Libro Para El Maestro Matematicas 3 Grado 6s3vg

LIBRO PARA EL MAESTRO MATEMÁTICAS TERCER GRADO Maestra, maestro: Forma tu biblioteca. Cuida Tus libros Este libro ha sido elaborado por el Gobierno de la República y se entrega gratuitamente a todos los maestros de educación primaria del país. Forma parte del proyecto general de mejoramiento de la calidad en la educación básica y tiene el propósito de apoyar al maestro en el desempeño de su práctica docente. El libro no está sujeto a ninguna disposición de resguardo, es para el uso personal del maestro que lo recibe, quien podrá conservarlo indefinidamente y usarlo en el ciclo escolar siguiente, en caso de continuar atendiendo el mismo grado. Si cambia de grado, deberá recibir los materiales para el maestro que correspondan. Al paso del tiempo, y con cada dotación, el maestro podrá ir formando una biblioteca básica sobre la enseñanza de los contenidos correspondientes a la educación primaria. Los juicios y opiniones de los maestros son indispensables para mejorar la calidad de este libro. Sus comentarios pueden ser enviados a la siguiente dirección: SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA Y NORMAL DIRECCIÓN GENERAL DE MATERIALES Y MÉTODOS EDUCATIVOS Avenida Cuauhtémoc 1230, octavo piso, Santa Cruz Atoyac, 03310, Benito Juárez, México, D.F. El Libro para el maestro. Matemáticas. Tercer grado fue elaborado en la Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública Coordinación general Elisa Bonilla Rius Alba Martínez Olivé Rodolfo Ramírez Raymundo Redacción Alicia Ávila Storer Asesoría Renato Rosas Domínguez Colaboración Pedro Bollás García

Coordinación editorial Elena Ortiz Hernán Pupareli Diseño y coordinación de producción Mauro Calanchina Poncini Cuidado de la edición José Agustín Escamilla Viveros Lourdes Escobedo Muñoz Supervisión técnica Alejandro Portilla de Buen Formación Patricia Jardón Dávila Portada Diseño: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, con la colaboración de Luis Almeida Ilustración: Matemáticas. Tercer grado, SEP, 1993. Retablo, bajorrelieve, 1961, acrílico sobre caoba, Carlos Mérida Museo de Arte Moderno, México, D.F. Reproducción autorizada por el Instituto Nacional de Bellas Artes y Literatura Primera edición, 1994 Segunda edición, 2001 Tercera edición, 2002 Segunda reimpresión, 2004 (ciclo escolar 2004-2005) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 1994 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN 970-18-7718-7 Impreso en México DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

Índice 5

Presentación

7

Introducción

12

Propósitos

13

Organización de los contenidos

14

Recomendaciones didácticas generales

16

Recomendaciones didácticas por eje

38

Recomendaciones de evaluación

39

Sugerencias bibliográficas para el maestro

40

Bibliografía consultada y créditos de ilustración

Presentación En el año escolar 1993-1994 se aplicó la primera etapa de la reforma de los planes y programas de estudio de la educación primaria. En esa etapa el nuevo currículo entró en vigor en los grados primero, tercero y quinto, y a partir del año escolar 1994-1995 se aplica también en los grados segundo, cuarto y sexto. Al mismo tiempo que se reformaron los planes y programas de estudio se inició la renovación de los libros de texto gratuitos que el gobierno de la República entrega a todos los alumnos de las escuelas primarias del país. Con objeto de asegurar el conocimiento preciso del nuevo currículo, se ha enviado a todos los maestros y directivos escolares un ejemplar del libro Plan y programas de estudio. Educación básica. Primaria, en el que se describen los propósitos y contenidos de la enseñanza de cada asignatura y grado y del ciclo en su conjunto. La reforma del currículo y los nuevos libros de texto tienen como propósito que los niños mexicanos adquieran una formación cultural más sólida y desarrollen su capacidad para aprender permanentemente y con independencia. Para que esta finalidad se cumpla es indispensable que cada maestro lleve a la práctica las orientaciones del plan y los programas y utilice los nuevos materiales educativos en forma sistemática, creativa y flexible. Tradicionalmente la Secretaría de Educación Pública distribuye los libros para el maestro como un apoyo al trabajo profesional que se realiza en nuestras escuelas primarias. La forma de organización y presentación de estos libros ha sido modificada. En el pasado se integraban en un solo volumen las recomendaciones didácticas correspondientes a todas las áreas o asignaturas de un grado. A partir de esta nueva etapa hay libros de menor volumen para cada asignatura de un grado o, excepcionalmente, para una pareja de asignaturas interrelacionadas estrechamente.

Esta nueva organización del Libro para el maestro tiene como propósito facilitar su manejo, actualización y mejoramiento, así como proporcionar material de estudio adecuado para los maestros que deseen profundizar en la enseñanza de una asignatura, a lo largo de todo el ciclo de la educación primaria. La nueva presentación integra abundantes propuestas para la enseñanza de los contenidos y la utilización del libro de texto y otros materiales educativos de cada asignatura y grado escolar. Adicionalmente, los maestros recibirán el Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Tercer grado y el Avance programático. Tercer grado. Educación básica. Primaria, como un recurso auxiliar para planear y organizar la secuencia, dosificación y articulación de contenidos y actividades de enseñanza. Este Libro para el maestro. Matemáticas. Tercer grado no tiene una finalidad directiva ni es su pretensión indicar a los profesores, de manera rígida e inflexible, lo que tienen que hacer en cada clase o en el desarrollo de cada tema. El contenido del libro y su presentación parten de reconocer la creatividad del maestro y la existencia de múltiples métodos y estilos de trabajo docente. Por esta razón, las propuestas didácticas son abiertas y ofrecen amplias posibilidades de adaptación a las formas de trabajo del maestro, a las condiciones específicas en las que realiza su labor y a los intereses, necesidades y dificultades de aprendizaje de los niños. El Libro para el maestro, además de ser un recurso práctico para apoyar el trabajo en el aula, se ha concebido como un medio para estimular y orientar el análisis colectivo de los maestros sobre su materia de trabajo, ya sea que se realice de manera informal o como actividad del Consejo Técnico. Igualmente, el libro será material básico de actividades y cursos de actualización profesional. Los planes y los programas de estudio, los libros de texto gratuitos, los ficheros de actividades y los libros para el maestro son instrumentos educativos que deben ser corregidos y mejorados con frecuencia y sistemáticamente, a la luz de los resultados que se obtienen al utilizarlos en la práctica. Es por ello que la Secretaría de Educación Pública reitera la atenta invitación hecha a los profesores de educación primaria para que envíen a esta dependencia sus opiniones y recomendaciones relativas al mejoramiento de los instrumentos educativos mencionados y en particular del presente libro. Secretaría de Educación Pública

Introducción La resolución de problemas es motor del aprendizaje matemático El aprendizaje significativo se logra primordialmente mediante la actividad finalizada, es decir, por medio de la actividad que tiene un objetivo para quien la realiza. Un aprendizaje con significado y permanencia surge cuando el niño, para responder a una pregunta de su interés o resolver un problema motivante, tiene necesidad de construir una solución. Tales problemas pueden implicar desde saber cuál de los compañeros ganó un juego hasta informarse sobre cómo construir un juguete o encontrar un camino para salir de un laberinto numérico.

