Matematica 47i2o
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c c c c c c c c c
c c c Professor: Hiroshi Wilson Yonemoto
ÍNDICE ! c
cc PERTINÊNCIA______________________________________________________________________ 3 REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO ___________________________________________________ 3 CONJUNTO V AZIO __________________________________________________________________ 4 INCLUSÃO (SUBCONJUNTOS) __________________________________________________________ 4 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS _________________________________________________________ 5 INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS __________________________________________________________ 6 DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS _______________________________________________________ 7 CONJUNTO COMPLEMENTAR __________________________________________________________ 7 c
cc c c
cc c
cc EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ________________________________________________________ 13 EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU _______________________________________________________ 13 cc ° c c _________________________________________________________________ 14 c __________________________________________________________________ 15
c
cc
c c c ! c
cc O PLANO CARTESIANO _____________________________________________________________ 21 DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS _________________________________________________________ 22 ÁREA DE UM TRIÂNGULO NO PLANO CARTESIANO ________________________________________ 25 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS___________________________________________ 26 ESTUDO ANALÍTICO DA RETA ________________________________________________________ 26 — ° c cc cc c ESTUDO ANALÍTICO DA CIRCUNFERÊNCIA ______________________________________________ 32 c !
cc RELAÇÕES BINÁRIAS _______________________________________________________________ 35 PRODUTO CARTESIANO _____________________________________________________________ 35 c c ! c
cc INTERVALOS _____________________________________________________________________ 37 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA F UNÇÃO ___________________________________ 38 TIPOS FUNDAMENTAIS DE FUNÇÕES ___________________________________________________ 40 FUNÇÃO INVERSA _________________________________________________________________ 40 OUTROS TIPOS DE FUNÇÕES __________________________________________________________ 41 c cc c cc c cc c ________________________________________________________________________ 42 c ___________________________________________________________________ 43
c cc ° c cc cc c FUNÇÕES TRANSCENDENTES_________________________________________________________ 44 c cc c ________________________________________________________________ 45 cc ____________________________________________________________ 46 c c ____________________________________________________________ 47
FUNÇÃO LOGARÍTMICA _____________________________________________________________ 47 c cc c cc
2
! c Conjunto é um conceito primitivo. Quando ouvimos a palavra ³conjunto´, a nossa idéia já está formada a respeito. Na matemática, consideraremos como conjunto uma coleção ou lista bem definida de objetos, pessoas, animais, símbolos. Exemplo: Sejam os conjuntos
A = {vogais do alfabeto} = {a, e, i, o, u} B = {x / x é um número natural menor que 5} = {0, 1, 2, 3,
4} Vamos agora observar alguns conceitos importantes sobre a teoria dos conjuntos ! c Um elemento pode pertencer ou não a um conjunto dado. Por isso, dizemos que um elemento pertence ou não pertence a um conjunto. Essas afirmações são representadas pelos seguintes símbolos:
(pertence) $ (não pertence)
Exemplo Seja o conjunto A = {a, b, c, d} Então
$ c c c!"c Existem 3 (três) maneiras de se representar conjuntos. a)c Por extensão: consiste em enumerar os elementos que o constituem Exemplo1 = {1, 2, 3, 4}
3
Exemplo2 = {a, e, i, o, u} b)c Por propriedade: consiste em determinar uma ou várias propriedades que todos os elementos do conjunto possuam, e somente eles. Considerando os conjuntos acima, Exemplo1 = {x / x N e 0
x
5}
Exemplo2 = {x / x são as vogais do alfabeto} c)c Diagrama de Venn: é a representação numa região plana, limitada por uma linha curva fechada. Seja o conjunto S = {a, b, c} a
b c
S
!"c #c É o conjunto que não possui elemento Exemplo: conjunto dos números naturais maiores do que 5 e menores do que 6 Chamando este conjunto de conjunto A, temos, A = ˜ (esta é a representação de um conjunto vazio) c c c$ "%c Considere os conjuntos A = {2, 3} B = {1, 2, 3, 4} &c
1c
4 2 ccccccccccccccccccccc 3
4
Observe que todos os elementos de A pertencem a B. Então, A é um subconjunto de B. Pode-se também dizer que B contém A, ou que A está contido em B. Simbolicamente:
cc ccc&c
&c c c
ou
Considerando agora os conjuntos: C = { 1, 2, 3} D = {2, 3, 4} Percebe-se que nem todos os elementos do conjunto C pertencem ao conjunto D. então, C de D. Assim, C não está contido em D, ou D não contém C. Simbolicamente: ou
Ccc8cDc
Dcc ccCc
c c "c ë c c c Chamaremos de união de dois conjuntos A e B, ao conjunto resultante C, formado pelos elementos que pertencem a A e B. Exemplo: sejam os conjuntos A = {a, b, c} B = {c, d, e} Assim, se chamarmos de C o conjunto formado pela união de A e B, temos: C = A ó B = {a, b, c, d, e} Símbolo de união de conjuntos
5
Propriedades da união de conjuntos: fc a c :
AóB=BóA
fc a c :
(A ó B) ó C = A ó (B ó C)
c c "c Chamaremos de interseção de dois conjuntos A e B, ao conjunto resultante D, formado pelos elementos que pertencem tanto a A como a B. Simbolicamente: D=A B
Exemplo: sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4} Chamando de D a interseção dos dois conjuntos, temos: D = A B = {2, 3} Símbolo de interseção de conjuntos
Propriedades da interseção de conjuntos: fc Propriedade Comutativa:
fc Propriedade associativa:
AB=BA
(A 6B) C = A (B C)
Exemplos: Sejam os conjuntos A = {a, b, c} B = {b, c, d} C = {c, d, e} Verificar se (A B) C = A (B C)
6
Primeiro vamos examinar o lado esquerdo da igualdade (A 6B) C = ({a, b, c} {b, c, d}) {c, d, e} = = ({b, c}) 6{c, d, e}
=
= {c} Agora, vejamos se o lado direito da igualdade confere com a resposta obtida A (B C) = {a, b, c} ${b, c, d} {c, d, e}%c'c c
c
c
'c{a, b, c} ({c, d})
=
= {c} Portanto, a igualdade é verdadeira, o que comprova a propriedade associativa da interseção de conjuntos.
( c cc "c Chamaremos de diferença de dois conjuntos A e B, dados numa certa ordem, a um novo conjunto formado pelos elementos que pertencem ao primeiro conjunto (A), e não pertencem ao segundo conjunto (B). Se a ordem dada for A e B, indica-se a diferença por A ± B. Se a ordem dada for B e A, indica-se a diferença por B ± A . Exemplo: Sejam os conjuntos A = {a, b, c} B = {b, c, d, e} Então, A ± B = {a}, pois somente o elemento pertence ao conjunto A e não pertence ao conjunto B. !"c c Chamaremos de conjunto complementar de B em relação a A, a diferença A ± B, quando B A . Indica-se da seguinte forma:
CBA = {x / x 6B e
x 6 }
7
exemplo: A = {a, b, c, d} B = {b, c} Como B A,
CBA = A ± B = {a, d}
8
c c Observe a reta numerada
...
-4
-3
-2
-1
0 ½ 1
2
3
4
...
Na reta acima representada, temos a presença de vários subconjuntos numéricos. Õc Conjunto dos números naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...} Õc Conjunto dos números inteiros
Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} Õc Conjunto dos números racionais
Q = {...-2, ..., -3/2, ..., -1, ..., -1/2, ...0, ..., 1/3, ..., 1...} Ou seja, Q = {a/b / a e b Z, b 0} *todo número racional pode ser expresso por uma forma decimal finita ou periódica ½ = 0.5 ; 1/3 = 0.33333... (dízima periódica) Õc Conjunto dos números irracionais
Ü ,ü
3 , Ü ,ü 2 , Ü , 2 , Ü , 3 , Ü , 5 , Ü
*Irracional é um número cuja expressão decimal é composta de um número infinito de algarismos decimais e não é periódica 2 1.414213 Ü
3 1.7320 Ü
9
Õc Conjunto dos números reais
É a reunião dos conjuntos de números racionais e irracionais. Q ó irracionais = R N Z Q R
Assim,
R
R Q Z
E
Números racionais
Números irracionais
N
10
c) c Verifica-se facilmente que: (2 + 3)2 22 + 32
(a + b)2 a2 + b2
(5 - 4)2 52 - 42
(a - b)2 a2 - b2
(3 + 1)3 33 + 13
(a + b)3 a3 + b3
(4 - 3)3 43 - 33
(a - b)3 a3 - b3
Surgem, então, certas igualdades, de uso frequente no cálculo algébrico, e que são chamadas . Os principais são: 1.c Quadrado da soma de dois termos Seja (a + b)2 Temos então,
(a + b) (a + b) a2 + ab ab + b2 a2 + 2ab + b2
*O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo
2.c Quadrado da diferença de dois termos Seja (a ± b)2 Temos então,
(a ± b) (a ± b) a2 ± ab ± ab + b2 a2 ± 2 ab + b2
*O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo 11
3.c Produto da soma de dois termos pela sua diferença Seja (a + b) . (a ± b) Temos,
(a + b) (a ± b) a2 + ab ± ab ± b2 a2 ± b2
*O produto da soma de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo.
Existem ainda: 4.c Cubo da soma de dois termos (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5.c Cubo da diferença de dois termos (a ± b) 3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 exercícios a)c (x + 5)2 b)c (2x ± 1)2 c)c (3- x)2 d)c (x + 5) . (x - 5) e)c (3x + 4) . (3x ± 4)
12
cc
c
cc c* c Uma equação do primeiro grau é toda equação colocada na forma
bx + c = 0 Onde, b R, c R, b ” 0 b e c são chamados coeficientes da equação do primeiro grau cc *c c Uma equação do segundo grau, numa variável, é toda equação equivalente à forma padrão:
ax2 + bx + c = 0
Onde a, b, c são coeficientes da equação e, a R, b R, c 6R e a ” 0 * o coeficiente não pode ser igual a zero, porque a equação se reduziria à equação do primeiro grau, vista anteriormente. Equações completas e incompletas Õc Uma equação do 2 Grau é chamada quando seus coeficientes a, b, c são
diferentes de zero. Ex.: 2x2 ± 3x + 1 = 0
a = 2, b = -3, c = 1
y2 ± 4y ± 2 = 0
a = 1, b = -4, c = -2
-5t2 + 2t + 3 = 0
a = -5, b = 2, c = 3
Õc Uma equação do 2 Grau é chamada quando pelo menos um dos
coeficientes b ou c for nulo. Ex.: x2 ± 1 = 0
a = 1, b = 0, c = -1
2
a = 1, b = 2, c = 0
2
a = 1, b = 0, c = 0
x + 2x = 0 x =0
13
c c ccc cc A forma de resolução de uma equação do 2 Grau dependerá da mesma ser completa ou incompleta. Para equações incompletas, a resolução se resume a operações algébricas simples, enquanto para equações completas, será necessária a introdução de um novo elemento: a fórmula de Báscara. Vamos, primeiro, examinar a resolução de equações incompletas. c cc 1 caso: c
ax2 = 0
b = 0, c = 0
c cc c c c c
x2 = 0 / a x2 = 0 x=0 2 caso: c
ax2 + bx = 0
c=0
cc c c c c c
c
x (ax + b) = 0 c
c c c c c c ccc cc c c c c c c c
cc c c cc c c c cc c c c c ca c
x=0
( solução 1)
c c
ax + b = 0 c
cc c c
x = -b / a
3 Caso:
(solução 2)
ax2 + c = 0
b=0
cc c c c c
x2 = -c / a c
c c c c c c c c c
ü 14
2x2 ± 8 = 0
exemplo:
x2 = 8 / 2 = 4 x=
2
c cc Õc Resolução por fórmula
Estudaremos a resolução das equações completas, utilizando a fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara, observando que a resolução das equações completas é feita no conjunto Universo dos números Reais. ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 0)
Seja a equação:
cc cc c c c c
ax2 + bx = - c c c c c cc cc
c
c
2
c
4a . ax + 4a . bx = - 4 a c 4 a2 x2 + 4 a b x = - 4 a c
r cc cc c c c
4 a2 x2 + 4 a b x + b2 = b2 ± 4 a c c c
c
c c c
c
c c c c c c c c c c c c c c
c cc c cccr c c c
(2 a x + b)2 = b2 ± 4 a c c
c c c c c c c
2ax+b= c
Ù b2 ± 4 a c
c c c c
ü
2 ü 4 2
A expressão (b2 ± 4 a c) é chamada discriminante da equação, sendo usualmente representada pela letra grega _ (delta). Dependendo do valor de _ð6 temos 3 casos a considerar: Õc 1 Caso:
_660
15
De acordo com a fórmula, existem 2 valores distintos para a variável x, podendo ser representados por x¶ e x¶¶.
