Aversión Al Riesgo 6m3m5g

Universidad de Costa Rica

Facultad de Ciencias Agroalimentarias Escuela de Economía Agrícola

Técnicas de Optimización Financiera

Priscila Arguedass – B00555 José Carlos Barrantes – B00809 Gerardo Camacho – A81208 Anthony Cubero – A92054 Mariangel Fernández – A72478

22 de setiembre, 2015

EJERCICIO  1   La aversión al riesgo en el modelo MPAC se mide por la prima de mercado, de manera que si se aumentara el grado de aversión al riesgo de los inversionistas, ¿la prima de riesgo sobre la acción de beta alta se incrementaría más o menos que la de una acción de beta baja? Explique con un ejemplo numérico: La fórmula para calcular el rendimiento exigido a la acción de evaluación en el modelo es la siguiente: 𝑘𝑖 = 𝑅𝑓 + 𝐵𝑖(𝑅𝑚 − 𝑅𝑓), donde el componente 𝐵𝑖(𝑅𝑚 − 𝑅𝑓) corresponde a la prima del activo o de la acción evaluada y, (𝑅𝑚 − 𝑅𝑓), corresponde a la prima de mercado. De este modo, si se considera un Rf fijo, y, si el mercado tiene rendimientos altos, aumentándome el grado de aversión al riesgo, la prima de riesgo sobre la acción se incrementaría más en una acción de un beta alto a una acción de un beta bajo (considerando que este beta sea siempre positivo, ya que si el beta es negativo el efecto es contrario), esto sucede ya que el beta me determina que tan riesgosa es la inversión en la acción individual de acuerdo al mercado, o que tanta volatilidad tienen los rendimientos de los activos a evaluar versus el rendimiento promedio del mercado. En conclusión, si la prima de mercado aumenta, la prima de riesgo sobre la acción va a ser mayor en betas mayores, ya que son proporciones mayores de aumento de la prima. Por ejemplo: •

Con un Rf de 6%, un 𝐵𝑖 de 1, y un Rm de 11%: 𝑘𝑖 = 𝑅𝑓 + 1(11 − 6)//Prima de mercado= 5%//Prima de la acción = 5%

Si la prima de mercado aumenta a un 6%, la prima de la acción aumentará en una proporción de 1:1, siendo 6% •

Por otra parte, considerando un 𝐵𝑖 de 0.5: 𝑘𝑖 = 𝑅𝑓 + 0.5(11 − 6)//Prima de mercado=5%//Prima de la acción = 2.5%

Ahora, si la prima de mercado aumenta a un 6%, la prima de la acción disminuirá en proporción de 0.5:1, siendo 2.5% •

una

Por último, considerando un 𝐵𝑖 de 2: 𝑘𝑖 = 𝑅𝑓 + 2(11 − 6)//Prima de mercado=5%//Prima de la acción=10%

Ahora, si la prima de mercado aumenta a un 6%, la prima de la acción aumentará en una proporción de 2:1, siendo 12%. Con betas negativos, el comportamiento del análisis es totalmente contrario, por ejemplo: •

Considerando un 𝐵𝑖 de -0.5: 𝑘𝑖 = 𝑅𝑓 + (−0.5)(11 − 6)/Prima de mercado=5%//Prima de la acción=-2.5%

2    

Ahora, si la prima de mercado aumenta a un 6%, la prima de la acción disminuirá en una proporción de 0.5:1, siendo -3, esto se explica porque los betas negativos significan que el comportamiento va contrario al mercado.

EJERCICIO  2   Si se duplicara la beta de una empresa, ¿acaso se duplicaría su rendimiento esperado?: R/ Si se considera un Rf de 6%, un Rm de 11% y un beta de 0.5, el rendimiento esperado sería: 𝑘𝑖 = 6 + 0.5 11 − 6 = 8.5% Si el beta se duplica, en este caso sería 1, el rendimiento esperado sería: ki = 6 + 1 11 − 6 = 11% Por ende, no se puede considerar verdadero que si el beta de una empresa se duplica, su rendimiento esperado se vaya a duplicar.

