3 × 3 3 - 6 2 ) × æçè 12 ö÷ø
æ 1ö b) ç - ÷ è 2ø
3
51 2
2
æ1ö ×ç ÷ è3ø 2 1 1 1 ö æ ö æ ×ç- ÷ : ç 2 × 4 ÷ è 4ø è2 2 ø 17 4 2 5 ñ4 3 (-2) : 4 8 2 ñ2 (-8) 3
5.
Izra~unaj:
6.
Uprosti izraz: 4 2x3 × 8x6 a) 32 x 7 Uporedi: a) 216 * 164
7. 8.
(
Izra~unaj: d)
9.
)
2 5 × 125 4
5 × 11 3 a) 55
2
b)
11. 12. 13. 14.
-3 a 7 30 b) 16 * 840
27 7 × 2 2 b) 5 2 × 12 6 64 2 × 16 3 e) 8 15 2 ×4
c)
( x 3n+ 2 ) × ( x n+1 ) 2
c) 3105
*
x 6n-1 × x n+ 5
950
(2 3 ) × (- 3 2 ) c) 4
8 × 32
3 2 2 - x ako je x = Ù0,75 4 3 Uporedi A i B ako je x = 6 Ù ½Ù2 Ù2 ñ½3 Ù 6 úú y = 0,6 : (Ù0,3) A = x2 y Ù x3 +2x3ñy B = yx2 Ù y3 + 2xy3 2 2 Izra~unaj polovinu razlike kvadrata broja x i broja ako je x = Ù1 . 3 3 Od zbira kvadrata brojeva p i q oduzeti razliku kvadrata datih brojeva ako je p = Ù1,234 a q = 2,5 Odredi 40% razlike kvadrata brojeva a i b, ako je a = Ù2 b = Ù3 Izra~unaj: 1 x2 + 2 + x0 x a) , x ¹ 0, x = 2 1 4+ +1 4 x2 × x5: x7 x=5 b) 20 -1 2 1 - 4 x 2 (2 x - 1) c) x = Ù0,25 : x2 - 4x x2 -1 b) 3
RE[ENJA 1.
2
æ1ö ç ÷ × 30 4 è3ø Izra~unaj vrednost izraza:
a) 3a2 Ù a + 1 ako je a = Ù2 10.
( -3 a 3 ) × ( -2 a 3 ) × a 0
a) 2 ñ 2 ñ 2ñ 2 ñ 2 b) 3a ñ 3a ñ 3a d) (2a Ù b)(2a Ù b)(2a Ù b)
c) (Ù3xy) (Ù3xy) e) (p + q Ùr)(p + q Ùr)
3
Linearna funkcija
217
5. LINEARNA FUNKCIJA
5.1.
y = kx + n
FUNKCIJA
k x obrnuta proporcionalnost. Funkcija zadata formulom y = kx + n, k,nÎR, gde je x nezavisno promenljiva, naziva se linearna funkcija. Kako izraz kx + n ima smisla za proizvoljan broj x, to oblast definisanosti linearne funkcije mo`e biti skup realnih brojeva R.
Upoznali smo funkcije izra`ene formulom y = kx direktna proporcionalnost, i y =
Primer 1: Data je funkcija y = 3x Ù 2. Na|imo vrednost funkcije za vrednost nezavisno promenljive: íÙ2, Ù1, 0, 1, 2ý. Iz formule y = 3x Ù 2 dobijamo: y(Ù2) = Ù8, y(Ù1) = Ù5, y(0) = Ù2, y(1) = 1, y(2) = 4 Ovo mo`emo prikazati tablicom: x
Ù2
Ù1
0
1
2
y
Ù8
Ù5
Ù2
1
4
ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD 1.
Koja je od datih funkcija linearna: 1 b) y - 5 x = 0 a) y = - x 15 e) 3 + x2 Ù (x + 1)2
2.
3. 4. 5.
f) y =
c) y = x2 Ù 2x 3 x
g) y =
d) y =
2 5 x3 6
2 3 x+ 2 3
Funkcija y = f(x) data je formulom f(x) = 5x + 1 odredi: a) f(0) + f(1) b) f(Ù1) Ù 5 ñ f(Ù3) c) f(x+1) d) f(f(Ù2)) e) f(f(x)) g)* f(f(x + 1)) 5 æ4 ö Ako je f(x) = x + 2 na}i: a) f(4a) + f(Ù4a) b) f ç a - 1 ÷ 4 5 è ø Odredi k (koeficjent proporcionalnosti) i n (slobodan ~lan) linearnim funkcijama iz zadatka 1. Napi{i funkciju u implicitnom obliku: 5 1 a) y = Ù2x Ù 1 b) x Ù y = 5 c) x = y d) y = x + 4 2
M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
218
Funkcija je data u implicitnom obliku. Odredi k i n: a) 2x + 3y Ù 5 = 0 b) x Ù 7y + 4 = 0
6.
c) 3x Ù 6y + 9 = 0 3 Koja od ta~aka pripada funkciji y = f(x) ako je f(x) = - x + 1 ta~ke: 5 2ö æ1 ö æ æ 5 4ö A(5, Ù2); B(0, Ù2); C ç 1, Fç - , ÷; D ç , 3 ÷; E(0, 1); ÷ 5ø è2 ø è è 4 3ø
7.
8.