2?
'
Õc 2 Caso:
_
_
ü 2
e
''
üü _ 2
_=0
Neste caso, _ 0 0
Então,
0 2? 2? Assim, a equação tem uma única raiz, sendo comum dizer que a equação
tem duas raízes iguais, ou seja, x¶= x¶¶ 3 Caso
_<0
Neste caso, não existe em o valor para a raiz quadrada de _6(raiz quadrada de um número negativo). Portanto: Solução = 5 (costuma-se dizer que as raízes são complexas ou imaginárias) Õc Resolução por fatoração
Em alguns casos, é possível resolver a equação do segundo grau por fatoração. Quando o coeficiente de x é igual a 1 (a = 1), é possível fatorar o primeiro membro, transformando a equação em um produto de 2 equações simples. Para isso, é preciso
16
achar 2 números cuja soma seja igual ao coeficiente b e o produto seja igual ao coeficiente c. Ex.: seja a função
x2 + 5x + 6 = 0
Temos que b = 5 e c = 6 Os dois números cuja soma é igual a 5 e o produto é igual a 6 são 2 e 3 (2 + 3 = 5, e 2 . 3 = 6) assim, a equação é equivalente ao produto das equações de 1 grau: (x + 2) . (x + 3) = 0
:
x+2=0 x = -2
:
x+3=0 x = -3
exemplo 2: simplifique a seguinte equação
2 7 12 0
4
para simplificar a equação, vamos nos ater ao membro de cima do quociente, que representa uma equação do 2 grau. Encontrando dois números cuja soma seja igual a b e o produto seja igual a c, encontramos os valores ±3 e ±4. Assim, toda a equação x2 ±7x + 12 pode ser substituída pelo produto (x ± 3) . (x - 4) Substituindo na expressão,
z ü 3 z ü 4
ü4
0
Simplificando o termo (x ± 4) na equação, encontramos, (x ± 3) = 0 x=3
17
exercícios encontre as raízes das seguintes equações do 2 grau a)c x2 ± 3x + 2 = 0 b)c x2 ± 5x + 4 = 0 c)c x2 ± 7x = 0 d)c x2 ± 9 = 0 e)c x2 ± 6x + 8 = 0 cc *c c Chama-se inequação do segundo grau com uma variável toda inequação na forma ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c ‰ 0 ou ax2 + bx + c
0, com
a0 Resolver uma inequação do segundo grau consiste em determinar o seu conjunto solução, ou seja, o conjunto dos valores da variável x para os quais a equação é positivo ou negativo. Quando,
_>0
Teremos duas raízes e devemos fazer a regra de sinal na reta numerada:
ccccccc c c c ccccccccccccccc c c c ccccccccccccc c c c ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
Raiz 1
Quando,
Raiz 2
_=0
Teremos duas raízes iguais. Colocando na reta numerada, ccccccccccccc c c c ccccccccccccccccccccccccccccccccc c c c cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc c
Raiz 1 = Raiz 2
18
_<0
Quando,
Não teremos raízes. Colocando na reta numerada,
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc c c c ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
ccccccccccccccccccccc c
Exemplos: Resolver a inequação x2 ± 3x + 2 > 0 (significa determinar valores para x que tornem a equação positiva, ou seja, maior do que zero) igualando a expressão a zero x2 ± 3x + 2 = 0 achando as raízes,
2 4? ( 3) 2?
( 3) 2 4 1 2 2
3 1 2
x1 = 2 x2 = 1 colocando na reta as raízes: ccccccccccccccccccccc ccccccccccccccc cccccccccccccccccccccc ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc c
1
2
portanto, a solução é o conjunto de números menores do que 1 e maiores do que 2, ou de outra forma {x R / x < 1 ou x > 2} exemplo: resolver a inequação x2 ± 5 x + 8 < 0 (significa determinar para que valores de x a expressão x2 ± 5 x + 8 é negativa)
19
( 5)
note que _ < 0
( 5) 2 4 1 8 2
5
7 2
(_ = - 7)
então a equação não tem raízes. Colocando na reta numerada, ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
como toda reta fornece um valor positivo, a solução é o conjunto vazio, pois nenhum intervalo fornece valores que tornem a equação menor do que zero. Exercícios: Resolva as seguintes inequações do segundo grau: a)c x2 ± 2 x ± 8 < 0 b)c x2 ± 10 x + 25 > 0 c)c 9 x2 ± 8 x ± 1 > 0 d)c ± x2 ± 9 x ± 14 > 0
20
c
c c c ! c A geometria analítica tem por objeto o estudo das propriedades das figuras geométricas através da análise algébrica. Assim, a geometria analítica faz uma síntese perfeita entre a álgebra e a geometria. Toda figura geométrica pode ser considerada como um conjunto de pontos. E para traduzirmos em linguagem algébrica as propriedades de uma figura geométrica, utiliza-se uma associação de pontos e números. Esta associação é obtida mediante um sistema de coordenadas, chamadas coordenadas cartesianas. cc! c Já conhecemos a reta numerada, onde se fixou: a)c um ponto 0, a origem b)c um sentido positivo de percurso c)c uma unidade de medida ( ) c
ccc
+ ...
-4
-3
-2
-1
0 ½ 1
2
3
4 ...
pode-se então estabelecer um sistema de referência que permita localizar um ponto no plano. Considerando 2 retas perpendiculares entre si, sobre as quais são marcados os números reais: y 2 1 ...
-4
-3
-2
-1
0½ 1
2
3
4
...
x
-1 -2 Além disso, deve-se obter as seguintes convenções: a)c Essas retas, ortogonais do sistema, depois de receberem numeração e sentido de contagem, am a denominar-se eixos.
21
b)c A unidade geométrica escolhida para representar as unidades algébricas é arbitrária. c)c A interseção dos eixos é a origem da contagem dos dois eixos. d)c O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas, e recebe a numeração real positiva à direita da origem, e negativa à sua esquerda e)c O eixo vertical é chamado eixo das ordenadas, e recebe a numeração real positiva para cima da origem, e negativa para baixo da origem. f)c Os dois eixos cartesianos, supondo-se que sejam infinitos em todas as direções, determinam o plano cartesiano. g)c No plano cartesiano, qualquer ponto pode ser determinado univocamente por duas coordenadas. (univocamente significa que duas determinadas coordenadas determinam um e um único ponto). Portanto, a todo ponto P do plano cartesiano podemos associar uma abscissa x (escrita em primeiro lugar) e uma ordenada y (escrita em segundo lugar); simbolizamos tal fato por P(x, y). as coordenadas da origem são representadas por (0, 0).
+ c ccc 1 caso: os pontos possuem coordenada x ou y igual. Considere o seguinte gráfico y &
3
.
2 1 0
1
2
3
4
5
x
-1 -2
!
sejam A(5, 3) B(2, 3) C(5, -2) Os pontos A e B tem a mesma ordenada e se encontram na mesma paralela ao eixo x.
22
Os pontos A e C tem a mesma abscissa e se encontram na mesma paralela ao eixo y. Agora, verifiquemos a distância entre os pontos B e A, e entre A e C. Sem muita dificuldade, percebe-se que a distância entre B(2, 3) e A(5, 3) é igual a 3 unidades, ou seja: d (B, A) = 5 - 2= 3 A distância entre dois pontos cujas ordenadas são iguais é dada p elo valor absoluto ou módulo da diferença entre as suas abscissas. Simbolicamente: c$ ,c&%c'c cc&'c_ c
Analogamente: A distância entre A(5, 3) e C(5, -2) é igual a 5 unidades, ou seja: d (A, C) = 3 ± (-2)= 5 logo: A distância entre dois pontos cujas abscissas são iguais é dada pelo valor absoluto ou módulo da diferença entre suas ordenadas. simbolicamente: c$ ,c!%c'c Õ ccÕ&'c_Õc
2 caso: consideremos os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) nesta construção gráfica:
yB yA
B A xA
C xB
23
observe que ligando os pontos A, B e C encontramos um triângulo retângulo ABC. A distância entre A e B representa a hipotenusa deste triângulo. Aplicando o teorema de Pitágoras: 2 ? 1 2 ? 2 2
d(A, B) = _x2 + _y2
( , ) _ 2
_Õ 2
Exemplos: Calcule a distância entre os pontos A(5, 7) e B(1, 4) Resolução: _ x2 = (5 ± 1)2 = 16 _ y2 = (7 ± 4)2 = 9 ( , ) 16 9 5
exercícios: determine a distância entre os pares de pontos seguintes: a)c (0, 0) e (7, 0) b)c (7, 2) e (4, 2) c)c (-2, 4) e (2, -4) d)c (-7, 6) e (2, 3)
24
c c c +*ccc c Consideremos um triângulo de vértices A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) y y3
C
y2 y1
B A x1
x3
x2
M
N
P
Pela análise da figura podemos escrever: Área (ABC) = Área (ACNM) + Área (BCNP) ± Área (ABPM)
As figuras ACNM, BCNP e ABPM são trapézios cujas áreas são calculadas através da fórmula: Área de trapézio = 1 / 2 (base maior + base menor) . altura Então: Área (ACNM) = 1 / 2 (y1 + y3) . (x3 ± x1) = 1 / 2 (x3 y1 + x3 y3 ± x1 y1 ± x1 y3) Área (BCNP) = 1 / 2 (y2 + y3) . (x2 ± x3) = 1 / 2 (x2 y2 + x2 y3 ± x3 y2 ± x3 y3 ) Área (ABPM) = 1 / 2 (y1 + y2) . (x2 - x1) = 1 / 2 (x2 y1 + x2 y2 ± x1 y1 ± x1 y2 ) Efetuando as operações e reduzindo os termos semelhantes, temos como resultado: Área (ABC) = 1 / 2 (x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 - x2 y1 - x3 y2 ± x1 y3) Esta área pode ser representada pela regra prática:
r
1 1 2 3 1 o 2 Õ1 Õ 2 Õ 3 Õ 1 25
Exemplo: Determine a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(3, 4), B(-5, 6), C(-8, -5) r
1 3ü 5ü 83 1 o o 3 o 6 2 4 6 ü 54 2
zü 5 o zü 5 zü 8
o 4 ü 4 o zü 5 ü 6 o zü 8 ü zü 5 o 3 47
!c c- c c !cc Para que 3 pontos estejam alinhados, basta que a área do triângulo, cujos vértices são estes 3 pontos seja nula. Nesse caso, os 3 pontos são chamados . Portanto, dados 3 pontos A(x1, y1 ), B(x2, y2 ), C(x3, y3), estes pontos estarão alinhados se:
1 2 3 1 Õ1 Õ 2 Õ 3 Õ1
0
exemplo: verifique se os pontos A(1, 2), B(6, 12), C(7, 14) estão alinhados
1 6 7 1 2 12 14 2
12
84
14 ü 12 ü 84 ü 14 0
