Bruno Villar - Matemática E Raciocínio Lógico Quantitativo - Ano 2010 2f2w4v

[email protected]

R$ 25 920,00 (C) R$ 40 920,00 (D) R$ 42 000,00 (E) R$ 48 000,00

RESOLUÇÃO: C =15000 í = 20% = 0,2 t= 3 M = C (1+ i)1 M = 15000 (1 + 0,2)3 M = 15000 (1,2)3 \ :

M = 1500.1,728 • M = 25920 obs: 1,23 = (1,2}( 1,2)( 1,2) = 1,728 Resposta: letra B.

V

178

MATEMÁTICA E RACiO ClNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

2. (CEF) Num regime de capitalização composta, o montante Wl, resultante da apli cação de um capitai C à taxa porcentual i, por n períodos, é dado pela lei M = C.(1+i). Assim, dados M, C e n, a taxa i pode ser calculada pela expressão: (A) (B) (C) ~ (D) (E)

i= i= i= ii=

(M!CYnt ( (M-C)/C)™ (M1BI - Cm)ICím (MM- CN)/C" ((M+C)/C)"

RESOLUÇÃO: Toda vez que a questão solicitar a taxa, em juros compostos, iremos "sair" por essa fórmula:

Nesse caso devemos desenvolver a fórmula. ÍK = M i

&

C"

Resumindo temos: i

Ml ô

- 1 = (M'/N - C,/N)/C,/N

'

Reposta: letra D.

3. {CESPE/UNB) Determinada quantia é investidaj à taxa de juros compostos de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada deve-se esperar:

log5 logl,05

(A) ---------- trimestres

Iog2

(B) ---------- trimestres logl,05 (C)

trimestres logl,2

loc2 (D) — - — trimestres

Iogl,2 (E)

trimestres logI,2

Cap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

r

179

RESOLUÇÃO: Quando a questão solicitar o tempo, utilizaremos a seguinte fórmula: t =

lo g C lo g W

Cuidado: a questão envolve taxa nominal. Quando o período da taxa não coincide com o período da capitalização, a taxa é dita nominaL Ex.: 120% a.ar com capitalização mensal. 24% a.b, com capitalização mensal. Em Taxa Nominal devem-se usar taxas proporcionais. Exemplo: 120% a.a. com capitalização mensal. Na verdade a taxa real é de 10%. Agora que sabemos o que é taxa nominal, vamos responder a questão. í = 20% ao ano, capitalizados trimestralmente = 5% ao trimestre i = 0,05 M = 2C (o montante é o dobro do capital)

c

=

c

r_ 1 -

log

IW

_

-

l° o ~ i+0.05

log

Iog'' log

Exercício do concun. ando 1. (CEF) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à tax a de 3% a.m. por 60 dias, e o de R$ 1.200,00, à taxa de 2% a.m. por 30 dias . Se a aplicação foi a juros compostos: (A) O montantetotal recebido foi de RS 3.308,48 (8 ) O montantetotal recebido foi de RS 3.361,92 (C) O montantetotal recebido foi de R$ 4.135,64 (D A diferença positiva entre os montantes recebidos foi de R$ 897,80 (E) A diferença positiva entre os montantes recebidos foi de R$ 935,86 2. (Banco do Brasil) Se aplicarmos R$ 25 000,00 a juros compostos, rendendo a 7% a cada bimestrej Quanto teremos após 3 anos? (A) 25 000 (1,70)° (B) 25 000 (1,70)’°

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATiVO - Bruno Viltar

1 80

(C) 25 000 (0.70)3 (D) 25 000 (1,07),B (E) 25 000 (0,70)'° I 3. (BACEN) Um capitai de R$ 4.000,00, aplicado a 2% ao mês, durante três meses, na capitalização composta, gera um montante de: (A) (B) (C) (D) (E)

RS 6.000,00 RS 4.240,00 RS 5.500,00 RS 4.244,83 RS 6.240,00

4. (BC) Um capital de R$ 1000,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 30% ao mês. O montante, após 2 meses, era: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS RS R$

1600,00 1630,00 1670,00 1690,00 1720,00

5. (BC) Um capital de R$ 8000,00 foi aplicado a juros compostos durante 2 meses, obtendo-se no final do prazo um montante de R$ 12.500,00. A taxa mensa! de juros desse investimento está compreendida entre: (A) (B) (C) (D) (E)

1% e 10% 10% e 20% 20% e 30% 30% e 40% 40% e 50%

6. (BC) Apliquei a metade de um capital “C” a juros compostos, à taxa de 40% ao bimestre durante 4 meses e a outra metade a juros simples, durante o mesmo prazo. Para que os montantes dos investimentos sejam iguais, a taxa mensal do segundo investimento deverá ser: (A) (B) (C) (D) (E)

24% 23,5% 23% 22,5% 22%

7. (CEF) Um capital de R$ 2 500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serio (A) RS 98,00 (B) R$ 101,00


181

(C) RS 110,00 (D) RS 114,00 (E) RS 121,00 8. (CEF) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2 000,00 em 05/06/97 e R$ 3 000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de (A) (B) (C) (D) (E)

RS 5 RS 5 RS 5 RS 5 R$ 5

320,00 480,00 620,00 680,00 720,00

GABARITO 1- D

2 -D

3- D

4- D

5- C

6- A

7- B

8- E

Treinamento final do capítulo______________________________________ 1, (ICIVIS-SP-) Um capita! de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, durante três meses. Os montantes correspondentes obtidos segundo a capitalização simples e composta, respectivamente, valem: (A) (B) (C) (D) (E)

R$ R$ RS RS RS

2.180,00e 2.180,00e 2.185,45e 2.785,45e 6.180,00e

R$ 2.185,45 R$ 2.480,00 RS 2.480,00 R$ 2.480,00 R$ 4.394,00

2. (VUNESP) Trezentos detentos foram transferidos de um presídio superlotado e distribuídos em -outras duas penitenciárias, em quantidades diretamente pro porcionais ao número de vagas disponíveis em cada uma. Se a penitenciária A tinha 420 vagas disponíveis e se a penitenciária B recebeu 100 detentos, então o número de vagas disponíveis na penitenciária B era (A) (B) (C) (D) (E)

230. 210. 200. 180. 170.

"*1^

1 8 2 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

3. Numa viagem de navio, só existem ageiros de cinco nacionalidades: brasi leira, argentina, canadense, portuguesa e sa, e não existem pessoas com dupla nacionalidade. Sabe-se que: j 30% dos ageiros são argentinos; _

95% dos ageiros não são canadenses; 65% dos ageiros não são ses; O percentual de ageiros brasileiros é iguai ao percentual de ageiros portu gueses desse navio. Com base em todas as informações dadas, podemos garantir que o percentual de ageiros desse navio que são brasileiros é: (A) (B) (C) (D) (E)

10% 15% 20% 25% 30%

4. (BNB/2003) Uma loja oferece uma motocicleta por R$ 4.000,00 à vista ou por 50% deste valor à vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.200,00 após 4 meses. Qual é a taxa de juros simples mensal! cobrada? (A) 0,025% ao mês (B) 0,150% ao mês (C) 1,500% ao mês (D) 2,500% ao mês (E) 5,000% ao mês 5. (ÂFRE-CE/2006) Qual o capitai que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias? (A) (B) (C) (D) (E)

R$ 20.000,00. R$ 20.100,00. R$ 20.420,00. RS 22.000,00. R$ 21.400,00.

6. Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS R$ R$ RS

24.000.00; 20.800,00; 15.200.00; 12.500,00; 10.400.00.

C ap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

I

~

183

~

7. (TRF-ESAF/ 2006) Um Indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje. Considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos. (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS RS RS

1.380,00 1.371,00 1.360,00 1.349,00 1.344,00

8. (FCC) O preço de um aparelho eletrodoméstico é P reais. Como eu só possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$154,00 para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo é (A) (B) (C) (D) (E)

RS 254,00 RS 242,00 RS 237,00 RS 220,00 RS 210,00

9. (FCC) O preço para a execução de um trabalho de prótese dentária é o resultado da adição do custo do material com o valor da mão-de-obra. Em certo trabalho no qual o valor da mão-de-obra foi orçado em 80% do custo do material, o protético fez um desconto de 5% ao cliente, que pagou R$ 513,00. O preço estipulado pela mãò-de-obra desse trabalho foi de (A) (B) (C) (D) (E)

R$ 389,00 RS 300,00 R$ 285,00 RS 270,00 RS 240,00

10. (FCC) Se a razão entre dois números é 4/5 e sua soma é igual a 27, o menor deles é (A) (B) (C) (D) (E)

primo. divisível por 5. múltiplo de 7. divisível por 6. múltiplo de 9.

11. (FCC) Dois sócios constituíram uma empresa com! capitais iguais, sendo que o primeiro fundou a empresa e o segundo foi itido 4 meses depois. No fim de um ano de atividades, a empresa apresentou um lucro de R$ 20 000,00. Eles receberam, respectivamente, (A) RS 10.500,00 e R$ 9.500,00 (B) RS 12.000,00 e RS 8.000,00 (C) R$ 13.800,00 e RS 6.200,00

184

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(D) RS 15.000,00 e RS 5.000,00 (E) RS 16.000,00 e RS 4.000,00 12. (TRE FCC 2(^04) Um totai de 141 documentos devem ser catalogados por três técnicos judiciários. Para cumprir a tarefa, dividiram os documentos entre si, em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 24, 36 e 42 anos. . Nessas condições, o número de documentos que coube ao mais jovem foi (A) (B) (C) (D) (E)

78 63 57 42 36

13. (TRE FCC 2004) Certo dia, um técnico judiciário constatou que, de cada 8 pes soas que atendera, 5 eram do sexo feminino. Se, nesse dia, ele atendeu a 96 pessoas, quantas eram do sexo masculino? (A) (B) (C) (D) (E)

30 32 34 36 38

14. Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, o técnico de 30 anos recebeu (A) (B) (C) (D) (E)

2 4 4 6 9

micros a mais do que o de 24 anos. micros a menos do que o de 36 anos. micros a menos do que o de 24 anos. micros a menos do que o de 36 anos. micros a menos do que o de 24 anos.

15. (FCC 2008) Em uma partida entre Flamengo e Corinthians, o número de tor cedores do Flamengo está para o número de torcedores do Corinthians assim como 3 está para 4. Sabendo-se que, no jogo, a soma de torcedores dos dois times é igual a 25235, o número de torcedores do Corinthians presente no estádio é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

14580 14560 14520 14480 14420

16. (FCC 2008) Três pessoas organizaram um negócio entrando com capitais 5x _ — e — (jc é natural positivo e os valores estao em reais). Ao finai do primeiro


f

185

'

mês de negócio, o sócio que recebeu a menor parcela do lucro total ganhou R$ 1600,00. Sabendo que os três sócios repartem o lucro proporcionalmente ao capital que cada um investiu no negócio, o lucro total do negócio ao final do primeiro mês, em reai£, foi de (A) (B) (C) (D) {£)

7.100,00 7.000,00 6.900,00 6.800,00 6.700,00

17. (IRB ESAF/2004) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado. (A) (B) (C) (D) (E)

30% 31,3% 32,2% 33,1% 34%

18. (FCC 2008} Após um aumento de 15% no preço da gasolina, um posto ou a vender o litro do combustível por R$ 2,599. O preço do litro de gasolina antes do aumento, em reais, era igual a (A) (B)
2,31 2,26 2,23 2,21 2,18 -

19. (FCC) A cada dia o trânsito de São Paulo mata em média 4,3 pessoas („.). São 2 pedestres, 1,3 motociclistas, 0,8 condutor/ageiro, e 0,2 ciclistas mortos por dia. (Adaptado do O Estado de São Paulo, 8/09/08) De acordo com os dados, dentre as pessoas mortas diariamente com o trânsito de São Paulo, a porcentagem de motociclistas é de, aproximadamente, (A) (B) (C) (D) (E)

34% 32% 30% 28% 26%

20. Considere que uma máquina específica seja capaz de montar um livro de 400 páginas em 5 minutos de funcionamento ininterrupto. Assim sendo, outra má quina, com 50% da capacidade operacional da primeira, montaria um livro de 200 páginas após funcionar ininterruptamente por um período de (A) 2 minutos e 30 segundos.

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

186

.

(B) (C) (D) (E)

5 6 7 7

:

;

|

minutos. minutos e 15 segundos. minutos. minutos| e 30 segundos.

21. (IRB-2006/ESAF) Um capital de 1000 unidades monetárias foi aplicado durante um mês a 3% ao mês, tendo o montante ao fim do mês sido reapiicado no se gundo mês a 4% ao mês e o montante ao fim do segundo mês sido reapiicado no terceiro mês a 5% ao mês. Indique o montante ao fim do terceiro mês. (A) (B) (C) (D) (E)

1.170 1.124,76 1.120 1.116,65 1.110

22. (AFRE-CE/2006) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias? (A) (B) (C) (D) (E)

RS R$ RS RS R$

20.000,00. 20.100,00. 20.420,00. 22.000,00. 21.400,00.

23. (FCC) Certo dia, dois técnicos judiciários do Tribunal Regional do Trabalho efe tuaram a manutenção de X microcomputadores. Para a realização dessa tarefa, eles dividiram os X micros entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos no serviço público: 8 e 12 anos. Se o técnico com maior número de anos de serviço fez a manutenção de 16 micros, então X é um número (A) (B) (C) (D) (E)

ímpar. menor do que 10. divisível por 6. maior do que 30. quadrado perfeito.

24. Uma loja vende um aparelho de televisão por R$ 500,00 à vista ou então a prazo, com 20 % de entrada mais uma parcela de R$ 440,00 dois meses após a compra. A taxa mensal de juros compostos do financiamento, na forma decimal, é dada por: (A) (1 ,0 8 )*-1 ; (B) (1 ,1 0 )’ -1; (C) (1 ,1 2 5 )*-1 ; (D) (1 ,2 5 )*-1 ; (E) (1 ,1 2 )*-1 .

187

C ap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

25. (CESGRANRIO) Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar um mon tante de R$ 18.634,00, após 3 anos, a uma taxa composta de 10% a.a.? (A) (B) (C) (D) (E)

14.325,00 14.000,00 13.425,00 12.000,00 10.000,00

GABARIT O 2- B

4- D ;

5- B

6- E

7- A |

8 - E

9- E

10 - D

11 - B

12 - B

13 - D

14-E

15 - E

CÚ i

1- a :

16 - E!

17 - D

18 - B

19 - C

20 - B

21 - B

22 ~ B

23 - C

24 - B

25 - B

!

\

FUNÇÕES

FUNÇÃO PO LIN O M IA L DO 1.° GRAU Definição Chama-se função polinomial do 1.” grau, ou função afim, qualquer função / de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ^ 0 . Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente an gular de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1.° grau: f(x) = 5x - 3 , onde a = 5 e b = -3 f(x) = ~2x ~ 7, onde a = -2 e b = -7 f(x) = 1 Ijc, onde a ™ 11 e b = 0 Treinamento comentado 1. (Unisínos-RS) Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função f{x) = — — , em que x é o número de residências e f(x) é o í 00 + 2.t número de carteiros. Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, o número de residências desse bairro, que as receberam é: (A) 300

190

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(B) (C) (D) (E)

340 400 420 500

RESOLUÇÃO: Resumo: x é o número de residências e f(x) é o número de carteiros, x = ? e f(x) = 6 fíx) 6=

22x 500 + 2 * 22.v 500+2.V

22x = 6(500 + 2x) 22x = 3000 + 12x 22x - 12x = 3000 lOx = 3000 x = ^222 = 300 10 Resposta: letra A.

2. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de RS 8,00 mais custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida Sendo x o número de unidades produzidas: a) escreva a lei da função que fornece o custo j total de peças;

RESOLUÇÃO: «O valor de a é 0,50, pois é o fator de aumento por unidade e b = 8, pois b representa o Valor fixo ou custo fixo. F(x) = 0,50x + 8

•

b) calcule o custo de 100 unidades;

RESOLUÇÃO: F(x) = 0,50x + 8 F(100) = 0,50.100 + 8 F(100) = 50 + 8 = 58

Cap. 5 -F U N Ç Õ E S

191

Construção do Gráfico O gráfico de uma função poiinomial do l.° grau, y — ax -f b, com a ± 0 , é uma reta. Se a > 0 a função é chamada de crescente, e se a < 0 í função é decrescente. Exemplos: a > 0

a < 0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

192

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil/ar .

!

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo òonstante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y — a . 0 + b ^ b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do -ponto em que a reta corta o eixo Oy. Treinamento comentado 1. Encontre a lei da função dos gráficos abaixo:

RESOLUÇÃO: O gráfico nos apresenta as seguintes conclusões: Na função polinomial do 1.° grau temos os pontos (2,5) e (0,3) e b = 3 {ponto onde a reta toca o eixo Oy). O coeficiente angular pode ser encontrado pela fórmula: a = — —— X i — Xl

C ap. 5 - FUNÇÕES

r 5 -3

3

2-0

_2

193

_.

2

A função polinomial do 1.a grau tem a forma f(x) — ax + b. Logo a função do gráfico é: f(x) = x + 3.

RESOLUÇÃO:

■ :

O gráfico nos apresenta as seguintes condusões: Na função polinomial do a reta toca o eixo Oy),

grau temos os pontos (3,7) e (0,1) e b = 1 (ponto onde

O coeficiente angular pode ser encontrado pela fórmula: a = -*'2 ^’1 ;

■

■; X i — X i

A função polinomial do 1.a grau tem a forma f(x) == ax + b. Logo a função do gráfico é: f(x) = 2x + 1.

194


2. A depreciação de um equipamento industriai ocorre segundo uma função do 1.° grau. O equipamento vaie hoje R$ 8.000,00 e daqui a 6 anos, R$ 5.000,00. Coloque (C) para afirmação correta e (E) para afirmação errada. ( ) o gráfico abaixo representa a depreciação do equipamento.

nnnru’

O

->

6

x

( ) a função que representa a depreciação do equipamento é y = -50Gx + 8.000. ( ) a função que representa a depreciação do equipamento é crescente. ( ) daqui a 5 anos o valor do equipamento será ide R$ 5.000,00. ( ) daqui a 2 anos o valor do equipamento seráíde R$ 7.000,00. ( ) daqui a 15 anos o equipamento não terá valor.

RESOLUÇÃO: Resumo do texto: O equipamento vale hoje R$ 8.000,00 e daqui a 6 anos, R$ 5.000,00. Conclusão: b = 8000 (valor de hoje, logo x = 0} e temos os pontos (0, 8000) e (6, 5000) (C) o gráfico abaixo representa a depreciação do equipamento. 8.000=*^ 5.000

0

6

x

O gráfico está correto, pois a reta é decrescente, toca o eixo Oy no ponto 8000 e possui o ponto 6,5000. (C) a função que representa a depreciação do equipamento é y = -500x + 8.000. A função tem a forma f(x) = ax + b ou y = ax + b. Pontos: (0, 8000) e (6, 5000)


r a=

195

5 0 0 0 -8 0 0 0 3000 =-500 6 - 0 .. = - —

b = 8000. (E) a função que representa a depreciação do equipamento é crescente. A função é decrescente, pois o vaior de o é negativo. (E) daqui a 5 anos o valor do equipamento será de R$ 5.000,00. f(x) = -SOOx + 8.000 f(5) « -500.5 + 8000 f(5) = -2500 + 8000 f(5) = 5500 (C) daqui a 2 anos o valor do equipamento será de R$ 7.000,00. f(x) = -SOOx + 8.000 f(2) = -500.2 + 8000

'

f{2) ás -1000 + 8000 f(2) = 7000 (E) daqui a 15 anos o equipamento não terá valor. f(x) = -500x + 8.000 f(15) = -500.15 + 8000 f(15) = -7500 + 8000 f(15) « 500

;

No Brasil, a estabilidade econômica e a competição: globat mudaram a pauta das negociações entre patrões e empregados. Bom para todo mundo. Nos últimos anos, o número de greves no país caiu bem abaixo dos picos alcançados nas décadas anteriores e ficou maior a taxa de participação do setor público no total de paralisa ções. Esses números estão representados nas tabelas abaixo.

í / V ; .

. riúmét o de paraü jaçõesV-/:':..;-

1989

1990

1995

1996

2004

2005

2006

2.193

1.952

1.056

1.258

302

299

300

196

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VMar

1

■ localização dás greves

1996

em empresas privadas

69%

.

45%

em estatais e no governo

31%

55%

2ÕÒ5

Acerca das informações do texto acima, julgue o item que se segue. 3. Em um sistema de coordenadas cartesíanas xOy, em que, no eixo Ox, represen tam-se os anos e, no eixo Oy, os números de paralisações ocorridas em cada ano, o gráfico resultante corresponde a uma. função polinomial no intervalo 1989 < X < 2006.

RESOLUÇÃO: Função polinomial do 1.° grau possui uma relação linear, ou seja, a diferença dos valores de y é constante. Exemplo:

X

4 11

Podemos observar na relação acima què sempre que x aumenta;uma unidade o valor de y aumenta duas unidades, logo possui uma relação linear (crescimento ou decrescimento constante). Quanto aos dados fornecidos pela questão,'deve-se ter cuidado, pois os valores de x (tempo) aumentam de forma desproporcional. = 2193 - 1952 = 241 1258 -1056 = 202 Entre 1898 e 1990 o aumento foi de 241 e entre 1995 e 1996 foi de 202, veja que o x aumentou uma unidade e o y não manteve o padrão. Podemos concluir que a tabela abaixo não representa uma função polinomial do 1 ° grau.

número de paralisações

.

1989

1990

1995

1996

2004

2005

2006

2.193

1.952

1.056

1.258

302

299

300

Item errado.

C ap. 5 —FUN ÇÕ ES

197

Treinamento do concursando 1. (VUNESP) Por uma mensagem dos Estados Unidos para o Brasil, via fax, a Em presa de Correios e Telégrafos (ECT) cobra R$ 1,37 peia primeira página e R$ 0,67 por página que segue, completa ou não. O número mínimo de mensagens para que o preço ultrae o valor de R$ 10,00 é de: (A) (B) (C) (D) (E)

8 10 12 14 16

2. (Cesgranrio) O gráfico abaixo apresenta o preço de custo de determinado tipo de bis coito produzido por uma pequena fábrica, em função da quantidade produzida.

Se o preço final de cada pacote eqüivale a 8/5 do preço de custo, um pacote de Q,5kg é vendido, em reais, por: (A) 0,90 (B) 1,20 (C) 1,24 ’ (D) 1,36

(E) 1,44 3. O gráfico abaixo relaciona a quantidade, em quilogramas, de gás carbônico lançado no ar por um caminhão a diesei, em função da distância percorrida, em quilômetros.

Para transportar melões de Mossoró, no Rio Grande do Norte, até a capital paulista, um caminhão percorre aproximadamente 2.780 km. Quai é, em kg, a quantidade aproximada de CQ2 emitida pelo caminhão durante essa viagem? (A) 784


198

; (B) (C) (D) (E)

i

868 959 1.246 1.568

GABARITO ■1 - D

2- E

3~E

FUNÇÃO POLINOMXAL DO 2 .° GRAU OU QUADRÁTICA Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2.° grau, qual quer função / de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ^ 0 . Vejamos alguns exemplos de função quadrática: f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde

a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x 2 - 1, onde a = 1 ,

b = 0 e c = -1

f(x) = 2x 2 + 3x + 5, onde

a = 2 , b = 3 e c =5

f(x) = -x2 + 8x, onde a =

-l,b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = -4, b = 0 e c - 0 Gráfico O gráfico de uma ftmção polinomial do 2 .° grau, y = ax2 + bx + c, com a ^ 0 , é uma curva chamada de parábola. Obs.: ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada p ara cima;

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2 .° grau ax 2 + bx + c - 0 , as quais são dadas pela chamada formula de Bhaskara:

200


f (x) = 0 => ax2 + bx + c ~ 0=$ x =

■ b± sb2 —4 .a.c 2 .a

Temos: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática dependedo valor obtido para o radicando A = b2 —4 .a.c, chamado discriminante, a saber: «.quando A é positivo, há duas raízes reais e distintas; ° quando A é zero, há só uma raiz real; » quando A é negativo, não há raiz real. Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas gráficos: Ay

4a

V

201

Cap. 5 - FUNÇÕES

r A

V

a<0j

4a •> x

Dica: Ponto do vértice (Xv, Yv). Xv é o valor de x do vértice e Yv o valor de y do vártice, Se a > 0, então Xv representa o ponto de mínimo e Yv o valor mínimo. Se a < 0, então Xv representa o ponto de máximo e Yv o vaior máximo. Sempre que a questão pedir o vaior máximo ou mínimo, então calcularemos o Yv.

NÃO ESQUEÇA: À = b2 - 4 ac

Treinamento comentado 1. (CEF) Uma certa indústria fabrica um único tipo de produto, que é vendido ao preço unitário de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indústria, em reais, é calculada pela expressão R(x) = 80,00Dx - 8.000x2, então, para que

202


seja gerada uma receita mensal de R$ 200.000,00, cada unidade do produto fabricado deve ser vendida por: (A) (B) (C) (D) (E)

R$ RS R$ R$ RS

6,00 5,50 5,00 4,50 4,00

. |

RESOLUÇÃO: A questão quer saber qual deve ser o Valor de x para que seja gerada uma receita de 200 .000 ,00 .

80.000X - 8.000X2 = 200.000 Podemos dividir todos os termos da equação por 1,000, pois ambos os termos sãò divisíveis por 1.000 . '

80.000X - 8.000x2 = 200.000 (: 1.000) 80x - 8X2 = 200 -8x2 + 80x - 200 = 0 (. -1) 8X2 - 80x + 200 = 0 Podemos dividir todos os termos da equação por 8, pois ambos os termos são divisíveis por 8 . 8x2 - 80x + 200 = 0 {: 8) 'X2 -

lOx + 25 = 0

x, = x 2 = 5 Resposta: letra C.