EJERCICIO  3   ¿Qué importancia tiene el concepto de coeficiente de variación en el análisis de las inversiones? R/ El coeficiente de variación es un indicador que me relaciona directamente la desviación o riesgo de la inversión con el valor esperado de la misma, es utilizado en la toma de decisiones de inversión, por ejemplo: Inv.A Inv.B Esperado 12% 20% Riesgo 9% 17% CV= 9/12= 0,75 17/20=0,85 En este caso en particular, la inversión que se seleccionaría sería la opción A, ya que me genera un coeficiente de variación menor, esto quiere decir, que por cada unidad de rendimiento, se están generando 0.75 uds de riesgo, por otra parte, la inversión B genera 0.85 uds de riesgo por cada unidad de rendimiento, por tanto, no se considera tan buena opción para un inversionista adverso al riesgo.

EJERCICIO  4   R/ La proporción en la que se debería invertir en cada uno de los activos A y B, para conformar la cartera AB que permite minimizar su riesgo, es de 27.71% para el activo A y un 72.28% para el activo B, se calcula con la siguiente fórmula:

𝑋𝑎 =

𝜎𝑎 !

𝜎𝑏(𝜎𝑏 − 𝑟𝑎𝑏 ∗  𝜎𝑎) + 𝜎𝑏 ! − 2𝑟𝑎𝑏 ∗  𝜎𝑎 ∗  𝜎𝑏 3  

 

Para este caso en específico: 𝑋𝑎 =

6.70!

5.73(5.73 − 0.66 ∗  6.70) = 0.27.71 + 5.73! − 2(0.66) ∗  6.70 ∗  5.73

Al ser dos activos, la proporción para el activo b se saca por diferencia: 1-0.2771= 0.7229. El coeficiente de correlación se calcula de la siguiente manera: 𝑥𝑦 −  

𝑟𝑥𝑦 = ( 𝑥! −

𝑥∗ 𝑛

𝑦

( 𝑥)! ( 𝑦)! )( 𝑦 ! − ) 𝑛 𝑛

Para este caso en específico: 𝑟𝑎𝑏 =

Año 2010 2011 2012 2013 2014 Esperado Desv Est/Riesgo Coeficiente Correlación

48 ∗ 48 5 = 0.66 2304 2304 (640 − )(592 − ) 5 5 562 −

Rend A -2 10 12 14 14 9,6 6,70

Rend B 3 7 17 14 7 9,6 5,73

27.71%(A)/73%(B) Cartera AB 1,65 7,81 15,65 14 8,89 9,6 5,55

0,66

4    

EJERCICIO  5   Las acciones A y B tiene los rendimientos históricos que se indican a continuación:

Año 1994 1995

Cálculos con datos Rend A Rend B -10,00 -3,00 18,50 21,29

Cartera AB -6,50 19,90

1996 1997

38,67 14,33

44,25 3,67

41,46 9,00

1998

33,00

28,30

30,65

Esperado Desv Est/Riesgo Coeficiente Correlacion

18,90 19,02

18,90 19,03

18,90 18,65

0,92

a) Para este caso, la tasa de rendimiento promedio correspondiente a cada acción correspondería a los valores Esperados de 18.9% para la acción A y de igual manera 18.9% para la acción B, si una persona conformara un portafolio asignando un 50% a cada acción, obtendría los rendimientos esperados mostrados en la tabla anterior, siendo el año 1994 el año de menor rendimiento con -6.50% y el año mayor 1996 obteniendo un 41.46% de rendimiento, a lo largo de este período, la tasa de rendimiento promedio esperada sería de un 18.90% b) La desviación estándar para la acción A es de 19.02%, para la acción B de 19.03% y para el portafolio es de 18.65%. c) El coeficiente de correlación, ha de ser más cercano a 0.9, ya que al observar los rendimientos de cada acción de manera anual, ambos comparten su carácter negativo y positivo en los mismos períodos, y los repuntes de rendimiento los poseen ambos en el mismo año (1996), lo que da la idea de que los activos que están siendo analizados están altamente correlacionados, el cálculo de la correlación nos permite verificar este hecho, con un resultado de 0.92 (se utilizó la fórmula del ejercicio 4).