A área do triângulo é nula; portanto, os 3 pontos são colineares. Exercícios: Verifique se os pontos estão alinhados a)c (1, 2), (3, 6), (4, 8) b)c (0, 0), (4, 4), (8, 8) c)c (3, 0), (2, 5), (4, 6) c c . cc c y1
M r
y2
N x1
x2
26
tomemos na reta r dois pontos distintos M(x1, y1) e N(x2, y2), de coordenadas conhecidas. Consideremos P(x, y) um ponto genérico de r. aplicando a condição de alinhamento de três pontos a M, N e P:
1 2 0 Õ Õ1 Õ 2 Õ x y1 + x1 y2 + x2 y ± x1 y ± x2 y1 ± x y2 = 0 (y1 - y2) x + (x2 - x1) y + (x1 y2 - x2 y1) = 0 a
b
c
substituindo: cc/ccÕc/c c'c0c Esta é a equação geral de uma reta r. Os valores a, b, c são números reais, sendo a”0 ou b”0. Trata-se de uma equação do primeiro grau com duas variáveis. Exemplo: determine a equação da reta que a pelos pontos A(4, 6) e B(1, 2) e, em seguida, verifique se os pontos P(1, 2) e Q(-2, 3) pertencem a esta reta. Como A e B devem ser colineares, temos:
4 1 Õ 6 2 Õ
0
6 x + 8 + y ± 4 y ±6 ±2 x = 0 4x±3y+2=0 agora vamos verificar se os pontos pertencem à reta: P(1, 2) Substituindo x por 1 e y por 2 na equação resulta: 4 (1) ± 3(2) + 2 = 0 Como a equação confirmou a igualdade a zero,
P r
Q(-2, 3) Substituindo x por (-2) e y por 3 na equação:
27
4 (-2) ±3 (3) + 2 =-15 Como a equação não mais se iguala a zero, o ponto não pertence à reta
Q$r
Exercícios: 1. Determine a equação da reta que a pelos seguintes pontos a)c (2, 3) e (1, 4) b)c (5, 0) e (-3, 2) 2. Verifique se os pontos P(3, 2), Q(2, 3) e R(6, 4) pertencem à reta da equação 2x ± 3y = 0 Interseção de Duas Retas Duas retas são concorrentes quando se cruzam em um ponto chamado ponto de interseção. Para encontrar esse ponto, devemos resolver o sistema formado pelas equações das duas retas. Os valores de x e de y encontrados na resolução desse sistema, são as coordenadas do ponto de interseção. Exemplo: Determine o ponto de interseção das retas r e s, cujas equações são: R: x + 4 y ± 12 = 0 S: x ± y ± 2 = 0 Resolução: fazendo r ± s no sistema formado pelas duas equações, temos x + 4 y ± 12 = 0 - (x ± y ± 2) = 0 0 + 5y ± 10 = 0 5 y = 10 Õc'c substituindo este valor de y em qualquer uma das equações, encontramos o valor de x: x±y±2=0 x ± 2 ± 2 = 0 c'c1 portanto, o ponto de interseção é (x, y) = (4, 2)
28
Exercícios: Determine o ponto de interseção dos seguintes pares de retas: a)c 5 x + 7 y = 17 e 3 x + 4 y ± 10 = 0 b)c 2 x + 3 y = 0
e 3x±5y+1=0
c)c x + y ± 5 = 0 e x ± y ± 1 = 0
) cc! ( c * c c c c Declive ou coeficiente angular de uma reta é o nome dado à tangente trigonométrica do ângulo que esta reta forma com o sentido positivo do eixo das abscissas. É representado por: m = tg O, onde m é o declive e O é o ângulo da reta considerada. Este ângulo recebe o nome de inclinação da reta y2
B
y1
A
x1
O x2
Há 3 maneiras de se determinar o coeficiente angular de uma reta: 1.Conhecendo-se o ângulo m = tg O O = arc tg m
2. Conhecendo-se dois pontos (x1, y1) e (x2, y2 )
29
Õ ü Õ1 2 2 ü 1
3. Conhecendo-se a equação ax + by + c = 0 então,
m=-a/b
exemplo: o declive que a pelos pontos (3, 2) e (7, 5) é:
Õ 2 ü Õ1 5 ü 2 3
2 ü 1 7 ü 3 4
Exercícios: Determine o coeficiente angular da reta que a pelos pontos: a)c (-2, 2) e (3, -3) b)c (-5, -4) e (2, -3) determine o coeficiente angular da reta dada pela equação: a)c 2 x ± 4 y + 12 = 0 b)c 2 x + 3y ± 23 = 0
c c c ,cc ccc c c ) c Seja P(x1, y1) um ponto dado da reta r: ax + by + c = 0. Se P6 r, então ax1 + by1 + c = 0. Subtraindo membro a membro as duas equações, temos: ax + by + c = 0 ax1 + by1 + c = 0 ax ± ax1 + by - by1 = 0
a(x ± x1) + b(y ± y1) = 0
30
y ± y1 = - a / b (x ± x1),
com b” 0
cc cccc c
Õc2cÕc'c c$c2c%c
exemplo: escreva a equação da reta que a pelo ponto (5, 3) e cujo declive é 4 substituindo na fórmula x1 por 5, y1 por 3 e m por 4: y ± 3 = 4 (x - 5) y ± 3 = 4 x ± 20 4 x ± y ± 17 = 0
ou
y = 4x ± 17
Exercícios: Dados um ponto e o declive, ache a equação da reta correspondente a)c (4, -2), m = 3 b)c (-6, 2), m = 1
31
c . cc! ( ! c É o lugar geométrico dos pontos de um plano que estão a uma distância dada ( r ) de um ponto dado ( C ). Dada a figura,
y y-b
P(x, y) r
b
C(a, b)
M
a
M
x
x-a Sejam C (a, b) o centro da circunferência = r = raio P (x, y) um ponto genérico da circunferência Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo M, obtemos: CM2 + PM2 = 2, ou $c2c%c/c$Õcc%c'c c
cc ( !
Desenvolvendo a equação, obtemos: x2 + y2 ± 2 a x ± 2 b y + a2 + b2 ± r2 = 0 ou
c/cÕc2cccc2cccÕc/c c'c0c
onde
c'cc/cc2c c
32
exemplo: Escreva a equação da circunferência de raio 6 e cujo centro é o ponto (3, 4) Como o ponto central é (3, 4), a=3 b=4 r=6 Substituindo estes valores na equação da circunferência, x2 + y2 ± 2 . 3 . x ± 2 . 4 . y + 32 + 42 ± 62 = 0 x2 + y2 ± 6. x ± 8 y + 9 + 16 ± 36 = 0 x2 + y2 ± 6 x ± 8 y - 11= 0 exemplo 2: encontre o centro e o raio da circunferência definida pela equação x2 + y2 ± 4 x + 8 y ± 5 = 0 comparando a equação dada com a equação da circunferência, temos: x2 + y2 ± 2 a x ± 2 b y + c = 0 x2 + y2 ± 4 x
+8y
±5=0
podemos concluir que
-2a=-4 -2b=8
a=2
b = -4
c = -5 como c = a2 + b2 ± r2 -5 = 22 + (-4)2 ± r2 r2 = 4 + 5 + 16 = 25 r=5 então, o centro é o ponto (a, b) = (2, -4) e o raio é igual a 5
33
Exercícios: Escreva a equação das circunferências de centro C e raio r nos seguintes casos: a)c C (1, 2) e r = 3 b)c C (-2, 4) e r = 5 c)c C (-5, 0) e r = 5 Determine o centro e o raio das circunferências definidas pelas equações: a)c x2 + y2 ± 2 x + 4 y + 1 = 0 b)c x2 + y2 ± 2 x ± 4 y ± 4 = 0 c)c 2 x2 + 2 y2 ± 4 x ± 4 y + 1 = 0 (dica: divida toda a equação por 2)
34
c ! c c& c Constantemente em nossas vidas, deparamo-nos com conjuntos de pares ordenados. Por exemplo. Veja esta tabela, que representa as vendas de uma agência de automóveis, durante o primeiro trimestre: Mês
janeiro
Fevereiro
Março
Vendas
30
21
36
Observa-se facilmente que existe uma relação entre mês e número de carros vendidos. Colocando na forma de pares ordenados: (jan, 30), (fev., 21), (mar., 36) c! c Sejam os conjuntos A = {0, 2} B = {1, 3, 5} Para formar o conjunto de pares ordenados, faz-se o cruzamento entre os 2 conjuntos. Convencionando o 1 elemento como pertencente ao conjunto A e o 2 elemento ao conjunto B: A X B = {(0, 1), (0, 3), (0, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 5)} Definição de Relação Binária: dados dois conjuntos A e B, dizemos que um conjunto R é relação de A em B, se R é um subconjunto de A x B.
R é relação de A em B R A x B
35
Exemplo: Seja A = {1, 2} B = {2, 3, 4} R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3)} Determine se R é uma relação binária de A em B c c
c c cc c c cc cc! c
c c"cc ccc cc
A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} "cc ccc cc c c"cc c c c cc c c c
" c c c
A
B 1
2 3
2
4
c c ! c Há um tipo particular de relação, conhecido por função ou aplicação. Ocorrem muitos casos na prática, onde o valor de uma quantidade depende do valor de outra. Assim, o salário de uma pessoa pode depender do número de horas trabalhadas ou do número de unidades produzidas; o número de unidades de certo produto demandadas pelos consumidores pode depender de seu preço, etc. Uma relação de tais quantidades é muitas vezes definida por meio de uma função. Aqui temos a aplicação direta do conceito de conjuntos, visto anteriormente, onde tais conjuntos se relacionam de acordo com determinada taxa ou intensidade. Definição: dados 2 conjuntos A e B não-vazios e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma função ou aplicação se, e somente se, para todo x A está associado um único elemento y B, tal que (x, y) f.
36
Exemplos: A
f
B
1
4
2
5
3
6
A
g 2 4
cc c cc c c c ccc c c c # cÕc cc
B 5 c c c c c c c c c c c c c cccccc
6 6 9
A
Õc cc
7
h
2 4
4 3 2 1 7
5 6
A
l 3
B cc cc c c c cccc c c c# ccc Õc ccc c c c
c c c cc c c cc
B 2
l não é função pois para todo x A deve estar associado
5
um único y B
2 6
notação de uma função: y = f (x) )cc Uma variável x encontra-se pode se encontrar em um determinado intervalo de números, o qual pode ser aberto ou fechado. No intervalo aberto, estão incluídos todos os números pertencentes ao intervalo, menos os pontos extremos. A representação de um intervalo aberto é feita através de parênteses ou pelos símbolos ³ c $c ()ou ³ c $ ( ). Se a representação
37
for feita em uma reta numerada ou gráfico, os extremos do intervalo devem ser marcados por um círculo sem preenchimento (bola aberta) Ex. {x N / 5 x
10} então, x está no intervalo
(6, 7, 8, 9) No intervalo fechado, os extremos do intervalo também podem representar os valores da variável. A representação é feita através de colchetes, ou pelos símbolos ' cc $(I) ou ' cc $(`). Se a representação for feita em uma reta numerada ou gráfico, os extremos do intervalo devem ser marcados por um círculo preenchido (bola fechada) Ex.: considerando o mesmo intervalo acima, temos {x N / 5` x ` 10} . então x pode ser representado da seguinte forma [6, 7, 8, 9] *repare que um intervalo pode ser aberto à esquerda e fechado à direita, ou fechado à esquerda e aberto à direita.