2. (PUC-MG) O valor máximo da função f{x) = -Xa (A) (B) (C) (D)

2x + 2 é:

2 3 4 5

(É) 6

RESOLUÇÃO: A questão pediu o vaior máximo, logo devemos calcular o Yv. f{x) = -x2 + 2x + 2


r

203

A = b2 - 4ac A = (2)2 - 4.(-1).2 A=4+8 A =12 4 £7

4 .( - l) - 4

3. Um jogador de futebol chuta uma bola que descreve uma trajetória de acordo com a função y = -2xz + 16x, onde y é a altura, em metros, e x é a distância horizontal percorrida pela bola, também em metros. Qual a altura máxima atin gida pela bola e a distância horizontal do ponto de partida até o ponto onde a bola toca o chão pela primeira vez? (A) 32m e 4m (B) 32m e 8m (C> 256m e 4m (D) 8m e 2m (E) 256m e 2m

RESOLUÇÃO: A questão fez dois pedidos: o vaíor máxímo (Yv) e o ponto onde a bola toca no

204

MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil/ar

Vamos calcular a altura máxima. y = -2x2 + :16>j. a = -2, b = 16 e c = 0 A = b2 - 4ac A = (16)2 - 4.(-2}.0 A = 256 + 0 A = 256 Yv - - A . = - 2 5 6 = ^ 2 5 6 = 32 m 4a 4( —2) -8 Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, o ponto onde a bola toca o chão. -2x2 + lõx = 0

Resposta: letra B.

Treinamento do concursando 1. (CEFET-PR) O maior valor que y pode assumir na expressão y = -x2 + 2x é: (A) (B) (C) (D)

1 2 3 4

(E) 5 2. Uma bola é lançada de uma certa altura h, expressa em metros, com a trajetória na forma h = -St1 + 18t + 21, sendo o tempo t expresso em segundos. Qual a altura máxima atingida peia bola? (A) 16m (8) 32m (C) 48m (D) 64m (E) 80m

205

Cap. 5 - FUNÇÕES

I

1

3. (FGV-SP) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2xz - 100x + 5000. O valor do custo mínimo é: (A) (B) (C) (D) (E)

3250 3750 4000 4500 4950

4. (TRE) O cientista Galileu GalHei (1564-1642) estudou a trajetória de corpos lan çados do chão sob certo ângulo, e percebeu que eram parabólicas. Acausa disso, como sabemos, é a atração gravitaciona! da terra agindo epuxando de volta o corpo para o chão. Em um lançamento desse tipo, a altura y atingida pelo corpo em relação ao chão variou em função da distância horizontal x ao ponto de lançamento de acordo com a seguinte equação:

5.v

y = ___ —

5x-

(x e y em metros)

A altura máxima em relação ao chão atingida pelo corpo foi: (A J ^ m < B )fm (C) ~m 4 (D) 2,0 m (E) 1,0 n f

GABARITO < I

2- C

3- B

U I ■sf

Treinamento final do capítulo 1. (FCC) Durante um treinamento da guarda municipal, uma bola foi lançada ver ticalmente para cima a partir do solo. A relação entre a altura h da bola em relação ao solo (em metros) e o tempo t (em segundos) respeita a equação h(t) = -5t3 + lQt. Depois de quantos segundos, contados a partir do lançamento, a bola retorna ao solo? (A) 3,5 (B) 3,0

206

MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(C) 2,5 (D) 2,0 (E) 1.5 2. (FCC) Para ajudar a proteger o centro ecológico municipal, foram coletados dados e construído o gráfico de uma função de segundo grau que relaciona o numero de visitantes (n) ao desgaste do solo, por área (A), do parque.

O domínio da função é de zero a 100 pessoas, e o vértice da parábola que repre senta a função, tem abscissa 100 . Qual das equações abaixo representa a função?; (A) A{n) (B) A{n) (C) A{n) (D) A{n) (E) A(n)

= "0,002n2 + 0,4n = 0,002n! - 0,4n - -0,02n2 + 0,4n = 0,02n2 - 0,4n = -0,2n 2 + 4n

3. (FCC) Depois de várias observações, um agricultor deduziu que a função que melhor descreve a produção (y) de um bem é suma função do segundo grau y = ax2 + bx + c, em que x corresponde à quantidade de adubo utilizada. O gráfico correspondente é dado pela figura abaixo.

0

10

C ap. 5 - FUNÇÕES

207

Tem-se, entao, que: ; (A) (B) (C) (D) (E)

a a a a a

= = = = =

-3, -3, -4, -4, -6,

b= bb* b= b=

60 e c;= 375 75 e cj = 300 90 e c = 24b 105 e c = 180 120 e c = 150

4. (CESGRANRIO) O Programa de Fazendas Marinhas da Ilha Grande oferece treina-

üm fazendeiro investiu U$ 50.000,00 na montagem de uma fazenda marinha, mais U$ 9,000,00 em sementes de vieira. Se todas as vieiras cultivadas forem vendidas, todos os custos serão cobertos e o fazendeiro lucrará, em dólares, (A) 137.500,00 (B) 128.500,00 (C) 97.500,00 (D) 82.250,00 (E) 40.250,00 5. (CESGRANRIO) O Gráfico I apresenta a variação na cotação do barril tipo leve americano, durante cinco dias do mês de julho.

208

MATEMÁTICA E R AC iO CÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno W far

Gráfico I - PETRÓLEO (barril tipo leve americano)

Observe, agora, o Gráfico il, no quai a variação na cotação do barril tipo teve america no, no mesmo periodo, é considerada linear, constituindo uma função de 1.° grau. Gráfico II - PETRÓLEO (barril tipo leve americano)

Se a variação na cotação do barril tipo leve americano tivesse ocorrido como apre sentado no Gráfico H, o preço do barri! no dia 16/7 seria x dólares mais alto. Pode-se concluir que x é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

1,98 2,08 2,28 2,48 2,68

Cap. 5 - FUNÇÕ ES

r ~

209

:

-------------- '—

6. (CESPE) Em Economia, a demanda por x unidades de um produto ao preço unitário de p unidades monetárias (u.m,) é dada por uma equação envolvendo essas variáveis, chamada equação de demanda. Também a oferta de x unidades de um produto ao preço unitário de p u.m. é dada por uma equação, chamada equação de oferta. Considerando que as equações de oferta e de demanda de um certo produto são dadas por p - 2x ~ 1 e 2p + x = 12, respectivamente, julgue os itens subsequentes. 01. A quantidade demandada deverá ser menor que 12 unidades, se o preço unitário for maior ou iguai a 1 u.m. 02. Se nenhuma quantidade do produto for oferecida, então o preço por unidade deverá ser maior que 2 u.m. 03. O preço do produto tende a subir, se a demanda aumentar de 6 para 10 uni dades. 04. O preço de equilíbrio, isto é, quando a oferta e a demanda coincidem, ocorre quando apenas duas unidades são disponíveis. 05. O gráfico abaixo pode representar corretamente as equações de oferta e demanda consideradas.

GABARITO 1- D

2- A

3- A

4 -8

5- D

6 - C-E-E-C-C

SEQUENCIAS NUMÉRICAS

SEQÜÊNCIAS NUM ÉRICAS A seqüência numérica pode ser representada de três formas: 1.a) Por formulai de recorrência São dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo (aj) e a outra para calcular cada termo a partir do antecedente (an ]). Exemplo: Determine o quarto termo da seqüência que obedece à seguinte fór mula de recorrência: a.1 = 4 e an = an - 1. + 3 RESOLUÇÃO: a ,- 4 a2 = a, + 3 = 4 +' 3 = 7 a3 = a, + 3 = 7 + '3 = 10 a = a, + 3 = 10 + 3 = 13

2.a) Expressando cada termo em função de uma posição Exemplo: Escreva os três primeiros termos da seqüência que obedecem à lei a = 2 n.

212

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

RESOLUÇÃO:

a. = 23 = 8

3.a) Expressando a séquência a partir de uma íei de formação Exemplo: Escreva a seqüência dos números primos em ordem crescente. S = {2, 3, 5, 7, 11...} Treinamento com entado 1. (FCC) Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de for mação.

O número de circunferências que compõem a 100.° figura dessa sucessão é (A) (B) (C) (D) (E)

5 151 5 050 4 950 3 725 100

RESOLUÇÃO: Essa seqüência de circunferência é chamada de números triangulares.

Na questão queremos o 100.° número da figura,

t ioo = ioo(ioo+t) - ^Qtí.ioi _ 2 Resposta: letra B.

;

Í

;

50.101 =

5050

C ap . 6 - SEQ Ü ÊN CIAS NUMÉRICAS

213

2. (FCC) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma lei de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão, obtém-se um número compreendido entre (A) (B) (C) (D) (E)

150 e 170 130 e 150 110 e 130 90 e 110 70 e 90

■ RESOLUÇÃO: 1.° 0

. 2.° 0 + 1 “ 1 " : 3." 1.3 = 3 : 4.° 3 + 1 — 4 5 “ 4.3 = 12 6 .° 12 + 1= 13 I P 13.3 = 39 8 .° 39 + 1 = 40

9.° 40.3 = 120 ■

10. ° 120

- \-

1

=

121

Assim, 4 0 + 121 — 161. Resposta: letra À.

3. (FCC) Em relação à disposição numérica seguinte, assinale a alternativa que preenche a vaga assinalada pela interrogação: 2

8

(A) 1 (B) (C) (D) (E)

4 3 29 42

5

6

8

?

11

MATEMÁTICA E RACIOClNÍO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno VMar

214

1 RESOLUÇÃO: Temos duas seqüências: 2-5-8-11. Essa Seqüência aumenta de três em três. 8-6-? Essa seqüência diminui de dois em dois. ~ Considerando a segunda seqüência dessa forma, o número que preenche é o 4. Resposta: letra B.

4. (CEF CESGRANRIO) ",

2

;

■a2 = 3 Gn = Qn-\ ~~ ün-2

,

Qual é o 70.° termo da seqüência de números (an) definida acima? (A) 2 (B) 1 (C) -1 (D )-2 (E) -3

RESOLUÇÃO: a« = 2 a2 = 3

'

V;'R:./ ...

a3 = a2 - a, =

3-2= 1

■a4 = a3 - a, ~

1 - 3 - -2

as = at - a3 =

-2 - 1 ~ -3

:: \

■- ’■!■ .:

a6 - a5 - a., = -3 - (-2) = -3 + 2 =

-1. ' . ^ j ..

a7 = ae - a5 = -1 - (-3) ~ -1 + 3 =

2

2, 3, 1, -2, -3, -1, 2, 3, 1 ... Podemos observar que a seqüência mantém o padrão a cada 6 termos.

70 [6 10 11 4

-

;

O 4.° termo da seqüência é -2. Resposta: letra D.

215

Cap. 6 -S E Q Ü Ê N C IA S N UM ÉRICAS

j

:

:

T rein a m en to do co n c u rsa n d o (NCE) Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série è: (A) (B) (C) (D) (E)

2 3 4 5 6

2. (FCC) Considere a seqüência: (16, 18, 9, 12, 4, 8, 2, X) Se os termos dessa seqüência obedecem a uma lei de formação, o termo X deve ser igual a (A) 12

(B) 10 (C) 9 (D) 7 (E )5 3. (FCC) Abaixo apresentam-se as três primeiras linhas de uma tabela composta por mais de 20 linhas. O padrão de organização observado mantém-se para a tabela toda.

1j

2

4

8

16

1

3

9

27

81

1i

4

16

64

256

Nessa tabela, o número localizado na 7.° linha e 3,a coluna

é

(A) 64 (B) 49 (C) 36 (D) 8

(E) 7 4. (FCC) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: 9, 16, 25, 36, (A) 45 (B) 49 (C) 61

216

MATEMÁTICA ê RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

(D) 63 (E) 72 5. (FCC) Assinald a alternativa que substitui a letra x.

(A) (B) (C) (D) (E)

29 7 6 5 3

2 -D

3- A

;

! O

GABARITO

4- B

5 ~.C

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Progressão aritm ética é toda seq ü ên cia em que cada term o, a partir do segundo, é igual ao antecedente som ad o de um a constante razão. E xem plos: a) (3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) razão = 2 b) (8 , 4 , 0, -4 , -8 , -1 2 , ...) razão = - 4

Cálculo da razão A razão é a diferença d e um term o da P.A. p elo term o anterior.

Cap. 6 - SEQ Ü ÊNCIAS NUMÉRICAS

Exem plo: 1. Q uanto vale a razão de cada P.A.? a) (5 , 8 , 11, 14, ...)

,

b) (7 , 4 , 1, -2 , ...)

RESOLUÇÃO: a) (5r 8r 17, 14, ...) r = 8 - 5 = 3 ou r = 11 - 8 = 3 ou r = 14 - 11 = 3 b) (7, 4, 1,-2, ...) r = 4 - 7 = -3

Fórmula do termo geral de uma P.A. an = a l + ( n -

l).r ou a n = a 1 + (k - l).r

SE LIGUE! a, é o primeiro termo n é o número de termos r é a razão

■

ané o enésímo termo

Treinam ento co m en ta d o 1. Dada a P.A. (-8, -5, -2, 1,

RESOLUÇÃO: r = -5 - {-8} = -5 + 8 = 3 a, = '8

determine o vigésimo termo.

217

218

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO ~ Bruno W /a r

an = a 1 + (n > 1).‘r aJ0 = a, + (20 -|1).r a20= -8 + (20 - 1)3 -

a,0= -8 + 19.3

a,0 = 4 9

2. (Cesgranrio) "O consumo de eletricidade para a produção de alumínio é altamente intensivo, porém vem decrescendo sistematicamente. Enquanto que, em 1950, a indústria consumia 24.000kwh/t, as modernas fundições de hoje consomem 13.000kwh/t” Balanço mineral brasileiro - 2001, dísponível em http://www.dnpm.gov.br (adaptado) Considere que o consumo de eletricidade para a produção de alumínio tenha decrescido em progressão aritmética, década após década, chegando a 13.0Q0kwh/í em 2000. Desse modo, o consumo de eletricidade para a produção de alumínio na década de 80, em kwh/t, era: (A) (B) (C) (D) (E)

22.000 19.400 18.600 17.400 15.600

RESOLUÇÃO: 1950: a, = 24000 1960: 1970: a3 1980: a4 1990: a5 2000: a6,= 13000 Vamos primeiro encontrar a razão: a6 = a, + (6 - 1).r 13000 = 24000 + 5r -5r = 24000 - 13000 -5r = 11000 (-1)

5r = -11000

Cap. 6 -S E Q U Ê N C iA S NUMÉRICAS

219

r ~ -11000 —-2200 5

Agora, vamos encontrar o a,: a. = a, + (4 - 1).(-2200) a. ~ 24000 + 3.{-2200) a , « 24000 - 6600 a, = 19400 Resposta: letra B.

Soma dos “n” primeiros termos de uma P.À (a , + a j . n

Treinamento comentado 1. (Uneb) Um pai fez depósitos mensais na caderneta de poupança de seu filho. No primeiro mês o depósito foi de R$ 10,00, no segundo mês foi de R$ 15,00, no terceiro mês foi! de RS 20,00 e assim por diante, depositando R$ 5,00 a mais do que havia depositado no mês anterior. Feito o 24.° depósito, o total depositado por ele era: (A) (B) (C) (D) (E)

R$ R$ R$ R$ R$

1630,00 1620,00 1615,00 1610,00 1600,00

RESOLUÇÃO:

>

A questão pediu o montante depositado após o 24° depósito, logo a soma dos 24 primeiros termos da P.A. c

_ 24

(a i + «24).24

9

220


Temos o valor de aJ( mas precisamos calcular o termo aK. a, = 10 (1.° depósito) r = 5 (aumento do depósito) aJ4

~ a, + (24 - 1).5 = 10'+' 23.5

374 = 10 + 115 a,4 - 125 r b2-;

(a,

íi2.,).24“

2:= (10 + 125).12

5^2-1= 135.12 s i 1620

Resposta: letra B.

2. (FCC) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 1200,00 e vai devolvê-fa com juros que totalizam R$ 750,00. O pagamento será feito em 10 prestações, sendo cada uma delas maior que a anterior em RS 10,00. O valor da primeira prestação deverá ser: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS RS RS

130,00 140,00 150,00 160,00 170,00

RESOLUÇÃO: S)0 = 1200

750 = 1950

r = 10 (aumento na prestação) _ (a, + a ,o).10 10 ^ Nesse caso devemos oíhar com cuidado, pois não temos o valor de a, nem de aí0. A solução é colocar aID em função de at. aio = a, + oo - D-r a)O= a , + 9.10 a)0 = a, + 90

;

: :

V

Cap. 6 - SEQ Ü ÊN CIAS NUMÉRICAS

221

r

10

( a ,+ a lo). 10~ yj.

S)0= (a, + a, + 90).5 1950 = (2a, + 90) .5 1950 = 10a, + 450 -10a, = 4 5 0 - 1950 -10a, = -1500 (-1) 10a, -1 5 0 0 1

10

3. (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética. Em uma penitenciária que albergava 1.000 detentos, foi traçado um plano de fuga. Para que os fugitivos não fossem pegos pelos policiais que faziam a ronda do lado de fora, as fugas aconteceram em intervalos de 15 minutos, da seguinte forma: à 0 hora de domingo, 1 detento fugiu; 15 minutos depois, 3 detentos fugiram, à 0 hora e 30 minutos, outros 5 detentos fugiram, e assim sucessivamente. Quando restavam 424 detentos ainda dentro da penitenciária se preparando para a fuga, o plano foi descoberto e nenhum destes conseguiu se evadir. Nessa situação, o último conjunto de detentos que conseguiu se evadir era formado por mais de 50 elementos.

RESOLUÇÃO: .

a, = 1 '■

1 a3 = 3 r~ 3- í = 2 an = a, + (n-1).r an = 1 + (n - 1}.2 Sn = 1000 - 424 = 576

■ s =

+

5?6 ... [! + ! + (« -1 )2 ].» 2 = (2 + 2 /7 -2 )» 1

'■

■

222

MATEMÁTICA E R AC IO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar

576 = n2 n2 = 576

: ■? ■ ■'

n = ^576 n = 24 Agora vamos descobrir quantas pessoas tinha o grupo aJ4. a„ = a, + (n - 1).r a,4 ~ 1 + (24 - 1).2 a2.5 = 1 + 23.2 a24 = 1 -f- 46

Item errado.

Treinamento do concursando 1. Em um restaurante, os preços de três pratos estão em progressão aritmética de razão R$ 12,00. Se o primeiro e o segundo prato custam juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro custam juntos: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS R$ RS

54,00 60,00 66.00 68,00 70,00

2. (FCC) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua cole ção de bolas de gude e formou uma seqüência de “T" (a iniciai de seu nome), conforme a figura:

ooo o o

ooooo o o o o

ooooooo D

o o o o o

C ap. 6 - SEQ Ü ÊN CIAS N UM ÉRICAS

:

1

j

:

223

H

Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T" completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: (A) (B) (C) (D) (E)

exatamente 41 boias de gude. menos de 220 bolas de gude. pelo menos 230 bolas de gude. mais de 300 bolas de gude. exatamente 300 bolas de gude.

3. (CEF) Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um depósito inicial de R$ 120,00 e, a partir dessa data, fez depósitos mensais nessa conta em cada mês depositando R$ 12,00 a mais do que no mês anterior. Ao efetuar o 19;° depósito, o total depositado era de (A) (B) (C) (D) (E)

RS 3.946,00 RS 4.059,00 R$ 4.118,00 RS 4.277,00 RS 4.332,00

4. (Vunesp) Um estacionamento cobra R$ 4,00 pela 1.a hora. A partir da 2.3, cujo valor é de R$ 3,00, até a 12.a hora, cujo valor é de R$ 0,80, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado cinco horas nesse local, quanto gastará seu proprietário? (A) (B) (C) (D) (E)

RS 14,68 RS 10,98 RS 13,36 RS 9,36 n.d.a

;

5. (CESGRANRIO) O gráfico abaixo mostra as variações do “risco-Brasil” nos dias 9, 10 e 11 de janeiro. A EVOLUÇÃO DO RISCO-BRASIL (em pontos centesimais)

284 282 277 9/01

10/01

11/01

Segundo reportagem ipublicada no Jornal O Globo de 12 de janeiro de 2006, a con fiança dos investidores estrangeiros no país vem aumentando e, em conseqüência, reduziu-se gradativamente o chamado “risco-Brasil". ; Se a variação linear observada de 10/01 para 11/01 se repetisse nos dias subsequentes, em que dia de janeiro o “risco-Brasil" atingiria um valor inferior a 200 pontos centesimais? (A) 21

224

MATEMÁTiCA E RACIO CÍNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(B) (C) (D) (E)

|

22 23 24 25

6. (CESGRANRIO) “Modelo de Gestão do abastecimento está preparado para a expansão da Petrobras (...) A carga a ser processada nas refinarias da Petrobras no Brasil e no exterior deverá ar dos atuais 2 milhões de barris por dia para 2,5 miihões em 2012 (...)." Noticia publicada em 07 maio 2008. Disponívei em: http://www.agenciapetrobrasdenoticias.com.br/ Se, de 2008 a 2012, a carga processada diariamente pelas refinarias da Petrobras aumentar, anualmente, em progressão aritmética, quantos milhões de barris diários serão produzidos em 2011 ? (A) (B) (C) (D) (E)

2,375 2,250 2,200 2,125 2,100

1- c

2- C

3- E

•ti I >

GABARITO

5 -8

6_A

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Progressão geométrica é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante, chamada razão (q). Exemplos: (2, 4, 8 , 16, ...) q = 2 (1, 1/2, 1/4, 1/8) q - 1/2 Cálculo da constante da P.G. Cln q

=

Cln - 1

C ap. 6 - SEQ ÜÊNCIAS NUMÉRICAS

225

Fórmula do termo geral an = a.1 . q* n ' 1

ou

an = a.k . q* n ‘ k

Treinamento comentado 1. Qual é o primeiro termo de uma P.G. de razão 2, sabendo-se que o sétimo termo é 64?

RESOLUÇÃO: a, « 7 r= 2 . a7 = 64 an = 3 .-qn

a7 = a1.q7* 1 64 = ar 2ú 64 = 64a, a, - 1

2. Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último 486, calcular a razão dessa P.G.

RESOLUÇÃO:

a, = 2 a, = 486

q=? ac = 486 = 2.qs 2q5 = 486 q= = 486

2 q5 = 243

V ■ ■

Dica: 243 - 35 q5= 35 q = 3

226

MATEMÁTICA E RACIOClNJO LÓ G IC O QUANTíTATiVO -------------------------------------------------------- ;

Bruno Villar

]

3. (CESPE) Em algumas experiências com animais, é importante que as idades deies sejam conhecidas tão exatamente quanto possívef. Além disso, tanto quanto for possível, essas experiências devem ser feitas com animais de diferentes idades. A partir dessas informações, considere que, em determinada experiência, diversos animais tenham sido escolhidos de modo que as suas idades formassem uma progres. são geométrica. Sabendo-se que o animal mais jovem escolhido para a experiência tinha 2 semanas de vida e o quinto animal mais jovem tinha 162 semanas de vida, é correto concluir que a razão da progressão geométrica formada pelas idades dos animais escolhidos para a experiência é igual a (A) 32 (B) 17 (C) 3

(D) 2

RESOLUÇÃO: a,

= 2

a5 = 162 a5 = a,.q5" 162 = 2.q4 2q’ = 1 6 2 q«= 162

2

q4 = 81

q ’ = 34

•

q= 3 Resposta: letra C.

Soma dos V s

=

primeiros termos de uma P.G.

M g " -1 )

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

Cap. 6 - SEQ U êN C IA S N UM ÉRICAS

227

Treinamento comentado 1. Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (3, 6, 12, ...}

RESOLUÇÃO: a' = ! 2 q= 3 =2 a ,(q " -l)

s =

q-1

3 ( í210- 1 ) .

!0

2-1

S50= 3.(1024 - 1) 5«j” 3*1023 Sl0 = 3069

2. (TRT/SC - 05) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira isemana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o nú mero tota! de árvores dessa plantação é: (A) (B) (C) (D) (E)

menor que 824 igual a 1024 íguaf a 1030 igual á 1320 maior que 1502

RESOLUÇÃO: a, = i

;

;

\=2 _ 2 H

1

s = aifo” - 1) • n ! q -l

■ :

q « 1(2I0-1)

,0

.

;

■

;

2-1

S,0= 1.(1024 - 1) S,0= 1.1023 = 1023 1023 (doentes) + 7 (não adoeceram) = 1030 Resposta: letra C.

228


1

Treinamento do concursando_____________________ _____ 1. Em um determinado jogo, o prêmio pago ao acertador é 10 vezes o valor da aposta. José resolve, então, jogar e apostar R$ 2,00 na 1.° vez, e nas rodadas seguintes aposta sempre o dobro da aposta anterior. José acerta somente na 8.a vez e não joga mais. Considerando-se o montante que José investiu até a 8.a jogada e o que ganhou, o seu lucro, em reais, foi de: (A) (B) (C) (D) (E)

256 510 1350 2050 2560

2. No dia 1.° de dezembro, uma pessoa enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia 1.° enviou-a para outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também a enviou para outras duas novas pes soas. E assim sucessivamente. Se, do dia 1.° até o final do dia 6 de dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é: (A) (B) (C) (D) (E)

12 24 52 63 126

3. (CESGRANRiO) Mauro fez quatro depósitos mensais em sua caderneta de poupança, sempre dobrando o valor em relação ao mês anterior. Se, ao todo, Mauro depositou R$ 300,00, o valor, em reais, depositado no último mês foi (A) (B) (C) (D) (E)

80,00 120,00 140,00 160,00 200,00

GABARITO D l 3- D

2- A

229

C ap. 6 - SEQ ÜÊNCIAS NUMÉRICAS

j

:

=

-

Treinamento final do capítulo________________ 1. (CESGRANRIO CEF 2008) Torneira

1>a

L-^nn

3 IQm

.

l,5m

2."

