Interpolacion Inversa 3d2069

TEMA: MÉTODO DE INTERPOLACIÓN INVERSA

ING. CIVIL

MATERIA: MÉTODOS NUMÉRICOS

NIVEL: CUARTO SEMESTRE

ING. MILTON GUERRÓN

INTEGRANTES: DANNY CARRILLO MARÍA BELÉN CÁRDENAS

MÉTODO DE INTERPOLACION INVERSA Se puede utilizar la interpolación para obtener una raíz aproximada de una ecuación en ciertos casos. Como la nomenclatura implica, los valores de 𝑓(𝑥) y x en la mayoría de los problemas de interpolación son las variables dependientes e independientes, respectivamente. En consecuencia, los valores de las x con frecuencia están espaciados uniformemente. Un ejemplo simple es una tabla de valores obtenida para la función 𝑓(𝑥) = 1/𝑥.

Ahora supongamos que debemos usar los mismos datos, pero que se le ha dado un valor de 𝑓(𝑥) y debe determinar el valor correspondiente de x. Por ejemplo, para los datos anteriores, supongamos que se le pide determinar el valor de x que corresponda a 𝑓(𝑥) = 0,3. En tal caso, como se tiene la función y es fácil de manipular, la respuesta correcta es determinar directamente, x=1/3 = 3,3333. A ese problema se lo conoce como interpolación inversa. En un caso más complicado, muchos se sienten tentados a intercambiar los valores de 𝑓(𝑥) y x, es decir, tan sólo graficar x contra 𝑓(𝑥) y usar un procedimiento como la interpolación de Lagrange para determinar el resultado, Por desgracia, cuando se invierte las variables no hay garantía de que los valores junto con la nueva abscisa las 𝑓(𝑥) esten espaciados de una manera uniforme. Es más, en muchos casos, los valores estarán “condensados”. Es decir, tendrán la apapriencia de una escala logarítmica, con algunos puntos adyacentes muy amontonados y otros muy dispersos. Por ejemplo, para 𝑓(𝑥) = 1/𝑥 el resultado es

Tal espaciamiento no uniforme en las abscisas a menudo lleva a oscilaciones en el resultado del polinomio de interpolación. Esto puede ocurrir aun para polinomios de grado inferior. Una estrategia alterna es ajustar un polinomio de interpolación de orden n-ésimo, 𝑓𝑛 (𝑥) a los datos originales, es decir, con 𝑓(𝑥) contra x. En la mayoría de los casos, como las x están espaciadas de manera uniforme, este polinomio no estará mal condicionado. La respuesta a el problema, entonces, consiste en encontrar el valor de x que haga este polinomio igual al dado por 𝑓(𝑥). Así, el problema de interpolación se reduce a un problema de raíces. Por ejemplo, para el problema antes descrito, un procedimiento simple sería ajustar los tres puntos a un polinomio cuadrático (2, 0.5), (3, 0.33333) y (4, 0.25), cuyo resultado será 𝑓2 (𝑥) = 1,08333 − 0,375𝑥 + 0,041667𝑥 2 La respuesta al problema de interpolación inversa para determinar la x correspondiente a 𝑓(𝑥) = 0.3 será equivalente a la determinación de las raíces de 0.3 = 1,08333 − 0,375𝑥 + 0,041667𝑥 2 En este caso simple, la fórmula cuadrática se utiliza para calcular

𝑥=

0,375 ± √(−0,375) 𝑧 − 4(0,41667)(0,7833) 2(0,041667) X1= 5.704158 x2= 3.295842

Así la segunda raíz, 3.296, es una buena aproximación al valor verdadero 3.333. Sí se desea una exactitud adicional, entonces podríamos emplear un polinomio de tercer o cuarto grado junto con uno de los métodos para la localización de raíces. En conclusión, la interpolación inversa es teniendo una tabla ya antes dada de puntos, el problema de dicha interpolación inversa consiste, simplemente, en determinar para un valor dado la función 𝑓(𝑥) la correspondiente x. Cualquiera de las formas de interpolación existentes permiten afrontar este problema, simplemente hay que considerar a la f como variable independiente y a x como variable dependiente. La interpolación inversa puede tener gran interés como método para contrastar los resultados obtenidos al resolver un problema de interpolación directa. BIBILOGRAFIA   

http://personales.upv.es/dginesta/docencia/otrosanos/notmetquim2.pdf https://www.sangakoo.com/es/temas/interpolacion-inversa Steven, Chapra, Métodos numéricos para ingenieros, quinta edición.