.,c! .c c * c c cc Seja uma função de A em B. Õc Domínio: é o conjunto, representado por D (f), dos elementos x A para os quais
existe y B, de modo que (x, y) f. D (f) = A Õc Contradomínio: são todos os elementos do conjunto B, representado por C (f). C (f)
=B Õc Imagem: é o conjunto Im (f) dos elementos y B para os quais exista x A, de
modo que (x, y) f. A imagem é um subconjunto de B. Im (f) B
Exemplo: 38
Dados A = {2, 3, 4} B = {4, 5, 6, 7, 8} f (x) = x + 2 determinar o domínio, contradomínio e imagem c
cc c cc c c cc c c
f (2) = 2 + 2 = 4 f (3) = 3 + 2 = 5 f (4) = 4 + 2 = 6, então: D (f) = A = {2, 3, 4} C (f) = B = {4, 5, 6, 7, 8} Im (f) ={4, 5, 6} A = domínio
2 3 4
4 5
7
B = contradomínio
8
6
Imagem
Exercício: Verifique se os gráficos abaixo representam gráficos de funções. O eixo vertical corresponde ao eixo y e o horizontal ao eixo x.
39
c c c c c Õc Função injetora
Uma função f definida de A em B é injetora se cada elemento de B (imagem), é imagem de um único elemento de A A
1
4
2
5 6 7
3
B c
Õc Função sobrejetora
Uma função f definida de A em B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens, ou seja: Im(f) = B A
1
3
2
5
B c
4
Õc Função bijetora
Uma função f definida de A em B recebe o nome de bijetora, quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo A
1
3
2
4
3
5
B c
c) c Seja f uma função bijetora definida de A em B, com x A e y B, sendo (x, y) f. Chamaremos de função inversa de f, e indicaremos por f-1, o conjunto dos pares ordenados (y, x) f-1, com y B e x A
40
Exemplo: f é definida de em , sendo y = 2 x a c cc c c c cÕc cÕc c c
y=2x
trocando
x=2y y=x/2
Portanto, a função inversa de y = 2 x é f-1 = x / 2 Exercício Determine a função inversa das equações a)c y = 5 x ± 2 b)c y = 3 x
cc c( c
c c ! c c % cc ccc c c c c cc ccc c ccccc c°c cccc c cc c cc°cccc c c cc # c c c c cc c cc c c c c cc
Exemplo: Seja f definida por f (x) = x 1/2 e a função g por g (x) = 2x ± 3. a)c ache f o g(x), e determine seu domínio b)c ache g o f (x), e determine seu domínio Resolução: f o g(x) = f (g (x))
c c c c
c c cc c cc c c c
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc cc ccc ccc cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
f (g (x)) = f (2 x ± 3) f (g (x)) = ¥(2 x ± 3)
41
O domínio de g é (- *, + *) e o domínio de f é [0, + *). Assim, o domínio de f o g é o conjunto dos números reais para atender à exigência 2 x ± 3 ‰ 0, ou seja, [3 / 2, + *) c)c g o f (x) = g (f (x)) = g (¥ x ) = 2 (¥ x ) ± 3 Como o domínio de f é [0, + *) e o domínio de g é ( - *, + *), o domínio de g o f é [0, +*) Exercício Dado que f é definida por f (x) = ¥ x
e g é definida por g (x) = x2 ± 1. Determine:
a) cccb) c6cc) cccd) cc. Determine também o domínio da função composta.
c c Se a imagem da função f consiste de apenas um único número, então f é chamada de função constante. Assim, se (c $%c'c , e se c é um número real, então f é uma função constante e sua representação no plano cartesiano é uma reta paralela ao eixo x.
c c Se uma função f está definida por
f(x) = a0 xn + a1 x n-1 + ... + an-1 x + an onde
é um inteiro não negativo, e 0,c,c333,c são números reais (a0 0), então f é
chamada de função polinomial de grau n. c c Se o grau de uma função polinomial for 1, ela é então chamada de função linear. Partindo da equação geral de funções polinomiais, e substituindo n = 1 f (x) = a0 x1 + a1 c
c c c c c c c c c c c c c c c c c
c c c
42
f (x) = m x + b, c c cc c c c c c c c cÕc c cc
c c c Se o grau de uma função polinomial for 2, ela é chamada de função quadrática. 2
1
f(x) = a0 x + a1 x + a2 x
0
2
f (x) = a0 x + a1 x + a2
c c c c c c c c c c c c c c c c ccc c c c % c c c cc c
c c A função linear definida por f(x) = x é chamada função identidade
c c É chamada função racional uma função que pode ser expressa como o quociente
3 ü 2 5
2 ü 9 de duas funções polinomiais. Por exemplo: ( )
c *4 c Uma função algébrica é aquela formada por um número grande de operações algébricas, que incluem adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ex.:
z ( )
2
ü 3 1
z
4
2
1
Além destas funções, é importante fazer uma pequena revisão das chamadas funções transcendentes, ou seja, funções exponenciais e logarítmicas
43
c c
c c A definição de potência de um número positivo quando o expoente é um número racional está definida em álgebra. Em particular, 2x está definido para qualquer valor racional de x. Por exemplo: 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 20 = 1 2-3 = 1 / 23 = 1 / 8 2 3
2 3 22 3 4 Quando x é um número irracional, as coisas ficam um pouco mais complicadas. Entretanto. Tal abordagem é mais avançada do que os objetivos do curso. Portanto, tal hipótese não será trabalhada neste curso. Vamos agora definir uma função exponencial Uma função que obedece à lei y = ax, com a , tal que a 0 e a 1, é chamada função exponencial. Úc c cccc c c # c c c c c cccc cc c # c c
Vemos, pela definição, que a estará em dois intervalos distintos. No primeiro, a estará no intervalo aberto (0, 1). No segundo, a estará no intervalo de números maiores do que 1. Dependendo do valor de a, seu gráfico terá características diferentes. Veja a tabela abaixo: Seja a função: y = ax, c
Õc$ cc'c%c
Õc$ cc'cc5c%c
...
...
...
-2
2-2 = 1 / 4
(1/2)-2 = 4
-1
2-1 = 1 / 2
(1/2)-1 = 2
0
20 = 1
(1/2)0 = 1
1
21 = 2
(1/2)1 = 1 / 2
2
22 = 4
(1/2)2 = 1 / 4
...
...
...
44
Os gráficos das funções podem ser visualizados abaixo: a=2
-2
a=1/2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
A partir da observação dos gráficos, podemos compreender as seguintes afirmações: Quando c6c a função é , pois à medida que aumentam os valores de x, também aumentam os valores de y Quando 0c7cc7c a função é , pois à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem
c c Chamamos de equação exponencial a toda equação em que a incógnita figura como expoente. Exemplo: Encontre o valor de x na equação: 2x = 64 Ú c c
c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
c c c cc # c&c c c # c c c
c c cc
2x = 26
45
c c c c c c
c c c c c c c c c
c c
x=6 cc c Se a e b são números positivos quaisquer, x e y números reais quaisquer, então: x
i.c a . ay = ax+y ii.c ax / ay = ax-y iii.c (ax)y = axy iv.c (ab)x = ax . bx v.c (a / b)x = ax / bx *as demonstrações das propriedades serão omitidas, por não fazerem parte do contexto do curso. Por hora, basta conhecer as propriedades exemplo: Resolva a equação 9x ± 2 . 3x ± 3 = 0 Resolução: como 9 = 32, (32)x ± 2 (3x) ± 3 = 0 2 x
c c c c(3
) = 32x = 3x2 = (3x)2cr c
(3x)2 ± 2 (3x) ± 3 = 0 x
c c cc c 3 c c c c c cc c c c cc c c
t2 ± 2t ± 3 = 0 c c
c c c c c c cë c c c c c
ü
z
2
ü 4
2
ü ( ü2 )
zzü 2 2
2
ü 4.1.(ü3)
2
16 2
2
4 2
t1 = 3 t2 = -1
c c cc
3xc c 46
3x = 3 e 3 x = -1
3x = -1 c ccc c c c c ccc ax = y, a 0, a 1
ey0 assim, a solução da equação é 3x = 31
x=1
Exercícios Encontre o valor de x nas seguintes equações a)c 2x = 8 b)c 25 x = 125 c)c 32 x = 8 d)c 10x = 0,001 e)c 2x = 1 / 16 f)c 4x + 2x ± 20 = 0 g)c 10 . 2x ± 4x = 16 h)c 2x + 2x+1 + 2x+2 = 14 c c c É a função definida por f (x) = 6x O domínio da função exponencial natural é o conjunto dos números reais e a imagem é o conjunto dos números reais positivos.
é uma constante e seu valor é 2,718281...
c* . c Definição de logaritmo: consideremos 2 números reais e , sendo a 0, a 1 , b 0. Chamaremos de logaritmo de na base a um certo número ¼ , se e somente se, ao ser elevado a ¼ reproduz . Então:
log a b = ¼ a¼ = b
47
Onde b logaritmando a base
¼ logaritmo Úc c % c c c
c c c cc % c
c
exemplo: encontre o valor de ¼ na equação log2 8 = ¼
log2 8 = ¼
2¼ =8
2¼ = 23 ¼ =3 Definição de função logarítmica Uma função que obedece à lei y = loga x, com a tal que a 0, a 1 e x pertencente aos números reais positivos, é chamada função logarítmica. Assim como na função exponencial, o valor de a pode pertencer a dois intervalos distintos 0
a
1
e
a 1. Nos dois casos, teremos gráficos com características diferentes,
como podemos ver nos gráficos obtidos da tabela abaixo: seja a função y = loga x
X
y = log2 x
(a = 2)
y = log1/2 x
...
...
...
8
log2 8 = 3
log1/2 8 = -3
4
log2 4 = 2
log1/2 x = -2
2
log2 2 = 1
log1/2 x = -1
1
log2 1 = 0
log1/2 x = 0
1/2
log2 1/2 = -1
log1/2 x = 1
...
...
...