5    

EJERCICIO  6   ECRI es una empresa controladora compuesta por cuatro subsidiarias principales. Los siguientes datos muestran el porcentaje de participación en el que negocio que proviene de cada una de las subsidiarias, y sus beta correspondientes. Subsidiaria

Porcentaje de Negocios

Servicio público de suministro de energía eléctrica Compañía de televisión por cable Bienes raíces Proyectos internacionales y/o especiales Beta de la compañía controladora=

Beta

60 25 10

0,70 0,90 1,30

5

1,50

0,85

Bi Rf Rm-Rf ki

0,85 6% 5% 10%

Adoptando los cambios de la parte C : Subsidiaria

Porcentaje de Negocios

Servicio público de suministro de energía eléctrica Compañía de televisión por cable Bienes raíces Proyectos internacionales y/o especiales Beta de la compañía controladora=

Beta

50 25 10

0,70 0,90 1,30

15

1,50

0,93

Bi Rf Rm-Rf ki

0,93 6% 5% 11%

        6    

EJERCICIO  7   El rendimiento esperado de una acción tiene la distribución siguiente:  

Año Escasa

Cálculos con datos Probabilidad Rendimiento 0,10 -50,00

Por debajo del promedio Promedio

0,20 0,40

-5,00 16,00

Por arriba del promedio

0,20

25,00

Intensa Esperado Riesgo Coeficiente Variación

0,10

60,00 11,40 26,70 2,34

Se calculó el riesgo con la siguiente fórmula (donde sí se incluye la probabilidad): (𝑅𝑖 − 𝐸)! ∗ 𝑃𝑖

−50 − 11.40

!

∗ 0.1 +

−5 − 11.40

!

∗ 0.2 + 16 − 11.40

!

∗ 0.4 + 25 − 11.40

!

∗ 0.2 + 60 − 11.40

!

∗ 0.1

Dando como resultado una desviación estándar/riesgo del 26.70% y un coeficiente de variación de 2.34, esto se interpreta de que por cada unidad de rendimiento que se está genera, también se están generando 2.34 uds de riesgo, se podría concluir que este riesgo está se manifiesta en una proporción mayor al doble que cada unidad de rendimiento.

EJERCICIO  8   Una mujer tiene $35,000 invertidos en una acción que tiene una beta de 0.8 y $40,000 invertidos en una acción cuya beta es de 1.4. Si éstas son las dos únicas inversiones de que se compone su portafolio, ¿cuál es la beta de éste? R/ Para este caso, la beta es de 1,12, surge de la multiplicación de la proporción de las acciones individuales en el portafolio por cada beta individual de las acciones.

7    

Mujer Acción A Acción B Total

Beta de la inversion=

Dinero Invert. Proporción del total 35000 40000 75000

Beta 0,47 0,80 0,53 1,40

1,12

 

EJERCICIO  9   Suponga que la tasa libre de riesgo es del 5% y la prima de riesgo de mercado es de 6% ¿Cuál es el rendimiento esperado del mercado de acciones en su totalidad? ¿Cuál es la tasa de rendimiento requerida sobre una acción que tiene un beta de 1,2? 𝐾𝑖 = 𝑅𝐹 + 𝛽! (𝑹𝑴 − 𝑅𝐹) 𝐾𝑖! = 5 + 1,2 6 = 12,2% Entonces: 12,2 = 5 + 1,2 𝑅𝑀 − 5 12,2 = 5 + 1,2 𝑅𝑀 − 5 12,2 = 5 + 1,2𝑅𝑀 − 6 12,2 − 5 + 6 = 𝑅𝑀 1,2 11 = 𝑅𝑀 R/ La tasa de rendimiento requerida sobre una acción con un beta de 1,2 es de 11%.

EJERCICIO  10   Suponga que el lector tiene un portafolio diversificado que consiste de una inversión por $7500 en cada una de las 20 acciones comunes diferentes. La beta del portafolio es igual a 1,12. Supongamos ahora que decidió vender en $7500 una de las acciones que incluye su portafolio cuya beta es de 1,0 y utilizar el producto de esta venta para adquirir otra acción para incluirla en su portafolio. Supongamos que el beta de esta nueva inversión es igual a 1,75. Calcule la nueva beta del portafolio. $ 7 500 x 20 = $ 15 000 Cada acción tiene proporción igual al 5% Por regla de 3 se determina $ 150 000 = 100% entonces $ 7500 = 5% Entonces: 𝛽!! = 𝑊! ∗ 𝛽! #  𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 + 𝑊! ∗ 𝛽! #  𝑑𝑒  𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1,12 = 0,05 ∗ 𝛽 19 + 0,05 ∗ 1 1 1,12 − 0,05 = 0,95𝛽