Odredi k i n tako da grafik funkcije y = kx + n sadr`i ta~ke A(0, 2); B(Ù1, 2)
9.
Za funkciju f(x) = (a Ù 3)x + a odredi parametar a tako da grafik funkcije sadr`i ta~ku A(3, Ù1)
10. Za xÎíÙ2, Ù1, 0, 1, 2ý odredi vrednosti y (funkcije) y = Ù3x + 2. 11. Odredi vrednosti parametara m tako da funkcija (m Ù 1)x + (3m + 4)y Ù m + 2 = 0 sadr`i koordinatni po~etak. 12. Data je funkcija y = (p Ù 4)x + (3p Ù 10) odredi p tako da funkciji pripada ta~ka: a) M(1, 2) b) N(Ù1, 3) 13. Funkciji y = kx + 7 pripada ta~ki A(Ù1, Ù3) da li ta funkcija sadr`i ta~ku B(4, 47) 14. Popuni tablicu i napi{i formulu zavisnosti a) b) Ù2
x
Ù1
y
0
1
1
3
17 2
x
Ù8
Ù1
0
5
9
15. Data je funkcija x Ù 2y Ù 1 = 0, napisati je u eksplicitnom obliku odrediti vrednost X ako je yÎíÙ5, Ù3, Ù1, 0, 1, 2, 4, 6ý RE[ENJA 1.
a) b) d) e) y = 3 + x2Ù x2 Ù 2x Ù 1 = Ù 2x + 2
2.
a) b) c) d) e) g)
3.
g)
f(0) = 5 ñ 0 + 1 = 1 f(1) = 5 ñ 1 + 1 = 6 Þ f(0) + f(1) = 1 + 6 = 7 f(Ù1) Ù 5 ñ f(Ù3) = Ù4 Ù 5 ñ (Ù14) = Ù 4 + 70 = 66 f(x + 1) = 5 ñ (x + 1) + 1 = 5x + 6 f(f(Ù2)) = f(5 ñ (Ù2) + 1) = f(Ù9) = 5 ñ (Ù9) + 1 = Ù44 f(f(x)) = f(5x + 1) = 5 ñ (5x + 1) + 1 = 25x + 6 f(f(x + 1)) = f(5x + 6) = 5 ñ (5x + 6) + 1 = 25x + 31 5 b) a) f(4a) = ñ 4a + 2 4 5 æ4 5 8 3 æ4 ö ö fç a÷ - 1 = × ç a - 1÷ + 2 = a - + = a + 5 4 5 4 4 4 è ø è ø f(4a) = 5a + 2 f(Ù4a) = Ù5a + 2 f(4a) + f(Ù4a) = 4
LITERATURA 1.
Adna|evi} D., Mili} D., Matematika za VII i VIII razred osnovne {kole, Zavod za izdavanje ud`benika i nastavnih sredstava, Beograd, 1988.
2.
Alendorfer K., Okli K., Principles od Mathematics, u prevodu, Beograd, 1966.
3.
Antonov, P. N., Vìgodski, A. M., Nikitin B. B., Sankin A. M., Sbornik zada~ po ÕlementarnoŸ matematike, Moskva 1964.,
4.
Apsen B., Repetitorij elementarne matematike, Tehni~ka knjiga, Zagreb, 1970.
5.
Bandi} I., ^anak B., Matematika za III i IV godinu osnovnog obrazovanja odraslih, Zavod za izdavanje u~ila SRS, Beograd, 1964.
6.
Breard C., Mathematiques 2e, Paris 1969.
7.
Budirov, S., Frorov V., Sbornik ot zada~ za matemati~eski olimpiadi, SofiÔ, 1966.
8.
Demidov I.T., OsnovanÔ arifmetiki, Moskva, 1963.
9.
Dubreil P., Alg›bre, Paris, 1954.
10. Kre~mar, V. A., Zada~nik po algebre, Moskva 1968. 11. Kuçenko B. S., Sbornik konkursnìh zada~ po matematike, Leningrad, 1964. 12. Lespinard V., Pernet R., Algebre classe de premiere A' Þ C Þ M Þ M', Lyon 1961. 13. Matemati~ki listovi od 1985-1999. godine; Savez dru{tava matemati~ara Jugoslavije - Srbije 14. Sierpinski W., Elementary Theory of Numbers, Warszawa, 1964. 15. Hardy G.H. and Wright E.M., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford, 1954. 16. Combes, A., Exercies et problems de Mathematiques, Paris 1968.
View publication stats
Zbirka zadataka iz matematike za VII i VIII razred sa teorijskim osnovama i rešenjima Book · January 2001
CITATIONS
READS
0
2,447
2 authors, including: Kuka Miroslav University "St. Kliment Ohridski" - Bitola 146 PUBLICATIONS 105 CITATIONS SEE PROFILE
All content following this page was ed by Kuka Miroslav on 11 December 2015. The has requested enhancement of the ed file.