(a = 1 / 2)
48
y
y = log
1
2
3
4
y
5
2
x
6
7
8
x
7
8
x
y = log ½ x
1
2
3
4
5
6
Com a ajuda dos gráficos, podemos entender as seguintes afirmações:
Quando c6c a função é , pois à medida que aumentam os valores de x, também aumentam os valores de y
Quando 0c7cc7c a função é , pois à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem
49
!* c Chama-se cologaritmo de um número b numa base a, ao oposto do logaritmo de b na base a. Colog a b = - log a b Propriedades de logaritmos Se b 0, b 1, M 0, N 0 e r é um número real qualquer, então:
i.c log b M N = log b M + log b N ii.c log b M / N = log b M ± log b N r
iii.c log b M = r . log b M
c* c c Se a base da função logarítmica é o número definido na seção de funções exponenciais, esta função é chamada de função logarítmica natural. Se x é um número positivo qualquer, há exatamente um número real y, tal que x
= ey. Este único número y é o valor da função logarítmica natural em x, que é denotada por ln x. Logo
y = ln x
se e somente se x = e
y
A partir da definição da função logarítmica natural, novas propriedades podem ser apresentadas:
ln = 1
ln x = x ln x = x log b x = ln x / ln b log b = 1 / ln b
50
Exercícios: calcule o valor de x a)c log2 x = 3 b)c log3 x = 1 c)c log2 8 = x d)c log5 125 = x e)c log2 2 ¥ 2 = x
51
c c c Professor: Hiroshi Wilson Yonemoto
ÍNDICE ! c
cc PERTINÊNCIA______________________________________________________________________ 3 REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO ___________________________________________________ 3 CONJUNTO V AZIO __________________________________________________________________ 4 INCLUSÃO (SUBCONJUNTOS) __________________________________________________________ 4 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS _________________________________________________________ 5 INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS __________________________________________________________ 6 DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS _______________________________________________________ 7 CONJUNTO COMPLEMENTAR __________________________________________________________ 7 c
cc c c
cc c
cc EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ________________________________________________________ 13 EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU _______________________________________________________ 13 cc ° c c _________________________________________________________________ 14 c __________________________________________________________________ 15
c
cc
c c c ! c
cc O PLANO CARTESIANO _____________________________________________________________ 21 DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS _________________________________________________________ 22 ÁREA DE UM TRIÂNGULO NO PLANO CARTESIANO ________________________________________ 25 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS___________________________________________ 26 ESTUDO ANALÍTICO DA RETA ________________________________________________________ 26 — ° c cc cc c ESTUDO ANALÍTICO DA CIRCUNFERÊNCIA ______________________________________________ 32 c !
cc RELAÇÕES BINÁRIAS _______________________________________________________________ 35 PRODUTO CARTESIANO _____________________________________________________________ 35 c c ! c
cc INTERVALOS _____________________________________________________________________ 37 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA F UNÇÃO ___________________________________ 38 TIPOS FUNDAMENTAIS DE FUNÇÕES ___________________________________________________ 40 FUNÇÃO INVERSA _________________________________________________________________ 40 OUTROS TIPOS DE FUNÇÕES __________________________________________________________ 41 c cc c cc c cc c ________________________________________________________________________ 42 c ___________________________________________________________________ 43
c cc ° c cc cc c FUNÇÕES TRANSCENDENTES_________________________________________________________ 44 c cc c ________________________________________________________________ 45 cc ____________________________________________________________ 46 c c ____________________________________________________________ 47
FUNÇÃO LOGARÍTMICA _____________________________________________________________ 47 c cc c cc
2
! c Conjunto é um conceito primitivo. Quando ouvimos a palavra ³conjunto´, a nossa idéia já está formada a respeito. Na matemática, consideraremos como conjunto uma coleção ou lista bem definida de objetos, pessoas, animais, símbolos. Exemplo: Sejam os conjuntos
A = {vogais do alfabeto} = {a, e, i, o, u} B = {x / x é um número natural menor que 5} = {0, 1, 2, 3,
4} Vamos agora observar alguns conceitos importantes sobre a teoria dos conjuntos ! c Um elemento pode pertencer ou não a um conjunto dado. Por isso, dizemos que um elemento pertence ou não pertence a um conjunto. Essas afirmações são representadas pelos seguintes símbolos:
(pertence) $ (não pertence)
Exemplo Seja o conjunto A = {a, b, c, d} Então
$ c c c!"c Existem 3 (três) maneiras de se representar conjuntos. a)c Por extensão: consiste em enumerar os elementos que o constituem Exemplo1 = {1, 2, 3, 4}
3
Exemplo2 = {a, e, i, o, u} b)c Por propriedade: consiste em determinar uma ou várias propriedades que todos os elementos do conjunto possuam, e somente eles. Considerando os conjuntos acima, Exemplo1 = {x / x N e 0
x
5}
Exemplo2 = {x / x são as vogais do alfabeto} c)c Diagrama de Venn: é a representação numa região plana, limitada por uma linha curva fechada. Seja o conjunto S = {a, b, c} a
b c
S
!"c #c É o conjunto que não possui elemento Exemplo: conjunto dos números naturais maiores do que 5 e menores do que 6 Chamando este conjunto de conjunto A, temos, A = ˜ (esta é a representação de um conjunto vazio) c c c$ "%c Considere os conjuntos A = {2, 3} B = {1, 2, 3, 4} &c
1c
4 2 ccccccccccccccccccccc 3
4
Observe que todos os elementos de A pertencem a B. Então, A é um subconjunto de B. Pode-se também dizer que B contém A, ou que A está contido em B. Simbolicamente:
cc ccc&c
&c c c
ou
Considerando agora os conjuntos: C = { 1, 2, 3} D = {2, 3, 4} Percebe-se que nem todos os elementos do conjunto C pertencem ao conjunto D. então, C de D. Assim, C não está contido em D, ou D não contém C. Simbolicamente: ou
Ccc8cDc
Dcc ccCc
c c "c ë c c c Chamaremos de união de dois conjuntos A e B, ao conjunto resultante C, formado pelos elementos que pertencem a A e B. Exemplo: sejam os conjuntos A = {a, b, c} B = {c, d, e} Assim, se chamarmos de C o conjunto formado pela união de A e B, temos: C = A ó B = {a, b, c, d, e} Símbolo de união de conjuntos
5
Propriedades da união de conjuntos: fc a c :
AóB=BóA
fc a c :
(A ó B) ó C = A ó (B ó C)
c c "c Chamaremos de interseção de dois conjuntos A e B, ao conjunto resultante D, formado pelos elementos que pertencem tanto a A como a B. Simbolicamente: D=A B
Exemplo: sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4} Chamando de D a interseção dos dois conjuntos, temos: D = A B = {2, 3} Símbolo de interseção de conjuntos
Propriedades da interseção de conjuntos: fc Propriedade Comutativa:
fc Propriedade associativa:
AB=BA
(A 6B) C = A (B C)
Exemplos: Sejam os conjuntos A = {a, b, c} B = {b, c, d} C = {c, d, e} Verificar se (A B) C = A (B C)
6
Primeiro vamos examinar o lado esquerdo da igualdade (A 6B) C = ({a, b, c} {b, c, d}) {c, d, e} = = ({b, c}) 6{c, d, e}
=
= {c} Agora, vejamos se o lado direito da igualdade confere com a resposta obtida A (B C) = {a, b, c} ${b, c, d} {c, d, e}%c'c c
c
c
'c{a, b, c} ({c, d})
=
= {c} Portanto, a igualdade é verdadeira, o que comprova a propriedade associativa da interseção de conjuntos.
( c cc "c Chamaremos de diferença de dois conjuntos A e B, dados numa certa ordem, a um novo conjunto formado pelos elementos que pertencem ao primeiro conjunto (A), e não pertencem ao segundo conjunto (B). Se a ordem dada for A e B, indica-se a diferença por A ± B. Se a ordem dada for B e A, indica-se a diferença por B ± A . Exemplo: Sejam os conjuntos A = {a, b, c} B = {b, c, d, e} Então, A ± B = {a}, pois somente o elemento pertence ao conjunto A e não pertence ao conjunto B. !"c c Chamaremos de conjunto complementar de B em relação a A, a diferença A ± B, quando B A . Indica-se da seguinte forma:
CBA = {x / x 6B e
x 6 }
7
exemplo: A = {a, b, c, d} B = {b, c} Como B A,
CBA = A ± B = {a, d}
8
c c Observe a reta numerada
...
-4
-3
-2
-1
0 ½ 1
2
3
4
...
Na reta acima representada, temos a presença de vários subconjuntos numéricos. Õc Conjunto dos números naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...} Õc Conjunto dos números inteiros
Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} Õc Conjunto dos números racionais
Q = {...-2, ..., -3/2, ..., -1, ..., -1/2, ...0, ..., 1/3, ..., 1...} Ou seja, Q = {a/b / a e b Z, b 0} *todo número racional pode ser expresso por uma forma decimal finita ou periódica ½ = 0.5 ; 1/3 = 0.33333... (dízima periódica) Õc Conjunto dos números irracionais
Ü ,ü
3 , Ü ,ü 2 , Ü , 2 , Ü , 3 , Ü , 5 , Ü
*Irracional é um número cuja expressão decimal é composta de um número infinito de algarismos decimais e não é periódica 2 1.414213 Ü
3 1.7320 Ü
9
Õc Conjunto dos números reais
É a reunião dos conjuntos de números racionais e irracionais. Q ó irracionais = R N Z Q R
Assim,
R
R Q Z
E
Números racionais
Números irracionais
N
10
c) c Verifica-se facilmente que: (2 + 3)2 22 + 32
(a + b)2 a2 + b2
(5 - 4)2 52 - 42
(a - b)2 a2 - b2
(3 + 1)3 33 + 13
(a + b)3 a3 + b3
(4 - 3)3 43 - 33
(a - b)3 a3 - b3
Surgem, então, certas igualdades, de uso frequente no cálculo algébrico, e que são chamadas . Os principais são: 1.c Quadrado da soma de dois termos Seja (a + b)2 Temos então,
(a + b) (a + b) a2 + ab ab + b2 a2 + 2ab + b2
*O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo
2.c Quadrado da diferença de dois termos Seja (a ± b)2 Temos então,
(a ± b) (a ± b) a2 ± ab ± ab + b2 a2 ± 2 ab + b2
*O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo 11
3.c Produto da soma de dois termos pela sua diferença Seja (a + b) . (a ± b) Temos,
(a + b) (a ± b) a2 + ab ± ab ± b2 a2 ± b2
*O produto da soma de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo.
Existem ainda: 4.c Cubo da soma de dois termos (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5.c Cubo da diferença de dois termos (a ± b) 3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 exercícios a)c (x + 5)2 b)c (2x ± 1)2 c)c (3- x)2 d)c (x + 5) . (x - 5) e)c (3x + 4) . (3x ± 4)
12
cc
c
cc c* c Uma equação do primeiro grau é toda equação colocada na forma
bx + c = 0 Onde, b R, c R, b ” 0 b e c são chamados coeficientes da equação do primeiro grau cc *c c Uma equação do segundo grau, numa variável, é toda equação equivalente à forma padrão:
ax2 + bx + c = 0
Onde a, b, c são coeficientes da equação e, a R, b R, c 6R e a ” 0 * o coeficiente não pode ser igual a zero, porque a equação se reduziria à equação do primeiro grau, vista anteriormente. Equações completas e incompletas Õc Uma equação do 2 Grau é chamada quando seus coeficientes a, b, c são
diferentes de zero. Ex.: 2x2 ± 3x + 1 = 0
a = 2, b = -3, c = 1
y2 ± 4y ± 2 = 0
a = 1, b = -4, c = -2
-5t2 + 2t + 3 = 0
a = -5, b = 2, c = 3
Õc Uma equação do 2 Grau é chamada quando pelo menos um dos
coeficientes b ou c for nulo. Ex.: x2 ± 1 = 0
a = 1, b = 0, c = -1
2
a = 1, b = 2, c = 0
2
a = 1, b = 0, c = 0
x + 2x = 0 x =0
13
c c ccc cc A forma de resolução de uma equação do 2 Grau dependerá da mesma ser completa ou incompleta. Para equações incompletas, a resolução se resume a operações algébricas simples, enquanto para equações completas, será necessária a introdução de um novo elemento: a fórmula de Báscara. Vamos, primeiro, examinar a resolução de equações incompletas. c cc 1 caso: c
ax2 = 0
b = 0, c = 0
c cc c c c c
x2 = 0 / a x2 = 0 x=0 2 caso: c
ax2 + bx = 0
c=0
cc c c c c c
c
x (ax + b) = 0 c
c c c c c c ccc cc c c c c c c c
cc c c cc c c c cc c c c c ca c
x=0
( solução 1)
c c
ax + b = 0 c
cc c c
x = -b / a
3 Caso:
(solução 2)
ax2 + c = 0
b=0
cc c c c c
x2 = -c / a c
c c c c c c c c c
ü 14
2x2 ± 8 = 0
exemplo:
x2 = 8 / 2 = 4 x=
2
c cc Õc Resolução por fórmula
Estudaremos a resolução das equações completas, utilizando a fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara, observando que a resolução das equações completas é feita no conjunto Universo dos números Reais. ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 0)
Seja a equação:
cc cc c c c c
ax2 + bx = - c c c c c cc cc
c
c
2
c
4a . ax + 4a . bx = - 4 a c 4 a2 x2 + 4 a b x = - 4 a c
r cc cc c c c
4 a2 x2 + 4 a b x + b2 = b2 ± 4 a c c c
c
c c c
c
c c c c c c c c c c c c c c
c cc c cccr c c c
(2 a x + b)2 = b2 ± 4 a c c
c c c c c c c
2ax+b= c
Ù b2 ± 4 a c
c c c c
ü
2 ü 4 2
A expressão (b2 ± 4 a c) é chamada discriminante da equação, sendo usualmente representada pela letra grega _ (delta). Dependendo do valor de _ð6 temos 3 casos a considerar: Õc 1 Caso:
_660
15
De acordo com a fórmula, existem 2 valores distintos para a variável x, podendo ser representados por x¶ e x¶¶.
