Aula 06 (medidas De Tendência Central) 2v1r71

Prof. Me. ARI JR. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL PARA DADOS NÃO AGRUPADOS A partir das idades das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo. Considerando as temperaturas de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só temperatura que dá uma idéia de todo o período. Avaliando as notas de um aluno no bimestre, podemos registrar com apenas uma nota seu aproveitamento. Em situações como estas, o número obtido é a medida da tendência central dos vários números usados. A média aritmética é a mais conhecida entre as medidas de tendência central. Além delas, veremos a moda e a mediana. Média Aritmética (

x

O resultado 3,6  é chamado de média aritmética ponderada dos valores 4  , 2  e 5  , com pesos (fatores de ponderação) 5, 3 e 2, respectivamente. A média aritmética ponderada dos números x1, x2, x3, ..., xn com pesos, p1, p2, p3, ..., pn, respectivamente, é o numero x tal que:

Atividades de Fixação 1)

(UEPA) A figura abaixo mostra o ciclo de crescimento do eucalipto, uma planta utilizada para produzir pasta de celulose e bastante usada na fabricação de papel, carvão vegetal e madeira. A média, aproximada, de crescimento do eucalipto, nos 7 primeiros anos, de acordo com os dados apresentados, é:

a) b) c) d) e)

15,34 m 20,28 m 25,47 m 26,38 m 27,20 m

)

Uma idéia bastante importante é a idéia de média. Uma média de uma lista de números é um valor que pode substituir todos os elementos da lista sem alterar uma certa característica da lista. Se essa característica é a soma dos elementos da lista, obtemos a mais simples de todas as médias, a média aritmética. A média aritmética (simples) da lista de n números x1; x2; ... ; xn é um valor x tal que

x1  x2  ...  xn  x  x  ...  x  n.x Portanto, a média aritmética (simples) da lista de n números x1; x2; ... ; xn é definida por

x

x1  x2  ...  xn n

Por exemplo: Se os conteúdos de 4 baldes de água são: 3  , 5  , 2  , e 1  . E, se toda essa água fosse distribuída igualmente entre esses baldes, com quantos litros de água ficaria cada um? A quantidade de água de cada um seria razão da quantidade total de água para o número de baldes, isto é:

O resultado 2,75  é chamado de média aritmética dos valores 3  , 5  , 2  , e 1  . Podemos entender a média aritmética de duas ou mais quantidades como sendo o valor que cada uma delas teria se, mantendo-se a soma delas, todas fossem iguais. A média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn, que se

A BUSCA DO CONHECIMENTO

indica por x, é dada por: n

x  x  x  .....  xn x 1 2 3 n

Média Aritmética Ponderada (

x

ou

x

x i 1

i

n

)

Cinco baldes contêm 4 litros de água cada um, três outros contêm 2  de água cada um, e, ainda, dois outros contêm 5  de água cada um. Se toda essa água fosse distribuída igualmente entre esses baldes, com quantos litros ficaria cada um? A quantidade de água de cada balde seria a razão da quantidade total de água para o número de baldes, isto é: 1

Mo = 19 anos 2)

a) b) c) d) e)

(UEPA) Aos alunos foi dada a tarefa de calcular a média da turma em matemática, cuja distribuição encontrava-se no quadro magnético LAFIMAT. Naquela tabela, a coluna Xi representava um registro das notas e a coluna Fi, a freqüência das mesmas. Ao final do tempo previsto, os alunos apresentaram a resposta correta, que é: 5,88 5,90 9,80 9,83 9,88

3)

(UEPA)

