Matematicas Discretas h492b

<-a= ) a ) I b . Vcamris ahora cl recíproco, es decir, si a 5 b y -a 5 b entonces 1 a 1 5 h. Pero esto es trivial ya que por la definiciiin de valor absoluto 1 a 1 = a 6 1 a 1 =-ayportanlo la1 c h .

1 Teoria Elemental de Números 1-1.9 Teorema (Algoritmo de la División) Sean a E Z y b E N.Entonccs cxisten nlimeros enteras q y r tales que ;i = h q + r con O I r < b. Adernas q y rson únicos.

Demostra Si b > suponemoi

Demostraci6n Sea bq el mayor mfiliiplo de b que es menor o igual que a: entonces

Unicos tale

Podemo Si definimos r = a

- hq, cntcinccs

así r y q s;itisfacen las condicioncs. Vamos a demostrar ahora Isi unicidad de q y r. Si suponcmtis quc existeii 1.1 y q,, r2 y qz con

llamando i son únicos

1-1.l 1 Ejemp ri)

Dac

C)

Dat

tendremos que b(q2 - q , ) = rl - rs, luegr} b 1 (rl-r2} y así por 5 de 1-1.7

Como O 5 rl < b y O 5 1.1 < ti es obvio que

que contiadice la desigualdad (1- I .C).I ), luego rl - r2 c l i =q?- +

-

0, así rl = r2 y

A los números a, b, q y r del teorcma ariicrior sc les suele divideirdo, divisor, cociente y resto.

d) riac llaiiiai.

e ) Dac 1-1.10 Corolario Dados dos critcros a y b con b * O entonces existen q y r tales que a = bq i- r donde O 5 r < 1 b 1. AdemAs q y r son úniclis.

Demostración Si b > O estamos en las hiphtesis del Teorema 1 - 1.9. Así pues suponcmcis b < 0, por tanlo -b > O y por cl Tcorcma ariicrior cxistcn q' y r

teros q y r l ~ l c quc s

unicos tales que que a; eritorices

u=(-b)q'+r

con O <(-b).

Pockrriris secscri bir esiiis expresiones eri la furmii a-b(-qt)+

r con O l r < ( - b j -

Ibl,

llamando q u -ql tcncmos quc a = bq + r con O 5 r < 1 h 1. Adcmiis q y r son Unicos ya que q' y r lo son.

+

Si suponemos que 1-1.1 1 Ejemplos U) Dados 3 y 7 sc licnc

b) Dados 7 y 3 se tiene

c)

Dados -15 y 8 se tiene

d) Dados -23 y -17 se tiene e les suele llamar

en q y r tales que

)S.

I

C)

Dados b = -7 y a = 1, -2, 6 1 y -59 sc licnc 1 = (--71.0 + 1 -2 = (-7). 1 + S

1 Teoría Elemental de Números

por tanto r Sea a ur decir 1-1.1 2 Ejemplo Demuéstrese a partir del Algoritmo de la nivisi6n que cl cuadrado dc todo níimero entero impar sc pucdc cscribir en la fui.rnsi 8k + 1.

Solucibn Por cl Algori imu de la Di visiori sabemos que para todo número entero a se tiene a - 4 . q + r donde O < r < 4 . Así pucs r solo puede toniar los valores 0, 1, 2 y 3. Por trinto todo

tiumei-ori es de la forma.

Hacienc

o, 1 , d Luego (

Los riúineros 4q = 2.2q y 4q + 2 = 3(2q + 1) son pares, por lo que siilo debemos considerar los números de la forma 4q + I y 4q + 3. iilevándolos al cuadradii iencmris cuando r n

(4q+ 1 ) 2 = 1 6 q 2 + ~ q +l = 8 ( 2 q 2 + l ) + l = 8 k + 1, 7

+

(4q+3)~=~6y'+74q+9=8(2q'+3q+1)+l=~k+l.

1-1.13 Elemplo DcrnuEstrese que si un nurnero entero es a 12 vez un cuadrado y un cubo etitonces se puede escribir en la forma 7k 6 7k + 1.

Solucidn Veamos primero un caso particular: cl númcro 64 cs un cuadrado 8' y uri cubo 43 y obviniiiente es de la forma 7k + 1. 64 = 7.9 + 1. Veamos ahora el caso general. Por. el Algoi-itn-iode la División cualquier número n se puede escribir de forma única

Análog;

Cuando r' :

y por tanto

I

1- 1 Algoritmos de División y Euclldes

n = 7 q + r donde O I r < 7 , pul.tanto r puede tomar los valorcs 0,1,2,3,4,5 y 6. Sea a un número entero tal que es un cuadrado y un cubo a 1ii vex, cs decir

que el cuadrado de a8k+ 1. l

lodo i.iU11ier~ueri1ei.u

3. Por

[arito lodo

Entonces x es de la forma 7q Desarrol lando el cuadrado,

+r

con las condiciones de arriba.

Haciendo r = O, 1,2, .... 6 obtenemos los siguientes viilurcs dc ?: I

0,1,4,

Y=7.1+2, 16=7.2+2, 2 5 = 7 . 3 + 4 , 36=7.5+ I

Luego (7q + rlZes un número de la foma Ies,por lo que solo

I + 1 y4q+3.

I

7k, 7k+ 1, 7 k t 4 , 7 k + 2 , 7 k + 2 , 7 k + 4 6 7 k + I cuando r recorre los valores 0,1,2,..,, 6. Anilogamentc y es de la foma 7q' + r'. Desarrollando el cubo tetiernos

Cuando r' = O , ] , 2 ,..,, 6 ,r1\lorna viilorcs

O, 1, 8=7.1 s un cuadrado 8' y = 7.9+ l . Veilinus n se puede escribir

+ 1,

3,7=7.3+6,

I

y por tanto (7qi + r' es un número dc la Iorms

9

64=7.9+1,

-

1 Teoría Elementel de Ndmeros 3 Corno a = x2 = vernos que las filmas de x2 e y sólo coinciden para 1. = S' = O y r = r' = 1 quc srin, respectivamente, 7k y 7k -t1 .

El Algoiitrno de la Divisihn cs muy iiriportantc para la dclcrrniniiciCiii dc propiedades de la divi si hilidud de enteros. Asociadti ;r cste nlgoi-jtmo se tieiie un operador llamado "MOD" (mhdulo) que aparece en la mayoría de los Icnguajes de programacihn. A continuacidn definimos esre operador y es1udianios ülgtinas de sus propiedades.

Demostra De las hi

l . Se tiene por tanto si S1 ir + t) 2 luego I

1-1.14 Definición Scan a y b números enteros con b # O. Sea a = bq Definimos el operador mtldulo LLMOD" por

+ r drindc O 5 1. c 1 b 1.

Así sc lient

2. Operand 1-1.15 Ejemplos Vatiios rt calcular el m4dulo en los casos del ejemplo 1-1.1 1. a) 3 M O D 7 = 3 . b) 7 M O D 3 = l .

c) (-15) MOD 8 = 1, d) (-23)MOD (-17) = 1 l . e} 1 M011 (-7) = 1, (-2) MOD (-7) = S , 61 MOD (-7) (-59) MOD (-7) = 4.

+

1-1.16 Propledades del operador MOD Sean a, h, i, d y iti números entert>sccon rn

-

5.

+ O.Si

1 -1.17 Ejempl en tonccs 1j (a +b) MOD m = (c td)MOD m. 2) (iib) MOD m = (cd) MOD In.

Dcrnuési uri multiplc Soluci6n a MOD : a cs un mú

610coinciden para r . +1.

+

ira la dctcrminación ido 5i este ulgori imo que aparece eri Iü inuación definimos :s.

Demostración De las hipotesis deduciinos que

+

1 . Se tiene que a + b = m(q, + q3) + (r + r') y c d = in(q2+ y4) + (1. + r'), por tanto si (r + r') < 1 m 1 se tiene que (a + b) MOD iii = (c + d ) MOD rn, Si (r + rl) 2 1 m 1, cntonccs por 1-1.9 (r + r') = mq* + r*. con r* < 1 m 1,

luego

Así sc licnc quc ( A + b) MOD m = (c + d ) M011 m. 2. Operando obtenemos ab = (rncl,

+ r)(mq3 + r') = mLqlq3 + itiq t.' + mq3r + rr' = mk + m',

cd = (mq2 + r)(inq4+ r') = 1lrq2qq+ mq2r1+ mqqr + rr' = mk' + n', 7

1 MOD (-7) = 5 ,

iazonando dc forma análoga al caso anterior se tiene que

(ab) MOD m = (cd)MOD m.

MOD m

1-1.17 Ejemplo Dcmuéslrcsc que dado un número entero a, entonces a, a + 1 6 a + 2 es un múltiplo de 3.

Solucidn a MOD 3 s61o puede s e r 0 , l Ó 2. Si aMOD 3 es O entonces a = 3q y a es un múliiplri dc 3. Si a MOD 3 =1 entonces a=3q+l y por tanto

-

1 Tmria EIemen tal de Números

i i + 2 = 3 q + 3 = 3 ( q + I), y a + 2 es múltiplo dc 3. Si a MOD 3 = 2 entonces a = 3y + 2 y, por tanto

y a + 1 es inúltiplo de 3. Ohs6rvcsc que hemos demostrado tarnhikn que dados tres enteros consecutivos, una y sólo uno de ellos es múltiplo de 3, ya quc hasta tori~al.corno a el menor de ellos. + 1-1.1 8 Ejemplo Dado un numero n vamos a demostrar quc no Iiay ningún n ~ m e r ode la fui-ina nZ + 1 que sea rnúltiplo de 7. Soluciiin Supongamos quc para algún n el número 'n + 1 es rnúitiplo de 7 ; cntonccs n2 + 1 = 7q y por tanto n2 = 7(q-1) + 6 . Es decir nZ MOD 7 = 6. Por otra parte observamos que n MOD 7 = (n MOD 7) MOD 7,

y por lanto

Sean a d 1 b. Ento I 1 n para 1 vacío. Si a comuncs c ellos cs dir

divisores t que los del

1-1.19 Deflnli Scan a J ydlb.Un

sid>Oy común dji muy frecui En el ca:

-

1-1-20 Ejempl a) Los 12, +3

rn.c.d.(t n2 MOD 7 = (n2 MOD 7) MOU 7 C)

Por la propiedad 2 de 1 - 1.16

Los

son k l , eI 3. As8

(n2 MOD 7) MOD 7 = (n MOD 7)2 MOL) 7 Luego basta estudiar 10s posibles (n MOD 712 MOD 7 y ver que ninguno es 6 . En ekcto

1-1.21 Oefinlc Se.an al divisor de divisor COI m.c.d.(at,.

-

-

1 I A igoritmos de Divisibn y Euclides

3q + 2 y, por tanto

:

ingún número de la

es multiplo de 7; :cir n2 MOD 7 = 6 .

Sean a y b números enteros. Sea d otro nCímero entero tal que d 1 a y d 1 h. Entonccs, diremos que d es un divisor común de a y b. Puesto que 1 1 n para todo eniero n, entonces cl conjunto de divisores de a y b es no vacío. Si a = b = O como cada entero divide a O cl ctinjunto de divisores comunes de íi y b es infinito. Supongamos entonces quc a1 menos uno de ellos es distinto de O. Entonces por la propiedad 7 de 1- 1.3 el conjunto dc divisores comiines es finito. En este conjunto existe un elemento mayor que 10s demhs al que llamaremos máxima comi~ndivisor de a y b. 1-1.1 9 Definición Sean a y b enteros. Un entero d # O es un divisor común dc a y h si d 1 a y d 1 b. Un di vi sur comUn de a y b sc llama mhimtl coitiríri divisar. de a y b si d > O y cada c o m h divisor de a y b divide también a d. Al tnaxiti~o común divisor de ri y b le designareinos por m.c.d,(a, b). Oiri nohcicin inuy frecuente para designar el rniximo común di visor de a y b es (a, b). En el caso que a = b = O cnionccs m.c.d.(0,0) = 0.

1-1.20 EJemplos

al T,osdivisoresdei(son t l , 1 2 , H y 18.Losdivisoresde6son11, .+3, 2 3 y 16. Por t a n t o los divisores comunes son 11, 12 y m.c.d.(6,8) = 3. b) Si ~ E y Za # Oentonces m.c.d.(a, 0) = 1 a 1.

c ) IAosdivisoresde-21 sonk1,*3, k7 y121. Los divisores& 12 son I1, +2, 13, &, 26 y i12. Vemos que el mayor divisor coinún es el 3. Así pues m.c.d.(-21, 12) = 3. 4

ID 7. 7

y ver que ninguno

1-1.21 Definlcidn Sean a l , a2,..., a,, ndmeros enteros. Llamaremos rrici.rirrio corriuri divisor de a l , a ~ , . . .an , al divisor común d > O tal que cualquier otro divisor común de a l , a?,..., a,divide tambikn a d. Se designará mediante m,c.d.(al ,.,., h).

1 Teorla EIemental de Números

Hemos visto en cl ejemplo c de 1-1.20 que m.c.d.(-21, 12) 3. Observemos quc -21.1 + 12.2= 3. El m.c.d.de -70 y S0cs 10. Pcidemos escribir 10 = 50.2 -t. (-301.3. Estos dos ejemplos muestran que cl m.c.d. de a y b puede expresarse como combinación lincal de a y b, para estos valores particulares de a y b. El si guienle Teorema nos dice que esto ocurre en gcncral. 2

Por tanti que d e s r Tenemos c

y por lo tar 1-1.22 Teorema Sean a y b enteros distintris de O , Entonces existe un Único d mhximci común divisor dc a y b, Además d es el entero positiva más pcqucño que pucdr: expresarse en la forma ax + by dondc x c y son nimeros enteros.

Demostraci6n Primero veanlos que siempre existe d y dcspués que d es unico. Sea M el siguicntc conjunto

Por ulli máximos c propiedad Id2I=Id1 así pues dl

1-1.23 Corola Sean a y existen ent

es decir, M es el conjunto dc las cutnbinaciones lineales positivas de a y b. El conjurilo M no es vacío ya que

Demostra Es conse

1-1.24 Ejempl

pertenece a M. Por el principio de la buena ordenacibn este conjunto tiene un primcr clcmento que designaremos por d. Como d E M cxisien XliY t E Z tales que

Dcm uksi m.c.d.(a, bl Solucibn Por el Cc

Supongamos que d no divide al número a, entonces por el algoritmo de la divisirin cxisliriin q y r tales que

a = d q + r con O c r c d ,

multiplicar

+

y por tanto r = ü - dq = a - (axl byl)q = a(l - x,q) + b(-ylq). Entonccs r c M ya que r > O. Como r < d hemos llegado a una contradiccihn con el hcchci de que d era el primer elemento de M.

Así pues

Por tanto d 1 a. Un argumento análogo pnieba que d 1 b. Veamos ahora que d es mA.rimo común divisi)r. Sea d' otro divisor común de a y b. Tenemos entonces que n = dlpLy b = d1p2.Así pucs

,.c.d.(-21, 12) = 3. 50 es 10. Podernos

b puede exprcsarsc particulares de a y

i

:rieral.

n Único d máximu

l 1

,omis pequeño que

in números enteros.

I

y por lo tanto d'1 d. Por ultimo veamos que d es iinico. Supongamos que hubiera dos máximos comunes divisores de a y b. Entonces dl 1 d2 y d2 1 d,. Por la propiedad 5 de 1-1.7 se tiene que ] dl 1 5 Id2 1 y 1 d2 1 I 1 dl I,cs decir 1 d2 1 = 1 d 1 . Por definici6n de máxjmu común divisor d > O y d2 > 0, asipues di = d2.

:d es único. 1-1.23 Corolario Sean a y b enteros distintos de O. Entonccs m.c.d.(a, b) = 1 si y s61o si exjstenenteros S y t talesqueas + bt- 1.

des positivas de a y

.ci6n este conjunto 3mo d E M existen

Es consccucncia inmediata del 'reorema an tenor.

+

1-1.24 Ejemplo Demuéstrese que si in.c.d.(a, b) = 1 y m.c.d.(a,c ) = l entonces m.c.d.(a,bc)= l . Solución Por el Corolario 1- 1.23 cxistcn números S, t y S', t' tales que 1 = a s + bt,

por e l algoritmo de

1 = as' + ct'

multiplicando ambas igualdades obienenios

b(-y lq). Entonces ~ntradiccióncon el

1 = (as + bt)(ast + ct') = a(ass' + sct' + bts') + bc(tt'). Así pues existen números enteros S" = ass'

+ sct' + bts'

y t"

-

tt' lalcs

t Teorh EIementsl de Números

que

y de aquii

Supong podernos i

1 = as" + hcl".

y por el Corolario 1-1.23, m.c.d.(a,hc) = 1.

+

Hemos visto cn 10s cjcrnplos 1- 1.20 tina forma de calcular el m.c.d. de dos númcrcis: sc hallan todos los divisorcv de ambos números y se toma el mayor del ~on~junto de divisorcs comunes. Este proceso puedc ser bastante largo si los números son muy grandes. Existe otro método, I lamado Algoiitmo de Euclidcs, que aparece desarrollado en c l Libro VI1 de los Elementos. Eiiclidcs fue un matemático griego del siglo 111a.c. del que no se conncc casi nada acerca de su vida cxcepto que vivió en Alejandría. Rccopiló en sus Elcmentris los conucirnientos de Geometría y l'eotía dc Niinieros de su tiempo. Estt: libro ha sido ~itilizadncomo lihm dc texto hasta comienxos del siglo XX. Euclides parti6 en sus Elenieritos de un conjunto de definiciones y axiomas, mitodo que ha se~.vidode modelo para los n:atemáticos posterir~rcs.El anfilisis y la ci*itícade estos axiomas han sido el punto de pariida para el desarrollo de la GeometrÍa moderna.

1-1-26Teorei El máxi es el mism Demostr; Sca a = la proposii los mismo iienen e 1 rr

1-1.27 Algoril Del Teti

del m.c.d. I

Antes de introducir estc Algoritmo necesitamos algunos resultados previos. 1-1.25 Proposición Dadcis dos núme.ros enteros a y b, con b $0. 1 .- Idosdivisores conlunes de a y b son divisores del resto r de la división de 5i por b. 2.- Los divisorcs comunes de b y del resto r son divisores de a.

Dados a y b se ticnc que existen q y r rales quc a = bq divisor dc a y b. Entonces a = cql y h =cq2. Por taiito

+ r. Sea c un

podemos s por h

7- 7 Algoritmos de División y Euclides y de aquí r = c(ql - q2q). Así pues c 1 r y hemos prohado l . Supongamos ahora que c 1 b y c 1 r. Por tanto b = cq, y r = cq2 y podemos escribir

le calcular el m.c.d. dc os números y sc tonla ;te proceso puede seiExiste otro mitodo, .ollado en el Libro VI1 iego del siglo 111 a . c . excepto que vivih en rnientos de Geomclnii a sido utilizadci como ;uclidcs partid en sus Dmas, mitodo qiie ha ;ores. El rinhlisis y la LO para el desarrolla de

1-1.26 Teorema E1 máximo comtín divisor del dividendo y del divisor de una divisibri cs c l mismo quc cl miximo común divisor del divisor y del resto. Demostración Sca a = h + qr. Tenemos que probar que m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, r). Por la proyosicion linteiior sabemos quc los divisores ctimuncs de a y h son los mismos que los divisores comunes de b y r. Por lo tanto ambos pares tiene11el mismo miixi mo común di visor. 1-1.27 Algoritmo de Euclides Del Teorema nnlerior podcmos ohtcner un algontmo para el chlculo del m.c.d. de dos núrnei.os a y b. Coinu

os algunos resultados podemos suponer sin pérdida de generalidad que a I h > O. Di vidimos a

por b a=bq,

.e n = bq + r. Sea c un ito

con O

Si r l = O es ubvio quc b = m.c.d.(a, b). AsC pues supongamos que rl + O; dividiendo b pu~'rl podcmtis cscribir b = r l q 2 t r 2 con 0 2 r 2 < r l . Si r2 = O entonces m.c.d.(b, r l ) = rn.c.d.(a, b) = r, y hemos tcrminado.Si r2 1 O efectuamos la divisi611de r, por r2. Vanlos obteniendo

7 Teoría Elemental de Números así un coiijunto de números

Solucior Corno

Pucsiii que cada uno de los núrncrtis r,, ...,ri,,.. es mayor o igual quc cero, csle cunjunto de niimeros n a pucd: ser iiifinito. En algún momcnlo 1legat.elnoc a que un resto cs ccru. Sea dicho resto r, = O para ulgUn n ,

enloiices

-

1-1.28 Ejemplo Calcúlese el m.c.d. de 280 y 30. Solución Dividiendo 280 por 130 icnemos

AsÍ pui

De lo e

Corno rl = 10 *O dividimos h = 30poi' 10,

anhlogarr:

anterior tc Tlernns obtcnido uti resto rz = O. Por lo tanto

-

1-1.29 Ejemplo Calcúlese d = m.c.d.(3 120,270) y encuéntrese x e y tales quc

luego x =

En oci siguielite

1- 1 Algoritmos de División y Euclides

Solución Corno en e1 e+jernploantcrior cmpcmmos dividiendo3 120 por 270

es mayor o igual que 1. En

algún momento

r, = O para algíin n, m.c.d.(b, r,) = AsC pues m.c.d.(3 120, 270) = r3 = 30.

De laexpresihn 1-1.29.3se ticnc quc

s i despejamtis 120 de 1-1.29.2 y sustitiiimos en la ecuación ütiterior teiienios

aniilogamcnie, dcspcjando I 50 de 1 - 1.29,l y sustituyendo en la ecuación a11terior tenemos

,a. 4 En ocasiones el algoritmo puede exigir bastantes pasos como eri el siguiente ejcmplo:

:y tales que

-

1-1.30 Ejenlplo Hállescel m.c.d. dc 12384 y 4720.

-

1 Teoría Elemental de Mmeros

por tantc

Repi ti algori tm

aplicar r por k. El

por tantc

El matemático Tr~ricésLamé ( 1 795-1870) demosiríí quc cl r-~úmero de pasos ncccsai-ios en el Algrin tmo de Euclides es, a lo mUs, c;iril-oveces el númcrti de digitos del númcru m i s pequeño. En cl cjeiilplo anterior 4720 iielie cuatro digitos. Por tanto para hallar el rn.c.d.(a, 4720) para a > 4720 scrhn necesarias u lo iriás 20 divisiones. En el ejcrnplo de arriba s31o hemos neccsiiado 9 divisiones.

1-1.32 Coro Para cm Demast Para c Sea k<[1

Otr~ ubservacirín !ntercsiintzes que para cualquier núinero natural n cs

posible encontrar enleros a, y b,, tales quc siilo se I-equieranexactamcnte n divisiones para hallar el ri-i.c.d.la,, b,). El próximo Teorema cs una i~nportanteconsccucncia del algonrrno de Euclides.

1-1.31 Teorema Si k r Oentonces m.c.d.(ka,kb) Demostracidn Tenemos que,

-

1-1.33 Ejeml Calcul Soluddr Por sir 1-1.31 se

k ,m.c.d.(a,b).

ka=(kb)qb + r con O

Demut 6 2.

-

1 f A lgoritmos de División y Euclides

por tantor= ka- kbq, = kla- bq, j, entonces k Ir y podemosescribit.

ka=(kb)ql +krl con 0 5 r I
por tanto rn.c.d.(ka, kh) = k. m.c.d.(a, b).

+

1-1.32 Corolario P í r u cada entero k # O m.c.d.(ka, kh) = ] k ] m.c.d.(a,b). Dernostraci6n Priia cada entero k z O cstamcis cn las hipíitcsis dcl Teorema anterior. Sea k < O por tanto -k >O. Aplicando el Teoreina 1-1.31 tencmos

iostró quc cl númcro a lo mis, L'IIILVveces n el ejeniplo rii-itei-ior m.c.d.(a,4720) para 1 el ejemplo de arrih~i 1

m.c.d.(ka,kb)=m.c.d.(-ka, -kb) =-km.c.d.(a, b)= 1 k 1 ~li.c.d.(a,b).

:r numero natural n es :quieran exactamente uencia del algoritmo

1-1.33 Ejemplo Calcular el in.c.d.(36, 90j. Soluci6n for simple inspecci6n vernos que 18 1 36 y 1S 1 90.Por c l Teorema 1-1.3 1 se tiene

-

1-1.34 Ejemplo Demutstrese que si m.c.d.(a, b) = 1, entonces m.c.d.(n 6 2.

+ b, u - b) = 1 25


Solucibn

donde 21

Sead=m.c.J.(a+b,a-b).PrirLantodI(a+b) y d I(a-b),entonces

d cs divisor de (a + b)+(a - b) = 2a y es divisor dc (u + b) - (a - 6) = 2h. Asi pucs d divide a m.c.d.(Za, 3h) = 2 -m.c.d.(a, b) = 2. Curno d 1 2 sc lienequed = 1 b d = 3 .

-

3.- Dem a) E1 cuz b) El cut

+

1-1.35 Ejemplo

Demuéstrese que d

-

m.c.d.ju. b) si y shlo si d 1 a. d 1 b y

1

5.- Calci

Solución Scii d = in.c.d.ja, h). Como d 1 a y d 1 b podemos cscr.ibir n = d - -¿ yl d b a h b = d - - .Entonces i~i.c.d.(a,b)=m.c.d.(d - , d . - ) y por cl d d d

Recíprocamente si rn.c.d.( 5 , b ) = 1 entonces d d a ,d h m.c.d.(a, b)=m.c.d.( d . - ) = d . l =d. 4 cl d

1-1.36 Ejercicios

1.- P a ~cada i a y b E 2,pruébese la desigualdad

2.- Pruébese qiie s i ii y b son enteros, con h > 0. enlotices existen entcros

q y r únicosiales que

6.- Sean divisor c

lineai de

7- 1 Algoritmos de División y Euciides donde 2b 5 r < 3b.

d 1 (a - b), entonces 'a+ b)- ( a - b)= 2b. = 2. Como d 1 2 se 8)

3.- I )ernuksrrese que: a) El cuadrado de cualquier entero es de lu forma 3k ó 3k+ l . h) El cubo de cualquier entero es de la forma 9k, 9ki-169k +S.

4.- Sean in, x e y enteros, cori m # O. PruEhcsc quc x MOD m = y MODm s i y solo si x - y es múltiplo de ni. 5.- Calcúlese cuanto vale

6.- Sean a, h y d nlimeros enteros con d > O. Pruébese quc si d cs un divisor comiin dc a y h, y d se puede expresar como una combinación lineal de U y b entoiices d = rii.c.d.(si,b).

7.- Clsando el Algoritmo de Euclides para el c Alculo dc d = m .c.ci.(a,h), encuéntrense x e y tales que d = ax + by. a) a = 1312, b = 800.

3nces existen enteros

I 1

Números primos y Teorema Fundamental de la AritmBtica. I

!

l

Un coiicepto esencial en la 'leoria de Niimercis es el de niinlero primo. i!n la Secci6n anterior hemos visto quc cada numcro cnlcm p > 1 cs divisihlc por 1 y p. Si Cslos son los Únicos divisores positivos de p, direnios eritoricrs que p es un nu~lieropiiii-io. Fn esta Scccirin sc cstudian algunlis prcipiedades bisicas de los iiUriieros prinios. Conio corisecuencia de ellas se establece e l Teorelila Fundamental de la Aritmktjca, que permite factorizar todo niimero entero como productn Jc primos. Poslcriomcntc sc dernueslra la exisieiicili de iriliriiios ilurrieros yririios y se establece la relacióti entre las factorizac16nes de niin-ieros enteros eil primos y el cAlciilo del máximo comiin divisor y minimo coniiin multiplo de varios números. [.a Seccihn finaliLa con una inlroduccibii a iiúi~icrosprinios "grandes", 1-2.1 Definición Dado uii 1iiiniei.o entero p 1 , diremos que p es ui-i tilitrict.~yt-ii~o( o simplemente primo), si 1 y p son las Únicos divisores pcisitivos dc p. IJn cnieru a l qut: es no primo Ir: denoniirlaremos núrneru cumprresio.

Dc la dcfinicibn dc prinio, es claro qiie u11entero p 3 I es pritrici si y s61o si es jiiiposible expresar p - a.b, doiidr: a y b soii eiiter-os, y aiiibos lqa y 1 ~ b ~ 1 ~ . En lo que sigiie p designará iin niimero pritno inayor que 1 . Rn e l conjunto dc los diez prirtieros riut~ierostialurales 2, 3, 5 y 7 sun prinios, mientras que 4,G,S. 9 y I O son iiumeros compuestos. Obsetvenios que el niimero 2 cs el Único prjmo par.

1-2.2 Ejemplo Factorizar 276 como un producto de primos. Sotuciiin Conio 276 es par entoiices es divisible por 2 y por tanto 276 2.138.

-

-


Puesto quc 23 es priino, finalmetitc sc puede escribir

1-2.3 Definición Scari a , ,..., a, iina faniilia de nGine1.0~enteros. Iliremos que los al, ,... a,, sonprinios ~jttresi,si se tiene que

y por lo*

Obse dcscnml

1-2.4 Ejemplo ilemirestresc quc 3111 + 11 y 3m m

6

-+-

7 son primos eritre si para todo

7,.

Solución Obsei~eniosqiie existen dos ntirrieros enteros a = 2 y b = -3 ialcs que

1-2.6 Lemi Sean L

cntoitces por 1- 1-23 m.c.d.(Rm+ 1 1,Zm + 7) eiitre si.

+

-

1 y por tanto son primos

si yilueí Demos1 Como

1-2.5 Ejemplo Dernuestrese que si p r 3 es u11 iiurnero primo enlonces p2 + 2 es uii numero compuesto. Solución Tudo nii~iieroentero piiede expresarse conio Por hi

7-2 Números primos y Teorema Fundamental de la Aritmética.

Observenios que 6k, 6k +2 y 6k +4 sori pares y 6k t- 3 = 3(2k + 1) cs mi~ltiplode 3. Por tanto solo los que sean de la forma Gk + 1 o 6k 3- 5 pucdcn ser primos. Entonces, si p = Ak t 1 se tiene

ysi p = 6 k

i

5 se tiene

y por 10 türito siriibvs su11coinpucslus.

)s. Diremos qiie los

+

Observemos qiie el níimero 5 divide a 100 y que este se puede descomponer de diversas maneras como prodiicto de dos números:

os entrc si para lodo

i

En cada ~ m de a las descomposjciones el nhnero 5 divide, al rricrios, a Lino de los dos factores. El siguiente Lema, obtenido por Eiiclides, IlcrriustrarP que cs uri resultado gcncral.

2 y b = -3 tales que 1-2.6 Lema de Euclides Sean a, b y c nunieros erileros. Supongamos quc a y c son primos entre si y que c 1 ab. Entonces c 1 b.

Y

- por taita son primos

fitonces p2 + 2 es un

Demostración Como a y c son prin~osentre si existen ~iutiietosx, y E Z tales que

1

Multiplicri~idoai~ibosiiiiei~ibr-os de la igualdad por b se tiene

-

-

f Teorla Elemental de Números

7-2 Nume

c 1 (bax+bcy) y por tanto c 1 b.

Solucibn

-

+

Como i

1-2.7 Corolario Sca p un nuniei-o entero mayor que l. [.as afimiaciories sigiiientes son equivalentes: El numero p es primo. Para ciialqiiier par n y b de niiiliei-os enteros, si p ah entonccs p 1 ü 6 P 1 h. Demostraciiin Supungan~osqiie y es tin numero primo y quc p 1 ab. E~iipleai~do el Lcnia de Euclides, podemos suponer quc p no es pi-inio coi1 a, entoiices si d = in.c.d.(p,a) es ri 1 , d 1 p y d 1 a. Coi110 p es primo d = p y por taiito p 1 a. Suporigamos ahora quc p no cs priiriu. Existe11eiitonces números a y h tales que 1 <: a p y I b p con p = ab. Se tiene por tanto p ( ab y p riu di vide a iiinguiio de los dos niin~crns.+

1-2.8 Corolario Sea p un niimero pritno. Si p [ ala2 ... a, entonc,esp 1 ai para algún i.

Demostracibn Por la propiedad asociativa al ... a, = (ai ... +-11%. Por 1-2.7 p 1 (a, ... q-,) o p 1 a , . Si se satisface c l scgundo caso el resultado estA deniostrado. Si p [ ( a l ... cntonces aplicarido tiuevainente 1-2.7 p 1 (al ... a,--l)6 p ( a,,. Continuando el razotia~iliiei~to se llegaria a que p 1 a!az yportantop)a l ii p 1 az. Eii cualquiercasop1ai paraalgún i.

+

Mas adelante

se

verá nira dcniostraciiin mediante el thnncipio d e

Induccibn.

1-2.9 Ejemplo

Sea p iin numcro primo tal que y a". Pruebese que p" 1 a".

1-2.10 Ejemr

1

i

Dcmos cntonces 1

Soiucidn Por 1-1 cntuiices

1

I

Iln res tudo nUni +

1 iI

en cierto

establecic en el sigu

1-2.1 7 Teore Sea 11 u p, lales yii

l I I t

i

.4derná Y ) * * * * , qsr cnlonces

Demostr

En prii CIcspucs S Para di Supunga forma ( 1 Sea el (

!

Teorema Fundamental de la AritmBfica.

Solución Como a"= a n.. .

iones siguierites sor1 ab entonces p 1 a h

1 ab. Empleando cl

10con a, eiitoiices si

primo d = p y por

onces números a y b lor tanto p 1 ab y p no

a, por cl Corolario 1-2.8,

p 1 a. T'or tanto pn 1 a". 4

1-2.10 Ejemplo Demostrar que si p, ql, qz,..., q, so11~iuriierosprjiiios y p 1 qrqz cntcinccs p = qi para algí~ni, donde 1 5 i i r.

... y,..

Solucibn Por 1-2.8 p 1 qi para algiin i, con 1 5 i 5 r. Como y, es primo, entonces q, es divisible s61o por 1 o q,. Piresto que p > 1, riccesariuiicnlc

p=qi.

+

Un resiiltado esenc,ial en la Teoría de Números es el yuc liscgura qiic todo número entero r i :> 1 puede frictorizarse coino producto de prinios y, en cierto senlido, csla faclnri7aci6n es única. Este resultado fue establecido por Euclides en el Libro TX dc sus Elementos, y se demuestra

en el siguiente Teorema.

+.,)+.

Por 1-2.7 w cl resultadu c c i i nuevamerite 1-2.7 ito se llegaría a que > 1 ai para algiin i. 4

,

1-2 Números prlmos y

1-2.11 Teorema Fundamental de la Aritmética Sea n iin niimero mayor que 1. Entonces existen ~iiiiiierosprinios p , ,..., p, tales que

n = p i p 2 ... p, donde p , I p 2 5 5pr. #..

(1-2.1 1 . 1 )

1

Ademis esta factorizrrcioii cs Úriica cn cl siguicnte sei~tido.Sean q l ,..., qsnbmemsprimoscoi.i q l I q l I Sq, y t a l e s q u c n = q , ... q,, entonces r = s y qi = pi para cada i = 1 , 2 ,..., r.

...

Demostración Ei-i prii~ierluyar se deniostrarh la cxistcncia dc tal factorización y despuks se demostrard la uiiicidad. Para demostrar la zxistericia se proccdcrá por reduccihn al absurdo. Suponganos qiie existe un entero a 1 que 1 1 0 puede exprcsarsc cn la forma ( 1 -2.1 l . 1). Sea el conjiinto:

1 Teoria Elemental de Números S= { a

E

Z, a

--- 1 , tal qire a no es cxpresable en Ici forma ( 1 -2.1 1.1)).

Hcmos supuesto que S no es vacío. Como todos sus elementos son positivos, por el principio dc buena urderiacibn S tiene primcr clcrncntu. Supongamos quc sca b. Es obvio que b no es prima ya que si lo fuera podríamos escribir b = b y por tanto h tio pcrteneceria a S. Entonces b es corripuesto y de aqiii b = u.v con u y v enteros y 1 <: u h, 1< v b. Coilio b es el primcr clenierito de S es claro que u y v no puedeii pertcncccr a S. Por tanto existen primos u - q i ...q, con q l l q z l ...lq,,, con rl 5 r2.S ... 5 rn. v - 1 - , ... r, Entonces b = ql ...q,, rl...r,. Rcordcnarido los q, (i = 1,..., m) y los rj (j- 1,..., n) tendriamoc qiie h scria cxpresable en la fomla ( 1 -2.1 1 . I ) y dc aqtii, b no pertenecctía a S en coritradiccioii con el hecho dc scr cl primer elerncnto dc S. Deducinios que el conjiiiito S cs vacío y todo niiniero n -1es, expresable de la forma ( 1-2.I 1.1 ). Veamos ahora la uriicidad de la factori7acicin. Supongamos que

Si r # s podernos suponer sin pkrdida de generalidad que r is. Observemos que dcbc cxistir uti priti~erelemento j, 1 5 j 5 r, tal que p,f qj y" que si para todo i -1 ,...,r p, fuera igual ii q, tendríanios

lo cual cs absurdo por la propiedad 7 de 1-1.3. Al ser j el prinier clcmenlv tal quepj#qi setieneqiie p l = q l , p2 - q2,..., pI-]=qj+, ypor tanto

!

Supoi

por 1-2.1

Pj = 4h. qj

' pj, S Hemc Si r -

llegaria f

1

1-2.12 Corc

Sea 11 forma

I

donde t ; 1 list. Demos' I

1 1

i

pyl

. Re canonic; Si n e anterior

1-2 Mmeros primos y Teorema Fundamental de la Aritmética.

i

sus elementos son

ne primcr clemcnto.

ya que si lo Cuera a a S. Eiitonces b es l
í = 1, ..., m) y los rj >ma(1-2.1 1.1) y de :cho dc scr cl pri mcr icio y todo riuniero ingmcis que

:ralidad que r is. , 1 Ij 5 r, la1 quc q, tendriamos

1 ser j el pri~rier p,.i = q,.l y por

Supongamos, en primer lugar. que pj .:qj. Entnnccs pj 1 qj qJ+,... qr y por 1-2.8 p, 1 qh para algun h E {j,j+l . .,. , S ) . Como qh cs primo se ~ i c n c pi = q h . Pero qj Iqh, lo que contradice que pJ.-' qi. Por otra parte, s i qj ':pj,sc razona dc forma análoga. Heriios llegado a una coiitradiccion. Asi pues r = s. Si r = s y cxisticsr: algún p, + q, repitiendo el razoriaiiiiento anterior se llegaría nuevarneilte a una coiitradiccibii.

+

1-2.42 Corolario Sea ri E Z con 1 11 1 : , 1. Eiltoiices ti rienz una f'actorizacibn i~nicade la forma

doiidc t 2 1, los p, so11priiiios distiiitos con p 1 < p2 < ... .:p, y u, 2 1 para 1 < i 5 t. Esta Cactorizacio~ise llania factorizacioii canóiiica de n.

Si n l. corisideranios la descoiiiposicióii en factores prinios del Teorema 1 -2.1 1. Agrupeinos todos los primos iguales a p 1 en la forma p;*l . Kepitiendo este proceso para cada primo sc obticnc la Fdctari~aciúli canónica. Si n es negativo etitorices n -- - 1 11 1 y basta aplicar el razoiiamiento anterior a 1 n 1. 4

1-2.13 Ejemplo Es ficil obtener la factorizricioiicmóiiica de 48,124 y 363: 48=2.24=2.2.12=2.2.2.2.3=24.3, 124 = 2.62 = 2.2.31 = 2',3 1, 363=3.121 =3. 1 1 2 .

+

Siiponl Vamus a 1

Pniehcsc que un enlcru n > 1 es un cuadrado si y súlo si en su factcirizacion canónica todos los exponentes son niimcros pares.

P Estamos Sea

Solucidn

Sea ni factorizar

Sea a = b 2 . Por 1-2.12 b pucde factorizarse

dondc los Iris p, es u p arii c ul ar

coritradicc

qiie es la f~ictorizacibncanii~iicade a. Reciprocamcnte si

El rcsu

primos no de ios ~ i u n Sean p 1

estl fac~orizadocanhnicaniente, y todus los p, son pues en tonccs

y a es un cuadrado.

P,

+

En el Libro TX de los Elementos, Euclides demuestra la existencia de iririiiitos nlitncros primos. El arguiiietito ernpleildo por Euclidcs, que riparecc cn el sigujente Tcorema, ha sido culisiderado uni vcr~aliiiente corno un modelo de elegancia niatemáiica, i-2.15 Teorema El i~umerodc primos es infinito.

Ohservcm

= ?ui,

1

1 I

doiide p,,, anterior si es primo,

liemos vis ninguno d m cnor fac.

1-2 Números primos y Teorema Fundamental de la Arifmética.

I

Demostración Supurigmiios que sblo hay utia caltidad finita dc númcros primos. Vanlos a demostrar que con esta Iiipotesis se llega a una coiitradicci6ii. Sca P = { p ,, ... ,p,}, cl conjunto dc todas los númcros primos. Estanios suponiendo quc P cs finito. Sea in (plp2 ... pt) + 1. Es evidente que m >, 1. Por 1-2.1 1 podenios factorizar m,

donde los qi so11 primos. Ahora bien ni MOD p, - 1, luego iiiiigutio de los pi es u11 factor primo de m.Así pues cada uno de los nurneros y,. efi particular q l , son primos que no pertenecen a P, lo que es una contradicción y por tanto P es infinito.