De esta manera, en la presente propuesta didáctica, un problema no es sólo un enunciado escrito que se debe completar con un dato y aparece al final del desarrollo de un tema. Los problemas también son situaciones que permiten desencadenar actividades, reflexiones, estrategias y discusiones que llevarán a la solución buscada, mediante la construcción de nuevos conocimientos. Tradicionalmente, la enseñanza de las matemáticas ha girado alrededor de una concepción en la cual para resolver un problema, los niños aplican un modelo de resolución que el maestro o los libros de texto construyeron para él. Desde esta concepción, los problemas no son situaciones en las cuales se desarrolle un trabajo de búsqueda y construcción de soluciones o haya aprendizajes nuevos, son situaciones en las que se aplica un conocimiento que ya se posee. Es importante, entonces, hacer la siguiente precisión: para que los alumnos aprendan matemáticas, y puedan usarlas, es necesario que las estudien a través de la resolución de múltiples y variados problemas. Es importante proponer a los alumnos problemas que favorezcan el uso de sus propias estrategias y recursos (apoyándose en el material manipulable, en dibujos, mediante cálculo mental, etc.), sin indicarles la manera de resolverlos. Cuando a los alumnos se les da libertad para buscar la solución de los problemas, por lo general encuentran, al menos, una forma de aproximarse. Las estrategias generadas por los alumnos al resolver un problema se analizarán en el grupo para determinar su pertinencia y nivel de generalidad. Comparar las estrategias pertinentes favorece que los alumnos observen que unas son más eficaces que otras y que éstas les permiten llegar con mayor facilidad a la solución del problema. De manera paulatina, a través del diálogo y la interacción entre los alumnos y los nuevos retos que el maestro plantee, los niños evolucionarán en sus procedimientos de solución, aproximándose a los convencionales. La evolución de los procedimientos de solución no se da linealmente; muchas veces, ante un nuevo reto, los alumnos regresan a procedimientos rudimentarios que les dan mayor confianza. En estos casos es importante que el maestro, sin descalificar el trabajo de los niños, modifique la situación didáctica para propiciar el a otros recursos. De acuerdo con la secuencia anterior, para llegar al procedimiento convencional de cada una de las operaciones aritméticas, los niños deben resolver inicialmente los problemas mediante respuestas creativas que implican busca de caminos, ensayos y errores. Este acercamiento paulatino a los algoritmos convencionales proporcionará al alumno la posibilidad de comprenderlos cabalmente y además desarrollar su capacidad de razonamiento.

Los conocimientos previos de los niños son punto de partida para el aprendizaje La enseñanza de las matemáticas basada en la resolución de problemas se apoya en la idea de que los niños tienen, además de los conocimientos aprendidos en la escuela, conocimientos construidos en la calle, en la casa, en los juegos, etcétera, que les permiten solucionar problemas diversos.

Al resolver las situaciones que el maestro les presenta, los niños utilizan como punto de partida los conocimientos y concepciones construidos previamente. Por ello, la enseñanza de las matemáticas se entiende como la promoción de la evolución y enriquecimiento de las concepciones iniciales del alumno, mediante la resolución de situaciones que lo llevan a abandonar, modificar o enriquecer dichas concepciones, y a acercarse paulatinamente al lenguaje y los procedimientos propios de las matemáticas.

El papel de la actividad y del material concreto Generalmente se asocia la palabra actividad a la manipulación de objetos. Si bien el empleo de material concreto para los niños de tercer grado es importante, la actividad que conduce al aprendizaje es fundamentalmente intelectual: consiste en la construcción de hipótesis y estrategias de solución, así como en la verificación de resultados. El uso de material concreto tiene entonces dos funciones: Puede ser un instrumento que permite buscar, construir y llegar a la solución, sobre todo, de contenidos donde la dificultad de la tarea así lo requiera. Éste es el caso de las secuencias propuestas para introducir el algoritmo de la suma y la resta, cuya comprensión y manejo sería prácticamente inaccesible sin el apoyo del material concreto (véase, por ejemplo, la lección "¡Otra vez el banquito!", página 114 del libro de texto Matemáticas. Tercer grado). En otras ocasiones es el instrumento que permite verificar las hipótesis y soluciones anticipadas por los niños; por ejemplo, cuando se utiliza para comprobar si la estimación del resultado de un cálculo o una medición son correctos. Este papel del material concreto es fundamental, pues una de las principales propuestas es, precisamente, favorecer la anticipación de soluciones como forma de lograr un aprendizaje significativo y permanente.

El diálogo y la interacción, parte medular del aprendizaje Ésta es una propuesta para dialogar con el compañero de banca, con los compañeros de equipo, con el maestro, con la información escrita y con las ilustraciones, como las que aparecen en el libro del alumno u otras fuentes. En la construcción de conocimientos, la interacción con compañeros y maestro juega un papel fundamental. La confrontación de estrategias y respuestas ayudará a los niños a percatarse de que puede haber mejores formas para solucionar un problema determinado y permitirá ayudar a los compañeros que se encuentren en momentos menos avanzados del proceso de aprendizaje. Se espera que en este diálogo el niño construya los conocimientos y desarrolle las habilidades matemáticas planteadas para el tercer grado. De acuerdo con la dinámica, en el programa no se prescriben -y en el libro del alumno no aparecen- definiciones formales; éstas son, en todo caso, la conclusión de la actividad realizada a lo largo de una o varias sesiones, a partir del trabajo individual, en parejas, en equipo y a través de la confrontación de resultados.

El aprendizaje de las matemáticas puede ser agradable Al enseñar matemáticas no sólo se pretende promover aprendizajes significativos, sino también el gusto por esta materia. Para que las matemáticas puedan disfrutarse, su enseñanza debe incluir informaciones y aplicaciones útiles e interesantes para el niño.

Esta nueva presentación de las matemáticas está más cerca de los intereses infantiles; es una matemática atractiva y lúdica, pero también útil y significativa. Con base en esta idea se trabaja a partir de situaciones propias de la cultura infantil. La feria, el zoológico, los juegos, la lectura, la literatura, las excursiones, las competencias y los paseos escolares son soporte y contexto de los contenidos matemáticos. El objetivo es que, paralelamente al aprendizaje de las matemáticas, los niños adquieran otros conocimientos y se interesen por indagar sobre temas que en esta asignatura apenas se tocan. Por ejemplo, en el libro del alumno dos grupos acompañan al lector: los niños de una ciudad (Paco, Pepe, Ana y Leti) y los niños de un pueblo (Luis, Toño, Mónica e Itzel). Ambos grupos realizan actividades de las que se desprenden aprendizajes matemáticos y también discuten y se hacen aclaraciones entre sí. La lectura de tales actividades y discusiones permitirá, a su vez, esclarecer procedimientos, dificultades y soluciones de una manera amena y ágil para los alumnos.