Em uma amostra cujas freqüências dos elementos não são todas iguais, chama-se moda, que se indica por Mo, todo elemento de maior freqüência possível. Observações a) Na amostra 3, 4, 7, 3, 7, 9, 7, temos: Mo = 7 b) Na amostra 9, 9, 5, 7, 10, 2, 10, temos duas modas (amostra bimodal): Mo = 9 e Mo = 10 c) A amostra 1, 5, 7, 6, 45, 2, 0 não apresenta moda, pois todos os seus elementos têm a mesma freqüência. Exemplo: (UEPA) O gráfico de setores abaixo mostra os resultados obtidos em uma pesquisa com clientes de um supermercado sobre um de seus produtos. De acordo com sua satisfação, cada cliente indicava uma nota de 1 a 5 para o mesmo produto. O gráfico abaixo, por exemplo, mostra que 5% dos consumidores deram nota 1 para o produto consultado.

a) b) c) d) e) 4)

a) b) c) d) e)

O gráfico acima mostra a evolução da entrega de declarações e documentos, via internet. A média, em milhões de unidades, de entrega de declarações e documentos no período de 2000 a 2005 é: 22,4 28,5 33,6 40,5 45,6 (UEPA) Uma escola em Belém atribui pesos para o cálculo das quatro avaliações anuais. A primeira avaliação tem peso 1; a segunda, peso 2; a terceira, peso 3 e; a quarta, peso 4. Sendo assim, considerando as quatro avaliações de um aluno que obteve para 1ª, 2ª, 3ª e 4ª avaliações, as respectivas notas: 6,0; 4,0; 7,0 e 9,5, a média foi exatamente: 6,6 6,9 7,1 7,3 7,6

a) b) c) d) e)

Mediana (Md) As estaturas, em centímetros, dos cinco jogadores da equipe de basquetebol do nosso colégio são: 184; 179; 190; 181; 178 Dispondo essas estaturas em rol, temos: 178; 179; 181; 184; 190 O termo central desse rol é chamado de mediana da amostra. Indicando a mediana por Md, temos: Md = 181 cm •

5)

Numa empresa, dez operário têm salário de R$ 2.000,00 mensais; doze têm salário de R$ 1.500,00 mensais; e oito operários têm salário de R$ 1.400,00 mensais. Qual é o salário médio desses operários?

Moda (Mo) Consideramos as idades, em anos, dos dez atletas que representaram o colégio nos últimos jogos interestaduais: 16, 19, 19, 22, 17, 19, 19, 17, 18, 18. A idade de maior freqüência possível é 19 anos, por isso dizemos que a moda dessa amostra é 19 anos, e indicamos:

Considerando o mesmo gráfico, é correto afirmar que a moda do conjunto de todas as notas dadas para o produto foi: 1 2 3 4 5

Dispondo em rol as notas da prova de história dos alunos de 1ª série B, temos:

Como o número de termos do rol é par, define-se a mediama da amostra como a média aritmética entre os termos centrais do rol, isto é:

2

As notas das equipes foram colocadas no gráfico a seguir, entretanto, esqueceram de representar as notas da equipe D e da equipe E. Mesmo sem aparecer as notas das equipes D e E, pode-se concluir que os valores da moda e da mediana são, respectivamente.

Consideramos n números dispostos em rol x1, x2, x3, ..., xn. •

Sendo n ímpar, chama-se mediana (Md) o termo central desse rol, isto é, o termo x1, com:

•

Sendo n par, chama-se mediana (Md) a média aritmética entre os termos centrais desse rol, isto é, a média aritmética entre os termos x1, e x1 + 1 com:

Nota Para se determinar a mediana, a amostra pode ser colocada em rol do menor número para o maior, ou do maior para o menor. Nos dois róis o termo médio é o mesmo.

a) b) c) d) e)

1,5 e 2,0. 2,0 e 1,5. 2,0 e 2,0. 2,0 e 3,0. 3,0 e 2,0.

4)

(ENEM) Depois de jogar urn dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas.e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de frequências.