Mr Miroslav Kuka Vesna M. Mijailovi}
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE za VII I VIII razred sa teorijskim osnovama i re{enjima
Autori: Miroslav Kuka, Vesna Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike za VII i VIII razred sa teorijskim osnovama i re{enjima Prvo izdanje Izdava~: autori Za izdava~a: Miroslav Kuka Recenzenti:
dr Miroslav Star~evi}, redovni profesor Rudarsko-geolo{kog fakulteta u Beogradu,
dipl. in`enjer Mi{a Milojevi}, profesor u O[ "Vasa ^arapi}" u Beogradu, Olivera Todorovi}, nastavnik u O[ "Josif Pan~i}" u Beogradu Kompjuterska obrada teksta i prelom: Zlatko Leki} Izrada crte`a: ing. informatike Vera Stojanovi} Lektura i korektura: Ljiljana Milojevi} Priprema za {tampu: dipl. astrofizi~ar Tatjana Milovanov Idejno re{enje i dizajn korica: Autori [tampa: "Janus", Beograd CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna Biblioteka Srbije, Beograd 372.851(075.2) (076) KUKA, Miroslav Zbirka zadataka iz matematike : za VII i VIII razred : sa teorijskim osnovama i re{enjima / Miroslav Kuka, Vesna Mijailovi}. - (1. izd. 1. - Beograd : M. Kuka : V. Mijailovi}, 2001 (Beograd : Janus). - 263 str. : graf. prikazi : 24 cm Tira` 1000. - Bibliografija: str. [264]. ISBN 86-902231-3-4 1. Mijailovi}, Vesna ID=92939276
PREDGOVOR
Ovom zbirkom zadataka obuhva}eno je celokupno gradivo matematike koje u~enici treba da savladaju u osnovnoj {koli, na nivou VII i VIII razreda. Posebno smo obratili pa`nju da sadr`aji zadataka u~enicima budu pristupa~ni, tako da pomo}u njih mogu da shvate pojedine matemati~ke zakonitosti, njihovu me|usobnu povezanost, svakodnevnu primenljivost itd. S obzirom na namenu, svaki zadatak u ovoj zbirci ima re{enje. U ve}ini re{enja je pored toga ostalo ne{to nedore~eno, tako da }e u~enik imati svuda po ne{to da zaklju~i sam. Ovakav na~in re{avanja zadataka trebalo bi uvek primenjivati, jer se tako uveliko umanjuju kumulativne gre{ke pri ra~unanju, {to je na svim, a posebno na osnovno{kolskom uzrastu ~esta pojava. Zbirka je koncepcijski zami{ljena i kao priru~nik sa teorijskim uvodom svake od obuhva}enih matemati~kih celina, {to sa svoje strane, po mi{ljenju autora, pored homogenizacije gradiva i njima komplementarnih zadataka, inicira i razvija interesovanje u~enika za tako koncipirane sadr`aje. Na kraju smatramo svojim prijatnim dugom da se najsrda~nije zahvalimo svojim porodicama, recenzentima, prof. Verici Radojkovi}, dipl. astrofizi~aru Tatjani Milovanov, ing. informatike Veri Stojanovi}, Zlatku Leki}u i Ljiljani Milojevi} na podr{ci, sugestijama i tehni~koj realizaciji ovako koncipirane zbirke zadataka.
Autori
SADR@AJ VII RAZRED 1. REALNI BROJEVI 1.1.
KVADRAT RACIONALNOG BROJA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. Zadaci za samostalan rad..................................................................... Re{enja ..................................................................................................
1.2.
3 4 5
RE[ENJE JEDNA^INE x2=a, (a ≥ 0). KVADRATNI KOREN. IRACIONALNI BROJ Teorijske osnove sa primerima ............................................................. Zadaci za samostalan rad..................................................................... Re{enja ..................................................................................................
1.3.
REALNI BROJEVI. BROJEVNA PRAVA. JEDNAKOST
1.4.
PRIBLI@NA VREDNOST REALNOG BROJA
7 8 9
a2 = a
Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 12 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 14 Re{enja .................................................................................................. 15 1.5.
OSNOVNA SVOJSTVA OPERACIJA SA REALNIM BROJEVIMA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. Zadaci za samostalan rad..................................................................... Re{enja .................................................................................................. Skup realnih brojeva (dodatak)............................................................ Re{enja ..................................................................................................
16 17 18 18 19
2. PITAGORINA TEOREMA I NJENA PRIMENA 2.1. 2.2.
PITAGORINA TEOREMA PRIMENA PITAGORINE TEOREME Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 21 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 23 Re{enja .................................................................................................. 24
2.2.1 2.2.2.
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGAONIK Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 29 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 30 Re{enja .................................................................................................. 31
2.2.3.
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI I JEDNAKOSTRANI^NI TROUGAO Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 33 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 35 Re{enja .................................................................................................. 36
2.2.4. 2.2.5.
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KRUG Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 39 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 40 Re{enja .................................................................................................. 40
2.2.6. 2.2.7.
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI I PRAVOUGLI TRAPEZ PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KOCKU I KVADAR Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 42 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 43 Re{enja .................................................................................................. 44
3. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZ 3.1. 3.2.
STEPEN ^IJI JE IZLO@ILAC PRIRODNI BROJ ALGEBARSKI IZRAZ. BROJNA VREDNOST IZRAZA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 48 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 50 Re{enja .................................................................................................. 51
3.3. 3.4.
MONOM. KOEFICIJENT POJAM POLINOMA. SVO\ENJE POLINOMA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 53 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 54 Re{enja .................................................................................................. 54
3.5. 3.6.
SABIRANJE MONOMA I POLINOMA ODUZIMANJE MONOMA I POLINOMA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 55 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 56 Re{enja .................................................................................................. 57
3.7. 3.8.