El papel del profesor en la enseñanza de las matemáticas La participación del profesor es sustancial para el éxito de esta propuesta. Habrá de participar como coordinador de las actividades, como orientador en las dificultades y como fuente de informaciones y apoyo adicional cuando esto sea necesario. Sin el apoyo del profesor en la lectura, muchas páginas del libro del alumno probablemente resulten incomprensibles para el niño. Un ejemplo de esto son las lecciones dedicadas al algoritmo de la multiplicación. (Matemáticas. Tercer grado, páginas 172, 178 y 198). Puede decirse que éstas son lecciones dirigidas particularmente al profesor. Con base en ellas puede, como mediador del diálogo con el libro, ayudar a los niños a entender los algoritmos y otras nociones asociadas a la multiplicación.

Propósitos Con fundamento en este enfoque se espera que, a lo largo del tercer grado de la enseñanza primaria, el alumno logre obtener experiencias significativas que le permitan: Comprender el significado de los números hasta 9 999 y su representación simbólica, ordenar la serie numérica correspondiente y utilizar los números para resolver problemas sencillos. Resolver problemas que impliquen el uso de unidades de medida no convencionales, aproximándose a la noción de unidad de medida convencional al utilizar el metro, el kilogramo, el centímetro cuadrado y el litro para medir longitudes, pesos, superficies y capacidades. Resolver problemas con diversos significados de suma (agregar, unir, igualar), resta (quitar, buscar un faltante), multiplicación (arreglos rectangulares, suma iterada) y división (reparto y tasativos, es decir, ver cuántas veces cabe una cantidad en otra). Usar significativamente y con eficiencia en la resolución de problemas los algoritmos de suma y resta con transformaciones, de la multiplicación con números hasta de dos cifras y de la división con divisor de una cifra.

Desarrollar la intuición geométrica y la imaginación espacial a través del análisis del espacio físico, de los objetos y figuras del entorno, y de su ubicación y representación en el plano. Desarrollar la habilidad para realizar trazos y mediciones utilizando instrumentos como la regla y la escuadra. Advertir que la organización de la información, así como su representación a través de diagramas, tablas y gráficas son medios para descubrir características y relaciones entre los datos y para hacer sencillas inferencias. Utilizar y recabar información contenida en documentos, ilustraciones y gráficas para resolver o plantear problemas. Acercarse a la noción de azar a través de la realización de juegos, del análisis de sus resultados y de las estrategias seguidas para llevarlos a cabo.

Organización de los contenidos Los contenidos de Matemáticas, a lo largo de la educación primaria se han organizado alrededor de seis ejes: Los números, sus relaciones y sus operaciones Geometría Medición Tratamiento de la información Procesos de cambio La predicción y el azar En el tercer grado se trabajan cinco ejes, ya que el trabajo en el eje "Procesos de cambio" se inicia hasta el cuarto grado. La organización por ejes no significa que los contenidos de cada uno deba tratarse de manera aislada e independiente. Ha de buscarse de manera permanente la interrelación entre los contenidos que corresponden a los diferentes ejes. Cabe señalar que tal interrelación en muchos casos es sumamente natural. Por ejemplo, en actividades como "Trazar un cuadrado que tenga 81 centímetros cuadrados de área" se trabajan varios contenidos: la medición con el centímetro cuadrado, la multiplicación, el trazo y el manejo de formas geométricas, entre otros.

Recomendaciones didácticas generales El uso del texto y las fichas didácticas en la clase Los materiales complementarios de este libro, con los cuales cuenta el maestro son el Avance programático, libro de texto y un fichero de actividades didácticas. El libro del alumno ayuda al profesor a organizar la clase porque contiene los elementos básicos para apoyar el proceso de construcción de cada uno de los conceptos. Es decir, en cada lección se presenta una situación problemática a partir de la cual se derivan actividades, preguntas, discusiones, simbolizaciones y ejercicios de aplicación que, en conjunto, permiten lograr los propósitos del tema en cuestión. Además, las actividades propuestas en las fichas didácticas apoyan y enriquecen la propuesta contenida en el texto.

Para integrar las actividades del libro de texto y del fichero se elaboró el avance programático, en el cual se desglosan los contenidos matemáticos que se trabajan en cada lección y en cada ficha. Es necesario que el maestro tome en cuenta que algunas lecciones introducen a los alumnos en el estudio de algunos temas y otras requieren de actividades antecedentes señaladas como tales en las fichas de actividades didácticas. En cualquiera de los dos casos, el texto contiene los puntos clave del proceso de aprendizaje. Al maestro le corresponde iniciar, adaptar o ampliar la secuencia propuesta en el avance programático, utilizando las actividades contenidas en el fichero y las situaciones problemáticas que se plantean en el libro.

El material recortable El material concreto necesario para trabajar se ha incorporado como material recortable en el libro del alumno. Dicho material está compuesto por 16 recortables y puede completarse con corcholatas pintadas de colores y frijoles. De este modo, el maestro tendrá el material suficiente para desarrollar su curso. Se sugiere que el profesor solicite ayuda a los padres de familia cuando la tarea de recortar sea difícil para los niños. También será conveniente guardar por separado el material en un sobre o bolsa con el nombre de cada alumno. La intención es que se conserve todo el año y pueda utilizarse cuantas veces sea necesario.

Uso de periódicos, revistas y libros infantiles Una recomendación para el maestro es que utilice periódicos, revistas infantiles, los Libros del Rincón u otros con los que se cuente en la escuela, como fuentes de situaciones para el trabajo matemático. El uso de estos materiales ayudará a que los problemas sean más interesantes, reales y atractivos para los niños, permitirá relacionar la matemática con otras áreas del plan de estudios (por ejemplo, con Geografía, a través de la lectura y elaboración de croquis y mapas; con Historia, mediante el cálculo de los años que han transcurrido desde determinado acontecimiento; con Ciencias Naturales, a partir de situaciones basadas en datos sobre los hábitos, la alimentación o el peso de algunos animales) y apoyará la lectura, actividad siempre fundamental en el aprendizaje de las matemáticas escolares.

Recomendaciones didácticas por eje Los números, sus relaciones y sus operaciones Los números naturales Este eje tiene como uno de sus objetivos centrales el estudio y uso del sistema de numeración decimal. El rango que se trabaja en el tercer grado es el de las unidades de millar. Para el trabajo en esta dirección, el maestro deberá tener en cuenta que: Con frecuencia, los niños conocen los números más allá de lo que han aprendido en la escuela, porque los utilizan funcionalmente. En este programa se parte de la idea de que los alumnos reconocen y usan los números en rangos mayores o superiores a los previstos en la escuela para resolver situaciones y problemas que se les presentan en las diversas actividades que desarrollan en sus juegos y en sus compras. Para iniciar el trabajo con la numeración se sugiere promover el reconocimiento y uso de los números que los niños conocen, a través de preguntas como: ¿qué números conoces? ¿Dónde has visto números? ¿Qué números sabes escribir? ¿ Cuál es el número más grande que conoces? ¿Qué número va primero, el mil o el dos mil? ¿Cuál va después? (ficha 2 "¿Hasta qué número te sabes?")