3.a

4.a

50.a

q

3

s

u

,

l,5m

. 1,5m

51.3 s

l,5m

Em um caminho retilineo há um canteiro formado por 51 roseiras, todas enfileiradas ao iongo do caminho, como ilustrado. A distância entre quaisquer duas roseiras consecu tivas é 1,5 m. Nesse caminho, há ainda uma torneira a 10,0 m da primeira roseira. Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para isso, utiliza um regador que, quando cheio, tem capacidade para molhar 3 roseiras. Dessa forma, Gabriel enche o regador na torneira, encaminha-se para a 1.a roseira, molha-a, caminha até a 2.a roseira, molha-a e, a seguir, caminha até a 3,a roseira, molhando-a também, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fica vazio, Ga briel voita è torneira, enche o regador e repete a rotina anterior para as três roseiras seguintes. No momento em que acabar de regar a ultima das roseiras, quantos metros Gabriel terá percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez? (A) (B) (C) (D) (E)

1666,0 1581,0 1496,0 833,0 748,0

2, (CESGRANRIO) Nos últimos seis anos, o brasileiro vem trocando o cheque pelo “dinheiro de plástico” e, cada vez mais, efetua pagamentos utilizando cartões de crédito e de débito. O gráfico abaixo apresenta o número de transações efetuadas com cartões no Brasil, de 2000 a 2006.

Fonte: Federação Brasileira de Bancos / Associação Brasileira de Empresas de Cartões de Crédito.

Os dados acima mostram um aumento linear no número de transações, de 2000 a 2003. Se esse ritmo tivesse sido mantido nos anos seguintes, o número de transa-

MATEM ATI CA E RACIOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

230

ções com cartões teria sido, em 2006, x bífhões menor do que realmente foi. Pode-se concluir que x é igual a:

(A) 1,2 (B) 1,6 (C) 2,2 .

l

(D) 2,7 (E) 3,1

3. (CESGRANRIO) Em 15 partidas que certo time de futebol disputou em um campeonato, houve x empates, y derrotas e z vitórias. Se x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 2, quantos jogos esse time venceu? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 4. (CESGRANRIO) A reciclagem de pneus vem aumentando no Brasil. Segundo dados da Associação Nacional das Empresas de Reciclagem de Pneus e Artefa tos de Borracha, publicados na Revista Veja de 21 de janeiro deste ano, foram recicladas, no Brasil, 241 mil toneladas de pneus em 2006 e serão recicladas 280 mil toneladas em 2008. Se o aumento linear observado de 2006 para 2008 se mantiver nos próximos anos, quantos milhares de toneladas de pneus serão reciclados em 2014? (A) 375 (B) 397 (C) 403 (D) 514 (E) 526 5. (CESGRANRIO) Uma seqüência de números (at, a^ a3,~.) é tal que a soma dos n primeiros termos é dada pela expressão Si, = 3n2 + n. O valor do 51.° termo é (A) 300 (B) 301 (C) 302 (D) 303 (E) 304 6, (FCC) Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundo um certo critério.

C ap. 6 - SEQ Ü ÊN CIAS NUMÉRICAS

figura 1

figura 2

figura 3

o o ©

2 31

figura 4 © o © 0

©

©©©

080000

©

0

©

0 O

Se tal critério for mantido para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 15 deverá ser (A) (B) (C) (D) (E)

69 67 65 63 61

7. (FCC) Observe a seguinte seqüência de figuras formadas por “triângulos”:

A A A A A figura 1

A A A A A A A A figura 2

IA A A A A A A A A A A A A figura 3

Continuando a seqüência de maneira a manter o mesmo padrão, é correto concluir que o número de utriângulosn da figura 100 é (A) (B) (C) (D) (E)

403 401 397 395 391

8. (FCC) A sucessão dos números naturais pares é escrita sem que os algarismos sejam separados, ou seja, da seguinte forma: 024681

0 1 2 1 4 1 61 8 2 0 2 2 2 4 2 6 2 8

Nessa sucessão, o algarismo que deve ocupar a 127 (A) 0

(B) 2

posição é o

232

' MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

1 (C) 4 (D) 6 (E) 8 ! 9. (CESGRANRIO) “HBio” é um processo de produção de diesel, a partir de óleos vegetais, utilizado pela Petrobras. No final de 2007, a produção de diesel por esse processo era de 270 mif m3/ano. A expectativa é de que, em 2012, esta produção chegue a 1,05 milhão m3/ano. Supondo-se que tal expectativa se cumpra e que o aumento anual na produção “HBio” de diesel se dê linearmente, formando uma progressão aritmética, quantos milhões de m3 serão produzidos em 2009? (A) (B) (C) (D) (E)

0,560 0,574 0,582 0,660 0,674

10. (CESGRANRIO) Leia o texto abaixo para responder á questão 10. “A expectativa de vida do brasileiro aumentou (...), seguindo uma tendência mundial. (...) Para os brasileiros nascidos em 2004, a expectativa de vida é de 71,7 anos. (...) O aumento reflete melhorias nos serviços de saúde pública e de saneamento (.„). Em 1980, a expectativa de vida no Brasil era de 62,6 anos. (...) Os dados regionais mais uma vez, confirmam as desigualdades entre as unidades da federação. Enquanto no primeiro colocado, o Distrito Federal, um bebê nascido em 2004 terá esperança de viver 74,6 anos, um bebê nascido em Alagoas, no mesmo ano, terá uma esperança bem abaixo da média nacional: 65,5 anos." Se, de 1980 a 2004, a expectativa de vida dos brasileiros tivesse aumentado linearmente, um brasileiro nascido em 1990 teria uma expectativa de vida, em anos, de, aproximadamente: (A) 65,9 (B) 66,4 (C) 67,1 (D) 67,3 (E) 68,1

G A B A R IT O

1- B

2- D

3- C

4- B

5- E

6- D

7- B

8- B

9- C

10 - B

ANALISE COMBINAT0RIA E PROBABILIDADE

Esse tópico sempre deixa as pessoas com medo, pois muitas acham difícil* Para ser sincero, não é possível ensinar Análise Combinatória, mas sim mostrar os casos mais cobrados. Mas como assim, não tem como aprendermos? Acontece que, nesse assunto, quando se muda uma palavra, muda-se a questão. Nas minhas aulas, as perguntas são as seguintes: como vou saber quando é arranjo, combinação, princípio fundamental de contagem ou permutação? Nisso poderei ajudar com algumas dicas e macetes de in terpretação. Tenho certeza de que, depois desse capítulo, vocês irão desmistificar muitas coisas sobre Análise Combinatória, como, por exemplo: não é necessário estudar arranjo, porque todas as questões sobre esse assunto podem ser respondidas pelo princípio fundamental de contagem, que será nossa base. Princípio F undam ental de Contagem (PFC) É o total de possibilidades de o evento ocorrer. Princípio multiplicativo: P,.P 2.P3........Pn. (regra do **e”) Princípio aditivo: Pt + P2 + P3 + ... + Pn. (regra do “ou”) Como saber que a questão pode ser resolvida pelo PFC? E sim ples! Toda escolha sucessiva é calculada pelo PFC.

234

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÕGiCO QUANTITATIVO - Bruno W lar

Treinamento comentado 1.

Apesar de todos os caminhos levarem a Roma,: eles am por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ír da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, quaf a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, ando necessariamente por B? (A) (B) (C) (D) (E)

Oito Dez Quinze Dezesseis Vinte

RESOLUÇÃO: Observa-se que temos uma sucessão de escolhas: Primeiro de A para B e depois de B para Roma. Primeira possibilidade: 3 (A para B). Segunda possibilidade: 5 (B para Roma). Perceba que as possibilidades estão ligadas pelo conectivo "e" logo um princípio multiplicativo. . Assim, 35 = 15 possibilidades. Resposta: letra C.

2. Uma fábrica produz três modelos de carros. Para cada modelo, o cliente deve escolher entre sete cores diferentes, cinco tipos deestofamento e vidros brancos ou verdes. Além disso, o cliente ipodeadquirir,opcionalmente, o limpador do vidro traseiro. A quantidade de maneiras distintas em que esta fábrica pode montar carros para atender a todas as possíveis escolhas de seus clientes é: (A) (B) (C) (D) (E)

60 70 140 210 420

RESOLUÇÃO: Temos uma sucessão de escolhas, logo RFC. Sempre que ficar subtendida a expressão "e depois" é multiplicação.

235

Cap. 1 - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

r

Primeira possibilidade: Modelo = 3. Segunda possibilidade: Cor = 7. Terceira possibilidade: Estofámento = 5. Quarta possibilidade: Vidros = 2. Quinta possibilidade: Limpador de vidro = 2 (com ou sem limpador). Assim, 3.7.5.2.2 - 420 possibilidades. Resposta: letra E.

3,

(UNEB) Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automático, mas se esqueceu da senha. Lembrava que não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo era 8, o segundo era par, o terceiro era menor que cinco e o quarto e último era ímpar. Qual o maior número de tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a senha? (A) (B) (C) (D) (E)

13 60 75 78 80

RESOLUÇÃO: Primeira possÍbÍlidade:!8. Apenas um número Segunda possibilidade: Par (2, 4, 6, 8) = 4. Terceira possibilidade: Menor que cinco (1, 2, 3, 4) ~ 4. Quarta possibilidade: ímpar (1, 3, 5, 7, 9) ~ 5. Resumo:

. 1

: \

1.a possibilidade:

\;A /4 | - ' j r . - .: 2.a possibilidade

3.° possibilidade

5 4.a possibilidade

Sendo assim, 1.4.4.5 = 80 possibilidades. Resposta: letra E. \

FIQUE ESPERTO! Você deve ter se perguntado: por que na primeira possibilidade o número é 1 e não 8? Não esqueça de que as possibilidades representam a quantidade de elementos. Desta forma, como só temos um elemento, temos apenas uma possi bilidade.

236

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGíCO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar

.

!

4. (INSS) Para ter o a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma seqüência de 5 símbolos distintos, formada por duas ietras e três algaris mos. Ele se lembra dos símbolos, mas não lembrava da ordem da seqüência em que eles aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer p(ara ar o arquivo é: (A) (B) (C) (D) (E)

115 120 150 200 249

RESOLUÇÃO: Temos que ter cuidado, pois ele sabe os elementos da seqüência, mas não sabe a ordem. Não se esqueça: distintos = sem repetição. 5

Possibilidade

1

4

:

2.3 '

Possibilidade

3-‘1 Possibilidade

•••••• 4.a

■

Possibilidade

5.° Possibilidade

Na primeira possibilidade, temos 5 escolhas, e como os termos ^são distintos, cada casa diminui uma possibilidade. Logo: 5.4.3.2.1 = 120 Resposta: letra B.

6. (CESPE TRT-DF - 2005) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem. 0 1 - 0 número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior

a 650.000. 0 2 - 0 número de processos que podem ser codificados por esse sistema utiíizando-

se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000. 0 3 - 0 número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000.

RESOLUÇÃO: O nosso protocolo é formado por duas ietras e três algarismos ( L ^ A ^ A ^ . Algarismos = 10 (0, 1, 2 /3 ,4 , 5,6, 7, 8, 9). Letras = 26 (fornecida pela questão).

C ap. 7 - ANÀLiSE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

237

í Vamos resolver o item 01 . O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650.000. Nessa questão não há restrição. 26 ■j*

26

10 /u -.'

2a

3.* ■■

Possibilidade

Possibilidade

Possibilidade

'■: 0

10

5.a Possibilidade

Possibilidade

Resultado: 26.26.10.10.10 = 676.000 possibilidades. Item certo. Vamos resoiver o item 02. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000. Nesse item temos a restrição de letras iguais nas duas primeiras posições, ou seja, a segunda letra é igual à primeira. Por isso não podemos escolher a segunda letra. 26 I a Possibilidade

'

1

......... 2 .**; Possibilidade :

■■■■. 10 3.a Possibilidade

;

-..10 ':.'.'

10

Possibilidade

Possibilidade

Resultado: 26.1.10.10.10 = 26.000 possibilidades. Item errado. Vamos resoiver o item 03. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000. Nesse item a restrição é hão repetir elementos (letras e algarismos). 26

25

10

1.a

' 2-a Possibilidade

3.3

4a

5.a

Possibilidade

Possibilidade

Possibilidade

Possibilidade

9 ...

8

Resultado: 26.25.10.9.8 = 468.000 possibilidades. Item errado.

7. (UEFS) Para garantir a segurança de seus moradores, a istração de um condomínio pensou em contratar vigilantes para ocuparem as cinco guaritas construídas na sua área. Devido aos altos custos, só foi possível contratar quatro vigilantes, sendo que um deles deve ficar na guarita próxima à entrada do condomínio e que, nos demais postos, deve ficar, no máximo, um vigilante.

238

'MATEMÁTICA E R AC IO CÍNIO LÓ GICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

I Nessas condições, o número máximo de maneiras distintas para distribuir esses vigilantes é: (A) 24 (B) 58

,

(C) 72 (D) 96 (E) 120

RESOLUÇÃO: Temos 4 vigilantes e 5 guaritas, sendo que na guarita da entrada é obrigatório ter um vigilante. Fique atento, cada vez que escolho um vigilanteidiminui uma possibilidade. Vamos escolher a guarita D para ficar vazia. 1,3 possibilidade: Entrada = 4 (vigilantes) 2.a possibilidade: Guarita

À= 3

3.a possibilidade: Guarita

B~ 2

4.a possibilidade: Guarita

C= 1

■

4 Entrada

-

Guarita A

Guarita B

Guarita C

Resultado: 4.3.2.1 = 24 possibilidades, porém esse resultado é a quantidade de possibilidades de ficar vazia a guarita D, mas a questão deixou livre a guarita que vai ficar vazia. 5.a possibilidade: Guarita vazia (pode ser A ou B ou C ou D) = 4 Resultado final: 43.2.1.4 = 96 possibilidades. Resposta: letra D.

8. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais e)es podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a: (A) 2 (B) 4 (C) 24 (D) 48 (E) 120

239

C ap. 7 - ANÁLISE COMBIN ATÓRIA E PROBABILIDADE

r RESOLUÇÃO: Nesse caso a nossa restrição é ficarem duas muiheres juntas. Sem restrição a resposta será 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades.

M,

i

M,

P,

R, p2

Vamos observar que uma posição (Pl) será ocupada petas duas muiheres, pois elas devem permanecer juntas. 1.a possibilidade: Moça 1 = 2 2.° possibilidade: Moça 2 = 1 3.a possibilidade: Rapaz 1 = 3 4.a possibilidade: Rapaz 2 = 2 5.a possibilidade: Rapaz 3 = 1 Resultado: 2.1.3.2.1 = 1 2 possibilidades, porém nessa ordem. Temos 4 posições para permutar (trocar) entre si. 6.*1 possibilidade: Posição = 4 Resultado finai: 12.4 = 48 possibilidades. Resposta: letra D.

9.

(MPOG 2000 ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é iguaf a: (A) 6 (8 ) 12 (C) 24 (D) 36 (E) 48

RESOLUÇÃO: Você deve ter se perguntado:; não é a mesma questão? Não! O enunciado é o mesmo, porém a pergunta é diferente. Nossa restrição é: somente as moças fiquem todas juntas, nesse caso os rapazes não podem ficar todos juntos. Por isso teremos duas situações.

240

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar

l.a Situação:

V, p,

P;

p4

1.n possibilidade: Moça 1 = 2 2 .a possibilidade: Moça 2 = 1

3.n possibilidade: Rapaz 1 = 3 4 .3 possibilidade: Rapaz 2 = 2 5.a possibilidade: Rapaz 3 = 1 Resultado!: 2.1.3.2.1 = 12 possibilidades. 2.a Situação:

K,

r3

P,

P3

IVl,

*3 P3

P,

1.3 possibilidade: Moça 1 = 2 2 .* possibilidade: Moça 2 = 1

3.-1 possibilidade: Rapaz 1 = 3 4.° possibilidade: Rapaz 2 = 2 5.-’ possibilidade: Rapaz 3 = 1 Resultado 2: 2.1.3.2.1 = 12 possibilidades. Temos 1.a situação ou 2.° situação. Regra do “ou" (soma). Resultado final: 12 + 12 = 24 possibilidades. Resposta: letra C.

10. (AFRE MG 2005 ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

420 480 360 240 60

241

Cap. 7 -A N Á L IS E COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

r RESOLUÇÃO: Nessa questão temos duas restrições: a última posição deve ser ocupada por Ana ou Beatriz ou Carla ou Denise,-. e Denise não pode ocupar a primeira posição. 1.a Situação: Ana sendo a última. 5

5

4

Posição 1

Posição 2

Posição 3

Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada nem por Ana e nem por Denise (restrição da questão), logo 5 possibilidades. A posição 2 não pode ser ocupada por Ana e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição; porém pode ser ocupada por Denise, por isso 5 possibilidades. A posição 3 não pode ser ocupada por Ana, nem pela pessoa da posição V e a da posição 2, logo 4 possibilidades. A posição 4 pode ser ocupada por Ana (nossa suposição), logo apenas uma possi bilidade. Resultado 1 = 5.5.4.1 = 100 possibilidades. 2.a Situação: Beatriz sendo a última. 5 Posição 1

■ 5' Posição 2

4

1

Posição 3

Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada nem por Beatriz e nem por Denise (restrição da questão), logo 5 possibilidades. A posição 2 não pode ser ocupada por Beatriz e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição; porém pode ser ocupada por Denise, por isso 5 possibilidades. A posição 3 não pode ser ocupada por Beatriz, nem pela pessoa da posição 1 e a da posição 2, lògo 4 possibilidades. A posição 4 pode ser ocupada por Beatriz (nossa suposição), logo apenas uma possibilidade. Resultado 2 - 5.5.4.1 = 100 possibilidades. 3.a Situação: Carla sendo a última. 5

5

4

|

1

Posição 1

Posição 2

Posição 3

j

Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada nem por Carla e nem por Denise (restrição da questão), logo 5 possibilidades.

242


A posição 2 não pode ser ocupada por Caria e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição; porém pode ser ocupada por Denise, por isso 5 possibili dades. A posição 3 nãb pode ser ocupada por Carla, nem pela pessoa da posição 1 e a da posição 2, fogo 4 possibilidades. A posição 4 pode ser ocupada por Caria (nossa suposição), logo apenas uma pos sibilidade. Resultado 3 = 5.5.4.1 = 100 possibilidades. 4.a Situação: Denise sendo a última. 6

5

4

1

Posição 1

Posição 2

Posiçãí 3

Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada por Denise (restrição da questão) e como éía já está na última posição, logo 6 possibilidades. A posição 2 não pode ser ocupada por Denise e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição, logo 5 possibilidades. A posição 3 não pode ser ocupada por Denise, nem pela pessoa da posição 1 e a da posição 2, logo 4 possibilidades. A posição 4 pode ser ocupada por Denise (nossa! suposição), logo apenas uma possibilidade. Resultado 4 = 6.5.4.1 = 120 possibilidades. Temos: a 1.a situação ou a 2 * situação ou a 3.a situação ou a 4.a situação. Resultado final: 100 + 100 + 100 + 120 = 420 possibilidades. Resposta: letra A.

11. (CEFET-BA) Segundo o texto, a travessia internacional mais alta do está a 4370 metros de altitude. Considerando! os algarismos 0, 3, 4 colorarmos em ordem crescente todos os algarismos, não nulos, de mos distintos, formados por esses algarismos, então a posição do 4370 é: (A) 30. (B) 36. (C) 40. (D) 41. (E) 42.

mundo e 7, se algaris número

Cap. 7 - ANÁLISE COMBINATÒRIA E PROBABILIDADE

í RESOLUÇÃO: Temos que contar as possibilidades. I.3 situação: um número de um algarismo. Possibilidade: 3, 4, 7 = 3. Obs.: o zero não contaj pois o número 07 é um número de um algarismo. 2.° situação: um número de dois algarismos. V 3 ■■

I .. 3 ; 2.° algarismo

1 ° algarismo

O zero não pode ser usado como primeiro algarismo, por isso só temos as seguintes possibilidades: 3, 4, 7. No segundo algarismo pode-se usar o zero e devemos excluir o algarismo que es colhemos para a primeira posição, logo 3 possibilidadesl Resultado 2: 3.3 = 9 possibilidades. 3.a situação: um número de três algarismos. 3

3

1.° aigarismo

2 ° algarismo

i; 2 3.° algarismo ;

O 1.° algarismo não pode ser o zero, logo 3 possibilidades. O 2.° algarismo pode ser o zero, porém não podemos contar o algarismo da posição 1. O 3.° algarismo não pode ser nem o primeiro aigarismo e nem o segundo algarismo, logo 2 algarismos. Resultado 3: 3.3.2 - 18 possibilidades. 4'.a situação: um número de quatro algarismos, menor que 4370. Vamos começar com o numero 3 na primeira posição, pois o número 3074 é menor que 4370, 1

3

1.° algarismo

2.° algarismo

2 i. 3.° algarismo

4.° algarismo

A primeira posição só pode ser ocupada pelo algarismo 3, logo apenas uma pos sibilidade.' A segunda posição não pode ser ocupada pelo algarismo da primeira posição, logo 3 possibilidades.

243

244

MATEMÁTICA E RACiOClNlO LÓGICO QUANT1TATÍVO - Bruno Villar

Na terceira posição devemos excluir os dois algarismos anteriores, logo 2 possibi lidades. Na quarta posição devemos excluir os três algarismos anteriores, logo 1 possibili dade. Resultado 4: 1.3.2.1 = õ possibilidades. Até agora temos 3 4* 9 + 18 + 6 = 36 possibilidades. Começando com o algarismo 4, temos: 4037, 4073, 4307. Logo temos mais três posições. Temos 39 possibilidades de números menores que 4370, logo ele estará na 40.a posição. Resposta: letra C.

12. (MPU 2004 ESAF) Paulo possui, três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a Jado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qual quer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

20. 30. 24. 120. 360.

RESOLUÇÃO: Essa questão é para fechar com chave de ouro os casos de princípio fundamental de contagem. Temos 6 ' quadros, porém os quadros de Gotuzo devem estar em ordem cronológica e podem estar juntos ou não. Total de possibilidades: 6.5.43,2.1 = 720 possibilidades. No caso da inversão da seqüência dos quadros de Gotuzo temos. 3 l.a pOSÍÇãO;

2: 2.a posição

1 3.a posição

Temos 6 possibilidades de troca da seqüência dos quadros de Gotuzo.


r

245

100 = Como queremos apenas uma seqüência, G1-G2-G3, teremos 120 6 possibilidades. Logo:

Resposta: 120, pois cada seqüência dos quadros de Gotuzo aparece 120 vezes. Resposta: letra D.

Treinamento do concursando 1. (CESGRANRIO) Ao se inscrever em determinado concurso, cada candidato recebia um número de inscrição composto de 6 dígitos numéricos. O primeiro dígito identificava a cidade onde era feita a inscrição e os demais correspondiam ao número de identificação do candidato. Por exemplo, na cidade identificada pelo dígito “2", o primeiro inscrito receberia o número de inscrição “2.00001”, o do segundo seria "2.00002” e assim sucessivamente, até o número “2.99999". Seguindo esse critério, qual o número máximo de candidatos que poderiam se inscrever numa mesma cidade? (A) (B) (C) (D) (E)

9.999 59.049 99.999 531.441 999.999

2. (CESGRANRIO) Em certa universidade, o número de matricula dos estudantes é formado por 7 dígitos, repetidos ou não. Os números seguem um padrão: o primeiro dígito não pode ser zero, o antepenúltimo indica em que semestre (primeiro ou segundo) foi iniciado o curso e os dois últimos, o ano da matrícula. Por exemplo, “4234.207” é um número de matrícula atribuído a um estudante que iniciou seu curso no segundo semestre de 2007. Se dois estudantes ma triculados num mesmo ano devem ter, obrigatoriamente, números de matrícula diferentes, qual é o número máximo de estudantes que podem ser matriculados em 2008? (A) (B) (C) (D) (E)

6.046 9.000 10.080 18.000 20.000

3. (CESPE) Uma concessionária oferece aos clientes as seguintes opções para a aquisição de um veículo: 4 cores externas, 4 cores internas, 4 ou 5 marchas, com ou sem ar condicionado, com ou sem direção hidráulica, com ou sem vi dros e travas elétricas. Desse modo, são, no máximo, 128 as opções distintas para a escolha de um veículo.

246


1 4. (CESGRANRIO) Em uma fábrica de bijuterias são produzidos coiares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura.

As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem iser de cores diferentes? (A) (B) (C) (D) (E)

612 556 448 392 336

5. (ENEM CESGRANRIO) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se. o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas;para a paisagem é (A) (B) (C) (D) (E)

6 7 8 9 10

6.

(CESPE) Considere que as senhas dos clientes de um banco têm 8 dígitos, sem repetições, formadas pelos algarismos de 0 a 9. Nessa situação, o número máximo de senhas que podem ser cadastradas nesse banco é inferior a 2 * 106.

7.

(CESPE) Considere que o BB oferece cartões de crédito Visa e MasterCard, sendo oferecidas 5 modalidades diferentes de cartão de cada uma dessas empresas. Desse modo, se um cidadão desejar adquirir um cartão Visa e um MasterCard, ele terá menos de 20 possíveis escolhas distintas.


247

8. (Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco/lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti ficjuem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

16 24 32 46 48

9. (Analista MPU istrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentemse em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, (A) (B) (C) (D) (E)

1112 e 1152. 1152 e 1100. 1152 e 1152. 384 e 1112. 112 e 384.

10. (Anal. Orçamento MÀRE 99 ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma em presa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições^ o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é 518 400 1 440 ^ 720 120 (E) 54 (A) (B) (C) (D)

GABARITO 01 - C

02 - D

03 - E

04 - D

05 - B

06 - C

07 -E

08 - E

09 -C

10 - A

Fatorial O fatorial será muito utilizado nas questões de permutação e aná lise combinatória.

248

MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

Sendo n ura número natural, chama-se de ní (Lê-se: n fatoriai) a expressão: n! = n (n |- 1) (n - 2) (n - 3 ) ........ 2.1, com n > 2 Exemplos: 5! - 5.43.2.1 = 120 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

CUIDADO: 0) = 1 1! = 1

*

rv Dicas: 01. Tenha cuidado: 2! = 2, pois 2.1 - 2. Agora 3! não é igual a 3, pois 3.2.1 = 6. 02. Você não precisa desenvolver o número até 1. Exemplo: 51 = 5.4.3!. Nesse caso, se parar antes de um/você deve colocar o fatoriai.