+

El resultado anterior que garantiza la existencia dc infiniios númcrns prinlos 110s plantea la cuestihn sobre su distribució~idetitro del conjuniu de los números natiirales.

so11 pares pi

=

2u,,

uestra la cxisiriicia de do por Euclides, que .erado uiiiversalmentc

Sean p ,,pz,.,., pn el primero, el segundo, ...,u1 n-Esimo numcro primo. Observemos que

dondc p,, cs el n - t l -esirno numero primo, puesto que por el teoren-ia antcrior si designamos por q al número (p, .p2 ... p,) t- 1, tenemos que si y cs primo, como p, < q, cntonces p,,., 5 q y si q no es primo entonces hemos vislo que ticnc factorcs primos difcrcntcs de p l , p2,...,p, ya qiic tiiriguno de los p, puede dividir a q. En particular sc ticnc que si q i es el nletior factor primo de q eiztoilces p,,< q 1 y así p,+ 5 q < q.

+

Eri el siguierite Teorcma vamos a vcr una cota supcrior para el n-&sinloiiui~leroprittio eri funcióri de 11,

t


1-2 hrrirnl

1-2.1 6 Teorema

Ahora

Si p, es el 11-esimo númcro primo entonces p,

< 21n

1

'

y los p, c

.

entre si, riumcru 1 nuevo ur iliinieros

Este resultadn sc demostrará en la Sccciiii? 1.3 rr.-edianiccl priiicipio de induccibn. Aparecerá el? 1-3.14.

En el prrixinio Teorema vercmos que existen familias particulares de niimerris pririios que tambikn son iiifii~itas.

La di? que se co estiibIecil honor la

1-2.17 1eorema Existen inti~litosnútrieros primos de la íurniü 411-t 3. Demostracibn Como eii el l'eorcma 1-2,15 suponemos que existe sblo una cantidad iiiiita de ellos q l , q2, ..., q, y llegaremos a una coi~tradicciiiti.Sea el

Tcarcma I

riiimero

1-2.18 Teore Sea a m

Obvianiente S pertenece a la familia considerada. Ademhs q, < s para tndo i - ],...,t. Si S cs prirno ya hemos alcaiizado la contradicci~n buscada. Si s escompuesto puede F d ~ t o r i z ~ como se

: I

s = p j ... p,. Ya que s es un númcro jinpar todos los factores p,, i=l,...,r son impars. Coriio ttidn niirncro impar puede escribirse en la forma

I

y por tant

4k+ 1 o bien 4k+3,

y el producto de dos numcros de la forma 4 k + 1 sigue teniendo la misma forma, deducimos quc alguno de los pi dcbc ser de la forma 4k + 3 ya que S

lo es. Designenloscste factor por pJ,

i!

I

que por t conipiiest

ellos. Enti

iilias particulares de

te sblo una cantidad mtradiccihn. Sca el

Además qi < s para do la contradicci6n

7-2 Números primos y Teorema fundamental de la Aritmetica.

Ahora bicn 4 no pucdc scr ninguno de los q, ya que Cstos dividen a s+l y los p, dividcn a S y sabcmos que dos enteros consecutivos soii prinlos entre sí, por la Proposición 1-1.25.1. Hcmos encontrado, por tanto, un níimero primo pj = 4k' + 3 distitito de los q, de pariida alcan7ando de niievo una contradicció11.Por cotisiguiente hay una caniidad infinita de ~iúnierosprimos dc la forma 4n + 3.

+

La distrihucibn de niimeros primos es iiii problema inuy dificil y del quc sc convccn sólo resultados parciales. Lratóctziies en el siglo 111 a. C. establecib un rntiodo para la ohtencihn de números primos llamado en su Iioiior la Cribu de Errlfóstepiw y quc cs una consecuencia del prbximo Teoreiiia cuya primera deniostrclción rigurosa sc dcbc a Ferrnat.

1-2.18 Teorema Sea a un entero mayor que 1, entorices si para todo riurneru primo p 5 & , p nodivideal número a, ceverjiicaque a es primo. Demostraci6i-1 Supongamos que a fuera compuesto, en trinces a = bc con

podcmos suprincr que b 5 c. Entonces,

ires pi, i= 1 ,...,r son m la forma

le teniendo la inisrna .forma 4k i 3 ya que

y por tanto b 5

h.Si b es primo hemos llegado a una contradiccibn ya

A.

hipótesis a nu cs divisible por ningún primo p < Si b es compuesto entonces h tiene factores primos. Sea p uno cualquiera clc ellos. Entonces p c h y así que por

y nuevamente Ileganios a una contradicci8ri.

+

7 Teoria Elemental de Números

7-2 Núme

1-2.19 Ejemplo l-hcuentrest: todos los niimeros primos rrieiiores de 80.

Solución

J80

Como < 9 y los iiiirneros primos menores que 9 son 2 , 3, 5 y 7, telidremos quc marcar de la lista de númcros 1 , 2,...,80,ademhs del 1 , todos los multiplos de 2,3, 5 y 7. Dc acuerdo coi1 el I'eorema antcrivr los quc queden sin marcar son los riu~ilerosprimos menorcs que SO

y de aqiif forma 2m

2 1 b2. N: coriiradicc

Demuéi Solucidn Si íucse

Como uila coiisecuencia dcl Tcorcma Fwidainenta l de la Ari imética se pucdc establecer el carictcr irracioiial de A. Euclidcs cri los Elcme~i(osotorga a YiGgoras cstc resultado.

Elcvanc

7-2.20 Teorema

h

Si fuera racional podria expresarse como cociciite de dos enteros a. b. Pode~iiossuponer, sin pfrdida de generalidad, que m.c.d.(a,b) - l . si tio fuese así se descomponen a y b en factores primos y se elimiiian los factores primos comuries. Tenemos entonccs

f i = ah

con m.c.d.(il, b)

Elcvando a1 cuadrado la exprcsioii antcrior tetiernos

iIemos

abundanci núnicros F

permite v positivos (

ie 9 son 2 , 3, 5 y 7 , ,80, ademis del 1, 'eorema anlcnor los

-esque 80

1

I

I 1-2 Números primos y Teorema Fundamental de la AritmB fica.

y de aquí aZ= 2h2. Por tanto 2 1 a.a y por 1-2.8, 2 1 a. Entonces a es dc la forma 2m y entonces 4111'- 2b2 , que cs cquivalcnte a 2mZ= bZ, luego 2 1 b2. Nuovíimcntc por 1-2.8, 2 ) b con lo que llegarnos a una contradicci6n ya que habíamos supuesto que m.c.d.(a, h) = l . 4

Dcm uksircsc que 3& es irracional. Solucibn Si fuese racional podriamos escribir tal de la Aritmética !, Euclides cn los

nte de dos enteros a, 5 rn.c.d.ja, h) = 1. si os y se eliniinari los

Elevaiido al cubo la expresidri anlcrior lcnemos

o hiin, 5h3= a'. Por tanto 5 1 a' y de aqui 5 1 a. Asi pues a = Sk y por tanto 5b3 = 53k3 o lo que es lo mismo h3 = s2k3. Liiego 5 1 b3 y por tanto 5 1 b, Ilcg~ndosca una contradiccibn. 4

Herrios vism que existen infinitos primos y hemos discutido la abundancia de prjiiios. Ahora vamos a estudiar como se distribuye11 los números primos entre los enteros positivos. [.a primera proposjcjoi-i nos pcrmite ver que existen cadenas de longitud arbitraria de enteros positivos quc no con tienen niimeros pritilos.

-


7-2 Númi

1-2.22 Proposiciiin Pur cada entero n 0, cxisten al menos n enteros compuestos consecutivos. Demostraci6n Dado n > O, considcrernvs los ii enteros positivos consecutivos

Corno para cada 2 x 5 n t 1, x 1 (il+l j!, se tiene que x ( (n+I)! + x, Itiego estos cnlcros conseciitivos son compuestos.

Obskr cualquic

riutiiei-os probó er entonces cualquic: priiiios 0 Dir-ch forii~a

+

La proposicibn anterior deniuestra que la seciiencia de eliteros conipuestos entre primos cs arbitrariaiilente tan larga como se quiera. Los dos iinicos primos consecutivos son el 2 y el 3, porque el dos es el iinicu par primo. Sin embargo existen n-ruchos pares de priiiios cuya diferencia es 2. Estos primos son llamados p r i m u ~gerrralos. Ejemplos de estcisprimus so115 y 7, 11 y 13,101 y 103, 1003G19y 1003621. 1-2.23 Algunas conjeturas sobre números primos Existen multitud de cci~ijeturasconcernientes a nurncros prirrios. Por ejemplo una conjetura dice qiie existen infinitosprinios geinelos. Quiza la conjetura m i s hnlosa es la conjetura dc Goldbacii (riieiicionada por pririicra vez eii una carta de C. Golclbach a Euler en 1742):Cualquier ~iumeropar más grandc que 2 es suma de dos niimerns primos. Algurios ejeinplos: 4 = 2+2,G - 3 + 3.8 = 5 + 3, 10=7 t 3, 12 = 7 + 5 , 1 4 = 1 1 t.3,16= 1 3 + 3 , 1 8 - 1 3 + 5 , 2 0 = 1 7 - t - 3 .

Esta coi~jetiiraha sido vcrificailu hwta 4.1014, pero aún no se lia encontrado un argumcnlu tiiateiiiitico que dcrnucslrc yuc es cierta para todo núnicro par. Se han demostrado algunos rewiltados ya muy ' ' C C ~ C ~ I I O S 'a ' 1 , conjet rira: Se sahc que cualquier níimero par cs suma de 6 o inenos niimeros primos (Raiiiare, 1 995). Se sabe también, demostrado por Chen cn 1966, que cualquier nUmero par "sulicieiitemeiite grandc" cs suma de un i-iun~eroprimo mhs cl prúduc to de dos números primos.

con a, Posterior

tenemos I /t$(h) cl quc e11 fc parte del

i,Existe :

siempre 1 Rertrand.

conocen

257. i,Ha Fennrtt ai

A con comuil d Teorema concepto Sean a

1-2 NLimeros primos y Teorema Fundamental de la Aritmética.

Obséivese que si la cot1,ietura de Goldbadi es cierta, cntonccs ciialquier numero impar mayor qiiz S ha de ser sulila de 3 o menos numcros primos, llamada la conjetura de Goldhach impar. Vinogradov probó eti 1337 que si ii es u11 11ii1i.it.roinipar suficicnlcmcntc grande, entonces 11 es suma de tres iii~ttierosprimos, Se deducc dc csto quc crialqiiier niimero par suficientemente grande es suma de 4 iiuiiieros primos u mcnos. Llirichlet probb qiie en ciialqiiier progrzsióil al-itmetica, o sea de la forma

cntcros compucslos

cuencia dc cnicros rga como sc quicra. ,porquc el dcis cs cl res de priitios cuya ?melos. Ejetiiplos de i 100362 1.

coti a, b pririios eritre si, cxislcn infinitos niimcros pritnos. Posterionnentz Clievotrirev deniostrb que, fijado b, y si derioniinamos I

terieiiios que, para cada a, cl riúmcro dc primos de la forma a i bn es I!$(b) el niiniero de priiilos totales. Por ejemplo, el riúmcro dc primos qiie en fonna decimal acaban en 1 (o en 3, o eii 7, o en 9) es una cuarta parle Jcl lo tal. LExislc sicrnprc un númcro primo entre n2 y (n t I)~'! Se sabe que sieilipre Iiay un prirno entre n y 211, con n ;.I . Estc resultado lo conjeturb Bertrand, y lo probó Chebichev.

úmcros primos. Pcir ios gemelos. Aura dc Goldhach hldbach a Euler en Ama de dos iliimeros

-

257. ¿Hay infinitos primos de Fermata!Aún más, ¿hay algún prirno dc Femat adcrnás dc los cuatro primeros?

pero aún no se ha re quc cs cicrta pari resultados ya m u y

5 o meiios i~umeros ue cualquier ~iuiiiero nero primo m i s el

2 'l

Un primo dc Fcrrriat es u11 iiiiniero primo dc la Iorma 2 + 1 . Sc coiiocen los cuatro primeros: 2' + 1 - 3,2*+ 1 S, 2' + I = 17, 28 + 1 =

1

A continiiaci6n establecemos un mkiodo para el calcuIo del niáxinio comun divisor de dos niimeros. Este mktodo es una consecuencia del

Teoreina FunJarncntal dc la Aritmética. Tambikn introduciremos el coiicepto de mínimo común múl~iplodc dos números. Sean a y h dos enteros, entonces existen nuineros primos p 1 ,..,, p, y

-

j

Teoría Elemental de Números enteros ai 2 O y

donde yi c i = 1, ..., t

p,? O para 1 5 i 5 t tales que

13.25 Ejamp Lalciilei 2520 y 91 Estas factcirizaciones se consiguen a partir dc la racturizacibn canóriica de a y de b. Si existe algún raclor pri~riode a que 110 es factor de b se introduce cn la factorizacióii de éste con exponente cero y se procede aniilogmente con los fictores de b qiie no lo son dc a. Vamos a ilustrarlo con un ejemplo. Sean a = 350 y b - 198. Las respectivas factorizaciónes caniinicas son

Solución

Factoriz

252 Eiitoiices podemos escribir,

1-2.24 Teorema

py

Sea n = k . . .p, ' y h = pueden scr ccro, Entonces CI

,P,)

Por 1-2.:

* p I,i

l.

min(a

..

ppt, donde algunos de los

ai y

Pi

que d 1 a y d 1 h. Supongamos cntoiices que existe un número c tal que c 1 a y i: 1 b. tiiiii(a,

Sea d = p l

Entonces

.. .p,

tvDt).

Es claro

las facloriz que ningun

los j = 2,..., E 1cvandc

I

1-2 Números primos y Teorema Fundamental de la Aritmética.

dondc yi 5 mi y y, I Pi i=l, ...,t. Por tanto y, I min(ai, Iji) para todo i - - 1 , ..., t yportanio cld.Entonccs d = m . c . d . ( a , b ) . +

-

le la factorizacioti io de a que iio es con exponente cero que no lo son dc a. 50 y b - 138. Las

4 -2.25 Ejemplo Calcúlcsc mcdiantc el Tcorerna anterior el máximo coniítn divisor de 2520 y 9438, Solución Factorizando canbnicamei~tetenemos

lo que es eqiiivalente a

Por 1-2.22

unos de los ai y p,

YPS

Si m.c.d.(a, b) = p con p pritiio, estúdiese quiCncs son m.c.d.(a2,b2), ni.c.d.(a2, b) y m.c.d.(a3 ,h2). Solución

Sean que d l a y d l h . quccla y c ( h .

las factorizaciones caniinicas de a y b. Por scr p = m.c.d.(a, b) se deduce que ninguno de los pi, para los i = 2, ..., t es igual a ninguno dc los q,, para losj=2 ,..., S yademás m i n ( a l , Pi)= 1. Elevando a y b al cuadrado obtmcmos

1-2 Nume


1-2.28 Defini

y d i aquí m.c.d.(a 2 ,b2) ='p

ya que min (2nl,ZP,)

= 2.

Sean a

Comparandu a2 y b obtenemos que rn.c,d.(a2.h) y = min (20(,,Pi). Elevando a al cubo teiiemos a'-+

=

pY donde

deayh dcsignare

Su,. . .3P5~,

y comparando con b2 se tiene quc iii.c.d. (a3,

b2) =pa donde

Obser

=min(3a1, 2p1). 4

1-2.27 Ejemplo Demtibstrese que si a, b son tales quc m,c.d.(a, b) ciiadrado, cntoiices a y b son cuadrados. Solución

iiiiiiimo ( factorizar factores F Volvicndi

= 1

y a.b

cs

uri

2 Si a.b es un cuadradu eritonces a.b = s2:si factoriza~r~os s tendremos

dwide cr ,...,a, son parcs por 1-2.14

pFt,

... cada factor p, sGlo Como a y h son primos eiitre si y a.h = puede di vidir al riiiniero a o a l número b pero no a ambos; ciitunces siii pcrdida de gei~eralidacipodcmos suponer

y pucsto gire ai es par para todo i = l,...,t sc liciie que a y b son

Scari n pueden se

1

1-2 Números primos y Teorema Fundamenfal de la Aritmética.

1-2.28 Definición Seari a y b dos números entcros. Llamaremos minii~zoc n r ~ ~ úm~iltipJo n de a y b al nienor entero positivo que sea multiplo de ambos. I,o designaremos m.c.m.(a, b).

1-2.29 Ejemplos a) Si a = 8 y b = S , el míiltiplo positivo mas peqiieiio de aiiilios será 40. b) Si a = S y b = 10,elrii.c.iii.( S , 10) -40. c ) S i a - 8 y b - lG,eIni,c.ni.(S,16)- 16. + Observando los anteriores ejen~ploses facil deducir cbtlio calcular el mínima común miiltiplo de dos niirneros en general. Para ello basta h c tori~arcomo cn 1 -2.23 los números y tomar el prodiicto de todos los factores primos elevados al mayor cxpnnente que aparezca en a 6 en b. Volvieiido a los ejeniplos anteriores: 8-2'S0 y 5-2O.5 cnlonccs m.c.m.(8.5)= 2 3 . 5 = 4 ~ . 8 = 23.50 y I D = 2.5 entonces m.c.m.(8,10) = z3.5= 40. 8 = 2 ) y 16=2~entoncesrn.c.m.(8,16)= 14=16. A contii~uaciiinexpresainos este iriétodo eri el siguiente Teorcma.

1-2.30 Teorema U u Sean a = k p l l . . . p t[ y b

l,

cada factor p, solo

piicdcn scr ccro. Entonces

ambos; entonces sin

J

iene quc a y b soti

Dernostracion

=+pr i...ppl,

dondealguiiosdelosal y

0,

7-2 Númc

1 Teorla Elemental de Nrirneros

supongamos quc c es un núniero positivo tal que a ) c y b 1 c, eritonces

dondc y, Z a,y y, 2 13,; así yi 2 rnaxlol,, 4

P,),

Demosti Si dcsc

luego 4 1 c y por tanto q .ic. donde al€ Entonc

Calcúlese mediante e l Teorcnia anterior el iii.c.ni.de2640 y 3 580. Solucion C01ll0

1-2.32 Definición Sean a , , a:, ..., a,, números enteros. I,lamarcmos rninimo comiitt miilttjdo dc cucos números y lo designaremos por rn.c.rn.(ai,a?,...,a,,) al entero positivo mas pequeño que sea multiplo dc dos ellos.

Sean al = 4, a2 - 10, a3 = 6 y a4 = 8 entonccs cs Cacil comprobar que m.c.m.(4, 10,6, 8 ) = 120. +

1-2.34 Teorema Sean a y b enteros no nulos, entutices

1 a.b 1 = [rn.c.d.(a,

b)l,[m.c.m.(a, b)].

1-2.35 Ejemr Sean a condicion i)aI b. ii) m.c.1 iii) n1.c Solucibn i) S ii)

Siatb facilrnent

ii) ii Si m.c.,

I

7-2 Niimeros primos y Teorema Fundamental de la Aritmética. Demostracibn Si descomponemos a y b en factores primos, teiienios que

i

J c y por tanto q 5 c. donde algunos a, y

P, pueden scr ccrci.

Entonces(a.b(=pl

...ppitlit.~ a b e r n o s ~ u e

,) m.c.i~z.(a,b)= p max(al,p ,

nlax(n,,flLl,

Pt

-

Obsérvese que iiiiii (a,,Pi) + iilax (ai, Di) u,+ Di, lucgo

[m.c.d.(a,b)].[m.c.m.(a,b)] = pl" i + L I i - . . Pat l + h ,

los minimo c n m h .c.m.(al, a2,..., a,) al DS el los.

fkcil comprobar quc

1

1-2.35 Ejemplo Scan a y h enteros distintos de cero, deinukstrese que las siguienlcs condiciones son equivalcntcs. i) a 1 h. ii>n1.c.d. (a, b) - 1 a [. iii) m.c.m. (a, b) = 1 b 1. Solución i) ii) Si a ] h entonces de la defínicibn de maxinio coiniiii divisor deducimos fácilliiente que ~ri.c.d, (a, b) = 1 a 1. ii) a iii) S i m . c . d . ( a , b ) = I a ) , c o t 1 i o t a . b 1 l a ( . lbI,enioncesJc 1 - 2 . 3 4 s ~

.1 Teoria Elemental de Números dcduce que rn.c.m.(a, b) = 1 b 1. iii) 3 i) Si in.c.ni.(a, b) = [ b 1, por definición de m.c.m. tenemos que a dividc 1 b [.PnrtantoaIb.

+

1-2.36 Tests de primalidad Hasta alioia, eii todos los ejemplos vistos de nunieros compuestos heiilos dado su factorixaciun. Esto liii sido posible ya que los núrncrcis eran pequcfios. En gcriersil, no es posible dar la factorización si el ~iúinero tiene muchas cifras. ¿,Cómo saber si iin niimcro es primo, sin necesidad de conocel. iliilguno de sus factores? Vemos, por tailto. que hay dos psciblenias distintos: unu cs saber si u11 iiumero es primo o no y cl cilri, conocer sus factores, en el caso de ser un numero compuesto. Para rcvolver el prii-i~erproblema se utilizan los tests de priiiialidad y para el seguiido métodos de factorizacion.

La inay supuestan factorixac

iiiuileros mas grand tabla:

Los tests dc pri~nalidadpuedeii ser de dos clases: dclcnninislicos y prohabilisticos, Los primeros determinan con absoluta certeza si un ritírnero es priino o no. En los segundos puede ocurrir que se identifique falsamente a iin nUmero compuesto como primo, pero la posibilidad dc que esto suceda cs bgiísinia. N u c a identificarán un númcro primo conio compucs(o. Sori, en general, mucho más rápidos que lcis determii~isticos y son los que suelen estas implen~cntadosen programas de ordenador.

Esos ni 1-2.37 Números primos grandes La húsqucda de iiuiiieros primos grandes -como lantos otros problemas en Teoria de Núineros- rccibió un gran iinpulso con la aparicihn de los ordenadorcs. Aparte de la fascinacidn de la bfisqueda cn si, las aplicaciories de los nuii~eros primos, principalrncnlc a la Criptografia, ha disparado el interés en ellos. Eii 1984 se conocían explicitamcnlc 110 riutiizros priinos con más de inil cifias.Actualmcntc csa cantidad se h a ~niiltiplicadopor mas dc mil y se canciccn sieie núriieros piimos con mhs de un millcin de cifras, pero niriguriu coi1 iii6s de diez millones. Casi todos los anos aparece en los medios de comunicaciiin la noticia de que se ha encontrado un nucvo numero prinici que es el n ~ i sgrande de los conocidos hasta Ese Inomeilto.

las CIfras ( páginas, n

Observr Estos n h i de la form

M(7) es

Solucibn M(7) =

M(11)=

l

.emos que a divide

imeros compuestos ya que los números ilación si cl númcro rimo, sin necesidad tanto, que liay dos rimo o no y el otro O

7-2 Números primos y Teorema Fundamental de la Aritmetlca. Lamayona dc los tcsts de primalidad se aplican a un número impar N, supuestanierite priitio. Estos tets se basan de alguna mancra cn la factorizacibn de N - I o de N + 1, no es ninguna casualidad que los números primos más grandes conocidos sean de estas formas. Los cinco tnis grandes conocidos en sepiiembrt. de 2005, aparcccn cn la siguiente tabla: . .

primo 2259(i495 1

numero de cifras

fecha

78 1 6230

2005

7235733

2003

6320430

2003

-1

224036583 -1 22049601 1

dctcrministicos y ~ l u t acerteza si un r que se idetitifique ro la posibilidad de iúmero primo cotiio los deieministicos as de ordeiiador. i:

:omo tantos otros m impulso cori la n de la biisqiieda en incipalmcnte a la

primos coi1 mas de io por mhs de mil y 11611dc cifras, pcro dos aparece eti los contrado un nuevo iasla csc rnomcnto.

..

..--. -.

compuesto. Para

irimalidad y para el

.

-1

, .-. . - -

1 3466917

4053946

-1 ...

28433 - 2

7830457 1

...

--

23 57207

+l --

200 1 2004

.

Esos núrncros son tan gigantescos que si quisieramos imprimir todas las cifras del mayor de ellos en libros con cl formato de kste y unas 300 paginas, necesitariai~iosuilos 12 para conseguirlo.

Obscrve que los cuatro primeros son de la forma M(p)= 2' - 1 , Estos números se llaman prinlos dc Merscnrre y, en ger~eral,los riumeros de la forma M(n) = 2"- 1 , se llaman númerw de Merseniie.

1-2.38 Ejemplo M(7) es yriilio y M( 1 1) es compuesto. Soluci6n M ( 7 ) = z 7 - 1 = 127, qiieespriino,

~ ( 1 = 2 1-2047-23.89. 4

f Teoria Elemenfal de Números

Mcrsenne conj etur6 en 1 644 que M(n) era primo para los siguientes valores:

I

Hasta la

Veamo Mersenne.

y quc no lo era para todos los restantes primos menores que 257. Se cquivoc6 en dos casos de la lista anterior: 67 y 257, valores para los que M(n) no cs primo, y oinitib err6neamcnic tos valores 6 1,89 y 1 07, para los que M(n) si es primo. Existen diversos rcsultados que facilitan el csrudio del posible carhcter primo de M(ti). 1-2.39 Teorema Sea p un primo impar. Eiitoiices cualquier divisor p r i ~ i ~qode M(p), si existe, esdc la forma q = 2kp + 1.

1-2.40 Ejemplo Para estudiar si M(13) = Zi3 - 1 = 8 191 es prinio o no, por 1 -2.18, neccsi~amosbuscar posibles faclores prinios inferiores a

númcros d8

Escribama

es decir, u consideran primo para Anfrlogami consideran primo para

Los prim son, respec

tiútiieros de

ym= 90,504..., y por el Teorema anterior deben ser de la f u m a 26.k + 1. Los Únicos números que satisfacen esta condición son 53 y 79. Piiede comprobarse quc ninguno de estos dos númcros es divisor de M(13).Asi pues, M(13) es primo.

+

-

1-2.41 Ejemplo Dc un modo analogo al ejcmplo anterior, para el niimero de Mersenne M(23) = Zz3 - 1 = 8 388 607, estudiamos los posibles factores primos de la forma 46.k + 1 e inferiores a 2 896'309..., que es la raíz cuadrada de M(23).Puede comprobarse que el primer numem de csia forma, el 47, divide a M(23), y por tanto M(23) no es primo.

+

Si consic que 10s dos 347W! - 1 se tiene aue

Por ultirr fcchason I

I

1-2 Números primos y Teorema Fundamental de la AritmBtica.

i

10 para

Elasla la [echa (septiembre 2005) se conoccn 42 primos dc Mcrscnne.

los siguientes

Veamos ahora otros niimeros primos grandes que no son pl.itiios de Mersenne. En la demostración del 'l'eorema 1-2.1 5 hemos hecho uso de números de la forma plp2.. .pk + 1 , donde pi es el i-tsimo ní~meroprimo. Escri bamcis

nenores que 257. Se 257, valores para los alores 61,89 y 107,

I

io del posible carácter

ir

es decir, una cspccic dc hciorial, pcro sólo con números primos. Si considerainos los primos menores que 100, tenernos que P(pk) -t 1 es primo para pk = 2 , 3 , 5 : 7 , l l y 3 1. y es compuesto para todos los demás. Analogamente, podenlos considerar P(pk) - 1, En este caso, y también considerando los priiilos nienores que 100, se tiene que P(pk) - 1 cs primo para pk = 3,s. 11,13,41 y 89.

primo y dc M(p),si

rno o no, por 1-2.18, irts a I

26.k + l . Los Únicos ). Puede comprobarse (13). Asi pues, M(17)

Los primos de estas formas más grandes que se coiiocen hasta la Tedia son, rcspcctivamcnte, P(392 1 13) -t 1 y P(151377) - 1. Se conocen siete ~iunierosdel primer tipo mayores quc P( 1 5877) - 1 . Si consideramos los números de la forma n! - 1 y n! + 1, tcncmos que los dos mhs grandes conocidos hasta el momento de cada tipo soti, 34790! - 1 y 2695 1 ! 4- 1 , respectivamente. Si consideramos los n 5 50, se tiene que los del primer tipo son primos para n = 3,4, h, 7 , 1 2, 14,30, 32, 33 y 38; mientras que los del segundo tipo son pririios para n = 1,2, 3, 11,27,37y 41.

Por últinio, los dos primos gemclos mis grandcs conocidos hasta la fecha son 332 1 8925.71 69690 1 ,

numero de Mersenne les faciorcs primos de 2s la raiz cuadrada de de esta forma, el 47,

1 Teorla Elemental de Números

1-2.42 Ejercicios 1.- Estiidiese a) Si para cada ni entero 2m y 4m 1- 3 son pnmus entre si. b) Si paracada m cnicro 2m + 1 y 3m + 2 son primos cnlrc si.

2.- DemuQtrese qiie si p t 5 es un numero priino impar, entonces p2 - 1 S p2 + 1 es divisible por 10. 3.- Si p, dcnola el 11-biiiio primo, demuéstrcsc que ningiiii entero de la forma P, = plpa...~,,+les un ciiadrado.

En las siguiente : 1 .- Sea 2.- Se tr Veuno! apaticibn

I

7-3.1 Ejemp En todo n se satjsfz

5.- Supongainos que k, n e

entero, cntonces &k

N. Prukhcse que si i i no es k-potencia de un

es irracional.

d) Sea A c) Si n

ciertos iiiu La prii "Trait e du que lo pub

13.2 Teorer Sea

S

condiciont 1) Elnú. 2) Para r

El Principio de Inducción

ntre si. os enlrc sí.

ipar, entonces p' - 1 b

ie

ninguri entero de la

En las Matemáticas aparecen inuclios pt-oblenias que licncn la si guientc l o m a gcncral: I .- Sea P(n) una determinada propiedad acerca de uri iilirnero rialural n. 2 .- Se trata de probar que P(ri) es verdadcru para todo n E N. Veamos algunos cjcmplos que dan una cierta idea de la frecuencia de apariciiiii de este tipo de problemas.

En todos los casos se trata tic demostrar que para todo número natural n se satisfacen las propiedades siguietites:

b) 6 divide a n3 + 5n

c) n(n-

I)(ii-

2) ...1 >2", paratodo 1124.

d) Sea A un conjunto finito; si card(A) n, entonces card( p (A)) = 2n. c) Si n 24 entonces n puede expresuse como n = 5 x + 7y para ciertos números x, y 2 0. -;;

La primcra fomulaciiin del Principio de lnduccion aparecih cn "Tr4aitedu Triangle Ariihme tiquc" del matematico francés B laise Priscal, que lo publicó en 1665.

1-3.2 Teorema (Prlnclpio de Inducción). Sca S un conjunto de números naturales que satisface las dos condiciones siguientes: 1 )El número 1 E S . 2 ) Para cada nilinero k 2 1 si k E S enhnces k + 1 E S.

-


Entonces el conj untv S cs igual a N. Demústracibn Se iitilizara cl Priricipio de la Bueiiri Ordenacibn para demostrar cl Tcorcma, Procederemos por rcduccirin al absurdo. Supo~igamosque cxi stc S c N quc salisface las dos condiciones del 'I'eorema pcro S 7c N. Sea A = N -- S. Por hipbtesis A + 0. Por el principiu de la buena ordenación A tiene primer elemento. Sca a esie elerrieiito. Ya que 1 E S entonces a 2 2 lucgo a - 1 2 I. Coitio a es el injnirno del conjunto A y a - 1 < a, entonces a - 1 é A. Obviamente a - 1 E S. Por la condicibii 2 del Teorema, a = (a - 1) t 1 G S , con lo que Ilegalnos a una contradiccibn.

Solucib Sea S

claro qui

Supor

entonces

niuy potente que utilizaremos con mucha frccucncia pata deriiostrw que cierta propiedad P se satisface para iodo número iiatural 11. Los pasos qiie debemos seguir son los siguicnlcs:

El Prii~cipio de Inducción

cs una tccnica

Paso 1. Defi~iirel conjunto S = jn E N tales que P(n) cs verdadera 1.

Paso 2 . Probar que 1 E S. Paso 3.

Suponer que k Paso 4.

E

S para k 2 1 arbiirario.

Uemostrarcntonccsqu~'k+1 E S. Del Principio de lnduccihn sc siguc quc S es igual a propiedad P(n) sc satisface para todo 11 E N. Vaiiios a ver un par de ejemplos quc ilustrín e1 niétodo.

-

N y asi la

1-3.4 Ejem Dcmul Solucidi Sea S cuales la El nun conk2 1

1-33 Ejemplo Utilicese el Principio de inducción para demostrar que Sumar 1 -c

1-3 €1 Principio de Induccit5n

I

611 para

demostrar el

muy polcntc yuc

- que cierta propiedad

sc satisface

la propiedad. Es

1.2

S yaque 1 = -. , 2 Supongamos que k E S, siendo k 2 1 arbilrxiri. Tcncmos

claro que 1

iongarnos que existe ema pero S * N. Sea e la &ena ordcnaci 9n lue 1 E S entorices a 2 junto A y a - 1 .:a, ~r la condición 2 del . una contradiccibn,

i

Solución Sea S el subconjunto de N para el cual E

1+2+

...+ k = k(k + 1 ) 2

'

etitorices.

I

is que debe~ilosseguir

L

Li

de donde deducimos que k + 1 E S . Asi pues S -= N.

ktodo.

ir que

N

y así la

L

1-3.4 Ejemplo Demukstrese que 1 + 2 + z2 + .. + 2"-' = 2" - 1 . Solucitin Sea S el subconjunlo dc N formado por los niimeros naturales para los cuales la propiedad es cierta. El número 1 pertenece a S ya quc I = 2 - l . Supongamos que k E S con k 2 1, entonces ,

S igual a

+

'

-


y de aquí k + 1 E S. Por tanto S = &. + 1-3.5 Corolario Supongamos que P es una propiedad para la cual se tiene 1) P(l), es decir el 1 satisface la propiedad P. 2) Para cada k E N,P(k) P(k+I). E~itoiicesP(nj sc saiisrace para todo n.

Demostracidn Sea S = (n E N, n satisface la pmpicdad P). Por el Principio de Inducción S =- N y d e aqrtt deducimos que todn ii E N satisface la propiedad P. +

-

1-3.6 Ejemplo Sea P(n) la pmpicdad G 1 (n3 +Sn) Dcrnu~stmseque P(n) se satisfaii para todo n.

Soluciun Claramente el 1 satisface P yaqiie 6 l(1' +5.1). Supongatniis que para un k 2 1 arbitrario 6 1 (k' -t5k). Hay que dcniostrar entonces que

Para ello observamos que (k+ l ) ' + ~ ( k 1 - 1 )= k 3 + 3 k b + k + 1 t - 5 k t 5 =

=(k3 + 5 k ) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = (k3 t-5k) + 3(k2 +k)+ (j= ( k+ 5k) -t3k(k t- 1)+6. Obviaiiierite 2 (k(k+I); conio 3 1 3k(k + 1) se siguc que 6 ( 3k(k + 1) y deaqui 6 ) [(k3 + 5k) + 3k(k t 1 ) -161, csdecir 6 1 [(k+ 113 4-5(k+l)]. Por lanto la propiedad es cierta para todo 11 E N. +

-

1-3.7 Ejen Seap Solucid Sca P plali

Uesig lb 6 1 la hiptitc En cualc

Sea n( qu'=

I)ngt 2 ) Par. Enton1

Demosl Sca T Tpu r+nO1

E

I

1-3 Ei Principio de Induccidn En el siguiente ejemplo daremos una nueva demostrricioii del Corolario 1-2.8 uli l i xando e l principio de induccibn se tiene

i

Por el Principio de n E N satisface la

que P(n) se satisface

1 (k3 t5k). Hay

quc

;ue que 6 1 3k(k + 1 ) y k + 113 t 5(kt l)]. Por

l

1-3.7 Ejemplo Sea p 1 iin numero primo. Si p 1 al .a,... a,., entonces p 1 a, para algún i. Solucibn Sea P(r) la propiedad del eniinciado. C.laramente P(1) es cierta ya que p 1 al implica p ( al. Supongamos quc P(k) cs cierta. Veamos P(k-t-1):

Designemos por b el producto a,...ak. Ei~toncesp 1 b.sik+l,y por 1-2.7 p 1 b b p 1 ak+,. En el segundo caso lzeiiios coiicluido. Eri el primerci, por la hipbtesis dc qrie Pjk) es cierta se tiene que p 1 a, para a1gUn i - I ,....kv En cualquier caso P(k+l) es cierta. + 1-3.8 Corolario Sea 110 E Z y sca M = (n E 2, n 2 no). Sea S un subconjunto de M tal que

1) no E S . 2)ParacadakZnoarbitriirio, si k E S entonccsk+l E S. Entonces S = M. Demostracibn Sca T = (n E 2, n + no - 1 E S). El conjunto T es no \lacio ya quc. 1 E T pucsto que 1 1 no- 1 =no E S. S i r 2 1 pertenece a T se tierii: que r + 4 - ! E S. Adcmisr -1 no- 1 2 % ypor2,

luego r + 1 E T.Por el Principio de Inducci~nT - N.Por la dcfinicibn de T podcmos escribir S = (n E 2.n - no + 1 E T 1, y puesto que T -- N, podcmos rcescribir S nuevamente como S = {n E 2, n 2 ilo} que es justamcntc la definición de M. As{ pues S = M. 4

-

1 Teoría Elemenfal de Números

1-3.9 Ejemplo Demiiestrese que n(n - l)(n - 2) ... 1 > 2" para cada n 2 4.

Solucibn S e a n M = ( n ~ N , t i > i l } y S = { M,n(n-1) n~ ... 1>2"].Claramente 4 E S ya que 4.3.2.1 = 24 z4 = 16. Sca k 2 4 y supongamos que k E S . Por tanto k(k - l)(k - 2)... 1 =. zk. Multiplicando ambos niiernbros por k + 1 tetiernos

ya que k + 1 > 2. Asi pues k + 1 e S. Por el Corolario 1-7.8, S = M y la propiedad es cierta para todo n 2 4.

1-3.1O Corolario Sea no E Z y supongamos que P es una propiediid para la cual 1) P(no) es cierta, cs dccir el riumero no satisfice P. 2 ) Para cada k 2 II(, arbitr"o se tiene que si P(k) cs cierta eiitonces P(k

+ 1) cs ciertsi.

Entonces P(n) sc salishce para todo entero n 2 no. Demostracibn Es análoga a la del Corolario 1-3.8 tei~ienduen c.ilenta el Corolario 1-3.5. Se deja al lcctor corno ejercicio.

13.1 1 Ejemplo ílemuéstrcsc que para cada enlero no negativo n, y para cada conjunto A con n elementos existen cxactamente 2" subconjuntos distintos dc A,

Solucibn Sea Y(n) la prupicdad; para cada conjunto A con card(A) = n el cardinal del conjunto de las partes dc A, cs dccir card(q(A)), es 2". Sea S = {n E 2,n 10,P(n) es cierta). Obviamente O E S ya que card(A) - O implica qiie A = 0 y cnlonccs

$2(A) = ,

Supon

F ijcmos

cor~juiit Sea B que t,

€

subcoiiju B = D'w

Así pues,

Eii oi condiciot motivo ii

Inducciói

1-3.12 Teors

Sea S u

I)1 E ! 2) Para entonces

Ei-itonc Demostr IJna ve

coniradic

S # N. Er tiene prir n o > 1. M 2,..., no con la hip

Ecuaciones Diofánticas t, < 2" para cada

emostrar usandu cl 3don EN.S i n = 1 todokccin 1 < k < n

1 para lodo n

1

E

N.

tl

DioFantii Cuc un matemitic0 que trabajó en Alejandriri ü mediados dcl siglo 111 u. C. Escribirj seis libros siibrc problemas de 'l'eoría de Núrnet40s, y fiie lino de los primeros en intr+oducii.la noixiiin simbólica en rnuiemaiicas; por ejemplo utiIiz6 un símbolo similni. a tiuestra Icira ' x ' pürn desigriar la vuriuble indcicrminada de una ecuación. Estudio proh temas en los que consideraba In i-eprcscn~icibndc números enteros como suma dc cuadrados. En honor suyo se usa el nonibse de ecuacioncs diofinticas para designar una amplia clase de ecuaciones algebraicas con más de una indetem-iinadaen un particulur sisicrna dc números como son

Z y Q (níirneros racionales). Se dedica esta SecciVn a una in[rrducción a las eciiaciones diofrinticas. Se resueIven 1;is ecuaciones litieales de dos variables en X, las ecuaciones de la f u m a 2 - = n, que sirven para estudiar después el mttodo de factorizaci611 dt: Fermal, y las ecuaciones pitagóricas x2 + y2 = 2. Se termina la Sección con el i s i llamado Úliirno Tcorcrnil de Ferrnat.

1-4.1 Teorema Scan a , b y n números enteros. La ecuaci811lincal ax + by = n tiene solucii5n cntcra xg e y0 si y s61o si d = m.c.d.(a,b) divide a n . Demostración Supongümus quc la ccuación tiene solución xo e yo, entonces

Sea d = m.c.d.(a,b)entonces d 1 axg y d 1 byo por tanto d 1 n Supcingamos ahora qtie d 1 n. Si n = O entonces xu = O c yo = O es ubviumentc una solución que llamaremos ti-ivilil, Si n + O cntonccs d debe ser distintodecero. Pur 1-I.22existenenterosxIe y , talesque

1

I Teoría Elemental de Números

Sean xo =

n"

d

e YO

' . Es suficicnk coiiipiobar que xo e ' 7

yo cs

solución de la ecuacirjn. Para ello basra sustituir en la misma 1-4.3 Ejem

Encué

1-4.2 Algoritmo para encontrar una soluci6n Dado Ia ecuacifin ax + by = n en primer lugar calculemos el m.c.d.(a,b) mediante el algoritmo de Euc!idcs.Sabeinos que a- bql+rl, b = rlq? + r2, ('1-4.2.1) 5-2= rt-lqt+ rt, 't-

1 = 't %*l.