Exercícios Leia o Texto XVII para responder às questões 01 e 02.

a) b) c) d) e) 5) 1) a) b) c) d) e) 2) a) b) c) d) e) 3)

(UEPA) Em relação aos dados obtidos nessa pesquisa é correto afirmar que a média percentual de estudantes que sofrem bullying, nas capitais brasileiras, é igual a: 38,65% 35,89% 33,94% 32,92% 30,66% (UEPA) Observando os dados apresentados no gráfico anterior, é possível afirmar, em relação ao valor da mediana que: terá valor correspondente a 33,2%. terá valor correspondente ao da cidade de Porto Alegre. terá valor correspondente a 32,4%. terá valor correspondente ao da cidade de João Pessoa. terá valor correspondente a 31,2%. (ENEM) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de gincana na qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A média das cinco equipes foi de 2 pontos.

A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são, respectivamente 3, 2 e 1 3, 3 e 1 3, 4 e 2 5, 4 e 2 5, 2 e 4 (ENEM) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.

Cadernos do Gastar II, Matemática TP3. Disponível em: www.mec.gov.br. o em: 14 jul. 2009.

a) b)

Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é inferior a 0,18. superior a 0,18 e inferior a 0,50. 3

c) d) e)

superior a 0,50 e inferior a 1,50. superior a 1,50 e inferior a 2,80. superior a 2,80.

6)

(ENEM) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

I. II. III.

a) b) c) d) 9) De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a a) R$ 73,10. b) R$ 81,50. c) R$ 82,00. d) R$ 83,00. e) R$ 85,30. 7)

a) b) c) d) e) 8)

(MACK – SP) Turma Nº de alunos A 60 B 50 C 40 D 50

Segundo dados do IBGE, a população de Florianópolis em 2007 era de 396.723 habitantes, enquanto que em 2010 era de 421.203 habitantes. Com base nessas informações, analise as seguintes afirmações: O crescimento médio do número de veículos de 2003 a 2011 foi de 21.9774,9. O maior crescimento percentual na frota de veículos aconteceu no ano de 2002 para o ano de 2003. Considerando os dados do IBGE e do DETRAN-SC, conclui-se que a taxa percentual de crescimento do número de veículos em Florianópolis seja aproximadamente 3,4 maior que a taxa de crescimento de habitantes da cidade. Assinale a alternativa correta. Apenas I e II estão corretas. Apenas II e III estão corretas. Apenas a afirmação III está correta. Todas as afirmações estão corretas.

a) b) c) d) e)

(FGV) A média aritmética de três números supera o menor desses números em 14 unidades, e é 10 unidades menor do que o maior deles. Se a mediana dos três números é 25, então a soma desses números é igual a 60. 61. 63. 64. 66.

10)

(UNIFOR – CE) O gráfico abaixo mostra a variação

do IPC, Índice de Preços ao Consumidor, em uma capital brasileira pesquisada no período de abril a agosto de 2011.

Média das notas obtidas 5,0 4,0 7,0 3,0

A tabela acima refere-se a uma prova aplicada a 200 alunos, distribuídos em 4 turmas A, B, C e D. A média aritmética das notas dessa prova é 4,65 4,25 4,45 4,55 4,35 (ACAFE – SC) A tabela abaixo fornece dados sobre o número total de veículos emplacados circulando na cidade de Florianópolis no período de 2002 a 2011.

a) b) c) d) e)

Baseado nos dados do gráfico acima, podemos afirmar que a média do IPC durante esses cincos meses foi, aproximadamente, de: 0,10% 0,22% 0,33% 0,42% 0,50%

11)

(UEFS – BA)

4

Disponível em: . o em: 20 dez. 2010.

O gráfico mostra o número de gols por temporada, marcados pelo atacante brasileiro Ronaldo “fenômeno”, até maio de 2009. Se não for considerado o ano de 2000, em que o craque esteve em tratamento de uma séria lesão no joelho e praticamente não jogou, a sua média de gols entre 1997 e 2008 foi de, aproximadamente, a) 26,18

b) 25,84

c) 25,52

d) 25,26

e) 24,92

5