Treinamento básico 1. Simplifique as expressões abaixo: a) 1! = 2 £ * 3! b) 121 = 7! P!

= 7.6 » 42 = -10.9.8 * 720

12.11.10.9.8.7.6.^

c) — = ---------- e---------- 1 = 12.11.10.9.8.7.6 = 39.991.680 5! ^ 10! 6L4!

10.9.8.7.^' ^'.43.2.1

10.9.8.7 - 4.3.2.1

5040 24

d) ------ - -r---------- i = ---------- = ------ = 210

No caso da letra d, no denominador deve se conservar os termos menor e maior.

Cap. 7 —ANÁLISE COMBiNATÓRiA E PROBABILIDADE

249

Também pode ser usado o seguinte processo: 10-9.8.7 = K r W - 7 4 . 3 . 2.1

■

= 5.3.4.7 2 . 1.1

420 ?)n 2

Esse processo é o método da simplificação. Para simplificar, devemos dividir os termos por um mesmo número. 12! 0.) -------

I2.ll.Ye» „ 1 2.11

132

= ---------- - = ------ = ---- = 66

101.2í

Y»t2.l

2

2

Treinamento comentado 1. (CESPE) Considere que, para ter o à sua conta corrente via Internet, um correntista do BB deve cadastrar uma senha de 8 dígitos, que devem ser es colhidos entre os algarismos de 0 a 9. Se o correntista decidir que todos os algarismos de sua senha serio diferentes, então o número de escolhas distintas que ele terá para essa senha é igual a 81.

RESOLUÇÃO: O correntista possui uma senha de 8 dígitos distintos. ■ '.';S. .' V

10 1.»

posição

y] :v3XK.v

‘ posição

posição

posição

5 . » ■ .v;;.V;:6 .a posição posição

3 7*

8 .a

posição

posição

1.° posição: 10 possibilidades (0 a 9 algarismos), e como a questão menciona que devem ser elementos distintos, retira-se um elemento de cada posição posterior. Resultado: 10.9.8.7.6.5.4.3. Agora vamos comparar o resultado obtido como o resultado do enunciado. 10.9.8.7.6.5.4.3 = 8 ! 10.9.0:7t6.5.4t5 = 8^6^h43.2,1. Cortando os termos iguais, obtemos o seguinte re sultado: 10.9 = 2 .1. Questão errada.

2. (CESPE PF 2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um o de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Nemeia, capturar a corça de Cerineía e capturar o javali de Erimanto.

250

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Vtilar

Considere que a Hércuies seja dada a escolha! de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados,: e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que isomente um trabaiho seja executado de cada vez-, Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia pre parar, julgue Í3S itens subseqüentes. 0 1 - 0 número máximo de possíveis listas que Hércuies poderia preparar é superior a 12.10!.

0 2 - 0 número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Nemeia" na primeira posição é inferior a 240.990.56.30. 0 3 - 0 número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” na primeira posição e "capturar o javali de Erimanto" na terceira posição é inferior a 72.42.20.6. 0 4 - 0 número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia" e "capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em quaiquer ordem, é inferior a 61.8!.

RESOLUÇÃO: 0 1 - 0 número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12.10!. Como não temos restrição, a escolha é livre. Não esqueça: não há repetição de tarefa, por isso cada posição diminui uma escolha.

12

11

P,

10

9

8

7

6

5

4

/;3 .■;

2

1

P3

P<

PS

P6

> 7

; Pa

P9

P,o

P„

P.*

Resultado: 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 12! Comparação: 12! é maior que 12.10!? +2 . 11 . 101 > +2. WJ. Cortando os termos comuns, temos: 11 > 1 . item correto. 0 2 - 0 número máximo de possíveis Üstas contendo o trabalho "matar o leão de Nemeia" na primeira posição é inferior a 240.990.56.30. , Para a primeira posição só há uma possibilidade, pois tem que ser a de "matar o ieão de Nemeia", íogo sobram apenas 11 posições. 1

11

10

9

Pi

P2

p3

^ P,

Resultado: 11!

8

7

6

5

4

3

2

1

P5

p«

p7

PB

P9

P,o

Pn

P,i


2 51

Comparando: 11! é inferior a 240.990.56.30 11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 < 240.990.5630 9903660.24 < 240.9903630 24 < 240, Item correto. 0 3 - 0 número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos "capturar a corça de Cerineia" na primeira posição e "capturar o javáíí de Erimanto" na terceira posição é inferior a 72.42.20.6. Temos duas posições definidas nessa ordem: P,: "capturar a corça de Cerineia'' P : "capturar o javali de Erimanto"

1

10

1

p,

P;

p3

i

9

8.

7

6

5

p,

Ps

P6

P7

PB

!' 4 P9

3

2

1

P«

Pu

P«

Resultado; 10i 10! < 72.42,20.6 10.9,8.7.6.5.43.2.1 < 72.42.20.6 10.7-2:42.20,6 < -72:42.20^ 10 < 6. Item errado. 0 4 - 0 número máximo de possíveís üstas contendo os trabalhos "capturar a corça de Cerineia” e "capturar o javali de Erimanto" nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6!.8!. Nesse caso a restrição são os trabalhos "capturar a corça de Cerineia" e "capturar o javali de Erimanto" sem ordem. Por isso temos que ter cuidado, pois pode ser CE ou EC.

10

9

8

P,

P2

p3

7 ■ P,

6

5

4

3 |

2

1

2

1

P5

Pfi

P7

p8

P.

P,o

Pn

P,2

;

Resultado: 10L2! O 10! é devido à restrição de duas posições e o 2! é porque os dois últimos trabalhos não possuem ordem, por isso 2 possibilidades. 10L2! < 6I.81. Item correto.

252

MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VMar

Combinação Dados n elementos distintos, chama-se de combinação simples desses n elementos, (tomados p a p, a qualquer agrupamento de p elementos distintos, escolhidos entre os n elementos dados e que diferem entre si -pela natureza de seus elementos. Fórmula: n\ Cn>P = ~T/-------Ti p \ ( n - p ) \ com n - P Exemplos: , , „ 5! 5! (a) C. — ------------ = -----5’2 2 1 (5 -2 )! 21.31

5.4.M 20 = -----r—- = — = 1 0 2 .1 .^ 2

MÉTODO DO CONCURSANDO! C .

V 2!

= ■■■2.1 ■ 2

■i AÍ - . - . V

Esse método ajuda muito. Vamos ã dica: n = 5 (base) e p - 2 (quantidade de casas que vamos andar). Podemos resumir assim:

P cosas .

7 .\.5 (b) C7’3

7 3!5

(C) c„, = !2>5

12. 11. 10. 9.8 5!

7‘5 - 35

..

12. 11. 10. 9.8 5.43.2.1

12" 11 10" 9“ 8 ' 5 4 -3 -2 ■ 5

6 . 11 .2 .3.2 ------------- = 6.11.23.2 - 792

1.1. 1.1

^

^3i,29

Nesse caso vamos simplificar o número, pois a conta será grande se andarmos 29 casas.


253

C 31,29 — C 3!,2

Para simplificar é só fazer n - p: 31 - 29 = 2. O resultado será o p da segunda combinação. " C31. - 31-3Q _ 3 1 -3(T _ 3 L 1 5 = 31.15 = 465 2.1 *

~

2”

1

Dica: Crui = 1

Cn,I, = n

Cn,0„ « 1

Treinamento comentado *

Dica: ;As questões que envolvem combinação pedem escolha de grupos ou comissões. A combinação é uma escolha de grupos de pessoas, coisas, objetos ou pontos. Logo é uma escolha de um subgrupo a partir de um grupo fornecido. v/'.'' ■■'v ■'

Caso 01 1. (ANA) O número de dupias que podem ser formadas a partir de 6 jogadores de tênis é: (A) (8) (C) (D) (E)

12 15 27 30 36

RESOLUÇÃO: Temos 6 pessoas e queremos escolher uma dupla. Logo, essa questão é resolvida por combinação. n = 6 (total de pessoas) e p = 2 (nossa escolha). Cfi 2 = Resposta: letra B.

= 3.5 = 15 possibilidades.

254

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno W lar

2. (CESPE BB 2007} Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade totaí de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada in serção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70,

RESOLUÇÃO: Temos 12 pessoas e queremos escolher uma düpla. Logo, essa questão é resolvida por combinação. n - 12 (total de pessoas) e p = 2 (nossa escolha). = 66 possibilidades. Item correto.

3. Quantos triângulos podem ser formados a partir de 8 pontos distintos coplanares?

RESOLUÇÃO: Pontos coplanares: são pontos no mesmo plano. n = 8 e p - 3 ( o triângulo é formado por 3 pontos). C

= 3

3!

= 8.7.6 = 3 3 6 - 56 possibilidades! 3.2.1 6

Resposta: 56.

Caso 02 1. (Técnico de controle interno Piaut 2002 ESAR) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem très meninos e duas meninas é dado por: (A) (B) (C) (D) (E)

5.400 6.200 6.800 7.200 7.800

Cap. 7 -A N Á L IS E COMBiNATÓRIA E PROBABILIDADE

255

RESOLUÇÃO: São duas escolhas de grupos: meninos e meninas {regra do "e" ~ multiplicação). Na escolha do grupo dos méninos temos: n = 1 0 (totai) e p = 3 (escolha). C. « -

10.9.8

10.9.8

720

3.!

3.2.1

6

120

Na escolha do grupo de meninas temos: n - 1 0 e p = 2. 109 _ 90 = 90 = 4 5 2! 2.1 2

C m

Resultado total: 120.45 = 5400. Resposta: ietra A.

2. Doze professores, sendo 4 de Matemática, 4 de Geografia e 4 de Inglês, parti ciparam de uma reunião com o objetivo de formar um comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se compor essa comissão é: (A) (B) (C) (D) (E)

12 36 48 64 108

RESOLUÇÃO: Temos que ter cuidado, pois temos a impressão de que devem ser escolhidas 9 pessoas de 12, porém não. é dessa forma. A comissão deve ter 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. Por isso devemos calcular separado! Matemática n —4 e p - 3 C„ * 4 , 1 = 4

J

Obs.: 4 - 3 - 1 . Utilizando 0 processo de redução. Geografia, n= 4 ep= 3 = 4/1 ~ 4 Obs.: 4 - 3 = 1. Utilizando o processo de redução.

256

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Víllar

Inglês. n= 4ep= B

.

■é« = 4 , i ' = 4 | Obs.: 4 3 = 1. Utilizando o processo de redução. Temos um grupo de matemática "e" geografia "e" inglês (regra do "e"). Resultado final: 4.4.4 = 64 possibilidades. Resposta: letra D.

Caso 03 1. (TRT/SC - 05) Em um edifício residencial, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas? (A) 64 (B) 126 (C) 252 (D) 640

(E) 1260

RESOLUÇÃO: Resumo do enunciado: Dentre 10 pessoas uma será o síndico e 4 serão do conselho fiscal, hão podendo ocorrer acumulação de cargos. Temos duas situações. l.n Situação: primeiro escolhendo o síndico e depois o conselho. Síndico: n = 10 e p = 1. Cio, i ” 10 Conselho: n = 9 e p = 4. Pois a pessoa que foi escolhida não pode concorrer ao cargo do conselho fiscal. 9.S.7.6 9.8.7.6 3024 ^ ■ . r . = ■----------= — —;— = --------- = 1 2 6 9/> 4! 4.3.2.1 24 A nossa escolha é um síndico e 4 conselheiros (regra do "e"). Resultado: 10.126 =-1260 possibilidades. Resposta: letra E. Para o seu treinamento, a 2.n situação seria primeiro escolher o conselho e depois o síndico.

257

C ap. 7 - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

2.

(CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.

RESOLUÇÃO: Temos três escoihas: O funcionário mais novo recebe 3 tarefas e o restante 2 tarefas. I .3 escoiha: n = 7 e p = 3 i

C., = 7.6.5 — 7.6.5 = 2J_0 = 35 possibilidades, 7'3 3! 3.2.1 ; 6 2.n escoiha: n = 4 e p = 2 O n ficou igual a 4, pois três tarefas foram escolhidas na primeira possibilidade. 4.3 43 12 ■ C., = — = ---- = — ~ 6 possibilidades. •u 2! 2.1 2 3 .8 escoiha: n = 2 e p = 2

. .

C22 = 1 possibilidade. Temos a 1 .° escolha, depois a 2? e depois a 3.a (regra "e"). Resultado final: 35.6.1 = 2 1 0 possibilidades. Item errado.

Caso 04 1. Dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer uma salada. Se cada salada é com posta de cínco frutas diferentes, então o número de saladas diferentes que se pode preparar escolhendo pelo menos 5 frutas diferentes é: (A) (B) (C) (D) (E)

8 56 93 120 6720

RESOLUÇÃO: A expressão pelo menos tem o mesmo significado de mínimo. Por isso, quando di zemos peio menos 5, queremos dizer que há no mínimo 5 escoihas, logo podemos escolher 5 ou 6 ou 7 ou 8 (total).

258

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vtfar

1 Escolhendo 5 frutas: C = C = 8.7.6 8.7.6 = 336 = 55 ' “ 03 |3! 3.2.1 6 Escolhendo 6 frutas: 3.7 8.7 56 C_ = — = — = 28 8.6 = C„,= B,2 ~ 2!

2.1

2

Escolhendo 7 frutas:

C,7 =

Cej = 8

Escolhendo 8 frutas: C„„ = 1 Resultado: 56 + 28 + 8 + 1 = 9 3 possibilidades. !f Resposta: letra C.

2. (AFC 2005 ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as agens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas; o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas è igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

286 756 468 371 752

RESOLUÇÃO: No grupo deve ter pelo menos duas meninas, logo no mínimo duas meninas. O total de escolha é 6 crianças, porém devemosi ter pelo menos duas meninas. 1.a possibilidade: 2 meninas e 4 meninos. 2.a possibilidade: 3 meninas e 3 meninos. 3.a possibilidade: 4 meninas e 2 meninos. 1.° possibilidade: 2 meninas e 4 meninos. Meninas: n = 4 e p = 2.,;

C ap. 7 - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

259

Meninos: n = 7 e p = 4. c

= r 1A

= :J

3!

3.2.1

- ü £ = 35 ■: 6

Resultado da l.a possibilidade: 6.35 = 210. 2.a possibilidade: 3 meninas e 3 meninos. Meninas: n = 4 e p = 3. C„ = C4J= 4 Meninos: n = 7 e p = B. C V“ 7.3 = 3 5 Resultado da 2.a possibilidade: 4.35 ~ 140. 3.a possibilidade: 4 meninas e 2 meninos. Meninas: n = 4 e p = 4. C,4 = 1 Meninos: n = 7 e p = 2. q ,. « = « . « = 21 . 2! 2.1 2 Resultado da 3.a possibilidade: 1.21 = 2 1 . Resultado final: 210 + 140 + 21 =371. Resposta: letra D<

Treinamento do concursando 1. (ESAF) Uma empresa possui vinte funcionários, dos quais dez sao homens e dez são mulheres. Desse modo, o número de comissoes de cinco pessoas que se podem formar com três homens e duas muiheres é: (A) (B) (C) (D) (E)

1650 165 5830 5400 5600

260

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar .

.

!

2. Dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer uma salada. Se cada salada é com posta de cinco frutas diferentes, então o número de saladas diferentes que se pode preparar é:

'

(A) (B) (C) (D) (E)

8 10 56 120 6720

'

3. (CESPE) Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. Nessa si tuação, a quantidade de comissões que é possível formar, constituídas por 3 vice-presidentes e 3 diretores, é superior a 105. 4. (CESPE) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 fun cionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários. 5. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor? (A) (B) (C) (D) (E)

25 35 45 55 65

6. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da comissão? (A ) C zo.io

C1S,o (C) CJ01S

(D ) C 15,

(E) C2B, a 7. (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética. Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de espanhol, uma empresa contratou 4 professores americanos e 3 espanhóis. Nessa situação, sabendo que cada funcionário fará exatamente um curso de cada língua estrangeira, um determinado empregado disporá de exatamente 7 duplas distintas de professores para escolher aqueles com os quais fará os seus cursos. 8. (CESPE) Uma empresa está oferecendo 2 vagas para emprego, sendo uma para pessoas do sexo feminino e a outra para pessoas do sexo masculino. Considerando-se que se candidataram às vagas 9 homens e 7 mulheres, então o número de opções distintas para a ocupação dessas vagas é igual a (A) 126


261

r (B) 63 (C) 32 (D) 16 9. (CESPE) O Banco do Brasil S.A. (BB) patrocina as equipes masculina e feminina de vôlei de quadra e de praia. Segundo o portal www.bb.com.br, em 2007, o voleibol brasileiro mostrou mais uma vez a sua hegemonia no cenário interna cional com a conquista de 56 medalhas em 51 competições, tanto na quadra quanto na praia. Nesse ano, o Brasil subiu ao lugar mais aito do pódio por 31 vezes e conquistou, ainda, 13 medalhas de prata e 12 de bronze. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes. 01 - Considerando que o treinador de um time de vôlei disponha de 12 jogadores, dos quais apenas 2 sejam ievantadores e os demais estejam suficientemente bem trei nados para jogar em qualquer outra posição, nesse caso, para formar seu time de 6 atletas com apenas um ou sem nenhum levantador, o treinador poderá fazê-lo de 714 maneiras diferentes. 02 - Caso se deseje selecionar 5 medalhas, entre as conquistadas pelo voleibol bra sileiro em 2007, de modo que 2 sejam de ouro, 2 de prata e 1 de bronze, a quantidade de possibilidades diferentes de se formar esses conjuntos será superior a 450 mil. 03 - Considerando-se que o treinador de um time de vôlei tenha à sua disposição 12 jogadores e que eies estejam suficientemente treinados para jogar em qualquer po sição, nesse caso, a quantidade de possibilidades que o treinador terá para formar seu Ume de 6 aíletas será inferior a 103.

GABARITO 01 - D

02 - C

1

03 - C

04 - E

05 - D

1

06 - D

07— E

08-8

|

09 - C-E-C

Permutação E a troca de posição de elementos de uma seqüência. Permutação sem repetição de elementos P n = n! *

Dica: todas as questões de permutação simples podem ser resol vidas pelo princípio fundamental de contagem (PFC).

262

MATEMÁTICA E RACIOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar .

.

!

Treinamento comentado________________ 1. Quantos anagramas tem a palavra rato? I

.......

,

j ................

RESOLUÇÃO: ■ 1.a opção: Anagrama é a troca das letras de uma palavra. A palavra rato não possui letras comuns, logo 4 elementos distintos. P4 = 4! = 4.3.2.1 - 24 possibilidades. ■:■Resposta: 24. ■ .. 2.° opção:

4

3

1,° possibilidade

2 .a possibilidade

1

3.a possibilidade

4.a possibilidade

Resultado: 4.3.2.1 = 24

2. Quantos anagramas tem a palavra vida, começando por vogal?

RESOLUÇÃO: Restrição: começar por vogai. 2

.3...

l.a possibilidade

2.a possibilidade

'■i 2 '■ .■ 3.a possibilidade

4 a possibilidade

A 1.° possibilidade é igual a 2, pois temos duasj vogais. Sobram 3 possibilidades, logo temos:

2-P3

■ .

■ [

Resultado: 2.3.2.1 = 12 possibilidades.

Permutação com elementos repetidos

a lp ! % L . n: total de elementos.

■ ■ ■

Cap. 7 -A N Â U S E COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

263

a , p , x . . . = repetição de cada elemento.

Treinamento comentado 1. Quantos anagramas tem a palavra concurso?

RESOLUÇÃO: A palavra concurso tem 8 elementos, mas a letra O e C -aparecem duas vezes. f

n 2-2 —

8?

L0g0'jP. -2!2!

10080.

2. (CESPE) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diver sas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.

RESOLUÇÃO: Totai de 7 faixas, sendó 3 verdes e 3 amarelas.

'3'3 = _ZL = 140

Pi

3! 3!

ítem certo.

Perm utação circular P = — ou (n-1)! Essa fórmula é utilizada para pessoas agrupadas em um formato circular, n = total de pessoas Treinamento comentado 1. (CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas di ferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102.

MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno V?//ar

264

1 RESOLUÇÃO: É um caso ciássico de permutação circular. !

.

(6 - 1)! = 5! = 5.43.2.1 = 120 possibilidades.

Item certo.

Treinamento do concursando 1.

(CESPE) Um trabalhador dispõe de 3 linhas de ônibus parair de sua casa até o terminal deônibus no centro da cidade e, a partir dai, ele dispõe de 5 linhas de ônibus para chegar ao seu iocal de trabalho. Nessa situação, considerando-se que o trabalhador possua as mesmas opções para fazer o percurso de retorno do trabalho para casa e entendendo-se um trajeto de ida e volla ao trabalho desse trabalhador como uma escolha de quatro linhas de ônibus - de sua casa ao centro, do centro ao trabalho, do trabalho ao centro e do centro de volta para casa então o trabalhador dispõe de, no máximo, 30 escolhas distinlas para o seu trajeto de ida e volta ao trabalho.

2.

(CESPE) Um juiz deve sortear 5 homens e 6 mulheres para formar o corpo de jurados no tribunal do júri, entre 10 homens e 13 mulheres convocados. Nessa situação, o número de possibilidades diferentes de se formar o corpo de jurados é inferior a 1.970.

3. Dois casais devem posar, em fila, para uma fotografia. De quantos modos podem fazê-lo, se cada casal deve permanecer junto? (A) (B) (C) (D) (E)

1 2 4 6 8

4. (CGU ESAF 2006) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? (A) (B) (C) (D) (E)

2800 2980 3006 3003 3005

Cap. 7 - ANÁLISE C0MB1NATÓRIA E PROBABILIDADE

265

5. (CGU ESAF 2006} Ágata é decoradora e precisa atender ao pedido de um ex cêntrico cliente, Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então ó número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a: (A) (B) (C) (D) (E) 6.

6720 5760 4320 3600 56

(Transpetro CESGRANRIO 2006) Em um posto de observação foi montado um sinaleiro de formato pentagonal e em cada um de seus vértices foram colocadas duas lâmpadas de cores distintas, escolhidas entre 5 vermelhas e 5 verdes. Convenciona-se que, para a transmissão de uma mensagem, não pode ser ace sa mais do que uma lâmpada por vértice, e que o número mínimo de vértices iluminados deve ser três. Se, cada vez que um conjunto de lâmpadas é aceso, transmite-se uma mensagem, o total de mensagens que podem ser transmitidas por esse sinaleiro é (A) (B) (C) (D) (E)

7.

192 128 64 32 16

(CESGRANRiO) Um restaurante oferece cinco ingredientes para que o cliente escolha no mínimo 2 e no máximo 4 para serem acrescentados à salada verde. Seguindo esse critério, de quantos modos um cliente pode escolher os ingre dientes que serão acrescentados em sua salada? (A) (B) (C) (D) (E)

25 30 36 42 50

8. (FUNRIO) O número de anagramas da palavra CHUMBO que começam pela letra C é (A) (B) (C) (D) (E)

120 140 160 180 200

9. (FUNRIO) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Arthur e Felipe, que,

266

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VtUar

sabe-se, não se relacionam um com o outroj Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? . (A) (B) - (C) (D) (E)

70 35 55 45 40

!

10. (FUNRIO) Num avião, uma fila tem sete poltronas dispostas como na figura abaixo: corredor

|

|J

jj

"|

corredor

Os modos de Pedro e Ana ocuparem duas poltronas dessa fila, de modo que nao haja um corredor entre eles, são em número de (A) 10 (B) 8 (C) 6 (D) 9 (E) 7 11. (CESPE) De acordo com informações apresentadas no endereço eletrônico www. trtrio.gov.br/istrativo, em fevereiro de 2008, havia 16 empresas contratadas para atender à demanda de diversos serviços; do TRT/1.3 Região, e a quantidade de empregados terceirizados era igual a 681. Com base nos dados do texto, a quantidade de maneiras distintas para se formar uma comissão de representantes dos empregados terceirizados, composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário,; de modo que nenhum deles possa acumular cargos, é (A) (B) (C) (D) (E)

inferior a 682. superior a 682 e inferior a 104. superior a 104 e inferior a 681*103. superior a 681*103 e inferior a 341*106. superior a 341*106.

12. (ESAF MTE) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a: (A) 120 (B) 1220 (C) 870

Cap. 7 - ANÁLISE COMBINATÔRIA E PROBABILIDADE

267

(D) 760 (E) 1120 13. (VUNESP) Uma criança dispõe de 10 lápis de cores diferentes e, para pintar um desenho, precisa utilizar pelo menos 4 cores diferentes. No entanto, a professora lançou um desafio para ver quem consegue pintar, da melhor maneira possível esse desenho, usando no máximo 7 cores diferentes. Nessas condições, o nú mero de maneiras distintas de pintor esse desenho é (A) (B) (C) (D) (£)

210. 420. 548. 664. 792.

14. (CESPE) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distri buídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter o ao prédio. As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja itida a repetição de letras, mas itindo-se a repetição de algarismos, é igua! a (A) 26a x 10 x 9 x 8. (B) 263 x 1G3. (C) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8. (D) 26 x 25 x 24 * 10".

GABARITO 01 - E

02 - E

03 - E

04 - D

05 - A

06 - A

07 - A

08 - A

09 - C

10 - A

11 - E

12 - E

13 - E

14 - D

Probabilidade A probabilidade tem como finalidade 0 esiudo da possibilidade ou chance de acontecer um determinado evento. Conceitos iniciais Experimento Aleatório: é aquele experimento que, quando repetido em iguais condições, pode fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados

268

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTiTATiVO - Bruno W /ar

.