Las respuestas a preguntas como éstas, así como su discusión, permitirá al maestro conocer el rango de números que manejan sus alumnos oralmente o por escrito y, además, iniciar el trabajo con los números en este año escolar a partir de sus experiencias y de sus conocimientos. En esta etapa es importante, también, promover que los alumnos identifiquen y reflexionen sobre los números que ven en los precios, los anuncios, los domicilios, el periódico, etcétera. Es decir, se trata de que manejen los números y reflexionen sobre ellos en situaciones en las que son útiles. Con base en esta idea, en los primeros bloques el trabajo sobre esta temática se inicia con la lectura de números en situaciones que les den significado (Matemáticas. Tercer grado, lecciones "El tiro al blanco" y "Entrada al zoológico", páginas 10 y 48). A partir de la lectura de los números que aparecen en precios, anuncios, etcétera, se realiza un primer trabajo de comparación, ordenación, identificación y descomposición de números. Paulatinamente, se logrará una ordenación más sistemática -y con rangos más amplios- de la serie numérica. La construcción de series numéricas cortas, orales y escritas son también actividades que se sugieren en el fichero y que deben realizarse paralelamente al desarrollo de las lecciones del libro del niño (ficha 9, "Cuadros numéricos"). En síntesis, se propone que a lo largo del año los niños manejen significativamente los números de cuatro cifras. Para apoyar dicha tarea, a continuación se proporcionan al maestro algunas sugerencias generales que pueden realizarse a lo largo del año escolar. EL USO DEL CONTADOR

Este auxiliar se ha incorporado como material recortable en el libro del niño. Puede utilizarse para representar números, para conocer y estudiar la serie numérica y el valor posicional de las cifras, así como para desarrollar la habilidad del cálculo mental en los alumnos. El uso del contador puede hacerse más interesante a medida que avanza el año escolar si las preguntas o consignas a partir de las cuales se trabaja se van haciendo más complejas, como se ve en la actividad ”El contador”, página 18 de este libro. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS MEDIANTE MONEDAS, BILLETES Y FICHAS DE COLORES

El uso de material concreto para representar cantidades favorece que los alumnos entiendan la regla de cambio "diez por uno" del sistema de numeración decimal y, a la vez, favorece la comprensión del valor relativo de las cifras contenidas en un número. En la actividad “Fichas de Colores”, pagina 19 de este libro, los alumnos trabajan diversos aspectos que implican el aprendizaje de los números. Por ejemplo, en la actividad A interpretan una cantidad representada no convencionalmente; en la B deben relacionar el valor de cada una de las cifras contenidas en el número con los valores de las fichas que se manejan para poder determinar cuántas fichas de cada color se necesitan para representar esa misma cantidad; por último, en la actividad C los

alumnos, a partir del valor absoluto de cada cifra, deben averiguar su valor relativo hasta obtener el número total de puntos ganados.

LA DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS MEDIANTE DIVERSOS JUEGOS Y SITUACIONES

El propósito de actividades, como el tiro al blanco o el manejo de dados, es que los alumnos observen que un mismo número puede representarse de diversas maneras mediante sumas, restas y multiplicaciones. La actividad que se muestra, "Descomponiendo números", pretende que los niños expresen un número de diferentes formas mediante la suma. Estas actividades planteadas como juegos favorecen que los alumnos afirmen sus conocimientos sobre la numeración, la descomposición de números y la suma. EL CONTEO DE CANTIDADES GRANDES DE OBJETOS, POR UNIDADES O POR AGRUPAMIENTOS

El conteo, y en particular el conteo de cantidades grandes de objetos, es una actividad importante para desarrollar la intuición sobre los números e ideas claras acerca de su magnitud. Pedirle a los niños que cuenten la cantidad de corcholatas que hay en una caja, la cantidad de garbanzos que contiene un frasco, etcétera, les permitirá tener una idea más clara de lo que es una centena, un millar, cinco mil, diez mil, etcétera. Los

niños probablemente empezarán a contar "de uno en uno", pero a medida que avancen se darán cuenta de que es mejor buscar otras estrategias para contar, por ejemplo, hacer grupos y sumar la cantidad que tiene cada uno. La realización frecuente de actividades como las que se acaban de señalar permitirá al maestro llevar a sus alumnos a la comprensión de la magnitud de los números y del sistema decimal con el que lo representamos. El profesor encontrará en el libro del niño y en el fichero de actividades algunas sugerencias para el desarrollo de estas nociones.

Operaciones Una recomendación fundamental, acorde con el enfoque del área, es: Permitir a los niños utilizar sus propios procedimientos y estrategias. En un principio se espera que los alumnos resuelvan los problemas que se les planteen, sin imponérseles restricciones, sumando, contando, haciendo rayitas o dibujos, mediante cálculo mental u otros procedimientos que utilicen espontáneamente. De manera paulatina, a través del diálogo entre los compañeros, el maestro y el libro de texto, los niños encontrarán estrategias más económicas y cercanas a las convencionales. Mediante este proceso se espera que las expresiones matemáticas y los algoritmos de cálculo convencionales tengan sentido y funcionalidad para los niños. La lectura de los diálogos que aparecen en el libro del alumno también permitirá a los niños aclarar dudas y corregir posibles errores. Esta actividad será un apoyo importante en la construcción y autoevaluación de las estrategias de resolución de problemas y de cálculos.

ES POSIBLE TRABAJAR CON LAS ESTRATEGIAS ESPONTÁNEAS DE LOS NIÑOS

Es importante señalar que el permitir a los niños usar sus propias estrategias no significa que cada uno vaya a utilizar una estrategia diferente y que, por lo tanto, el maestro tendrá que conciliar 30 o 40 estrategias distintas en su salón de clases. Los estudios realizados al respecto muestran una regularidad en las estrategias a las que los niños recurren, posibles de controlar en el desarrollo de la clase. Es decir, no aparecerán más que un número manejable de estrategias de resolución que obedecen al momento de desarrollo conceptual en el cual los niños se encuentran. Por otra parte, la discusión misma les permitirá adoptar aquellas estrategias utilizadas por sus compañeros que consideren mejores. Preguntas como: "¿Cuál forma de resolver este problema les gustó más? ¿Cuál les pareció que puede ayudar para resolver más rápido el problema?", son cuestionamientos clave que el maestro puede formular para promover la comparación de estrategias y llevar a los niños a seleccionar las más útiles. LA DIFICULTAD DE LOS PROBLEMAS NO DEPENDE SOLO DEL TAMAÑO DE LOS NÚMEROS

Es importante tener en cuenta que la dificultad de los problemas aritméticos no depende solamente del tamaño de los números, sino, sobre todo, de las relaciones entre los datos del problema. Los siguientes ejemplos permitirán ilustrar esta afirmación.