Solucior Calcul

de Euclic

Asi pu, la ecuacir Escri bi

-

donde r,=m.c.d.(a, h) =d. Por tanto rtm2 r,_,q,= d y se puedeescribir

que es equivalente a

Si continuamos ascendiendo por las igualdades (1-4.2.1) al final llegamos a poder escribir d como

Suponj a n. Enio dondc q * y q2* son expresiones en fundón de q ,..., q., Por el Tcurcrna 1-4.1 una solucibn de la ecuacihn serií tiene la fa

-

Veamos en un e\jeniploconcrcto cómo sc aplica el algoritmo.

obar que xo e yo es L

Y

misma

1

I

1

Calculemos en primer lugar el in.c.d.(525, 100)mcdiantc cl algoritmo de Euclidcs. 525 = 100.5 + 25,

ugar calculemos cl mos que I

(1-4.2.1)

1-4.3 Ejemplo Encuéntrese una solucicin de la ecuacibn diofhntica

(

-

100 =4.25. Así pues, m.c.d.(525, 100) 25. Observeinos que 25 1 50 y por 1 -4.1 la ecuación ticnc solucihn.

Escribimos y se puede escri hir

y en este caso tenemos q l F = 1 y q2* = -5. Una solución seri entonces

:S

(1-4.2.1) al final

El siguiente Tcorcma permite encontrar todas las soluciones de una ecuaci6n diofántica lineal n parirlir dc una soluci6n particular conocida. 1-4.4 Teorema Supongamos que a, b y n son enteros no nulos y d = m.c.d.(a, h) divide a n. Eiitonces la soluciiin general de la ecuaci6n

,., q,. Por el Teorema tiene 1a forma

I

h

I Teoría Elemental de Nrimeros

como a- y d

donde t

E

Z y ( xo, y O i csuna solución de (1-4.4.1 ).

Solución Sea ( xo, yo} una soluci61i paiticullir de (1-4.4.1 ), cnlonces

Por hipótesis d ( n así pues,

Yo-

Y1 =

( 1-4,4,5) S

y de aquí

y por Úliirr

Así pue (1-4.4.2). 1

Restando las expresirin ( 1-4.4.3)de la ( 1-4.4.4.) se tiene

o bien

E1 niimcrti

-d iietie que dividir al miembro cic la dci-echa de ( 1 -4.4.5) y a .

Luego {

1

entre sí.

1-4 Ecuaciones Dlofánticas

b entre si entonces a- dividc a yo - y l . Por tanto, d d a a yo - y 1 = t - , y de aqui y1 = yo - t - . Sustitiiyendo y 1 por yo --t 2 en d d d ( 1-4.4.5)se obtiene a d

crimo - y - son primos

y por últi rno

-4.4.3) cumplirh

:tiene

Así pues toda soluciijn dc ( 1 -4.4.1) se puede escribir eii 1u forma Recíprocamente para todo t E Z cada par de valores { x y, ) de la forma ( 1-4.4.2) es solución de (1-4.4.1):

,,

( 1-4.4.2).

=axo+ byo=n.

Luego {xl,y l } es solución de (1-4.4.1)cua1quicrilqucsca t

E

2. +

1 Teoría Elemental de N h e r o s

1-4.5 Ejemplo Encuéntrense todíis las soluciones LIc la C C U S I C ~ del ~ ~ I e-jeinplo 1-4.3.

Soluci6n

En 1-4.3 se vio que xo = 2 c yo = -10 era una soluci6n particiilar de la ecuación 525x + 100y = Síl. Idasolución general tendrA la forma

1-4.6 Ejemplo Una joyería vende collares dc pcrlas a 640 € y pulseras a 330 f . Una persona ha cnmprado ciillares y pulseras por valor de 7 140 f:. ¿Sufintris ohjcios dc cada clase ha con~pradosabiendo que hay más pulscriis quc col lsires? Solución La ecuación qiie debcrnns rcstil vcr cs

donde a esel niirnero decrillares y n cscl dulserns. Aplican do el algoritmo de Euclides tenemos A40 = 330 + 3 10, 330=310+70, 310 = 15.20 + 10, 20=2.10+0. Pur Ilinio iii.c.d.(640,730)= 10. F,scrihimos ahvrlt 10 = 310 - 15.20, l o = 310- 1 5 . ( 3 3 0 - 3 1 0 ) ~ 16.310- 15.330, IO = I6.(640- 330) -15.330 = 16.640 - 3 1.330.

En el s parlic ularc

enunciado, Ohscrvc

la soluci6n

De las ct

Además o bien

Luego e ) t (=346y a= n=

1-4 Ecuaciones Diof i nticas

Luego una solucion particular scrh

ición particular de la ir4 la forina

! 1

y la soluci6n general será

ulseras 330 €. Una l e 7 140 f . i,Cuüntos ay más pulseras que

En el siguiente paso dchcrnos determinar el valor o los valorcs particulares del parainetro t que satisfacen las condiciones del cnunciadn, cs decir, n > a y obviamente ambos valores positivos. Observemos que en este caso t debe ser negativo. Podeirios rtiescrihir la solución general en la siguiente forma cuando t < 0: a=11424-331tI,

n=-32134+64(t(. De las condiciones a > O y n r O ohicnemos

1 1424 M< 33 , es decir 1 t 11 346 y

Además de n > a obtenemos 97ltI>I1424+22134=33558, o bien

Luego el Único valor de t que satisface todas las condiciones es

( t ( = 346 y de aquí t = -346. Por tanto la saluci6n buscada es a = 11 424 - 33.346 = 6 , 6 collares, n =-22 134+64.346= 10, 10pulucras.

+

I


Consideremos ahora la ecuaciiin x2 - y' = n coii ii > O. Como antes nos interesan 5610 las soluciones cntcras dc csta ecuricioil, soluciones que el siguiente Tcrircma proporciona, 1-4.7 Teorema 1 .a ecuaci6n diufúniica x2 - y2 = n con n > O, tiene solución si y sóln si ti se puede factorizar como producto de dos númcrns dc la mismili paridd. es decir ambos pares o ambos iinpares. Si existeti, las soiuciones de esla ccuacirín tiencn la fui.rnri

2

x = a+h y= a-b i

- 3

2

dnndc r i y b rcconen todos los pares de nlimeros de la misma paridad y i d e s que n = a.b Demostración Podemos escribir

SoluciCin Factorii

Entonce misma par 120=61 Comti E quea2b.1

donde x - y y x + y tienen la misma paridad, ya quc

Supongamos ahora que n = a.b donde 3 y b tienen la mism;i paridad. Si se escribe x+)'=a, x -y=h,

entonces al resolver este sistema se obtiene x=- a + b

2

a-b , ,y= 2

que es una solucián de laecuilcihn x2 - y2 = n.En ekcto

donde x = ! { 17, 131, {

A pan algoriimo

n > O. Corno rinics 5611, solucioiies que

le solución si y sólo meros de la misma isten, las soluciunes

-

1-4.8 Ejemplo Encudntrensc todas las solucicincs positivas de la ecuac18n

Solución Factorizando 1SO ohienemos

la misma paridad y Entonces podemos cscri hir 1 20 como producto de dos números con la misma paridad de las siguientes maneras: 120=60.2=30.4=20.ti= 12.10= 10.12=6.20=4.30=2.60. Como huscamos soluciones positivas cntonces x, y 2 O lo que exige que P L b. Sc iicnc por tanto R

b

x

v

a misma paridad. Si

+ b ,y = a-b donde x = a. Luego las soluciones buscadas son ( 3 1 , 291, 2 2 { l 7 , 1 3 } , { 1 3 , 7 } y [ l l , l } .+ A partir del resultado sintcriiir, Femat estableci6 en 1643 un algoritmo para estudiar si un número natural n impar es coinpuesto.

t

1 Teoría Elemental de Números Aunque el algoritmo piiedc resultar en algunos clisos niuy largo, riu requiere conocer todos los primos inenores que

Veamos

1-4.9 Algoritmo da Factorizaci6n de Fermat. Sea n uri niirnero natural impar. Si n cs compuesto se tiene que n = a-h donde a y b han de ser imparcs ttirnbién. Ademils podernr-is supurici que a 2 b > 1 . Por el Tcorcnia 1-4.7 se puede escribir

1-4.10 Ejemplj Gstíídiesi compuc.Fto Solución El prirnei

h.

ü+b 2

42)

a-h 2 - ".

(2)

Lucgv estudiar- si iin número impar es compuesto es un pmhlema equivalente a rcsiiivcr la ecuacibn xZ - y2 = n. Esta ccuación puede escribirse, x 2 - n = y 2 . El primcr paso cs dc~erininarel mínimo entero posiiivo q que satisfagri que q' 2 n y pocterionnentc habri que estudiar si alguno de los nfimcrtis

obt enernos niímeros m

I !

y ver s i para

!

q2 -", ( q + 1)2-n. (q+2)2-.,.. cs uri

cundrüdo. Este proceso no cx infinito ya que 2

n +2ri+l-4n - n - l

4

Pnr tanto 12 733 se de! 2

.

Esta soluciiiri corresponde a la faciori~~aciiin Irivisil n = 11.1. Luego los úriicos valores que hay que cscudiar son aquellos níimeros m quc

satisfacen

Considcr núiiieros: nal soluciones e riiingulos re los antiguos dc solucione cotnplct~dcl

Si para ningunu de estos números m, m2 - n cs un cuadrado, eiitonces n scriprimo. +

En primer de la ecuacid para cualquic

1-4 Ecuaclunes Diofánticas

-

Veamos cómo se aplica el tilgon trno cn un ejemplo concreto.

asos miiy largo, no

1

1-4.1 0 Ejemplo

se tiene que n = a.b is podeinos suponer i

I

Estúdiese iiiediante el algoritmo dc Ferrnat si el número 22733 es compuesto. Soluci6n El primer paso cs cncon trar el menor q tal que q 2 2 22 733. Opcranclo obtenemos q = 1 5 I . Como 22733

+

= 1 1367, hay que esludiar

10s

L

sto es un prublerria :sta ecuación puede

jitivo q qiie satisfaga uno de los nlimei.os

ní~merosm rüles que

y ver si para alguno de ellos iri2 -22733 cs un cuadrado. 'Tenemos 151'-22733 ~22801-22733= 68, 152'-32733 =23 104-22733 =371, 15.3~ -72733 =23409 -22733 = 676 = (2f1)~. Por t:into x 153 e y = 26. Así pucs U = 179 y b = 137. El nuniero

-

22733 vc descompone así,

al n = n. l . Luego Iris

os números

111 que

1 cuadrado. entonces

Ciinsideremos ahora h ecuación pitagórica x' + y2 = zZ con n, y, z nurriercis naturales. Como en los casos anteriores siilo nos interesan Iris soluciones en tcws. Este problema es equivalente ri encantrar todos los triángulos rectringuliis con Iridas de longitud entera y fue esludiado por los antiguos gzórnetras gricgris. Pitágciriis encontr6 una cantidad infinita de soluciones, pero fue Euclides en sus Elcmentas el que dio la soluci611 complcia dcl problema. b;n primer lugar observemos quc si la terna (xo, yo, zO)es uria soluciiin

ccuación x 2 + = z2. en toilces también ts solucihn (hxo. hyo,hzo) pasa cuülquicr nhmero entero ?L # O ya que

di la

!

I Teoria Elemental de Números

Pus otiii parte, si d es el máximo común divisor. de xo, y o y zo entonces

"

( d-

Y(, -

d

"o

-)d

fambidn cs soluciSn y adenih

3 Yo y 3 d ' d d

lu cual es I zOcs impa

de ser de d Supong* Por tanto 2

son prirnus

entre si. Pur taiito para resolver el problcma basta buscar las soluciones ( x ~ ' ,yd, zO1)con x<, y i y zi naturales y primos entre sí. 1 lamadas ternuii prin~itivrrs ptrng(iric:us, y a que las demhs soluciones scrin éstas multiplicadas por cualquier número entero h + O. + 1-4.1 1 Teorema

Las solucirincs dt: 1;iecuaciónpitrigbrica x 2 +y'=

L

2

quc salisrucen las

condiciones

t

vienen dadas por las frjrmulas,

para naturales S, I con S 1 t tales que m.c.d.(s, t) = 1 y s y t tienen di stiniii paridad. Demostraci~n Supongamos que (xo, yo, zo) es una Y O I U C ~ C ~ Icon ~ rn.c.d.(xo, yo, zo) = l . Entonces xo e yo tienen qiie ser dc dislinta paridad ya que si xo = 2t e yo = 2q se tiene qiie 2 ;

= 41'

1

I

Observe ent0nce.s d que es equi yo, 20) = 1 cuadrado. naturales. 3

+ 4¿q2= 4(t2+ q2) = (?S')-. ?

y pcir pinto m.c.d.(xo,yo, zO) # 1. Si xo = 2t + I c y = 2q

+ 1 entonces

y operando

I Teoria Elemental de Números Por el Teorema anterior sabemos que la stiluciunes de la eruüción (1-4.12.1) son de !a forma x = h2st,

arirmii teni

largo de 1 irripottante resultado,

v = h(s2- t2), L = h(s2 + t2). con h # 0, m.c.d.(s, t)=l. s > t > O y s y i dt: distinta paridad.

estaba equ

No obst;

Podcrnos escribir entonces,

que los int muy impc condujeroi La hist ncontecimi Ciencias i destinado ; fue una pi 1 9 12 aprire En cl ai piginas p dcrnostrar

y pnr tanto r c s u n núiitriero natural. +

Dcmu6strese que si (x, y, z) es una tema primitiva pitagrírica, donde z = x + 1 , entonces

Conclui para n = 4, demos traci Dcscenden ccuüción r demostrar6

Como x = Zsl. y = s2- t2, 7 = S2+ t2 puehto que z - x = 1 entonces

En el Teorema 1-4.1 1 henios encontrado todas las soluciones de l a ecuación piiagúricii x2 + y 2 = z2. Fermat abordó el problema más general dc buscar las soluciones enteras de la eciiacilín xn + y" = zn, cuando n 2 3 y dijo que esta ecuacicin no tiene stilucirin con x, y, z naturales. Fermat

I

1

i I

1!

La C C U iiaturales. Demostra Se hará 1 soluciiin, S

I

oncs dc la ecuación

a paridad.

va pitag6nca, donde

x = 1 entonces

1

afirmó tener uria demustración de este resultudo pcrti no la cscrihiti. A Iri largo de los últimos curiti-o siglos, algunos de los maiemáiicos mas importantes dedicaron parte de sus esfuerzos a la d e ~ n o s t r ~ ~ idel on resultado, sin consegiiirlo h;istri :ihora, por lo que se piensa qiie Fermat cstaba cquivocadri cuando crciü tener una demfisiracibn. No obstante, el estudio de este problema no ha sido tienipo perdido, ya que los intentos para demostrar el resultado han desempeñado un papel muy importante cn cl desarrollo de las Matemáticas; por ejemplo, condujeron a la aparici6n dc la icriría dc idcalcs. La historia de los intentos de su deiiiosti~acioii es rica eri acontecimientos. En 1908 se estableció, a través de la Acadeiilia dt: Cicncias dc Giittingen (Alemania), un premio de 1OOOOO marcos Jrstiniiclo ü prcrniar una dcmostracihn ctirrcctii. El resultado inmediato fue una prolifeirición de i~itcniosdc dcmoslr~ci8n:stilo cntrc 1 908 y 1 912 aparecieron mis de 1 000 "demostracioiies", todas ellas incorrcclas. En cl año 1995 cl matemático Andrew Wiles en iin articiilo de 98 p8giiisis publicado cn .4nizuls of hIc~flicmaticr(1 995), consigiiiii deiiiostrar el teorerna. Concluimos esta SecciCin coi1 la deliiosti.acion del T c o r c m ~dc Fcrmat para n = 4, resultado establecido por el propio Feimat. La técnica de la dcmostracirin cs una forma de inducción llamado "Método Infi tiito Desceridente de Fermal". Sc demostrará como resiiltado previo que l a ecuación n 4 + y4 = ze' no ite suluciuncs y, a partir de ello. re demostrará que la ecurici6n n4 + y4 = z4 taiupoco tieiie soluciijn.

1-4.14 Teorema La rcuacii~iia4 +

las soluciones de la roblema mAs generiil y" = zn,cuando n 2 3 ,z naturalcs. Fermal

= .x2 ni, iicnc soluciiin para números x. y. z

naturales. Demostraci6n Sc hará por reduccibn al sbsurdo. Supongan~osque (xo, yo, Q} es utlü solucihn. Sc pucde suponer qlie m.c.d.(xn, yo) 1, ya que si

-


Por otrr

Como 2

i

y pocleiiios escribir z0 = R zd. Por tanto,

pir agórica

con m.c.d.(xd, yd) = l .

con m.c.d

La ecuación ni +

= zi podemos escrihirlii como (xij'+

ecuación pitagóncacn x i ,

(yiy- z O2,

y zu. Por el Teorema 1-4.11 ni e

tener distinta paridd. Supongaiilos que x i es par e dchcn c rislir S, t con S > t > O que sritisfacen,

deben

impar. Entonccs

donde s y t son primos entre sí y ticncn distinta paridad, Supongamos que s fuese p;ir y t impar; cnlonces s = 2k y t =3k'+ 1, y así.

ya

es impar. luego yo es impar y cntonccs ticnc la foniia 4q" + l . por lo qiie hemos llegado a una cuntrdicci6n;luego S es impar y t es par. Si t = 2r cniunccs

Pero

-

Coino ni.c.d.(s,t) = 1 entonces m.c.d.(s, r) 1, luego s y r son cuadrados (vdase 1-2-25): asís = 2 : y r = w,: donde r , y w , son enteros pos¡ ti vos.

yasí s ' y

Puesto i

Entoncc se ha conz

proceso p así proccd una cantic número; p

I,a ecua

Demostri

si ( ~ 0 l,

Pvruiriipartc,

=s2-t2, luegoy,,1 + t b7= s - .7

Como m.c.d.lyo,S, t) =1, entonces yo, piragbrica con i par; así t = 2s'i', Ya = d2 - tt2, S = S' 2+

i

e

impar. Entonces

l

es y:

tiene la forma 6n;lucgv s cs impar y

1 , luego s y r mn le x1 y wl son enteros

y t es un tcma primitiva

(1-4.14.1)

tq2,

con m.c.d,(st, 1') = 1, S'> t1> O con distinta paridad; por lo tanto

y así

S'

y t'soncuadrados s'=xf

y I'=~:, luego,por(l-414.11,

Pucstci que zly t son positivos

jad. Supongamos quc si, k'2-k')-1 d q ' + 3.

S

l

0

=s<s 2 < S 2 +t2=z0.

Entonces partiendo de la solución xu, yu, zu de la ccuriciiin x4 + y4 = Z-' se ha construido otra solución x l , yl, z, tal que O < zl < xO; siguicndri el proceso podrfamos encontra otra solución xs, y2 , x2 con O < z2 < 7.1, y así proceder indefinidamente, pero esto es absurdo puesto yuc scilo cxistc una canlidd fin; ta de números enteros positivos menores que u t i cierto numero; por lo tanto x4 + y4 -- z? no tiene ninguna stiluciíin entera. 1-4.15 Corolario La ecuación x4 + y4

Demostracidn

-

'2

no tiene s~luciónpara x, y, z naturales.

Si (xo, yo, zo) fuera una solución de la ecuación x4

+ y4 = z4.enionccs

1 Tearia Elemental de Números (xo, y", z;)

seria una solución de x 4 Teorema anlcrior. +

1 -4.16 Corolario Lo ecuación n4k + naturales. Demostracibn Si (xD, yu,

y4L

=

2k,k rel="nofollow"> O

no tieiie

Por 1-

solución para x, y. z seria una quec-2

L ~ fuerü )

una solucibn de la ecuaci6n dada, cnlonccs

10) seria una snluci
(xb. impcisi blc.

+ y4 = r'? quc cs imposible por el

+

x4

+ y4 = z4. lo cual por

r

Asi pu

1-4.15 es

1-4.17 Ejemplo

1

Demuéstrese quc ((acl''; ((hc)'.'; cf) con

sulución de la ecuación x% yn = 2"-l y encuéniresc una a~lución particular para n = 4. Solución

es una

Podemns escribir

r" +

= ((ac)' ")" + ((tic)'")" =

i y por tuntc

Pnr otra parlc

z

n- l

= (c")-I

Así pues, teneinos que ecuación. Para n = 4 Icnernos

=

((ric)'",

C

n

-

(bc)'",

)

-

C

rn\i

cS) es una solucilín dc la

De lo ante

e es imposible por cl

solución para x, y, z

:cibn dada, entonces lo cual por 1-4.15 cs

1 6 r + l =3.s. Por 1-4.2una soluci6n es r = 2, s = 11. Sustituyendo tenemos que

una sclluci6n. Como c = a2.16 + b2.16haciendo a = 2. b = 2 tenenios quec = 23"dde aquí x = y =(2,21i)R=2"2. Así pues una solución particulur para x 4 + y4 = z 3 cs scría

(2272 ,2-772 , 2 763 . ), +

1-4.18 Ejemplo 1

1

1

Demiiéstrese qiie la ecuación - + - = - no tiene solucibn para x , (n-l)s,

itntrese una solución

una soluci6n de la

y, x natiirales.

x

4

v

4

2

Z

Solución Supongamos que (xO, yo, zo) es una soluci6n, entonces

-

1 Teoría EIemental de Números

X;Y;

nUmero natural. Por tanlo (xg, yo, - ) es una solucidn de x4 +y' = r2, LO

lo cual es imposible. 4

1-4.19 Ejercicios

2.- Una persona compra un total de 12 sillas y sillones, prir 1 200 €. Si el precio del si116n es de 30 f: mds quc cl dc la silla, y el número de sillas es el minimo posihlc. ¿Cuantas sillas y cuántos sillones ha comprado'?

En est fue estak libro Di Gaitss in simholo relacio11 estudio c con ente1 pucdcn S rriediaiite

3.- EncuCnrrese Ius s o l ~ c i ~ en n eN ~ de la ecuación

cjcmplo,

.-

1 C:a lcúlensc las srilucioiies e~iterasde Iris ecuaciones diofánticas. a) Zl(x+36y=44.

b) ó6x + 550y = 88.

b;n la 7 pone a cl kms el ci

con 2370 Esta S básicas d

4.- Eslúcliese si son cotnpuestos los números a)23711.

sistenras del Restr Euler y V

b12" - l . 3

5.- Pruébese quc 3, 4, 5 cs la única solución de x-

positivos consecutivos. 6.- Demuéstrese quc la c c u u ~ i ó ndiofántica x4 ninguna solucirin en los enteros positivos.

-

+ y- = z' 7

3

en enteros

4y4 = 2z 2 no tiene

Sea m si a - b es

Simbó

es diofinticas.

es, par 1 200 4. Si el 1 número Jc sillas cs

ha comprado?

t y2 = z2 en enteros

En esta Seccibii se estudia la rclacibn dc congruencia. Esta relación fue establecida por Ciauss, cuando tenia 24 arios de edad, eii su famoso libro Disquisi tiones Ari thmeticae. Ademhs de definir esta rclacioii, Gauss iiitrodujo la notaciciri que todavía sc utiliza para ella. Adopt6 el símbolo por la analogia que existia cori la igualdad algchraica. 1.a rclaciún dc congruencia ha sido un instrumento iinpoi-taiite para el estudio de la divisibilidad cn 2. M i s aún, ciertos problemas de c6lciilo con enteros niuy grandes (cuya manipulacióri puede ser muy dificultosa) pucdcn ser reducidos a problemas equivaleiltes usüiido enteros pequefios n-icdiantc cl uso dc congruencias. En la vida diaria usainos de fornia natural riumcros congrucntcs. Por ejemplo, la hora del reloj o el cuentakiliimetros del coche, Este ultimo sc poiie u cero cada IOOOOO kms. Por tanto si iiii coche ha hecho 237000 kins el cuei1takil8metros 111arcnra37000, quc cs un numero congriiente con237000m6dulo 100000. Esta Seccion comienza estudianllo las definiciones y propiedades básicas de las congniencias. Despues se estudiati congruencias lincales y sistcmas dc congruencias. Posterjnnnente se establece el Teoretila Cliitio del Resto. La Sección termina con Lrcs famosos Teoremas de Femat, Euler y Wilson.

1-5.1 Definición S C m~ O. Dados a, h e Z se dice que a y b son congrr4critcs modulo rii si íi - b es divisible por ~ r i . Simbcilicamcntc csta rclacibn se escribe

,

a = ti rnodlm)

si y s610 si m [ (a - b).

El ntímcro m se denomina niddulo de la congruencia.

1 Teoría Elemental de NLímeros

1-5.2 Ejemplos

Asi pues, 1

Se puede refomular la rclaciiin dc congruencia de las siguientes fumas:

-

b modlm) s i y s61o si a - h = mk para algún k E 2, a b iiiod(iii) si y sólo si a = b + mk para algiln k E i5. a

En gen un coiyun rwidrto,~) r uno y stjlo los q es ct 2, ,.., 111 - 1

1-5.3 Teorema Fijado m > O, cada numcro cnlcru ü cs ~ongrucrilccon uiio dc los cntems O, 1,2 ,..., m - 1. Demostración Sea a E Z. Dividinios a por 111. Por el Algoritmo de la División existen q y r Únicos con

1-5.6 Ejempl Estúdies de residuo: Solucibn

El iiui~ieror se denoiniiia nicnor rcsidito rio ricguiivo de a inódulo iii. Obsérvese que este menor residuo no negativo de a mbdulo m no es otra cosa sino a MOD m (véase 1- 1.14).

1-5.4 Ejemplo

Encutnrrese el menor residiio no negativo mod(7) de los números 23, 35,4X y -64. Solucion Teiieiiios 23 = 3.7 + 2, 35 =5.7+0, 48 = 6.7 + 6,

5:

A. ,¿. ?
8..

congruente Así pues co:

mbdulo m e

1-5 Congruencias -64 1- 1 0).7 t 6 . Así pues, los menores residuos no iiegativos son, respectivariielite 2, O, 6 y 6. 4

ia de las siguientes

2nte con uno de los

1-5.5 Definición E1 conjunto de enteros O, 1, 2, ..., 111 - 1 se deiioiiiiria i?ienni.e,ri*c.~irJun.~ no izc!g~~tivos módulo m.

C U ~ ! ~ I ~ de PI~U

EngeneraIdadaunacolecciiindeentercisal,a2,..., a,,secIicequees un conjuralo cumple~ode residuos (o tamhiCn si.~tentaroinpletr, de residuos) rriodulo ni si cada núrrieru entero es congruenlc rnbciulri m con unoy s61o urio de los a,, I 5 i 5111,u lo yuees equivalente, si cada unodc los ai es congruente mbdulo m n uno y sólo uno de los ii~iiierosO, I , 2, ..., m - l .

:Ia División existeri

mivo de a iiibdulo e a modulo in iio es

de los niimeros 23,

1-5.6 Ejemplo Estúdiese si {4Y, -24, 18, -1 Y, 2P,46, -5, 1 5 ) es un sistema conipleto dc rcsiduos modulo 8. Solución 49 = I mod(8) ya quc 49 = 6.8 4- 1 , -24 = U mod(8), --24 = (-3)s + 0, 18=2mod(S), 18-2.S-t-2, - 1 9 ~ smod(8), - 1 9 = ( - 3 ) . 8 + 5 , 28 4 inod(8), 28 = 3.8 + 4, 4G=GnioJ(8), 46=5.8+6, -5 = 3 mod(R), -5 = (-71.8 + 3, i5=7niod(8), 15 - 1 . 8 + 7 . Por Itiilto 10s elemenlos dcl conjunto dado son cada uno de ellos coi~grueiiteiiiodulo 8 a uno y sólo uiio de los ela~ieniosdc {O,1 ,. ..,7). Asi pues constituyen iin sistema conipleto de residuos iniidulo 8. + El prbximo 'I'eorema pemiite iina criracterizriciói1 de la corigruencia mádulo m eri termincis del resto no negativo de dividir por m.


1-5.7 Teorema Sean a y b dos nunieros enteros, entonces a i b nlnd(rn) si y sblo si al dividir a y b por 111 el recto obtenido es el mismo. Demostración Supoi.igai~.iosque a = q l m + r y b = y2ln + r para algunos enteros q,, q2. Ei~tonces

f -5.9 Teore Sean a, l)~= 2 ) Si a I 3) Si a:

4) Si a: a-

5)Siai 6) Si h (

Luego m 1 (a - b) y por lo tanto a = b mod(m). Supoiigrinlos ahora que a s h mod(m), eritonces

donde r es e1 i ~ i apequeno s residuo no ncgalivci de a niódulo in. Asi

para algunos enteros q , y q2, y puesto que O 5 r < m el tcorcma eslh demnslrado. 4

-

1-5.8 Ejemplo Como -5 S y S5 se puede11expresar

entonces -58

85 mcid(l1).

Una congrucncia pucdc co~isiderarseconio iilia generalizacibn de la iguajdad dc númcros enteros, por tanto alguna de las propicdadcs dc la igualdad tambiéi-i las tiene la relacibn de congmcncia. Esias propiedades se recogen eil e1 siguiente Teorema. -

l

Demosir; 1) Cotnt 2) Si a i luego b = a 3) Si a = b - c = k2r por tanto a 4) De la ambas igui

y por (m10

Multipli a

y por tanto

7 -5 Congruencias

úd(m) si y sólo si al algunos enteros q 1,

s)m.

nódulo m.Así

: m el teorema esti

1-5.9 Teorema Scan a, b, c , d , h, m E Z con h -f O y m :> 0 entonces 1 ) a = a rnod(ni). 2) Si a = b rnud(ni) cniunccs b = a rnud(m). 3)Si a s hmod(m) y h=cmod(m)entancesa =cmod(m). 4) Si a = b niod(ni) y c = d ttiod(ni) eiitoiiczs a + c = h + d mod(m), ac = hd nioti(m). 5 ) Si a = b mod(rn) entonces ha = hb mod(ní). 6 ) Si 11 1 a, 11 1 b, ni.c.d.(ti, rri) - 1 y a b nicid(m) cntonccs

-

Demostracion 1) Como a - a = O = 0.111ziitonces a = a iiiod(iii). 2) Si u = b i i i d ( n i ) zritoriccs a - b = kni y por tanlo b - a = (-k)m, luego b = a mod(111). 3 ) Si U b mocl(m) sc ~iznc:quc a - h = k 1 m. Si b c mod(m) entonces b - c = k2m. Sumando ambas igualdadcs tcncmos a - c = (kl t k2)m y por iariio a = c mod(m). 4) De las hipbtesis teneinos a = b + k l i i i y c = d + k21n. Suma~~do ambas igualdades oblenemos

y por tanto, a+c-b-tdmod(m). Multiplicando ambas igualdadcs sc ticnc

3eneralizac ióti de la rs propiedades de la

a c = ( b + k l m ) ( d + k 2 m ) = b d + ( k I d + k 2 h +klk2m)m, y por tanto ac = bd mod(m).


-

5 ) Pucsto y ue a - b + kiil entonces ha = hh + hkm y por tanto ha = hb mod(iii j. 6) De h 1 a y h 1 b teneir-iosa = ha,, b = hbl . Como a = h mod(rn) podemos escribir

1-5.11 Ejemp Demut!

ha, = hbI -t km. Luego h 1 km.Puesto quc por hipótesis iii.c.d.(h,m)= 1 entonces h 1 k , es decir k = h k l ,y así

1


l

a

y por tanto h

= b- modím). + h

Demiikstrese quc todo número pi-iino mayor o igual quc 5 cs congrucnlc: con 1 ó 5 ii18dulo 6. Solución Por 1-5.3 todo iiuinero entero es congrucntc módulo 6 coii uno de los riúrileros0. 1,2,3,4 6 5 . Seap25 ypprinio, Obviamente p no puede ser congriiente con O miidulo 6 ya que en este caso 6 1 p y p no seria primo. Si p 2 moJ(6) 6 p 4 mod(6) entonces 6 1 (p - 2) 8 6 1 (p --.4) respectivainente. Como 2 1 2 y 2 1 4 entonces 2 1 p y p iio seria primo. Si p = 3 mod(G) entonces 6 ) (p - 3) y por tanlo 3 t (p - 3) y necesariamente 3 1 p. Así pucs las Únicas posibilidades son 1 y 5 . Vcamos que ambos so11 posibles. 7~ 1 iliod(G) yaque 7 = 1.6 t- I , 96

Solucidn

i

Como a 'l I (a-b),

Soluci6n

Sea n = tanton 2 oi

1-513 Corola Supongi

Demostra

Proceda paran =2,1 k + l.Asip

7-5 Congruencias

y por tanto ha

= hb

11=5rnod(h) yaquc 1 1 =1.6 I S. 4

b mod(m) podemos

) = 1 entonces h 1 k,

1-5.11 Ejemplo Dcm ubstrcsc quc si d 1 m y a b rnodlrn) en tances a = b mod(d). Solución Conio a b mad(m) cntonccs m ( (a - h). Puesto que d ( m entonces d 1 (a - b) y por tanto a = b mod(d). 4

-

1-5.12 Ejemplo Demuéstrese que si el Jltiiiio digito de un riúniero 11 es 1eriloilccs ri2 I= t2 n10d110). Solucibn

Sea n = tk 1 ok + tkml1U"'+

...+t l

10 + t, ciitonces n

t niod(lO), y por

ianto n2 = t2 mod(l0). 4

1-5.13 Corolario Supongamos que para 1 5 i 5 n se tiene que a, = bi modlm), cntonccs o igual que 5 es

.lo 6 con uno de los 110 6

ya quc cn cslc

1-2) ó 61(p-4) no seria prinio. ami0 3 1 (p - 31 Y

nos que ambos son

i=l

j = ]

Demostración Procedenlos por iriducci8n. Por el Teorema 1-5.9 cl resultado es cierto para n -2. Supongámoslo cierto para k y coi~iprobeii~os que es cierto para k + 1. Así pues k

k


Demostr:

Como i=l

i

tanto M 1 I

i=l

entonces

1-5.17 Aplica Las cor digitos. Ti decimales Cadena Para de Xl X2 ...X,,

deiioiiliiiai

cadena x,: 1-5.14 Ejemplos Conio 1 6 1 mad(5) entonces 1 kJS6= 1 386 rnod(5) = 1 rnod(5). Puesto que 10 = (-1) rnod(l1) entonces lok = (-ljk rnod(1 1). +

1-5.15 Ejemplo IlAllese el resto dc la división dc 2 lS4j2por 1 l . Solucibn Como 2 1 = (-1) niod(l1) entonces 212 1 mod(l1). Por tanto 2 1 = 1 inod( i 1). Como 5 432 = 2.2 7 1 6 tcncmos

-

*"

Supong Entonces, primera c Utilizandc corregir al Dígitos Los lil (Internatic y la letra F El primi 84.

El segur: y por tanto el resto es 1.

4

1-5.16 Teorema Sean a y b ~iuinerosenteros y m 1 , ml, . .., m,, enteros positivos. Sca M ni.c.m(m ,, m2, ..., m,.).Si a = b mod(mi), para todo i = 1, ..., r, entonces a = b inod(M).

El tercer El Últirr designarno dfgito ved

I

1-5 Congruencias

Demostracibn Como a = ti mod(m,) se tiene que cada mi 1 (a tanto h.11(a - b) y de aquí a = b mod(M). +

4

nod(l1). Pur tanto

- b), para todo i. Por

1-5.17 Aplicaciones de las congruencias a tos digitos de control Las congruencias pueden usarse par deiectar errores de cadenas dc digitos. Tanto codeiicis de bits (ceros y ui~os)coiiio caderias de digitos decimales que se utilizan en los documentos de identidad, ISBN, etc. Cadenas de bits Para dclcctar posiblcs crrorcs cn la iransmisiiin dc cadcnas dc hits x l x 2 ...xii, un método muy simple consiste en añadir un bit nias x,,~ deiiominado bit de paridad. Este bit toma valor O o 1 dependiendo de la cadena xlx p x , de modo que se ciimpla la sig~iienterelaci6n:

Supongamos que se rccifien las cadcnas de hits 1 1 0 1 1 I O y l 1 1 1 1 11 1. Entoiices, coiiiprobando la relacióii ulterior se detectaría uri fallo eti lii primera cadena, y se podria solicitar nuevamente sil transiriisi~n. IJtilii,ando más hits dc control, se puede detectar varios fallos, e incluso corregir algunos. Dígitos de control en publicaciones Los libros se codifican rnediante los riurneros del I.S.B.N. (Intemational Standard Book Nurnber). Se utilizan los iiiii~~eros del O al 9 y la lctra X. Estc sistcma está en revisión, para pasar a uno de 13 dígitos. El primer grupo de digitos indica el pais (o el idioiiia). En Espaih es el 84.

El segundo grupo de digitos designa la editorial. El tercer grupo es un número asignado al libro por la editorial. El íiltimo carácter, el décimo, es un factor de comprobación. Si designamos el número comple(o por x 1X ~ X ~ X ~ X ~ X 1 O~ el X décimo ~ X ~ X digito verifica la relación

teros positivos. Sea ra todo i = 1, ..., r, y si x

= 1 O, entonces se representa por la letra X.

~ X

-


C6digo de barras 'l'odos los producios quc compranios liuy en día llevati uii cbdigo de barras y un núrricru. En la caja lxgistradora, el código de barras se exaniiria t~iedianteu11 lector liser que envia iin mensaje a un ordenador, doi~dt:se encuentran los precios de Lodos los productos, cuhtos arliculos como csc qucdan, clc. El ordenador erivia la infoim~acióiioportuna a la pantalla de la caja registradora y hace imprimir el recibo correspondiente. Los niimerns del clidigri de barras dcl articulo suclcn seguir la siguicntc cstructura: El yrinier grupo de digitos indica el país. El scgundu grupo de dígiios designa la referencia del fabricante. El tercer gnipo es un número asignado al númcro Jcl producto. El ulti~riocaractei. es e1 digito de coi~trol. El digito de control se calcula del siguiente modo: sc suman las scis cifras que ocupan los lugarcs imparcs eiiipexniidu por la izquierda; llamcnios a csti: valor X, A contiiluacion se suman las seis cifras de los puestos pares, Y.Se tiene que cumplir que

X - Y + digi to de control = O mod(n), dondc cl valor JL'II suele ser 8 o 6 , aunque para cada tipo de producto puede haber uii ii difereilte. Numero dc Idcntificaci6n Fiscal El cálciilo de 13 letra del N.T.F.(Núrncrci dc ldcnliiicacibn Fiscal) dc cada D.N.1. cihcdccc a un alguritmri y a una codificacion. En priinei lugar se calcula el riuniero del D.N.I. inodulo 23 y al valor obtenido se le asigna una letra según la siguieiite clavc: O T ; 1 R;2 W ; 3 A ; 4 G ; 5 M ; 6 Y ; 7 F ; 8 P ; 9 D;10 X ; l l B; 12 N;13 J; 14 Z; 15 S;16 Q;17 V: 18 H;19 T,;20 C;21 K ; 2 2 E.

Después de haber definido las congniencias y baber estudiado sus propiedades básicas resolveremos a coiitinuacirin la ccuacicin ax r b mod(m). Si existe una solucicin xg E Z de esta ecuacibn eritonces a y 0 - b = kom, o cquivalentemente, axu - k0rii - b. Por tanto resolver la ccuacibn lineal ax b ~~iod(ni) es eyuivaleiite a rcsolver la ecuacibn diofiiiitica ax + my = b qiie se estudih en la Secci6n 1-4. Como

-

100

1.

consecuelli

puede enur

i

1-5.18 Teoren La ccuat donde d c congruente Demostra Como sc cquivalenti Por 1-4, d = m.c.d,( Dada ui soluciones

dondc t E 2 Observe es decir n 051,

congruente

y de esta Úl, Sea ahor Entonces

1-5 Congruencias consccucncia dc los resultados 1-4.1, 1-4.2 y 1-4.4 de aquella Seccibn se puede enunciar CI sigui cntc Teorema:

llcvan un código de ódigo de barras se ;aje a un ordenador,

14.18 Teorema La ecuación ax b mod(iii) tiene solución si y stjlo si d dividc a h donde d cs el m.c.d.(a, m). AdemAs el nuinero de soluciones rio congruentes rriijdulo m cs cxaclamcntc d. Demostración Corno se lia iiidicado antes buscar una soluci8n de ax = h rnod(m) es eqi~ivalentea buscar una soluci61ide la ecuacibii diofhitica ax + my = h. Por 1-4,1 sabenios quc csta ccuacihn ticne solucibn si y 5810 si d = m.c.d.(a,m) divide a b. Dada uria solucirjn (xo, yo), por 1-4.2 sabemos que las demás soluciones de la ecuacibri diofániica ticncn la forma

is, cuantos artículos

ación oportuna a la iprimir el recibo del articulo suelen

el fabricuiic. el producto.