MNO@ENJE MONOMA I POLINOMA DELJENJE MONOMA I POLINOMA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 59 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 61 Re{enja .................................................................................................. 62
3.9. 3.10.
KVADRAT BINOMA I RAZLIKA KVADRATA RASTAVLJANJE POLINOMA NA ^INIOCE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 64 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 66 Re{enja .................................................................................................. 68
4. MNOGOUGAO 4.1. 4.2.
POJAM MNOGOUGLA I BROJ DIJAGONALA MNOGOUGLA UGLOVI MNOGOUGLA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 71 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 72 Re{enja .................................................................................................. 73
4.3. 4.4. 4.5. 4.6.
KONSTRUKCIJA PRAVILNIH MNOGOUGLOVA OBIM MNOGOUGLA POVR[INA MNOGOUGLA POVR[INA PRAVILNOG MNOGOUGLA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 75 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 80 Re{enja .................................................................................................. 81
5. KRUG 5.1.
CENTRALNI I PERIFERNI UGAO KRUGA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 87 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 87 Re{enja .................................................................................................. 88
5.2. 5.3.
OBIM KRUGA DU@INA KRU@NOG LUKA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 90 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 92 Re{enja .................................................................................................. 93
5.4.
POVR[INA KRUGA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 96 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 96 Re{enja .................................................................................................. 98
5.5. 5.6.
KRUG, KRU@NI ISE^AK, KRU@NI ODSE^AK, KRU@NI PRSTEN POVR[INA KRU@NOG ISE^KA I KRU@NOG PRSTENA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 100 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 101 Re{enja .................................................................................................. 102
Krug - razni zadaci ................................................................................ 103 Re{enja .................................................................................................. 104
6. NEKE OSNOVNE FUKCIJE 6.1.
PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM U RAVNI. KOORDINATNE TA^KE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 107 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 109 Re{enja .................................................................................................. 110
6.2.
FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI. TABLI^NO, ANALITI^KO I GRAFI^KO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJE DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 113 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 116 Re{enja .................................................................................................. 118 k x Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 120 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 121 Re{enja .................................................................................................. 122
6.3.
OBRNUTA PROPORCIONALNOST, FUNKCIJA y=
6.4.
PROPORCIJA I NJENA PRIMENA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 125 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 125 Re{enja .................................................................................................. 126
7. SLI^NOST 7.1. 7.2.
MERENJE DU@I, SMERLJIVE I NESMERLJIVE DU@I RAZMERA DU@I. PROPORCIONALNE DU@I Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 130 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 131 Re{enja .................................................................................................. 132
7.3.
TALESOVA TEOREMA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 134 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 135 Re{enja .................................................................................................. 136
7.4.
SLI^NOST TROUGLOVA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 138 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 140 Re{enja .................................................................................................. 142
VIII RAZRED 1. TA^KA, PRAVA I RAVAN 1.1. 1.2.
ODNOS TA^KE I PRAVE, TA^KE I RAVNI, ODRE\ENJA PRAVE I ODRE\ENOST RAVNI ODNOS RAVNI I PRAVE, ODNOS PRAVIH Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 151 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 154 Re{enja .................................................................................................. 155
1.3. 1.4.
ORTOGONALNA PROJEKCIJA DIEDAR I ROGALJ Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 157 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 160 Re{enja .................................................................................................. 161
2. LINEARNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM 2.1. 2.2.
LINEARNE JEDNA^INE (OP[TI POJMOVI). EKVIVALENTNE JEDNA^INE RE[AVANJE LINEARNE JEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM I NJENA PRIMENA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 164 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 167 Re{enja .................................................................................................. 169
2.3. 2.4.
LINEARNE NEJEDNA^INE (OP[TI POJMOVI). EKVIVALNETNE NEJEDNA^INE RE[AVANJA LINEARNE NEJEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 176 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 177 Re{enja .................................................................................................. 179
3. PRIZMA 3.1.
OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 186 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 187 Re{enja .................................................................................................. 187
3.2.
POVR[INA I ZAPREMINA PRIZME Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 189 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 189 Re{enja .................................................................................................. 192
4. PIRAMIDA 4.1.
OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 202 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 203 Re{enja .................................................................................................. 203
4.2.
POVR[INA I ZAPREMINA PIRAMIDE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 207 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 207 Re{enja .................................................................................................. 209
5. LINEARNA FUNKCIJA 5.1.
FUNKCIJA y=kx + n Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 217 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 217 Re{enja .................................................................................................. 218
5.2.
GRAFIK LINEARNE I NULA FUNKCIJE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 220 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 222 Re{enja .................................................................................................. 225
5.3.
GRAFI^KO PRIKAZIVANJE STATISTI^KIH PODATAKA, SREDNJE VREDNOSTI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 234 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 235 Re{enja .................................................................................................. 236
6. SISTEM LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE 6.1.
RE[ENJE I EKVIVALENTNOST SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 238 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 240 Re{enja .................................................................................................. 241
6.2.
GRAFI^KI NA^IN RE[AVANJA SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 243 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 244 Re{enja .................................................................................................. 245
6.3.
METODE RE[AVANJA SISTEMA DVE LINEARNE JEDNA^INE SA DVE NEPOZNATE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 247
Zadaci za samostalan rad..................................................................... 248 Re{enja .................................................................................................. 249 6.4.