Ejemplo 1. Toño tenía $ 3176 y gastó $1875, ¿cuánto dinero le quedó? A pesar de que los datos de este problema involucran números de cuatro cifras, por diversas razones es de fácil solución. La primera de ellas es que la palabra quedó anuncia a los niños la resta; la segunda es que el problema tiene la incógnita al final: 3176 - 1875 = ____ Ejemplo 2. Luis lanzó un dado, cayó en 6, ahora está en la casilla 19, ¿en qué casilla estaba antes de lanzarlo? Este problema puede resolverse con una resta bastante sencilla: 19 - 6 = 13 Sin embargo, a pesar de referirse a números de una cifra implica una dificultad importante para los niños, ya que la resta no es abierta. El problema, tal como está planteado, puede esquematizarse así: ____ + 6 = 19 Este esquema significa que la incógnita está en el dato inicial, que puede encontrarse con una resta: 19 - 6 = ____ Identificar la resta como la operación que permite encontrar el dato no es sencillo, ya que los niños tendrán primero que hacer una inversión en el planteamiento inicial del problema: ____ + 6 = 19 ----> 19 - 6 = ____ Por lo anterior, en el programa y en los materiales de apoyo se ha establecido una diferencia entre la dificultad en la técnica de cálculo y la dificultad en los problemas. En el ejemplo 1 tenemos un problema cuya dificultad se ubica en el dominio de la técnica de cálculo. En el ejemplo 2 la dificultad radica en la identificación de la resta como operación que resuelve el problema. El maestro deberá apoyar ambos aspectos de las operaciones; sin embargo, debe tener la precaución de trabajar las "técnicas de cálculo" cuando éstas tengan significado para el niño, es decir, cuando los niños las han identificado como instrumentos para resolver cierto tipo de problemas. ACTIVIDADES PERMANENTES EN EL APRENDIZAJE DE LAS OPERACIONES Y LA MEDICIÓN

El cálculo mental es una actividad importante que deberá trabajarse a lo largo del año, paralelamente al cálculo escrito y a la resolución de problemas. Se sugiere promover que los niños resuelvan mentalmente problemas y cálculos y que anticipen los resultados. El cálculo mental, al igual que el cálculo escrito, ha de realizarse de acuerdo con las estrategias que los niños construyan. Solicitarles que las expliquen, las comparen con las de sus compañeros e inclusive que intenten registrarlas por escrito

ayudará a mejorarlas, afianzarlas o enriquecerlas. Sin embargo, no deben plantearse estrategias rígidas porque el cálculo mental perdería su sentido. La estimación constituye un recurso poderoso para valorar los resultados de cálculos y mediciones. Por esta razón es una habilidad que ha de promoverse durante el año escolar, ligada a los cálculos escritos, la resolución de problemas, la medición, etcétera. Para ello se sugiere plantear con frecuencia preguntas como "¿Aproximadamente, cuál creen que va a ser el resultado?" o consignas como: "De entre los siguientes resultados escojan, antes de hacer la operación, el que crean correcto". En un principio, convendrá dar a los niños opciones para elegir los posibles resultados y ayudarlos así en sus primeras aproximaciones. Poco a poco mejorarán en sus estimaciones y las opciones podrán retirarse. EL USO DE LA CALCULADORA EN LA ESCUELA PRIMARIA

El uso de la calculadora se ha restringido en la escuela primaria, entre otras razones, por el temor de los maestros y padres de familia de que este instrumento evite que los niños aprendan a efectuar (sin calculadora) las operaciones básicas. Sin embargo, numerosas experiencias en el ámbito de la investigación en didáctica de las matemáticas han podido constatar que el uso controlado de la calculadora en ciertas actividades específicas, lejos de obstaculizar el aprendizaje lo favorece. Por ejemplo, permite: Plantear problemas cuya finalidad es que los alumnos establezcan relaciones adecuadas entre los datos y seleccionen, de manera autónoma, la o las operaciones con las que pueden resolverse. Verificar resultados, obtenidos mediante el cálculo mental o escrito. Inferir los procesos que sigue la calculadora a partir del análisis de las teclas que se oprimen y de los resultados que arroja. Resolver problemas que requieren efectuar muchas operaciones o cálculos numéricos engorrosos. Por lo anterior, en algunas lecciones del libro de texto (véanse páginas 36 y 94) y en las fichas 25, 32 y 37 del fichero de actividades didácticas de este grado, se incorporaron situaciones en las que se sugiere utilizar la calculadora. Algunas de las actividades del fichero permiten indagar los conocimientos previos de los alumnos acerca de los números, favorecen el aprendizaje de la serie numérica oral y escrita y de las operaciones de suma y resta. Otras propician el cálculo mental y la estimación de resultados, mismos que se verifican con el auxilio de la calculadora. ¿Cómo trabajar las actividades con la calculadora? Es conveniente que antes de aplicar las actividades el maestro las experimente, sobre todo las que se proponen en la ficha 25, usando diferentes tipos de calculadoras, ya que no todas funcionan de la misma manera. Por ejemplo, con cualquier calculadora es posible construir sucesiones numéricas de 1 en 1, de 2 en 2, etcétera. Sin embargo, no siempre se procede de la misma forma. Si

tiene a la mano dos o tres calculadoras sencillas de diferente modelo y marca, probablemente encontrará distintos resultados al ejecutar, en cada una, las siguientes instrucciones: 1. Encienda la calculadora (en la pantalla aparece el 0). 2. Oprima las teclas para realizar la siguiente suma: 17 + 3 (en la pantalla aparece primero el 17 y luego el 3). 3. Oprima tantas veces como desee, la tecla = y observe cada vez el número que aparece en la pantalla. Es probable que en alguna de las calculadoras obtenga la siguiente sucesión de números al oprimir repetidamente la tecla =: 20, 23, 26, 29, 32, 35,... En otra tal vez los resultados sean: 20, 37, 54, 71, 88, 105,... Otra quizás arroje los siguientes resultados: 20, 20, 20,... Puede observarse que en el primer caso (20, 23, 26, 29, 32, 35,...), al oprimir consecutivamente la tecla = la calculadora suma de manera constante el segundo sumando que se introdujo (17 + 3). En el segundo caso (20, 37, 54, 71, 88, 105,...), se observa que la calculadora toma como constante el primer sumando (17 + 3) y en el tercer caso (20, 20, 20,...), no se modifica el primer resultado. Para construir sucesiones numéricas con estas últimas calculadoras, tal vez se requiera oprimir dos veces seguidas el signo + (17 ++ 3 = = = ...). Conocer cómo funcionan las calculadoras que usan los alumnos permitirá al maestro coordinar con éxito las actividades propuestas. En algunas lecciones del libro Matemáticas. Tercer grado se propone que los alumnos utilicen la calculadora para verificar resultados. En este caso, es importante que los alumnos resuelvan primero las actividades mediante el cálculo mental o con lápiz y papel y después usen la calculadora para verificar el resultado que obtuvieron.