,:se suman las seis i por la ixquierda; as seis cifras dc los

donde t E 2. Obscrvcmos quc para cada O 5 t < d obtenei~iosiina solucióii distirita, es decir iio liay dos soluciones congruentes mhdiilo m, ya que si O 5 t, < t2 < d y siipoiieiiios que las soluciones para tl y l2 son congruentes tendrfarnos:

ia tipo de producto ificación Fiscal) de 6n.En primer fugar alor obtenido se lc

.aber estudiado sus

:i6n la ecuaciiin .ecuacibn entonces 'or tanto resolver la :solver la ecuacibn tcci6n 1-4. Coiiio

i.

y de esta última igualdad se deducc quc d 1 (t - tz), lo cual es imposible. Sca ahora s > d. Por el Algoritmo de la Divisioii S--dq +r, O 5 r < d. Eiitolices

1

1 Teorfa Elemental de Nimeros

Una sc lendrá a

repeticio algun j I El m61 cuanto m p es mixi las primo Obskn

1-5.19 Ejemplo LncuEn trcsc Iridas las soluciones no congruerrtes de las ecuacibn 3x = 9 mod(l5), Solución Basta buscar las soliicioncs dc la ecuación diofántica

I

condicioi

Para c

Conio ni.c.d.(3, 1 5 ) = 3 1 9 cnlorices existen solucioncs. Por cl Teoreilia anterior sabcmos que I ~ a yexactamente 3 soiuciones no congruentes dc: 3.x = 9 niodi 15). Una solución cs obviameiite so =3. Las otras dos scriin 3 +

15

=8y 3

1-5.20 Aplicacibn a la generaci6n de numeros pseudoaleatorios A menuda, para la realizacibn de simulaciancs en un ordeiiador se ncccsiia disponer de números seleccionados aleatoriamente. Existcn distiritos tnetodos para la gcncracibn de números con propiedades similares a las dc los números aleatorios, llmadospseuduuleulorius, ya que cualquier metodo sistemático nunca pudra generar niimeros rcalrnenle aleatorios. Un mktodo eficiente se basa en las congnicncias. Se eligen cuatro numcros cnleros: el módulo m, e! muttiplicador a, al incremento c y la semillaxo,talesque2~a~rn,05c~m,yO~xn~m. El método gcncra una sucesion (x,) de números pseudoaleatorios O 5 x, .:m, por mcdio del siguiente procedimiento

I

1

ahora el 1 los más ii aparece e

resultado t ra baj6 en

l

i

l

Demostri

1

I quc s a k

m.c.d.(ti,1

Como n tendrh una Sca

I t


Una sc tendri a repeticio,

1-5.19 Ejemplo

EncuEntrcsc todas las soluciones no congruentes de

las ec tiacidn

9 mod(15). Solución Basta buscar las solucioncs de la ecuación diofántica 3x

1

E

i

-

Teorema anterior sabcmos que hay exactamente 3 soluciones no

1

congruentcs dc 3.u 9 niod( 15).

1

LJna solución cs ubvimente xo =3. Las otras
3

Obsén crindicioi

Coiiio ni.c.d.(3, 1 5 ) = 3 1 9 erilorices existen solucioncs. Por el

-

algúnj 5 El niéi cuanto m p es m h i los prima

trabajo en

=8y

1-5.20 Aplicacl6n a la generacibn de ndmeros pseudoaleatorios A menudo, para la realizacibn de simulaciones en un ordeiiador se ncccsiia disponer de números sclcccionados aleatoriamente. Exi stcn distitltos inetodos para la gcrieración de numeros con propiedades similares a las dc los numeros aleatorios, llamados p.~eudoaleutorios,ya qiie cualquier metodo sistemhiico nunca podrá generar numeros rcalrnente aleatorios. U n método eficiente se basa en las congruencias. Se eligen cuatro niirncros enteros: el modulo m,el muitiplicador a, el incremento c y la semjllaxO,talesque 2 5 a < m , 0 5 c < m , y 0 5 x nc m . El método gcncra u ~ i asucesión {x,,) de niimcros pseudoaleatorios O 5 x, im, por medio del siguiente procedimicniu

Para c ahora el 1 los m i s ii aparece e resultado

I t

Sean m

1

sabe] rn,c,d.(t,, r quc

Como n

x,+

= (ax,,

+ C) mod(rn j.

tendrh una

Sea

7-5

es de las ecuacióii

;a

soluciones. Por el

: 3 soluciones no

serán 3 +

15 = 8 y 3

3udoaleatorios en un ordenador se miamente. Existen 1s con propiedades sardoaleatorros,ya generar núnieros

Congruencias

Una cccuencia de números x 1 , X?, ... xpi gcncrada por este metodo tenhii a lo más m elementos distintos aritcs dc quc aparezca una i-epeticiori. Se Jenumina periodo al nierior entero p tal que xp+\= xj para algiin j 5 p. El rnklodo de generacihn de i~uiiierospseudcialcatorios será mejor cuanto mayor sea el pcriodo. E n 1498 D. Kn~ithestableció que el pcriodo p es miximo (p -- ni) si y sólo si m.c.d.(c, m) =1, a = 1 niod(q) para lodos los primos q tales que q 1 m,y a = 1 rriod (4) si 4 1 m. Observese que si m cs primo y a = 1, se satisfaceri lodas las condiciones trivialmente.

Para completar el estudio dr las congruencias lineales establecenios ahora cl Tcorema Chino del Resto. Este rcsuliado aparece en algunos de los mas importantes manuscritos cliiiios de la Aritigiicdad, por ejemplo, aparece en el siglo 1 cn los trabajos de Siiii TSLI. Eii esa riiisrna oca este resultado fue conocido lamhién por el neopitagorico Nicórnaco, que trabajo en Gerasa (Palestina).

-

1-5.21 Teorema (Teorema Chino del Resto) El sistcma de congruencias aix b, mod(mi), i = 1 , 2, ..., k donde m,c.d.(m,, mj) = I si i # j y ni.c.d.(a,, m,) -1 para 1 5 i 5 k, tiene iina uilica solución xo miidulo (ml m2 ... mk)y las dei~iassoluciones son de la forma X = X O + h(mtm2 ... mk),k E Z. Demostracibn m e yi la solución de la ccuación Sean m = m l mz..."~, ti = m,

.

s. Se cligcn cuatro

:1 increineiito c y la que sabemos que es Única m6dulo mi por 1-5.16 puesto quc m,c.d.(t,, mi)= l . Como rn,c.d.(%, m,) = 1 cada ecuación aix = b, rnod(mi), i = 1, 2 ,..., k tendrá una Única solución xi módulo mi por 1-5.16. Sea

7 Teoría Elemental de Nlimeros 1

!

Puesta quc m,divide a t ,..., ti_],ti+ 1 ,..., tk, cntonccs

-

1-5.22 Ejempl Eilcuent 2, divididc siglo 1). Soluci6n

Hay que

Como ajxi = b, lnod(mi),aixi = b, t kmi,así

(1-5.21.3)

Lmpeza 3,5y7pri

Ya que yi es solución dc ( 1-5.21.1) tiyi =1 + k" m,,asi sustituyendo este valor en ( 1 -5.2 1.3)

xi =S,x2:

ii,~,y,t, = biyiti+ k'mi.

Una sol

Por tanti

35: Puesto 4 restando di por lo tanto xo es una soluci6n del sistema. Supongamos que existieran dos soluciones x' y x" entotices a,x' E b, rnod(r~l~), i 1,2,..., k, 4 x " = b, niod(iiii), i = 1, 2 ,..., k,

2ym

-

cuyas men

asi

Por tdntc

a , x ' a , x Nmod(m,), i = 1,2,...,k, conio rn.c.d.(ai,mi) =1 entonces por 6 de 1-5.9

= xl' mod(m,), i = 1,2,..., k. luego m, 1 (x' - x") para todo i = 1,2,. .., k, conio los mi soii priinos entre si, se tendrá que m 1 m?...mk( (x' - x"), por tanto X'

x' = x" mod(mlm2...nik). Por último observemos que si x = xg $. h mlm2...lnk con h satisfacr:cada uiia de las ecuaciones del sislcma. +

E

2, x

Como 2: satisface la

1-5 Congruencias

(1-5.21.3)

ni, así sustituyendo

1-5.22 Ejemplo Eiicuentrese e1 menor númcro natural que dividido por 3 da como resto 2, dividido por 5 da de resto 3 y dividido por 7 tiene resto 2 (Siin Tsu, siglo 1). Solucion Hay y uc rcsolvcr cl sistema x = 2 inod(3), x = 3 iriod(5), x = 2 mod(7). Empezaiiios cori~prclbwidolas hipótesis del 'Teorema anterior. Al ser 3,5 y 7 primos las hipbtesis del Teoreiiia se satishccn trivialmente. Una solucióii de cada una dc las ecuaciones es, respectivai~iente, x l = 2 , x z = 3 y ~ 3 = 2 , E l m . c . m . ( 3 , 5 , 7 ) e105.Por s tanto,

Por tanto hay que resolver las ecuaciones 35y = 1 mod(3), 2 1y2 = 1 niod(5), 15y3= 1 rnod(7). Puesto que 33yl = O niod(3), 20y2 O rnod(S1, 14y3 = O iilod(7), restando de las coiigruei~ciasde y 1, y2 c y3 lcncmos 2y l = t rnod(3). y2= 1 mod(5), y, = 1 iiiod(7), cuyas menores soluciones naturales son, respectivamente

Por tanto,

mi so11prinios entre

Como 233 = 23 mod( 105) entonces 23 cs cl menor número natural que

-

s*dtisfacc las tres ecuaciones.

...mk con h

E

2, x

+

16.23 Ejemplo Encukntrcse un numero natural cuyos restos al dividirlo por 3,4,5y 6

1 Teoria Elemental de Nrimeros

sol?,respectivamente 2 , 3 , 4 y 5 (tlrahmcgupta, siglo VII). Solución Tenemos cl sistema i) x S 2 rnod(3), ii) x -3 mod(4), iii) x 4 niod(5), iv) x = 5 niod(G), Piiesto quc las tres primeras ecuacioncs satisfacen las hipiitesis dcl 'I'eorcrna Chino del Resto, aplicaremos el Teorema al sistema iorniadci por las tres primeras. 'Tcncmos

rnl m2...mk.

Demostrai Por cl ' mlm2...mk,

-

mtídulo m,

y así, ci = x además por por tanto pi

m.c.m.(3,4,5) - 60, ypor tanto tl=20, l2-15, t3 =12. Entonccs hcmos de resolvcr las siguientes eciiacinncs,

Por tanto

y dc aquí,

Luego una soluci81i de las tres primeras ccuaciunes seri

I i

1

Encuénti por 4 y restl Solucibn El protilc

Como m única solur

conjutito st estos iiltiml es la salucii

1-5.26 Aplicac

Así el más peqiieño natural que satisface las tres ccuaciones será 59 ya que 59 =- 359 mod(60). Observemos ademhs quc 53 = 5 rilod(6). Así pues 59 es solucibn del sistema completo. + 1-5.24 Corolario El sistema de congrucricias a,x bi mod(mi) con i = 1 , 2,...,k, donde ~ . c . d m m, ) = 1 s i i t j y in.c.d.(ai, m,)= 1, i - 1, 2,..., k, tiene una imita solucihn eri cada conjunto completo de residuos mbdulo

grande! Suponga con cntcro! la aritnietii cAlculos de que q. Pan entre si do representar

-

1-5 Congruencias m m2...mk.

Demostracibn Por el Teorema anterior existe una (mica colucibn xo mbdiilo m1m2 ... mk, si cl,....c M," 2 . . . m k es un conjunto completo de residuos accri las liip~tesisdel ia al sistema formado

rniidulo m ,rn2...mk,se tiene que C,

- xo

t rnln12...~ n k ,

y asi. c, = xo t t m l m2...mk es otra solución del sjstetiia de congmericias, ademhs por ser xo congruente con uno s61o de los ci modulo in m 2...11ik, y por tanto piiede existir entre los c l ,..., c?,,, --,mk una tinicri solución.

+

-12. Eritoilces hemos

3 = l rliod(5).

1-5.25 Ejemplo Elicuéntrese el nurriero rialural mis pcquciio quc da rcsto 3 al dividirlo por 4 y resto 5 al dividirlo por 7.

Solucibn El problcma es equivalente a resolver el sistema

Como m.c.d.(4, 7) =1, entoilces por el Corolario anterior cxistc una Única snlucihn cn el conjunto 10, 2, ..., 27). De los iiuiiiei-os de este con-jurito son congrucnles con 5 módulo 7 el 5 , el 12, el 19 y el 26. De estos Ultiiiios el único corigruente con 3 mcídulo 4 cs cl 19. Por tanto 19

ncs sera

;eciiaciones

cs la solución que buscamos.

será 59 ya

9 = 5 nirid(6). Asi pues

1 , 2 ,..., k: dondc = 1 , 2 ,..., k, tiene una dc rcsiduos nihdiilo

2n i =

4

1-5.26Aplicacion a la aritrnetica computacional con enteros grandes Supongamos que un procesador realiza las riperacioncs aritméticas con enteros menores que un cierto q de un iiiodo n~uchonias rapido que la riritmbtica con cnlcros más grandcs y se desea restringir todos los cálculos de una operación de modo que sblo se utiliccn cntcrcis menores que q. Para ello se seleccionan como rnodulos nu11iei.o~ enteros primos entre sí dus a dos m,, mi, ..., m,. El teorema Chino del Resto permite represenlar cualquier nunicro entero O I x < m 1. m ~ ..mr . n~edianteuiia

7 Teoría Elemenfal de Nlimeros

11-uplacoiisistentc en los n rcsios dc la division de x por mi,i=l, ...,r

por lo tanto dados dos números x e y su suma seria

para ericontrrir el valor de la suma lo iIinico quc habría que resolver es el sisteriia w r zl mod(ml). ..., w = + mod(m,).

Solucitin Si n es u divide a n.

Este método pcrmitc realizar cc6lcu!os aritméticos con númcrcis pndcs. A cun~iriuaciri~ise iiitroduce la funcjon dc Eulcr yuc permitirá despuis deiiiostrar tres f.amosos teorcrnas sobre congruencias: el Teureiiia de Buler, el pequeno Tcorcina dc Ferniat, y el Teorema de Wilsoii. Leonharci Eulcr (1 707-83) cse uno de los maternaticos más grandes de todos los ticmpos. Obtuvo numerosos resultados cn Mecaiiica, Algchra, Tcciria de Ntiiiieros y Anilisis, la mayoría dc cllos escritos cn Latín, y niuchos de ellos no p~iblicadoshasta dcspuks de su 1 ~ ucrtc, 1

Luego el

y por tanta i

Por el 1 nijmcro n ar

Dado iin numero natural m, sc designa por $(m)al níimero de enteros positivris r que no exceden a m y son primos con m.T,a funci8n $(m) se dcnorninaflfirncrbri 4 cle Euler.

Claramente + ( 1 )

-

=

1, +(2) =1,4(3) = 2.444) = 2,4(5) = 4. En general si

p es primo todo numero natural mcnor que p es primo con p. Por tanto +(p> p - i .

+

saber qiié 1 deiiniciiin F 18. -19,28, También vi

congruente restos hay c

ia que resolver es el

--

-

1-5 Congruencias

1-5.29 Ejemplo Dcmufstrcsc que si p es un número primo entonces

Solucibn Si n cs un número tal que m.c.d.(n, pr) = 1 entonces obviaiiieiite p no divides n. Entre 1 y pr hay pr-' números divisibles por p que son

;ices con níimeros

.uler que pcrmiliri : congrueiicias: el t, y el Teorema de s matemhticos mas isos resultados en la mayoría de ellos

T ,uego el número de r tales que O < r I pr no divisibles por p son

y por ianlo 4(pr) = pr

- Pr"

= pr( 1

hasta dcspuCs dc su

- -I ). + P

Por cl Tcorcma Fundamental de la Aritmttica sabeiiios que todo iiu~iieron ite una Fdciurizacion hnica:

I numero de enteros m,La f u n c i ~ n$(m)

5 ) =- 4. En general si no con p. Por tanto

y puesto que sabcnios calcular 4 para cada factor 4(p:i) , necesitaiiios saber qiié relación hay entre

y I$(~:'). Para ello darernuc una detinici6i-i previa. En el ejemplo 1-5.6 vimos quc cl conjunto {4Y, -24, 18, -1 9. 28,46, -5, 151 modiilo 8, es u11 coiijuiito complelo dc residuos. TambiCn vimos quc cada uno de los elementos de este coiljuiito es congruente con uno y solo unu dc los rcstos 0, 1 , 2, ..., 7 . Enlre estos restos hay cuatro de ellos (1, 3, 5 y 7) que son primos con 8, por tanto m(ii)


$(8) = 4. Generalizaremos esta idea con la siguiente definición. 1-5.30 Definición Un sistema reducido de residuos módulo m, es una colección maximal de enteros a,, a2, ..., q, tal que cada ai es primo con m y cada par de enteros ai y a, tienen diferente resto módulo m. En la colección anterior (49, -19, -5, 15) es un sistema reducido de residuos módulo 8. Es claro que cualesquiera dos sistemas reducidos de residuos módulo m tienen el mismo número de elementos, es decir, $(m) elementos.

-

1-5.31 Ejemplo Sean m = 6 y n = 5. Calcúlese $(30). Solución Escribimos los números 1,2, ..., 30, de la siguiente manera:

El resultado d

1-5.32 Proposici S i m y n $(mn) = $(m> Demostració Escribamos siguiente man segunda colur La r-ésima fil; kln-1, y 1 Supongamc r-ésima fila p~ a los números Descartamos Obsérvese quc una cualquiere

y los números completo de rc enteros de la f aquí que sólo reducido de re $(n) números 1 1-5.33 Teorema Sea n = p i

Sólo el 1 y el 5 son primos con 6. Por tanto no hay que considerar más que la primera y la quinta fila. En la primera fila vemos que todos son primos con 5 excepto el 25 y de la quinta fila, todos excepto el 5. Así pues, $(30) = 2.4 = $(6).$(5). +

170

l. l

Demostraciór Por la Proposic

1-5 Congruencias El resultado del ejemplo anterior es cierto en general.

e

;colección maximal m m y cada par de

&tema reducido de residuos módulo elementos.

1-5.32 Proposición Si m y n son dos números enteros primos entre si, entonces Q(mn)= Q(m)Q(n). Demostración Escribamos los números 1, 2, ..., m.n, en m filas y n columnas de la siguiente manera. En la primera columna los números 1,2, ..., m. En la segunda columna los números m + 1, m + 2, ..., 2m, y así sucesivamente. La r-ésima fila tiene, por tanto, los números de la foma km + r, donde O I k l n - 1, y 1 5 r I m . Supongamos que m.c.d(m, r) = d > 1. Entonces ningún número de la r-ésima fila puede ser primo con el número m.n, ya que como d divide a los números m y r, entonces también divide a km + r, para todo k. Descartamos entonces las filas tales que r no sea primo con m. Obsérvese que sólo quedan por considerar +(m) filas. Los números de una cualquiera de estas filas tienen la forma:

O.m+r, l.m+r, 2.m+r, ..., (n- l).m+r, ra:

y los números {O, 1, 2, ..., (n - 1)) sabemos que forman un sistema completo de residuos módulo n. Como m y n son primos entre sí, los n enteros de la fila forman un sistema completo de residuos módulo n. De aquí que sólo Q(n) de ellos son primos con n y forman un sistema reducido de residuos módulo n. Como hay +(m) filas y en cada fila hay Q(n) números primos con m.n se tiene que +(m.n)+(m).Q(n). + 1-5.33 Teorema '1

2'

Sea n = pl .p2

considerar más que todos son ma c e p t o el 5. Así

... . p s . Entonces 'S

Demostración Por la Proposición 1-5.32 tenemos que

I

f Teoría Elemental de Números

Adenias si son primo O < r,, r, 91 'I

r ~ 1-

'2

y p, son pnmos entre si. Aplicarido . p L ... - Ps- I siicesivamcriit:la Proyosicibn 1-5 22, Ilcgamos a que yaque p ,

rb

a

N

j

I

entonces s

p primo, ci

m.c.d.(ari, uri r, niod(

Por el Ejemplo 1 -5.29 sabemos que +{pr) = pr(l - -1 ). Suslituyetidú en la P igualdad de arriba para cada factor primo, obtcncrnos finalrrieiite: y

-

1-5.34 Ejemplo Calcular $(2400). Solucibn C'orno 2400 = 2'3. 52, tenemos por el Twrcnia anterior que

c01110

lo;

congriiente

pcro como 1

Conio k =

1-5.35 Teorema (Euler) Sean a y ni das iiúmeros cntcros cori ni 2 1;entonces si m.c.d.(a, ni) = 1 se tiene que = 1 niod(ili). Demostración Sean r l , r2,..., rk con k = 4(m), los nirmcros nalurales iiieiiores qiie m y relativamcnte primos con m.C:nnsidcrcmos los eiiteros ar,, 3r2,..., ark. C'orno rn.c.d.(r,,i n ) = 1 y m.c.d.(a, m) = 1, eritoiices i~i.c.d.(ar,.m) = 1 . 112

Demostraci Basta apli

NP)= P - 1.

1-5 CongruenciaS

l . entre si. Aplicando

Ademiis si i # j, y ari i ari mod(m) entonces m ( a(rj - r,) y como m y a son primos cntre sí entonces m 1 (ri - r,), lo cual es imposible puesto que O < r,, rl <m. Por otra parte, si qi es un entero tal quc ari-q,in-S con O<s

(1 -5.35.1)

a

entonces S = r, puesto que m.c.d.(s, m) =1, ya que si p 1 iii,c.J.(s,m), con p primo, entoi-icesp 1 s y p ( rn y por tanto p 1 ari que es iinposiblc ya q~ic m.c.d.(ari, m)=1. De (1-5.35.1) deducimos que cada iir, es corigrucntc a un rj mod(m)

y como los ar, no son congrueiites enlrc si miiciulo m, cada ar, será corigruenlc a un rj distinto. Entoiices por 1-5.13

terior que

) = 640. +

1-5-36Corolario (Pequefío Teorema de Fermat) Si p es un riúmcro primo que no divide al i~uiiieroa cnionces

les ineriores que iii y

eros arl, ar2,...,ark. s . c d a ,

1.

Demostracidn Basta aplicar el 'l'eoreiiia anterior cori m ~ ( P I - P - l.+

=p

teniendo en cuenta quc

1 Teoría Elemental de Números Este resultado fue coniunicado por Fermat en una carta que cscribiii a Bernhard (un oficial francés), el 18 de octubre dc 1 640. Airedellor de un siglo desp~itsEii ler public6 su Teorcma dcl quc st: sigue como Corolario el Pequeiro Teorema de Fcrmal.

Encuénbcsc FI ~ C S que ~ U se obtiene al dividir 232 587por7 . Soluci6n Como 2 5 8 7 1 6.431 + 1 tenemos que

;

! i

Demostrac Para p = : Como (p (p - l)! ya congruente consideram

Entonces

iínica soluci que satiufic sia=16a (a - [)(a+

Por cl Pequeñu Teorema de Fermat,

En el prin

Corisideri

y como 23 = 2 rriod(?), y oi. 1-5.13, 232

conjunto en

= 2 mod(7),

congrueiicii

+

congruenciz

En 1770 el matemático inglés Edward Waring, en Meditationes Algebraicae, anunció varios Teoremas nuevos. Utio de ellos es una imporlanle propiedad de los riumeros primos. Este Teorema lleva el

Como

Asi pucs cl resto de la division es 2.

nombre de John Wilsoii, uii estudiante de Waring.

obtenemos fi 1-5.38 Teorema (Wilson) Si p es un iiuinero primo entonces

1-5 Congruencias carta que escribid a 10. Alrcdcdor dc un ;ue como Corolario

Demostracidn Para p = 2 y p =3 el Teorema es evidente. Supongamos que p r 3. Como (p - l)! = (p - l),(p - 2)...3.2.1, es claro que p no divid, a (p - 1)! ya quc no divide a ninguno de los faclorcs. Así pues (p - l)! es congrueilte a uno dc los niimcrcis 1,2,3 ,..., p - 1. Para cada I 5 a 5 p - 1 , consideramos la congrue~icialineal

por 7. Gi~toiicescomo rn.c,d.(a, p) = 1, por 1-5.18 esta corigrucncia tiene iina Única saluci6n m6diilo p. Por tanlo cxistc un Único i-iuiiiero 1 5 a' 5 p - 1 que satisface a.a'= t mod(p). Conlo p es primo cntonces a = a' si y solo si a = 1 b a = p - 1, puestoquc a = a' si y sblo si a2 - 1 - 0 rnodip) y así (a - I)(a + I)=Omod(p) yconio p es primo

-

En el primer caso a 1 y cri c1 scgundn a = p - 1. Coiisideremos ahora el conjiinto { 2 , 3 ,..., p - 2 }. Si a pertenece a este conjunto entonces a + a' y coiiio las suluciones son ÚII~S Lr~lrmos

congruencias de la forma aa'

t

1 mod(y). Multiplicando estas

congruencias tei~eiiios

, en Medilriiioncs o de ellos es una

Como

Teorema Heva el obtenemos finalmenlc 1.2.3 ...(p- 2)(p

-

1) =(p - l)! = - I

De ( 1-5.29.1) se sigue que (p - 2)! = 1 mod(p).

mod(p). +

p-3 2

-

1 Teoria Elemental de Nrimeros

¡ Como 16!

1-5.39 Ejemplo Demuéstrese de niievo el Teorcma de Wilson en el caso particular p '7. Solucidn En estc caso p - 1 - G y vamos a obtencr los parcs a, a' del conjunto

1

(2,3,4,51.

Claramente 2.4 S 1 rnd(7), 3.5 = 1 rnod(7),

eiitoi~c es,

l Demuést Soluci6n

Por el teo

y por ultimo

que es equir

Dcmui.sirese que si (n - l ) ! = -1 mad(n) cnlonccs 11 es pririlo. Solución Suporigaiiios que n fuese cornpucstu, entorices 11 - a.b coi1 a, b < n. Por tanto apertenecc al conjunto ( 1 , 2 ,..., n-1) y a 1 (n- l)! Col110 ri > 1, se deduce quc a no divide a (11 - l)! + l . Corno a ( t i , entonces n no divide a (n - l)! + i . Cúntradiccibn con

-

1-5.41 Ejemplo Encuéntrese el restri rlc dividir 1 S! por 17.

Solucibn Por el Tcurcma de Wilsoi~

Ahora bien, :

y de aqui

Dcmuéstrc

((2k)!12 + 1 : Solucibn Por el Teoi

7-5 Congruencias Como 1ti! =T 6.15 ! tenenlos

:n el caso particiilar

.es a, a' del corijurito

1

y puesto que m.c.d.(16,17)= I, por 6 de 1-5.9, 1 5 ! reslu cs l .

1 mod(l7) y el

-

1-5,42 Ejemplo Demukslrcse que 7(p - I)!+ 1 O mod(p) para p 2 5 y p primo.

Solucibn Por el teorema dc Wilson (vtase ( 1 -5.38.1))


:

a.b con a, b < n.Por

Ahora bien, p(p - 3)! = O niod(p). Entonces

- l)!

)! + 1. Como a 1 n,

1-5.43 Ejemplo Dcmuestrese que si p = 4k + 1. es ((2k)!12 + 1 = 0 rnod(p). Solucion Por el Teorenia dc Wilson:

iin

iii~ttieroprimo, entonces


Dados h

el nonibre la clave de

Efectuarido el producto de los 2k prirncros parbntesis y elinijilaildo (ya que estamos calculando inoJ(p)) los terniinos que contienen p, queda (2k)!. Por larito ( ( ~ k ) ! } ~1+O mod(p). +

1-5.44 Cifrado de mensajes. Criptografía La criptografia es una dc las cicncias corisideradas conlo inQsantiguas, ya qiie sus cirigcnes se renioritaii aI nacimiento de nuestra civili7acicin. Su uso origirial era el proteger la ccinfidcncialidad dc: inrorniaciuties i~tilitaresy politicas, pcro cn la actualidad es una ciencia interesante para cualquiera que este iriteresado en la confidencialidad dc unos deterniiriados datos. Actualmente existe una gran can tidad dc softwa1.e y de hardware destinado a analbar y rnoniluri~arel trafico de datos en redes de cornputadcirüs; si bien estas herraiiiientas coiistituyen iin avance en 1Ecnicas de seguridad y protección, su uso indebido cs al mismo ticiiipo un grave problema y tina enorme fiientc dc ataques a la intjriijdad de los usiiarios y a la integridad dc los propios sistenias. Auiique el objetivo original dc la cripiografia era iiiaritel-iei-eii secreto iin mensaje, cn la actualidad no se persigue íinicamente la privacidad o confidei~cialidadde los datos, sino quc sc busca además gararitizar la aiitenticacidn de los mismos (cl ernisor del iiieiisaje es quien dice ser, y no otro), su ititcgridad (el mensaje que leenios es e l mismo quc nos eriviarorij y su iio repudio (el emisor no puede negar CI haber enviado el inensaje). Podemos dividir la historia de La criptografia cn ircs pcriodos fuiidaiiientales; hasia niediados dcl siglo XX, Icncnio S la cri ptografia precientifica, considcracla no una ciencia sillo mis bien un arte. En 1949, Shannon logrii cimeritar la criptografia sobre iinas bases matemiticas, conielizando el periodo de la criptografia cicniífica. Mcnos de treinta años después, en 1976, Diffic y Hellnian publicaron sus trabajos sobre criproyrafia de clave pública, dando Iiigar a iin nuevo período dc la criptografia, que dura hasta la actilalidad. El sistema César El cifrado César es uno de los mhs antiguos quc sc conocen. Debe su rioiiibre a Julio Cksar, que prcsuniamcntc lo utili~t)para establecer comiinicacioncs scguras crin sus generales durante las Guerras de las Gálias.

Si asign forma:

El cifra clave cs (

I

ulterior al para encri sumarle b hccho quc de b, para r<x> = x Queremos valor de C E

Aplican

I

que retomi

queda GIH Ahora, c valor de ca

Tomando f

1-5 Congruencias

sis y eliminando (ya contierien p, queda

Dados a y b primos cntrc sí, la aplicaciiin f(x) = ax + b mod(mj rccihc el iloi-ilbrede codificacion modulo m coi1 parhiletros a, b; el par (si, b) es la clave de este cifrado. Si asignamos a cada letra (A ... 2 )un entero ni0dulo 27, de la siguicntc

forma:

; como más antiguas,

:stra civilizacioi~,Su I de informaciones ncia interesarile para ncialidad de uilos ntidad de software y trrifico dc datos cn instituyen u11avarice iebido es al iiiis[iio taqiies a la intimidad ristcmas. Aunqiic c l

secreto u11 itieris~ie. la privricidad o deniás garaiitimr la es quieii dice ser, y ; el mismo que nos r el haber enviado el

El cifrado Usar es la codificacibn m6dulo 27 con parainetros 1, b. la clavc cs (1, h), cs decir, siempre tomaremos a = l . De esta forma. la anterior aplicación quedará T(x) = x + b mod(27) lo cual sc traducc que para eiicriptar una letra hemos de tomar su entero correspondienit: y sumarle b para obtener el texto cifrado. Análogamente, y gracias al hccho quc f(x) siempre ha de ser biyectiva, independientemente del valor de b, para descifrar un texto tomamos la hncicin inversa, dcfinida por f(x) = x - b. Veamos un sencillo ejemplo, en el que se toma b- 4, Queremos cifrar, con [a clave (1,4), la palabra CESAK. Tomando el valor de cada letra, tenemos el equivalcn~cnum6rico dc la palabra:

Aplicamos a cada número la función f{x) = x i 4 para obtener

a en tres periodos :mos la criptografía ieri uri arte. Eri 1949, bases inateinitjcas, a. Menos de treinta n sus lrabajos sobrc .uevo periodo de la

qiie retornado al aifabeto, siistituyendo cada valor por su equivalente,

re conocen. Debe su

Tomando f(x) = x - 3, tenemos el resultado

iz8 para cstablcccr : las Guerras de las

qucda GIWEV.

Ahora, con la misma clave (1,4), buscamos descifrar FVYXYW. El valor dc cada letra es


qHe retornado al alfabeto sjgriifica BKUTUS, lcxto plario equivaleiite al cifrado FVYXYW. El cifrado Cksar lime 27 claves diterentes, incluyendo la clavc dc identidad (b - O), caso eii el que el texto cifrado y cl texto en claro son ideriticos. Asi pues, no resul taria muy dificil paro uiia persona realizar un ataqiie exhaustivo, buscando eti el texto cifrado palabras cn clarci con significado cri el leilguajije utilizado. Por tanto, cstc cilradu es cluaiiiente vul~ierablepara un atacante, no ofrccierido una seguridad fiable en la transmisilin de daros confidenciales.

K1 sistema RSA Uti tipo de cifrados más scguros soti los Ilaniados Cifrados de Clave Píiblica. Uno dc cllos, es el iiitroducido en 1977 por los prnfcsorcs dcl MTT (Massacliusetts Ii~stituteof l'echnology) Ronald R. Rivest, Adi Sharnii- y Leonard M. Adleman, dc ahi las siglas RSA ron las qiie es conocido. La segui-idad de RSA radica en Iri di íicullad de la frictosizacion de iiiiiiieros grandes: cs fácil silbcr si un i~unieroes primo, pero cs extremadamcnic dificil obtener la factorización en numcros primos de un cnlero elevado, debido, no a la dificuliad dc ¡os algoritriios exjsteiltes, siiio al consumo de recursos fisicris (~iieliioria,ilecesidades hardware incluso tiempo de cjccución) de tales algosimios. El luncioilrunieiito del algoritmo RSA cs cl siguierite; si un A desea enviar información cifrada, ha de elegir aleatorianiente dos niimeros primos grarides (del ordeii de cien digitos), p y q. Estos númcrus sc I-ian de nianteiier eri secreto. Si llamamos N (N se cotiuce como iiiijdulo) al prodiicto pq, el ha de deten~iinarotro entero, d, llamado exponcriic privado, que cuiripia

mediantc Calculad el par (N

Una vi enviar

IJI

mediante

aplicat El rec

descifrad

puesto ql bien, pa m.c.d.(m,

muy exce

1-5.45 Ejerci 1.- a) P6i

b) Estúd 2.- Dernu ser multip

es decir, d y el prnducto $(N)= (p - I: i(q - 1) función de Eiiler de N, han de ser primos cntre sí. Con estos datos. ya tenemos la clave: privada del cifrado: el par (N,d). Para obtener la clavc piiblica, liallai~iosel itiverso multiplicativo del núrncrti d rcspecto de $(N), de la forma

1-5 Congruencias

plano equivalcntc al

:luyendo la clave de el texlo en claro son ia persona realizar mi alabras en claro con :i frddo cs claramcntc :guridad fiable eri la

S Cifrados de Clave

mediante 1-5.16, cntonccs cd = 1 + 7 1 4 0 . Calculado este entero e, llamado exponente piiblico, la clave publica será c l par (N,c). Una vez el emisor A dispone de sus claves pública y privada, podría cnviar un mensaje cifrado, que llamaremos m, a un posible receptor, mediante la operación

aplicada a cada eleinerito de1 merisaje. El rcctor dcl criptograma, realizaría la siguiente operacion de descifrado:

sor los profesores del ,niild R. Rivcst, Adi RSA coii las que es :la factor-izaciúri dc: es primo, pero es i números primos de .Igorilnios cxislcnlcs, ecesidades hardware ente: si un usuariu A aleatoriaii~eiltedos p y q. Estos nii~neros sc conucc cnmn

m a r otro

eiitero, d,

5n dc Euler de N, han ; la

clave privada del , hallanios cl invcrso ?ama

puesto que por el Teorenia de Euler (1-5.35) = 1 mod(N). Ahura bien, para aplicar el 'l'eorema de Euler es necesario que el ni.c,d.(m, N)=l, afortunadamente esta condicilin se cumple salvo casos muy excepcioiialzs.

1-5.45 Ejercicios f .- a) Pbngase iin ejeiliplo donde no se verifique que si a2 = h2 rnod(rn), ntonces a = h mod(m). b) Estiidicsc si cs cierto que a = b niod(m) implica a2 = b2 mod(rii),

2.- Dei~iuéstreseque la difcrcncia dc dos cubas consecutivos no puede ser multiplo de 3. 3.- Demukstrese que si a = b mod(iiiI) y a .:b riiod(iri2),eiiioiices a = b tnod(m.c.rn.(m ,, rnz)).

4.- Pruébese que si tn.c.d,(a,n) =1, cntonccs los cntcrns c, c + a , c t 2a,..., c i (n- ])a,

-

7 Teoría Elemenfal de Números forman un conjunto conipleto de residuos m8dulo n para cada c. 5.- Resuelvatise las siguientes congruericias a) 3 x E I mod(l9). b) 2x = 6 mod(1 O).

6.- Kesuélvasc cn x e y ei~terosel sistema x .t- 2y = 3 mod(7), 3x + y = 2 iiiod(7).

números p"'"fom

7.- Resudvase el sistema de congruencias x t 2 mod(5), 2x = 1 mod(7), 3x 4 y m 4 mod(l1).

centenas Por eje1 cosa- entt por tanto dos". No

Eri la

1

SU vez, SI:

pndi-íarno 10 de esta

8.- Hállese el resto de dividir ~3~~~~~entre 7 Y.- Demutstrese quc cl recíproco del Pequeno 'I'eorema de Fcrmal es falso calculando 2340modulo 34 1.

No exi! exclusivo uso del utilizado c

de hO (un 1

irii riutos). ordenador

En cstv decimal, I níi meros n Dado ur

donde hen lgualmentl

Sistemas de Numeración y Criterios de Divisibilidad

ara cada c. I

I 1

i

Ln la vida diaria el sistema de numeración empleado para escribir númcrris naturales es el decimal. Idas iinidndes se Iignipan de 10 en 10 yüra furinar. u~iici;idesde segundo orderi, quc sc llaman dcccnas. Estas, a su vez, se agrupan de 10 en 10 piirü forn-iui-unidades de tercer ordcn o ccnlcnas y así succsivamcnte. Por ejemplo, cuando se escribe el número 845762 -si no se iiidica otra cosa- entenderemos que este níimero esta escrito en sistema decimal y por tantu sc lcc "ochocicnriis cuiircnia y cinco mil setecientos sesenta y dos". No necesitiiinos esciibir las pcitericias dc 10, pcro iamhicn podríamos representar el número como una coinbinacion de poteiicias de I O dc csta manera:

rema de Fermat es

1

1 I

1: ! I

1

I

No cxistc ninguna rajr.6, por la qiie debamos limitarnos al eilipleo exclusivo de las potericias de 10 pufi escribir los naturalcs. De hecho el uso del sistemri decimal es convencion~l e histórLicamtiniese han utilixadn otros sistemas. Los habilonios hace 3000 años usaban potencias de 60 (u11 residuo a c t u ~dc l cllo cs nucstra forma de dividir las horas y los minutos). Los mayas utilizaban potencias de 20. Ac~ualmcnte los ordenadores trabajan usualmente con potencias de 2 , 8 y 16. En esta Secciiin esludiusemos sisiemas dc numcracihn diferentes del decimal. Posteriormente est ablecerernos c1.iterios de divisibi lidlid para númcros naturalcs. Dado un nfirnero natural, por ejemplo el 28, es ficil ver que

donde hemos expresado 78 COMO una combinacion de potencias de 2. Igualmcntc pridcrnos hacerlo mediante potencias de 3

I Teoría Elemental de Números 28 = 1.3% 0 . 3 ~ + 0.3' + 1.3',

obteriemo

natuiales, o bien como combinación de potencias de 7

un primer

En el siguiente Tcorcina se demostrar5 de forma gcncrril que todo número natural n puede expresarse coma una combinacidn de potencias de cualquier otro niimero natural b 2 2. En ese caso se dirh que el riurncro esta escrito e11h ~ s h. e

la elcccidr Si reesc

Ohsérvr

arriba obtr

1-6.1 Teorema Sca b 2 2 un número natural (llamado base). Entonces todo número n E N puede escribirse de mancra Única eii base b de la forma

p a r a a l g ~ n k l O , c o n O < a i ~ h , i = O,..., , l k,ycuriak*O. Demostración En primer lugar demostraremos la existencia de la representación mediante potencias de h y cn segundo lugar que tal represcntaci4n es Única. Para lo primcro aplicamos el Algoritmo de la Di visiun 1- 1.9 a los números n y b. Tenemos

n = m l b + % con O < a o < h . Dividiendo m

por b Lenemos m1 = r n 2 b + a I COI] O s a ,

y coniinuarido el proceso

Veamos

existieran i

con O < Observei que ambas. en caso o conseguirlc Si restam

1-6 Sistemas de Numeración y Criterios de Dlvisibilidad obtenemos n rel="nofollow"> m l > m2 > rn3 >..., es decir, una siicesión de números naturales. Por el Principio dc la Bucna Ordenacidn tenemos que llegar a un primer elemento mk tal que

m k = O . h + a k con O < a k < b . general que todo nación de potencias :dirai que el númcro 5i

Ohs6rvese que ak f 0,porque s i ak fuera ceso, entonces ink = 0, conlrd Iü clccción de mk.

Si reescribiinos n de nuevo sustituyendo

los mi por

las igualdades de

arriba obtenemos, n = m I h+ao=(mlb+al)b+ao=

:onces todo numero la forma =ol b k + a k , bk-'+ ... + a l b+aO. Vcamos ahora la unicidad de esta representación. Supongamos que existieran dos represen taciuncs dcl mismo número n: e la represeniiicibn i 1 represcntaciíin cs

División 1-1.9 a los crinO

,..., k.