PRIMENA SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 252 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 252 Re{enja .................................................................................................. 253
7. VALJAK 7.1.
OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 258 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 258 Re{enja .................................................................................................. 259
7.2.
POVR[INA I ZAPREMINA VALJKA Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 262 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 262 Re{enja .................................................................................................. 264
8. KUPA 8.1.
OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 271 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 271 Re{enja .................................................................................................. 272
8.2.
POVR[INA I ZAPREMINA KUPE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 274 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 275 Re{enja .................................................................................................. 276
9. LOPTA 9.1.
OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 282 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 282 Re{enja .................................................................................................. 282
9.2. POVR[INA I ZAPREMINA LOPTE Teorijske osnove sa primerima ............................................................. 283 Zadaci za samostalan rad..................................................................... 283 Re{enja .................................................................................................. 284
ZA[TO I KAKO RADITI ZADATKE IZ MATEMATIKE? Poznavanje neke nau~ne discipline ne sastoji se u tome da se zapamte ili reprodukuju opisi pojava i formulacije njihovih zakonitosti, ve} u sposobnosti da se na osnovu tih zakonitosti mogu re{avati konkretni problemi. U tome i jeste razlika izme|u stru~nog i lai~kog znanja. Dakle, samo izradom zadataka i primenom teorije koja prethodno mora biti usvojena ({to je preduslov da se zadaci uop{te mogu re{iti), mogu}e je kod u~enika u {kolskom procesu posti}i ono ~emu se i te`i: da se znanje koje je usvojeno pravilno i efikasno upotrebi, da se pove`u i shvate pojmovi, da se koriste}i postoje}e znanje iniciraju ideje za nova otkri}a itd. Proces re{avanja zadataka u velikoj meri je sli~an istra`iva~kom radu. Sli~nost je u tome {to se u oba slu~aja do rezultata dolazi na osnovu odgovaraju}ih znanja, uo~avanja bitnih elemenata problema, logi~kog razmi{ljanja i zaklju~aka, pri ~emu i ma{ta mo`e da ima presudnu ulogu. Drugim re~ima, re{avanje zadataka - problema sadr`i u ve}oj ili manjoj meri elemente kreativnosti, {to predstavlja dodatnu, veoma va`nu komponentu procesa obrazovanja. Ali, vratimo se postavljenom pitanju: kako i na koji na~in raditi zadatke iz matematike? ^itanje (i to vrlo pa`ljivo) zadataka jedan je od osnovnih preduslova da se zadatak pravilno re{i. Ponekad je potrebno zadatak pro~itati i vi{e puta da bi se shvatilo {ta je u zadatku poznato, a {ta je potrebno izra~unati. Rezultat pravilnog ~itanja zadatka treba da bude shvatanje o kakvom se problemu radi, {ta je u okviru njega poznato, a {ta treba odrediti. Pravilno postaviti zadatak, tj. navesti poznate veli~ine i njihove brojne vrednosti, kao i veli~ine kojima treba odrediti brojnu vrednost. Me|u datim veli~inama uspostaviti matemati~ke relacije ~ijim re{enjem dolazite do izraza koji predstavlja op{te re{enje, iz koga se, zamenom brojnih podataka, izra~unava kona~an rezultat. Nacrtati sliku kojom bi se predstavio problem, jer ona ~esto omogu}ava da se mnogo lak{e vidi ono {to se "napamet" te`e shvata i primenjuje. Biti uveren u svoje sposobnosti primene nau~enog i potvr|ivati ih na svakom konkretnom primeru. Nadamo se da smo ovom kratkom analizom za{to i kako raditi zadatke bar malo pomogli u te`nji da se shvati uloga i zna~aj pravilne izrade zadataka iz matematike. Jedino {to se od u~enika o~ekuje jeste da ulo`e ve}i napor da usvojena teorijska znanja na ~asovima oplemene kroz ra~unske zadatke za samostalan rad. Unapred se radujemo njihovom uspehu.
M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
48
3. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZ 3. 1.