Fracciones El tercer grado inicia con este tema. Se ha tenido especial cuidado en propiciar el trabajo con las fracciones en diferentes contextos, enfatizando el uso verbal de las que resultan más familiares y fáciles para los niños de este grado: medios, cuartos y octavos. El trabajo principal que se propone consiste en acercar al niño a situaciones que lo lleven a dividir uno o más enteros en partes iguales. Estas situaciones se presentan en contextos de reparto y medición, ligadas a actividades infantiles escolares, como por ejemplo, forrar libros y cajas o confeccionar banderitas y moños, etcétera. Las siguientes secuencias permitirán ilustrar las ideas didácticas con las que se desarrollan las fracciones a lo largo del curso. Este tema comienza en la lección "Banderas de colores" (Matemáticas. Tercer grado, página 12), en la cual se solicita a los niños confeccionar banderitas de México. En este grado, los niños ya saben que nuestra bandera está formada por tres partes iguales, cada una con un color distinto. De manera que si disponen de un pliego de papel blanco, uno

verde y otro rojo y con ellos se quieren hacer dos banderas del mismo tamaño, se enfrentan a la necesidad de partir cada pliego en dos partes iguales. La situación de confeccionar banderas obliga a partir las hojas o los pliegos de una manera determinada. Es necesario, sin embargo, que las particiones en esta y todas las actividades con fracciones sea decidida por los propios niños, de modo que si hacen una partición que no es conveniente, ellos mismos se den cuenta de que partieron mal y corrijan. También debe tomarse en cuenta que, antes de utilizar la escritura numérica de las fracciones, los niños necesitan tener una amplia experiencia con particiones, además de la posibilidad de confrontar sus ideas en aspectos como superficies iguales que tienen distinta forma. Por ejemplo, en la lección "Las trenzas de Mónica" (Matemáticas. Tercer grado, página 22) se sugiere partir de distintas maneras una hoja tamaño carta en dos partes iguales para que los alumnos determinen cuáles son mitades y cuáles no.

Muchos niños de tercer grado tendrán dificultades para aceptar que las partes sombreadas en el dibujo de arriba son iguales. Para ellos no es evidente el hecho de que, siendo mitades de hojas iguales, deben tener la misma área, aunque tengan distinta forma. Éste es un aspecto que el maestro deberá abordar sistemáticamente: las mitades u otras fracciones como los cuartos y octavos pueden obtenerse mediante particiones distintas. De la misma manera, muchos niños no aceptan fácilmente la equivalencia entre dos fracciones. Para ellos no es evidente que ½ es igual a 2/4. Algunos niños dicen: "Son iguales si están pegados, pero si se separan, aquí hay más porque son dos pedazos". Ante una afirmación como ésta, poco ayudará repetirle al niño varias veces por qué ½ es igual a 2/4. Lo que tiene sentido es plantearle otras situaciones similares para que los alumnos tengan la posibilidad de confrontar sus ideas con las de otros compañeros y con la situación misma. Con los dos ejemplos anteriores queremos ilustrar el hecho de que los niños no construyen conocimientos en pequeñas dosis mediante la información que reciben del maestro. Más bien, lo que les permite construir su conocimiento es el proceso de poner constantemente a prueba sus propias hipótesis en las situaciones que se les presentan. Tal forma de trabajo constituye uno de los propósitos más importantes de esta propuesta. LAS SITUACIONES SE VAN HACIENDO MÁS COMPLEJAS A LO LARGO DEL AÑO

Las situaciones con fracciones se van haciendo más complejas a lo largo del año escolar, con el fin de que los procedimientos empleados por los niños puedan evolucionar. En un principio se plantean problemas en los que se reparte un entero entre cierto número. Por ejemplo, el problema de dividir un listón para dos trenzas ("Las trenzas de Mónica", Matemáticas. Tercer grado, página 22), o bien el problema de repartir un pastel entre cuatro niños (lección "Un paseo en el zoológico", pagina 54). Este tipo de problemas propician el uso de las fracciones con numerador uno o fracciones unitarias, como también se les llama (1/2, 1/4, etcétera). Al comienzo, los niños pueden utilizar hojas o tiras de papel para verificar la igualdad de las partes. Posteriormente, pueden apoyarse en representaciones gráficas para encontrar las soluciones. Más adelante se plantean problemas en los que se reparte más de un entero. Por ejemplo, problemas en los que tienen que repartirse 3 chocolates entre 4 niños (lección "El gato", Matemáticas. Tercer grado, página 68) o problemas en los que se deben repartir 5 obleas entre 4 niños (lección "Compartir con los amigos", página 142). Este tipo de problemas propicia el uso de fracciones con numerador mayor que uno y de los números mixtos cuando el número de enteros repartidos es mayor que el número de elementos entre los cuales se reparten. Por ejemplo, al repartir 5 obleas entre 4 niños, a cada uno le toca una oblea y un cuarto. LAS FRACCIONES EN SITUACIONES DE MEDICIÓN

Entre las situaciones de medición se plantean problemas en los que intervienen cantidades continuas como la longitud y la capacidad, así como el uso de cantidades discretas: una docena de nueces o el número de días que tiene un mes. La noción de fracción en las situaciones de medición de longitudes se plantea a través de dos maneras de resolver el mismo problema: por medio del fraccionamiento de la unidad o mediante el recurso de ver cuántas veces cabe una longitud en la otra. En otras palabras, una longitud mide 1/4 de la unidad de medida porque ésta se dividió en cuatro partes iguales y mide una de esas cuatro partes, o bien porque se ve que la longitud que se quiere medir cabe cuatro veces en la unidad de medida. EQUIVALENCIA DE FRACCIONES

Uno de los aspectos más importantes para la comprensión de las fracciones es la noción de equivalencia. A lo largo del curso se presentan situaciones que propician el uso de expresiones equivalentes, que se pueden aprovechar para resaltar dicha noción. Por ejemplo, en los problemas de reparto, dependiendo de las particiones que se hagan, pueden surgir distintas expresiones aditivas que representan el mismo valor, como enseguida se muestra:

Las situaciones de medición de longitudes y de capacidades también pueden aprovecharse para el uso de expresiones equivalentes. Es importante resaltar que en todas las situaciones donde aparece la noción de equivalencia deben realizarse actividades en las que se manipule material para verificar los resultados de los niños. No se pretende introducir a los alumnos en el uso de expresiones formales o de reglas para encontrar fracciones equivalentes. Esto será tarea de otros grados.

Medición El trabajo que se desarrolla en este eje está relacionado con las unidades de medida de longitud, capacidad, peso, superficie y tiempo. Para alcanzar los propósitos asociados a esta temática, el maestro ha de tomar en consideración que las nociones ligadas a la medida se desarrollan precisamente haciendo mediciones y reflexionando sobre el resultado de las mismas. Desde el punto de vista didáctico, la utilización de unidades de medida no convencionales es también de suma importancia, no sólo porque permite adquirir una noción más amplia acerca del concepto de unidad de medida, sino también porque permite apreciar mejor la utilidad de las medidas convencionales. Será entonces recomendable que el maestro promueva el trabajo de medición con unidades no convencionales como antecedente del uso de las unidades convencionales. En el caso de la medición de longitudes se han diseñado actividades y lecciones en las que es necesario realizar mediciones utilizando unidades no convencionales, como son la cuarta de la mano, un lápiz, etcétera, así como unidades convencionales como el centímetro y el metro.

Algunas actividades de este tipo se ilustran en la lección "Medimos listones" (Matemáticas. Tercer grado, pagina 18). Otro tipo de actividades que se sugiere es el uso de un intermediario para realizar mediciones. Tal actividad tiene sentido en situaciones donde resulta difícil medir directamente, utilizando la regla graduada en centímetros o el metro rígido. En estos casos un cordón es un buen intermediario para hacer mediciones.