Obse~.vemos primero y uc sin pkrdida de generalidad podemos suponer que anibas representaciones tienen el mismo número dc h5-tninos, ya que cn caso contrario bastaría afíadir coeficientes a, 6 c, nulos para

conseguirlo. Si restamos ambas representacionestenenios

Como b 1 O y b divide a todos los sumandos cicl miembro de la derecha para i = 1, ..., k, necesariamente b 1 (atl - col. Co~iio%, Q O b, entonces


b ) (h- cCo) si y sólo s i % - cg = O , y por banto % = c0. Podemos prescindir de este sumando y escrihir

donde lu: ejemplo t Dividiinos esta igualdiid por ti y tcncmos

Podcrnos ahora repetir exactamente cl rii~onarnientoanterior con lo que obtenemos al= c ,. C:ontinuwdu el proceso nuevamente llegamos üI final a que a, = ci para i = 0, 1 ,..., k. 4 1-6.2 Notaci6n De ahora en adclarilc cuaiido tengamos un número

a ) Escr

b) Escr Solucidr

h) Para Divisi6n:

en base b, escribimos sirnplcmcnte

y por tanti Hcmtis visto que los a, < b. Si b cs un númcru rnayor que 10 los ai puedcn scr iniiyoies o ~ ~ u s l eque s I O; por Liinio necesitamos nuevos simbolos. Usualmente se utilizan las leti-as del alfabeto. As{ A = 10, B = 11, eic. El número (A3B1)16será en el sistema decimal

Resd 11 Solucidn En prirr Si no se quiere utilizar más quc las cifras del O al 9 otra opcibn seda representar el número (ak ak-l ...ala& en la forma

1-6 Sistemas de Numeración y Crlterlos de Dlvislbilldad

%demos prescindir

-c, rel="nofollow"> b.

nlo itntcriur cuii lo

mente llegamos al

donde los O 5 a, ib y no importa el numero de cifras que tengan. Así por ejemplo el (A3B 1) lc, podríamos representarlo coriio

1-6.3 Ejemplos a) Escn?-iasccl número 1 :W7en forma decimal. b) Escríbase el iiunizt*~ 33 350en base 1 3. Solución b) Para expresar este tiuriier.~eri base 13 aplicamos el Algoritmo dc la Divisibn: 34350=2642.13 +4, 2ó42=203.13+3. 203 = 15.13 + 8, 1 S = 1.13+3,

1-0.13 + 1. y por lün tu, iayor quc 10 los a, eccsitamos nuevos

ibeto. Asi A = 10. cima1 1-6,4 Ejemplo Rcsucl vase la ccuaciiin (72 1 =(x)~. Soluci8n Eri primer lugar expresamos (7210)8cn notücidn dccimal : 9 otra opcihri seria

I Teoria Eiemental de Números Mediante el algoritmo de la di visián escri himos 3 720 en buse 5 ; 3 720 = 744.5 + O. 744 = 148.5 + 4, 148 = 29.5 + 3, 29 = 5.5 + 4, 5 = 1.5+0, 1 = 0.5 + l. Por tanto3 720 = (104340)5. Es decir

1-6.5 Ejemplos a) Demuestrese que 12 1, = ([m + 112 para in 2 3. h)Exprkseae 169,en base 10 para m21C). Solucibn 3 2 a) Crimti 12 1, = I . ~ n + - 2.m + 1 = ([m+1J

Por 5 de

cqui valcnl

b)l69,=l.m 2 +6.m+9=([m+3]1)i0

Estudiamos ahora los criterios de divisibilidad, es dccir cslablecernos las condiciones necesarias y suficicntcs parsi que un número cua1quiei.a n sea divisible por un núrncro Tijiido k. 1-6.6 Criterio de divisibilidad por k Sca n un numero natural. Como

1-6.7 Ejempl Dcmuis suma de su Soluci6n Como 1(

Por tsintc Consideramos ahora los rcstus de la divisiirn de 10' por k para

1

1

20 en base 5:

1-6 Sistemas de Numeracibn y Criterios de Di'vísibilídad i = O, 1 ,..., t. Supongamos quc son ru, rl ,..., r,, dondc ro 10' = L y estamos suponiendo k > 2.

1 , ya que

Tenernos enlonces,

Por 5 de 1.5.9y por 1 .S. 13 se tiene qiie

t

luego n es divisible por k si y sólo si equivalentemente, si

1 a,ri = O

indd(k) u,

1 aisies divisible por k. + i=O

En los siguientes ejemplos obteiidrernos, como consccucncia dc cstc criterio general, algunos criterios para valores pcii?icularec de k. decir establecemos úmcro cualquicrü n

1-6.7 Ejemplo Demu6strese que un niimero natural es divisible por 3 s i y sólo si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Solución Como 10 = 1 mÓd(3) entonces para todo r 2 I

'

Por tanto aplicando el ciitecio geriei-al:

ie 10' por k para


t

n es divisi hle por 3 s i y sólo si

ai

= O mod(3).

i=O

es iriiiltiplc Como (

ariterior cri

Por ejemplo, 38 1 es múltiplo de 3 ya quc: 3 + 8 + 1 = 12 que es múltipln dc 3.

+

1-6.8 Ejemplo Enciitntrese iin criterio de divisibilidad por 7 . Soluci6n t

Sea n =

ai 10'. Dividiendo 10' por 7 ohtencrnos i=O

si a0 - ult

Solución Corno

1 = 1 mCid(7), i 0 5 3 mhd(7), los rcstos

lo2= 2 rnEid(7),

di visibilidr 1nU1tiplodt Por ejerr

Corno todo t > 6 podcmcis expresarlo como t = 6m + r donde O 5 r < 6 terielnos entonces que 10' = lobrn = 11)' mdd(7). Es decir, los rcstns 1 , 3, 2 , -1, -3, -2 se irán riticndo succsiviimcnlc. Aplicando el criterio gcncral lendrenios que el riiirnei-o +

'

t

n=

CailO, I

i = O

es inul ti plo de 7 si y sólo si

Observi naturales. ' n < O entoi signo.

+rdondcOIr < 6 r decir, los restos 1, plicando el critcrin

!

1-6 Sistemas de Numeración y Criterios de Divisibilidad cs múltiplo ck 7. Como ejemplo numknco consideramos el 38024. Aplicando e l anlcrior criterio:

4 + 3.2 + 2.0 - 8 -3.3 = 4 + 6 - 8 - 9 = -7 que es múltiplo de 7.

4

1-6.9 Ejemplo 1

Demuéstrese que un número n =

al 10' es divisi hle por 11 si y s61o i=O

si a. - al + a,- - a3 +...i (-llt a, es múltiplii de 1 1 . Solucibn

Como 1 = 1 m6d(l1), 10 a 10 rnód(1 1 ) = - I mtíd[l l ) , 1 0 ' i I rniid(1 I},

los restos son sucesivamente 1 , -1, 1, -1 ,.... Aplicando cl criterio de divisibilidad tencmos quc ag - al + - a3 +...+ (-1)' al ha ck scr múl tiplo de 1 1. Por e,jeinploel número 59 753 es rniiltiplo de 1 1 ya qrie

Observemos que en esta Sección solo hernos trabqjado cori núniei-os iiatui-ales.Todo lo dicho sirve para cualquier numero entero n ya que si n < O entonces -n > O y por tanto simplemente basta tener en cuenta el signo.

1.- Revuelvase las ecuaciones en x: a)(124)5 = x9.

I Teoría Eiementsl de Numeros

2.- Ptiithcsc quc cadii enleru positivo se puede escribir de manera única cn la forrna

3.- Hillcnse los criterios de divisibilidad por 14 y por Y. Aplíquese cstos critei-iospara obtener K a fin de que 68x063 sca divisihlc por 1 26.

4.- Considérese el número entero

(los riiinieros escritos son enteros positivos eilrre I y I O0 sin cspaciti entre eI!os). Estúdiese si n es di visi blc por 9.

5.- Ohréngase una gcncralizaciijn del criterio de divisibilidad por k de un numcrti n, cuarido n esta escrito en base 9, y como consecirencia: a ) Dese un criterio de di vi si hilidad por 8 dc (nIg. h) Estúdiese si (5326f1)~es divisible pot- 8.

La Tco ha estado se utilizb circuitos Ecoiiorriií

aplicanda

resultadoi

activa. Lí

ejemplo p aspectos 1 en la cxpl~ El prin pir blicada irnporlanl se puede Kempe, 1 Duranti otro hito u primcr tcr El obji elemental Grafos. En la pr Teoría, Lí grafos euii son aquel1 traxar dos

Introducción a la Teoría de Grafos

>irde manera Única

:'

9. Apliquese estos sihlc por 126.

y 100 sin espacio

ibilidad por k de uii secuencia:

La Teoría de Grafus es un campo dc las Matemáticas ciiyo desarrollo ha estado n~otivadosieiiipre por sus ap[icnciories. Así, dcsdc sus orígenes sc utilizó para la resoliici6n de juegos iniitemáticos, para el estudio dc circuitos eléctricos y cn divcrsas aplicaciones, por ejemplo en Quiiilica, Economia y Sociología. Eii la actualidad la Tcoría de Grafos sigue aplicándose dentro y fuera de Iris Matern6ticas. Sc han probado resultados profundos y continua siendo una rama de investigación muy activa. Las aplicacioiies de la Teoria dc rirafos a la Infomatica (por ejemplo para bases de datos o diseño de redes) han dcspcrtado interés en aspectos concretos de la Teoría, destacando la biisqueda de algoriimos eti la exploración de graros. F,I primer articulo sobre Teoria de Grafos fue escritci par Eiiler y publicado cn 1736. A partir de tal fecha niuclios itiaterriiiliccis iiliportaiites han realizado contribucioncs. Así, en el siglo XVIll y XIX se puede citar a Euler, Vaiidermonde, Cauchy, Cayley, llarni lton, Kcrnpc, Tait, Heawood, Kirchoff y Petersen, entre otros. Lliirante el presente siglo los estudios en eslc campn no han cesado, y otro hilo dc la historia de la Teoría de Grafos fue la aporicioli cn 1 336 dc I primer. texto sobre este thpico cscnto par 1). Kdnig. El objetivo de esta Segunda Parte es ofrecer una introduccihn elernciital a los conceptos, resultados y técnicas básicas de la Teoria de

Grafos. Eli la primcra Sccción sc introducen los conceptos fi~ndaiiieiitalesJt: la Teoría. La segunda Secciiin estudia dos tipos especiales de grafos: los grafos eulerianos y los l~arniltoniarios.Por ejemplo, los grafos eulerianos sor1 aqucllos quc sc pucden dibujar sin levaiitar el lapiz del papel y sin trazar dos veces la niisnia liriea. La lcrccra Sccciiin estudia el método de

!

2 Introducci6n a la Teoria de Grafos

representacián de grafos por matrices y el algoritmo de Dijkstra para encontrar la disbncia eiitre dos piintos de un digrifo cliquetndo. La cuarta Seccióií esti dedicada a aqucllos grafos que iten una ~ q m s e n t a c i b n grifica cspccial en el piaiio y al estudio de tales re~resentacioncs.u ut: se denoiiiiiian mapas. Iiinalmentc sc in troducc la problcniáiica de ia coloración de grnfos.

r

1

'

En csta acerca de g

Idosgraf íormalmen Geomtti cspacio, qi la figura 2 , 2-1.1 Definlc TJn grafi

ordenados

cot~jur~fo dt llama el col Sc cscrihe (

y conjunto conjunto de Dado un Si el par de v son nWl llamaremos

1 Grafos, Digrafos y Multigrafos. > de nijkstra para .fo ctiquctaclu. La que adiniteii una estudio de tales te sc in troducc la

t

En esta Seccioi~introduciremos cl lenguaje y los conceptos básicos acerca de grafos. Los grafos pueden scr considerados como diagrainas o dibujos. o hicn formalmente coiiio uii par de conjuntos. Geométricamente un b ~ a f oes iin conjunto de puiitos (vértices) cn cl espacio, que esta11conectados por un conjunto de líneas (alistas) (vkase la figura 2.1 .1). A continuacliiii ofrecemos la Jcfiniciiin formal de grafo.

Un grafo G coiista de uri conjunto V y iin conjunto E de pares no ordenados de elementos distintos de V. El conjunto V se Ilaina el conjunto (le vértices siendo sus elementos los virtices. El conjunto E se Ilaina el conjunto de aristas ("edges" en ingles) y sus elemcntos aristrrs. Se escribe G = (V, E) para dcsignar el grafo G con conjunto de verticcs V y conjunto de aristas E o bien dado un grafo G se denota por V(G) el corijunto dc vtrtices de G y por E(G) el coiijutito dc sus aristas. Dado un grafo G (V, E) seari u, v dos vértices de ti, es decir u, v E V, Si el par dc virtices u, v forma una arista de G,se dicc que los vértices u y v soti udyucentes y designaremos la arista por uv, así UVEE.También llamaremos a los vertices u y v, extremos de la arista iiv.

-

-

El grafo Ci represeiitado en la figura 2.1.1 tiene por coi~ju~ito de

vkr~iccs:

v = ( v j , vZ,-.., v7), y como ctinj un to de aristas:

-

-

I

2 Intrúducclbn a la Teoría de Grafos

r

-

2-1.4 Ejemplt

Supongai quc dcbcn

I

I

Figura 2.1.I En cl ejerriplo 2- 1.2 los vtriices v4 y v7 son adyacentes mientras que v, y vq no 10 son. Coino en el ejemplo 2- 1.2, todo grafo se representa geomktricamcnlc (o se dibuja) medianlc una figura cuiistruida del siguiente modo: a cada vtrtice se Ic hace corresponder un punto y si dos vkrticcs sori adyacentes se dibuja una línea uniendo los puntos corrcspondicntcs. Dcnolarenios por #V el tum mero ric! Ye'rtlce,~dc un grafo (V, E)y por #E el nzimero tic aristns. Un grafo sc dice que esfifirritosi # V es finito. En este libro s61o estudiaremos los p í o s finitos. A contiriuación ofrecemos algunos ejcrnplos prácticos donde aparecen grafos.

I

cualificado se represent iin emplead

para realixai

+

-

Siguiendc clondc:

Existen a frecuenteme (posiblemen fonnal de n xt-i~rdsdistin

Tenemos tres casas, a, b, c y tres fábricas que producen hicncs necesarios para dichas casas, g (gas), w (agua) y e (electricidad). El grslfo dc la figura 2,1.2 muestra cbmo las tres casas deben estar conectadas con las fibricas de modo que cada casa reciba los pi.odiictos de cada una de

las fábricas. a

b

Figura 2,1,2

c

m: La figura

1

2-1 Grafos, Dlgrafos y Multigrafos.

2-l.4 Ejemplo

Suponganios que una emprcsa ticnc cinco empleados e l . el, e3, e4 y e5, que debeti realizar tareas difcrcntcs t l , t2, t3 y t4. Cada empleado esta cualificado para realizar una o mhs [arcas. En cl grafr, de la figura 2.1.3 se representan los empleados y las tareas en los vértices dc un grafo y si un empleado es aclyacente a una tarea significa que se halla cualificado para realizarla:

!desmientras que vg a gcornilricainerite

Figura 2.1.3 Siguiendo la definición 2-1.1, el gafo de la figura 2.1.3 es G (V,E) donde; V= (el, e2, e>,e4, es, ti, 12, t3, t4) egt3, e5t4j. + E = {ell,,~ $ 1 , ~ $ 3 , e$*, e ~ t se3tj1 , Existen algunas variaciones de la idea dc gmfo que son muy dtiles y frecuentemente usadas. Así, un u es un grafo con (posiblemente) varias aristas entre dos vértices, por tanto en la dclinicibn formal dc multigrafo, cl conjunto de aristas puede contener algunas aristas distiritas con cl mismo par dc ex [remos.

iente niodo: a cada .ces son adyacentes

:

ES,

'afo (V, E) y por #E IV cs finito. En este :os donde apareccn

producen bienes ztricidad). El grafo star conectadas con :tos de cada una de 2

1

I 2-1.5 Ejemplo La figura 2.1.4 representa un inultigrafo,

p.\ v3

v2

Figura 2.1.4

2 Infroduccidn a la Teoría de Grafos

con conjunto de vkrticcs { v l , v2, vl) y conjiintci dc aristas E

-=

(vlv2,

viV2r V2V3*v]V31 v 1 v 3 ) .

Otra variaci6ri del coiicepto de grafo cspsezidogrujb. Al c,ontrarioquc en un grafo eii u11 pseudografo c s t h permitidas aristas cuyos extremos coincideii, tales aristas se denominan luzos.

-

2-1.6 Ejemplo La figura 2. L .5 representa un pseudografo,

Anibos pero el de v3vi} mie ' 3 ~ 1 1 . La que define Por su coriceptos

Idosmal wbjcios sor; coincide I iiiiportarite; partes, que precision Ic

Figura 2.1 .5 donde el conjunto de verticcs es {u!,uz, u3) y e l de aristas {ul u], u l u2, u2u2i ~ 1 ~ 1 1 ~ ) m

Otro conclo util es el de (tigrojo (O grafo dirigido), UII digrafo es un grafo dondc a cada arista se le asigna un ordcn de sus extreiilos. E1 orden sc iridica eri el dibujo del grafo con una fleclia (vease la figura 2.1.6). Sc llama origen al primer vkrtice dc una arista yJr1 al segundo.

biyeccibn t f(u)f(v) E E

cntonccs qu

2-1.7 Ejemplo En la figura 2.1.6 tenenios dos digrafos,

y ,

pv;

Figura 2.1.6

(Obsérvese q

:

1

2- 7 Grafos, Digrafos y Mulfigrafús. Ambos digrnfos time11 el niisrno conjunto clc vkrticcs (vl, v7, v ] } , pero e1 de la iigura 2.1.6 (a) tiene por conjunlo dc aristas {vlv2,v ~ v 3 , V ~ V }, mientras que el de la figura 2.1,G (b) ticnc aristas (vZvl, vsv3, V ~ V ), . La diferencia fbmal consiste ahora cn quc los pares de vértices que definen las aristas en un digrafo son para ordenados. +

aristas E = { v 1 v2,

fo. Al contrario que

tas cuyos extremos

Por supuesto piieden aparecer iiiulti tud de \.ariaciones de los coricepros antcriorcs como ni irltirligrajus o ppseuclomul~idigru~o.~.

Los riialemAlicos usan el tkrmjno isornorfisnio para expresar quc dos objetos soii "esencialnicnlc iguales" o bien que su estructura rriatemálica coiiicjde iiiieiitras que pusi hlemente existen aspectos no niuy importantes (desde el purito de visla rnatem6tico). como nombres de sus partcs, que son diferentes. EII la siguiente dcfinicihn se refleja con prccisiiin lo que se entiende por isomorlia de grafus: aristas {u I il ,~u ~ 2 , .o). Un ctigrah es u11 i extrenios. El

orderi :la figura 2.1.G). Se gundo.

i

2-1.8 Definición. Sean G (V, E) y G' = (V', dos grafos y sea V + V' una biycccion entre los conjuntos de vérticcs tal que uv E E si y solo si f(u)f(v) E E'. 1,a hiyeccibn f se denomilla i s u m o r f i ~ i ~dc o G a Ci'. Se dice eritoiices que los grafos G y G' son isornodbs.

-

Coristniyase un isomorfismo entre los grafos G y G' de la figura 2.1.7

Figura 2.1.7 (Obsérvese que el cruce de las aristas u[u3 con u2uqno es un vertice).

2 Infroduccidn a la Teoria de Grafos

de aristas c

Solucibn IJn isomorfismo entre

G

y

flu). 4

G' vieiie determinado por la siguiente

biyeccibri f; V(G) V(CJ'): f(x) = u,, ~ C Y ) = u2i - ujr qt) = U4. Para demostrar que f es u11 isoinorfismo hay que comprobar quc dos viirtices adyacentes en ti se transfoman por f cn vkrlices adyaceiites de G', y que las preirnagencs por f de dos vktices adyacentes en G' son dos vCrticcs adyacetites de G , lo que eii este ejemplo es una cornprobaciiin

2-1.1 3 Teoren Sean G = el número c

iiuiiediata. +

Con este ejemplo observamos que dos grafos isornorfos pueden ser representados por figuras aparcntcmcnte muy diferentes. Por supuesto pucdcn cxistir varios isorilorfisr~iosdiferentes eiitre dos grifos isoniorfos (véase el ejercicio 4).

Por tank grado impa Dernostrai Al realiz tiene dos e hito se tier

Otro i~~iportaiite concepto es el de grado de un vkrtice.

2-1.1 0 Definicibn Sea G iin grafo y u un vérticc dc G. Se llama grutlu de u en G, gr(u), al númcro dc aristas de G que tiene11 al vértice u por extremo.

-

2-1.1 1 Ejemplo En el grafo dcl cjcmplo 2- 1.2 el grado del vértice vs es 3. + Obsérvese que el grado de u11 vértice es iin concepto que depcndc Úiiicaiziei~tede la estructiira matemática del grafo y por tanto sc conscrva por isomorfismo. 2-1.1 2 Proposicibn Sean G y G'son dos graros y f uii isoniorfisn~oentre ti y G'. Si u es rin vértice de G entonces gr(u) = gr(f(ii)). Demostracibn. Sean G = ( V , E) y G'= (V', E') dos grafos y f: V + V' un isomorfismo entre ellos. S u u E V. Puesto que f pi-esei*vala adyaccncia, f define una biyeccibn eiitt-e los vértices adyacentes a u y a flu). Por tanto el numero

Sean VI,

grado impz

númcro par I

1

1 sr(vi) i = l

I

iiúine escribir, gr( es uri

¡

l

2-7 Grafos, Digra fos y Muitigra fos.

de aristas con extremo u coincidc con cl número de aristas con extremo lo por la siguiente 40

zomprobar que dos tices rulyacentcs dc entes en G'son dos una comprobaci~n

f(u).

+

El próximo resultado se llama trndicioiialmcntc "cl primer 'I'eorenia de la Tcoria dc Grafos": 2-1 .í3 Teorema (Primer Teorema de la Teoría de Grafos) Sean G = (V, E) un grafo, V = { v l ,..., vp) el conjunto de vertices y #E

el niimero de aristas. Entonces: ~rnorfospucclcn scr t es.

iifereiites entre dos

ice.

Por lanto todo grafo contiene un iiumero par ( o ccro) de vértices de grado iinpar. Demostracibn. Al realizar 13 suma de los grados dc todns las vtrticec, como iina arista licnc dos extremos, cada arista se cuenta exactidmcnte dos veces. Por tanto se tierie la igualdad

Sean v l ,..., v, 10s vkrtices con grado par y v,+l,..., vp los que tienen grado impar. El niieinbro de la derecha de la igualdad anterior es un númcru par, así como la suma de los grados de los vkrtices con grado par,

cepto que depende 3r tanto se conserva

:e G y G'. Si u es uii

V' un isomorfismo cencia, f define uiia 'or tanto el niimero m

C gr(vi).Por tanio

i=t+l

i=l

es un niimero par 2m. Como gr(vi) para i = t + 1,. .., p, es impar podcmos escribir, gr(vi) = 21i,+ly así;

2 Introduccidn a la Teoría de Grafos

Se tiene

' i = t + ~

donde grt ,( grG (v) cs c 1

1

L,ucgo p - t, quc es el nuinero de vkrtices con grado impar, es un

numero par.

A contir uso sobre tc

+

2-1 .17 Deflnlcl Un grafo dichri grado

2-1.14 Ejemplo El grafo de I;r figura 2.1.3 tiene seis vérliccs dc grado impar: el, e3,e4, 11, t3,t4.

+

2-1-15 Definicibn. Sea G = (V, E) un grafo. Un szrbgrufo de Ci es cualquier grafo 11 = (V(H), E(H)) de rnodo que V(H) esti contenido en V y E(H) csih coriteriidu err E.

Los subgrafos de G se obtienen "horranrici" o eliminando algu~ias aristas y vertices de C;, de modo quc si supriminios un vertice lieinos de borrar todas las aristas quc tieneri tal ~erticeconio extremo.

-

2-1.18 Ejempfi

Conlo CC de grafos se 1

I I

2-1.7 6 Ejemplo El grafo 1-1de la figura 2.1 -8 cs un subgrah del grafo de la figura2.1.1 :

1

2-1.19 Deflnlcl Iln grafo extremos de

2-1.20 Proposi Dos grafo Demostrae Sean G = riúmero de v

Figura 2.1.8

l

2- 1 Grafos, DIgrafos y Multigrafos.

Se tiene que si H es un subgrafo de G y v E V(H) c V j G ) ,

grado impar, es

da impar: c l,",

gI-l(v) 5 @G(v), dondc grH(v) dcnuta cl grado del vértice v como vertice del grafo H y grc;(v) es cl grado dcl vcrtice v como vértice del grafo ti. A continuaciijti definimos algunos tipos especiales de grrtf'os de gran uso sobre todo eli aplicaciones.

iin

2-1.17 Definlclbn IJn grafo sc dice regrslar si todos sus vertices tienen el riiismo grado. Si dicho grado es k entonces cl grafo se [lama k-regtalnr.

c4, I

ualyuier grafo H en V y E(H) esta

2-1.18 Ejemplo EI grafo de la figura 2.1.1 no es regular pues gr(vz) = 2 + 3 - gr(v4), EI grafo G de la figura 2.1.7 si cs rcgular (en particular, es 3 -regular). +

i

I

1

:liminando algunas m vkrticc hcmos clc

remo.

I !

I

I

Coiiio co~isecueticiadel Teorcma 2- 1 -12, la propiedad de regularidad de grafos se coiiserva por isonior lismo.

2-1.1 9 Definicibn Un grafo para d que cualquier par de vtrtices esta formado por los extremos de una arista sc llama grafri compke~o. 2-1.20 Proposicibn Dos grafos completos con el mis1110iiúniero dc vhriiccs son isomorfos. Demostracidn. Scan G = (V, E) y G' (V', E') dos grafos co~npletoscon cl mismo núniero de vértices r. Sean los rcspcctivos conjuntos de vertices v = {vl ,...,v r ) , V ' = {u,,..., u,.). Lonsidereiiios la aplicaciiiti V + V', dada por f{vi) = lii, i = 1,..., r. Entonces f es iu-iri biyeccián y por la definición de gafo completo todo

-

2- 1 Grafos, Digrafos y Multigrafos.

acentes, por ser G' . Partiendo ahora de que son siempre .entes,pues siempre -fos. +

4

es isomorfo a los

rilgorilrnicos para decidir si tina cuestioii iiiateniática es o no demostrable. Esta era una prcgun tas formuladas por el iiiatei~iaiico aleniin David llilbert en el Congreso Iriternacional dc Matemáticos de 1900 (la lista dc los problemas de Hilberi fue y coritiiiúa siendo uno de los inotores de Ia in\lcstigación en Matemáticas). Coii su resultado 'l'uring piiso Iinlite a las posibilidades de un ordenador que es una máquina que funciona con algositirios,mostrando quc hay tareas que son iiiacccsiblcs usando cste tipo de procesos algoritiiiicos y así sc considera el fundador de la teoría dc la computacibn y la inforn~aticatedrica. Es importante observar e1 moiiieiito eri quc sc produjo el avance de Tiiring, pucs unos iifios antes, en 1931, el iiiateiiliti~u Kurt GlSdel habia demostrado el teorema dc incornpletitud: a partir de un sisicma axiam&ticoy iisando las reglas de la 18gica formal, existen proposiciones rrialcrniiticas dc las que no es posible deiiiostrar su veracidad o falsedad. Para llevar a cabo sus estudios Turing crcti y estudi6 máqiiinas teiiricas quc modelizan los ordenadores y las tareas quc cstos pueden realizar. Entre las miquinas teóricas más sencillas que se estudian cn tcoría de coiiiputacióii están los llamados autbrnatns finitos. Estas iniquinlis sc suelen representar usando grafos y csia cs la aplicacibn que vaiiios a prcscnlar.

a Ires, nidiante los las aristas de K, los ra tratar cuestiones Teoría dc Grafos cs

a la inrvrrriiitica, de

tudio de esta parte. . mis in~portai'iteen :as puede realixar un cioncs dc capacidad tales lareas. a por Alan Turing 3

existen proccsos

Un lenguaje es un conjunto dc sirribolos y reglas que es usado para la prcigramaciiin y la comunicacióil. Los autbmalas finitos son iin tipo de n-iiquiiias que sr: usan para rcconocer si tina palabra perteriecc ci no a un determinado lenguaje. Es decir, un autiimata finito es una máquina que, usando un niimero finito de pasos, puedc rcconocer si una lista coiistruidü a parlir dc un alfabeto dado, esta 0 iio en uri lenguaje. Pasanios ahora directamente a la clcfinición formal: 2-1.22 Definición Un írirfdmntnfitiitoes un quintcto M = (Q, S, d, v, F), donde: 1. Q es un cotiunto fini tci de posibles estados de M (es dccir un conjunto finito cualquiera), 2. S es uri alLiheto (otro conjunto tínito cualquiera), 3. ti cs iina aplicación de QxS eii Q que se llama funci6n de trrinsiciiii~,es eri [,ea1¡dad el mccani smo de la mrlquina, 4. q E Q es el estado inicial, 5 . F c Q es el conjunto de estados tinales.

2 Introducción a la Teoría de Grafos

La idea es que en cualquier estado de Q la aplicacihi d nos dice como pasar a otro estado a partir dc un dclernii~iadodato que se introduce en \a

mhquina. Al final una palabra es aceptada o rechazada dependiendu si a partir de un estado inicial la palabra dada nos lleva o no a uri estado final isible, es decir un elemento de F, Para describir d es donde entran los grafns. Un mitodo para rrcsentar aplicaciones de QxS en Q es mcdianie digrafos. Se considera un pseudomultidigrafo cuyo conjunto de vertices es el conjunto de estados Q. Adcmás se considerará un etiquetado de las aristas dcf grifo mcdiantc los elementos del conjunto del aifahcto S , formalmente una aplicacibn del conjunto de aristas cn el allabeto. El grafn se construye con la siguiente propiedad, dos vertices qi, qj de Q se unen con una arista con origen cn q,,final eii q, y etiqueta s de S, si d(qi, S) = qj:

-

Figura 2.1.10

Veamos iin ejemplo:

2-1.23 Ejemplo Seati Q = (u, v ,w , x, y, x), S = (0, I }, q = u y F = ( w ) . Suponemos que la funci6n d vienc dada por el siguiente digrafo:

Figura 2. l . 1 1

1

1 in d nos dicc comci t se introduce en la a dependiendo si a lo a un estado final

Un método para rafos. Se considera

es el conjunto de as aristas del grafo

1

2- 1 Grafos, Digrafos y Muitjgrafos.

Por ejemplo del digrafo se tiene que d(x. O ) = z. Veamos como funciona ahora nuestra m6qtiina. Nos dan una palabra, por ejemplo (0,0,1 ,O,]) y al leerla nueslra miquiria va pasando por los siguicn tcs estados: Estado iriicial: u; primera Iclra de la palabra dada: U; aplicanios d y ohtenemos d(ii, O) = w. Aplicmos d s w y a 1ü scgunda lctra dc la palabra que es O, djw, O) - x. d(x, 1) = y .

, formalmente una grafo se conslruye lnen cori una arista = ql:

v

d(y. U) = u. d(u, 1) - v, Como llegamos a iin estado v que rio es un cslado final isible, 6~ F ,la palabra de la que hemos partido iio perieriece al Icnguaje. No todo lenguaje ite la posibilidad de ser tratado mediante

uii

aulrjmala finito. T,a clase de lenguajes que si lo perrniicn son Ins llamaíios

lenguajes regulares y csto constitiiye otro de los resuliadvs ccnirales dentro de la teoria de la compuiticion llamado el Teorema de Klezne. Sthen C. Kleene (1909-1994) fue otro dc los fundadores de Ia iiiforinática icónca juntamente con s i l director de tesis, Alonsr} Church, y con Alaii Turiiig y John von Ncurnann.

= (w). Suponemos

2-1.24 Ejercicios 1 .-Dado el grafo G = (V, E) donde V - {a, b, c, d, c) y E = ia h, bc, be, cd, de, ad), co~istrúyascuna rresentacibn gráfica de G .

2 Inlroducci6n a k Teoría de Grafos 2.- Sea G el grafo dado por la siguiente figura:

Figura 2.1.12 b~scrihaseexplícitamente el conjunto dc vkriices y de aristas de Ci. 3,- Dígase cuál de los djagramas siguientes corresponde a i i t i multigrafo, a un pseudografo y a un digraro:

4.- En el ejemplo 2-1.9 sc ha cunstruido un isomorfismo dc G a G' que hemos llamado f. Colistniyase uii isomorfismo g dc G a G' diferente de f.

2- 1 Grafos, Digrafos y Multigrafos. 5.- Pruébese que el grafo G dc la figura 2.1 .14no es isomorfo a G'.

de aristas de G.

Figura 2.1.14 6.- Un isoniorfismo dc un gafo en si mismo se denomina autornurfismo. La composici81.ide aplicaciones define una operacibn en el conjuiito de automorfismos de iin grrifo. Prukbese que el conjunlo dc automorfismos de u11 grah iorrrili un grupo con la operacibn composició~i,Tal grupo sc denomina el grupo de aulomorfismos de un grafo. El grupo de automorfismos de un grafo es util para detcctar si dos grafos son isomorfos, pucs en tal caso íos grupos de automorfismos dcbcn ser isoii~orfos.

I I

uide a uti ii~ultigrafo,

7.- Halleiise todos los subgrafus dcl grafo:

i -fismo de G rt ti' que G a G' diferente de f.

Figura 2.1.1 5 8.- Pruébese que todo gafo conipleto es regular. Ohtkngase iin ejemplo de grafo regular no comy leto. 9.- Demuestrese quc lodos Iris siibgrafos (k-2)-regulares de Kk son isoi-i-iorfosa Kk- para k impar. 10.- Encukntrese un subgrafo 2-regular de Kq nu isun~orf~i a K3.

149

Grafos eulerianoc y hamiltonianos

Los graf'os son usados coii frecuencia pasa represcnlar rcdcs dc cornunicacion o de transporte. En i i i ~grafo que represente uiia de estas rcdcs cs importan tc conoccr 1a existencia de caminos que recorran todas las aristas o todos los veriiccs y quc cn cicrto modo sean los más "econbmicos". Este tipo de problemas es el objeto de esta Sección. Comenzanlos COI] varias definiciones hasicas sohre caminos en un grafo:

2-2.1 Definiciones. Sca G un grafo o un rnultigrafo. Un cnnritro en Cj es uiia sucesi6ii (finita) en la que aparecen alternadirmcntc vcrticcs y aristas de C;: v01 VOVI,VI. V I"1. V21..., Vt1- 1 , Vi," 1 v,,, vrl, doiide cada arista liene por cxlrcmos los vértices adyacentes en la siicesibn. A Los ~Sr-ticesv~ y v, si: lcs dcnomina exrrejitns del camino. Tainbieii se dice que el camino cuneciu vu con v, o quc va dc vo a v,. La loragitud del caniiiio es el iiúiilero n de aristas y uc conlicnc. Un camino se dice que es cevrcrrlo si sus extremos coinciden, es decir vu --- v,. En un gafo (pcro no en un miiltigrafo) iin camino puede ser especificado simplerncricc por la succsihn dc los vériices: (v o,..., v,). Un camino se dice que es simple si en la succsión dc vkriices no hay ninguno repetido. Un ciclo es uii canino cerrado donde el único vcrticc rctido cs el primero que es igual a l Último, ademas, en el caso de caminos de longitud dos, sblo consideramos ciclas a aquellos caminos cerrados en miiltigrafos que tio repite11aristas. Un circuilo es un caminv cerrado quc no repite aristas.

2-2 Grafos eulerianos y hamiltonianos Así cn el grafa de la figura 2.2.2 no existe ningíin camino entre v3 y v4,

\ II

2-2.5 Deflniclt5n. 1 Jn grafo G es cotiexo si para cada par de vertices u, v existe u11 caniino cuyos extremos son u y v. En caso contrano decimos que G es desconexo .

,odoiiiuy Útil:

Irtices distintos x e y conecte x e y. Sean ino. Tomemos ahora este proceso hemos una mhs. Si después L operacibn anterior. >,también lo cra cl ida. Así después de de eliminación de

:y cxisic un camino ;te heclio iio ocurre.

Figura 2.2.2 4 Si un grrifo representa una rcd dc comunicaciones es indudable que es ii~iportanteconocer si existen caminos cntrc cada par de vértices. Esto motiva la siguiente defriiiciiiii:

2-2.6 Ejemplo El grafo de la figura 2i2.1 cs cancxo mientras que el de la figura 2.2.2

1 l i

es desconexo.

+

A continuación presentaremos el problema que la mayoría de los autores sefialan como cl origcn histhrico de la Teoría de Cirafos. En la figura 2.2.3hemos esquetnatizado un plano dc la antigua ciudad dc Kdnigsberg en la Pmsia oriental, mostrando el rio Pregel que pasa por la ciudad y los sictc pucntcs quc lo atravesaban en el siglo XVIII.

Figura 2.2.3

el reto de encontrar ;cruzando cada uno la. Pucslo que todos que era iii~posible o fue estudiado ib un artículo dondc iculo desarrolló uria les. .madt:Kvriigsberg a :senti, el mapa de la :rrestre de la ciiidad - una arista quc iinia s por dicho pueiite

1I

2-2 Grafos euleríanos y hamiltonianos

i

circuito) que contiene todas las aristas apareciendo cada una de ellas exac,taníente una vez. Un grafo que ite uii cjrcujto euleriaiio se

i

crutiino o circuito euleriario puede pasar varias veces por un mismo vértices. Uii

Eulcr cnconlro una caractcri7,aciiin de los grafos eiilerianos en térmirios de los grados de los vertices. Rcsolvió un problcma más general que la pregunta sobre los catniiios sobre los puentes de Konigsberg.

Otro modo de enteiider qiie es iin camino euleriano eii un grafo G es un rnodri dc dibujar cl grifo sin lcvantar c l lápiz del papel y sin pintar dos veces la misma arista.

!

Para conseguir uii nedio de cada arista el problema dc los te modo ; is las aristas? nina euleriano. ).

es

un camino (rcsp.

dcnom inagrafo euleriaizo.

1

El grafo de la figura 2.2.5 tiene un carnino culcrianu: (u31 u27

u3, u41 u67

u27 u ] u57 "4) 9

Figura 2.2.5 2-2.9 Lema Sea G un graco. Si G cs culcnano toda vb-tice dc G tiene grado par. Demostracidn. Sea v uii vértice de G . Poderiios coiitar las aristas quc licnen por extremo v siguiendo un circuito euleriano g en G. Si v no es el prirricr vkrtice de g cada vex quc tal circuito pasa por v contribuye con 2 al grado de v pues las aristas que preceden y siguen a v en g licncn por extremo a v. Si v es el primer vtrtice de g, el circuito g coiitribuye con 2 al g r d u dc

2 Introducción a la Teori'a de Grafos v eii todas las "visitas" a v salvo cn la primera y la ijltjma en que afiade uno cada vez. En cualquier caso v tiene grado par en G .

-

2-2.1 0 Ejemplo El grafo dc Ia figura 2.2.5 iio es euleriano pero ite un caminv euleriwio. Existe un rcsuliado similar, corno consecuencia de 2-2.9 para grafvs con caminos eulerianos.

*

2-2.11 Lema Sea G un grafo. Si G ticnc un camino euleriano entonces o bien todo vértice dc G ticne grado par o bieii exactamente dos de los vérticcs licnen gradv impar. Demostracibn. Sea Ci = (V, E) un grafo con un carnii-ro euleriano g. Si tal c,aliiino es cerrado entonccs por 2-2.3 todos los vertices de 6 tienen grado par. Supongamos ahora que el canino g no es cerrado y sean u y v sus extremos. Toinemos ahora iin grafo C' = (VI, E') tal quc V' -- Vu ( w J y E' E u {wv, wu) donde w no pcrtcnccc a V, Si g - - (v, v , ,..., v,., ri) eirtonces (w, v, VI,..., v,, u, w) cs un circuito euleriano en G', por tanto todos los vkrtices dc G'licncn grado par. Como para todo x E V, x distinto dc u y v, se verifica grG(x) = grG(x) y grc;(u) = grGt(u)- 1 , grG(v) = grGu(v) - I obtenemos el resultado pedido. + El Lenia 2-2.9 da una condiciiin necesaria para que un grafo sea euleriano y como en el grafo G dc la íigura 2.2.4varios de los vertices tienen grado impar, por cjcmplo el vértice d tiene grado tres, se concluye que el problema dc Konigsberg no tiene solucibn. AdemAs, Euler enuncib quc la condicióti de paridad en los grados de los vérticcs dc un grafo Conexo es suficiente para que el grafo sea culcriano (sin cmbargo en su articulo origiiial no lo probó y la prirncra prucba publicada es de C . Hierholzer en 1873):

2-2.1 2 Teorema IJn grafo conexo es euleriano si y sólo si cada vertice tjcnc grado par.

2-2 Grafos eulerianos y hamiltonianos iliima en que afiade

i.

ite un camino le 2-2.9 para grafos

itonces o bien todo e los vertices tienen

g. Si la1 camino cs i tierieii grado par. I y sean u y v sus ~ e V ' = V u { w yE' ) = (v, v , ,..., vr, U) ino cn C',por tanto 'ara todo x E V, x = gr~'(u1- 1, g r ~ ( v ) i que

un grafci sea

trios dc los vtriiccs do tres, se concluye in. Adends, Euler e los vértices de u11 xiano (sin embargo 3 publicada es de C.

:e tiene grado par.