STEPEN ^IJI JE IZLO@ILAC PRIRODNI BROJ
Proizvod istih ~inilaca u skupu prirodnih brojeva zapisuje se kra}e u obliku stepena: a ñ a ñ a . . . . a = an. Broj a je osnova stepena, a n je izlo`ilac stepena an. Ako je n = 1, pisa}emo a1= a. Svojstva stepena 1) Za svaki broj a i prirodne brojeve m i n va`i: am ñ an=am+n Proizvod datih stepena jednakih osnova jednak je stepenu iste osnove kome je izlo`ilac zbir izlo`ilaca datih stepena. Primer 1: a7 ñ a5=a7+5=a12 (m6 ñ m3)m2=m6 ñ m3 ñ m2=m6+3+2=m11 (Ùn)7 ñ (Ùn)3=n7+3=n10 Ùt3 ñ (Ùt)4=Ùt3 ñ t4=Ùt3+4=Ùt7 2) Za svaki broj a i prirodne brojeve m i n va`i: (am)n =amn Stepen stepena date osnove jednak je stepenu iste osnove kome je izlo`ilac proizvod izlo`ilaca. Primer 2: (a7)3 = a7ñ3 = a21
[(-m) ] = ( m ) = m = m [(-n) ] = -n = -n = n 2
3
7
4
2
3ñ 4
7
2ñ 7
12
14
12
Ukoliko je osnova stepena negativna (Ùa), a izlo`ilac paran broj 2,4,6, . . . njihov proizvod je pozitivan (Ùa)2=a2 Ù pravilo proizvoda brojeva 3) Za prirodni broj n va`i: (a ñ b)n=an ñ bn Stepen datog proizvoda jednak je proizvodu stepena ~inilaca datog proizvoda. Primer 3: (3a)2=32 ñ a2=9a2 (Ù5t)2=(Ù5)2 ñ t2=25t2 =(Ù4x5y7)3 = (Ù4)3ñ x5ñ3 ñ y7ñ3 = Ù64 x15 y21 n an æaö 4) Za prirodan broj n va`i: ç ÷ = n b èbø
Racionalni algebarski izraz
49
Stepen datog razlomka jednak je razlomku kome su brojilac i imenilac stepeni brojioca i imenioca datog razlomka. Primer 4: 2 32 9 æ3ö ç ÷ = 2 = 16 4 è4ø 2
æ6ö 6 2 36 çç ÷÷ = = y2 y2 è yø 2 t2 æ tö ç- ÷ = 25 è 5ø 5) Za a ¹ 0 i prirodne brojeve m i n (m>n) va`i: am:an=amÙn. Koli~nik stepena jednakih osnova, pozitivnih ili negativnih, jednak je stepenu iste osnove kome je izlo`ilac razlika izlo`ioca deljenika i izlo`ioca delioca. Primer 5: a7:a5=a7Ù5=a2 Ùn6:(Ùn)3=n6:Ùn3=Ùn6Ù3=Ùn3 6) Za svaki broj a koji nije 0 : a0=1. 7) Za svaki broj a koji nije 0 i svaki prirodni broj n : aÙn =
3. 2.
1 . an
ALGEBARSKI IZRAZ. BROJNA VREDNOST IZRAZA
Kada se u jednom algebarskom izrazu umesto op{tih brojeva (slova) uvrste njihove date brojne vrednosti, dobije se jedan brojni (numeri~ki) izraz. Na primer, kada se u izraz (a+b)2, koji predstavlja obim pravougaonika, uvrsti a=5 i 1 1ö æ b=4 dobije se brojni izraz ç 5 + 4 ÷ × 2 . 2 2ø è Izra~unata vrednost ovog brojnog izraza naziva se brojna (numeri~ka) vrednost algebarskog izraza. 1 1ö æ Po{to je ç 5 + 4 ÷ × 2 = 19, brojna vrednost algebarskog izraza (a+b) ñ 2, za a=5 i b=4 2 2ø è iznosi 19. Na osnovu svega re~enog, pri izra~unavanju brojne vrednosti algebarskog izraza treba se dr`ati, uglavnom, ovih uputstava: a) Umesto op{tih brojeva uvrste se dati posebni brojevi. b) Ako u izrazu nema zagrada, onda se prvo mno`i i deli, a zatim se sabira i oduzima.
50
M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
c)
Kad u izrazu ima i zagrada, onda se prvo izvr{e ra~unske radnje ozna~ene zagradama, i to postepeno: najpre u maloj, zatim u srednjoj i najzad, u velikoj zagradi.
Primer 6: Treba odrediti obim komada zemlji{ta, oblika trougla, znaju}i da jedna strana iznosi a metara, druga je za 2 metra du`a od prve, a tre}a iznosi b metara. Na}i zatim brojnu vrednost obima, ako je a=6,5, b=8,75. Stranice trougla su a, a+2, b, a obim (zbir stranica) a+(a+2)+b. Brojna vrednost obima je 6,5+(6,5+2)+8,75=8,6+8,5+8,75=23,75 m. Primer 7: Izra~unati brojnu vrednost algebarskog izraza [2xÙ3(y+1)] ñ (zÙ4) ako je x=6, y=1, z=7. Najpre se izvr{i smena: [2 ñ 6 Ù 3(1 + 1)] ñ (7 Ù 4) = 6 ñ 3 = 18. GAUS Karl Fridrih (GauÔ, Carl Friedrich, 1777-1855), jedan od najve}ih matemati~ara svog vremena, istaknuti astronom i fizi~ar, profesor univerziteta, osniva~ ~uvene matemati~ke {kole i direktor nove astronomske opservatorije u Getingenu. Ve} u najranijoj mladosti objavio zna~ajne radove i nove metode u teoriji brojeva, algebri (dokaz tzv. osnovne teoreme algebre: svaka cela algebarska jedna~ina n-tog stepena ima n korena), geometriji (podela kruga na n jednakih delova pomo}u {estara i lenjira), analizi (teoriji redova); prona{ao je metodu najmanjih kvadrata, kojom se izravnavaju eksperimentalni podaci, stvorio teoriju povr{i i vi{u geodeziju, i dr. Prona{ao je metodu za odre|ivanje putanje tek otkrivenog asteroida Ceresa na osnovu tri bliska posmatranja, omogu}iv{i time njegovo ponovno opa`anje u slede}oj opoziciji.
ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD 1.