:

[

explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço amostrai (E): é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experiróento aleatório. Exemplo: Espaço amostrai da moeda: {cara, coroa} Espaço amostrai do baralho {52 cartas} Evento: é o resultado desejado. Probabilidade de ocorrer um evento P(A) P(A) = -------- SSílto------espaço amostrai 0 < P(A) <1 P(A) = 0 (evento impossível) P(A) = 1 (evento certo) P ( /í) = 1 -P(A) P (/I) é a probabilidade de não ocorrer o evento A. Treinamento comentado 1. (CEF) A tabela abaixo apresenta dados parciais sobre a folha de pagamento de um Banco

Faixa salarial, em reais

Número de empregados

300 - 500

52

500 - 700

30

700 - 900

25

900 - 1100

20

1100 - 1300

16

1300 - 1500

13

Total

156


269

Um desses empregados foi sorteado para receber um prêmio. A probabilidade de esse empregado ter seu satário na faixa de R$ 300,00 a R$ 500,00 é (A) (B) (C) (D) (E)

1/3 2/5 1/2 3/5 7/10

RESOLUÇÃO: Descobrir o espaço amostrai e o evento. Espaço amostrai: 156 (total de funcionários). Evento: 52 (pessoas na faixa de 300 a 500). 52 52* _ 1 ~ 156 "" 156^ ” 3 Resposta: letra A.

2. Uma uma contém 50 bolinhas, numeradas de 1 a 50. Retirando-se uma bolinha ao acaso, determine a probabilidade de retirar uma bola contendo um múltiplo de 15.

RESOLUÇÃO: Espaço amostrai: 50. Evento: 3 (múltiplos de 15: 15, 30 ou 45). P(A) = — 50 V

■

■

Probabilidade da união de dois eventos: regra da adição ou regra do “ou” No caso de um sorteio e duas chances você ganha com uma possi bilidade ou com a outra. Por isso regra do “ou”. Dados os eventos A e B, a probabilidade de que ocorram A ou B é igual a: a) se os eventos forem não mutuamente exclusivos (A ^ B possuem elementos comuns) P(A U B ) = P(A) + P(B) - P(A B)

MÁTEMÂTiCA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viitar

270

b) se os eventos forem mutuamente exclusivos (disjuntos) P (A U B ) = 'P (A ) + P (B ) I

Treinam ento co m en ta d o 1. Em uma urna há 12 bolas verdes, 18 bolas amarelas, 20 bolas brancas e 15 bolas pretas. Retirando»se uma bola ao acaso, determine a probabilidade de retirar uma bola branca ou preta.

..RESOLUÇÃO:' Espaço amostrai: 12 + 18 + 20 + 15 = 65 bolas (total de bolas). Evento: 20 + 15 = 35 (branca ou preta). P(A VJ B) = P(A) + P(B). Não temos elementos comuns. P(A O B) = — =

65

65

= —

13

2. (CESPE) Em um concurso público, régistrou*se a inscrição de 1Q0 candidatos. Sabe-se que 30 desses candidatos inscreveram-se para o cargo de escriturário, 20, para o cargo de auxiliar istrativo, e apenas 10 candidatos se inscreveram para os dois cargos. Os demais candidatos jinscreveram-se em outros cargos. Julgue os itens a seguir, considerando que um candidato seja escolhido aleatoriamente nesse conjunto de 100 pessoas. 01 - A probabilidade de que o indivíduo escoihido seja candidato ao cargo de auxiliar istrativo é superior a 1/4. 02 - A probabilidade de que o indivíduo escolhido iseija candidato ao cargo de escriturário ou ao cargo de auxiliar istrativo é iguai a 1/2.

RESOLUÇÃO: Espaço amostrai: 100.

;

'

Evento auxiliar: 20 . Evento escriturário: 30.

’

■

Evento auxiliar e escriturário: 10 (elementos comuns). 01 - A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de auxiliar istrativo é superior a 1/4. P(A) =

= -20— — ~ I t e m errado.

100

100

5 '

C a p .7 -A N Á L IS E COM B IN ATÓR IA E PROBABILIDADE

271

02 - A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de escriturário ou ao cargo de auxiliar istrativo é igual a 1/ 2 . P(A U

8) = P(A) + PCB) - P(A n

B)

P( A U B ) = ü100 + -100^ - 100 ü = i100 “

100

3. Quando Ligia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível do qleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é de 0,11 e a probabilidade de ela pedir ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

0,25 0,35 0,45 0,15 0,65

f

RESOLUÇÃO: Vamos utilizar a probabilidade complementar, na qual ela poderá pedir uma coisa ou outra. P(A n

B) = 0,28 + 0,11 - 0,04 = 0,35

A chance.de acontecer pelo menos um pedido é 0,35. A probabilidade de não acontecer nenhum desses pedidos é 1 - 0,35 = 0,65. Resposta: letra E.

A probabilidade dé dois eventos P (A n B): regra da multiplicação ou regra do “e” P(A n B) = P(A).P(B) Dica: É a probabilidade de 2 sorteios!

T reinam ento co m en ta d o 1. Se uma moeda nao viciada é lançada duas vezes; qual a probabilidade de que ambos os resultados sejam cara?


272

RESOLUÇÃO: 1.° sorteio:

Espaço amostrál: 2 (cara ou coroa) Evento: 1 (cara) ' P(A) = i 2

■

2.° sorteio:

Espaço amostrai: 2 (cara ou coroa) Evento:1 (cara) P{B) = i 2 p(A n

■■:••••••

B) = 1 . 1 - 1 2 2 4

Resposta: 1

’

'

:

4 2. Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bo las, 1 de cada vez, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

RESOLUÇÃO: Nesse caso temos sorteios sucessivos, e como a; questão não mencionou, serão considerados sem reposição de bolas. / 1.° sorteio: uma bola vermelha.

Espaço amostrai: 30 (total de bolas). Evento: 10 (vermelhas). P(A) = — = i ü l = —

30

30

3

2.° sorteio: uma bola azul.

Espaço amostrai: 29 (como é sem reposição, há redução de 30 para 29). Evento: 20 (azuis).

C ap. 7 —ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

3.

273

(BNB) Um globo contém 9 bolas numeradas com algarismos distintos de 1 a 9. Sorteiam-se, ao acaso, com reposição, três bolas do globo. Qual a probabilidade de que o resultado do sorteio seja a seqüência 3,3,3? (A) (B) (C) (D) (E)

3 1/27 1/729 3/103 0,009

RESOLUÇÃO: São três sorteios e tanto o evento como o espaço amostrai são iguais. 1 sorteio. Espaço amostrai = 9. Evento ~ 1 {bola 3).

Cómo 1.° sorteio = 2.° sorteia = 3.° sorteio.

Resposta: letra C.

4. {ESAF WIRE 2002) Em um grupo de cinco crianças, duas delas não podem comer doces. Duas caixas de doces serão sorteadas para duas diferentes crianças (uma caixa para cada). A probabilidade de que as duas caixas de doces sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem comer doces é: (A) (B) (C) (D) (E)

0,10 0,20 0,25 0,30 0,60

RESOLUÇÃO: Vão acontecer dois sorteios e como é as caixas são pára crianças distintas/ logo ocorrerá uma redução do espaço amostrai. 1.° sorteio: uma criança que come doce. Espaço amostrai: 5 (totaí de crianças). Evento: 3 (crianças que comem doce). P(A) = 3 5

274


2.° sorteio: uma criança que come doce. Espaço amostrai: 4 (pois uma criança foi sorteada). Evento: 2 (poij suposição, uma criança que come doce foi sorteada). P(B) = ! - I 4 2 P(A n

B) = 3 . 1 = _3_ ou 0,3

5 2

10

Resposta: letra D.

5.

(MPOG ESAF 2002) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

1/6 1/3 2/3 4/5 5/6

RESOLUÇÃO: Evento: o juiz ver a face vermelha e a outra, mostrada ao jogador, ser amarela. Temos três cartões, logo: Primeiro evento: P(A) Espaço amostrai: 3 (todos os cartões) Evento: 1 (cartão vermelho-amarelo) P(A)

3

Segundo evento: P(B) Espaço amostrai: 2 (vermelho-amareio ou-amarelo ou vermelho) Evento: 1

PÍB) = 1 p(a n

B ) = i | = | :

Resposta: letra A.

Cap. 7 - A N Á U SE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

275

Probabilidade condicional Antes da realização de um experimento, é necessário que já se tenha alguma informação sobre, o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostrai se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. P(A/B) =

P{AÇ]B) P(B)

Dica: Probabilidade condicional -P(A/B)- será a probabilidade de ocorrência de um evento "A", sabendo que já ocorreu o evento "B'r. .

Treinamento comentado (MPU/2004) Carlos Isabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa, Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em i Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que à probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

1/7 5/7 1/3 4/7 2/3

RESOLUÇÃO:

Aqui temos um caso de probabilidade condicionai, pois queremos a probabilidade de Beatriz estar era Paris, sabendo que Ana já se encontra lá. P(B)(evento já ocorrido): Ana estar hoje em Paris é 3/7. P(B): evento já ocorrido. Ana e Beatriz estarem hoje em Paris é 1/7. P(A O B) PfA/B) — ( }

0 B) P (B )

Resposta: letra C.

1/7 3/7

X 3

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓ GICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

276

2. (SERPRO ESAF 2001) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésío ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de( 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é: (A) (B) (C) (D) (E)

5% 8% 10% 15% 18%

RESOLUÇÃO:

Como queremos saber a probabilidade de ele ter ido de avião, sabendo que eie chegou atrasado, íogo temos uma probabilidade condicional. P (A /B )= M M -P(fi)

P(B): chegar atrasado.

■

P(A fY B): ir de avião e chegar atrasado. Descobrindo P(B). -r 8,5% chegar atrasado. Navio yS 40%

^

91,5% não chegar atrasado. '

<

1% chegar atrasado.

J ■

; ■

V--À

99% não chegar atrasado.

Conclusões:

.

Navio e atrasado: 40%.8,5% = 0,34. Navio e não chegar atrasado: 40%.91,5% = 0,366. Avião e atrasado: 60%.1% = 0,06. Avião e não chegar atrasado = 60%.99% = 0,594. P(B) - 0,34 + 0,06 = 0,40 (chegar atrasado pode ser de avião ou navio). P(A P> B) = 0,06 (ir de avião e chegar atrasado). P(A/B) = P (B ) Resposta: letra C.

= M É = o,15 ou 15% 0,40


277

3. (SERPRO 2001 ESAF) O gerente de marketing de uma fábrica de software planeja colocar no mercado um novo programa de análise de dados. Historicamente, 40% dos programas novos lançados pela fábrica são bem sucedidos. Antes do lançamento no mercado a fábrica tem por norma reaiizar uma pesquisa de mer cado que resulta num reíatório com uma conclusão favorável ou desfavorável ao novo produto. No ado, 80% dos programas bem sucedidos receberam relatórios favoráveis e 30% dos programas mal sucedidos também receberam relatórios favoráveis. O novo programa de análise de dados que a ftrma pretende lançar no mercado recebeu relatório favorável. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que seja bem sucedido. (A) 32% (B) 64%

(C) 80% (D) 12% (E) 24%

RESOLUÇÃO:

Resumo do enunciado: 80% favoráveis. Bem sucedidos 40%

20% não favoráveis. 30% favoráveis

Mal sucedidos 60%'

70% não favoráveis.

Conclusão, total; Bem sucedidos é favoráveis: 40%.80% = 0,32. Bem sucedidos é não favoráveis: 4090.20% = 0,08. Mal sucedidos e favoráveis: 60%.30% = 0,18. Mal sucedidos e não favoráveis: 60%.70% = 0,42. Total de favoráveis: 0,32 + 0,18 = 0,50 (P(B)) Bem sucedido e favóráv

P {B ) Resposta: letra B,

0,50

.

278


Treinamento do concursando 1. (Analista MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante, (A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Rflaria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia quaiquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a? (A) 0,15 (B) 0,25 (C) 0,30 (D) 0,20 (E) 0,40 2.

(AFC-STN-2000 ESAF) Uma companhia preocupada com sua produtividade cos tuma oferecer cursos de treinamento a seus operários, A partir da experiência, verificou-se que um operário, recentemente itido, que tenha freqüentado o curso de treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produ ção. Por outro lado, um operário, também recentemente itido, que não tenha freqüentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente itidos, 80% freqüentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente itido na companhia, a probabilidade de que efe não cumpra sua quota de produção é (A) 11,70% (B) 27,40% (C) 35% (D) 83% (E) 85%

3.

(AFC-SFC 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é: (A) 10% (B) 30% (C) 40% (D) 70% (E) 82,5%


r 4.

279

(SERPRO 96) Uma clínica especializada trata apenas de três tipos de doentes: dos que sofrem de problemas cardíacos, dos que têm cálculo renal e dos hiper tensos. Temos que 50% dos pacientes que procuram a clinica são cardíacos, 40% são portadores de cálculo renal e apenas 10% são hipertensos. Os problemas cardíacos são curados em 80% das vezes, os problemas de cálculo renal em 90% das vezes e os hipertensos em 95% das vezes. Um enfermo saiu curado da clínica. Qual 43.1% 42,1% 45,1% 44,1% (E) 46,1% (A) (B) (C) (D)

GABARITO 01 - E

02 - B

03 - B

04 - B

Distribuição binomial das probabilidades É o cálculo da probabilidade de uma série de um mesmo evento, que possui uma relação de sucesso e fracasso. Aqui, a quantidade de acontecimentos desejados é inferior ao totai de lançamentos ou sorteios. Exemplos: 1.° Lança-se 7 moedas. Determine a probabilidade de sair 4 caras. Nesse caso temos 7 sorteios, porém queremos 4 caras. Logo queremos o seguinte resultado: 4 caras (sucesso) e 3 coroas (fracasso). Fórmula: P(de “s ” eventos sucesso) = [CM] x [P (■?)"] x [P(F)f] Cns: combinação de n tomada a p. S: sucesso F: fracasso. Treinamento comentado 1. Uma moeda honesta será lançada sete vezes. Qual a probabilidade de se verificar exatamente cinco vezes o resultado cara?

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno ViHar

280

RESOLUÇÃO: n = 7 resultados. 5 = 5 (sucessds). F= 2 (fracassos). Probabilidade do sucesso: Probabilidade do fracasso: —•

21

P(5 caras) = 2)

U ;

32 4

= 0,1640 ou 16,40%,

128

Treinamento do concursando 1. (ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer de terminada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? (A) 0,98% (B) 1% (C) 2,94% (D) 1,30% (E) 3,96% 2. (ESAF 2009) Ao se jogar um dado honesto três vezes, quai o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez? (A) 35% (B) 17% (C) 7% (D) 42% (E) 58%

G A B A R IT O

01 - c

02 - A


j

281

:

Treinamento do concursando 1.

(PETROBRAS) Segundo Mma reportagem publicada na Revista Veja de 11 de janeiro de 2006, um instituto internacional especializado no estudo do stress ouviu 1.200 brasileiros para saber se há relação entre cansaço e uso freqüente de equipamentos eletrônicos. O quadro abaixo apresenta os percentuais de respostas "SIM” e "NAO", referentes a algumas das perguntas feitas aos en trevistados. Quando o uso de eletrônicos é reduzido você...

Pergunta

Pergunta

SIM

NÃO

[

fica menos tenso?

68 %

32%

(I

fica menos ansioso?

38%

62%

ilt

tem menos insônia?

22 %

78%

IV

apresenta meihoria na concentração?

18%

82%

Considere que todos os entrevistados que responderam “SIM" à pergunta ÍV tenham respondido US!M" também à pergunta l!l. Sorteando-se ao acaso um dos entrevistados, a probabilidade de que a pessoa sorteada tenha respondido “SIM" à pergunta Iti e “NÃO” à pergunta IV será de: (A) 1/25 (B) 4/25 (C) 3/10

(D) 1/5 (E) 3/5 2.

(Anal. Orçamento WÍARE 99 ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não vi ciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas? (A) 25% (B) 37,5% (C) 42% (D) 44,5% (E) 50%

3.

(TFC 1995) Um casal pretende ter quatro Filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é: (A) 3/8 (B) 1/2 (C) 6/8 (D) 8/6 (E) 8/3

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W lar

282

4. (TRT-SC) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a: (A) (B) (C) “(D) (E) 5.

1/15 1/5 1/3 7/15 8/15

Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. A probabilidade condi cional de que tenha ocorrido pelo menos uma face 6, dado que a soma obtida foi 9, é: (A) (B) (C) (D) (E)

7.

i

Um número é escolhido ao acaso dentre os números 1, 2, 3, ..., 300. A proba bilidade de que o número escolhido seja divisível por 3 ou por 5 é: (A) (B) (C) (D) (E)

6.

3% 5% 17% 20% 25%

1/9 1/6 11/36 1/3 1/2

(CESPE) Em uma loteria, com sorteios duas vezes por semana, são pagos mi lhões de reais para quem acerta os seis números distintos sorteados. Também há premiação para aqueles que acertarem cinco ou quatro dos números sorteados. Para concorrer, basta marcar entre seis e quinze!números dos sessenta existentes no volante e pagar o vaior correspondente ao tipo da aposta, de acordo com a tabela abaixo. Para o sorteio de cada um dos seis números, são utilizados dois globos, um correspondente ao algarismo das dezenas e o outro, ao algarismo das unidades. No globo das dezenas, são sorteadas bolas numeradas de zero a cinco e, no das unidades, de zero a nove. Quando o zero é sorteado nos dois globos, considera-se, para efeito de premiação, que o número sorteado foi o 60. Além disso, após o sorteio de cada número, as bolas sorteadas retomam aos seus respectivos globos.

quantidade de números escolhidos no volante

tipo da aposta

6

A6

1,00

7

A7

7,00

8

A8

28,00

9

A9

84,00

valor (em R$)

283


quantidade de números escolhidos no volante

tipo da aposta

valor (em R$)

10

A10

210,00

11

Al 1

462,00

12

A12

924,00

13

A13

1.719,00

14

A14

3.003,00

15

A15

5.005,00

Internet; . o em jul72003 (com adaptações)

Acerca do texto acima e das informaçoes nele contidas; julgue os itens subseqüentes, 1 - Para efeito de prémiação, os números iveis de serem sorteados são lados os inteiros positivos compreendidos no intervalo {1 , 60). 2 - Para o primeiro número que è sorteado, a probabilidade de que o seu algarismo das

dezenas seja igual! a 3 é igua! à probabilidade de que o seu algarismo das unidades seja igual a 5. 3 - Em determinado concurso, a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja o 58 é superior a 0,02. 8. Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sortea das para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é: (A )

(B) (C) (D) (E) 9.

0,10 0,12 0,15 0,20 0,24

(CESPE) Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 01 - A probabilidade;de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0,005. 02 - As chances de ;que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de pro fessor é superior a 80%. 0 3 - 0 número de possíveis grupos contendo 1 processo de professor, 1 de bancário e 1 de médico é inferior a 55.

10. Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual ai 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: (A) 0,40

MATEMÁTICA 5 284 ---------------------

(B) (C) (D) (E)

0,45 0,50 0,04 0,95

RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Vtllar

.

[

j

11. Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a - probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois dados? (A) (B) (C) (D) (E)

7/36 5/18 5/9 1/4 1/9

12. Um grupo de pessoas, das quais 60% eram do sexo masculino, participou de um estudo sobre alimentação. O estudo constatou, dentre outras coisas, que 40% dos homens e 20% das mulheres consumiam regularmente carnes com excesso de gordura. Uma pessoa que participou do estudo será escolhida ao acaso. A probabilidade de que esta pessoa não consuma carnes com excesso de gordura é de (A) (B) (C) (D) (E)

30% 32% 48% 68% 70%

13. (CESPE) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003. estado em que ocorreu o acidente

total de vítimas fatais .V-iv'.: ;v:v; ^exo masculino

sexo feminino

Maranhão

225 ;

Paraíba

153

42

Paraná

532

142

Santa Catarina

188

42

81

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os cilados acima. 01 - A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2.

Cap. 7 - ANÁLISE COMBiNATÓRiA E PROBABILIDADE

285

02 - A chance de que esse relatório corresponda a uma vitima do sexo feminino é superior a 23%. 03 - Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo mascuiino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná e superior a 0,5. 04 - Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão è superior a 0,27. 05 - A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vitima do sexo fe minino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. 14. (AFTN 98 ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é: (A) (B) (C) (D)

(0,1)7 (0,9)3 (0,1 ^ (0,9)7 120 (0,1)7 (0,9)3 120 (0,1) (0,9)7 (E) 120 (0,1)7 (0,9)

15. (IVÍPU 2004.2 ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três deías de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras ~ e apenas essas —em sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

1/3 1/5 9/20 4/5 3/5

16. (ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: (A) (B) (C) (D) (E)

50 10 20 40 70

286


GABARITO 01 - A

02- B

03 - A

Ú4 - B

05 - D

06 - E

07 - C-C-E

08-D

09 - C-C-E

10 - B

11 - B

12- D

13 - C-E-E-C-E

14 - C

15 - A

16 - E

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvi mento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que* em 1791, época da Revolução sa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Sürgia o sistema métrico decimal. METRO A palavra metro vem do grego metron e significa “o que mede”. Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milio nésima parte da distância do Polo Norte ao Equador, no meridiano que a por Paris. No Brasil o metro foi adotadojoficialmente em 1928. MÚLTIPLOS E SUBMULTIPLOS DO METRO Além da unidade fundamentai de comprimento - o metro - existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTiTATiVO - Bruno Villar

288

U n id a d e F u n d a m e n ta l,

M ú ltip lo s quilôm etro

hectõm etro

km

hpn

I.OOOm

lOOm

decãm etro

S u b m ú ltip lo s

m etro

decím etro

centím etro

m

dm

cm

mm

0,1 m

0.01 m

0,001 m

cm

mm

dam ; lO m

m ilím etro

------------- > Cada casa multiplica por 10. <í------------- Cada casa ,divide por 10.

Exemplo: Transforme 1,5 hm em cm. km

hm

dam

m

dm

De hm para cm temos 4 casas. — -------1,5.10000 = 15000 cm. Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto que os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: mícron (fi) = 1 0 - 6 mangstrõn (À) = 10 - 10 m. Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9,5.10i2 km. O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistema métrico decimal. São utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo: Pé

=

30,48 cm

Polegada

=

2,54 cm

Jarda

=

91,44 cm

Milha terrestre

=

1.609 m

Milha marítima

*

1.852 m

MEDIDAS DE TEM PO Segundo: o Sol tbi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas agens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar. As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Cap. 8 - SISTEM A M ÉTRICO DECIMAL

I

289

:

Múltiplos e submúltiplos do segundo Quadro de unidades i M

B

I t

m

minutos

hora

rn m

m

m

m

dia

min

d

60 s

60 min = 3.600 s

24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo: décimo de segundo centésimo de segundo milésimo de segundo

CUIDADO: nunca escreva 2,40h como forma de representar 2h40min, pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Observe:

40 2,40h = 2h'+ ——h - 2 h e 24 minutos : .■ '

4^1

—

'

= !ff

6)3 “ minutos = 24 minutos

MEDIDAS DE MASSA Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. O quilograma (kg) e a massa de 1dma de água destilada à temperatura de 4°C.

Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, uti lizamos na prática o grama como unidade principal de massa.

290

MÀTEMATfCA E RACÍOClNJO LÓGíCO QUANTITATIVO - Bruno W /ar

Múltiplos e snbmúJíipJos do grama Unidade • principal

Múltiplos -■■■ r -

-

/Sübmúítlplos V..

.

quilogram a

hectogram a

decagram a

gram a

decigram a

centigram a

m iligram a

kg

hg

dag

9

dg

cg

mg

1.000g

lOOg

10g

ig

0. 19

0,01 g

0,001 g

|

Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos: 1 dag = 10 g 1 g = 10 dg Cada casa multiplica por 10Í — Cada casa divide por 10. SUPERFÍCIE e a r e a Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro quadrado A unidade fundamental da superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. U n id a d e

M ú ltip lo s

S u b m ú ltíp lo s

F u n d a m e n ta i

quilôm etro

hectõm etro

decâm etro

m etro

decím etro

centím etro

m ilím etro

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

km*

hm 1

dam 1

m3

dm 2

cm 2

mm!

1.OOO.OOOm3

lO.OOOm1

lOOm1

1m 3

0,01 m 3

0,0001 m 3

0,000001 m 3

----------- >- Cada casa multiplica por 100. ----------- Cada casa divide por 100. MEDIDAS DE VOLUME Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais me

Cap. 8 - SISTEM A MÉTRiCO DECIMAL

2 91

didas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico V U nidade fu n d a m e n ta l.

IVtultiplos. quilômetro cúbico k m3 1,000.000.000m3

decâmetro cúbico

hectõmetro cúbico hm J j

.