8    

1,07 =𝛽 0,95 1,12 = 𝛽

𝛽!! = 𝑊! ∗ 𝛽! #  𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 + 𝑊! ∗ 𝛽! #  𝑑𝑒  𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝛽!! = 0,05 ∗ 1,12 19 + 0,05 ∗ 1,75 1 𝛽!! = 0,056 ∗ 19 + 0,0875 𝛽!! = 1,15 R/ El nuevo beta para el portafolio es de 1,15.

EJERCICIO  11   Supongamos que el lector es el responsable de istrar el dinero de un fondo de inversión de $ 4 millones. El fondo consiste de 4 acciones a las que corresponden las inversiones y betas que se indican a continuación:

Acción   A   B   C   D   Total  

Inversión   $                          400.000,00   $                          600.000,00   $                  1.000.000,00   $                  2.000.000,00   $                  4.000.000,00  

Beta   1,5   -­‐0,5   1,25   0,75    

Proporción   10%   15%   25%   50%   100%  

Si la tasa de rendimiento requerido del mercado es del 14% y la tasa libre de riesgos es del 6% anual. ¿Cuál es la tasa de rendimiento requerida? 𝛽! = 𝑊! ∗ 𝛽! + 𝑊! ∗ 𝛽! + 𝑊! ∗ 𝛽! + 𝑊! ∗ 𝛽! 𝛽! = 10% ∗ 1,5 + 15% ∗ −0,5 + 25% ∗ 1,25 + 50% ∗ 0,75 = 0,7625

𝐾𝑖 = 𝑅𝐹 + 𝛽! (𝑅𝑀 − 𝑅𝐹) 𝐾𝑖! = 6 + 0,7625 14 − 6 = 12,1% R/ La tasa de rendimiento requerida es del 12.1%.

EJERCICIO  12     Las acciones A y B tienen los rendimientos históricos que se muestran a continuación:

Año 1994 1995 1996 1997 1998

Rend. A -18 33 15 -0,5 27

Rend. B -14,5 21,8 30,5 -7,6 26,3

9    

a) Calcule la tasa de rendimiento promedio correspondiente a cada acción durante el periodo comprendido entre 1994 y 1998. Utilizando la siguiente fórmula: 𝑅𝑒𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑛

𝐸= Ejemplo: 𝐸! =

−18% + 33% + 15% + 0,5% + 27% = 11,3% 5

Con base a la formula anterior se logra determinar que el rendimiento correspondiente al periodo que rige de 1994 a 1998 es para la acción A y para la acción B es de 11,3% para cada una de ellas. b) Supongamos que alguien tiene un portafolio consistente en 50% e acciones de A y 50% en acciones de B. ¿Cuál sería la tasa de rendimiento anual obtenida sobre el portafolio de 1994 a 1998? ¿Cuál habrá sido el rendimiento promedio sobre el portafolio a lo largo de este periodo? Implementando la siguiente fórmula: 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜  𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 𝑅𝑒𝑛𝑑  𝐴!ñ!" ∗ 50% + 𝑅𝑒𝑛𝑑  𝐵!ñ!" ∗ 50% 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜  𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = −18 ∗ 50% + −14,5 ∗ 50% = −16,25 Con base a la formula anterior y a utilizada en el punto a) se determina los rendimientos anuales, así como el rendimiento del periodo, los cuales se muestran a continuación: Año

Rend. Port

1994

-16,25%

1995

27,4%

1996

22,75%

1997

-4,05%

1998

26,65%

E

11,3%

c) Calcule a desviación estándar de los rendimientos de correspondientes a cada acción y la del portafolio Utilizando la siguiente fórmula se realiza el siguiente cálculo:

𝜎=

(𝑅𝑖 − 𝐸)! 𝑛−1

Ejemplo:

𝝈! =

(−18% − 11,3%)! + (33% − 11,3%)! + (15% − 11,3%)! + (−0,50% − 11,3%)! + (27% − 11,3%)! = 20,79 5−1