Predstavi stepen u obliku proizvoda: a) 25 b) (3a)3 c) (Ù3xy)2 d) (2a Ù b)3 e) (p + q Ù r)2 2 3 0 3 2. Usmeno izra~unaj: a) 5 b) 3 c) 100 ; d) 4 3 2 1 1 æ ö æ ö e) ç - ÷ f) ç - ÷ g) (Ù1)100 + (Ù1)51 h) (Ù2)2 Ù (Ù2)3 è 2ø è 3ø 3. Izra~unaj: 2 1 æ 1ö a) (Ù2)3 + (Ù32) Ù 2 + 2 3 + ç - ÷ 2 è 2ø 4 : 92 ñ (Ù3)4 + 27 ñ 3 b) (Ù3)
Racionalni algebarski izraz
4.
a)
( 2 3 × 3 3 - 6 2 ) × æçè 12 ö÷ø
æ 1ö b) ç - ÷ è 2ø
3
51 2
2
æ1ö ×ç ÷ è3ø 2 1 1 1 ö æ ö æ ×ç- ÷ : ç 2 × 4 ÷ è 4ø è2 2 ø 17 4 2 5 ñ4 3 (-2) : 4 8 2 ñ2 (-8) 3
5.
Izra~unaj:
6.
Uprosti izraz: 4 2x3 × 8x6 a) 32 x 7 Uporedi: a) 216 * 164
7. 8.
(
Izra~unaj: d)
9.
)
2 5 × 125 4
5 × 11 3 a) 55
2
b)
11. 12. 13. 14.
-3 a 7 30 b) 16 * 840
27 7 × 2 2 b) 5 2 × 12 6 64 2 × 16 3 e) 8 15 2 ×4
c)
( x 3n+ 2 ) × ( x n+1 ) 2
c) 3105
*
x 6n-1 × x n+ 5
950
(2 3 ) × (- 3 2 ) c) 4
8 × 32
3 2 2 - x ako je x = Ù0,75 4 3 Uporedi A i B ako je x = 6 Ù ½Ù2 Ù2 ñ½3 Ù 6 úú y = 0,6 : (Ù0,3) A = x2 y Ù x3 +2x3ñy B = yx2 Ù y3 + 2xy3 2 2 Izra~unaj polovinu razlike kvadrata broja x i broja ako je x = Ù1 . 3 3 Od zbira kvadrata brojeva p i q oduzeti razliku kvadrata datih brojeva ako je p = Ù1,234 a q = 2,5 Odredi 40% razlike kvadrata brojeva a i b, ako je a = Ù2 b = Ù3 Izra~unaj: 1 x2 + 2 + x0 x a) , x ¹ 0, x = 2 1 4+ +1 4 x2 × x5: x7 x=5 b) 20 -1 2 1 - 4 x 2 (2 x - 1) c) x = Ù0,25 : x2 - 4x x2 -1 b) 3
RE[ENJA 1.
2
æ1ö ç ÷ × 30 4 è3ø Izra~unaj vrednost izraza:
a) 3a2 Ù a + 1 ako je a = Ù2 10.
( -3 a 3 ) × ( -2 a 3 ) × a 0
a) 2 ñ 2 ñ 2ñ 2 ñ 2 b) 3a ñ 3a ñ 3a d) (2a Ù b)(2a Ù b)(2a Ù b)
c) (Ù3xy) (Ù3xy) e) (p + q Ùr)(p + q Ùr)
3
Linearna funkcija
217
5. LINEARNA FUNKCIJA
5.1.
y = kx + n
FUNKCIJA
k x obrnuta proporcionalnost. Funkcija zadata formulom y = kx + n, k,nÎR, gde je x nezavisno promenljiva, naziva se linearna funkcija. Kako izraz kx + n ima smisla za proizvoljan broj x, to oblast definisanosti linearne funkcije mo`e biti skup realnih brojeva R.
Upoznali smo funkcije izra`ene formulom y = kx direktna proporcionalnost, i y =
Primer 1: Data je funkcija y = 3x Ù 2. Na|imo vrednost funkcije za vrednost nezavisno promenljive: íÙ2, Ù1, 0, 1, 2ý. Iz formule y = 3x Ù 2 dobijamo: y(Ù2) = Ù8, y(Ù1) = Ù5, y(0) = Ù2, y(1) = 1, y(2) = 4 Ovo mo`emo prikazati tablicom: x
Ù2
Ù1
0
1
2
y
Ù8
Ù5
Ù2
1
4
ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD 1.
Koja je od datih funkcija linearna: 1 b) y - 5 x = 0 a) y = - x 15 e) 3 + x2 Ù (x + 1)2
2.
3. 4. 5.
f) y =
c) y = x2 Ù 2x 3 x
g) y =
d) y =
2 5 x3 6
2 3 x+ 2 3
Funkcija y = f(x) data je formulom f(x) = 5x + 1 odredi: a) f(0) + f(1) b) f(Ù1) Ù 5 ñ f(Ù3) c) f(x+1) d) f(f(Ù2)) e) f(f(x)) g)* f(f(x + 1)) 5 æ4 ö Ako je f(x) = x + 2 na}i: a) f(4a) + f(Ù4a) b) f ç a - 1 ÷ 4 5 è ø Odredi k (koeficjent proporcionalnosti) i n (slobodan ~lan) linearnim funkcijama iz zadatka 1. Napi{i funkciju u implicitnom obliku: 5 1 a) y = Ù2x Ù 1 b) x Ù y = 5 c) x = y d) y = x + 4 2
M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
218
Funkcija je data u implicitnom obliku. Odredi k i n: a) 2x + 3y Ù 5 = 0 b) x Ù 7y + 4 = 0
6.
c) 3x Ù 6y + 9 = 0 3 Koja od ta~aka pripada funkciji y = f(x) ako je f(x) = - x + 1 ta~ke: 5 2ö æ1 ö æ æ 5 4ö A(5, Ù2); B(0, Ù2); C ç 1, Fç - , ÷; D ç , 3 ÷; E(0, 1); ÷ 5ø è2 ø è è 4 3ø
7.