Ailtes de dernostiar este Teorema probarcmos cl siguiente lema:

2-2.13 Lema Sea H un grafo tal que todo vértice de H iienc grado par. Si u y v son dos vkrtices de H que son adyacentes eiitoiices existe un circuito g quc conticnc a la arista uv. Demostraci~n. Coriiencemos un camino g por u y la arista uv. El camino se continha utilizando la siguiente regla: cada vez que el camino g Ilcga a un vértice w distinto de u se continúa el caniiiio usando uiia arista que rio aparex/.ca con anterioridad cn g, si w = u damos por tem~inadoel circuito. El proceso es siempre posible gracias a que los grados dc los vértices son pares, y cada vez qiie g "visita" u11 vertice utiliza dos aristas con un cxtrcmo cn la1 vCrticc: una para llegar y otra para salir. Como el iiuiiiei-o de aristas y vértices de G es finito, g acaba pnr rcgesar a ii y por constnrcción g es un circuito. +

Demostración de 2.2.12. Por el Lema 2-2.9 basta probar yuc si G cs un grafo conexo con todos los grados de los vértices pares entoiices G es euleriano. Sea G - (V, E) un grafo concxo de modo qiie cada vértice de G tiene grado par. El teorema es trivial para #V - 1. Supongamos que #V : y 1 y scan u y v dos vértices adyacentes en G,entoiices por el Letria 2-2.13 existe un circuito g quc contiene a uv. Sea ahora Gt = (V, E') el subgrafo de G obteiiido borraildo Ias aristas en g, es decir: E' = E - {aristas de gJ. Obsérvese que G' tiene todos sus véitices de grado par. Si E' cs cl conjunto vacío cntonccs g es iiti circiiito eiileriano y por tanto hernos coiicluido. Supoiigai~iosy ue E' # 0 cntonccs existe un vkrtice x qiie tizne grado mayor que cero en G'.Por ser G conexo podcmos encontrar irn vkrtice de g, que 1tanlaremos y, con grado mayor que cero en G. En efecto, si x eslh en g basta tomar y=x. Si x no tuera vertice de g, consideramos un vértice cualquiera w dc g y pucsto que G es conexo construimos un camino c en G con extremos x y w. Sea zy la primcra arista de c y ut: saiisfacc xy E g, es decir zy E E' e y es un vértice de g. Claramente y es el vertice buscado, Sea por tanto w y E E' con y vkrticc de g. Aplicando el Leilia 2-2.13 a G' y wy obtenemos iin circuito gt en G'conteniendo a wy. T'odemos iinir g y g' en y del siguiente modo de ii a y siguiendo el circuito g, a ~onlinuacion rcctirricndu g' y finalmente acabando g desde y. De este iiiodcr

2-2 Grafos eulerianos y hamiltonianos

;. Si E' - (aristas de :so.

omo sea necesario, .da coilstrucci6ii el el proceso finaliza

Comcnxamos oblcnicndo un circuito que parte de a siguiendo las iristruccioi~esdel Lenia 2-2.13. Supoiiga~iiosque lieiiios obteiiido así cl circii ito: Y - (a, b, c, d, a). A continuación borramos las aristas recorridas por y:

acihn dcl Tcorcma leriario c ~ un i graro lno:

Ide calles que está is del cartero debe :uentra en el vértice

Figlira 2.2.7

En el grai'o C;' de 13 tigura 2.2.7 elegimos uiia arista quc tcrigii un extremo en y, por ejemplo a f y aplicamos de nuevo el proceso de 2-2.13 obteiiiendo: yt=(a,f,d,h,c,i.li,g,fle,a). Uiiieiido y' a y obteiienlos el circuilo: y, = l a , f , d , h , ~ , i , h , g , ~ e , a , b , c , d , a ) .

: ~ grailo i

par, por el lar su reparto si11 o euleriano.

2 Introduccibn a la Teúria de Grafos

Borrando las aristas de y 1 obtenemos el grafo G":

I

2-2 Grafos eujerianos y hamiltontanos

Tal circuilci esli rrescntado de fonna esquemática en la figura 2.2.9:

repetir el proceso

Figura 2.2.9 + Por supuesto e11 u11grafo euleriaio puedcn cxisiir varios circuitos eu terianos diferentes (vease e l ejercicio 8).

En cuanlo al problema de encontrar caminos eiilerianos el resultado dacio, el circuito a>,

arialogo al Teorema 2-2.1 2 cs cl siguiente:

2-2.15 Corolario. Un grafo conexo ite un camino eulerimo no ccrrado si y sblo si cxactamente dos vdrtices tienen grado impar. Demostración. Pur el Lema 2-2.1 I hcmos de probar Únicamente qiie si Ci = (V, E) es 1111 grafo con exactai~ientedos vertices con grado iinpar entonces C; ite iin camino eiileriano no cerrado. Sean u y v los vértices dc G quc lienen grado i r n p r . Como en la demostraci6n de 2-2.1 1 sea G' el grafo obtenido a partir de G ailadiendo un vkrtice nuevo más w, y dos aristas que unen w con u y con v, es decir G' - (Vv{w}, E {wu, wv)). Todos los vérticcs de G'tienen grado par. Por el Teoreiiia 2-2.12 existe un circuito euleriaiio en G', g , Adcmis podemos construir g de modo que comience y finalice en w: (w, u, V I,...,v,, v, w). Erilonccs (u, v , ,..., v,, v j es el camino euleriano buscado. + {J

2 Introducción a la Teoria de Grafos Hasta el moinento. en esta Seccioii Iieinos considerado el problema de determinar si en uii grrifo hay iin circuito qiie contiene todas las aristas. Otro problema famoso en Teoría de Grafos cs dctcrminar cuando un grafn itc un ciclo quc conlicnc a ~odossus vertices. Sca G un grafo. 1111camino simplc cri G quc coritiene todos los vértices G se deiiomiila camino hamiltotiinrro, u11 ciclo que a sir vez es un camino hamiltoniano se denomina c i d o hrzrniftoninnn. Un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano sc dcnomina grufo hamiltonianu. El problema de conocer si un grafo es hainilioiljai~oy en tal caso encontrar un ciclo harniltoniano es uno de los mhs antigiios en 'l'eoria de Grafos. Se siiele atribuir al famoso matemático Sir William R . Hamillon el origen del problema cn cucstihn. Sin cmbargo cs clc justicia sciialar al malcmilico T. P. Kirkman como el pritxiero eii iiivt.sligarlo. El ~ilulivode la atribucióri a Hamilto~ies que éste diselio uii juego Ilrii~irido "El dodecaedro del viajero" o "el viaje alrededor del miindo". 'fa1 jiiego constaba de un dodecaedro sólido donde los vértices del poliedro representaban veinte ciudades importantes dc la oca: Brusclas, Cantón,.. ., Zancihar. El jucgo consistía cn cnconirar un recorrido ccrrado a travcs dc las aristas dcl dodccacdro pasando una Uriica v c por ~ cada cuidad. tal recorrido se denominaba "un viaje alrededor del iiiurido". de

Coi2 iluesira terminolo~iade 2-2.16 el juego cotisistia en encontrar iin ciclo hamiltoniano en el grafci de la figura 2.2.10. Dcjamos al Icctor la búsy ucda de tal ciclo Iiarniltoniano (vesise ejercicio 9).

2-2 Grafos eulerianos y hamilfonianos

do el problema de ie todas las aristas. :minar cuando iin

No todos Ios grafos soii haiiiiltoiiiarios. Eri la figura 2.2.1 1 aparcce u11 grafo que probaremos que no es hnn~iltoniano. Trate el lector de cnconlrar en dicho grufu un ciclo haniiltoniano.

c todos los vértices

ue a su vez es un no. Un grrifb que iiltoniano. iano y en [al caso iguos en Teoria de lliam K. Hamiltoii :justicia senalar al ;arlo. El motivo dc lego llarnado "El iundo". Tal ,iuego ices del poliedro epoca: Bmselas, i recorrido cerrado nica vcz por cada r dcl mundo".

:iaen eiicontrar un jamos al lector la

Por supuesto basta crinsiruir todos los ciclos dc un grafri para saber s i es 1-iai.i.iiltoiiiriiio. Esta operacihi puede ser enorrricnicrilc complicada si cl grafo tiene niuchos vértices. A1 final de la últinia sección de esta partc precisaremos un poco ¡a con~plejidaddei probleitla de conocer si u11 g a f o es hamiltoniano o no. Nosotr~sdaremos eil 2-2.21 uiia coiidicibn necesaria para que un grafo sea hamiltoniano. El problema de decidir si ~ i r i g r a h es hamilloniano cs iin casn particular del problema "del vendedor ambulante" que trata de encunirar un canii no hami 1toniano de longitud miilirna atribuyetido a cada arista uiiu lo~igiiucl. Para cnunciar nucstra candicicin necesaria para que iin grafo sea liaiiiiltoniaiio iiecesitamos la noción de componcn tcs concxas de un grafo: 2-2.1 7 Definiciwn. Sca G u11 g a f o y u, v dos vérliccs de C.Se dice que concctndos en G si existe wi cruriirio de u a v.

ii

y v csrciw

2-2.18 Proposición. En un grafu G la rclacihn cn cl canjunto de vértices dada por "estar coiiectado coi^" es uiia relacioii de equivalericia. Demostracibn. [lado un vértice u ciialquiera de G el canino {ii) conecta u con u, así

2-2 Grabs eulerianos y hamiltonianos

inectado con v por ..,v,, U ) conccta v :u csti conectado imino g de u a v y conecta con u con

S

cornporierites concxas.

"estar conectadu de G. Figura 2.2.13

:xa. El grafo de la de la figura 2.2.1 2

+

Demostraci6n de 2.2.2 1. Supoi~griiiiosque cl grafo G = (V, E) es un grafo harniltoniano y sea h un ciclo hanliltoniailo de G.Sea H el grafo cuyos vkrticcs san los del cor!iunio V y las aristas son las dcl cicIo h. EI grafo H se puede rrcscntar como muestra la figura 2.2.14.

Itoniano, entonces, vkriices son los de 10s

enV

-U,lienc

de aplicacibn.

3ues al borrar los 13 que licnc ires

Figura 2.2.14 Supongamos que U es un subconjunto de V y sea c l cl número de coniponcn tes conexas del subgriifo G(V-U) de G ciiyos virticcs son V U y sus aristas todas las de G con extremos cn V - U . Del rnisrrio modo sea c2 el nUmero de componentes conexas del subgrafo TI(V-U) de H cuyo; vértices soii ir- U y sus aristas todas las dc h con extremos en V U,Como H(V-U) es uii subgrafr, de G(V-U) y los vérticcs de G(V-U)

O ~ U cs C 11iAs

FAcil

-U). :V-{ui}) de H es dos

componentes

v - { u ] , l J,..., ~ llr)) arito c , I c Z < r

2-2.24 Proposicibn Sca Ci = (V, E) iin grafo coi) UV = n. Si gr(v) + gr(w) 2 ri - I para todo V! w E V, v # w ,enlonces G tiene iin camiiio hamilioniano. De aquí se tiene inmediatamente:

= =

2-2.25 Corolario Sea G = (V,R) un grafo cori #V

=n

l . Si para todo vertice v

E

V sc

-1

verifica que gr( v) 2 -.entonces G tierie un camino hamiltoniano. 2 ii

Como se ve las hipóicsis de este último Corolario son un poco más dEhitcs que las de 2-2.23 pero tiimhicn su tesis es inás dkbit; es un camino hlrrnil toniano que puede ser no c c r - d o .

2-2.26 Ejemplo

,unas coridiciories ria de Graf'os, y ara posea un camino tin cn iérminos del

veflices. natemblico Gahriel iatematicu y fisico,

do vkrticc v

E

V

S(:

v4

G5

Figura 2,2.16 Licnc todos los vértices cori grado mayor o igiiaf a 3, que es prccisamente la rnitad dcl iiumero de vértices. Por cl icorcma de Dirac se tralu dc un grafo hamiltoiliano y un ciclo hamiltoniai~oes: v!).

del añino 1960, y se

Las Proposjciories 2-2.23 y 2-2.24 rie tieri deri~oslracihneleniental. A conlinuaciiin demostrarenios la Proposicibn 2-2.23: Demostracibn de 2-2.23. Vamos a ra7.rinar por reducci61i al absurdo. Siipongaiiios q uc: CI = (V, E) verifica las condiciones de la Proposici8n 2-2.23 pero iio es

2 Introduccibn a la Teoría de Grafos

harniltoniano. El grafo G no puede ser u11 grato completo, pues los grafos coinpletos son hamiliunianus (Ejer~~icio 111). Añadwiios aristas a G, de este modo sc siguen verificando las condiciones de la Proposición, hasta quc, cn cl momento que afiadamos alguna arista más, el nucvo grafo asi obtenido sea hamiltoniano. Hemos constniido un graro tio haniiltoniruio G' - (V', E') de modo quc p a n cada v, w c V' tal quc v w P E', se tiene que (V', E' c: f v w ) ) es hamiltoniano. Scan v y v,, dos vtrtices no adyacentes de G'. Entonces el grafo (V', E' v ( v v,, ) ) es hamiltoniano, por lo que existe un ciclo hamiltoniano (vl, v?, ..., vn, v 1). Por tanto existc un caniino liainiltoniano (v,, v l , ..., v,) en G'. Defiiliiiios ahora dos suhconjuiitos de vtrtices: VI

{vi E V' : v , v ~ + ]E E ' } y V,

--

(vi E V' v , , v E ~ E').

Por iin lado V I n V , + 8 ,si no iiiera asi y cxislicra vi E V 1 n V,, , v l ) seria iin ciclo hamiIloniano cntonccs ( v i , vz, ..., vi, v,,, vn.l ,..., de G' IU que es contradictorio. Por otro lado V I u V, tiene menos dc ri vertices, pues v, no esta en V I iii en V, (no hay lazos etl G').Así, si denotamos por #W el niiniero de elementos en un cun,iuilto de vertices W:

1 Por tanta gr(vl) o gr(v,) < -n , lo quc es contradictorio con la

construcciiiii de G'.

+

2

2-2 Grafos eulerjanos y hamiltonlanos

leto, pues los grafos mos aristas a G, de a Proposici6n, hasta ;, el nuevo grafo así ifo no hamiltoniano ie v w E E', se lient:

2-2.27 Ejercicios.

u

1

.- Sea G el grafo, de la figura siguiente:

.tonces el grafo (V', ciclo hamiltoniano niano (v, , vs, ...,v,)

Figura 2.2.17 :v,vi E E').

Encuéntrese en G: Un camino que concc ta v , y v4. (b) l Jn camino simple de longitud 5 cntre v l y v4. (c) Un camino dc longitud 6 entre i.,y v4. (d) Un camino cenado con origcn en v4 de longitud 6 , (e) Un ciclo de longitud 3, otro de longitud 4 y otro de longitud 6. (f) Un circuito de longi~ud9. (a)

V I n V,, I ciclo hamiltoniano 7,, tiene menos de t i V D S cn G'). Así, si :onj unlo L1c vbrlic~s iera vl

c

I

2.- Sea C el multigrafo de la figura 2.2.18:

~ntradictorio con la Figura 2,S. 18 Encuéntrese: (a) Un ciclo de longitud dos. (b j Un circuito de longitud seis. 3.- Pruébese quc un mul tigrafo es un grafo si y siila si no tiene ciclos de lnngi tud dos.

2 Introducción a fa Teoría de Grafos 4.- Scü G (E, V) un g a f o cotizxo. Sc Ilamaplitllo d~ corte a un vertice v de G de modo qiie el suhgrafo G(V--{v)>de ti con vknices V - ( v i y ciiyas aristas son aquillas de E cuyos vkrtices c s l h cri V -- (v) no es concxo. Se llana iin itsnio a una arista a de G de modo que e l grafn (V, E - {a)) no es conexo. Hbllense los puiltos de corte y los itsmos dcl

grafo:

Figura 2.2.19

5.- Dettririiriese cuhles de los siguicntcs graros se pueden dibujar sin levantar el 16piz del papcl y sin dibu,jar dos veces la misma arista:

I:igiira 2.2.20 En los casos afirrriativos eiiciientre el mndn de dibujarlos curi las

propiedades deseadas.

I

2-2 Grafos eulerianos y hamiltonlanos

corte a un vbriice v vértices V - { v ) y en V - (v) no es nodo quc cl grafo rte y los itsmos del

6.- Una compaííia de aiitopistas ha co~ittatadci ü utia cmpresa de seguridad para que pa~rullc la red de aiitopistas cuyo mapa csta csquemat izado en el siguierite grlifu:

Figura 7.2.2 1 La eiripresa dc seguridad quiere realizar el servicio con u n í~nico vehículo y quiere deterniiriar la cxislencia de tin recon-idode la red dc modo quc se vigilen los tramos de autupisia una única vez. ;Existe tal recorrido?. ¿Cu$ es?. ¿Es soluci6n iinica'!.

pueden dibujar sin .sma arista:

t

7.- Los resultddos 2-2.9, 2-2.1 1 ., 2-2.12 y 2-2.f 5 siistituyendo la palabra grafo por multigrafo?,

vilidos

8.- Enciiéntrese para el grah de la figura 2.7.6

rin c.irciiito euler-iario distitilo dcl obicnidci en el ejeinplo 2-2.14 curi ot-igcn y fiii en el vértice a.

9.- Encueiitierise ciclos harni ltonianos para el 91-afbde la figura 2.2.10.

1 0.- Pniebese que todo grafo complctct es hamiltoniano.

.-

i 1 Sea C; = (U, V) el grafo de la figura:

dibujarlos con las

\d Figura 2.2.22 Sea G(V- {VI) el siibgrafb de G cuvos vkrticcs son V-(v) y siis aristas so11 todas las de E quc no ticnen por extrenlo a v. ¿,Cuiritüscompnncn tes

2 Introducci6n a la Teoría de

Grafos

conexas ticnc G(V- {v))?. 1 2.- i,El grafo G del problema anterior cs hamiltoniano?. Piuebese que todo grafo con un punto de corle no es hamiltoniano.

13.- ¿Es hamiltoniano cl griah, con diez vértices, de la figura siguien te?.

Figura 2.2.23

r

Exploración de Grafos

no?. Prukbese que

figura siguiente'!. Vinios en la Sccciiin anterior que los grafos son utilizados con freciiencia para representar vías y redes de cornunicaciCin. Eii un gralo dc una rcd de comunicación es iinportmte sabcr cuando un vértice se puede comunicar can otro, o en una red de transporte cs intcrcsante conocer c,iiAI es el cainiiio mas corto cntre dos vdrtices. Este tipo de problemas scrá el objeto de la presente SecciCin. Eii priiner lugar ofrcccremos una forma niatricial de representar un grafo. Este modo de representación es Útil, sobre todo para trabajar con grafos en iin ordenador.

2-3.1 Definición. Sea G - (V, E) un grafo con V = { v i ,..., vyj. Se denomina niatriz de a@accr~cioa la matriz M = (miJ,)de orden pxp cuyas entradas son unos o ceros siguiendo la siguiente ley: mil = 1 si vivj E E, rnU = O si v 1. vJ E C. Para el caso de digrafcis se define la inatriz dc adyaccncia del sigiiiente modo: 2-3.2 Definiclbn Sea G = (V, E) un digrafo con V {v ,, .., vp ) . La mafriz dc ctclyacenciu de G es la matriz M = (mii) de orden pxp y con cntradas unos o ceros definida por: mij = I si viv, E E y la orientacidn dc tal arista es vi -t v,, (es decir el origen es v, y cl fin cs vj),

-

1 ,

-4 VI.

O si vlv, a E o bien vivj

E

E y la orieiitación d i tal arista en G es vj

-


2-3.3 Ejemplos 1, Para el grafo de la figura 2.3.1 lamatrix dc adyaccnciacs:

Figura 2.3.1. 2. Para el digrafo de la figura 2.3.2 la malriz de adyacencia es:

+

Figura 2.3.2

Es claro que la matriz de adyacencia de un grafr, o dc un digrafo contiene toda la infonnac.ióii i~ecesariapara a partir dc clla reconstruir el grafo o digrafo. Por tanto la matriz de ad yaccncia puede ser usada coi110 uil método de representación dc grifos y digrafos. Eii temlinos niás matemhticos:

2-3.4 Proposicibn. Sean G y G' dos grafos con la misma matrii- de dyaccncia, cnlonces G

-

2-3Exploración de Grafos

:ncia cs:

y G' son isntnorfos. Demostración. Sean G = (V, E) y G' = (VI, E') con la misma matriz de adyacericia y sean V = { v ,,..., v,) y V' = { w l ,..., wD].Sea F: V -+ V' la biyeccióri detiiiida así: Qv,) wi, i-1 ,...,p. Si v-v. ;E cntonces aparece iin I en la 'J entrada ( i . j) de la inütriz de adyacencia de G,como tal matriz coincide con la dc C;', w,wi = f(vi)f(v,) c E'. Por otro lado si l(vi)r(vi) E E', C I ~ ~ O ~ Cla C Scntrada (i, j) en la inatriz de adyacelicia de G' cs -1 y por hipótesis tanibikn es 1 cn la matriz de adyacencia de G. Por tanto v,v, c E. Luego f es uri isomorfismn dc grafos. 4 Análogainente si dos digrafos tieiieti la ~riisrnamairiz de adyacencia cntonccs son digrafos isomorfos. --'

J

rcencia cs:

Sin ernbargu pucdc ocurrir que dos grafos isoinorfos esli.ti representados por matrices iiifcrcnlcs (basta permutar el orden de los vtrtices) (véase ejercicio 3).

Puesto quc cn un gafo G = (V, E) con vértices V - (vl ,..., v,,) la arista t E es la misma que vjvi, la matriz de adyacencia de un grafo cs una iiiairie sirrii~ricit,cosa que no ocurre para los digrafos (véansc los ejemplos 2-3.3). lJna de las grandes ventajas de la represenlacidn dc grafos mediante riialrices GS cl uso de las técnicas de ilgebra Iíneal. A coniinuación veieliios u11 e,jernplo dc ial usa para encontrar el tnímero de caminos entre dos vértices de uri grafo. Aunque ya habiamos definido camirio en grafos y miiltigrri~osilecesitariios ahora caminos en digrafos y los corictos de origen y fin de un camino. v ' vJ

+

fo o de iin digrafo e ella reconstruir el :de ser usada como .

En tknninos más

icencia. entonces C;

2-3.5 Definiciiin Sea G uri digrafo. Un cainino en G es iina sucesioii (finita) en la quc aparecen alteniativametite vkrliccs y aristas de G: VO, V0':11

V I V ~ V2,..., , VI?-1 Vn.[Vn, Vni

donde cada arista v,v,+] tiene por origen a vi y por fin a v,,, . A los vértices vo y v,, se les deiloiriiria origen yfin dcl camino respectivamente. E1 niimero de aristas del caii~inose deriomina longitud.

-

2-3.6 Ejemplo En el digrafo dcl cjcmplo 2-3.3-2 la sucesión: 1'1

Vlv21 v2i v2v3r v3 1

es un camino de longitud 2. Obsérvese que no existe ningiin camino cori origcn cn vz y fin en vq. +

2-3.7 Teorema. Sea M la matriz de adyacencia de un graío (cligrafo) G cori p vertices, p>l . Entonces la enirada (i, j) de la iiiatriz M" = M x " . xM es el númcro de caminos de longitud n con extremos vi y vj (cn cl Casu dc digrofos es el número de caiiiiios de longitud n con origen vi y fin v]). Por ejemplo para p = 2 el rcsullado es cierto pues hay dos posibles matrices de adyacencia para gralos con dos vértices:

correspondicnics a los grafos:

y en el caso de digrafos:

correspotidientes a G y

Obsérvese qiie el grafa G4:

es isoiiiorfo a G 3 por lo que no cs ncccsario su estudio (en G4 ocurre exactaiiietite lo ri~isinoque eri Gj salvo cambio de nombre de los veflices).

ningUn camino con

G con p vkrtiecs, i. x M es el i~iimero zso de digrafos es c l 3)

,l. ;S

Para M se tiene que M," = O para cualquier n lo qlie corresponde al hecho de que nunca existen camirios eriire v y v2 cn cl grafo G . Para M2

,

tenemos:

(1) Refleja el hecho cvidcntc dc quc cn C2hay un iinico camiiio coi1 uri níimem par dado de aristas que acaba y finaliza cn el mismo vert ice: Vl,

hay dos posibles

V1'2,

v2, V 2 V l i VI,

r veces - 4 .

..

-3

V ] , V I V ~ V29V2V1, , VI

análogamente para vz, y no existe riiiigún camino con número par de aristas que comience en v y fiilalice en vs.

(2) Se iriierprela dcl mismo modo por el hecho de que eii G2 no existcn catiiinos con un númcro impar dado de aristas que sean cerrados y uiiri solo con 2r + 1 aristas que conccla v l con v2. Para digrafos también el resultado es cierto para p = 2 usando que 1, dondc [O] es la matriz nula, lo que indica que en G3 = [O], para r "se puede ir de v a v2 pero no sc puede volver". Dernostracibn de 2-3,7. Ruoriarcmos por inducción sobre 11. Para 11--1, eI lcurcma es consecuencia de la definicihn dc M. Supongamos que para 11-1 sc vcri fica el teorema. Llamaremos I I ~ ~a~18( entrada ~ ) cn cl lugar (i, j) de la iiiatriz M ~cs, dccir M~ = (mu(')). Por hipótesis de inducción rnillrl' ) es el iihiiirro de caminos distintos de longitud n-1 en G de vi a vJ. Pucsto que ~n = =n-1 x M, tenenios que


Cada camino de vi a v, de loligi tud 11 consiste en un camino de v, a uii cierto vkrtice vk de longitud n - 1 seg~iidode una aristsi de vk a vi. Entonces por cada arista cuii un extremo en vj ,cs dccir por cada mkj f O, ohtcncmos caminos djferen tcs dc longitud i i de vi a vi pasando por vk. Por tanto de la fhrmula (2-3.7.1) sc obtieiie el Teorema. +

2-3.8 Ejemplo Un la figura 2.3.3 hernos representado el recorrido de autobuses y por los vértices sus paradas.

utla

línea de

1:igura 2.3.3 La matr17,dc adyacciicia del grafo es:

Nos encontramos eil la parada p~ y tenenios quc ir hasta p2. Ya que la entrada de M en el Irigar (6, 2 ) es cero no existe ni~iguiicamino de longitud 1 que conecte p6 con p2. Por otro lado:

1 1 camina

2-3Exploracibn de Grafos

de vi a un

arista de vk a v,. ir por cada mkj # 0, I de v, a pasando

'eorenia.

+

lo de una linca dc

De tiuevo la entrada (6,2) sigue siendo nula, así ta~iipocuexisic un camino de longitud dos entre pb y pz.

A1ioi.a rnbT2(')= 1 lucgo cxiste iin camino de p6 a p2 de longitud [res que es pb, p6p4,p4, p4p1,p,,p1p2,p2. Además tal caiiiirio es iinico.

+

En esta misma Seccidn darcrnos un algoritmo para ericoritrar caminos de longitud mínima entre dos vkrticcs. Obsérvese yul: la cntrada (1,l) de MI es dos, por triiito uxistcn dos caminos distintos cerrados con origcn cn p l y longitiid tres qiie soti:

hasta p ~ Ya . que la

ningún camino dc

P l ~ p ~ ~ P 5Y~ P li ~ P b ~ P 4 ~ P l (henios suprimido las aristas pues estamos en u11 digcafo, y no multigrafo, y por tanto no liny posibilidad dc confusi6n).

cii

El Tcrircma 2-3.7 se piitde aplicar para saber si dos vkrtices de grafo o digraro están conectados por un c.anlino:

un

1111

p vértices, v 1 ,..., vp, camino entre vi y vi ; no ni1la.

i

l

amino simplc cntrc ir que p y asi alguna iula. Coiiio todas las :rada(¡,j) tic C csnu

-ara saber si un gi-afi

iin rinico canlino sirnpfe (vkasc cl cjcmplo 2-3.13). Den~ostrareniosque en tales grafos no pueden exislir ciclos. En la siguiente definicibn introdiicimos este tipo especial de graíos quc constituye uno de los mas ú ~lcs: i

2-3.12Definicibn. L'ri rirhol es un graío concxo sin ciclos.

2-3.1 3 Ejemplo. El grafo represeiitado cn la figura 2.3.4 "en forma de arboi" es un árbol.

Figura 2.3.4 1

7

1

La sigliieiite propiedad es la mis importante de los arboles: 2-3.14 Teorema UIIgrah T c s un árbol, si y s61o si, cada dos vértices distintos de T se conectan por un único camino simple. !ene quc tal grafo cs

onocer si en uii grafo iones es convei~iente rtices esta unido por

Demostracibn Si '1' es iin itrbol, por definición cs conexo. luego cualquier par de vCrticcs se conecta por un can-iinositiiple. Supongamos que los vtrtices u y v de T son concciados por al menos dos caitiinos siniples di fcrcntcs (u, 11 ,...,11,,-~, V) y (u, u' ,..., u',- !, v). Sca u, el vtrtice que verifica: u, -- u',, para i 5 r y u,., 1 # u', y sea u, cl vkrtice con la condicibii L+- u', y tal

,

2 lntroduccidn a la Teoría de Grafos

que para todo i I r, i < S, se vcrifica u, s u'i. Entonces (u,, u,, 1 ,..., u,, ,.,., u',.)es iin ciclo. Reciprocamcntc si T es un grafo m que cada par dc vkriices se une por un Unico canlirio siniple entonces claramcntc T cs coriexo. Si T no fiiera un árbol, por definicibn, existida un ciclo cerrado el1 T. Sean u y v dos vértices en tal ciclo, cnlonccs el ciclo se puede escribir como (u,u ....,U,, v, V I ,..., vs, U) y por Lanto los caniinos simples (11, u,, ..., u,, v) y (u, v,,. .., V I , V) son djslintus y unen u con v. +

2-3.1 5 Ejemplos 1. En el arbol dc la figura 2.3.4 el iinico camino simplc quc unr: u? coi1 116 es (u2, U43 u6). 2. IJn país está pla~~eando lar constniccihn dc una red de fen-ocaniles de alta velocidad. Un requisito minimo es que los pasajeros de irna ciudad piiedan llegar a cualquier otra de la red. Entonces cl grafo quc da la soluciúri mis econoi~ljcries un irbol. + Es importante ohscrvar que eii virtud del teorema anterior en un árhol no hay que clcgir entre varias opciones para determinar cl camino eritre dos vkrtictis. Esta observacibn es muy importante sobre todo e11 inforniitica. El tener varias opcioncs para ir de u11 lugar a otro es iinA riqiieza que puede ofrcccr grandes ventajas. Sin embargo, al construir un algoritmo cn el que es necesario iinir vértices cie un graro cotieno es importwiite establecer una estrategia para clcgir eri cada inomento el cainino qtie se debe seguir. El siguiente resultado, al menos de modo tecírico soluciona el problema, pues nos dice que en todo graíu coiie.uo cxiutt. u11 subgrafo que es iin arbol y quc licnl: 1.1 niisii~oconjunto de vértices. Eligiendo iin tal árhol cn uri grafo. cada par de vértices del grafri se une por un Único crirnino contenido en el kboi, esto prccisameritt: soluciona el probleiiia de eleccidn que comcntibamos.

2-3.16 Teorema Sea ti un grafo concxo. Existc un irbol T que es un subgrafo de G dc modo quc cl conjunto de viitices de ti coincide con cl dc T. IJn árbol T con la propiedad anterior se denrirnitia sllhúrbol cotleclante o sirli~h-bol ttllinxirr~rinlde G (en inglbs: "spannirig-tree").

2-3Exploracibn de Grafos Demostracion Sea G (V, E) uii grah conexo. Si G cs un iirhol no tcncmos que hacer nada. Si G no es un arbol entoiices existe u11ciclo en G: (vl, v2, ..., vm, v , ) . Consideramos ahora e1 grafo G j l ) = (V, E-(vlv2)) que es un subgrafo de G obteiiido a partir de G elimiilaildo la arista v l v 2 . Es importante darse cuenta que G(1) es iin grafo conexo. Ei1 efecto, si rio lo fuera existiriari dos vcriiccs w l y w2 quc no se prodrian unir por titi camiilo eii G(1) pero si 111 G.Esto sblu podría dchcrsc a que los caminos simples que unen w l con wz en G pasaban por la arista v v2 quc no cstá en G(1), es decir so11 de la forma: (w I, u],..., u , v l , v2, um-, , ..., un,w l ) . Ahora bien podemos cai~ibiarun cai~iiriocorrio los uiteriorcs por:

-

.e vkriices se une por oncxo. Si T no fuera :n T.Seaii u y v dos )ir como (u, 11 I ,. .., ii,,

\,

( w l i U17

mple que iine ii2 con :d dc fcrrcicarri ics dc ijeros de una ciudad ; el grafo qiie da la

I

anterior en u11 árbol inar el camiiio entre inte scihrc todo cn lugar a olro es iitia largo, al constniir un un grafo conexo es

n cada momcnto cl . al merios de niodo n todo grafo conexo mismo conjunto dc de v~rticesdel grafo 1, esto precisamente 1s.

un subgrafo de G de de '1'. Un árbol '1' nnectunte o suhurhol I el

r

a.4

um,vlr V m , V m - l , + . . 1 V 2 , U m i 1, - . - * l J n"?), ,

es decir cambiando la arista vlv2 por el resto del ciclo de G :( v l , VI, ..., v,,. v i ) que permanece en G(1). Por tanto resulta que w l y w2 sí sc concctan eri G(1) lo que contradice la suposicióii de qut: G(1) no cs curieso. Adernis, obsCrvcsc que G(1) tiene los mismos vértices que G. Si G(1) es iin k b o l acabamos la deniosti-aci~ri.Eri caso contrario repetimos cl proceso creando otro graio conexo G ( 2 ) con los mismos vertices que G(1) y quc Ci, a partir de eliminar una arista de un ciclo de G(1). De nuevo si G(2)es u11 arbol habríamos acabado y si no repetimos cle nuevo e[ procedimiento. Coi-i~oen G liay un riurriero finito dc aristas, y eri cada paso eliminamos una arista, en un número finito de pasos eilcoi~traiiiosu11 irbol G(i) quc licnc Ins mismos vértlces que ii. + La dcrnostración anterior es ademis constnictiva. es decir, iiiuesira un método para obtener un subrirbol maximal a partir de un grafo conexo. .4unqiie el niétodo que yreseiita la deniostraciijn antcrior no sea e l mAs c i i c u para construir subárboles maxiiiiales, lo que si que iiiuestra cs quc uri grafo puede posccr muchos irhnles maximales distintos pues en cada ciclo se puede elegir una arista cualquicra para ser eliminada. Precisamente el objetivo fuiidaitiei-ital de la explurdción dc grafos es obtcncr árbolcs maximales en grafos que den lugar a los cailiiiios rrias ecoi~omicoseIi referericia con los faclorcs pedidos por las aplicaciones.

-

2-3Exploración de Grafos 2-3.1 8 Definici6n Uii &bol con raíz es un par (T, r) dondc T cs un árbol y r es iin vertice de T que se llama mi:.

Un arbol cori raiz define de modo natural una relación de orden (parcial) entre los vértices del árbol. De rororrna ripida, un vkrtice v será mayor que otro w si v "esth más cerca que" w de Iri raiz r. Es una rclaci8n de orden parcial porque en general no siempre se pueden coiiiparar dos vértices del árbol.

511 so11

subárboles

Sea (T, r) un Arhol con raiz y v, w dos vértices de T.Se dice que v 2 w si elcamino sii~ipleque une r coi1 w pasa por e1 virticc v. Obséi-vese que es de importancia capilal en la definicibn anterior el hecho, demostrado en el teoreina 2-3,14,de quc cntrt: dos vcrticcs de un irbol hay un único camino sjniple que los une.

-

2-3.20 Ejemplo Sea T el árbol de la figura 2.3.4. Coiisiderenios que cl vdrticc u, cs la raiz, es decir, el árbol con raiz (T, u,). Por .jeniplu: u3 L u8, u3 2 u4 pero los vértices u> y u, o no sc pucdcn comparar entre si. 2-3.21 Proposicibn La relacioii 2 entre los vértices Jc un irbol con raiz (T,r) es iina relaci61ide orden. Es dccir vcnfica las propiedades: (a) Reflexiva: v 1 v para cada vértice de T, (b) Antisimétrica: Si v 2 w y w 2 v , entonces v = w . (c) Transitiva: Si u, v, w son lres vértices dc T tales que u 2 v y v 2 w , eiitonces u 2 w .

.ecisamcntc para la guajes, es necesui o ide se distingue iin s sc llaman árboles

Demostracibn (a) Sca v un vértice de 'I'. En el camino simple que une r con v estii v , pues es uno de sus exiren-ios,lucgo v 2 v . (b) Supongamos por reducción al absurdo que v l w y w 2 v , pero v w . Como v 2 w el camino simple de r a w pasa por v;

2 Infroduccibn a la Teoria de Grafos

donde por ser camino siniple v i \v.

Ahora bien dado quc v + w ,cl caniiiio siiilple qire une r con v (quc cs único cn virtud de 2-3.14) es (r, VI, ..., v,, v) y riu pasa por w. Por tanto nn es cicrto que w 2 v eii coiitrcl de la hipbtcsis. (c) Scan u, v, w tres véitices de T tales qiie u > v y v 2 w . Dado que u > v ,el camino simplc quc unc r cori v es de 1a forma: t + S ? VI. (r, U ] , 9, , # * , Un13 u, V I Por 2-3.14 y dado que el camino que unc r con w pasa por v (pues v L w), los cail-iinos que unen r con v y r ~ v w n deben coiiicidir entre los vkrtices r y v, es decir el camino que unc r con w cs de la fonna: (r, u], ~2~ ..., u ~ , u , v. ~. . ,, v s , v , ~ 1. ., . , w t ). i~ Eiiego cl camino simple que une r con w pasa por u cnn Iu quc u 2 w . 7

-

La rclaciúii de ordeii de la proposición antcrior pcrmite definir un digraio a partir de un arbol con raíz. En cfccto, sea (T, r) uii irbol con r a i ~Heirios . de orientar las aristas dc T. Si vw es una arista de T,v ser,?e l origeii y w el final si v 2 w . Es dccir, orieiitamoc cada arista en e l sentido de alejamicnto dc la riiiz r. Ventiios la constnicc.i6n de este digrafo con un cjcmpto:

2-3.22 Ejemplo 'l'omemos el árbol con raíz (T, r) de la figura sigiiiente:

Figura 2.3.7

-

-

-

2-3 Exp!oracidn de Grafos Ahora ('l',r) da lugar al siguiente digrafo:

une r con v (que es sa por w. Por tanto r v 2 w . Dado quc

pasa pur t (pues coiticidir entre los la Cornia; w), I can lo que u > w. 4

Figura 2.3.8 Normalmente los árboles con raiz se suelen represerilar dc Iiima que la raíz esti siiuada cn la parte más alta de la figura y que las aristas desciei-idan siguieiido la orieritaciún y distribuyendo así los vértices en niveles por altura. E I digrafo de la figura aiiterior se representaria asi por:

nivel O

11

pcrmilc dcfinir un :T,r) un árbol cori rista de T, v será el arista en el sentido ie este digrafo con

t

nivel 3

En u11 grrifn coii raíz, los virtices quc ticncn grado uno y son distintos dc la rai7.se llaman vértices tcrmirrales o siguicridci una lcrminofogia mAs ~iaturaly ho~inicaIzojrrs. En nuestro ejemplo:

Figura 2.3.10

2-3Exploración de Grafos abtener los caminos i el método que d e s maximales que mngamns que una 3.1 1 da un csqucrna 1 lugar de irtibajo ros de lotigitud del

denomina distancia entre tales vértices a la longitud del camino dc longitud mínima entre dichos vértices. Así cl grafo de la figura 2.3.1 1 es un grafo etiquetado. Nuestro problema consiste cn cnconirar la disiancia cnlrc dos vcrtices prefijados. A continuaci~i~ dasei~~os un algoritiiiu para encontrar la1 dislanciti siempre que nos hallemos en un digrrifo. Es decir, si por ejeniplo las calles dc la figura 2.3.1 1 fucran dc dirección Única como muestra la figura 2.3.12. ~2 1 V I Vivicrida

2

r -v2

Figura 2.3.12

iista se pregunta la vicnda" y el virlicc

s definiciones: tetado si sus aristas ación d: E(G) + C, #tude una arista a de cuyas aristas a,) t...+ d&).

3 en G

icibn de longitiid en gitud de un camino gafo cliquctado sc

2-3.24 Algorltmo de Dijkstra Sea C = (V, E) un digrafo etjqrietado, es decir tenemos d; E +C donde C cs un subconjunlo finito de los nbmeros reales positivos (y no nulos). Sean x, y dos vértices de G ,El siguicnic algorilmo dará la distancia entre xey: Paso 1, Coiisiderese la aplicación L : V + Ru(03) (donde R es el conjunto de núnieros reales), dada por L(x) - O y L(v) = a3 para lodo vkrtice de G,v, diferente de x. Sea T = V. La aplicaci611L y el conjunto T irán trans~ormiinclosccn c t curso del algoritmo. Paso 2. Encu tntrese el vértice v E T con etiqueta L(v) iiiiniii~a. Paso 3. Si v -- y la distancia entre x c y cs L(y) y cl algoritmo acaba. Paso 4. Para lodo w e T tal que existe una arista vw con origen eii v y ti11 en w, si L(w) L(v)+ d(\rw)entonces redeíínasc cl valor de 1, sobre w por L(w) = L(v) + d(vw). Paso 5 . Eliiliiiiese en el coi~juritoT el vériice v y volvamos al paso 2.

2-3Exploración de Grafús Paso 5: T = {Trabajo, v2, v3, v4, vg, v7, V E , vr)} iemos el algnritmri

Paso 2:

livienda y Trabajo.

v=v2

Pasos 3,4,5: T,(v3) = 4, T = (Trabajo, ~ 3v4, , V63 ~ 7 VE, , v9),

Paso 2; v = v6,

Pasos 3,4,5:

jn Vivierida + v , y

. . A partir de aliora

J,(v9) = 5 , T.(v7)= 6 , T = {Trabajo, vj, v4, v7, VE, v9), recukrdese que por el iiioiiiento L(Trribajo) = m, L(v3) = 4, L(v4) L(v7) 6 , L(vs ) = a,L(vg) = 5 . Paso 2 : v = V?, Pasos 3,4,5: L(v4) - 7 y T {Trabajo,VJ,, v7, v8, vq}, Paso 2 :

= m,

y

v - v9,

Pasos 3,4,5: L(v-/) coiitiiiúa siendo 6 pues 6 es ineiior que L(vq) + d(vqv7)= S + 4 = 9, del ii-iisiiioiiiodo L(v4) = 7 que es menor que L(v9) + d(v9v4) = 5 t4 = 9, por Últiiiio L(vR)= L(vq) + d(v9vx) = 5 + 6 = 11 y T = (Trabajo, v4, VY, VE}.