Otra actividad importante que conviene desarrollar en este grado es la ordenación y el cálculo con números que son resultado de mediciones; por ejemplo, comparar dos o más longitudes. En la actividad “Comparando longitudes”, página 30 de este libro se presentan algunos ejemplos. Para medir la longitud, el peso, la capacidad y la superficie se sugiere que los niños construyan algunas unidades: el metro, el centímetro, el centímetro cuadrado, el litro, 1/2 litro y 1/4 de litro. Algunos de los materiales necesarios para la construcción de estas unidades aparecen en el material recortable y otros pueden adquirirse con facilidad. Otro elemento que enriquecerá de manera significativa el trabajo en este eje es la utilización de unidades de medida usadas en las diferentes regiones de nuestro país y la comparación de éstas con las unidades de medida convencionales.

A lo largo del grado se plantean situaciones donde se hace necesario el uso del kilogramo y el litro. Los niños podrán apreciar mejor el significado de estas unidades de medida si se hace referencia a su experiencia cotidiana: por ejemplo, comprar "un kilo de tortillas", "un kilo de fríjol" o "un litro de petróleo". La construcción de una balanza y el uso de paquetes de 1 kilogramo, 1/2 o 2/4 de kilogramo como unidades de medida también permitirá a los alumnos aproximarse significativamente a la noción de peso.

Geometría Ubicación espacial El trabajo en este eje incluye situaciones que llevan al niño a buscar diferentes maneras de ubicarse en su entorno y, fundamentalmente, a experimentar formas de registrar y expresar tal ubicación. Las actividades incluidas en las fichas y en el libro de texto tienen también como finalidad que los niños hagan sus propias representaciones del entorno inmediato y familiar.

En todos los casos es necesario que se liguen las situaciones planteadas en el texto y en las fichas con el entorno de los niños.

Figuras y trazos Un aspecto importante del eje "Geometría" es el que se refiere a las características de las figuras y su trazo. Se sugiere utilizar diversos recursos como el doblado de papel, el dibujo, los mensajes para reproducir figuras, etcétera.

Reproducción de figuras La reproducción de figuras es una actividad motivante para los niños si se plantea adecuadamente. Se propone que el maestro dé libertad a los niños para que busquen estrategias de reproducción. Con ello, además de desarrollar destrezas en el trazo se estará promoviendo el análisis de las figuras y de sus propiedades. Por ejemplo, si se solicita a los alumnos reproducir figuras como las que aparecen enseguida, sin darles instrucciones precisas de cómo hacerlo, tendrán que indagar si las líneas son paralelas, si son perpendiculares, qué medidas tienen, etcétera.

El tipo de figuras que deberán reproducirse podrá hacerse más complejo progresivamente a lo largo del curso. El paralelismo y la perpendicularidad son las características importantes en las que se basa la construcción y el análisis de figuras en este grado. El maestro deberá apoyarse en tales aspectos al solicitarle a los niños la reproducción y el análisis de figuras.

Figuras simétricas La simetría se inicia con un tratamiento muy intuitivo en el que se sugiere la reflexión de los niños acerca de las formas reflejadas en el agua como si ésta fuera un gran espejo, así como el dibujo de figuras "reflejadas en el espejo". En un primer momento se recomienda utilizar este recurso para que los alumnos reproduzcan figuras simétricas. Posteriormente se propone el uso de papel cuadriculado para que los niños dibujen o completen figuras simétricas. Para el desarrollo de este tema, en sí atractivo para los niños, el maestro también podrá sugerir juegos o dejarlos explorar diversas posibilidades en hojas cuadriculadas.

Doblado de papel

El doblado de papel es un recurso que puede apoyar diversos objetivos y promover la anticipación y el desarrollo de la imaginación espacial. Se puede presentar a los niños hojas de papel picado con dobleces como se muestra en la actividad "Dobla y recorta", página 33 de este libro. Esta actividad repercutirá no sólo en el aprendizaje de la simetría, sino también en el desarrollo de la imaginación espacial y la capacidad de construir hipótesis. El manejo del papel también puede aprovecharse para trabajar las líneas paralelas y perpendiculares como en la ilustración siguiente.

Las nociones de paralelismo y perpendicularidad son difíciles de formalizar y definir. En este grado sólo se pretende aproximar a los niños a ellas, mediante su identificación y "trazo", utilizando papel doblado (Matemáticas. Tercer grado, página 50, o ficha 17 del fichero de actividades didácticas). También puede proponerse la construcción de una escuadra de papel doblado y utilizarla para trazar y reproducir figuras que contengan paralelas y perpendiculares. El trabajo de papiroflexia y, a partir de él, la reproducción de figuras y el análisis de sus características es también una actividad que el maestro puede aprovechar para hacer amenos y accesibles los contenidos de este aspecto del programa.

Tratamiento de la información En este eje se incorporan los contenidos que tradicionalmente se incluían en estadística. Además, se han agregado contenidos que tienen como objetivo, precisamente, desarrollar la capacidad de obtener, analizar y utilizar información. El tratamiento didáctico en este eje, en lo referente a los contenidos de recolección y registro de información, deberá relacionarse con situaciones cercanas a los intereses de los niños de este nivel, por ejemplo, los animales, los juegos y las materias escolares que les gustan. Otra fuente de situaciones interesantes para los alumnos son los fenómenos meteorológicos.

Además de las situaciones sugeridas en el libro de texto y en las fichas de actividades didácticas, el maestro puede aprovechar otras situaciones escolares que resulten de interés para los niños. Por ejemplo, el registro diario de la puntualidad, el aseo, las ventas de la cooperativa o la organización de algún acto. La actividad "Función de títeres", página 35 de este libro, ilustra el tipo de trabajo que puede realizarse en esta línea. Lo primero que debe hacer el niño para resolver un problema es organizar y analizar la información que se le presenta. Esta información puede ser oral, escrita o presentarse en

ilustraciones e imágenes. Ayudar a los niños a obtener y analizar información es entonces una tarea fundamental para contribuir a mejorar su capacidad de plantear y resolver problemas. El trabajo de análisis de la información es un aspecto que se favorece a lo largo de todo el curso por la forma en la que se propone trabajar en cada una de las lecciones del libro de texto. Para resolverlas, en la mayoría de los casos los niños deben seleccionar y analizar la información que se proporciona en una ilustración o en un documento. El maestro deberá aprovechar todos los temas del programa para trabajar el tratamiento de la información como un aspecto colateral del contenido; con ello promoverá a la vez la capacidad de reflexión y de resolución de problemas. Dicha tarea podría apoyarse en actividades como las que se describen a continuación.

Planteamiento de preguntas y problemas a partir de la información contenida en ilustraciones y documentos, como se ejemplifica en la actividad "El sueño de los animales", página 36 de este libro.

Identificación de preguntas que pueden o no responderse a partir de la información contenida en un texto. Un ejemplo de esta actividad es la lección "Una visita a Dinosauria", página 128 del libro de texto.