8.
Odredi k i n tako da grafik funkcije y = kx + n sadr`i ta~ke A(0, 2); B(Ù1, 2)
9.
Za funkciju f(x) = (a Ù 3)x + a odredi parametar a tako da grafik funkcije sadr`i ta~ku A(3, Ù1)
10. Za xÎíÙ2, Ù1, 0, 1, 2ý odredi vrednosti y (funkcije) y = Ù3x + 2. 11. Odredi vrednosti parametara m tako da funkcija (m Ù 1)x + (3m + 4)y Ù m + 2 = 0 sadr`i koordinatni po~etak. 12. Data je funkcija y = (p Ù 4)x + (3p Ù 10) odredi p tako da funkciji pripada ta~ka: a) M(1, 2) b) N(Ù1, 3) 13. Funkciji y = kx + 7 pripada ta~ki A(Ù1, Ù3) da li ta funkcija sadr`i ta~ku B(4, 47) 14. Popuni tablicu i napi{i formulu zavisnosti a) b) Ù2
x
Ù1
y
0
1
1
3
17 2
x
Ù8
Ù1
0
5
9
15. Data je funkcija x Ù 2y Ù 1 = 0, napisati je u eksplicitnom obliku odrediti vrednost X ako je yÎíÙ5, Ù3, Ù1, 0, 1, 2, 4, 6ý RE[ENJA 1.
a) b) d) e) y = 3 + x2Ù x2 Ù 2x Ù 1 = Ù 2x + 2
2.
a) b) c) d) e) g)
3.
g)
f(0) = 5 ñ 0 + 1 = 1 f(1) = 5 ñ 1 + 1 = 6 Þ f(0) + f(1) = 1 + 6 = 7 f(Ù1) Ù 5 ñ f(Ù3) = Ù4 Ù 5 ñ (Ù14) = Ù 4 + 70 = 66 f(x + 1) = 5 ñ (x + 1) + 1 = 5x + 6 f(f(Ù2)) = f(5 ñ (Ù2) + 1) = f(Ù9) = 5 ñ (Ù9) + 1 = Ù44 f(f(x)) = f(5x + 1) = 5 ñ (5x + 1) + 1 = 25x + 6 f(f(x + 1)) = f(5x + 6) = 5 ñ (5x + 6) + 1 = 25x + 31 5 b) a) f(4a) = ñ 4a + 2 4 5 æ4 5 8 3 æ4 ö ö fç a÷ - 1 = × ç a - 1÷ + 2 = a - + = a + 5 4 5 4 4 4 è ø è ø f(4a) = 5a + 2 f(Ù4a) = Ù5a + 2 f(4a) + f(Ù4a) = 4
LITERATURA 1.
Adna|evi} D., Mili} D., Matematika za VII i VIII razred osnovne {kole, Zavod za izdavanje ud`benika i nastavnih sredstava, Beograd, 1988.
2.
Alendorfer K., Okli K., Principles od Mathematics, u prevodu, Beograd, 1966.
3.
Antonov, P. N., Vìgodski, A. M., Nikitin B. B., Sankin A. M., Sbornik zada~ po ÕlementarnoŸ matematike, Moskva 1964.,
4.
Apsen B., Repetitorij elementarne matematike, Tehni~ka knjiga, Zagreb, 1970.
5.
Bandi} I., ^anak B., Matematika za III i IV godinu osnovnog obrazovanja odraslih, Zavod za izdavanje u~ila SRS, Beograd, 1964.
6.
Breard C., Mathematiques 2e, Paris 1969.
7.
Budirov, S., Frorov V., Sbornik ot zada~ za matemati~eski olimpiadi, SofiÔ, 1966.
8.
Demidov I.T., OsnovanÔ arifmetiki, Moskva, 1963.
9.
Dubreil P., Alg›bre, Paris, 1954.
10. Kre~mar, V. A., Zada~nik po algebre, Moskva 1968. 11. Kuçenko B. S., Sbornik konkursnìh zada~ po matematike, Leningrad, 1964. 12. Lespinard V., Pernet R., Algebre classe de premiere A' Þ C Þ M Þ M', Lyon 1961. 13. Matemati~ki listovi od 1985-1999. godine; Savez dru{tava matemati~ara Jugoslavije - Srbije 14. Sierpinski W., Elementary Theory of Numbers, Warszawa, 1964. 15. Hardy G.H. and Wright E.M., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford, 1954. 16. Combes, A., Exercies et problems de Mathematiques, Paris 1968.
View publication stats
Related Documents 171j1w
Matematika 1q5y29
September 2020 0
Matematika 1q5y29
November 2019 172
Makalah Matematika Tentang Logika Matematika 15x1d
January 2022 0
Kamus Matematika 495p47
November 2019 78
Logika Matematika 4f2r4
April 2020 35