Paso 2 :

v = v7, Pasos 3,4,5 :

L(Trabajo) = 1O, T = (Trabajo, v4, v8 ), I'aso 2: v = v4, Pasos 3 , 4 , 5 :

L(Trabajo) continúa siendo 10 pues 10 cs mcnor quc L(v4)

-t

2 introducción a la Teorla de Grafos d(v4Trabajo>,T = {Trabajo, vgj . Paso 2: v = Trabajo, Paso 3: La distancia de Vivienda a Trabqio cs L(Trsibaio) - 10. I Jn modo practico de realizar el Algoritmo de Dijkstra es escribir con lapicero sobre cada vertice el valor de L. Ir modificando paso a paso talcs valores y borrando los vdrtices qiie van desaparccicndocn T.

+

Para adaptar el Algorilmo 2-3.24 ü uri grafo G bnstaria coiisiderar todos los digrifos que se pueden obtener orientrii~dolas aristas de G,pues cl canino 1116scorto se realiza sobre un camino simple y así cada arista en dicho camino se recorre únicamente en un scniido. A conlinuaciiiri se aplicada 2-3.24 a cada digraío y por último eleyiriatrios como distancia la menor entre todas las ohtcnidas. Para obtener un camino que realiza la distancia mínima entre dos vkrtices x e y se sigue el siguiente proceso: se considera para cada vértice w la arista a,=vw (con el sentido de kv a w) que ha servido para obtcncr cl valor final de L(w) = L(v) i d(vw) (último Paso 4 sobre w). Partierido de y. recorriendo en scntido invcrso las aristas a, llegarlios a x consiguicndo un camino que realiza la distaiicia riiiniiiia. El algoritmo de Dijkstra tanibiéii se puede adaptar para conseguir iin subárbol maximal de G que ofiece conlo llegar desde r a ctialqliier vértice de G del modo ~ i i a ecoiioiziico. s

2-3Exploración de Grafos

2-3.26 Ejercicios 10) = 10. 4

.-

1 Hállese la matriz de adyacencia dc los siguicnics grafci y digrafo:

itra es escribir con o paso a paso tales i

en T.

lastaria considerar i aristas dc G,pucs ,e y rtsi cada arista A continuación se os como distancia

mínima entre dus a para cada vértice ido para obtener el .e w).Partiendo de llegamos a x la. El algoritmo dc subárbul niaxi tn al ce de G del inodo

Figura 2.3.13 2.- Hállese la mairix dc adyacencia del grafo completo K,. r niayor o igual a 1. Caraclcriccsc algchraicamente las matrices de adyaceiicia de los grafos r-regulares. 3.- PruEbcsc quc las matriccs A y T3 son matrices de adyaceiicia de dos grafos isomorfos;

4.- Estabiizcase un criterio algcbraico para determinar si dos matrices

dadas son las matrices de adyaceiicia de dos grafos isomorfos. 5.- Definase la matriz de adyacencia para multigrafos y pseudografos. Caractericense nlgebrtiicsimentc las matrices de pseudografos qiie no son

grafos y de multigrafos que no so11grafos.

2-3Exploración de Grafos 10.- El siguiente mapa representa las calles de una ciudad entre A y B. Lo ctiqucta rrcscnia la longitud de cada calle y algunas de ellas tienen direccióii única conio rnuesira la flecha de la Frgiira. Encuéntrese la

distancia entre A y B.

utilizando primero hacer uso de tales :S para cl digrafo dc

:I ejercicio 5 para .dos 2-3.7, 2-3.9 y

larnbikri uri Sirbol.

a distaticia entre el le longitiid mínima

Mapas y Cotoraciones

Hasta el momento heil~os esiudiado gratos de iiiodo que su represerilacirjn grifica desempei'ia siilo un papcl ilustrativo. Es decir, las propiedades y res ullados obten idos son ciertos sobre ciialqiiier representaciiin geornétrica dcl mismo grafo. En esta sección nos vamos a ocupar de problemas cuyo origeri esti precisamente en e1 dibujo dcl grafo.

2-4.1 Definición IJn grafo (multigrafo) se dicc que es plcrao si adrnite una representación gráfica en el plano dc modo quc cada arista colla íinicamente a otra arisla cn un vértice que sea extremo dc ambas.

-

2-4.2 Ejemplo El grafo K4 es plano pues ite 1a iepreset~tiicihngrdfica de la figura 2.3.1 (a). La figura 2.4.1 jh) representa truiibié~ia Kq sin embargo tal figiira no 110s indica que K4 cs plano.

Figura 2.4.1

4

Obsérvese que la figura 24.1 (a) cs menos coiifusa que la 2.4.1 (b) por lo quc cs interesante buscar represcnlacinnes planas de graros. Desaforturiadamcnlc no todos los grafos soii planos y ccirnenzarenios por

2 Introducci6n a la Teoría de Grafos

ofizcer iin resiiltado quc da uria coiidicibn necesaria para quc un grafo sea plano. Eri priiiier lugar iiecesitaremos la dcfiriiciiiri de iilripa. MAS adelante \reremos que los mapas produjeron otro de los más cclcbres e interesantesprublernas en Teoriri de Grafos: el prohlcma de la coloracibn rie mapas y grafos.

Sea ti iin grafo (multigraio) plano, una representación del grafo cn cl plano en las condiciones de 24.1, es decir de modo quc cada arista corta únicamente a otra arista en un vkrtice quc sca exlrenio de aii~bas,se cieno[iiina niupo. Diremos quc cl [napa es conexo si el grafo quc representa es concxo. Un iliapri divide al plano en varias "parles" que se denominan rtlgiorics y su niimero lo reprcscnvarerrios por #R

-

2-4.4 Ejemplo El mapa dc la figura 2.4.I (a) divide al plano cn cualro regiories c o i ~ ~ o muestra la figura 2.4.2.

Figura 2.4.2 Clada regi6n ~ r un i niapa esta bordeada por un camino ccrrado en el grafo qur: no siempre es iin circuito. 4

-

2-4.5 Ejemplo €11el Itiapa de la figura 2.4.3 la rcgibn so~nbreada esta bordeada por el

!

2-4 Mapas y Coloraciones

>ara qiie iin grafo ipa. M i s adelante más celebres e ia dc la coloración

on del grato en el e cada arista corta .mode ambas, sc: si el grafo que as "partes" qiie se 3r

#R

Figura 2.4.3

+

2-4.6 Definicibn Sc dcncimina

grndo clc

itna

rcgiBn a la longitud dcl camino que la

bordea. Así en el ejeiiiplo 2-4.5 la rcgiún sornbreada tieiie grado 8. Eri cl cjemplo 2-4.4 todas las regiones ticncn grado 3.

tro regiones conlo

aino cerrado en el

;la bordeada por el

Exisie un icorema anhlogo a[ Primer Teorerria dc la Tcoría de Grafbs para riiapas:

2-4.7 Teorema La suilia de los grados dc las regiones de iin mapa es igual al doble del número de aristas del grafo que rrcscnta. Demostracibn Al calcular la suma de los grados de iodas las regiones, puesto que cada arista aparccc en el borde de dos regiones, o bicn dos veces en el borde de una iiiisma rcgi6n (como en el mapa de la figura 2.4.3), cntonces cada arista se cuenta exaclamcnte dos veces. El1 e l ejercicio 2 de esla Scccion se establece una prueba distinta dc este teorema usai-ido el Primer Teorema dc la Teorla de Grafos. + I Jn poliedro regular (teti-aedro, cubo, octaedro, dodeciiedro o icosaedrci) dcfinc un mapa del grafo fortiiado por sus vértices y aristas del siguiente modo: Tomcmos un modelo de cada policdru construido en alambre y sin caras o con caras transparentes y proyecterrios la sombra que prodiice a una luz situada en una dc las caras del po1iedro sobrc una pantalla. de modo qrie el grafo obtenidv cn ta pantalla sea u11 mapa quc

2 introducdon a la Teoría de Grafos

represcntc al grafo de los vertices y aristas del palicdro. Eri la figura 2.4.4 hcmos dibujado aproximadamente los mapas y ue resultan.

Figura 2.4.4

I,

1


En la figura 2.4.4

Itan.

Es bien conoc.ida la fomlula para tales polichos: iiúiilero de caras - núrricro de aristas t. número de vértices 2 , Como cl número de caras de cada uiio de los poliedros coincide con el riiimero de regioncs del mapa conespondiente, para los mapas dc la figura 2.4.4se veri lica que: número de regiones - niimero de aristas + nuniero de vkrtices = 2 . Ef matematico suizo Leonard EuIer dcrnostrii que tal fórmula es vilida para cualquier mapa que sea conexo. Es una fórmula importantisima cuya r u 6 n profunda cstá cn un tipo de Geometria llamada Topología. 2-4.8 Teorema (Formula de Euler). Sca M un mapa conexo con #R regioncs quc rrcscnte el grafo G = (V, E), enlonccs: #V-#E+ #R=2. Demostracibn Razonaremos por inducción sobre el númcro #E. Si #E es cero entonces como M cs conexo el grafo es ( { v ) , 0 )y en el mapa hay una sola regioil, por lo que HR = 1, #V = I y #E = O y la fdrnlula de Euler se verifica. Supongamos ahora que #E es mayor o igual a uno y que la fbrmula es cicrta para mapas con nun-ierode aristas menor quc #E. <-,'usoI . G tiene algún ciclo. Ccinsidcrcmos et siibgrafo de G, G' {V, E - (c)) donde e es tina arista de u11 ciclo de G y sea M'el mapa obteiiido a partir dc M "borrando" la arista que representa e en M. Crin tal operacibn el mapa M'continiici sicndo conexo (pues la arista que hemos climinado pertenecía a un ciclo) y el núrncro de regiones disminuye una uriidad ya quc c debe pertenecer al borde de dos rcgiones diferentes (observando la figura 2.4.5 cl lector se convencerá de que si una arista esta dos veces en el borde de una cara enlonces no puede formar paite de un ciclo).

Figura 2.4.5

l

2-4 Mapas y Coloraciónes

ótesis de induccibn)

Por e t Teorema 2-4.7 la suma de los grados de la regiones es 2#E, pero como el grado dc cada rcgihn cs al menos tres:

2#E 2 3#R, 3

lucgci # R a =#E. Por e1 Teorema 2-4.8 tenemos: 3

s un v6rtice que es podríamos construir ice cualquiera vu y a 'O, VOVI, como v 1 es ferente de v ~ 1 vcoii .tamos el argumento .,, v,,,... Ahora bien V, = V( con S t. El radice que G es un

luego 6 < 3 # V - # L , d e d o n d e iYES3ffV - G .

a:

vw cn G. Scan G ' =

I

i' borrando de M'el El mapa M' tiene el r scr G un irhol sc :S necesario eli este sis de iiiduccioii se .t#V=2.

+

24.1 0 Ejemplo En la figura 2.4.7 hcmos rrcsei-itadoel grafo completo Kg. K, tiene 5 vértices y 10 arisliis y como l O >' 3.5 - h = 4, por el C'orolario 2-4.4, Ks rio es un grafo plano.

+

Figura 2.4.7

Por ser G un graf'o y E M tienen grado al

1

+

2-4.1 1 Corolario Sea G = (V, E) un grafo platio, conexo, con #V 2. Supongamos que en G no existe ningiin subgrrifo isoiiiorfo a K3, entonces

#E<2#V-4.

Demostracibn Sea M iin mapa que repieselita G con #R regiones. Por scr G un grafo (vkmc la dcmostracihn del Corolario 2.4.9) y no tener iiiiiguii subgrsil0 isomorfo a K las regiones dc M ticncn grado al menos cuatro (vease la figura 2.4.81, si hubiera una rcgión con grado 3 el subgrafo con vértices {u, v, w ) y con aristas {uv, vw, wu} es isomorfo a K3 en contradc la hipótesis). Entonces tenenlos por el Teorenla 2-4.7: 2 #E14#R,

I

2-4 Mapas y Coloreciones

Sea C = (V, E) un grafo u, v E V y uv E E. Uiia sirbdivisitin elemental del grah G es un grafo ti' = ( V u { w ) , (E - (uv))v(iiw, wv]) donde w e V. Es decir se irata de siistituir una arista uv dc G' por un nuevo vcrtice w unido con los extremos de la arista suprimida por dos nuevas aristas. En un mapa se trata sitnplemcnte de afíadir un vértice sobre una arista existerite ya. Una subdivisidn de un grafo G es el grafo obtenido efecttiando un número finito (pitede ser cero) de subdivisiones clcmentales siicesivas.

-

El grafo de la tigtira 2.4.10 es una subdivisibn de K4,

Figura 2.4.1 O

e

24.15 Teorema de Kuratowski Un grafo G cs plano si y sólo si no contiene ningún subgrafo que sea isomorfo a una subdivisión de K5O K3,3.

ticnc ningun ciclo dices {a, b, c } con iene loiigitud par y uio 2-4.1 I el g r a f ~

mtes a causa de la a K. Kuratowski 2wski ncccsitamtis

La demostración del Teorema de Kuralowski escapa al alcance dc los objelivos de este texto elemental, a continuacibn ofrecemos un ejemplo scnci 110 de aplicacibn:

-

24.16 Ejemplo El grafo de la figura 2.4.1 I no es plano pues conticnc al sirbgrafo de la figura 2.4.12 que es una subdivisión de K3,3.

los probleriias rriis lema de los ciiritro 1 una carta enviada Lon fecha de 23 de una cucstirin quc Ic ía conscguido una ilegn Ha[riilton, La

idyacentzs si en los I arista comiin. ¿Se lores di fereiites de mo color?. tos para resolver el 1 falsas soluciones ideas matemiit icas

2-4 Mapas y Coloraciones interesantes y útiles. En 1977, K. Appel, M' Haken y J. Koch publicaron una prueba de que todo iliapa plano se puede colorear con, a lo mis, cuatro colores (Tcorcma dc los C-uairo Colores). Sin embargo la dcniostración dc Appel, Haken y Koch ha generado grandes controversias pues se apoya eseiicialmei~teel1 cálculos efectuados por un ordenadoi.. Mas concretamente unos dos mil casos iuvieron qiie ser analizados por un ordenador q~ietardli mhs de 1 200 horas. Sin embargo dcspues de más de ventichco anos los mateiniticos que ha11 ai~alizadola ynieba han dado crédito ri los autores. De todos modos una prucbü más directa de este bello resultado es un sucño quc muchos matemáticos atihelan y no pierden la cspcranra dc encontrar. Vcrcnios ahora una lraducci f n a la Teona de Gratos del 'reoreina de los cuatro colores por tncdio llcl concto dc grafn dual de un mapa:

2-4.1 7 Definición Sea M u11 niapa que representa un graCo G, dircmos quc das regiones diferentes de M son ndvcrcc~rrcssi los caniinos que bordeaii tales regioncs tierieri alguna arisla en comun. El ps~irrlornulrigr~jb dulrl GM de M se defirie como un pscudomultigrafo constniido del siguiente modo: toiliaiiios coiiio co~ijuritode virlices las rcgirincs dc M y a cada arista e de G le asociamos una arista e* de GM de riiodo que si c sara las rcgioncs adyacentes S, t de M (podría ser s - t) entorices e* conccta los ~erticcscorrespondicnlcs a dichas regiones (si s = t . entonces e* es uii lazo). El pscudomultigrafo dual GM de iin mapa M es un pseudomultigraf~ plano pucs sc pucdc conseguir un mapa que represente GM del siguierite niudo; Cada vkrtice de GM se represeiitari por u11 punto en la rcgi6n ccirrcspondiente de M, para representar cada arista de GM dibujaremos un arco quc una los dos puntos que represeiitaii las regiones de M adyacentes pasaido sobre cada arisia común dc los c.aminosque bordeaii tales regiones (véase el ejemplo 2-4.1 8 ).

-

Sea M el mapa dc la figura 2.4.13 (a), en la figura 2.4.13 (b) aparece el grato durtl de M.

2 InfroducciOn a Ia Teoria de Grafos

-

2-4 Mapas y Coioraciones distintas asignaturas que se imparten diariamente. Algunas de tales asignaturas puedei: jntcrcuar al mismo tipo de alunmos, luego sc dcbcn programar de modo que no coincidan las horas asignadas a tales malcrias. Se quiere conocer el iniiiimo riúmeru dc horas necesario para irnpattir las enscfianslas. se coiistruye el siguicntc grafo: A cada asignatura se le asigna un vérlicc y dos vértices se uneii por uria aiisla si intcrcsan a [a misma audieiicia. El numero niinimo de colores necesarios para colorcar los vErtices del grafo nos daria el nuincro dc horas precisas.

*

+ ente conceplo dc

junto de k coloces. acióny: V + C , d e

Existen grafos (por supuesto no planos) que exigen iiib de cuatro colores para colorear sus vértices y tambicn otros grafos que exigen mcnos. A continuaci~iiestudiarenios el caso más scncillo de los grafos que adrrii ten coloraciones con dos colores: 2-4.22 Definición Un grafo G - (V, E) sc dicc quc es bipcli-tito si existe uria coloraciiin con dos colores, y: V 4{O,I 1. Normalineiite se considcran los colores blanco y negro en lugar dc O y

1.

colores.

nta a G. Sea GM el :M que representa acibn del mapa M' ;ro colores da una ires, pues Gw = G.

2-4.23 Ejemplo El grafo de la figura 2.4.14 es hipartito y la coloracibii viene &ida pnr cl caricter blanco y negro de cada vérticc dc la figura.

a de coloracibn de

mpordles de tareas

i

horario pard las

Figura 2.4.14 + El siguiente Teoretiisi da una caracterizacibn de los grafos bi pariilos. 2-4.24 Teorema Uii grsifo es bipadito si y s61o si no tiene ciclos con longitud impar.

2 Introduccíbn a la Teoría de Grafos

Demostración Si G - (V, E? ite una colciracibn y: V --+ {O,l ), los vertices de cada ciclo tienen que tener allcrriativanlente los colores O y l . Dado un ciclo c en G, como cl primer vértice y el iiitimo en c coinciden, entonces tieneti cl mismo color. Así el número dc aristas de c debe ser par. Sea G = (V, E) un ~ r a f oen el que todos Iris ciclos tiene11longitud par. Para encoritrar la color~cibnde G ruotrarerrios por iiiducción sobre #E. Si #E = O valc cualquier aplicac.ibn y: V + (O,] 1. Supongan~osel teorema ciccio para cualquier g a f o con menos de 11 aristas y sea G = (VoEl coi1 #E = 11. Sean u, v dos vi.diccs dc G y uv una arista. Sca G' =- (V, E - - (uvj). Cirso l . Los vkrticcs u y v estbii eil distintas componcntcs corierias de G'. l.,lamcmos G', a la componente conexa de G' que contiene a u y G', a la compurierite conexri de C;' que contiei-ica v. Conio G' tiene 11-1 aristas existe ulia coloracjbn y: V * {O, 1 ) dc G'. Si y(u) * y(v), y define tarnhiEn una coloracibn dc G. Si y(u) = y(v), toinemos y' definida dcl siguiente modo: yl(x) = ( ~ ( x )+ 1) mod(2) si x es iin vértice de G,, yl(x) = y(x) si .ir es u11vértice de G' que no csii cn G,, Como hernos cambiado iinicamente la coloracióri de toiios los vértices de una componente conexa di: G',y' es una coloración de G' y ahora y'(u) + yl(v) con lo quc y' dciinc utia coloracibli para C. Cuso 2. Los vertices u y v e s t h cn la misiiia componente conexa de G'. Etitonces exjste un camino simple (por 2-2.3) de ii a v: (u, VI,..., v,, v). Como el canlino cs simple y uv es una arista de G , (ir, VI,...,v,, v, u) es un ciclo en G, por tanlo tierie longitud par con lo que (u, V I ,..., v,, v) tieiie longitud impar. Por la hipotesic de inducción G1ite una colorricion y: V + { O , ] ) . Por tener (u, Y 1 ...., v,, v) loilgitud iiiipar y por ser y coloracióii entonces y(ii) # y(v) y así y define tanibi61i iina coloracion para G. +

I

-


2-4.25 Ejemplo El grafo de la figura 2.4. f 5 tio es bipartiio:

>Svértices de cada 1. Dado un ciclri c

n, entonces tieneti

ar. enen longi tucl par. ~ccióiisobre #E. con menos de n iccs dc G y uv una 1

nentes conexas de ontienc a u y G',a i' tiene n- l aristas ),y define taiiibiéii nida del siguiente

a en G,.

:todos los vértices de G' y aliora yl(u) lente coilexa de G'. v: (u, V I,..., vs, v.). 1,,..., v ~ V,. U) es un , v t,..., v,, v) tiene e una colriracicin y: mpar y por ser y

en una coloracibn

i

Figura 2.4.1 5 4 1,a siguiente aplicaciiin de la Tcciria de Grzifos es iiiio Je los tcmas ~cn(ralcsen infonnhtica: el estudiu de la eficiencia de algoritriios. Se trata de analizar cl costo en terrninos de tieiripo y cspacio (memoriri) de 10s iiittodos utilizados. Este esíiidio es muy importanlc, no siilo por razones de "econuriih" sino que en ocasiones puede ser vilal, al crecer los problemas propuestos los licmpos de realización o las iiecesidadcs tic cspacio en memoria puedeii Iiacer impracticable tina determinada tarea. Existen ciertos problemas qiie son intratables dc modo pr6ctico y se llamaii probleriins con complejidad NP. Las iiiaquinas dc Turing no deteministicas son una gencralixaciíin de los aut6iiiatas fiiiilos (vcr e l final dc la Sección 2- 1) pero mucho más ripidas y econoinicris, Un problema tierie complcj¡dad NP (noti-deteririiiiisliol ynomi al time) si el tiempo que emplea una tniquina de Tiiring no deteriiiitiísticti al aplicar un algciritn-iopara resolver dicho problcma sohre iin objeta, riunieiitii Jc: fornia poliriomial cori el tamafio de los datos dt: pariida. No entraremos aquí en mas explicacioncs sohrc este iema que corresporide a la t wria de complejidad de algoriti-i~osque se csludiará con mis profuiididati cn otros cursos dc la carrera. 1,a teoria de grafos ofrece dos dc los ejemplos m i s cúi~ocidosy Útilcs dc: problemas con complejidad NP: 1IAMILTONIANO: ¿cx isie un ciclo hamil toiiiano en un grafo dado?. C O L O R A C I ~ NDE GRAFOS: i,se pucdcn colorear los vértices de un grafo dado ulilizando un iií~meroespecificado dc: colores?. Estos ejemplos no s61o son iniportantes en si mismos, si110 quc sirvcn para dctcc tar cn ocasiones si uii problema cs o no intratable. Lo que se siiele hacer es probar qiie el problema eri cuusiión contiene a HAMIL'l'ONIANO o COLORACTON I>EGKAFOS, y así serh lambién

2 introduccidn a la Teoría de Grafos un problema con complejidad NP. Otro de 10s problemas con complejidad NP más importante viene dado por la Teoría dc Numcros Elemental: ¿Un nUmero entero dado tiene un factor no trivial?

El hccho dc icncr este probienla coniplejidrid NP, es lo qiie hace que sean eficaces algunas de las técnicas de encrip tacibn. Por ultimo dcscrihircmos otro problenia cori complejidad N P dado de nucvo por I i i Teoria de Grafos.

2-4.26 Definicion Un dique en un grafo cs un conjunto de vertices tal que para cada par dc vEdiccs dc la1conjunto hay una arista en el grafo que los une, es decir, es el coi~juntode vértices de un subgrafo que es un grafo completo. El siguiente problema de Teoría de Grafos tiene complejidad NP: Dado un grafo finito G = (V, E) y un entero positivo m mcnor o igual al número de vkrtices, ¿el gmfo G tiene un cliquc con m vhticcs?.

-

214.27 Ejemplo El grafo G de la figura tiene un clique con tres vértices pero no ticnc ninguno de cuatro.

Figura 2.4.16


nportante vicnc dado ?

', es lo que hace que

1.- Deniuestrese que el g a f o dc la siguiente figiira es plano:

plejidad NP dado dc

;al que para cada par que los une, es decir, 'afocompleto. implejidad NP: ivo m menor o igual I m vertices?.

irtices pero no tieiie

Figura 2.4.17 Eiicué~.iitrese uri mapa qur: lo represente y el pseudomultigrafo dual de tal mapa. 2.- Demuéstrese el Teorema 2-1.13 para pscudomultigrafos. A conlinuacion usando tal generalizacien pruébese el ieorcrna 2.4.7 utilizaiido el pseudomulligralo dual de un mapa. 3.- Establezcase el Teorenia 2-4.8 para mapas conexos que representen rnul~igr~fos, pseudografos o pseudoiiiultigraCos,

4.- ¿El gra fo de la siguiente figura es plano?

Figura 2.1. t 8

-

2 introduccibn a la Teoría de Grafos 5.- Establézcase qiie grafns completos son plriilos y cuales no.

6.- Hállese tina condicihn necesaria y sirficienre sobre r para que K, sea bipartito. 7.- C'onsidércsc cl mapa de Iri siguiente figura:

Figlira 2.4.1 C) Piuébese que son necesarios mas de tres colores pan colrircar las regiones de modo que dos regioties adyacentes tengan colores difereiites. 8.- Prucbc el Teorema 2-4.23 para miiltigrafos cn vex de gi-afos.

9.- Dado un mapa encuentre una condicicín necesaria y siificiente para que necesite más de dos colures para colorear sus regiones.

-

2 lntroducci6n a la Teoría de Grafos 5.- Esiablézcase qué grafos completos suti pl~riosy cuales no.

6.- Hállese iina condici6n ncccsaria y suficiente sobre r para que K, sca bipartito.

7,-Considérese el mapa dc la siguiente figura:

Figura 2.4.19 Piuébese que son necesarios más dc tres colores para colorear las regiones de modo quc dos rcgiones isdyaceiltes tenga11colores di fcrcntcs. 8.- Pruchc cl Tcorerna 2-4.24 para multigrafos en vez dc graíos. 9.- Düdu un iliapa encuentre iina condición ncccsaria y suficiente para que necesite más de dos colorcs para colorear sus 1-egioiies.

-

En el caso particular de r - O, definiremos C(n, O) = 1.

3-2.29 Ejemplo Sean n y r números naturales lales y ue 11 2 r, ei~toncesdemuéstrcsc quc

Solucibn Sea S un conjunto con n elenlentos y sea 53 (S) es e l conjunto dc partes d c S. Entonces el numero de su bconjuntos de r ~Icrneniosque tierie S es C(ti, r), asi se tiene que

1

p(S) 1 -

C(ii,

O) + C(n, 1) + ..... 1 C(n, n) =

C C(ii, r).

Pero sabcmos por 1-3.11 que 1 p ( S ) 1 = 2", Iiiego

Determínese el número dc manos de póker distintas (cinco carias) que pueden fnrrnarsc con unsi baraja de 52 iiaipes. ¿Cuántas manos conlicncn cxac t i e n t e tres ases? Solucibn El iiiimero de manos de pókcr distinlas es el mismo que el número de

I I

3-2Permufaciones, Variaciones y Combinaciones comhinacioncs dc 5 elemcn~osquc sc puedcn formar cn un conjunto dc 52 eleii~entos.Es decir

es deniuéstrese que Oblcncmos ahora CI númcru dc manos quc conticncn cxac(amcnlc trcs ases. Eii primer lugar observeinos que coino hay cuatro ases en la baraja podemos elegir tres de ellos de C(4, 3) formas diferentes. Las otras dos cartas scrin ncccsariarncntc dcl suhconj unto dc cuarcnta y ocho cartas que no son ases. Por el Principio de Multiplicaci8n tenemos

:l conjunto de partes lentos que tiene S es

is (cinco cartas) que

tas manos contieiieii io quc cl n h c r o dc

manos de p6ker distintas con exactamente tres ases.

4

3-2-37Ejemplo Una comisión mixta de Parlamentarios de un país hipotético esta formada por cinco : dos scnadorcs y Ircs diputados. Sabiendo que hay 100 seliadores y 435 diputados i,Cuáiitas coriiisioiies distititas pueden formarse? (Dos comisiones serán distintas cuando tengan al mcnas un micmbra di fcrcntc)

1

3-2 Permutaciones, Variaciones y Combinaciones

Una vez colocados los pares A-T, Ia colocaci6n de los dieciocho parvs G-S cstá dctcrminada, ya que ocuparan tos dieciocho lugares libres.

Luego el total de forriias direrenies dc colocaciiin será el ncrnero calciilado arriba. + Observese que en el anterior e,jemplo el conjunto cn cl que calculamos 13s combinaciones no es el coiijunto de pares de bascs, sino cl conjunto de posiciones. Esta estrategia sera ampliamente utilizada eti el dcsa~olloposterior.

3-2.33 Ejemplo Sea S = {O, 11, se define S* como el conjunto de cadenas que se pueden formar con clcmcntos dc S, es decir S* contiene las cadenas

plegados llainados polipSctidos cstá iNA. El DNA esia injuntos de pares de i a ellas. L1 orden en igo, por lo quc cslc e molkcula de DNA 3s

le A-T y 18 dc G-C. s estos 30 pares? doce pares A-T en nacioncs dc treinta

De hecho cl numero de elementos de S* es infiriito, 1 S* ( = a. Si E S* cs una cadcna sc dcfinc la longitud de w como el niiinero de elemei~tosde S que fornlan la caderla w. Sea T, el subconjunto finito dc S* w

T, = (Conjiinto de cadenas de longitud n de S*), Dado el coiljunto T,, i,cutuitas cadetias conticnc quc poscan r unos?. Solución Resolver este probleiiia es equivalente a dctcminar el niimero de aplicaciones con dominio (1, 2, ...,ii} e iiliagen eii el cotijutito (0, 1) quc toma el valor I r-vcccs. Pero cste número es el de subconjuntos de r elemeiitos que se pueden formar cori los n elementos sin tener en cuenta el orden, esto es C(n, r). 4

-

3 Métodos Combinatorios

3-2.34 Ejemplo Considerei~iosiina caja quc cuntiene siete bolas: tres rojas, dos aXulcs y dos blancas. Se seleccioiia de forma aleatoria un subcunjunlu de tres bolas, ;,Cuiuitos de tales subconjuntos conticrien al nienos dos bolas

Solución Si un siihconjunto dc ircs bolas debe contener al menos das holas rojas, es cvidcnte que dicho subconjunto contiene dos o Lrcs bolas rqias. Hay L(3,2) fomas dc ohtcncr dos bolas rojas de un conjunto de tres y C(4, 1) formas dc elegir una bola que iio es roja de un conjunlo dc: cuatro. Por cl priilcipiu de tiiultiplicaci6n hay C(3, 2).C[il, 1) 12 forinris de obtener un conjiinto de trcs hoias con dos rojas. Piiesto que el niimero de cornhinacioncs de tres ele~iieritoscoi1 tres rojas es C(3, 3) = 1 , el Priricipio de Adici6n 110s ritirrna qiie hay C(3, 3) + C(3,2) 12 + 1 - 13 cotiibiiiricioi~esde tres elementos con ri1 rnerios dos rojas. 3-2.35 Definicidn Sean A un crinjunio finito con n elen-ientos (n ;> O) y r iin numcro tiatural. l Jna combiriuciciri COPIr~p~tieioir de orden r dc: .4 cs urisi lista (a,, al, a ~ , . , . ,+) de elemeiltos de A, en donde las clcrncntus pueden ser iguales. Direiiios que dos conibinaciones con rctición son direreiites s i algúii eleinento de una la dos listas no sc cricueiitra en la otra. Designaremos el niimero dc combiriaciones con repetician de orden r del conjunto A (1 A 1 = n) por CR(n, r). Eii ocasiones se utiliza la frase: CR(n, r) es el niimcro dc cunibinacionec con repeticibn de n elementos tomados dc r cn c.

3-2.36 Obsewacion El problctria de eiicoiitrar e l ni~merode con-ihinacioncs con repeticiiii~ de orden r de iin conjunto A = (al,..., a,),es equivalente al problema de eiicontrar el niimero de soluciones enleras IIO negativas de la ecuaci6n x1

f

"t...

f

xn-r,

3-2Permutaciones, Variaciones y Combinaciones

res rojas, dos azules

Sea (a',, ae2, a*,, ..., a*,) una lista de elementos de A, si designamos por y, i = 1,2,..., n, el número de veces que aparece el elemento q,i-1, 2 , ..., n, dc A en la lista, se tiene una solución de la ecuacidn, piiesto que

subconjunto de tres mcnos dos bolas

Y, t yz t...-+ y,, = r.

i1

Reciprocamente, a cada solucion x

31 lnellos dos bolas 5 o tres bolas rojas.

in conjurito de tres

,..., x, de la ecuaciiin le pudenius

y

conjunto de cuatro. 1) = 17 formas dc .to que el riúmero de es C(3, 3) = 1. e1 i(3,2)=12 1 1 = 1 3 jas. +

I

>

O) y r

1

3-2.37 Ejemplo

u11 i ~ ú i ~ ~ e r o

jeA es tina lista (a,. :mentas pueden ser i6n son diferentes si i

Antes de estudiar la solución general del prohlcma vamos a ver iin caso concreto que perniite coiijeturar la foniia de la solución general.

/

la cilra.

Supongamos que tcnemos 9 pelotas de golf y qiie son coloreadas con 4 colores. i, De cuántas formas sc pucdcn colorear? Solución Si x 1 es el numero de pelotas del primer color, x2 cicl scgundo, ctc., sc

tiene

clicirjn dc orden r :S se utiliza la frase: :ión de ri elemeritos

(

El númcro dc soluciones no negativas de la eciiacioii anterior determina la so1uciÓ11del problema. Ilna solucirin posible de esta eciiacihn esta dada por los niimeros

ianes con repeticidn cntc al problcma dc as de la ccuación

!

Esta solución corresponde a iina particion de la caderia de riueve LL

unos"

3 Me todos Combinatorios cuatro subcadei~as1 / 1 1 / 1 I 1 / 1 1 1 . l.,a soluci0ri particular x = O, xz = 4, x:, = O y xq = 5 corrcspondc a la cadcna 1 1 1 1 I I / 1 1 1 1 1. De hecho, ciralqu ier solución dc la cc uacidri correspoiide a uiia cadena de niieve unos y trcs barras. Reciprocaii~ei~te, cualquiera de tales cadenas dc nucve "unos" y tres barras corresponde a t.11

iina solución dctcrminadn di: la ecuación. Dc donde el numero dc soluciories de la ecuación en enteros no negativos cs igual al número de S ucesioiies diferentes de nueve unos y trcs barras. ;,Cuántas cadeiias de este tipo son pnsihlcs? Una cadena del tipo solución estli formada por docc ubjctcls, riuzve unos y tres barras, por lo que tenemos doce posicio~~es eii donde podemos colocar 9 unas, luego la respuesta es el numero de combinaciones de doce eleizieiitos tonisdos de nueve en nucvc, C( I2,3).

+

3-2.38Teorema Sean k y n enteros positivos. El niirncro dc soluciories enteras no negativas de la eciiacián x l 1 "t

...+x,=k,

(3-2.38.1)

cs C ( n + k - 1,k).

Demostracidn Dada una scilución dc la ccuación anterior X 1, X21

r

Xn,

podemos asociarle una partici6n de una cadcna dc k unus 1 .k 1, In dada

x2

X

i . .I. i / 1...1/.../ l.!'.l. Así, a cada soluciói~tenemos asociada una cadena de k unos y n - 1 barras "/". Reciprocamente, cualquicra dc tales cadenas de k unos y ii - 1 barras le corrcspondc a una soluci8n determinada de la ecuacidn. De dondc cl número de solucjoiizs de la eciiaciiin en enteros no negativas es igual al riumero de sucesiones diferentes de k unos y n-1 barras, por lo que tenemos n + k - 1 posiciones cn donde podernos colocar k uiios.

3-2Permutaciones, Variaciones y Combinaciones

5 corresponde a [a ;ibn de la ecuación 3. Rcciprocamcntc, irras corresponde a ide el iiuiiiero de igual al número de hántas cadcnas dc i está forniada poitue tenemos doce I la respuesta cs cl ados de nueve eri

iciones cntcras no

Lucgo cl núnicro de soluciones serh el níimero de combiiiaciones de 11 + k - 1 elzmcnios lomados de k en k , C(n + k - 1, k) . +

De 3-2.36 se tiene el siguiente Corulario. 3-2.39 Corolario El número de combinaciones con repeticion de orden k de un conjunio A dc n clcmcntris es CR(n, k) = C:(n + k - 1, k)

3-2.40 Ejemplo ;De cuintas f~niiasse yuederi distribuir dicz canicas azules en cinco holsas distintos? Solucibn El número de fonnas vendrh dado por el niimero de soluciones de la ecuaci61i 13-2.38.1) cuando n = 5 y k = 10, luego kste sera

(3-2.38.1)

inos 1

.k

1, ladada

k unos y n - 1 asdek unos y n - 1 le ia ccuacioii. De ros no iiegativos es r n-1 barras, por lo is colocar k unos.

I de

i,Cuá~itosnuniercls hay cn cl conjunto (1, 2, ..., 1000) qite teilgail la propiedad de que la suma de sus digitos sea 5?. Solucidn SC pucdc asociar a cada número de la lista (quitando el últitrio, y uc no es tiecesario tener cn c u ~ n t a )una cadena de tres digitos de la siguiente f'om~a:


999 + 999. Se asocia ahora a cada una de estas cadenas un conjunto de tres cajas y bolas idknticas distri huidas cn las cajas segun la estructura numtrica de la cadena, por cjcrnplo

3-2 Permu t a c h e s , Variaciones y Combinaciones

derecha). Luego la respuesta al problerna es el nuniero dc soluciones enteras no negativas de la ecuacioil x i + xz + x3 + x4 = 7. Por 3-2.38 tenemos que este niimero es C(4 + 7 - 1,7) = C(10,7) = 120. + iunto de trcs cajas y ucturn numérica de

3-2.43 Definicibn

Una psrpnutuciuri circrrlur de 11 ohjetos distintos dc orden r, r í n, es uiia colocacioi~ordenada de r de los i i objetos eri r posiciones jgualrrieri~t: espaciados sobre una circiinferencia. Coilsiderarenios dos periiiutacioiies iguales si una puedc scr obtcnida de la otra mediante una rotación apropiada del circui~fereiiciaalrededor dc s u cenlro.

3-2.44 Ejemplo Dado el conjunto ( 1, 2,..., n) vamos a definir tres pemiitacioncs circulares de urde114, de los cuatro primeros clcmcnlus de esle conjunto. Represei~temoor 0 1 , 02 y 03 las tres pemiutacioiies de ordcn 4 dc la tigrira 3.2.2

~ t forma c ;Cuánlas suma sea 5? 9 i,de

as? Sabemos por el

02

Figura 3.2.2 Se puede observar que las permutaciones o,y 02 so11 iguales, itiientras que rr3 na es igual a las otras. 4 idénticos en cuatro

bjetos identicos en .o dedos de la mano

3-2.45 Teorema El niirncro dc pcrmutaciones circiilares de n objetos distiiitos de vi-de11 r, r 5 11 es

3 Métodos Combinatorios Demostración Priinero se eligen r objetos y se colocan en r posiciones distii~tassobre una circirnferencia. Estc proceso se puede llevar a cabo de C(n. r) formas. Supotigamos qut: los objetos colocados son a l , a2,,,., q.Dc la dcíinición dc igualdad de perniutacioiies circiilares dc nrdcn r, podcnios fi,jar la posición para el primer ohjetri; lucgo s61o hay uria forina de elegir iina posicibn para a , . Dcspuks de haber hecho esta elección hay que elegir posicibn para los r- 1 objetos restarites. Pero esto es eqiiivalente a formar una selccciiin orde~iadade r-1 objetos distintos y dicho proccw sc pucdc Ilcvar a cabo de (r- 1)! formas. Liieco el númcro total de perniutaciones circulares de orden t de n nbjctos distintos es

3-2.46 Definición ITna permutacibn circular de n objetos distintos dc ordcri n se dcnoiiiin;lrri ycr~riutacibncirrtclrir de n nhjetm.

3-2.47 Ejemplo ¿De cuántas formas pueden colocarse cinco niiljeres y cj11c.o hombres alrcdcdor de una niesa circular si se quiere que no haya dos pcrsonas dcl niisiiio sexo contiguas'? Solucibn Consideremos que el prirncr hombre está selitado, el resto se tiene que sentar cn posiciuncs alternadas, pero esto es eqiiivalente a realizar uiia permutaci6ii circular de cinco objetos y sepuedc llcvar a cabo de C(5,5).(5 - l)!= 4!,

formas. DcspuEs de haberse llevado a cabo este primer proceso sc ticncn qut: colocar las cinco mujeres en tos lugarcs vacíos y esto se puede realizar de 5 ! formas. 1,ucgo cl número total de fornias distintas de sentarsc cs (4!).(5!) -2 880. +

3-2Permutaciones, Varlaclones y Combinaciones Heunirnos a continuacibn un cuadro et contenido de esta Seccibn.

ines distintas sobre 3 de C(n, r) formas.

+. De la definición ., podcmos fijar la 3rma de elegir una ibn hay que elegir luivalente a formar o proceso se piiede . dc pcrmutacioncs

Se eligen k objetos de un coi-ijuntode n

No esthn permitidas

Iris repeticiones

Estan pemitidas las repeticiones is

Número de

selecciones ordenadas

n! (n - k)!