10    

Ri-E -29,3 21,7 3,7 -11,8 15,7

A Potencia 858,49 470,89 13,69 139,24 246,49

Ri-E -25,8 10,5 19,2 -18,9 15

B Potencia 665,64 110,25 368,64 357,21 225

Portafolio Ri-E Potencia 759,00 -27,55 259,21 16,1 131,10 11,45 235,62 -15,35 235,62 15,35

Suma

1728,8

Suma

1726,74

Suma

1620,56

/n σ

432,2 20,79

/n σ

431,69 20,78

/n σ

405,14 20,13

d) Calcule el coeficiente de variación para cada acción y para el portafolio:

𝐶𝑉 = Acción A 𝐶𝑉 =

𝝈 𝐸!

Acción B

20,79 = 1,83% 11,3

𝐶𝑉 =

Portafolio

20,78 = 1,83% 11,3

𝐶𝑉 =

20,13 = 1,78% 11,3

  e) Si el lector es un inversionista que manifiesta aversión al riesgo ¿Preferiría tener la acción A, la acción B o el portafolio? R/ Se elige el portafolio debido a que es el que presenta menor riesgo (σ) en comparación con las acciones A y B, sin dejar de lado que el portafolio es quien presenta menor riesgo por rentabilidad esperada (E). Cuadro resumen:

Año

Rend. A

Rend. B

1994 1995 1996 1997 1998 E Desv. Estandar CV

-18 33 15 -0,5 27 11,3

-14,5 21,8 30,5 -7,6 26,3 11,3

Rend. Port -16,25 27,4 22,75 -4,05 26,65 11,3

20,79

20,78

20,13

1,84

1,84

1,78

11    

EJERCICIO  13   A lo largo del tiempo del tiempo el lector observó lo siguiente:

Año 1994 1995 1996 1997 1998

Acción X 14 19 -16 3 20

Acción Y 13 7 -5 1 11

Mercado 12 10 -12 1 15

a) ¿Cuáles son las betas de la acción X y Y?

Acción  X   30  

Acción  Y   15  

y  =  1,3471x  +  0,995  

20   10   -­‐20  

y  =  0,6508x  +  2,0159  

10   5  

Acción  X  

0   -­‐10  -­‐10   0  

Lineal  (Acción  X)  

10  

20  

-­‐20  

0   -­‐10   -­‐5   0  

-­‐20  

Acción  Y   Lineal  (Acción  Y)  

10  

20  

-­‐10  

Beta:

1,3471

Beta:

0,6508

b) ¿Cuáles son las tasas de rendimiento requeridas para las acciones X y Y? RF = 6%

RM-RF = 5% 𝐾𝑖 = 𝑅𝐹 + 𝛽! (𝑅𝑀 − 𝑅𝐹) 𝐾𝑖! = 6 + 1,3471 5 = 12,7% 𝐾𝑖! = 6 + 0,6508 5 = 9,25%

c) ¿Cuál es la tasa de rendimiento requerida para un portafolio que consiste de la acción A en un 80% y un 20% de la acción Y? Primero es necesario el cálculo del 𝛽 del portafolio 𝛽! = 𝑊! ∗ 𝛽! + 𝑊! ∗ 𝛽! 𝛽! = 80% ∗ 1,3471 + 20% ∗ 0,6508 = 1,2078 Rendimiento requerido del portafolio: 𝐾𝑖 = 𝑅𝐹 + 𝛽! (𝑅𝑀 − 𝑅𝐹) 𝐾𝑖! = 6 + 1,2078 5 = 12,04%

12    

d) Si el rendimiento esperado sobre la acción X es del 22% ¿La acción X está sobrevaluada o subvaluada? Dado a que el rendimiento requerido es del 12,04%, esperar un rendimiento sobre la acción X de un 22% es sobrevaluar la acción.

