Incertidumbre De Magnitudes Fisicas 2f5s6g

PRACTICA DE LABORATORIO Nº 01 CALCULO DE INCERTIDUMBRES EN MAGNITUDES FISICAS I.- OBJETIVOS. capacitar al estudiante en la utilización de instrumentos de medidas  representar las cantidades físicas con su respectiva incertidumbre. II.-RESUMEN.Ningún experimento en el que se mide una cierta magnitud es absolutamente preciso, es decir, el resultado de la medida no coincide exactamente con el valor real de la magnitud. Si queremos utilizar el experimento para comprobar una teoría (o también para caracterizar un producto que va a ser comercializado) es necesario estimar la desviación del valor medido con respecto al valor real. La teoría de errores estudia cómo estimar esta desviación. Tal y como concebimos la ciencia, toda teoría tiene fundamentada su validez en la constatación con la evidencia experimental, la cual está soportada en últimas por la medición de variables físicas. Sin embargo, la medición de una cantidad física por si sola, sin la especificación de su rango de incertidumbre o fiabilidad, no contiene mucha utilidad en la ciencia. Esto lo podemos corroborar con el experimento en el laboratorio, el cual, utilizando un montaje que consiste en una cuerda y una pesa (simulando un péndulo) permite la toma de diferentes medidas para encontrar la incertidumbre o fiabilidad. III.-MARCO TEORICO.1.-Magnitud física.Las magnitudes Físicas son las que no pueden definirse con respecto a las otras magnitudes y con las cuales toda la física puede ser discreta. Tenemos varios tipos de magnitudes como: la Longitud (unidad de longitud el metro (m)), La Masa (unidad de longitud el kilogramo (Kg.)),

El Tiempo (unidad de longitud el segundo (s)), Las Cargas eléctricas, entre otras. Toda medición consiste en atribuir un valor numérico cuantitativo a alguna propiedad de un cuerpo, como la longitud o el área. Estas propiedades, conocidas bajo el nombre de magnitudes físicas, pueden cuantificarse por comparación con un patrón o con partes de un patrón. Constituyen ejemplos de magnitudes físicas, la masa, la longitud, el tiempo, la densidad, la temperatura, la velocidad y la aceleración. 2.- Error e incertidumbre En un procedimiento experimental que nos proporciona el valor de una magnitud X, el resultado no coincide exactamente con el valor real de dicha magnitud. La diferencia entre el valor real y el valor medido se llama error de la medida: ζ = X med − X real

El error es siempre desconocido, pero puede estimarse una cota superior para su valor absoluto. Esta cota se denomina incertidumbre de la medida y se denota por ∆ X. De la definición de error y de incertidumbre deducimos que el valor real de la medida se encuentra en el intervalo: X real ∈ [ X med − ∆X , X med + ∆X ]

Gráficamente podemos representar esta situación de la siguiente forma:

Xmed− ∆ X

Xreal

Xmed+∆ X

Xmed se encuentra en el punto medio del intervalo. Por ello, el resultado de una medida se escribe siempre en la forma: X = X med ± ∆X

A veces es útil comparar el error de una medida con el valor de la misma. Se define para ello la incertidumbre relativa de una medida como el cociente:

δ =

∆X X med

Para distinguirla de la incertidumbre relativa, la incertidumbre ∆ X se denomina incertidumbre absoluta. La incertidumbre relativa es útil para los comentarios de las prácticas. Sin embargo, para expresar el resultado de una medida hay que utilizar siempre las incertidumbres absolutas. Obsérvese que la incertidumbre relativa es adimensional (puede también expresarse en tanto por ciento) mientras que la absoluta tiene las mismas unidades que la magnitud medida.

Hemos visto la diferencia entre los conceptos error e incertidumbre. Distinguirlos facilita la comprensión de la teoría de errores. Sin embargo, por comodidad, es muy frecuente utilizar la palabra error para referirse a la incertidumbre de una medida. 2. Cálculo de incertidumbres La incertidumbre se calcula de forma diferente dependiendo de si el valor de la magnitud se observa directamente en un instrumento de medida (medida directa) o si se obtiene manipulando matemáticamente una o varias medidas directas (medida indirecta). En una práctica calcularemos primero la incertidumbre de las medidas directas y luego la de las indirectas.