Número de selecciones

no ordenadas

(tl

nk

dc orden n se

cinco hombres la dos personas del :S y

iI resto se tieiie que ente a realizar iina r a cabo de

T proceso se

3-2.48 Ejercicios 1.- Con las cifras 1,2, 3,4, 5 y 7 se forman niinleros de cinco cifras que no tengan ninguna repetida. a) ¿Cuantos números se pueden fonnar? h) ¿Cuántos dc ellos son múltiplos de 4 y cuantos son múltiplos de 2? 2.- Sea a€S,. Se define no como la pemutacibn identidad

tienen

s y csto sc pucdc Irmas distiritas de

Para k > O se define <sk = <s.o...k...o (k-ésimapotencia de O).

a) Determínense todos los elementos de S3 que son potencias de u.

b) Calciiese 0268. 3.- Hállese la composición dc las simckías

donde (r3, r2, r ,,R1, R2) son las simetrias dadas en el ejemplo 3-2.10. 4.- Sc puede asociar u11digrafo con cada permutacihn cr E S, como sigue. Se representa cada eiemento i E (1, 2,...,n) por un punto. Estc conjuiitú de puntos define el conjunto dc vkrlices de¡ digrafo, e~itonces,para cada i, se dibuja un segmento dirigido de i a o(i). Por ejemplo, para la f

\

Figura 3.2.3 a) Dibújese cl digrafu asociado a la pemutación

ti) i,Representan los siguientes digrafos algún tipo de permutaciiin?

3-2Permutaciones, Variaciones y Combinaciones encias de o.

3

2 4

l/

emplo 3-2.10.

r E S, como sigue. nto. Este conjiintn ntonccs, para cada

ejemplo, para la

(ii) Figura 3.2.4 5.- Una mano de bridge consta de 13 cartas del conjunto de 52 de la baraja. a) i,Cuantas manos de bridge son posibles? h) ¿De cuántas formas pucde una persona dar 6 cartas picas y 5 de corazories? 6.- Eii u11 iliuestreo realizado por ciei-to partido político antes de u~itis elecciones 25 personas responden de la siguiente manera: 12 responden si, 8 rcspondcn no y 5 c s l h indecisos ¿TICcuántas formas se puede obtener este resultado?

7.-La cuadricula de la figura 3 -2.5 representa unas cuantas calles dentro de una pequefia ciudad. Existen diferentes fonnas para ir desde el ángulo Surocstc al punto Norcstc. Suponiendo que las únicas direcciones permitidas de viaje son hacia el Este y hacia el Norte ¿Cu.;intos caminos posibles existen'? emutacion?

satisfacen que la tieiieii

todos sus

dos? 1 mcnos tiene que

Considcrcmos la cxpresibn (x+).)'. So dcs~rrolloplicdc obtrnersc cfcctuandci cl producto

.e e.llos coiititiieri

muestra de 7 iequco. ¿Cuántas

Un termino cualquiera del desarrollo estará fornido por el prodiicto dc una poicncia dc x y una polcncia de y. ya que x e y aparecen en cada pariiitesis. En In figura 3 2.1 podeiiios ver lo obteiicióii d ~rlcs~rrollo l dc

3="factor

Kesultado U.LX

Figura 3.3,1

'I'enemos entonces, agrupando ttminos,

x3

3-3 Teorema del Bínomio desarrollo puede cnionccs Z = Z u Z2, adcrnás 1 Z1 1 rma x4-kykdondc er tomando la y de ires restantes, esto = 4 termitios xjy. iciente de x3y será 110 sera el riumero ~njuntode cuatro :rito a los restantes

conocido como el resuliados prcvios

lemento X E A ,Sea Zonsideremos un riltonces C es uri ) donde D c B cs

(i)

y 1 Z2 1 = (k

11 -

1). Lucgo por

el principio de adicióii

Se puede obtener otra deinostracioii alterilativa desarrolluido los niimeros combinatorios y operando directamente:

- n ! [ ( i i - k + 1 ) + k] - n!(n + 1 j k ! ( ~ -k t l ) ! k!(n - k + l ) ! -

CCS

=

'"+

l'! k!(n - k + l ) !

- (";

-

1)

3-3.2 Corolario (Fbrmula de Pascal). Si n y k son critcrcis lalcs quc I5 k In - 1, cntonccs

Demostracibn Basta sustituir cn 3-3.t la n por n- l . 4

3-3.3 Triángulo de Pascal La foriilula de Pascal da un método para el cálculo de los cocficicnlcs binbmicos, dado el valor inicial

desarrollando los númcros combinaiorios re tiene 1 1 1

1 1

1

2

1

3 4

3 6

.., , ...

1 4

10

10

5 ,

1

1 5

...__.._.....

... . . ..._

1

3-3 Teorema del Binomio

icias de (a + b)" se se conoce como

En cl trihngulo de Pascal se tiene que: 1) El primer y ultimo elei-iierito dc cada fila cs I . 2) Cualquier otro número del tri6ngulo se puede obteiier suniarido los dos ilunieros que apareccn cncima de el.

El triángulo de Pascal es una de las tabhs de niinieros que mas ha ii-ifluido en la historia de las Malcmáticas. Fue descubierto en occidente por Blaise Pascal eil su tratado "Traiié du Trianglc .4rithmétique" que fue publicado en 1665. Este triiiigulo tanibikri es llamado cl triingulo de Ymg Hui's, porque fue descubierto en 1 26 1 por este niaterniitico chino. El r~iisn-iotriángulo ~arnbiénfue incluido en el libro "El espejo precioso de los cuatro elernentvs" por otro matemático chino C'hu Shili-Cliieh en 13U3.

3-3.4 Ejemplo Deniuestrese que

(3

=

(n!

3

paraO

Solución

-

3-3.5 Ejemplo La transmisión electranica de infoimacion esta usualmcntc codificada en cadenas de 'ceros' y 'unos'. Cacla digito de la cadena se llama bil. Sc llama peso de una cadena al númcro dc unos de la misn~ri. Las interferencias y los problemas fisicos de la red dc transmisión introdiicen errores cn los mensajes. La deteccidn y correcci6ii de estos errorcs cs una parte iwportaiite dc la tcoria de codificación. Conio ejeriiplo consideremos un cudigo cuyas palabras sun cadenas de 1 6 bits y cuyo pcso cs divisible por 4 . 1C'iihntas palabras distintas puedc hahcr? Solucidn Sea k el peso de una cadena. F.1 ni~merode palabras de peso k scM

Como tenemos

)!(

= que

(:3

=1 y el nrixnm

(3,;: (:$ de

por d Djomplo 3 - 3 4 palabras b u i d a s es

34.6 T m m a del Binwnia Paracadan E Nypmc&pardetlmentosx,y~

R,

Dsmostracibn Por inducci6n sobre n. Si n = 1 el multado a obvio. &apngmos el resultado cierto para n = m y vamos a comprobar que es cierto para n =m+l.

por la hip6-is de iduocibn m time


l e ser 0,4, S, 12 8 1

el ejemplo 3-3.4, buscadas es

Observamos que cada tkrmino de la forma xm+'-PyP,para p distinto de O y de ni+l, aparece dos veces coii coeficientes

(pn) y (P m- 1 ). porla

l'roposicion 3-3.1 la suma de estos coeticientes es

l) . *si piies

podemos escribir

o. Supongamos cl ue es cierto para

1

Luego queda demostrada la fórmula del binomio. La fbmiila (3-3.6.1) se denomina también fbrn~iiladel Birioniio de Neulton (1 642-1 7271, esta fórmula fuc generalizada por lsaac Newton en

3 Métodos Combinatorios 1 G76 eri el caco de qiie n fuese racional y por Niels eii el caso de n fuese compleja,

En el Teorema anterior hacicndo y Corolario

=

H.Abel(1802-1 829)

1 obteilemos el siguiente

3-3.7 Corolario Para cada n

E

N y para cada elemento x E K.

'Tanto en 3-3.6 como en 3-3.7, R se puede sustituir por cualquier conjunto con una estructura de cuerpo. A los cocficicnics C(n,

k)

(J también re les llama coefciente.r 1

-

hitaómicos.

Observamos quc si baccmos x --- 1 en el Corolario 3-3.7 obtenemos

Esia formula tnnibikti fue obtenida en 3-2-29, Si haccnios x .- -1 en la fonnula del Corolario 3-3.7 tcncmos

3-3 Teorema del Binomio .be1(1 802-1 829) I

3-3.8 Ejemplo n

rios el siguie~~te

Demiiéstrese que n(2'l-

l) =

Z k(k)

11

para lodo n c N.

Solución Consideremos la idenlidad del Corolario 3-3.7

uir por cualqitier

derivando cn anbos micntbros rcspccto dc x tcncrnos I

si sustituirnos ahora x por 1 obtenemos

1

3-3.9 Ejemplo

Calcúlese el ctjeficienierle u6 cn el dcrmolln clc ( x - 3)' dondc x F R

Solucion Por el Teoreiiia del Binoiriiú

3 Métodos Comblnatorios Por tanto el ttmiino que conlicnc a x 6 cs

Luego el coeticiente biiscado es - 1 I 2 666. 3-3.10 Teorema Para cada m,k

E

N v (O} y para k 5 in se tiene la siguiciite igualdad

Demostración Por iriducci6n sobre 111. Sea S el conjiinto de númcros naturales para los cuales la jgiialdad se satisface. Vcanios que 1 G S . Eii efecto, si k = O se t icne

Asi pues 1ES. Siipongamos que m E S , cntonces por hipótesis. para todo k tal quc O 5 k 5 m sc satisface la igualdad

3-3 Teorema del Binomio y hay que probar qiie m + 1 ES. Es decir hay que probar que se satisface la siguiei~teigualdad para lollo k tal que O 5 k 5 m + l ,

Observamos que el miembro de la dcrccha cs

uiente igualdad

:ros nat~iralespara En ~fccto,s i k = O

por hipbtcsis, para

1>

si O 5 k 5 m,ya que m € S. Pero por 3-3.1 tcnernos que es igual a

Si k - 111 + I la igualdad cs lrivial. Por tanto m+ 1E S y S = N. 4

n

Calciilese el valor de la suma

k(k - l)(k - 2). k=3

Solución Para k 2 3 podemos vcr yuc

Por cl Tcurcrria ariterior el teniiino de la derecha vale

l)

7

Y Por

tanto cl rcsul tadu buscado cs

3!(n+l\ n l ! + l n n l - 2 ) 4 ) = 4(n - 3)! 4

El 'l'eorema dcl Binomiu es niuy util es miichas ramas de las Matemiticas. En el ejemplo siguieiite. daremos un breve esquema de la dcmostraciiin de uria propiedad de Ia fiinción exponencial, en la que sc uliliza e1 Teorenia del Binoinio. Pueíle verse una demodraciiin completa de esta pwpiedad eii cualquier libro de Analisis Matcmlilico.

3-3.12 Ejemplo A partir di: la expresibii

vamos a comprobar que exp(x).cxp(y)= exp(.u + y). Podetrios escribir


Observeiiios que los tkrriiitios de la forriin xI'y%~ori p + q - n podcnius agruparlos del modo siguiente

1 Si sacamos Fdclur común - podcmos cscrihir n! n,

has ramas dc lus

eve esqueiria de la mial, en la que se ~stracibi~ completa iAtico.

n!

-l

(n- 1

Y- + II!

(11

-2)!2!

l ! ( n - l)!

Pztu el Iactor eritre parentesis es prccisamcnlc (x + y)" . Asi pues tcncrntis quc

El resto de la Sección se dedica ri los coeficie~itesti.iultiti6rriicos. Estos coeficientes siirgen en problen~asdel tipo: ¿cúaiitas palabras distintas pueden formarse permiitando las letras de la palabra MATEMATICAS?

3 Métodos Combinatorios 3-3.13 Definición k

Sraii ii, n,, nz,..., nk números enteros no negativos, coi1 11 - xiii. Se

define el coefirierite multinómico P(ri, 11I ,n*,..., nk)como

que lariibiétl se escribe

1

n

3-3.1 4 Teorema Dados 11 objetos de k tipos, coi1 ni objetos del tipo i, para 1 5 i 5 k y con k Cn. = n, entonccs hay 1

1

-


objetos del segundo tipo. Por el misino argumeilto teiidrenius

nio

1

ion~iasde seleccionar los lugares. Repitiendo cl proccso llcgamos a qiie los objetos del tipo k tiene11 que ocupar los ii!, lugares restanles. Es dccir s610 hay una forma de colocarlos. Pero podeiilos escribir

Aplicando el Principio de Multiplicacio[i terienios que cl tulal tlc liirmas scri

tara 1 l i lk y coii que es equivaleiite a

cosiderarernos que n, los objetos que

e los n! objcios dc ,o entrc cllris. Srilo le la sucesibii de 11 yo de fom~asde S

las nl posiciones

, lugares para los

y climinandci los factores comiiiies eii el iiuiiieradr}r y ct denominador obtenemos finalmcntc

3-3.1 5 Ejemplo ¿ Ciiantas palabras distintas pueden fonnarse permutando las Ielras de la palabra MATEMATICAS'! Solución Obsenveiiiosqiie hay 1 1 letras quc son 2 'M',3 'A', 2 'T', 1 'E', 1 '1' , 1 'C' , y 1 'S '. Por tanto la wluciórisera:

-


iando las letras de

2 'T',1 'E', 1 '1' ,

diferentes sc pueden hacer'?. Solución El numcro dc señales diferentes se corresyonderi coi1 el iiutilero de perniutaciones de dicz ~Icmcntosde los qiie iii-io esta repetido cii~co veces, otro tres y otro dos, luegu serh

1O! = 2 520 senales diferentes. + S ! 3! S!

3-3.18 F6rmula de Leibnitz Los coeficientes iiiultiliiimicos surgen, al igual que los binrímicos, de la concidcracirin de expresiones algebraicas del tipo

:CuAntas palabras iibn de que estén

donde los x, son elcmcntos de un cuerpo y n es iiii iiuiiiei*~ riatural Si escribimos

ibras :pucdcn formarsc

tras cfcctuar los productos de la derecha y agnipar los términos semejarites terienius que cada tkrrni no es de la forma 11 II? I , ' X ~ ~ . . . X ~ con

n l i n2 t . . . t n k = ~ ~ ,

miiltiplicado por Lin coeticiei~te.Este coeficiente es cl númcro de formas distintas de seleccionar nl factores x l , n2 factores xZ, eic. con n1 + n2 + ... + nk = n. Pnr tanto el coeficiente es a cinta vertical de ;

negras, siendo

¿Cuinlas scñalcs

3 Métodos Combinatorias Luego

Esta foniiula se debe a Gottfricd W. Leibnitz (1 646-1716) y se le suele Ilati~arirbrntirln de I.eihnrtz. El h e uiio de los mas importantes niateináticos del siglo XVIII y publico la mayoría de sus trabajos cn una revista que 61 misrnu cdi taba denominada Acta Erudi torum.

Calcúlcsc d coeficiente del termino xl'x?x34

del desarrollo de

(X ,+X2+x3+~4)9.

Solucibn Observeinos primero que x ~ ' x ~es ~igual x ~ a ~ X I 3xz2~1 4x 4 0. El

coeficiente serh

3-3.20 Ejercicios 1.- Utilizando el Teorema del hinomio dcmuestrese que


donde n es un número natural y p es un n~imeroreal con O 5 p 5 1 646-1 716) y se le

s mas importantes sus trabajos en una

2.- Prukbese que para todo m,n, k E N,k 5 n y rn.

imm .

del dcsamllo dc

3.- Si una partida de bridge es una particiCii1 ordenada de 52 cartas eri cuatro grupos de 13 cartas cada lino. ¿Cuántas partidas distintas de bridge se puedcn jugar con una baraja? 4.- Una mano dc briJgc ticnc dishibución (nl, "2, "3, n4) con n1 k n 2 2 n 3 2 n 4 y ni +n2 +n3 + n 4 = 13,si hay nl cartasdcunpalo, nz de otro palo, etc. ¿Cuál es el iiúmero de manos de bridge coti distribución { 5,4,2,2)?. 5.- ;De cuántas formas se puede distribuir un conjunto con 211 eleiiieritos en n conjuntos de 2 elementos?

El Principio dc Inclusi6n-Exclusiiin, a pesar de su apariencia de siiiiplicidad, es una potente herraniierita del Anilisis Comhinatorio; nos dice que si sabemos contar elenientos de ii-iterseccioiies de conjuntos, cntonccs podrcmos determinar el tamaño de la unibn de diclios conjuntos. En su forma más simple, la relacihn cntrc cl número de elementos de la unibn de dos coiljuntos A y B, el iiúiliero de elementos de dichos conjuntos y el de la interseccidn es IAvBI-IAl-tIBI-IAnBI.

Figura 3.4.1

Seaii S un conjunto finito y P1,Ps,... ,P, propiedades que cada lino de \os eletrientos de S puede o no salisfidccr. Para cada i = 1,2, ... ,n,sea Si = { x entonces

E

S 1 x satisface Pi 1,

L

3-4 Principio de inclusión-Exclusibn ii) x satishce t dc las prupicdadcs {P1,Ps,...,P,}, 1 i 15 n. Entonces x e ( S i 1n Si2 n ... n S',), lucgo laaportacicin de x al lado i7qiiierdode la igiialdad del teorema es cero. Puesto que x S esto implica que la critiiribucicin di: x a J S ] cs 1. Adcmás x pcricnccc a t de los conjuntos

propiedades P,,

( S , ,..., S,) y por lo tanlo su iunlribución a E S i cs t. El número de ce ilingrii~side las

veces qiie se cuenta x en la suma

donde la siima esta extendida a las 2 coiiibinacioiies de ( 1, 2, ..., k ) , es Cl(t, 2). En cl caso gcnérico, la contribución de x a

dondc la suma csta cxtcndida a las k comhinacicincs ji 1 , i2, ..., ik) de { l , 2,...,n j ,es C(t, k). Luego la contribución total de x a la expresibn de la derecha es C(t, O) - C(t, 1) + C(t, 2) - C'(t, 3) + ...+ ( - l ) ' ~ ( t , t).

Por el Corolario 3-3.7, con x = -1, esta sunia es iiula. Por tanto queda demostrada la igualdad.

+

.a cantidad sobre los :parar el proceso en

P,,Pz,..., P,,;,

esto

buye con 1 al lado

3-4.2 Corolario E1 número de elemenlos dc S quc satisfacen al menos una de las propiedades P 1, Pz,..., P, es

3 Métodos Comblnatorlos

donde para 2 5 k < n , las sumas S

1

n Si n ... n Si

k

1

sc cxlicndcn

a todas las combinaciones de orden k, j i , , i2,..., ik).dc { l . 2 ,..., 11)

Demostracibn Eri la fórniula del Teorenia 3-4.1 vasta sustituir 1 S 1 por

operar. +

l

y Si y i "

3-4.3 Ejemplo En una oficina de empleo hay una oferta de tres tipos de piiestos de trabajo. 'Tres personas van a solicitar un empleo; cada una de ellas solicita cxactamcntc un cmplco y los trcs ciriplcos scilici~ados son distintos. i, De cuintas formas se puede dar a cada persoiia uti trabajo que no es el que había solicitado?

Solucibn Sean h , , h2, h7 los [res hombres y Pi, i = 1,2,3, lapropicdad: hi rccihc e l enipleo solic/iado. Sea S CI conjunto dc lodas las romas dc dar un cmplcu a cada uno dc los tres solicitantes, entorices 1 S 1 - - 3! 6. Sea S, = { X F S x satisface Pi), entonces 1 Si 1 = 2 , ahora ISFIn S'i n Sl3l , númcm dc formas dc dar irabajos no solici(ados, por cl Tcorcma anlcrior es igual

Pucslo quc

3-4 Principio de Inclusión-Exclusi6n

entonces,

\

Si

k

:

1

se extienden

EI siguiente ejemplo es una gei~eralizacibndel ailterior.

{ l , 2 ,..., n).

S1

pur

,:l 1

y Si y

ipos dt: pucslos dc cada una de ellas 3s solicitados soti iona un trabajo qiie

3-4.4 Ejemplo En iin teatro de dpera n personas dejan sus abrigos en el guardarropas. Cuando acaha la representación vuelven a recogerlos; los abrigos Iian sido iiiezclados y se devuelven dc forma alcatoria. ¿Cual es el numero de formas de llevar a cabo dicha devolucibti de modo que ninguna pcrsona reciba su propio abrigo'? Solución Sea S el conjunto de todas las formas posibles de que las n persoiias reciban los n abrigos. Es cvidcntc quc [ S 1 = n!. Vamos a designar por p, ,...,p,, a las n personas. Para cada i - 1,..., n, sea P, la propiedad de que p, reciba su propio abrigo, y sea S , = x E S 1 ( x saiisfiddcc Pi ) , cntonces

T= S'1 n Sf2 n ... n S', lropiedad: hi recibe formas de dar un 1 S 1 = 3! = 6. Sea n S'2 St,1 :l 'feorema anterior m

"

9

=

( X E S x 110satisracePi, i = I ,...,n).

Es decir, T es el conjunto de foriiias de devolver los abrigos sin acertar cn la devolución de ninguno de ellos. Sea k uil entero, k 1, 2 ,,,., 11, y ( i l , i2 ,..,, ik) una k-comhinacihn de { 1,2,. .., n) ,para poder aplicar el Teorema 3-4.1 es ncccsario calcular

-

Estc cardinal es el número de formas de devolver los abrigos propios a

3 Métodos Combinatorios p i , ,..., pi . C'otno este número es igual al número de periiiutaciones que 1.

se puede11liacer con n - k abrigos se tiene que cs (n - k ) ! , luego k

11

(-1)

k

C(n, k)(n

-

k)! + . . . + (-1)

n

U!=

34.5 Observacibn Bn el ejemplo an tcrior el conjuntv S era el corijunto de permutacjones dc n objetos, Y por lo tanto el problenia consistía en determinar cl iluniero de permutaciones de n objetos que no dcjaban a nirigunu fijo, es decir, para A = ( 1,2, ..., n), habrb que determinar el número de pemuiaciones o; A -+ A tal que o(x) $ x, para todo XEA. Una pertriutaci9n de este tipo se denomina una de,~nrdenacihny sc dice que los n elementos de A están dcstirdenadcis. Si se denota el número ric desordenacioizes dc n ub.jetos por ~ ( I I ) ,eiitoiices el resultado del ejemplo antcrior nos dice que

El problenia de las desordenaciones de n elementos sc pucdc reinterpret ar en tkrminos geométricos. Ccinsidcremos uti tablero de ajedrez de n x n casillas. Sc r~preseiitnuna pein~utaciónde t l , 2 ,...,n) colocand~una pieza de ajedrez sobre la casilla interseccibn de la llnea i y la colunina j, si la permutacidn cambia el número i al j. Por cjcmplo, IU

3-4 Principio de Inclusidn- Exclusibn 3ermutaciones quc

pemiitaciiin rr: (1, 2, 3, 4 )

+

13, 1, 4, 2 ) se puede representar de la

!, lucgo

-Diagonal principal

Figura 3-4.1 Es decir, una permutación de n objetos es equivalente a colocar n

de perrriutaciones en deterniiiiar el I a ninguno fijo, es tr el numero de todo X E A. Una cien y se dice que iola el nrimero de ~ltadodel ejeiilplo

piezas sobre un tablero dc clinicrisioncs n x n, dc forma quc no sc encueiltren dos piezas eil fa misma fila o cotunina, Para utia desordenacihn evidentemente las piezas no pueden estar sobre la diagonal priricipal. Entonccs d(~i)sc pucdc inlcrprctar como cl númcro

de fbrn-iasde colocar n torres, sobre un tablero de ajedrez de dinierisiuri n x n, de modo que ningiina se encuentre sobre la diagonal principal, y tal quc ninguna torrc pucda comcr a otra. Esta interpretacioi~del probleiiia de las desorderiaciotles ha servido para resolver algunos tipos de problemas combinatorios, reduciéndolos a la colocacicin dc Iorres, quc no sc comen unas a otras, sobre tableros de di fereiites diii~eiisiotiesy forii~asgeoriiétricas.

3-4.6

nentos se puede os un tahtero de i6nde {1,2, ...,n) .cibn de la línea i y j. Por ejemplo, la

Ejemplo Detenniiiese el i~hinei'ode peiniutacioriesdel conjurito A = ( 1,2, ...,n ) para las cuales al menos un elemento queda fijo.

Solucibn Si S reprcscn ta el conjunto de todas las pennutaciones del coigiinto A y T el conjunto de todas las dcsordcnaciuncs dc A, cnlonccs S - T cs cl conjiinto de todas las pem~iitacionesde A que deja11 fijo al trierios uti

l

Recursividad y Relaciones Recurrentes

Sc dicc quc un objclo cs rccursivo si i tc una dcfinicidn rccursiva, es decir, si se puede definir en términos de si mismo. La recursióri aparec.e en la estriictura de la naturaleza que da origen al carjicter fractal dc la misma, cn Matemáticas y cn la vida diaria, por ejen-iplo en los anuncios publicitarios que se coritienen a si rnistrios. Las dcfinicioncs y las estructuras recursivas en Matemáticas son iin niedio poderoso de plariiear y resolver problemas y de definir coi-ijuniris. Por ejeiiiplo: los i ~ u i ~ ~ enaturales, ros ciertas fui~cioiiescor-rio el faclorial, las estructtiras en árbol, etc.

3-5.1 Definición Un conjunto dc objetos cuth dciinido rccursivamcntc sicmprc quc i) Se especifiqrien de forma explícita algunos elementos del coi~j uilto. ii) Los demás elemei~tosdel coiljurito se deiirinn en térrriirios dc los elementos dados en i).

En el caso particular de fiinciones maternaticas definidas de N de R se tiene la siguien te definicihn.

3-5.2 Definici6n Un luncihn T : N + R sc dicc quc csii dcfinida rccursivamente, si para alguii no E N, se verifica i) 1,os valores de f( 1), f(2), ... , f(no) son conocidos. ji) Para n > 110,fin) está definida eri itrniirius dc í( 11, f(2),..., f(n- 1).

Losi(l), f(2), ... , f(n~)scllamanvaErii.esocniidicioiie~sinicic~lescle f y 110s referirelnos a Isi ecuación quc dcscribc C(n) cn iErminos dc f( l ) , f(2), ... , f(n- 1) como uiia relaciurr dt. recurrenciu para C. Es decir, dada una sucesilin de níirnercis

3-5 Recursividad y

us precedenics cn la mayores qiie alguri xurrencia para f. A

3nde el dominio de ~lonccsextender la

Relaciones Recurrentes

J.a potcncia de las defiriiciones y procesas reciirsivos, reside en la posibilidad de definir un niimero infinito de objetos mcdiantc un enunciado finito. Del mismo modo, se puedc dcscrihir un nútriero infinito de operaciones de calculo median tc un proceso recursivo firiito. Evidcnlcmcn!~la utilidad de estos métodos esti limitada a aquellos tipos de problenias que presentan en su estructura cicrto aspecto rec.iirsivo.

3-5.4 Ejemplo Sea d(n) el numero dc dcsordenaciories del co~ijui~to S = { 1, S,.. ., n) . Pariicndu de las cvtidicio~iesi[liciales

mero natural. nstruido a partir dc un árbol añadiendo iuede reflejar eii la p n i ~ h c s cquc d(n) salisface la relacibri de recliweiicia

iz (vEasc 2-3. lb:) de virticc v, mediante

S) se pucdc dcfinir

paran 1 7. Solucidn Se va a dctcrminar, utilizairdo niktodos coinbinatorios, el niimero pusible de desordenacioiies de S . Sea f una dcsordenacibn dc S, si se coiisidera a r conio una pcrniutacibn de S que no deja fijo ningiin elemento, se puede elegir la iniagende 1, [(i) = a , & (n- 1) formas(? I:a
Consideremos las caderias de caracteres de longitud ri 2 1, fonriadas por las letras M y D. Sea fjn) el ni~rnerode tales cadenas qiie no contienen dos M consecutivas. Entonces f(1) = 2, (posccn sólo una M o una D) y r(2) = 3, (MD, DM y DD). Obtkrigase utia relaciii~i de recurreiicj a para f(n). Soluci~n Sea Z una de tales cadenas. Si el primer carácter es D, entonces el reslo dc Z forma una dc las f(n - 1) cadcnas dc longitud n - 1, Si el prinier caracter de Z es M, necesariamente el segundo carhcter tiene qiie ser il y el resto de Z es una cadcna dc las f(n - 2) con longitud (n - 2). Luego del Principio de Adición se deduce que

3-5 Recursividad y Relaciones Recurrentes

tar la acci6n de f se ientemente esto se 3-5.6 Definición Utia relaci6n de recurrencia de la forma

:modo que

mismo que cl dc to que dada una a desordenaci6n de siguicntc modo, si

l y c,f(l)=a y ]ara completar f. ultiplicaciiin quc

id n 2 1 , formadas S cadenas que no seen s61o una M o una relacihn de

),

entonces el resto

I segundo cariicler 1 - 2) con loi~gitud

dondc n 2 1 + 1 y a,, a?, ,., , a, son constantes, se llama i-ekrrihn (le recurrenciu lineul cori coeficie~itescoiistaiites. Cuando k(n) = U, diremos y ue la relaciurt es liricul Iiorriogérim.

Se Jetioriiiiia liiieal puesto que s61o aparecen factores lineales para la funciii~ir eii el lado derecho de la igualdad, es decir, no hay factorcs dcl tipo

(n - ti. r(ri - S) ó

[r(ii -

s)j, donde 1 < s < I y j toma valores enteros.

IJn cjcmplo dc rclacidn de recuireticia que satisface la definicion antcriur es

Para n L 5 cs lineal Con coeficierites coiista~~tes. 3-5.7 Definición Se denoiliiria sircesib~tde Fiboricrcci a la sucesibn obtenida a partir de la relacibn de recurrencia:

fib(n) = fib(n - 1) + fib(n - 2 ) para n r 3, coi1 condiciones iniciales fib ( 1) = I , tib (2) = 2.

El nonibre de sucesiói~de Fibonacci se debe al matemhtico s Edouard Lociis (1 842-9 1) al estar asociada a un famoso prohlcmli "cl problema dc Ins cnncjos" quc csli contenido cn cl "Libcr Abxi" (1 202)

3 Mktodos Combinatorios 13 edad media por el matematico Leonardo de Pisa (1 175-1 270) conocido por el sobrenombre de Fi honacci. Este problema

escrito en

sc pucdc cnunciar así:

¿Cuantas parejas de conejos habrh al cabo de un aRo a partir de una primera parcja, s i cada parcja origina una nueva cada mes, la\ pareja se vuelve fkrtil a partir del seguiido mes y adenib 110 ocurren riiuei-tes?. La succsirjn dc Fibonaccj csia Jclínida mediante uria reiaciori rccurrentc lineal y borriogénea cori coeiicieiites coiistarites.

En gcncral, una rclación dc rccurrcncia ticric miis dc: una soluci8~1, pero las coiidiciones iiiiciales especifica11 cual de las soluciones es la que resuelve el problema.

Una relacióri de recurrencja de la fornia; F(n) = F(n - 1) + F(n - 2 ) para n > 3,

se denominara una relación de rerurreitcin rk! tipo F'ihoiiarri. Obsérvese que cn esle caso no se fijan las condiciones iniciales para F(1) y F(2). 3-5.8 Definición

Sea r(n) - a l r ( n - 1) - a2r(li-2)- ... - ati4(n- t ) = O,coilr~='t+I, una relaci611de recurrencia liiieal y hoii1og6iea de coe ficieiitss coostaiites. Se denomina ecuacibn c-c~rncicríst!cncrsocintln a la ecuacibn recurrente a la expresiiin : x'- aix'-' - a2xtm2 - ...- a,lx

- a , = O.

A continuación describiremos algunos metodos para resolver algunos tipos cspccialcs dc rclacioncs dc rccurrcncia.

3-5.9 Teorema Sea r(n) - a, r(ii- 1 - a2r(n-2)- ... - a,r(ii-t) = 0, donde n > t + 1, ui-ia

>


Leorlardo de Pisa accj. Este problenia año a pai-tir di: una a mes. tal pareja se irrcn muertes?. ante

iina

relacibri de reciirreiicia lineal y homogénea dc cricficicnics conslanles. Entciriccs r(ti) Iit' es uiiri soluciCin s i y sólo si b es una raíz de la eciiacion característica.

Demostracibn Para b = O el resiiltada es ahviamcntc cicrto. Supongamt~squc r(n) = b" es uria soluciói~para algiin b $ 0 , entoi~ces,

reiaciói~

intes. 1s

de una solucio~i,

y dividierido ahora por b" - se tiene

ioluciones 2s la que Lucgo b es una raíz de la ecunciiin caracteristica. Reciprvcarriente, si b # O es uria raíz de la ecuaci6n caracteristica. eiltoilces, mrrItiplicaiido esta ecuación por h" - obtenemos que r(n) = h" cs una saluciiin dc la rclaciiin lincal y hr}rnogknea. +

',

alxt*' - a2xtb2- ... - a,-lx - a, = O, tiene no nulas y distintas bl , h2,...,ht, cntonccs Si la eciiacidn

x'

-

t

raíces

0,can n > t t- 1, iina cientes constantes. uacicin recurrente a

nresolver algunos

dc n > t i ] , u n a

es uiiri soluciCiii de la ecuaciói~de reciirreiicia (donde las coiistailres ci son arbitrarias) llamada solución general. Si se dan t condiciones iniciales r(i) = d,, i = 1 ,..., t, eritonces se puede obtener una soluciiiil particular de la ecuacion, puesto que estas condiciones determinan un sistema de eciiaciones lineales en las inchgni tas ci :

-


"1

+ 9 c 2 = 1,

cuyasoluciiines c l =-112 y c2 = llb. Entonces

:ma tieiie una rmiilailte de la :to del niimeru lblcncrnos por

cl proceso de

zrerrios.

irrna reciirsiva

Por lo Lanlo la

3-5.1 1 Ejemplo Eiicuetitrese y resuélvase la relaci6n dc rccurrcncia que da el niimero de cadenas de n-digitos, en base tres, tales que iio pcisccn dos digitos consccutivns igiiales. Solución Sea r(n) cl numcro huscadn. Es claro que r( 1) = 3. Sea 11 ; .I y sea L = a , a2 ... a,,_ una cadena de (n - 1)-dígitos, cntonces hay dos formas de añadir el siguieiitedigito a, a la cadciia, ya quc a,, es O, 1, 6 2, y a,, ;t a,,_,. Por tailto

La ccuaciiin característica es x - 2 = O. Luego x = 2 es ulia r a i ~ caracteristica y r(n) = 122" es la soluciiin gcncral. T)e la condicidn inicial r(1) = 3, obtenemos c = 3l2. Así pues r(n) - 3.2"-' c.s la relacion buscada. + 3-5.12 Teorema La funci61-ifi h(n ), soluciiin de la relacidn de recurreilcia de Fiboriacci: fíb(n) = tib(n - 1) t- fib(n - 21,

viene dada por

para ri 2 3,


Democtracibn L a ecuacihn característica asociada es

Las srilucioncs de esta ecuacibn san

I,ucgo fih, (11) - - x y 6b2(n) = x2" son soluciories de la relac:ón recurrciile. Debido al carácter lincal de la relaci6ii cualqiiier curiibi!iacibii liiieal de ambas scrii lanibiéri solucibii, es decir

es soluciiin, dunde las constantes c , y c2 dcbcn elegirse de modo que

fib(1) - 1 y fib(2) = 2. Por tanto

CI X ,

+c2x7=fih(l)= 1,

cl ~ ~ ~ + ~ ~ x ~ ~ = f í b ( 2 ) = 2 .

Resolviendo dicho sislcma para c l y c7, se obtiene

mes de la rclacicin elación cualquier 3 decir.

;irse de modo que


Luego

La fbrriiula que exprcsa fib(n) se llama fomiila de Binet, debido a que hie obteriida por el ~iiutemlíticofrancks Jacqiies Philippe Maric Biiiet (1 786-1 856). Esta foniiula tarnbiéri fue deducida independientemente por Abraham de Moivre (1 667-1 754) y Dariiel Bernoulli (1 700- 1782).

-

El iiulllero irraciot~al1 + A5 llamado r a h n aurea es quizá el i-ii~nieiu 2 irracional m& famoso después del número x. Aparece en la construccihn del penthgono regular dada por Euclidcs y ya cn 1 509 se escribid iin libro dedicado Únicamcntc a él. Ademhs de aparecer corilo heriios vislo cn el estudio de la sucesioii de Fibonacci, surge eii Ia llamada espiral aijrea o dc Aryuimedes y en el feiioii~eiio botílnicu llamado filotaxia (literalmeiite"disposiciiin dc hojas"), entre otras muchas aplicaciories. m

Aplicando el Teorema del Biiiomio a la ecuaciiin an tcrior se tiene

I

3-5 Recurslvldad y Relaciones Recurrentes

itero, se obtiene el los termilios que se Figura 3.5.2

La matriz de adyacencia asociada

1 01. r

M(u) =

a

dicho pseiidografo es

1

Pruébese yuc

donde fib(ri) es la fuiicion de Fibonacci vista anteriormente y Mn(a) es cl niimcro de caminos de longitud n que unen los vdriiccs dc G,(vkase la Seccibn 2-3).

el sútriero de subconjuntos de k elementos de u11 corijunto de n elementos, donde ambos niimeros son naturales, ri 1 k, y k fijo. Obtkngase iina relación de recurrencia para g(n). 3.- Sea g(n)

4.- Eiicuii.ntrese una fbrmula para la fiinci6n g(n) definida del moda siguiente: i) g u j - 1, ii) g(n) = g(n - 1) t- 2n - l , para ri ;.l . ,'

c. Designanios por :on las letras de S y enas que tienen iin 5mero de elemenios p(n).

5.- Dada la relaciiin dc rccurrencia: i ) h(l)=l, i i ) h(n)=2Ii(ii- 1 ) + 1,para n > l . I

...:

301

3 Metodos Combinatorios Obtengase una sciluciiin y úscsc el iiiktodo de inducción pam demrisirar la valide^ de dicha solución.

6.- Res~iilvanselas siguientes relaciones recurrentes: i) r(n) = 6 rln - 1) - 1 1 r(n - 2) + 6 r(n - 3), coi1 las condiciones iniciales r(I)=S,r(S)=6yr(3) --20. ii) r(n)= 3 r(n - 1) t r(n - 21-3 r(n - 3), si r ( l j - 3, i ( 2 ) = 15 y r(3)= 12. iii) r(n} - 1/2(r(n- l}+r(n-2)),si r ( l ) = O y r ( 2 j = l. 7.- (Torres de llanoi). Considcrcmos un tablero con tres pequeiías esracas vcrticalcs (etiquetadas el, e2, e,). Se dispone de n discos que ticncn un agujero ceritral de dihinetro superior al dihmetro de las estacas. Los discos tieileil iodos diAmetros difcrcntcs y c s t h ctiyuetiidos por tamaño decreciente como d l , dz, ... , d,. Los discos están ensartados en e l y se pretende moverlos a c3, uiilizando e2 cumo auxiliar, meiliante las siguientes reglas: ij Cada iiioviniiento consiste en transferir el disco quc sc encuentra eti la parte s~iperiorde una estaca a otra cstaca di ferente. ii) Está prohibido colocar encima de iin disco otro de mayor diámetro. Obtengase las cnndicioncs iniciales y la relacihii de reciirrei~ciapara el núrncru de moviniientos, Ii(n), nec,esririos para hacer el traslado de los

Árbol, 181 con raíz, 185 Algoritmo dc Dijkstru, 189 de Euclides, 2 1

de Factorizacinn de Fermat, 78 de In Divisifin, 10 Arista, 135 cxtrcmo dc una arista, 135 fin de una arista. 138 origen de iiiia arista, 138 Autúrnütu h i t o . 145

Base, 124 í7arninn. 151

c+errdu, 151

cn digrato. 175 euleriano, 154 extremos de un cmiino, 15 1

fin de un camino, 175 hamiltoniano, 162 longiiud de un caminn. 1 S 1, 175 urigen de un carriino, 175 simplc, 15 1 Ciclo, 15 1 hainiliuiiiaiio, 1 ú? Cifradu de iiirn~ajrs,118 Cifrados dc clavc publica, 120 Circuitn, 1 S 1

eulerianti, 154 Clique, 212 Criplograt'la, 1 18 Cociente, 10 Coeficientes miiltin6inicus. 274

C'ulorüciún de un guro, 208 Combinaciones, 244 con repeticiiin, 250 Componentes conexas de iin griifo, 164

Condiciones iniciales, 256 Con,jetura de Ferrnat. 85

Conjetura de Goldhach, 42 Criba de Erutiistcnes, 33 Criterius de divisibilidad. 118 Desordenac iones, 386 Diferencia, 3 Digitus de control, 39 Digrafo. 138 Distancia entre vértices, 189

Divideridu, 10 Divisor, 3

Eiiuaci6n característica, 294 diufiinticu, 69

lincal, 69 pitaghrica, 79 Etiqueta de una arista, 188 Fucior. 3 Factorial, 232 Fhrmula de rxihniz, 277 F6rmul~de P~scul.263 Funci6n de Euler, 108 Grado de iina regidn, 193 de un v6rtice. 140 Grato, 135 hipartito, 209 completo, 143 conexo. 153 desconexo, 15 3 etiquetado, 188 euleriano. 155 finito, 136 hamiltoniano, 162 iscimnrfri, 139 k-regular, 143

del Binomici, 266

usiún. 282

219 :hlet. 222 nacibn, 2 611, 61

1,

ual dc un grafo, 207 35

de Inr r u a t i n rolores. 207 Fui iiiuld de Eiilcr para ginfus, 201

Pundümcntal dc la AritmCtica, 33 Peqiienn Teorema de Ferrnar, 1 1 3 PI iiriei Tecii eiiia de T' de ginfcis, 14 I '1'crn;is prinitiim piirigóricli~.YO

Tc,ctb dc primalidad. 50 Triinpulr, de Pdscal, 263 Viilor al>so111 ti>, 7 Vuri~ciuiies. 237 con rcwtici6n. 241 Vtitice5, 1'1.5

adyaceiiirs. 135 ncia. 3 9

ccincctadas, 163 itrminales, 187

93 de residuus, 93

o de residuos,

II MOD m.c.d.

d (;lkak. 1 ..

+

v E V('3 EG) G = (V, E} #V

#E gr(

1 1

Kn

K #R GM

SA t

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