1.000.000m 3

metro cúbico

dam 3

m1

l.OOOm3

1m3

■decímetro cúbico : dm 3 0,001 m J

Subm últiplos centímetro cúbico

milímetro cúbico

cm3

mm1

0,000001 m 3

0,000000001 m3

lem 3 = 1 ml ldm 3 — 1 litro Treinamento comentado 1. (INSS) Um terreno de1 km2 será dividido em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2, será de: (A) (B) (C) (D) (E)

1.000 2.000 20.000 100.000 200.000

RESOLUÇÃO: . km2;

hm2.: '

dam2

- — ——— í »- Cada casa muitiplica por 100. De km2 pára m2 temos 3 casas. 1.1000000 = 1 000 000 m2 1000000 : 5 = 200000 m2

' dm2

cm2

mm2


292

1 2. (TRT 4.3 região - 06) Sabe-se que enchendo 72 garrafas, cada uma com capacidade de 0,80 L, é possíve! engarrafar todo o líquido de um reservatório. Se o volume de cada garrafa fosse 900 cm1, o número de garrafas utilizadas seria: (A) (B) (C) ~ (D) (E)

640 90 86 64 48

RESOLUÇÃO: 0,8 I = 800 ml 900 cm3 = 900 ml 72.800 = 57600 (quantidade total de mi) x = 57600 ~ 64 900

Treinamento do concursando 1. (TRE 2002 PI) O volume de uma caixa d’água é de 2,760m \ Se a água nela contida está ocupando os 3/5 de sua capacidade, quantos decaiitros de água devem ser colocados nessa caixa para enchê-la completamente? (A) (B) (C) (D) (E)

331,2 184 165,6 110,4 55,2

2. (FCC) Numa casa de material para construção há 80 caixas de azulejos, com 50 unidades em cada caixa. Se cada azulejo ocupa uma área de 500 cm2, quantos metros quadrados há nas 80 caixas? (A) (B) (C) (D) (E)

100 150 120 160 200

mz m2 m2 m2 m2

3. (FCC) Uma transfusão de sangue é programada para que o paciente receba 25 gotas de sangue por minuto, Se a transfusão se estendeu por 2 horas e 12 minutos, e cada gota injeta 0,1 ml de sangue, quantos ml de sangue o paciente recebeu? (A) 330

293

Cap. 0 - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

(B) (C) (D) (E)

530 880 1900 3300

4. (INFRAERO) A dose diária recomendada de um remédio líquido é de 40 gotas. Uma gota desse medicamento pesa 5x10*2 gramas. Então, num frasco contendo 80 gramas desse remédio, temos medicamento suficiente para um tratamento de no máximo: (A) 40 (B) 30 (C) 20 (D) 15 (E) 10

dias dias dias dias dias

5. Um quinta! pode ser ladrilhado com 200 ladrilhos de 250 cm2 de área, cada um. Quantas lajotas de 400 cm2, cada uma, são necessárias para recobrir o mesmo quintal? (A) 135 (B) 125 (C) 120 (D) 112 (E) 100

6. Pedro possui um terreno de 800 m2 e quer construir nele um canteiro que ocupe 20% da metade da área do terreno. Para isso contratou um jardineiro que cobrou R$ 25,00 por m2 de canteiro construído. Quanto Pedro gastará, em reais? (A) 2
400,00 300,00 250,00 120,00 000,00

GABARITO 1- D

2- E

3- A

< 1

5- B

6- E


294

FIGURAS PLANAS Triângulo

DiCA: No triângulo retângulo temos a seguinte relação.

A = a metade do produto dos catetos. A = i L

No triângulo equilátero (todos os lados iguais) A _ N 3 /V 3

(altura do triângulo equilátero)

295

Cap. 8 - SISTEMA M ÉTR IC O DECIMAL

Q uadrado É uma figura que possui 4 lados iguais e lados opostos parale los.

L

L

L

L L = lado A - L2 Perímetro = 4 L ;

Retângulo É uma-figura que possui 4 lados e os lados opostos são iguais.

A = a.b Perímetro = 2a


296

Trapézio É uma figura que possui 4 lados e um par de lados opostos para lelos (bases db trapézio). base menor altura

base maior

A =

(b + B).h

Circunferência É um conjunto de pontos equidistantes a um ponto central, chamado de centro da circunferência.

D - diâmetro r = raio C — comprimento da circunferência 7i = 3,14159... Relação: D = 2r C = 2r.it

Cap. 8 - SISTEM A M ÉTRICO DECIMAL

I

297

7

Área do círculo

A -

v2 . k

FIGURAS ESPACIAIS Prism a

Obs.: as faces de um prisma regular são retângulos congruentes. Áreas Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face (AF): área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral (AL): som a das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

No prisma regular, temos: a) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases; b) área total (AT): som a da área lateral com a área das bases.

298

MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viliar .

;

;

1

AT = AL + 2AB

A área da base depende da figura que forma a base dó prisma. Exemplo: Prisma de base quadrangular. AB = L2 .

.

' . . . . .

O quadrado possui 4 lados, por isso teremos 4 retângulos. AL = 4.L.h (altura do prisma)

Paralelepípedo Paralelepípedo retângido Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. Área lateral: Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL = ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc = AL = 2(ac + bc) Área total: AT = 2(ab + ac + bc)

Cap. 8 - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

299

Volume: a.b.c Obs.: c " h (altura do paralelepípedo) Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: V = abc

Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a = b c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadradas.

Área lateral: AL = 4a 2 Área total: 6 a2 Volume: V = a.a;

Cilindro


300

1 Areas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: a) área lateral (AL): podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

—

^

r .....^

t h 1

-

(3 f

h

■2 71 r-

->1

i

O Assim, a área lateral do cilindro reto, cuja altura é /z, e cujos raios dos círculos das bases são r, é um retângulo de dimensões: Al = 2.7c .r.h b) área da base (AB): área do círculo de raio r: Ab — 7i.r 2 c) área total (AT): soma da área lateral com as áreas das bases AT = AI + 2AB = 2.71 .r.h + 27C.r2 = 2.7C .r (h + r) Cone Cone circular Dado um círculo C, contido num plano a, e um ponto V (vértice) fora de a, chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos VP, P e C .

Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado

Cap. 8 ~ SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

301

pela rotação completa de um triângulo retângulo em tomo de um de seus catetos. A

De acordo com a figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a se guinte relação: g2 = h 2 + R~ Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento / = 2 % R:

Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área lateral (AL): área do setor circular gl

g.2xR

Az = xRg

b) área da base (AB): área do circulo do raio R A g —tuR

c) área total (A^): soma da área lateral com a área da base A t = A l + A b = tu Rg + tu R 2

Volume: VCone __

1

.r2, 7t .h

Ar = x R {g + R)


302

Pirâmides Dados um polígono convexo R, contido em um plano a, e um ponto V (vértice) forá de a, chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos VP, PeC. v

Classificação

tetraedro

Areas Numa pirâmide temos as seguintes áreas: a) área lateral (AL): reunião das áreas das faces laterais b) área da base (A^): área do polígono convexo (base da pirâmide) c) área totai (Aj.): união da área lateral com a área da base A r =

A

l

+

A

b

Cap. 8 -S IS T E M A M É T R IC O DECIMAL

303

Volume O

princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equi

valentes possuem volumes "iguais: ab — área da base h = altura

.ab.h

Esfera A esfera pode ser definida como “um solidogeométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro”; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma;

Fórmulas: Área total: 4n rVolume: Treinamento comentado 1. (CESGRANRIO) Em um terreno de 800 m2 será consthJÍda uma casa que ocupará uma área retangular de 25 m de comprimento por 15 m de largura. A área livre do terreno, em m2, será de (A) 575 (B) 525 (C) 475 (D) 425 (E) 375

MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO ~ Bruno Vsllar

30 4

1 RESOLUÇÃO: Área da casa - 25.15 = 375 m2 Área livre = 800 [- 375 = 425 m 2 Resposta: letra D.

2. (CESGRANRIO)

Uma bola de borracha perfeitamente esférica tem 2,6 cm de raio, A altura mínima h, em cm, de uma embalagem cilíndrica na qual é possível acomodar 3 bolas, como mostra a figura acima, é de: (A) (B) (C) (D) (E)

7,8 9,8 12,6 14,6 15,6

RESOLUÇÃO: A altura de cada bola é o dobro do ralo. Altura da bola: 2.2,6 = 5,2. A altura do cilindro é 3.altura da bola. Altura do cilindro = 35,2 = 15,6.

3. (CESGRANRIO) Uma seringa de forma cilíndrica tem 8 cm de comprimento e 1,6 cm de diâmetro. A quantidade, em mililitros, de remédio líquido que essa seringa contém quando cheia até 50% de sua capacidade é, aproximadamente, de: (A) 2
4 8 12 16

Cap. 8 - SISTEM A M ÉTRiCO DECIMAL

305

RESOLUÇÃO: D = 2r R = 0,8 cm h = 8 cm V = % .i^.h V = 3,14.(0,8)2.8 V = 16,07 O volume é a metade da capacidade totai: 8,035 - 8 Resposta: letra C.

Treinamento final do capitulo 1. (CESPE) Considere uma saia na forma de um paraleiepípedo retângulo, com altura iguai 3 m e julgue os itens que se seguem. 01 - Se as medidas dos lados do retângulo da base são 3 m e 5 m, então o volume da sala é superior a 44 m3. 02 - Se as medidas dos lados do retângulo da base são 4 m e 5 m, então a área total do paraleiepípedo é inferior a 93 m2. 03 — Se as medidas dos lados do retângulo da base são 6 m e 8 m, então a medida da diagonal desse retângulo é inferior a 9 m. 04 - Supondo que o perímetro do retângulo da base seja igual a 26 m e que as medidas dos lados desse retângulo sejam números inteiros, então a área máxima possível para o retângulo da base é superior a 41 m2. 05 - Se as medidas dos lados do retângulo da base são 3 m e 4 m, então a medida da diagonal do paraleiepípedo é inferior a 6 m. 2. (CESGRANRIO) Um terreno retangular de 1.000 m2 é tal que seu comprimento mede 15 m a mais do que sua largura. O perímetro desse terreno, em metros, é (A) (B) (C) (D) (E)

40 65 130 220 400

3. (CESGRANRIO) Um aquário de forma cúbica estava parcialmente cheio de água quando uma pedra de 750 cm3 de volume foi colocada em seu interior. Assim, o nível da água subiu 0,3 cm. Qual é, em cm, a medida da aresta desse aquá rio? (A) 30 (B) 40

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO ~ Bruno VMar 306 ---------------------. ---------------------------------- .

!

(C) 50 (D) 60 (E) 70 í 4. (CESGRANRIO) Se um terreno retangular tem? 51 m2 de área e 6m de largura, _ então seu perímetro, em metros, é: (A) (B) (C) (D) (E)

30,5 29,5 29 28,5 28,0

5. (CESGRANRIO) Um reservatório de forma cúbica de 4m de aresta está cheio de água até % de sua capacidade. Quantos metros cúbicos de água há nesse reservatório? (A) (B) (C) (D) (E)

12 24 32 40 48

6. (CESGRANRIO) Um livro de 350 páginas tem 2cqi de espessura. Dentre os valores abaixo, o que representa com mais precisão a espessura aproximada de cada página, em milímetros, é: (A) (B) (C) (D) (E)

0,046 0,057 0,066 0,070 0,082

7. (CESGRANRIO) Vinte caixas iguais, em forma de paralelepípedo, estão empilha das, como mostra a figura.

307

Cap. 8 - SISTEM A MÉTRICO DECIMAL

Se a piiha de caixas tem 50 cm de altura, 60 cm de comprimento e 40 cm de largura, quais sao, em cm, as dimensões de cada caixa? (A) 4, 5 e 6 (B) 5, 10 e 20 (C) 5, 20 e 30 (D) 6, 6 e 10 (E) 10, 20 e 30

8. (FCC) Numa região ná área rural foram delimitados cinco terrenos retangulares, todos com a mesma largura de 200 m. Os comprimentos dos terrenos são dire tamente proporcionais a 5, 6; 7, 8 e 9, respectivamente e a soma das medidas dos dois menores comprimentos é de 2 200 m. Representação de um terreno qualquer

largura

200 m

comprimento

Qual é, em km, a soma das medidas de todos os lados dos cinco terrenos? (A) 16 (B) 15 (C) 14 (O) 9 <E)6

9. (VUNESP) Uma parede que tem 7,2 m2 de área foi revestida com azulejos qua drados, medindo cada um 40 cm de lado. O número mínimo desses azulejos para revestir toda a parede é igual a (A) 20. (B) 30. (C) 45. (D) 60. (E) 90.

308

MATEMÁTICA E RACiOCÍNlO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Vtllar

‘

'

~l

10. (VUNESP) As medidas internas da carroceria de certo caminhão são de 1 me tro de altura, 6 metros de comprimento e 3 metros de largura. Esse caminhão transportará tijolos cujas medidas são mostradas na figura. |

TJJOLO 10 20 cm

cm

10 cm

Adote: 1 m3 = 1 000 000 cm3 Capacidade = Produto das medidas do paralelepípedo O número total de tijolos que esse caminhão a carregar é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

9 9 9 9 9

000. 100. 200. 300. 400.

11. (CESGRANRIO)

i— 15 cm— | 15 cm | ____________________________________________________

A A figura acima representa a planta de uma escada de cinco degraus, constru ída na portaria de um prédio. A distância, em metros, entre os pontos A e B , marcados na figura, é: (A) (B) (C) (D) (E)

0,75 1,44 1,69 1,80 1,95

12. (CESGRANRIO) Um reservatório de água em forma de paralelepípedo tem 2,5 m de profundidade, 3,0 m de largura e 7,2 m de comprimento. Para aumentar em 10,8 m3 a capacidade desse reservatório, mantendo-se inalterados seu comprimento e sua largura, será necessário aumentar a profundidade, em metros, em (A) 0,5 (B) 0,9 (C) 1,2

(D) 2.4 (E) 3,0

Cap. 8 - SISTEM A MÉTRICO DECIMAL

309

r GABARITO 1 - C-E-C-E-E

2 - C

3- C

4- C

5- E

õ- B

7 - E

8 - A

9- C

10 - A

11 - E

12 - A

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

M ATRIZ Introdução Um exemplo de matriz é o boletim. Exemplo: 1,3 UNIDADE

2.a UNIDADE

3.a UNIDADE

PORTUGUÊS!

7

4

8

MATEMÁTICA

; 4

5 :

3

HiSTÓRIA

6

õ

5

GEOGRAFIA i

4

7

9

Podemos observar que as linhas representam as matérias e as colunas representam a unidade. Qual a nota de português na 3.a unidade? UNIDADE

2.a UNIDADE

3.a UNIDADE 8 3

PORTUGUÊS:

7

4

MATEMÁTICA

4

5

HISTÓRIA

6

6

5

4

7

9

GEOGRAFIA ;


31 2

.

!

Nesse caso, queremos o elemento da primeira linha (português) e terceira coluna (3.a unidade). Resposta: 8 . Transformando o boletim em uma matriz, temos: ,7 4

8"

6

5 J) 6 5

,4

7 9,

4

As linhas são contadas de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita. 2*

3*

'7

4

8'

i."

4

5 3

2.®

6

6

5

3 .“

A

7

9,

4 .’

í.1

V

C olunas

Linhas

Notação geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus ele mentos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

=

a n

a i2

a i3

a 2!

^22

a 23

a 31

a 32

a 33

a mí

a m2

a m3

*

a !a a 2n ■

*

a 3n

a mn

.

Cap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

313

Exemplo: é uma 3 x 3

2 '

A = 0

8

2

-7

Dica: A n r x n {lê-se:m por n) é a ordem da matriz, ou seja, a quantidade de linhas e colunas que a matriz possui. Aij é representação da posição do elemento da matriz. Nesse caso, T representa a linha e "j" representa a coluna. Exemplo: na matriz A, temos: Ó elemento a2] = O e a33 = -7

Forma genérica de uma matriz Exemplos: a) construa a forma genérica da matriz A 3 Clu

an

A = áz\

Ü22

a->t

an

Vamos aprender a construção: Primeiro devemos observar a quantidade de linhas e depois a quan tidade de colunas. A matriz A3x, possui três linhas e duas colunas. Vamos agora construir a primeira linha! SE LIGUE! Temos duas colunas, logo devemos andar duas casas da esquerda para direita (--------►).. A quantidade de casas que vamos andar da esquerda para direita depende da quantidade de colunas.

314

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATiVO - Bruno Villar

Na primeira iinha temos: [Clu

üu] I

Não esqueça de que na primeira linha começamos pelo a n (elemento da_l.a linha e l.a coluna). Na segunda linha temos: 1.a linha

Clu

£7j2

íh,

CI22 2 .a linha

Não esqueça de que na segunda linha começamos pelo a21 (elemento da 2 .° Iinha e I.a coluna) Na terceira linha temos: Clu

Ü12

Ü21

Clzi

&31

Ch2

Não esqueça de que na terceira linha começamos pelo a3} (elemento da 3.a linha e 1.° coluna). b) construa a forma genérica da matriz À4x3: Nesse caso, temos 4 linhas e 3 colunas.: SE LIGUE! " Temos 3 colunas, nesse caso devemos andar três casas da esquerda para direita.

Vamos juntos iniciar a construção! 1.a linha:

[<2 u Cln

2 .a linha:

[#21 Ü 22

CI2 3 ]

3.a linha:

[Ou

# 33]

4.a linha:

[&*1 CI*j

Cln]

Cap. 9 - RAClOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO

I

.. :.

Matriz A 4x3 ,, =

(Xw

Ct\2

Cli 3

Clix

Cll2

& 23

Ch\

Q yl

Chi

ÜAl

a ai

Cl43_

Construção de uma matriz a partir de uma lei de formação Treinamento Comentado

RESOLUÇÃO 1.° o: construir a matriz genérica. A matriz A possuí 2 linhas e 2 colunas. au A ==

cia

ÍIjí - Qzi

2? o: aplicar a lei de formação.

ar

i +i

an ~ 1 + 1 a)2~ 1 + 2 a2i = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 3.° o: substituir òs elementos pelos números obtidos/

A= 2 3 3 4 [9

Resposta: A = ~

'X

^

315

MATEMÁTICA E RACiOClNlO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil/ar

316

2. Construa a matriz B3x2 com by = 2i —j

RESOLUÇÃO:

j

1.° o: construir a matriz genérica, A matriz A possui 3 linhas e 2 colunas. Clu

ãl2

£721

Ol2

t f 31

Ch2

2.° o: aplicar a lei de formação.

b„ = 2 . 1 - 1 = 2 - 1 = 1 bw = 2 . 1 - 2 = 2 - 2 = 0 b,, = 2 . 2 - l = 4 - 1 = 3 b,2 = 2 .

2 - 2= 4 - 2

b3! = 2 .

3 - 2= 4

b., = 2 . 3 - 3 = 6 - 3 = 3 3.° o: substituir os elementos pelos números obtidos.

1 A=

3 4

0 2

3

CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES Operações envolvendo m atrizes M atriz linha: E toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A — [4 7 -3], do tipo 1 x 3 . M atriz coluna: E toda matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, A = H \ do tipo 2 x 1

C ap. 9 - RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

317

M atriz quadrada: Matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz B = 1 0 é do tipo 2 x 2 , isto é, quadrada 4 9 de ordem 2 . SE LIGUE! A diagonal principal é formada peios efementos a..* sendo i - j, e na diagonal se cundária temos I j = n + 1. ^ Exemplo:

diagona! principal t = j diagonal secundária i + j - n + 1

Observe a matriz a seguir:

A, = ordem da matriz diagonal principal diagona! secundária

an = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1 a3! = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + l ( 3 + 1 = 3

+ 1 ).

M atriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos. É representada por 0 m x n. Exemplo: 0 ,- =

0

0

0

0

0

0


318

Matriz identidade: Matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, sendo que os demais são nulos. É representada por I , sendo n á ordem da matriz. Por exemplo: w }

’

b)I,

0

0 1

1

0

o \ 0

0

0

o \

Matriz transposta: Matriz A 1 obtida a partir da matriz A, trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Se A =

2

3

0

-1

-2

1

2

-í

, então A1 = 3

_2

0

1

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A‘ é do tipo n x m. Note que a l.a linha de A corresponde à l.a coluna de A 1 e que a 2.a linha de A corresponde à 2.a linha. Matriz simétrica: Matriz quadrada de ordem n, de forma que A - A*. Por exemplo:


319

Condições para matriz ser simétrica: 1) Ser uma matriz quadrada; 2) A l .a linha é igual à l .a coluna, a 2.a linha é igual à 2.a coluna e assim sucessivamente.;,. Exemplo: a l2 = a2J M atriz oposta: A matriz -A é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo:

A

-A =

-2

3

3

0

2

-3

-3

0

Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição forem iguais: Se A =

2

0

-l

b

, B =

2

c

-1

3

e A = B , então c = 0 e b = 3

OPERAÇÕES DE M ATRIZES Adição A soma de matrizes só pode ser realizada entre matrizes de mesma ordem, ou seja, com o mesmo número de linhas e de colunas. Nesse caso, a soma será feita com a soma dos elementos correspon dentes.


320

1

Exemplos: 4 2 -1 + 0 7 0 3 1

2 3 0

1+ 2

4 + (-l) 0+0 7+ 2

3 3' 0 9 0+1 _ 5 4 1 -1 + 2 1 0 1

3+ 1 1 _„ 2+3 0 + 1 l + (-l) 1 -1 2

0

3

1 -1

1

SE LIGUE! A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b,, = xaj,.

SE LIGUE!

■ '

•.

Nesse caso, multiplicamos por os elementos da matriz peio número real. B= x . A x = número real

•

Observe o seguinte exemplo: 2

7

-1

0

3.2

3.7

6

21

3.(-I) 3.0

-3

0

Multiplicação O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos. A condição de multiplicação de matrizes é que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.

Cap. 9 - RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

321

A matriz produto terá o número de linhas de A(m) e o número de colunas de B(n): Se

e B2*5-

Se Aj x l e Se

então não existe o produto

e B2 x.= matriz A =

1

2

e B =

3 4

como se obtém cada C..: Sj

-1

4

3 para entender 2

SE LÍGUEÍ A=

1 2 3 4

e B~

A

3

4 2

:Na primeira matriz dividimos os elementos em linhas e a segunda matriz em co lunas. Depois, multiplicamos os elementos correspondentes, conforme desenho abaixo.

l.a linha e l.a coluna

A=

pr 3

11

2|

3

* 4 )4

l.(-l) + 2.4

2

l.a linha e 2.a coluna c„

A

11 2| -1 3

4

3

l.( - l) + 2.4 I1.3 + 2.2I

4 .2

2 .a linha e 1 " coluna

A=

-1

3

l.(-l) + 2.4

13 4( 4

2

3.(-l) + 4.4

1

2

1.3+ 2 .2

322


2 .a linha e 2 .a coluna 1

3

l.(-l) + 2.4

2

3 .(-l) + 4.4 13.3 + 4.2

2 -1

A —

13 4|

A.B =

4

7

7

13

17

13 + 2.2

Observe que:

A.B

1-1 3| 1

2

(-1). 1+ 3.3

(-1 ).2 + 3.4]

|4

4

4.1 + 2.3

14.2 + 2.4

2| 3

8

10

10

16

Portanto, A.B s* B . A , ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa. Treinamento comentado 1. (CESGRANRIO) Uma rede distribuidora é composta de 4 lojas instaladas numa mesma cidade. Na matriz M4i7 abaixo, cada elemento representa a quantidade de latas de certo tipo de lubrificante vendida na loja i no dia j da semana, de 12 a 18 de março. Assim, por exemplo, o elemento mn corresponde às vendas da loja 1 no dia 14 (terceiro dia da semana) e o e elemento m4?, às vendas da loja 4 no dia 18 (sétimo dia da semana).

75

83

79

91

: 84

79

113

128

114

123

109

114

123

142

103

98

121

111

119

112

136

169

168

154

148

162

171

189

De acordo com as informações acima, qual a quantidade (otal de íatas de lubrificante que esta rede distribuidora vendeu no dia 15/03? (A) (B) (C) (D) (E)

459 463 477 479 485


323

RESOLUÇÃO: Nessa questão é cobrada a posição do elemento (a„) Resumo: eiemento m|f representa a quantidade de iatas de certo tipo de lubrificante vendida na loja i no dia j da semana de 12 a 18 de março. O dia 15 será representado pela 4.a coluna, e as linhas representam as lojas. Agora, é sò somar os elementos da quarta coluna.

75

83

79

91

84

79

113

12S 114

123

109

! 14 123

142

103

98

! 21

111

í 19

112

136

169

168

154 148

162

171

189

Resposta: 91 + 109 +111 + 148 = 459. Letra A.

2. (AFC-SFC/2001) A matriz S = s^, de terceira ordem; é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a,^ e B = (bt}). Sabendo-se que a(] j- P + j 2 e que bfJ = 2ljt então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: (A) (B) CO) (D) (E)

12 14 16 24 32

RESOLUÇÃO:

Devemos apenas aplicar a lei de formação. a;j = i \ + f e b.j■:= 2lj “*13 “

^13 +

^ 1 3 e ^ 31 ~~ ^ 3 5

A,, = (1)2 + (3)2 : A3] = (3)2 + (I)2

^31

Ai3 = 1 + 9

Ai3 = 10

A31 = 9 + 1

A3, = 10

813 = 2 x 1 x 3 = 6 .

s

831 = 2 x 3 x 1 - 6 Com isso, chegaremos a: **i3 S 31 =

^ i3 + A 31

+

S13. - 1 0 + 6 B 3i

S 3t

=

S!3 + S31 = 16 + 16 = 32 Resposta: Letra E.

1 0

+

6


324

1 SE LIGUE! Esse tipo de questão geralmente pede a soma dos elementos, produto ou a razão (divisão dos números).

3. (Técnico MPU ínistrativa/2004-ESAF) Sejam as matrizes

r~ *1 4 5 A = 2 6 e B = [ 11 32 43 4_ 3 3 e seja xy o elemento genérico de uma matriz X tal que X = (A.B)S isto é, a ma triz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B . Assim, a razão entre xJt e x,2 é igual a (A) 2 (B) 1/2 (C) 3 (D) 1/3 (E) 1

RESOLUÇÃO: Vamos encontrar a matriz X.

fl

4l

i

6

3 3 Vamos encontrar a 1.3 linha.

*12 X = [ 1.1 + 4.1 X= [ 1+ 4 X=

[ 5

*n ■ 1.4 + 4.3

1.3 +-4.2 3+ 8

4 + 12

11

21] •

1 |3 I 4 | 5 12 3 4

2

0

3 *71

X = [ 2.1 + 6.1 X= [ 8

5 + 16]

16

Vamos encontrar a 2.3 linha. 1 ■

*>•« 15 + 4.4]

*22

18

* 2-1

*23

2.3 + 6.2

2.4 + 6.3 >

26

2. 5 + 6.4] ; '

34]

Cap. 9 - RACIOCiNÍO LÓGICO QUANTITATIVO

Vamos encontrar a 3a linha.

1 4 2 6 3 3

1|3 4| 5 12 3 4

X 3!

X 32

X = [ 3.1 + 3.1 X= [

X 33

3.3 + 3.2

3.4 + 3.3

15

21

6

X 3-t

3. 5 + 3.4]

5 11 16 21' 5 18 26 34 6 15 21 27

(A.B)' =

5 8 6 11 18 15 16 26 21 21 34 27

Agora, encontraremos os elementos Xj, e xI2. '5 11 X= _16_ 2\

8 18

6 Í5

26 21 34 27

16 *5 11 X= 16 21 X

JL 6 18 15 26 21 34 27

=8

16 A razao é a divisão dos números: — = 2. 8 Resposta: Letra A.

27]

325

326

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar .

Treinamento do concursando

___

.

[

______________ _____ _

1, O gerente de um depósito de bebidas decidiu montar matrizes com dados sobre as vendas de latas de refrigerantes e de cervejas; Em cada elemento m,, / indica a semana (1 ,2 , 3 ou 4} em que foram efetuadas as vendas e j, o tipo dfe bebida (1 para refrigerante e 2 para cerveja), A matriz abaixo apresenta dados sobre as vendas do mês de março. 560

810

715

915

615

760

540

800

Em abril, foram vendidas 350 latas de cerveja a mais e 220 latas de refrigerante a menos que em março. Sabe-se, também, que as vendas de refrigerantes fo ram menores nas três primeiras semanas do mês, quando comparadas ao mês anterior, e que, na 3.a semana, foram vendidas mais de 800 latas de cerveja. Dentre as opções abaixo, a única que pode representar a matriz referente às vendas do mês de abril é

a)

d)

780

635

560

915 b)

500

870

725

1000

900

735

515

980

640

800

480

775

495

880

570

810

620

1040

715

915

515

950

615

1110

580

765

750

800

e)

460 c)

890

530

940

610

1040

600

765

2, (Técnico MPU istrativa/2004-ESAF) A matriz S - sy, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A - (aSJ) e B = (bI}). Sabendo-se que (a^) = i2 + jz e que b^ = i*, então a razão entre os elementos s^ e s1z determinante da matriz S é igual a (A) 1 (B) 3 (C) 4

(D) 2

(E) 6 3. (AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz (W pode ser representado por m^, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = x^, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aJ e B = (b(J). Sabendo-se que ai; = P e que b(J = (i - j)2, então o produto dos elementos x31 e x„ é igual a: (A) 16

Cap. 9 - RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO

(B) (C) (D) (E)

327

18 26 65 169

4. Genericamente, qualquer elemento de uma matriz IVJ pode ser representado por m,j, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s,., de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a^) e B Sabendo-se que (afj) = i* + j 3 e què {bi}) = (I + j}2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é igual a: (A) (B) (C) (D)

1/5 2/5 3/5 4/5

(E) 1

5. {Técnico IWPU lstrativa/2004-ESAF) A matriz S = s , de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (afJ).e 8 = (b^). Sabendo-se que (afi) = i* + j* e que bSJ == i!, então a razão entre os elementos s, e s., determinante da matriz S é igual! a (A) (B) (C) (D) (E)

1 3 4 2 6

6. (ESAF/AFTN/1998) Sejam as matrizes ~1

A

-°

0* K

, B =

' 3/ 5

-7/8'

4 /7

2 5 /4_

,

c

=

*0 3 /7

! 0 |—29/4

e seja X a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y, se a matriz Y é dada por Y - {AB) + C, então o valor de X é: (A) -7/8 (B) 4/7 (C) 0 (D) 1 (E )2 7. (TFC/1997) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2 x 3), (3 x 4) e (4 x 2), então a expressão [A . (B . C)]? tem ordem igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

2 x2 3 x3 4 x4 6 x6 12 x 12

328

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Villar “ 1

GABARITO 1- A

2 -D

3- D

4- E

5- D

6- C

7- A

DETERMINANTES Toda matriz quadrada está associada a um número real, ao qual damos o nome de determinante. Determinante de 1." ordem Dada uma matriz quadrada de l.a ordem M = [a ], o seu determinante é o número real an: det M = [an] = a,( Exemplos: A —[ 4 ] det A = 4 B = [ -7 ] det B = -7 SE LIGUE! O determinante da matriz de ordem 1 é o próprio elemento.

Determinante de 2.a ordem No caso da matriz quadrada de 2 .a ordem, temos que o determinante será: Det = diagonal principal (DP) - diagonal secundária (DS)


Treinamento comentado 1. Calcule o determinante das seguintes matrizes:

A)

1

3

4

7

RESOLUÇÃO:

B)

12

5

21

7

RESOLUÇÃO: 105 2

JT

84 Det A - 84 - 105 = -21

C)

'3

0

31

9

RESOLUÇÃO: 0

M ■A

27

Det A = 27 - 0 = 27

329

MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna W íar

330

Determinante de matriz de 3.a ordem O cálculo do determinante de 3.a. ordem pode ser feito por meio de um dispositivo pijático, denominado R egra d e Sarnts. Acompanhe como aplicamos essa regra para:

D =

a n

a i2

a i3

a 21

a 22

a 23

a 31

a 32

a 33

1.° o: repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

D =

a il

a i2

a i3

a íl

a !2

a 2l

a 22

a 23

a 2l

a 22

a 31

a 32

a 33. a 31

a 32

2.° o: calculamos a diagonal principal e as diagonais paralelas.

Obs.: Os números que estão no traço devem ser multiplicados. Depois devemos somar os resultados obtidos e obter a diagonal principal resultante. 3.° o: encontramos a soma do produto dos elementos da dia g o n a l secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Obs.: Os números que estão no traço devem ser multiplicados.


3 31

Depois de obter a diagonal secundária e suas paralelas, devemos somar os resultados obtidos e obter a diagonal secundária resultante. Det A “ diagonal principal resultante - diagonal secundária resul tante

Treinamento comentado 1. Calcule o determinante das seguintes matrizes: 1 4

A)

5

2

1 3

9

8

5

RESOLUÇÃO: A matriz é de 3,a ordem, logo devemos aplicar a Regra de Sarrus.

1.° o: calcular a diagonal principal. Ll

Soma da diagonal principal ~ 5 + 40 + 84 = 129

2:° o: calculara diagonal secundária. 45 24 '40

5oma da diagonal secundária: 45 + 24 + 40 = 109

Det: 129 - 109 = 20


332

P R O P R IE D A D E S

D O S

D E T E R M IN A N T E S

Esse tópico é muito cobrado pelas bancas de concursos, fique atento! f

1. M atriz Transposta Se M é uma matriz quadrada de ordem n e M l é sua transposta, então: det(Ml) = det(M).

SE LIGUE! Se uma questão pedir o determinante da transposta, o cálculo do determinante pode ser realizado sem encontrar a transposta.

2. Fila Nula Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então: det(M) “ 0 1 4 0' 4 -7 0 5 8 0 Observe que os elementos da terceira coluna são nulos, logo det A = 0 3. Multiplicação de uma fila por uma constante Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M. det (k vezes uma fila de M) = k.det(M)

SE LIGUE! Se o determinante da matriz A for igual a 3, então, se multiplicarmos uma fila por 4, o determinante da matriz A a a ser: 3 . 4 — 12. Cada vez que multiplicarmos uma fila por um número k/o determinante será k vezes o determinante da matriz A.

C ap. 9 - R ACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

333

4. Multiplicação de uma Matriz por uma constante Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de IvL det (k.M) = kn det(M) Nesse caso, devemos observar a ordem da matriz e o valor da cons tante (k). Exemplo: (SERPRO/1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possuí determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a: (A) 5 (B) 10

(C) 20 (D) 40 (E) 80

RESOLUÇÃO: A matriz A é de ordem 3, logo n = 3 Queremos a matriz 2A, logo K = 2

SE LIGUE! K é o número antes da letra da matriz. Como assim? Exemplo: 4B, K = 4 '

. ;';V

3 A, K = 3

i

Det KA = Kn . detA

K r

Det 2A = 23 . 5 = 2 . 2 . 2 . 5 = 40


334

5. Filas paralelas iguais Se uma matriz M de ordem n > 2 -tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais, então: det(M) = 0 1 5 1 5

A

Podemos observar que a primeira e a segunda linhas são iguais, logo o detA = 0.

6. Filas paralelas proporcionais Se uma matriz M de ordem n > 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então: det(M) = 0

7. Troca de filas paralelas Seja A uma matriz de ordem n > 2, se trocarmos de posição duas filas paralelas, obteremos uma nova matriz B, j tal que: det(A) = -det(B)

8. Produto de Matrizes Seja A e B matrizes quadradas de ordem n, então; det(A . B) = det(A) . det(B) Se A e B são matrizes quadradas, podemos calcular o determinante de cada uma e depois realizar o produto dos determinantes obtidos. A

=

5 e _° 2

3 5

1

Det A -

1 5 0 2

2

—

2

—

1

0=2

3 5 Det B = 2 = 3 - .1 0 = -7 1 Det (A . B) = 2 . -7 = -14

335

Cap. 9 - RACIO CÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO

9. Matriz triangular O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principai. ’1

2

1'

A = R ) \4 5 ÍO 0 ^ 8 Matriz triangular é uma matriz que possui os iiúmeros abaixo ou cima da diagonal principal iguais a zero. Det A = 1 . 4 . 81= 32

T r e in a m e n to c o m e n ta d o

2 1. (Técnico IV1PU/2GÜ4} O determinante da matriz X= inteiros positivos tais que a > 1 e b > 1, é: (A) (B) (C) (D) (E)

0

2 —a

b a

0

0

5

0

0

0

0 —a , onde a e b são b

6

-60a 0 60a 20ba2 • a(b - 60)*

RESOLUÇÃO:

X=

2

2

0

—a 0

b a 5

—a b

0

0

0

6

0

0

Nésse caso, a matriz X é uma matriz triangular. Não esqueça! O determinante da matriz triangular é igual ao produto dos eiementos da diagonal principal. Det X = 2 . -a . 5 . 6 = -60a Resposta: Letra A.

336

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viílar

2. (MPOG cando ordem matriz

2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém tro linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua transposta é igual a:

(A) -2 (B) -1/2 (C)'4 (D) 8 (E) 10

RESOLUÇÃO: O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz. Det A = 2 n = 2 (ordem da matriz) det K A = Kn . det A Det 2A = 22 . 2 = 4 . 2 = 8 Resposta: Letra D.

3. (AFC/STN 2005-ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respec tivamente, à terceira, à segunda e à primeira coluna da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: (A) -x-6 (B) -xB (C) x3 (D) -1 (E) 1

RESOLUÇÃO; Resumo: A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz 8 são iguais, respecti vamente, à terceira, à segunda e à primeira coluna da matriz A. Conclusão: A primeira coluna da matriz B = terceira coluna da matriz A. Se trocarmos a posição da primeira e da terceira colunas de B, então a matriz B será igual à matriz A.

Cap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO

337

Nesse caso, a propriedade cobrada é a troca de posições de filas paralelas. Det A = x3 Det B = -x3 (troca a posição da fila, então troca o sinal. Não esqueça de que, quando trocamos a posição das colunas da matriz B, as matrizes A e B se tornaram iguais). Det (A . B) = x5 . -x3 = -x6 Resposta: Letra B.

5. (Téc. MPU Controle lnterno/2004-ESAF) Considere as matrizes X = Y= o

"a

2

3t

2

b

6

5

3 c

1 2

5

2

3

4 3

7

6

onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então,

determinante do produto das matrizes X e Y é igual a: (A )0 (B) a + b (C) a (D) a + c (E) a + b + c

RESOLUÇÃO: Det (X . Y) = det X . det Y :1.° o: calcular o determinante da matriz X.

MATEMÁTICA E R ACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vítlar

338

SE LIGUE! A matriz X possui a primeira e a segúnda iinha proporcionais. 1 2 2 4

6

3'

■5.-3

7^

'? {1, 2, 3) é proporcionai (2,4, 6), pois a divisão entre eles é constante: y

4

f*

= 2,

0 determinante de Matriz que possui filas paraieias proporcionais é nulo.

a 5 1 a b C 6. (BNB/2002-FCC) Dadas as matrizes A » 5 3 2 e B = b 3 2 de determinantes 2 4 6 Lc 2 3. “a", "b’ e “c”, temos

(A) (B) (C) (D) (E)

det(A) det(B) det(A) del(A) del{A)

= = = = *

det(B) 2.det(A) 2.det(B) -2.det(B) - de{(B)

RESOLUÇÃO: Nesse caso, temos que observar com cuidado! Agora, como visualizar a propriedade? A=

a

b

c

5

3 4

2

2

6

a e B-

b

c

5 3 2

1 2 3

Observe que: 1.a linha de A = l.a coluna de B 2.a linha de A = 2 a coluna de B,

3.a linha de A = ao dobro da 3.a coluna de B Conclusão: a linha de um é a coluna do outro, assim como uma fila é o dobro da outra. ■■■■ Vamos calcular a matriz transposta de B: B=

a b

c

5 3 2

1 2 3

a b c 5 3 2 1 2 3

C ap. 9 - RACIO CÍNIO LÓGICO Q U A N T IW IV O

339

Agora, vamos comparar a matriz A com a Matriz B':

A=

0 b

c

5

2 6

2

3 4

r0

B* =

b

G

5: 3

2

2

3

Conclusão: a 3.a iinha de A é igual ao dobro da terceira linha de BV Se a terceira linha de B' for multiplicada por 2, então as matrizes serão iguais. Se uma fila for multiplicada por k, o determinante será K.det da matriz. Det(A) = 2.det(B) Resposta: Letra C.

07. {TFC/CGU-ESAF/2008) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por z^, onde “i” representa a linha e “j ” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A “ (a;i), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (x(J) e Y = (ytI). Sabendo-se que (xy) = iin e que y!} = (i - j)a, então a potência dada por e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: (A) V2 e 2 (B) 2 e 0 (C)

e 1

(D) ~ V 2

e 0

(E) 4 Í e 0

RESOLUÇÃO:

;

1.° o: vamos calcular os elementos au e a)2.

(x()) = i x „ = 2m -

ytj = (i-j}2 y2, = (2 - 2)2 = o2 = o a = V2 + 0 = V2


340

a i2

^12

^12

y ^ o -j)*

y „ = ( i - 2)2 = (-1 )2 =

1

al2 = 1 + 1 = 2 (a32)a'2 = (V2 )2 = 2 Nesse caso, já descobrimos a resposta, pois só uma aiternativa possui o 21 Resposta: Letra B.

08. {APO-MP-ESAF/2G05) O menor complementar de um elemento genérico de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coiuna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y - y„, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = {al}) e B ~ (b,j). Sabendo-se que (a^J - {i + j)2 e que bf] = i3, então o menor complementar do elemento V23 é igual a: (A) (B) (C) (D) <E)

0 -8 -80 8 80

RESOLUÇÃO: Menor complementar, processo: 1.° o: retirada da linha e da coluna a que pertencem o elemento. 2° o: calcular o determinante dos elementos que sobraram. Vamos agora encontrar a matriz Y. Matriz Y = matriz A + matriz B Construção da matriz A: C I\2

£7i3

A = Clv

Cln

üi

Ck1

Cln

a 33

C li}

C ap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO

Aplicando a iei de formação: (a,.) - (i + j ) 2 a,, — (1 + 1 }2= 22 = 4 aJ2 =

(1 + 2)2= 32 = 9

aI3 =

(1+ 3)2 =

42 =16

a2! = (2+ 1}2 -

32 =9

-

a; j = (2 + 2)2 = 42 = 16 a23 =

{2 + 3}2= 52 = 25

a35 =

(3 + 1}2= 42 = 16

a3, =

(3+ 2}3 = 52 = 25

a„ =

(3+ 3}2 = õ2 = 36

A=

4

9

16'

9

16

25

16

25

36

Construção da

s =

matriz B:

bu

biz

bn

b-.i

bu

bi

b r.

bi

bv

Aplicando a leí de formação: b.} = P b11 = I12 = 11 b„ = 11 = i b „= i2= i b,, = 2! = 4 bJ; = 2! = 4 ba = 2! = 4 b3, = 3= = 9 b3J = 3J = 9 b„ = 3! = 9 1 B=

1 1

4

4 4

9

9 9

3 41

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Brvno Villar

342

1 X= A+ B

4 x = '

9

9 16 16 25

16' i '1 : 1 ;;i‘ 4 4 4 25

13

10 ■17" 20 29

9 9 9

25

34

36

45^

Agora, vamos calcular o menor complementar y23: Menor complementar y,3 significa dizer que devemos retirar a 2.a iinha e a 3.3 coluna da matriz X. 5 ' 10 25

34

= 170 ~ 250 = -80

Resposta: Letra C.

SE LIGUE! Poderíamos simplificar o cálculo da seguinte forma: Ou

Ú\2

«2!---- Qt Cln

Ün

Calculando apenas os elementos que sobraram!

Treinamentodo concursando

01. (SERPRO/1996) As matrizes: X «

*l

2

3'

2

4

6 ,Y

5

3

7

h

2

6

_5 3

15

apresentam, respectivamente, determinantes iguais a: (A) (B) (C) (D) (E)

0, 0 e 0 1, 1 e 1 0, 1 e 1 2, 3 e 4 -1, -1 e -1

3'

2 5

eZ =

' 1

2

3'

2

5

J0

25

6 30

343


02. (AFC-STN/2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a (A) 1/3 (B) (C) (D) (E)

%

3 9 27 81 2:

03. (ESAF-ANA/2009) O determinante da matriz B = (A) (B) (C) (D) <E)

I

0

a

b

c

4+a

2+ b

c

2bc + c - a 2b - c a+ b+ c ■ 6 + a + b+ c 0

04. (MPOG ESAF/2008) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: (A) 10*

(B) 10s (C) 10ÍD

(D) 10® (E) 10a 05. (EFAZ-APOFP/SP ESAF/2009) O determinante de uma matriz 3 por 3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1.a tinha por 2 e os três elementos da 2? coluna por -1, o determinante será: (A) -X2

(B) (C) (D) (E)

-2x 4x2 x3 '2x-

06. (MF ESAF/2009) Sèja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os ele mentos da segunda linha por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica: (A) (B) (C) (D) (E)

multiplicado multiplicado multiplicado multiplicado multiplicado

por -1 ; por -16/81 por 2/3 por 16/81 por -2/3


344

,

j

07. (Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B = 21/4A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2 1/z, então o determinante da matriz B é igual a: (A) T n (B) 2 '12 (C) 2 (D) 1 (E) 2-,M

I

GABARITO 1- A

2 - E

3- E

4- D

5- C

6 - E

7- D

MATRIZ INVERSA (A 1) Condições para uma matriz itir inversa: 1) ser quadrada; 2) seu determinante deve ser diferente de zero. Dica: A . A'' ~ I Det A . det A'1= 1

O produto de uma matriz pela sua inversa resulta em uma matriz identidade.

Na matriz identidade, os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e o restante dos elementos é igual a zero.

SE LIGUE! Det A . det A-' = 1

Método do concursando Esse método serve exclusivamente para uma matriz de ordem 2.

345

C ap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

1) Determine a matriz inversa da matriz A =

2 4 1 3

RESOLUÇÃO: 1.° o: calcular o determinante da matriz A.

Det A =

2 4 =6-4=2 1 3

2.° o: calcular a matriz adjunta de A { A }.

h a

d

-b

—c

a

A matriz adjunta é obtida pélá troca da posição dos elementos da diagonal principal e pela troca do sinal dos elementos da diagonal secundária. 3 -1

A =

-4 2

3.° o: aplicar a fórmula: A'1 = — , Matriz adjunta ( A ) , : ■ d e t/i ■■■■:

:

1 > '3 -4' 2' - r ;2 _

i-4 i - 1 K

“ 4" ‘ 3 f 3/2 2 2 " [-1 /2 1 2 , 2 ;; 2 .

-2' l

Treinamento do concursando 2 4 l l e B a soma dos 3 l 1 2 elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a:

1. (AFC/97) Considerando-se as matrizes A

(A) (B) (C) (D) (Ê)

-10 -2 1 2 10

346

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓ GiC O QUANTITATIVO - Bruno Villar

02. (Oficial de Chancelaria/2002) Dada a matriz

r %1 nH e

sabendo que o determinante

de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual a: (A) -1 (B) 0 (C) 1/2 (D)-1 (E) 2

GABARITO 1- B

2 - A:

NOÇÕES DE GEOM ETRIA PLANA Ângulos Definição Angulo é o nome da região formada por duas semirretas de mesma origem.

AÔB ou ângulo a Ângulo agudo E aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto (90°).

Cap. 9 - RACIO CÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO

347

Ângulo obtuso É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso. -<

Ângulos complementares: â + ê = 90° O complemento de um ângulo â é: 90 - â Ângulos suplementares: â + ê — 180° O suplemento de um ângulo â: é 180° -â Ângulos opostos; pelo vértice

- a e y são opostos pelo vértice. - 0 e P são opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes. Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, deter minam oito ângulos, assim denominados:

MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bmna Villar

348

t

Ângulos correspondentes são congruentes, ou seja, iguais. Conclusão: a = a, b = p, c = y, d = 0 Ângulos opostos pelos vértices são congruentes, ou seja, iguais. Conclusão: a = c, b — d, a = y, p = 0 Ângulos alternos são congruentes, oü seja, iguais. Alternos internos: c = a, d = p Alternos externos: a » y, b = 0 Ângulos colaterais Ângulos colaterais internos: c +p= 180°, d + a = 180° Ângulos colaterais externos: a +0 = 180°, b + y = 180° Triângulos Classificação em relação aos lados a) Equilátero: tem os três lados iguais e os três ângulos iguais (60°).

349

Cap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATiVO

r SE LIGUE! Os ângulos internos são iguais a 60° A aitura é igual:

’ 4

b) Isósceles: tem dois lados iguais e dois ângulos iguais.

SE LIGUE! No triângulo isósceles os ângulos internos da base são iguais.

c) Escaleno: os três lados são diferentes e também os três ângulos.

Semelhança de Triângulos Dois triângulos ABC e A’ B ’ C’ são dito semelhantes, se: 1) os ângulos correspondentes forem congruentes (A = A’, B = B ’ e C = C5) 2 ) os lados correspondentes forem proporcionais

''a

b

c'

ka'

b'

c\


350

Os triângulos semelhantes têm proporcionais os lados, a altura e a área.

SE LIGUE!

!

A área deles está na razão de k2, sendo k a constante de proporcionalidade.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa à hipotenusa m e n: projeções dos catetos sobre a hipotenusa Relações métricas 1) bc = a.h 2 ) c2 = a.m

3) b2 = a.n 4) h2 = m.n Teorema de Pitágoras: a2 — b2 + c2 Tabela trigonométrica X

sen x

COS X

tg X

0°

0

1

0 :

30°

1 2

£ 2

A 3 ;

Cap. 9 ~ RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

X

45°

O 0

60°

sen x

2

COS X

£

351

tg x ;

i

1

V3

|

"

í

2 1

A 2

2

1

0

Quadriláteros O quadrilátero é o polígono de quatro lados.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. Paralelogramo É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Os ângulos opostos são congruentes. Paralelogramos Notáveis Retângulo: é o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes e de medida igual a 90°.

352

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viüar

Losango: é o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.

As diagonais são perpendiculares entre si, ou seja. formam 90°. Quadrado: é o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos iguais entre si.

Trapézio: é o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si. D

C

Polígonos regulares São polígonos convexos que possuem lados iguais e ângulos internos iguais e ângulos externos iguais. Principais polígonos regulares: - Triângulo equilátero - Quadrado


- Pentágono (5 triângulos equíláteros) - Hexágono (6 triângulos equíláteros) Fórm ulas: Número de diagonais:

^

Soma dos ângulos internos: (n - 2). 180° Soma dos ângulos externos: 360° Triângulo É uma figura de 3 lados.

base

x

altura

Dica: No triângulo retângulo temos a seguinte relação.

No triângulo equilátero (todos os lados iguais)

a

-M

4

h = tlL

(altura do triângulo equilátero)

353

354

MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bmna Villar

Quadrado É uma figura que possuí 4 lados iguais e os lados opostos são pa ralelos. I L

L

L

L

L = lado A = L2 Perímetro = 4L Retângulo É uma figura que possui 4 lados e os lados opostos são iguais.

a

A = a.b Perímetro = 2a + 2b Trapézio É um figura que possui 4 lados e um par de lados opostos paralelos (bases do trapézio). base menor

altura

base maior


355

_ (b + B )h

Circunferência E um conjunto de pontos é equidistantes a um ponto central, o qual é chamado de centro da circunferência.

D = diâmetro r = raio C = comprimento da circunferência íc = 3,14159... r Relação: D = 2r C = 2r. n Área do Círculo

A = r2 . k

MATEMÁTICA E RACiOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

356

Treinamento comentado 1. (AFTN 1998/ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a hi potenusa um ângulo de 45°. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a soma das medidas aos catetos é igual a: (A) 8 cm2 (B) 16 cm (C) 4 cm (D) 16 cm1 (E) 8 cm

RESOLUÇÃO: Nesse caso, temos um triàngulo-retãngulo-isósceles.

A medida do ângulo b é 45° e do ângulo c é 90° (ângulo reto), logo o ângulo a mede 45°. Conclusão: o triângulo que possui dois ângulos iguais é isósceies, logo:■ b e c são iguais. ! f =s b.c = 8.2 B.C = 16 Como b = c, temos: b.b = 16 b2 = 16 b = VTó b= 4 Conclusão: c = 4

;

Resposta: 4 + 4 = 8 cm. Letra E.


357

2. (Analista de Recursos Financeiros SERPRO 2001 ESAF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m, A área do segundo triângulo será igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

6 m2 12 m2 24 m2 48 m2 60 m3

RESOLUÇÃO: T1 tem medidas: 6,8 e 10, logo o perímetro é 6 + 8 + 10 > 24 O perímetro de T2 é 12. '

' A razão sera: .

71 24 —- = — = 2 T2 12

TI = 2 . T2

Conclusão: as medidas de T2 serão a metade de T1. As medidas dè T2 = 3, 4, 5.

SE LIGUE! - 3, 4 e 5 são as medidas do triângulo retângulo clássico. - 3 e 4 são os ca tetos e 5 é a hipotenusa. - A área do triângulo retângulo é o produto dos catetos.

3. (AFC 2005 ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede V2cm e um outro mede 2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a (A) 3-” 3 (B) 2~v2 (C) 1 (D) 2V2 (E) 3^

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna W /ar

358

RESOLUÇÃO: Temos que ângulo formado entre dois lados é 45°. Vamos aplicar a fórmlila da área em função dos lados e ângulo formado entre eles.