2?
'
Õc 2 Caso:
_
_
ü 2
e
''
üü _ 2
_=0
Neste caso, _ 0 0
Então,
0 2? 2? Assim, a equação tem uma única raiz, sendo comum dizer que a equação
tem duas raízes iguais, ou seja, x¶= x¶¶ 3 Caso
_<0
Neste caso, não existe em o valor para a raiz quadrada de _6(raiz quadrada de um número negativo). Portanto: Solução = 5 (costuma-se dizer que as raízes são complexas ou imaginárias) Õc Resolução por fatoração
Em alguns casos, é possível resolver a equação do segundo grau por fatoração. Quando o coeficiente de x é igual a 1 (a = 1), é possível fatorar o primeiro membro, transformando a equação em um produto de 2 equações simples. Para isso, é preciso
16
achar 2 números cuja soma seja igual ao coeficiente b e o produto seja igual ao coeficiente c. Ex.: seja a função
x2 + 5x + 6 = 0
Temos que b = 5 e c = 6 Os dois números cuja soma é igual a 5 e o produto é igual a 6 são 2 e 3 (2 + 3 = 5, e 2 . 3 = 6) assim, a equação é equivalente ao produto das equações de 1 grau: (x + 2) . (x + 3) = 0
:
x+2=0 x = -2
:
x+3=0 x = -3
exemplo 2: simplifique a seguinte equação
2 7 12 0
4
para simplificar a equação, vamos nos ater ao membro de cima do quociente, que representa uma equação do 2 grau. Encontrando dois números cuja soma seja igual a b e o produto seja igual a c, encontramos os valores ±3 e ±4. Assim, toda a equação x2 ±7x + 12 pode ser substituída pelo produto (x ± 3) . (x - 4) Substituindo na expressão,
z ü 3 z ü 4
ü4
0
Simplificando o termo (x ± 4) na equação, encontramos, (x ± 3) = 0 x=3
17
exercícios encontre as raízes das seguintes equações do 2 grau a)c x2 ± 3x + 2 = 0 b)c x2 ± 5x + 4 = 0 c)c x2 ± 7x = 0 d)c x2 ± 9 = 0 e)c x2 ± 6x + 8 = 0 cc *c c Chama-se inequação do segundo grau com uma variável toda inequação na forma ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c ‰ 0 ou ax2 + bx + c
0, com
a0 Resolver uma inequação do segundo grau consiste em determinar o seu conjunto solução, ou seja, o conjunto dos valores da variável x para os quais a equação é positivo ou negativo. Quando,
_>0
Teremos duas raízes e devemos fazer a regra de sinal na reta numerada:
ccccccc c c c ccccccccccccccc c c c ccccccccccccc c c c ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
Raiz 1
Quando,
Raiz 2
_=0
Teremos duas raízes iguais. Colocando na reta numerada, ccccccccccccc c c c ccccccccccccccccccccccccccccccccc c c c cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc c
Raiz 1 = Raiz 2
18
_<0
Quando,
Não teremos raízes. Colocando na reta numerada,
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc c c c ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
ccccccccccccccccccccc c
Exemplos: Resolver a inequação x2 ± 3x + 2 > 0 (significa determinar valores para x que tornem a equação positiva, ou seja, maior do que zero) igualando a expressão a zero x2 ± 3x + 2 = 0 achando as raízes,
2 4? ( 3) 2?
( 3) 2 4 1 2 2
3 1 2
x1 = 2 x2 = 1 colocando na reta as raízes: ccccccccccccccccccccc ccccccccccccccc cccccccccccccccccccccc ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc c
1
2
portanto, a solução é o conjunto de números menores do que 1 e maiores do que 2, ou de outra forma {x R / x < 1 ou x > 2} exemplo: resolver a inequação x2 ± 5 x + 8 < 0 (significa determinar para que valores de x a expressão x2 ± 5 x + 8 é negativa)
19
( 5)
note que _ < 0
( 5) 2 4 1 8 2
5
7 2
(_ = - 7)
então a equação não tem raízes. Colocando na reta numerada, ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
como toda reta fornece um valor positivo, a solução é o conjunto vazio, pois nenhum intervalo fornece valores que tornem a equação menor do que zero. Exercícios: Resolva as seguintes inequações do segundo grau: a)c x2 ± 2 x ± 8 < 0 b)c x2 ± 10 x + 25 > 0 c)c 9 x2 ± 8 x ± 1 > 0 d)c ± x2 ± 9 x ± 14 > 0
20
c
c c c ! c A geometria analítica tem por objeto o estudo das propriedades das figuras geométricas através da análise algébrica. Assim, a geometria analítica faz uma síntese perfeita entre a álgebra e a geometria. Toda figura geométrica pode ser considerada como um conjunto de pontos. E para traduzirmos em linguagem algébrica as propriedades de uma figura geométrica, utiliza-se uma associação de pontos e números. Esta associação é obtida mediante um sistema de coordenadas, chamadas coordenadas cartesianas. cc! c Já conhecemos a reta numerada, onde se fixou: a)c um ponto 0, a origem b)c um sentido positivo de percurso c)c uma unidade de medida ( ) c
ccc
+ ...
-4
-3
-2
-1
0 ½ 1
2
3
4 ...
pode-se então estabelecer um sistema de referência que permita localizar um ponto no plano. Considerando 2 retas perpendiculares entre si, sobre as quais são marcados os números reais: y 2 1 ...
-4
-3
-2
-1
0½ 1
2
3
4
...
x
-1 -2 Além disso, deve-se obter as seguintes convenções: a)c Essas retas, ortogonais do sistema, depois de receberem numeração e sentido de contagem, am a denominar-se eixos.
21
b)c A unidade geométrica escolhida para representar as unidades algébricas é arbitrária. c)c A interseção dos eixos é a origem da contagem dos dois eixos. d)c O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas, e recebe a numeração real positiva à direita da origem, e negativa à sua esquerda e)c O eixo vertical é chamado eixo das ordenadas, e recebe a numeração real positiva para cima da origem, e negativa para baixo da origem. f)c Os dois eixos cartesianos, supondo-se que sejam infinitos em todas as direções, determinam o plano cartesiano. g)c No plano cartesiano, qualquer ponto pode ser determinado univocamente por duas coordenadas. (univocamente significa que duas determinadas coordenadas determinam um e um único ponto). Portanto, a todo ponto P do plano cartesiano podemos associar uma abscissa x (escrita em primeiro lugar) e uma ordenada y (escrita em segundo lugar); simbolizamos tal fato por P(x, y). as coordenadas da origem são representadas por (0, 0).
+ c ccc 1 caso: os pontos possuem coordenada x ou y igual. Considere o seguinte gráfico y &
3
.
2 1 0
1
2
3
4
5
x
-1 -2
!
sejam A(5, 3) B(2, 3) C(5, -2) Os pontos A e B tem a mesma ordenada e se encontram na mesma paralela ao eixo x.
22
Os pontos A e C tem a mesma abscissa e se encontram na mesma paralela ao eixo y. Agora, verifiquemos a distância entre os pontos B e A, e entre A e C. Sem muita dificuldade, percebe-se que a distância entre B(2, 3) e A(5, 3) é igual a 3 unidades, ou seja: d (B, A) = 5 - 2= 3 A distância entre dois pontos cujas ordenadas são iguais é dada p elo valor absoluto ou módulo da diferença entre as suas abscissas. Simbolicamente: c$ ,c&%c'c cc&'c_ c
Analogamente: A distância entre A(5, 3) e C(5, -2) é igual a 5 unidades, ou seja: d (A, C) = 3 ± (-2)= 5 logo: A distância entre dois pontos cujas abscissas são iguais é dada pelo valor absoluto ou módulo da diferença entre suas ordenadas. simbolicamente: c$ ,c!%c'c Õ ccÕ&'c_Õc
2 caso: consideremos os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) nesta construção gráfica:
yB yA
B A xA
C xB
23
observe que ligando os pontos A, B e C encontramos um triângulo retângulo ABC. A distância entre A e B representa a hipotenusa deste triângulo. Aplicando o teorema de Pitágoras: 2 ? 1 2 ? 2 2
d(A, B) = _x2 + _y2
( , ) _ 2
_Õ 2
Exemplos: Calcule a distância entre os pontos A(5, 7) e B(1, 4) Resolução: _ x2 = (5 ± 1)2 = 16 _ y2 = (7 ± 4)2 = 9 ( , ) 16 9 5
exercícios: determine a distância entre os pares de pontos seguintes: a)c (0, 0) e (7, 0) b)c (7, 2) e (4, 2) c)c (-2, 4) e (2, -4) d)c (-7, 6) e (2, 3)
24
c c c +*ccc c Consideremos um triângulo de vértices A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) y y3
C
y2 y1
B A x1
x3
x2
M
N
P
Pela análise da figura podemos escrever: Área (ABC) = Área (ACNM) + Área (BCNP) ± Área (ABPM)
As figuras ACNM, BCNP e ABPM são trapézios cujas áreas são calculadas através da fórmula: Área de trapézio = 1 / 2 (base maior + base menor) . altura Então: Área (ACNM) = 1 / 2 (y1 + y3) . (x3 ± x1) = 1 / 2 (x3 y1 + x3 y3 ± x1 y1 ± x1 y3) Área (BCNP) = 1 / 2 (y2 + y3) . (x2 ± x3) = 1 / 2 (x2 y2 + x2 y3 ± x3 y2 ± x3 y3 ) Área (ABPM) = 1 / 2 (y1 + y2) . (x2 - x1) = 1 / 2 (x2 y1 + x2 y2 ± x1 y1 ± x1 y2 ) Efetuando as operações e reduzindo os termos semelhantes, temos como resultado: Área (ABC) = 1 / 2 (x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 - x2 y1 - x3 y2 ± x1 y3) Esta área pode ser representada pela regra prática:
r
1 1 2 3 1 o 2 Õ1 Õ 2 Õ 3 Õ 1 25
Exemplo: Determine a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(3, 4), B(-5, 6), C(-8, -5) r
1 3ü 5ü 83 1 o o 3 o 6 2 4 6 ü 54 2
zü 5 o zü 5 zü 8
o 4 ü 4 o zü 5 ü 6 o zü 8 ü zü 5 o 3 47
!c c- c c !cc Para que 3 pontos estejam alinhados, basta que a área do triângulo, cujos vértices são estes 3 pontos seja nula. Nesse caso, os 3 pontos são chamados . Portanto, dados 3 pontos A(x1, y1 ), B(x2, y2 ), C(x3, y3), estes pontos estarão alinhados se:
1 2 3 1 Õ1 Õ 2 Õ 3 Õ1
0
exemplo: verifique se os pontos A(1, 2), B(6, 12), C(7, 14) estão alinhados
1 6 7 1 2 12 14 2
12
84
14 ü 12 ü 84 ü 14 0