La predicción y el azar Este eje se inicia en el tercer grado. El tratamiento didáctico que se le ha dado es meramente intuitivo y mediante situaciones de juego. Se pretende introducir a los niños en la reflexión de situaciones en las que se sabe lo que va a pasar y en otras en las cuales no es posible saberlo. Esto sin precisar que, en algunos casos, el no saber puede deberse a la falta de información, mientras que en otros no es posible obtener la información porque se está, precisamente, en situaciones de azar. Con la intención de que los niños observen las características de algunos juegos, se plantea que los realicen a lo largo del año y los analicen mediante preguntas. Por ejemplo: ¿se gana porque se tiene una estrategia o se gana por pura suerte? Juegos como La lotería, El gato, Carrera a 10, El dominó o Juegos y números (Matemáticas. Tercer grado, página 68, 69, 102 y 154) permitirán cubrir los objetivos planteados en esta dirección. Es conveniente que durante el desarrollo de estas actividades el maestro ayude a los niños a entender las reglas de los distintos juegos cuando éstas sean difíciles. La palabra azar se introduce hasta el final del grado para caracterizar algunos juegos en los que interviene únicamente la suerte del jugador (lotería, dados, etcétera), a diferencia de otros juegos en los cuales interviene la habilidad (canicas, trompo, etcétera). En este nivel, el término azar puede asociarse a la palabra suerte que manejan los niños; mientras el no azar puede asociarse a los juegos en los cuales siempre hay una estrategia para ganar, como el juego Carrera a 10, que aparece en la página 69 del libro de texto. Se sugiere al maestro permitir la mayor flexibilidad en las caracterizaciones que hagan los niños de los juegos, dada la dificultad para establecer afirmaciones rigurosas respecto al concepto de azar, sobre todo en este nivel. Es recomendable también que el maestro utilice los juegos practicados en su región o localidad para el trabajo sobre la predicción y el azar. Una tarea puede consistir, precisamente, en indagar cuáles son los juegos propios del lugar.

Recomendaciones de evaluación La evaluación es uno de los aspectos de mayor complejidad en la enseñanza, pues no consiste solamente, como se cree, en otorgar una calificación a los alumnos, sino en la apreciación permanente de su aprendizaje. En el caso de las matemáticas, el maestro debe tener presente que los conceptos se construyen paulatinamente, por lo que su adquisición deberá ser valorada a lo largo de todo el año escolar, a partir de las

diferentes actividades de aprendizaje. Generalmente, los errores cometidos por los niños son muestra del grado de comprensión que han alcanzado de un concepto. La estimación y el cálculo mental que realizan los alumnos al dar una respuesta aproximada a determinadas situaciones son también habilidades que deben considerarse y valorarse mediante la observación, la revisión de los trabajos y la participación individual y en grupo. Las destrezas y habilidades que muestran los niños en el manejo de los instrumentos geométricos, por sencillos que estos sean, son indicadores del grado de comprensión que tienen sobre diferentes conceptos o procedimientos matemáticos asociados a ellos. Por ello, el maestro deberá valorar el avance de los alumnos al observar la forma en que manejan los instrumentos geométricos, así como su habilidad para realizar los trazos. Se sugiere asimismo que el maestro observe la habilidad de los niños para resolver situaciones sencillas. Además, es importante considerar si los alumnos logran analizar la información contenida en diferentes documentos e ilustraciones, así como plantear preguntas y problemas relacionados con dicha información. Respecto a la medición es conveniente que el maestro observe el desarrollo paulatino de la habilidad de los alumnos para utilizar las unidades de medida convencionales de longitud, superficie, capacidad, peso y tiempo, no sólo en la resolución de problemas escritos, sino fundamentalmente en su uso práctico. En síntesis, la evaluación en Matemáticas debe realizarse desde el primer día de clases, con el propósito de obtener información acerca de los conocimientos y avances de los niños. Esta información servirá al maestro para ajustar las actividades de enseñanza a las necesidades y momentos particulares de aprendizaje de los alumnos.

Sugerencias bibliográficas para el maestro Alarcón, Jesús, Silvestre Cárdenas, Blanca Parra, Juan José Rivaud, María Guadalupe Lucio y Alba Rojo, Matemáticas 1, México, SEP-FCE, 1991.

Fuenlabrada, Irma, David Block, Patricia Martínez y Alicia Carvajal, Lo que cuentan las cuentas de sumar y de restar, México, SEP, 1994 (Libros del Rincón).

Ávila, Alicia, Los niños también cuentan, México, SEP, 1994 (Libros del Rincón).

Block, David, Irma Fuenlabrada, Alicia Carvajal y Patricia Martínez, Los números y su representación, México, SEP, 1991 (Libros del Rincón).

Baldor, Aurelio, Aritmética teórico práctica, 8a ed., México, Publicaciones Cultural, 1993. Baldor, Aurelio, Geometría plana y del espacio y trigonometría, 2a ed., España, Vasco Americana, 1967. Block, David, Irma Fuenlabrada, Hugo Balbuena, Leove Ortega, Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir, México, SEP, 1993 (Libros del Rincón).

Godino, J., Azar y probabilidad, Madrid, Síntesis, 1987. SEP, Guía para el maestro. Tercer grado, México, 1992. SEP-Petra Ediciones, Papirolas 1, México, 1992 (Libros del Rincón). Tison, Annette, Talus Taylor, Grandes y

Fuenlabrada, Irma, David Block, Hugo Balbuena y Alicia Carvajal, Juega y aprende matemáticas, México, SEP, 1991 (Libros del Rincón).

pequeños, México, SEP, 1992 (Libros del Rincón). ____, Pelos y plumas, México, SEP, 1992 (Libros del Rincón).

Bibliografía consultada y créditos de ilustración Douay, Regine, "Jeux de cadres et dialectique outil-objet", en Recherches en Didactique des Mathematiques (2), vol. 7, Grenoble, Francia, La Pensée Sauvage, 1986. Ducel, Yves y Marie- Lise Peltier, Approche de la geometrie par le dessin geometrique au CM2, Francia, IREM de Rouen, 1986. Ermel, Apprentissages numériques et résolution de problémes, París, Hatier, 1991. Holloway, G., Concepción del espacio en el niño según Piaget, Argentina, Paidós, 1969. INRP, "Comment font-ils?", en Rencontres Pédagogiques, París, 1986. ___, "Un, deux... beaucoup, ionnément! Les enfants et les nombres", en Rencontres Pédagogiques (21), París, 1988. Peltier, Marie-Lise y Claudette Clavié, objetif calcul. CE1, París, Hatier, 1992. ___, Objetif calcul, Livre du maitre, París, Hatier, 1992. Matemáticas. Tercer grado, México, SEP, 1993. ___, Los niños también cuentan. Procesos de construcción de la aritmética en la escuela, México, SEP, 1994 (Libros del Rincón). Vergnaud, Gerard, "Psychologie du developpement cognitif et didactique des mathématiques", en Grand N (38), Francia, IREM/CRDP, 1986. Créditos de ilustración. Matemáticas. Tercer grado, México, SEP, 1993; páginas 94, 97, 128, 144, 146.

Libro para el maestro. Matemáticas. Tercer grado Se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en el 45º aniversario de su creación, en los talleres de Grupo Gráfico Editorial, S.A. de C.V. con domicilio en Calle B núm. 8, Parque Industrial Puebla 2000 C.P. 72220, Puebla, Pue., el mes de junio de 2004.

El tiraje fue de 35,900 ejemplares más sobrantes para reposición.