EJERCICIO  14   Rendimiento de activos A y B y formación de cartera de inversión en proporciones 30%/70% respectivamente: a) Determinar los rendimientos esperados de los activos individuales A y B A continuación se presenta la fórmula utilizada y su desarrollo para el Activo A 𝐸= 𝐸! =

𝑅𝑒𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑛

10% + 11% + 14% + 12% + 15% + 16% = 13% 6

b) Determine las desviaciones estándar de las inversiones individuales A y B Utilizando la siguiente fórmula se realiza el siguiente cálculo: (𝑅𝑖 − 𝐸)! 𝑛−1

𝜎= Ejemplo:  

𝝈! =

(10% − 13%)! + (11% − 13%)! + (14% − 13%)! + (15% − 13%)! + (16% − 13%)! = 2,37   6−1

A continuación se presenta la totalidad de los cálculos:

Periodo

Rendimiento A

Rendimiento B

1 2 3 4 5 6

10 11 14 12 15 16

9 9,5 12 12 10 9

E σ

13 2,37

10,25 1,41

c) Establezca el coeficiente de variación de las inversiones individuales A y B 𝐶𝑉 =

𝝈   𝐸!

13    

Acción  A   𝐶𝑉 =

Acción  B  

2,36 = 0,18% 13

𝐶𝑉 =

1,40 = 0,13% 10,25

d) Establezca el riesgo de la cartera A/B, el rendimiento esperado de la cartera y el coeficiente de variación de la cartera Rendimiento: Se implementa la siguiente fórmula 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜  𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 𝑅𝑒𝑛𝑑  𝐴!ñ!" ∗ 30% + 𝑅𝑒𝑛𝑑  𝐵!ñ!" ∗ 70% 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜  𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙  1 = 10 ∗ 30% + 9 ∗ 70% = 9,3%

Rendimiento esperado de la cartera: Se implementó la siguiente fórmula 𝐸= 𝐸! =  

𝑅𝑒𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜   𝑛

9,3% + 9,95% + 12,6% + 12% + 11,5% + 11,1% = 11,075%   6

Desviación estándar de la cartera: (𝑅𝑖 − 𝐸)!   𝑛−1

𝜎=

𝝈!" =

(9,3% − 11,075%)! + (9,95% − 11,075)! + (12,6% − 11,075%)! + (12% − 11,075%)! + (11,5% − 11,075%)! + (11,1% − 11,075%)! = 1,24   6−1

Los cálculos completos se presentan a continuación: Periodo

Rendimiento A/B

1

9,3

2

9,95

3

12,6

4

12

5

11,5

6

11,1

E

11,075

σ

1,24

Coeficiente de variación de la cartera: 𝐶𝑉 =

𝝈   𝐸!

14    

𝐶𝑉 =

1,24 = 0,11   11,075

  e) Compare el riesgo de las carteras individuales y el de la cartera de inversión:  

Acción  A  

Acción  B  

Cartera  AB  

σ  

2,36  

1,40  

1,24  

CV  

𝐶𝑉 =

2,36 = 0,18%   13

𝐶𝑉 =

1,40 = 0,13%   10,25

𝐶𝑉 =

1,24 = 0,11%   11,075

  El riesgo que presenta la cartera AB es menor en comparación al de la acción A y al de la acción B, con base a la anterior se puede deducir que la cartera AB me permite obtener un máximo rendimiento de la inversión con menor riesgo. Al realizar el cálculo del coeficiente de variación, se intenta determinar la relación existente entre el riesgo de la inversión y el rendimiento esperado, por lo que se reafirma la decisión de invertir en la cartera, debido a que por cada unidad monetaria de rendimiento, el riesgo aumenta en 0,11%. f)

Determine las proporciones óptimas que se deberían invertir entre los dos activos A y B con el fin de minimizar el riesgo de la cartera: Primeramente se debe calcular el coeficiente de correlación, utilizando la siguiente fórmula: 𝑥𝑦 −  

𝑟𝑥𝑦 = ( 𝑥! −

𝑟!" =

800,5 − 1042 −

(78)! 6

𝑥∗ 𝑛

𝑦

( 𝑥)! ( 𝑦)! )( 𝑦 ! − ) 𝑛 𝑛 78 (61,5) 6 640,25 −

= 0,064 (61,5)! 6

Para el cálculo de la proporción de la inversión se realiza el siguiente cálculo: 𝑋! = 𝑋! =

𝜎! (𝜎! − 𝑟!" ∗ 𝜎!) 𝜎!! + 𝜎!! − 2𝑟!" ∗ 𝜎! ∗ 𝜎!

1,40(1,40 − 0,0601 ∗ 2,36) = 0,2469 = 24,69% 2,36! + 1,40! − 0,0601 ∗ 2,36 ∗ 1,40

Entonces la proporción óptima de inversión para el activo A es de 24,69% y para el activo B es de 75,31%.