A área do triângulo é nula; portanto, os 3 pontos são colineares. Exercícios: Verifique se os pontos estão alinhados a)c (1, 2), (3, 6), (4, 8) b)c (0, 0), (4, 4), (8, 8) c)c (3, 0), (2, 5), (4, 6) c c . cc c y1
M r
y2
N x1
x2
26
tomemos na reta r dois pontos distintos M(x1, y1) e N(x2, y2), de coordenadas conhecidas. Consideremos P(x, y) um ponto genérico de r. aplicando a condição de alinhamento de três pontos a M, N e P:
1 2 0 Õ Õ1 Õ 2 Õ x y1 + x1 y2 + x2 y ± x1 y ± x2 y1 ± x y2 = 0 (y1 - y2) x + (x2 - x1) y + (x1 y2 - x2 y1) = 0 a
b
c
substituindo: cc/ccÕc/c c'c0c Esta é a equação geral de uma reta r. Os valores a, b, c são números reais, sendo a”0 ou b”0. Trata-se de uma equação do primeiro grau com duas variáveis. Exemplo: determine a equação da reta que a pelos pontos A(4, 6) e B(1, 2) e, em seguida, verifique se os pontos P(1, 2) e Q(-2, 3) pertencem a esta reta. Como A e B devem ser colineares, temos:
4 1 Õ 6 2 Õ
0
6 x + 8 + y ± 4 y ±6 ±2 x = 0 4x±3y+2=0 agora vamos verificar se os pontos pertencem à reta: P(1, 2) Substituindo x por 1 e y por 2 na equação resulta: 4 (1) ± 3(2) + 2 = 0 Como a equação confirmou a igualdade a zero,
P r
Q(-2, 3) Substituindo x por (-2) e y por 3 na equação:
27
4 (-2) ±3 (3) + 2 =-15 Como a equação não mais se iguala a zero, o ponto não pertence à reta
Q$r
Exercícios: 1. Determine a equação da reta que a pelos seguintes pontos a)c (2, 3) e (1, 4) b)c (5, 0) e (-3, 2) 2. Verifique se os pontos P(3, 2), Q(2, 3) e R(6, 4) pertencem à reta da equação 2x ± 3y = 0 Interseção de Duas Retas Duas retas são concorrentes quando se cruzam em um ponto chamado ponto de interseção. Para encontrar esse ponto, devemos resolver o sistema formado pelas equações das duas retas. Os valores de x e de y encontrados na resolução desse sistema, são as coordenadas do ponto de interseção. Exemplo: Determine o ponto de interseção das retas r e s, cujas equações são: R: x + 4 y ± 12 = 0 S: x ± y ± 2 = 0 Resolução: fazendo r ± s no sistema formado pelas duas equações, temos x + 4 y ± 12 = 0 - (x ± y ± 2) = 0 0 + 5y ± 10 = 0 5 y = 10 Õc'c substituindo este valor de y em qualquer uma das equações, encontramos o valor de x: x±y±2=0 x ± 2 ± 2 = 0 c'c1 portanto, o ponto de interseção é (x, y) = (4, 2)
28
Exercícios: Determine o ponto de interseção dos seguintes pares de retas: a)c 5 x + 7 y = 17 e 3 x + 4 y ± 10 = 0 b)c 2 x + 3 y = 0
e 3x±5y+1=0
c)c x + y ± 5 = 0 e x ± y ± 1 = 0
) cc! ( c * c c c c Declive ou coeficiente angular de uma reta é o nome dado à tangente trigonométrica do ângulo que esta reta forma com o sentido positivo do eixo das abscissas. É representado por: m = tg O, onde m é o declive e O é o ângulo da reta considerada. Este ângulo recebe o nome de inclinação da reta y2
B
y1
A
x1
O x2
Há 3 maneiras de se determinar o coeficiente angular de uma reta: 1.Conhecendo-se o ângulo m = tg O O = arc tg m
2. Conhecendo-se dois pontos (x1, y1) e (x2, y2 )
29
Õ ü Õ1 2 2 ü 1
3. Conhecendo-se a equação ax + by + c = 0 então,
m=-a/b
exemplo: o declive que a pelos pontos (3, 2) e (7, 5) é:
Õ 2 ü Õ1 5 ü 2 3
2 ü 1 7 ü 3 4
Exercícios: Determine o coeficiente angular da reta que a pelos pontos: a)c (-2, 2) e (3, -3) b)c (-5, -4) e (2, -3) determine o coeficiente angular da reta dada pela equação: a)c 2 x ± 4 y + 12 = 0 b)c 2 x + 3y ± 23 = 0
c c c ,cc ccc c c ) c Seja P(x1, y1) um ponto dado da reta r: ax + by + c = 0. Se P6 r, então ax1 + by1 + c = 0. Subtraindo membro a membro as duas equações, temos: ax + by + c = 0 ax1 + by1 + c = 0 ax ± ax1 + by - by1 = 0
a(x ± x1) + b(y ± y1) = 0
30
y ± y1 = - a / b (x ± x1),
com b” 0
cc cccc c
Õc2cÕc'c c$c2c%c
exemplo: escreva a equação da reta que a pelo ponto (5, 3) e cujo declive é 4 substituindo na fórmula x1 por 5, y1 por 3 e m por 4: y ± 3 = 4 (x - 5) y ± 3 = 4 x ± 20 4 x ± y ± 17 = 0
ou
y = 4x ± 17
Exercícios: Dados um ponto e o declive, ache a equação da reta correspondente a)c (4, -2), m = 3 b)c (-6, 2), m = 1
31
c . cc! ( ! c É o lugar geométrico dos pontos de um plano que estão a uma distância dada ( r ) de um ponto dado ( C ). Dada a figura,
y y-b
P(x, y) r
b
C(a, b)
M
a
M
x
x-a Sejam C (a, b) o centro da circunferência = r = raio P (x, y) um ponto genérico da circunferência Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo M, obtemos: CM2 + PM2 = 2, ou $c2c%c/c$Õcc%c'c c
cc ( !
Desenvolvendo a equação, obtemos: x2 + y2 ± 2 a x ± 2 b y + a2 + b2 ± r2 = 0 ou
c/cÕc2cccc2cccÕc/c c'c0c
onde
c'cc/cc2c c
32
exemplo: Escreva a equação da circunferência de raio 6 e cujo centro é o ponto (3, 4) Como o ponto central é (3, 4), a=3 b=4 r=6 Substituindo estes valores na equação da circunferência, x2 + y2 ± 2 . 3 . x ± 2 . 4 . y + 32 + 42 ± 62 = 0 x2 + y2 ± 6. x ± 8 y + 9 + 16 ± 36 = 0 x2 + y2 ± 6 x ± 8 y - 11= 0 exemplo 2: encontre o centro e o raio da circunferência definida pela equação x2 + y2 ± 4 x + 8 y ± 5 = 0 comparando a equação dada com a equação da circunferência, temos: x2 + y2 ± 2 a x ± 2 b y + c = 0 x2 + y2 ± 4 x
+8y
±5=0
podemos concluir que
-2a=-4 -2b=8
a=2
b = -4
c = -5 como c = a2 + b2 ± r2 -5 = 22 + (-4)2 ± r2 r2 = 4 + 5 + 16 = 25 r=5 então, o centro é o ponto (a, b) = (2, -4) e o raio é igual a 5
33
Exercícios: Escreva a equação das circunferências de centro C e raio r nos seguintes casos: a)c C (1, 2) e r = 3 b)c C (-2, 4) e r = 5 c)c C (-5, 0) e r = 5 Determine o centro e o raio das circunferências definidas pelas equações: a)c x2 + y2 ± 2 x + 4 y + 1 = 0 b)c x2 + y2 ± 2 x ± 4 y ± 4 = 0 c)c 2 x2 + 2 y2 ± 4 x ± 4 y + 1 = 0 (dica: divida toda a equação por 2)
34
c ! c c& c Constantemente em nossas vidas, deparamo-nos com conjuntos de pares ordenados. Por exemplo. Veja esta tabela, que representa as vendas de uma agência de automóveis, durante o primeiro trimestre: Mês
janeiro
Fevereiro
Março
Vendas
30
21
36
Observa-se facilmente que existe uma relação entre mês e número de carros vendidos. Colocando na forma de pares ordenados: (jan, 30), (fev., 21), (mar., 36) c! c Sejam os conjuntos A = {0, 2} B = {1, 3, 5} Para formar o conjunto de pares ordenados, faz-se o cruzamento entre os 2 conjuntos. Convencionando o 1 elemento como pertencente ao conjunto A e o 2 elemento ao conjunto B: A X B = {(0, 1), (0, 3), (0, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 5)} Definição de Relação Binária: dados dois conjuntos A e B, dizemos que um conjunto R é relação de A em B, se R é um subconjunto de A x B.
R é relação de A em B R A x B
35
Exemplo: Seja A = {1, 2} B = {2, 3, 4} R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3)} Determine se R é uma relação binária de A em B c c
c c cc c c cc cc! c
c c"cc ccc cc
A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} "cc ccc cc c c"cc c c c cc c c c
" c c c
A
B 1
2 3
2
4
c c ! c Há um tipo particular de relação, conhecido por função ou aplicação. Ocorrem muitos casos na prática, onde o valor de uma quantidade depende do valor de outra. Assim, o salário de uma pessoa pode depender do número de horas trabalhadas ou do número de unidades produzidas; o número de unidades de certo produto demandadas pelos consumidores pode depender de seu preço, etc. Uma relação de tais quantidades é muitas vezes definida por meio de uma função. Aqui temos a aplicação direta do conceito de conjuntos, visto anteriormente, onde tais conjuntos se relacionam de acordo com determinada taxa ou intensidade. Definição: dados 2 conjuntos A e B não-vazios e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma função ou aplicação se, e somente se, para todo x A está associado um único elemento y B, tal que (x, y) f.
36
Exemplos: A
f
B
1
4
2
5
3
6
A
g 2 4
cc c cc c c c ccc c c c # cÕc cc
B 5 c c c c c c c c c c c c c cccccc
6 6 9
A
Õc cc
7
h
2 4
4 3 2 1 7
5 6
A
l 3
B cc cc c c c cccc c c c# ccc Õc ccc c c c
c c c cc c c cc
B 2
l não é função pois para todo x A deve estar associado
5
um único y B
2 6
notação de uma função: y = f (x) )cc Uma variável x encontra-se pode se encontrar em um determinado intervalo de números, o qual pode ser aberto ou fechado. No intervalo aberto, estão incluídos todos os números pertencentes ao intervalo, menos os pontos extremos. A representação de um intervalo aberto é feita através de parênteses ou pelos símbolos ³ c $c ()ou ³ c $ ( ). Se a representação
37
for feita em uma reta numerada ou gráfico, os extremos do intervalo devem ser marcados por um círculo sem preenchimento (bola aberta) Ex. {x N / 5 x
10} então, x está no intervalo
(6, 7, 8, 9) No intervalo fechado, os extremos do intervalo também podem representar os valores da variável. A representação é feita através de colchetes, ou pelos símbolos ' cc $(I) ou ' cc $(`). Se a representação for feita em uma reta numerada ou gráfico, os extremos do intervalo devem ser marcados por um círculo preenchido (bola fechada) Ex.: considerando o mesmo intervalo acima, temos {x N / 5` x ` 10} . então x pode ser representado da seguinte forma [6, 7, 8, 9] *repare que um intervalo pode ser aberto à esquerda e fechado à direita, ou fechado à esquerda e aberto à direita.