2.1. Cálculo de la incertidumbre de una medida directa Recordemos que el error es la discrepancia entre el valor real de una magnitud y el valor medido. En una medida directa esta discrepancia se debe a dos tipos de causas: la precisión finita del instrumento o el procedimiento de medida y factores ambientales aleatorios, como pequeñas variaciones de temperatura, vibraciones, etc. La incertidumbre debida a la precisión finita del instrumento de medida normalmente se toma igual a la división mínima de su escala (o, en el caso de balanzas, la pesa de menor valor) y la denotamos por θ .

Hay casos en donde el procedimiento de medida aumenta la incertidumbre θ y ésta no puede tomarse igual a la graduación de la escala. Por ejemplo, si se utiliza un cronómetro capaz de medir centésimas de segundo pero es el experimentador quien tiene que accionarlo, la precisión θ de la medida será el tiempo de reacción del experimentador, que es del orden de dos décimas de segundo. Otro ejemplo es el caso de algunos experimentos de óptica, en los que el experimentador desplaza una lente hasta que una imagen proyectada en una pantalla se ve con nitidez. Aunque la regla del banco óptico en donde se encuentra la lente tiene precisión de un milímetro, la imagen puede verse nítida en un rango de 4 o 5 milímetros. En este caso, θ sería igual a 4 o 5 milímetros. De estos ejemplos comprobamos que hay que entender bien el procedimiento experimental para encontrar el valor correcto de θ y que no existe ninguna “receta” que nos dé ese valor en todos los casos posibles1. Veamos ahora cómo se puede estimar la incertidumbre debida a factores ambientales aleatorios. Para esta estimación es necesario repetir la medida varias veces en las mismas condiciones. En cada una de estas repeticiones de la medida los factores aleatorios afectan de forma diferente lo que permite obtener información acerca de su magnitud. Si repetimos n veces la medida de una magnitud X y denotamos por X1,X2,X3,...,Xn los resultados de las n medidas, entonces el mejor valor es la media aritmética, es decir: X =

1 n ∑Xi n i =1

Y la incertidumbre debida a factores aleatorios viene dada por la siguiente expresión:

ψ = t n −1

σ n −1 n

en donde tn-1 es una función denominada t de Student y σ n-1 es la dispersión de las medidas. Los valores de la t de Student para 5, 10, 15 y un número muy grande de medidas, son: t2 = 9.93

t4 = 4.60

t9 = 3.25

t14 = 2.97

t∞ = 2.58

La dispersión viene dada por la fórmula (ver en la sección 4.1 cómo puede obtenerse fácilmente con una calculadora de bolsillo):

σ n −1 =

1

1 n ( X − X i )2 ∑ n − 1 i =1

Una vez obtenida la incertidumbre θ , debida a la precisión del aparato, y ψ , debida a factores ambientales, calculamos la incertidumbre total de la medida con la siguiente fórmula:

θψ

2 2 ∆ + X =

Finalmente, la medida directa debe expresarse en la forma (con los redondeos que se explican en la sección siguiente): X = X

±∆X

En la mayoría de las prácticas del laboratorio se repiten varias veces las medidas para calcular la incertidumbre debida a factores ambientales aleatorios. Sin embargo, hay ocasiones en que no se pueden realizar dichas repeticiones debido a la falta de tiempo o debido a que los aparatos de medida no son suficientemente precisos como para detectar las variaciones debidas a factores ambientales aleatorios. En este último caso, al repetir la medida, siempre se obtendría el mismo resultado y, por tanto, la dispersión sería nula. En cualquiera de los dos casos tomaremos ψ = 0 y, por tanto, la incertidumbre ∆ X será igual a la precisión θ del aparato de medida.

2.2. Cálculo de la incertidumbre de una medida indirecta

Una vez obtenida la incertidumbre de las medidas directas, calculamos las de las medidas indirectas. Supongamos una medida indirecta Y que se obtiene a partir de dos medidas directas X1 y X2 mediante la expresión matemática: Y = f ( X 1, X 2 )

en donde f es una función de dos variables. La incertidumbre de Y viene dada por:

2

 ∂f ( X 1 , X 2 )   ∂f ( X 1 , X 2 )  ∆Y =  ∆X 1  +  ∆X 2  ∂X 1 ∂X 2    

2

en donde ∆ X1 y ∆ X2 son las incertidumbres totales de las medidas directas. Casos particulares sencillos: Y=cX ⇒

Cambio de escala: Potencias:

Y = cX k

⇒

∆Y =

∆ Y =c ∆ X

kY ∆X X

Suma:

Y=X1+X2

⇒

∆Y = ∆X 1 + ∆X 2

Diferencia:

Y=X1 – X2

⇒

∆Y = ∆X 1 + ∆X 2

⇒

 ∆X   ∆X 2   ∆Y = Y  1  +   X1   X 2 

⇒

 ∆X 1   ∆ X 2   +   ∆Y = Y  X X  1   2 

Producto:

Y=X1X2

Cociente:

Y =

X1 X2

2

2

2

2

2

2

2

2

2.3. Otros tipos de medidas

Hay otras formas de obtener el valor de una magnitud a partir de medidas directas: 1. Media ponderada. Se realizan n medidas indirectas de la misma cantidad en condiciones diferentes. Si el resultado de cada medida es Yi±∆ Yi, entonces el resultado final y su incertidumbre vienen dados por la fórmula: n

∑ Y ( ∆Y )

2

∑ 1( ∆ Y )

2

i

i =1 n i =1

±

i

i

1 n

∑ 1( ∆ Y ) i =1

2

i

Obsérvese que la incertidumbre es la que se obtendría aplicando la fórmula de las derivadas parciales. 2. Regresión lineal. Éste es un caso más complejo pero de gran utilidad en ciencias experimentales. Utilizamos regresiones lineales cuando sabemos que la relación entre dos magnitudes X e Y es lineal, es decir:

Y = mX + c en donde m se denomina pendiente y c ordenada en el origen. Cuando dos magnitudes se relacionan linealmente, la gráfica de los puntos (X,Y) es una recta de pendiente m que corta el eje vertical en el punto (0,c). Si obtenemos mediante medidas (directas o indirectas) n pares de valores (Xi,Yi), con i=1,2,...,n, y representamos estos pares de valores en el plano, los puntos no estarán perfectamente alineados (ver figura), debido a los errores experimentales.

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

10

20

30

40

50

60

La regresión lineal nos permite obtener la recta que más se aproxima a dichos puntos. La pendiente y la ordenada en el origen de dicha recta vienen dadas por las siguientes expresiones: m=

E D

c =Y

−m X

en donde n

D = ∑( Xi − X i =1

n

E = ∑( X i − X i =1

)

2

n

= ∑ X i2 − n X

2

i =1

)(Y

i

− Y

n

) = ∑X Y i =1

i

i

−n X Y

siendo X =

1 n ∑Xi n i =1

Y =

1 n ∑Yi n i =1

En cualquier regresión es necesario realizar la gráfica con los puntos experimentales y la recta ajustada. De este modo es fácil comprobar si la regresión está bien hecha, ya que la recta ajustada debe pasar cerca de los puntos experimentales. En este curso no calcularemos las incertidumbres de m y c de forma rigurosa. Estas incertidumbres dependen de la incertidumbre de las medidas Xi, Yi, así como de la “holgura” con la que podemos mover y girar la recta sin que se aleje de los puntos experimentales. Si esta holgura fuera muy amplia, lo cual ocurrirá

siempre que los puntos experimentales no estén bien alineados, habría que revisar la hipótesis de que la relación entre X e Y es lineal. Si la gráfica muestra un ajuste razonable, entonces tomaremos las siguientes incertidumbres para m y c: ∆m = m δ x2 + δ y2

∆c = c δy

en donde δ x y δ y son las incertidumbres relativas medias de la serie de medidas Xi e Yi respectivamente. Estos errores relativos se pueden calcular “a ojo” o utilizando sólo algunos puntos representativos (por ejemplo, el punto más cercano a los valores medios), ya que las fórmulas anteriores son meras estimaciones de las incertidumbres y no proporcionan su valor de forma precisa. IV.-MATERIALES.

Vernier

 Regla  Bloques de madera de diferentes dimensiones y formas. V.- METODOS.en primer lugar para empezar la practica de este importante tema tuvimos que tomar la medida del bloque que en este caso era una rampa de madera las mediciones se tenían que realizar diez veces claro que cada período lo registrábamos con la ayuda de la regla y el vernier, así hallando la altura , el largo y por ultimo el ancho, así concluimos con el trabajo experimental seguidamente tomamos 10 períodos los cuales quedaron registrados en nuestro cuaderno de apuntes, el cual se procedió a darle una copia de los datos obtenidos en el laboratorio al docente. VI.- OBSERVACIONES EXPERIMENTALES.Las observaciones que realizamos el grupo en sumo acuerdo y coincidencia fue q algunos resultados que se daba en la medida variaban ya que es cierto que cada estudiante observaba diferentes medidas. también uno de los materiales (regla) tiene su margen de error lo cual va ocasionándose la propagación de de incertidumbres. VII.- CONCLUSIONES Y DISCUSIONES.-