15    

g) Determine el coeficiente Beta del activo financiero A e intérprete su correspondiente resultado:

Rendimiento  A   20  

y  =  0,8571x  +  2,2857  

15   Rendimiento  A  

10  

Lineal  (Rendimiento  A)  

5   0   0  

5  

10  

15  

20  

R/ El del activo financiero A es de 0,8571, el beta tiene como fin medir la volatilidad de un activo con respecto a su mercado, por lo que para determinar el nivel de volatilidad se utiliza como punto de referencia el valor 1, esto quiere decir que si el valor del beta es igual a 1, la volatilidad del activo es igual a la volatilidad del mercado, con esto se puede concluir que entre menor sea la beta, menor será la exposición al riesgo. En conclusión, al ser el beta 0,8571 se puede afirmar que el riesgo que presenta el activo A es menor al riesgo del mercado.

EJERCICIO  15     CATERPILAR: Cálculo del beta de la empresa. a) Si el riesgo sistemático que presenta la acción de Caterpillar es mayor o menor al mercado y por qué. Estadísticas  de  la  regresión     Coeficiente  de   correlación  múltiple   0,9018201   Coeficiente  de     determinación  R^2   0,81327949   R^2    ajustado   0,81031568     Error  típico   Observaciones  

Regresión   Residuos   Total    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Valor     crítico  de  F     1   0,03948924   0,03948924   274,402684   1,2203E-­‐24     63   0,00906632   0,00014391         64   0,04855556                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,01199624       65    

    ANÁLISIS  DE  VARIANZA      

 

 

Grados  de     Suma  de     Promedio  de     libertad   cuadrados   los  cuadrados  

F  

Intercepción  

          Inferior     Superior     Inferior     Superior   Coeficientes   Error  típico   Estadístico  t   Probabilidad   95%   95%   95,0%   95,0%   -­‐ -­‐ -­‐ 0,00062546   0,00149262   -­‐0,41903274   0,67661749   0,00360822   0,0023573   0,00360822   0,0023573  

Rend  Merc  

1,49654977   0,09034352  

   

16,5651044  

1,2203E-­‐24   1,31601266   1,67708688   1,31601266   1,67708688  

16    

Rend  CAT  

Rendimiento  de  Mercado,  Curva  de   Regresión  Ajustada   8,00%   6,00%   4,00%   2,00%   0,00%   -­‐8,00%   -­‐6,00%   -­‐4,00%   -­‐2,00%   0,00%   2,00%   4,00%   6,00%   -­‐2,00%   -­‐4,00%   -­‐6,00%   -­‐8,00%   -­‐10,00%   Rend  Merc  

y  =  1,4965x  -­‐  0,0006   Rend  CAT   Pronós`co  Rend  CAT   Lineal  (Rend  CAT)  

R/ El riesgo sistémico que presenta la acción de Caterpillar es mayor al mercado, ya que el mercado tiene una beta de 1, a diferencia de la beta de CAT que es de 1.49 esto, como se explicó anteriormente, me identifica que el rendimiento de CAT es más sensible que el rendimiento del mercado. b) Interprete el valor del beta obtenido para esta empresa. R/ Para esta empresa se obtuvo una Beta de 1.49, esta beta indica el grado de sensibilidad del rendimiento de la acción ante los cambios del rendimiento del mercado, en este caso, si hubiera un beta de 0.5, se espera que el rendimiento de una acción de CAT cambie 0.5% por cada cambio de 1% en el rendimiento del mercado, en este caso, se espera un cambio de 1.49% en el rendimiento de la acción de CAT por cada 1% en el cambio del rendimiento del mercado. c) Asumiendo que actualmente la tasa libre de riesgo (bonos del tesoro de los EEUU)es de un 2,35% y que el rendimiento del mercado es de un 2,95% (promedio de bonos de corporativos en EEUU), establezca cuál sería la rentabilidad esperada por el tenedor de las acciones de la empresa Caterpillar para compensar su riesgo sistémico. R/ Asumiendo una Rf de 2,35% y una Rm de 2,95%. 𝐾𝑖 = 𝑅𝐹 + 𝛽! (𝑅𝑀 − 𝑅𝐹) 𝐾𝑖 = 2,35% + 1,49 2,95% − 2,35% = 𝟑, 𝟐𝟒𝟒% El 3,244% sería la rentabilidad esperada por el tenedor de acciones de Caterpillar como compensación al riesgo sistémico.