.,c! .c c * c c cc Seja uma função de A em B. Õc Domínio: é o conjunto, representado por D (f), dos elementos x A para os quais
existe y B, de modo que (x, y) f. D (f) = A Õc Contradomínio: são todos os elementos do conjunto B, representado por C (f). C (f)
=B Õc Imagem: é o conjunto Im (f) dos elementos y B para os quais exista x A, de
modo que (x, y) f. A imagem é um subconjunto de B. Im (f) B
Exemplo: 38
Dados A = {2, 3, 4} B = {4, 5, 6, 7, 8} f (x) = x + 2 determinar o domínio, contradomínio e imagem c
cc c cc c c cc c c
f (2) = 2 + 2 = 4 f (3) = 3 + 2 = 5 f (4) = 4 + 2 = 6, então: D (f) = A = {2, 3, 4} C (f) = B = {4, 5, 6, 7, 8} Im (f) ={4, 5, 6} A = domínio
2 3 4
4 5
7
B = contradomínio
8
6
Imagem
Exercício: Verifique se os gráficos abaixo representam gráficos de funções. O eixo vertical corresponde ao eixo y e o horizontal ao eixo x.
39
c c c c c Õc Função injetora
Uma função f definida de A em B é injetora se cada elemento de B (imagem), é imagem de um único elemento de A A
1
4
2
5 6 7
3
B c
Õc Função sobrejetora
Uma função f definida de A em B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens, ou seja: Im(f) = B A
1
3
2
5
B c
4
Õc Função bijetora
Uma função f definida de A em B recebe o nome de bijetora, quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo A
1
3
2
4
3
5
B c
c) c Seja f uma função bijetora definida de A em B, com x A e y B, sendo (x, y) f. Chamaremos de função inversa de f, e indicaremos por f-1, o conjunto dos pares ordenados (y, x) f-1, com y B e x A
40
Exemplo: f é definida de em , sendo y = 2 x a c cc c c c cÕc cÕc c c
y=2x
trocando
x=2y y=x/2
Portanto, a função inversa de y = 2 x é f-1 = x / 2 Exercício Determine a função inversa das equações a)c y = 5 x ± 2 b)c y = 3 x
cc c( c
c c ! c c % cc ccc c c c c cc ccc c ccccc c°c cccc c cc c cc°cccc c c cc # c c c c cc c cc c c c c cc
Exemplo: Seja f definida por f (x) = x 1/2 e a função g por g (x) = 2x ± 3. a)c ache f o g(x), e determine seu domínio b)c ache g o f (x), e determine seu domínio Resolução: f o g(x) = f (g (x))
c c c c
c c cc c cc c c c
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc cc ccc ccc cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
f (g (x)) = f (2 x ± 3) f (g (x)) = ¥(2 x ± 3)
41
O domínio de g é (- *, + *) e o domínio de f é [0, + *). Assim, o domínio de f o g é o conjunto dos números reais para atender à exigência 2 x ± 3 ‰ 0, ou seja, [3 / 2, + *) c)c g o f (x) = g (f (x)) = g (¥ x ) = 2 (¥ x ) ± 3 Como o domínio de f é [0, + *) e o domínio de g é ( - *, + *), o domínio de g o f é [0, +*) Exercício Dado que f é definida por f (x) = ¥ x
e g é definida por g (x) = x2 ± 1. Determine:
a) cccb) c6cc) cccd) cc. Determine também o domínio da função composta.
c c Se a imagem da função f consiste de apenas um único número, então f é chamada de função constante. Assim, se (c $%c'c , e se c é um número real, então f é uma função constante e sua representação no plano cartesiano é uma reta paralela ao eixo x.
c c Se uma função f está definida por
f(x) = a0 xn + a1 x n-1 + ... + an-1 x + an onde
é um inteiro não negativo, e 0,c,c333,c são números reais (a0 0), então f é
chamada de função polinomial de grau n. c c Se o grau de uma função polinomial for 1, ela é então chamada de função linear. Partindo da equação geral de funções polinomiais, e substituindo n = 1 f (x) = a0 x1 + a1 c
c c c c c c c c c c c c c c c c c
c c c
42
f (x) = m x + b, c c cc c c c c c c c cÕc c cc
c c c Se o grau de uma função polinomial for 2, ela é chamada de função quadrática. 2
1
f(x) = a0 x + a1 x + a2 x
0
2
f (x) = a0 x + a1 x + a2
c c c c c c c c c c c c c c c c ccc c c c % c c c cc c
c c A função linear definida por f(x) = x é chamada função identidade
c c É chamada função racional uma função que pode ser expressa como o quociente
3 ü 2 5
2 ü 9 de duas funções polinomiais. Por exemplo: ( )
c *4 c Uma função algébrica é aquela formada por um número grande de operações algébricas, que incluem adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ex.:
z ( )
2
ü 3 1
z
4
2
1
Além destas funções, é importante fazer uma pequena revisão das chamadas funções transcendentes, ou seja, funções exponenciais e logarítmicas
43
c c
c c A definição de potência de um número positivo quando o expoente é um número racional está definida em álgebra. Em particular, 2x está definido para qualquer valor racional de x. Por exemplo: 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 20 = 1 2-3 = 1 / 23 = 1 / 8 2 3
2 3 22 3 4 Quando x é um número irracional, as coisas ficam um pouco mais complicadas. Entretanto. Tal abordagem é mais avançada do que os objetivos do curso. Portanto, tal hipótese não será trabalhada neste curso. Vamos agora definir uma função exponencial Uma função que obedece à lei y = ax, com a , tal que a 0 e a 1, é chamada função exponencial. Úc c cccc c c # c c c c c cccc cc c # c c
Vemos, pela definição, que a estará em dois intervalos distintos. No primeiro, a estará no intervalo aberto (0, 1). No segundo, a estará no intervalo de números maiores do que 1. Dependendo do valor de a, seu gráfico terá características diferentes. Veja a tabela abaixo: Seja a função: y = ax, c
Õc$ cc'c%c
Õc$ cc'cc5c%c
...
...
...
-2
2-2 = 1 / 4
(1/2)-2 = 4
-1
2-1 = 1 / 2
(1/2)-1 = 2
0
20 = 1
(1/2)0 = 1
1
21 = 2
(1/2)1 = 1 / 2
2
22 = 4
(1/2)2 = 1 / 4
...
...
...
44
Os gráficos das funções podem ser visualizados abaixo: a=2
-2
a=1/2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
A partir da observação dos gráficos, podemos compreender as seguintes afirmações: Quando c6c a função é , pois à medida que aumentam os valores de x, também aumentam os valores de y Quando 0c7cc7c a função é , pois à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem
c c Chamamos de equação exponencial a toda equação em que a incógnita figura como expoente. Exemplo: Encontre o valor de x na equação: 2x = 64 Ú c c
c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
c c c cc # c&c c c # c c c
c c cc
2x = 26
45
c c c c c c
c c c c c c c c c
c c
x=6 cc c Se a e b são números positivos quaisquer, x e y números reais quaisquer, então: x
i.c a . ay = ax+y ii.c ax / ay = ax-y iii.c (ax)y = axy iv.c (ab)x = ax . bx v.c (a / b)x = ax / bx *as demonstrações das propriedades serão omitidas, por não fazerem parte do contexto do curso. Por hora, basta conhecer as propriedades exemplo: Resolva a equação 9x ± 2 . 3x ± 3 = 0 Resolução: como 9 = 32, (32)x ± 2 (3x) ± 3 = 0 2 x
c c c c(3
) = 32x = 3x2 = (3x)2cr c
(3x)2 ± 2 (3x) ± 3 = 0 x
c c cc c 3 c c c c c cc c c c cc c c
t2 ± 2t ± 3 = 0 c c
c c c c c c cë c c c c c
ü
z
2
ü 4
2
ü ( ü2 )
zzü 2 2
2
ü 4.1.(ü3)
2
16 2
2
4 2
t1 = 3 t2 = -1
c c cc
3xc c 46
3x = 3 e 3 x = -1
3x = -1 c ccc c c c c ccc ax = y, a 0, a 1
ey0 assim, a solução da equação é 3x = 31
x=1
Exercícios Encontre o valor de x nas seguintes equações a)c 2x = 8 b)c 25 x = 125 c)c 32 x = 8 d)c 10x = 0,001 e)c 2x = 1 / 16 f)c 4x + 2x ± 20 = 0 g)c 10 . 2x ± 4x = 16 h)c 2x + 2x+1 + 2x+2 = 14 c c c É a função definida por f (x) = 6x O domínio da função exponencial natural é o conjunto dos números reais e a imagem é o conjunto dos números reais positivos.
é uma constante e seu valor é 2,718281...
c* . c Definição de logaritmo: consideremos 2 números reais e , sendo a 0, a 1 , b 0. Chamaremos de logaritmo de na base a um certo número ¼ , se e somente se, ao ser elevado a ¼ reproduz . Então:
log a b = ¼ a¼ = b
47
Onde b logaritmando a base
¼ logaritmo Úc c % c c c
c c c cc % c
c
exemplo: encontre o valor de ¼ na equação log2 8 = ¼
log2 8 = ¼
2¼ =8
2¼ = 23 ¼ =3 Definição de função logarítmica Uma função que obedece à lei y = loga x, com a tal que a 0, a 1 e x pertencente aos números reais positivos, é chamada função logarítmica. Assim como na função exponencial, o valor de a pode pertencer a dois intervalos distintos 0
a
1
e
a 1. Nos dois casos, teremos gráficos com características diferentes,
como podemos ver nos gráficos obtidos da tabela abaixo: seja a função y = loga x
X
y = log2 x
(a = 2)
y = log1/2 x
...
...
...
8
log2 8 = 3
log1/2 8 = -3
4
log2 4 = 2
log1/2 x = -2
2
log2 2 = 1
log1/2 x = -1
1
log2 1 = 0
log1/2 x = 0
1/2
log2 1/2 = -1
log1/2 x = 1
...
...
...
(a = 1 / 2)
48
y
y = log
1
2
3
4
y
5
2
x
6
7
8
x
7
8
x
y = log ½ x
1
2
3
4
5
6
Com a ajuda dos gráficos, podemos entender as seguintes afirmações:
Quando c6c a função é , pois à medida que aumentam os valores de x, também aumentam os valores de y
Quando 0c7cc7c a função é , pois à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem
49
!* c Chama-se cologaritmo de um número b numa base a, ao oposto do logaritmo de b na base a. Colog a b = - log a b Propriedades de logaritmos Se b 0, b 1, M 0, N 0 e r é um número real qualquer, então:
i.c log b M N = log b M + log b N ii.c log b M / N = log b M ± log b N r
iii.c log b M = r . log b M
c* c c Se a base da função logarítmica é o número definido na seção de funções exponenciais, esta função é chamada de função logarítmica natural. Se x é um número positivo qualquer, há exatamente um número real y, tal que x
= ey. Este único número y é o valor da função logarítmica natural em x, que é denotada por ln x. Logo
y = ln x
se e somente se x = e
y
A partir da definição da função logarítmica natural, novas propriedades podem ser apresentadas:
ln = 1
ln x = x ln x = x log b x = ln x / ln b log b = 1 / ln b
50
Exercícios: calcule o valor de x a)c log2 x = 3 b)c log3 x = 1 c)c log2 8 = x d)c log5 125 = x e)c log2 2 ¥ 2 = x
51
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