EJERCICIO  16   Un inversionista desea invertir en bonos y acciones, se conoce que el rendimiento de las acciones es de 15% y el de los bonos es de 6%, mientras que el riesgo corresponde a 9% y 2% respectivamente. Se sabe además, que el coeficiente de correlación asciende a 0,6. 17    

El inversionista solicita 11 carteras, desde 0% en acciones y 100%. Cartera

Riesgo Cartera

A B C D E F

3,4 4,1 5,5 6,2 7,6 9

Valor esperado cartera 5 7 11 8 11 10

a) Graficar curvas de indiferencia para U=1   U2=  

5   7   9   10  

U3  =   U4  =   Determinación del rendimiento y riesgo de la cartera: Riesgo de la cartera: 𝜎=

! ! ! ! 𝑋!""#ó! ∗ 𝜌!""#ó! + 𝑋!"#" ∗ 𝜌!"#" + 2 ∗ 𝑋!""#ó! ∗ 𝑋!"#" ∗ 𝑟 ∗ 𝜌!""#ó! ∗ 𝜌!"#"

Cartera   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11  

Acción   0%   10%   20%   30%   40%   50%   60%   70%   80%   90%   100%  

Bono   100%   90%   80%   70%   60%   50%   40%   30%   20%   10%   0%  

Rend  Esp   6,00%   6,90%   7,80%   8,70%   9,60%   10,50%   11,40%   12,30%   13,20%   14,10%   15,00%  

Riesgo   2,00%   2,45%   3,04%   3,71%   4,43%   5,16%   5,92%   6,68%   7,45%   8,22%   9,00%  

Cálculo de la tolerancia al riesgo: 𝑡   =  

2   𝐸!"#$%#" − 𝑅𝑒𝑛𝑑!"#"$ × 𝜎!""#ó! 𝑅𝑒𝑛𝑑!""#ó! −   𝑅𝑒𝑛𝑑!"#"$ !

!

18    

𝑡   =  

2   12,3 − 6 × 9 15 −  6 !

!

  = 12,6

Obtengo la tolerancia al riesgo: 𝛼= 𝛼=

1 𝑡

1   = 0,08 12,6

Curvas de indiferencia para c/µ: 1 𝐸!"#$ =   µ! + × 𝜎!"#$ 𝑡 Cartera  

Riesgo  de   Cartera  

Rendimient o  Cartera   U=5  

Rendimient o  Cartera   U=7  

!

Rendimient o  Cartera   U=9  

Rendimient o  Cartera   U=10  

Rendimient o  Cartera  

    2,00   5,32   7,32   9,32   10,32   1       2,45   5,48   7,48   9,48   10,48   2       3,04   5,73   7,73   9,73   10,73   3   5,00   3,71   6,09   8,09   10,09   11,09   4   7,00   4,43   6,55   8,55   10,55   11,55   5   11,00   5,16   7,11   9,11   11,11   12,11   6   8,00   5,92   7,78   9,78   11,78   12,78   7       6,68   8,54   10,54   12,54   13,54   8   11,00   7,45   9,40   11,40   13,40   14,40   9       8,22   10,37   12,37   14,37   15,37   10   10,00   9,00   11,43   13,43   15,43   16,43   11   b) Gráfica de curvas de indiferencia y rendimiento de las posibles carteras de inversión:

Asignació n  de  Letra               A   B   C   D     E       F  

20,00   Rendimiento  Cartera  U=5  

15,00   11,00  

10,00  

8,00  

7,00  

5,00  

11,00  

Rendimiento  Cartera  U=7   10,00  

Rendimiento  Cartera  U=9   Rendimiento  Cartera  U=10  

5,00  

Rendimiento  Cartera   0,00   1  

2  

3  

4  

5  

6  

7  

8  

9   10   11  

c) Seleccionar cartera óptima: R/ La cartera seleccionada es la cartera C con un rendimiento de 11% la cual toca la curva de indiferencia U=9, es decir, es la cartera que ofrece mayor rendimiento a un riesgo menor. 19