2

2

2

1

4. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y, onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A+X é igual a 45°, segue-se que: (A) (B) (C) (D) (E)

Y = -2X Y= X Y = (3,/2)/2X Y = 2X Y = 31,ZX

RESOLUÇÃO:

A+X

Os catetos são A + X e A + Y , é a tangente é a divisão entre os catetos. tg,f go __ cateto oposto cateto adjacente

_ A +X A+Y

Cap. 9 - R ACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

359

Tg 45° = 1 A+ X A+Y A+ X= A+ Y Conclusão: x = y Resposta: Letra B,

5. (ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1 e T2, é igual a 8. Sabese que a área do triângulo T1 é igual a 128m:í Assim, a área do triângulo T2 é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

4 m2 16 m3 32 ms 64 m3 2 m2

RESOLUÇÃO: A razão entre eles é 8 A razão da área é k2

QUESTÕES FINAIS

ESTILO FCC - RA CIOCÍN IO LÓ G ICO QUANTITATIVO 1. Uma aranha demorou 20 dias para cobrir com sua teia a superfície total de uma janela. Ao acompanhar o seu trabalho, curiosamente, observou-se que a área da região coberta peta teia duplicava a cada dia. Se desde o inicio ela tivesse contado com a ajuda de outra aranha de mesma capacidade operacional, então, nas mesmas condições, quantos dias seriam necessários para que, juntas, as duas revestissem toda a superfície de tal janela? (A) 10 (B) 12

-

(C) 15 (D) 18 (E) 19 2. Indagado sobre a quantidade de projetos desenvolvidos nos últimos 10 anos em sua área de trabalho, um Analista Legislativo que era aficionado em matemática respondeu o seguinte: "O total de projetos é igual ao número que, no críptograma matemático abaixo, corresponde à palavra ESSO”. (S O )3 = E S S O

Considerando que, nesse criptograma, íeíras distintas equívaiem a algarismos distintos escolhidos de 1 a 9, então, ao decifrar corretamente esse enigma, conclui-se que a quantidade de projetos à qual ele se refere é um número (A) menor que 5.000. (B) compreendido entre 5.000 e 6.000. (C) compreendido entre 6.000 e 7.000. (D) compreendido entre 7.000 e 8.000. (E) maior que 8.000.

362

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Brvno Vitlar

3. Em um jantar em homenagem a um político se reúnem 16 pessoas, incluindo o homenageado. Todas essas pessoas são deputados ou senadores, cada qual Filiado ao partido X ou ao partido Y. Com relação a esses comensais, sabe-se que: f - há mais membros do partido X que do Y; - o número de deputados filiados ao partido Y é maior que o número de deputados filiados ao partido X; - dos filiados ao partido X, o número de senadores èl menor que o número de de putados; - apenas um dos membros do partido Y é senador. Nessas condições, é correto afirmar que, nesse jantar,: o total de (A) (B) (C) (D) (E)

deputados senadores deputados senadores deputados

é 11. é 6. filiados ao partido X é 4. filiados ao partido X é 6. filiados ao partido Y é 5.

4. Segundo dados de uma pesquisa, em 2006 cinco deputados - cujasfetras iniciais dos nomes eram A, B, C, D e E - encaminharam ã Mesa daCâmara 9, 12, 14, 15 e 18 projetos, não respectivamente. Constam também nessa pesquisa as seguintes informações: - tais deputados tinham 28, 36, 42, 45 e 56 anos de idade e eram filiados ao PT, PSDB, PFL, PSOL e PTB, não necessariamente nesta ordem; - o deputado mais idoso era filiado ao PSDB; - o deputado mais jovem era filiado ao PSOL e a letra inicial B;

do seu nome não é

- o deputado filiado ao PT tinha 42 anos e a letra inicial do seu nome não é D e nem C; - tanto o deputado cujo nome começa por E, que apresentou 18 projetos, como o deputado cujo nome começa por C, que apresentou 15 projetos, nãoeram filiados ao PSDB e nem ao PFL; - o deputado cujo nome começa por D apresentou 12 projetos: dois a menos que o filiado ao PTB, cuja letra iniciai do nome não é B; ; - o deputado cuja letra inicial do nome é A não era filiado ao PSDB; - o deputado que tinha 36 anos não foi aquele que apresentou 14 projetos; - o deputado cuja letra inicial do nome é D não tinha 56 anos. Com base nas afirmações dadas, é correto afirmar que o deputado filiado ao (A) (B) (C) (D) (E)

PTB tinha 36 anos. PSDB apresentou 12 projetos. PSOL tem por inicial de seu nome a letra C. PFL tinha 45 anos. PT apresentou 15 projetos.

Cap. 10 - QUESTÕES FINAiS

363

(FCC) Considere que, em um determinado instante, P ageiros aguardavam seu voo em uma sala de embarque de certo aeroporto. Na primeira chamada, embarcaram os idosos, que correspondiam à metade de P; na segunda, em barcaram as mulheres não idosas, cuja quantidade correspondia à metade do número de ageiros que haviam ficado na sala; na terceira, embarcaram alguns homens, em quantidade igual à metade do número de ageiros que ainda restavam na sala. Se, logo após as três chamadas, chegaram à sala mais 24 ageiros e, nesse momento, o total de ageiros na sala ou a ser a metade de P, então na (A) primeira chamada i embarcaram 34 ageiras. (B) primeira chamada i embarcaram 36 ageiros. (C) segunda chamada embarcaram 16 ageiros. (D) segunda chamada embarcaram 18 ageiros. (E) lerceira chamada embarcaram 12 ageiros. 6. (FCC) O esquema abaixo representa a multiplicação de um número natural F por 8, resultando em um número G.

OOIO x 8

08020 Os círcuios são algarismos, que satisfazem às seguintes condições: - são distintos entre si; - são diferentes de zero; - o algarismo das centenas de F é maior que o algarismo das centenas de G. Determinando corretamente esses cinco algarismos, verifica-se que o algarismo (A) dos milhares de F é 3. (8 ) das centenas de F é 3. (C) das unidades de F é 8 . (D) das centenas de G é 5. (E) das unidades de G é 6 .

7. Regina e Roberto viajaram recentemente e voltaram três dias antes do dia depois do dia de antes de amanhã. Hoje é terça-feira. Ém que dia Regina e Roberto voltaram? (A) (B) (C) (D) (E)

Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Sábado Domingo


364

8. (FCC) Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade operacional, são capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, ser funcionarem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é •

(A) 100 (B) 200 (C) 400 (D) 600 (E) 800

9. (FCC) Três analistas judiciários - Aurélio, Benício e Custódio - foram incumbi dos de implantar um sistema informatizado de processamento de informações. Sabe-se que, individualmente, Aurélio levaria 3 horas para cumprir tal tarefa, enquanto que, sozinho, Benício levaria 6 horas. Então, considerando que, juntos, os três gastaram 1 hora e 30 minutos para implantar o sistema, quantas horas Custódio, sozinho, levaria para implantá-lo? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 10. Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mesmo tipo e, ao longo de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80 desses micros ele recebeu o que havia pagado pelos 94 que havia comprado, e cada um dos 14 micros restantes foi vendido pelo mesmo preço de venda de cada um dos outros 80. Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcentagem de lucro do comerciante nessa transação foi de (A) 17,5% (B) 18,25% (C) 20% (D) 21,5% (E) 22% 11. A tabela abaixo permite exprimir os valores de certas grandezas em relação a um valor determinado da mesma grandeza tomado como referência. Os múlti plos e submúltiplos decimais das unidades derivadas das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser obtidos direta ou indiretamente dos valores apresentados e têm seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados.

Cap. 10 - QUESTÕES FINAIS

365

(Fonte: Quadro G eral de unidades de M edida, 2 .a ed. IN M E T R O . Brasília, 2 0 0 0 )

NOME

r.

s Im b o l o

FATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA

tera

T

giga

G

IO” = 1 000 000 000

mega

M

10s = 1 000 000

10,3 = 1 000 000 000 000

quilo

k

10J = 1 000

hecto

h

101 = 100

deca

da

10 =. 10

deci

d

10 1 = 0,1

cerni

c

103 = 0,01

mili

m

10J = 0,001

micro

P

10* = 0,000 001

nano

n

10 9 = 0,000 000 001

pico

P

10'" = 0,000 000 000 001

Assim, por exemplo, se a unidade de referência fosse a grama (g), teríamos 35 mg = 35.10'3g = 0,035 g. Considerando o byte (b) como unidade de referência, a expressão (0,005 Gb) x (0, i 2 ^b) g equivalente a 0,25 Mb (A) (B) (C) (D) (E)

12.

2,4 \ib 2,4 cb 0,24 mb 0,24 nb 0,024 _dab

Cinco amigos — Américo, Basilio, Carlito, Dante e Eliseu - cotizaram-se para comprar um presente de casamento, contribuindo com R$ 50,00, R$ 60,00, R$ 80,00, R$ 100,00 e R$ 150,00, não necessariamente na ordem dada de seus nomes. Sabe-se que: - Suas profissões são analista judiciário, professor, advogado, dentista e médico; suas idades são 25, 28, 30, 32 e 33 anos, não respectivamente; - O analista judiciário. Que não è Basilio, tem 30 anos e contribuiu com RS 50,00; - O advogado contribuiu com menos de R$ 150,00; - Dante, que não tem 30 anos, contribuiu com R$ 60,00; ~ Aquele que tem 32 anos não é advogado e nem dentista; - Eliseu tem 33 anos, é médico e contribuiu com mais de R$ 60,00; - Américo é dentista e contribuiu com R$ 80,00; - Aquele que tem 25 anos não é professor e nem advogado; - Nem Basilio e nem Carlito têm 32 anos.

366


Com base nessas informações, é correto afirmar que: (A) Américo tem 28 anos •(B) Basilio contribuiu com R$ 150,00 (C) Cariilo é analista judiciário (D) Dante tem 25 anos (E) Eliseu contribuiu com R$100,00 13. Assinale a alternativa correspondente ao número de cinco dígitos no qual o quinto dígito é a metade do quarto e um quarto do terceiro dígito. O terceiro dígito é a metade do primeiro e o dobro do quarto. O segundo dígito é três vezes o quarto e tem cinco unidades a mais que o {quinto. (A) (B)
17942 25742 65384 86421 97463

14. Juntam-se 64 cubos de madeira idênticos, de aresta icm , formando um cubo maior, de aresta 4cm. Em seguida, cada das seis faces do cubo maior é pinta da. Após a secagem da tinta, separam-se novamente os 64 cubos menores e n deles são escolhidos, de maneira aleatória. O menor valor de n para que se possa afirmar com certeza que pelo menos um dos cubos sorteados não teve nenhuma de suas faces pintadas é: (A) (B) (C) (D)

57 56 49 48

<E) 9 15. Josué foi incumbido de tirar cópias de um conjunto de informações sobre legislação trabalhista, que deverão ser entregues a 11 pessoas. Se 8 dessas pessoas deverão receber apenas um conjunto e as restantes solicitaram dois conjuntos a mais do que elas, a quantidade exata de conjuntos de que Josué deverá tirar cópias é um número compreendido entre (A) (B) (C) (D) (E)

30 25 20 15 10

e e e e e

35 30 25 20 15

16. Uma pessoa dispõe apenas de moedas de 5 e 10 centavos, totalizando a quantia de R$ 1,75. Considerando que ela tem pelo menos uma moeda de cada tipo, o total de moedas que ela possui poderá ser n o máximo igual a (A) (B) (C) (D) (E)

28 30 34 38 40

Cap. 1 0 -Q U E S T Õ E S FINAIS

367

17. Um feirante comprou maçãs de dois fornecedores: um deles as vendeu na base de 5 maçãs por R$ 2,00 e o outro na base de 4 por R$ 3,00. Se ele comprou a mesma quantidade de maçãs de cada um desses fornecedores, então, para não ter lucro e nem prejuízo, pode revender todas as maçãs que comprou na base de (A) (B) (C) (D) (E)

18 20 32 36 40

unidades unidades unidades unidades unidades

por por por por por

R$ 25,00. R$ 23,00. RS 24,00. R$ 25,00. R$ 23,00.

18. Certo dia, Zeus e Fnda foram incumbidos de arquivar alguns processos e, para tal, resolveram dividir o total entre si na razão inversa de suas respectivas ida des: 24 e 32 anos. Se Zeus gastou 2 horas para cumprir totalmente a sua parte na tarefa, então, considerando que Frida foi 25% mais eficiente do que ele no cumprimento da sua, o tempo que ela levou para arquivar todos os processos que lhe couberam foi (A) (8 ) (C) {D) (E)

15 minutos. 1 horae 12 1 horae 36 1 horae 45 2 horas e 8

minutos. minutos. minutos. minutos.

19. Considere a seguinte seqüência de cálculos: 11a = 121

111* = 12.321 I 1112 = 1.234.321 I I 111z « 123.454.321

A soma dos algarismos do número que se obtém calculando 111 111 111z é

(A) (B) (C) (D) (E)

um quadrado perfeito. maior que 100. menor que 70. divisível por 5. um número primo.;

20. Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras que compõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma: (IN)2 = MOON

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓ GICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

368

Sabendo que tal segredo é um número maior que 5.000, então a soma M + O + O + N é igual a (A) 16 (B) 19 (C) 25 (D) 28 (E) -31

1

21. Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 2/5 deveriam ser analisados e 4/7 referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre (A) (B) (C) (D) (E)

10 e 50 60 e 100 110 e 160 150 e 170 180 e 220

22. No arquivo morto de um setor de uma Repartição Pública há algumas prateleiras vazias, onde deverão ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 proces sos, que serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar que o total de processos do lote é um número (A) (B) (C) (D) (E)

par divisível por 5 múltiplo de 3 quadrado perfeito primo

23. Certo dia, Matilda e Neto, funcionários de um setor do Tribunal Regional do Trabalho, receberam, cada um, um lote de documentos para análise e emissão de pareceres. Sabe-se que: - os dois lotes tinham iguais quantidades de documentos; - Matilda gastou 2 horas e 15 minutos para examinar todos os documentos de seu lote; - nesse dia, na execução de suas respectivas tarefas, a capacidade operacional de Neto foi 80% da de Matilda.

Com base nessas informações e considerando que ambos iniciaram suas respectivas tarefas quando eram decorridos 31/72 do dia e que trabalharam ininterruptamente até concluí-las, então Neto completou a análise e a emissão de pareceres dos do cumentos do seu lote às (A) 12 horas, 20 minutos e 15 segundos

Cap. 10 -Q U E S T Õ E S FINAIS

(B) (C) (D) (E)

12 13 13 13

horas, horas, horas, horas,

369

48 minutos e 30 segundos 8 minutos e 45 segundos 18 minutos e 30 segundos 40 minutos e 15 segundos

24. Suponha que, no instante em que a água de um bebedouro ocupava os 5/8 de sua capacidade, uma mesma garrafa foi usada sucessivamente para retirar toda a água do seu interior. Considerando que tal garrafa eqüivale a 3/4 de litro e foram necessárias 45 retiradas de garrafas totalmente cheias d’água até que o bebedouro ficasse completamente vazio, a capacidade do bebedouro, em metros cúbicos, era (A) (B) (C) (D) (E)

0,054 0,06 0,54 0,6 5,4

25. Um comerciante comprou certo artigo com um desconto de 20% sobre o preço de tabela. Em sua loja, ele fixou um preço para tal artigo, de modo a poder vendê-lo dando aos clientes um desconto de 25% e a obter um lucro de 40% sobre o preço fixado. Nessas condições, sabendo que pela compra de uma unidade desse artigo um cliente terá que desembolsar R$ 42,00, o seu preço de tabela é (A) (B) (C) (D) (E)

R$ R$ R$ RS R$

20,00 24,50 30,00 32,50 35^00

26. Ao concorrer à licitação na modalidade Pregão, é contratada a empresa que oferecer o menor preço pelos seus serviços. Sabe-se que, das empresas ca dastradas para concorrer ã licitação em tal modalidade, para a contratação de empresa especializada para fornecimento de doses de vacina contra a gripe, apenas três {X, Y e Z) foram julgadas habilitadas a participar da fase de lances. Encerrado o Pregão, com relação aos três últimos lances feitos para o valor da dose da vacina, observou-se que: - valor do lance de X excedia o de Y em R$ 1,46; - a razão entre o valor do lance de Y e o valor do de Z era, nesta ordem, igual a 4/5; - os valores dos lances de X e Z totalizavam R$ 24,50. Considerando que a Pregoeira encaminhou ao licitante que apresentou o lance mais vantajoso uma contraproposta de preço no valor de RS 9,50, então a diferença entre o valor do lance e o da contraposta é de (A) RS 0,98 (B) RS 0,94

370

MATEMÁTICA E RACIOCÍNSO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(C) R$ 0,82 (D) RS 0,74 - (E) RS 0,72 27. Um funcionário de uma empresa foi incumbido de tirar uma única cópia de cada uma das 50 páginas de um texto. Ele cumpriu essa tarefa em duas etapas: primeiramente, usou uma impressora para tirar 151 cópias e depois, para tirar as cópias restantes, usou outra impressora cuja capacidade operacional era 40% maior que a da primeira. Se a primeira impressora gastou t minutos para tirar as 15 cópias, o tempo total gasto pelas duas impressoras para tirar as 50 cópias é equivalente a (A) (B) (C) (D) (E)

2t 5U3 81/3 101/3 8t

28. Certo dia, Aíéa e Aimar, funcionários de uma unidade do TRT, receberam 50 petições e 20 processos para analisar e, para tal, dividiram entre si todos esses documentos: as petições, em quantidades diretamente proporcionais às suas respectivas idades, e os processos, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se Aléa tem 24 anos de idade e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que Aimar tem 36 anos de idade e lá trabaiha há 12 anos, é correto afirmar que (A) Aléa deve analisar 5 documentos a mais do que Aimar. (B) Aléa e Aimar devem analisar a mesma quantidade dei documentos. (C) Aimar deve analisar 20 petições e 5 processos. (D) Aléa deve analisar 10 petições e 20 processos. (E) Aimar deve analisar 30 petições e 15 processos. 29. Certo dia, Eurídice falou a Josué: - Hoje é uma data curiosa, pois é dia de nosso aniversário, sua idade se escreve ao contrário da minha e, além disso, a diferença entre as nossas idades é igual ao nosso tempo de serviço no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos. Considerando que Josué tem mais de 20 anos, Eurídice tem menos de 70 anos e é mais velha do que Josué, então, com certeza, a soma de suas idades, em anos, é um número (A) (B) (C) (D) (E)

maior que 100. quadrado perfeito. múltiplo de 11. divisível por 9. menor que 100.

30. Um Técnico Judiciário recebeu dois lotes de documentos para arquivar: um, contendo 221 propostas de licitações e outro, contendo 136 processos. Para executar tal tarefa, recebeu as seguintes instruções:

Cap. 10 - Q UESTÕ ES FiNAIS

3 71

- todas as propostas de licitações deverão ser colocadas em pastas amarelas e todos os processos em pastas verdes; - todas as pastas deverão conter o mesmo número de documentos; - deve ser usada a menor Quantidade possível de pastas. Se ele seguir todas as instruções que recebeu, então; (A) (B) (C) (D) (E)

usará 17 pastas amarelas para guardar todas as propostas de licitações. usará 13 pastas verdes para guardar todos os processos. o número de pastas amarelas que usar excederá o de verdes em 6 unidades. cada uma das pasias ficara com 8 documentos. serão necessárias 21 pastas para acomodar todos os documentos dos dois lotes.

31. Um funcionário de uma unidade do TRT recebeu a incumbência de tirar algumas cópias de certo comunicado. Sabe-se que ele iniciou a execução dessa tarefa em uma segunda-feira, na qual tirou parte das cópias requisitadas, e que a cada dia subsequente tirou 3/2 da quantidade tirada no dia anterior. Se ele concluiu o serviço na sexta-feira dessa mesma semana e na quarta-feira ele tirou 72 cópias, o total de cópias que ihe foram solicitadas era (A) (B) (C) (D) (E)

484 422 392 384 322

32* Certo dia, no início do expediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas filas diante de um balcão, onde dois Técnicos Judiciários - Casimiro e Domitila - prestariam atendimento ao público externo. Para que, naquele momento, as duas filas ficassem com o mesmo número de pessoas, foram adotados os seguintes procedimentos: primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas Havia na fila de Domitila; em seguida, da fila -de Domitila para a de Casimiro^ foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fífa de Casimiro. Se, após esses dois j procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, então, inicialmente, o número de pessoas na fila de (A) (B) (C) (D) (E)

Casimiro era 18. ; Domitila era 14. Casimiro era 20. Domitila era 15. Casimiro era 24.

33. Um Técnico Judiciário iniciou a digitação de um texto quando eram decorri dos 4/9 de certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 61/96 do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

372

apenas por 55 minutos, quando, então, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de (A) (B) (C) (D) (E)

2 2 3 3 3

horas horas horas horas horas

e 30 e 45 e 20 e 40 e 45

minutos. mirptos. minutos. minutos. minutos.

34. Uma pesquisa revelou que, nos anos de 2006, 2007 e 2008, os totais de proces sos que deram entrada em uma Unidade do TRT aumentaram, respectivamente, 10%, 5% e 10%, cada qual em relação ao ano anterior. Isso eqüivale a dizer que, nessa Unidade, o aumento cumulativo das quantidades de processos nos três anos foi de (A) (B) (C) (D) (E)

25% 25,25% 26,15% 26,45% 27,05%

35. Num dado momento, observou-se que o volume de água no interior da caixa d’água de um edifício ocupava 1/3 de sua capacidade e que, se lã fossem co locados mais 0,24m3 de água, o volume de água na caixa aria a ocupar os 2/5 de sua capacidade. Considerando que não foi colocada água no interior da caixa, então, no momento da observação, o número de litros de água que seriam necessários para enchê-la era (A) (B) (C) (D) (E)

1.800 2.400 2.500 3.200 3.600

36. Três Técnicos Judiciários - Alberico, Benivaldo e Corifeu - devem arquivar 340 processos e, para executar esta tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe se que: - Aiberico tem 36 anos; - Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem, em 12 anos; - caberá a Corifeu arquivar 90 processos. Nessas condições, é correto afirmar que (A) (B) (C) (D) (E)

as idades dos três somam 105 anos. Benivaldo deverá arquivar 110 processos. Corifeu tem 28 anos. Alberico deverá arquivar 120 processos. Benivaldo tem 35 anos.

Cap. 10 - Q UESTÕ ES FINAIS

373

GABARITO 1- E

2-

4- C

5- C

6-

7- E

8-

9- C

B

E

3- A A

10- A

11 - A

12 - C

13 - D

14 - A

15 - D

16 - C

17 - E

18 - B

19 - A

20 - A

21 - D

22 - E

23 - C

24 - A

25-8

26 - D

27 - C

28- B

29 - A

30 - D

31 - E

32 - A

33 - B

34 - D

35 - C

36 - B

ESTILO ESAF - RA CIOCÍNIO QUANTITATIVO 1. (ANA-ESAF/2009) Um rio principal tem, ao ar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto, desemboca um afluente, que tem um volume d'água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas cla ras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após se encontrarem. {A} 41%
11,53% 4,24% 4,50% 5,15% 3,96%

3. (ANA-ESAF/2009) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três

MATEMÀ+ICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viliar

374

pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exa tamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? (A) 0,98% (B) 1% (C) 2,94% (D) 1,30% (E)~3,96% Sf

',

Dica: questão de probabilidade binomial (relação de sucesso e fracasso).

4. (STN ESAF/2008) Dois eventos A e B somente se: (A) (B) (C) (D) (E)

a a a a a

são ditos jeventos independentes se e

probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for Tiula. ocorrência de B aiterar a probabilidade de ocorrência de A. ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.

5. (STN-ESAF/2008) Ana possuí em seu closet 90 pares de sapatos, todos devida mente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Anaretira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Anapode realizar de modo que a terceira caixa retirada sejà a de número 20 é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

681.384 382.426 43.262 7.488 2.120

6. (STN-ESAF/2008) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

0 10/19 19/50 10/50 19/31

375

Cap. 10 - Q U ESTÕ ES FINAIS

7. (MPOG-ESAF/2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saía com sua namorada vestiftdo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter á certeza de obter um par de mesma cor é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

30 40 246 124 5

8. (MPOG-ESAF/2008) ÍBeatriz aposentou-se e resolveu participar de um curso de artesanato. Em sua primeira aula, ela precisou construir uma caixa retangular aberta na parte dé cima. Para tanto, Beatriz colou duas peças retangulares de papelão, medindo 200cm2 cada uma, duas peças retangulares, também de papelão, medindo 3GGcm2 cada uma e uma outra peça retangular de papelão medindo 600cm2. Assim, o volume da caixa, em litros, é igual a: (A) (B) (C) (D) <E)

48 6 36 24 12

9. (MPOG ESAF/2GG8) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

1/10 ‘ 8/5 11/120 11/720 41/360

10. (WlPU-ESAF/2004) Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, - 20 alunos praticam vôlei e basquete; - 60

alunos praticam futebole 65 praticam basquete;

- 21

alunos não praticam nem

futeboi nem

vôlei;

- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só võíei. - 17

alunos praticam futeboie vôlei;

- 45

aiunos praticam futebole basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é iguaí a (A) 93

376

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO —Bruno Villar

(B) 99 (C) 103 (D) 110 (E) 114

J

11. (ESAF) Uma loja de doces trabalha apenas com dois tipos de balas, a saber: balas de chocolate e balas de café. Cada bala de chocolate custa R$ 0,50 e cada bala de café custa R$ 0,20. Sabe*se que um quilograma (kg) de balas de chocolate eqüivale, em reais, a dois quilogramas de balas de café. Sabe-se, também, que uma bala de café pesa 8 gramas. Assim, o peso, em gramas, de uma bala de chocolate é igual a (A) 5 (B) 8 (C) 15 (D) 6 (E) 10 12. (ESAF) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, não ne cessariamente nessa ordem, formam uma fila. O carro que está imediatamente antes do carro azul é menos veloz do que o que está imediatamente depois do carro azul. O carro verde é o menos veloz de todos e está depois do carro azul. O carro amarelo está depois do carro preto. As cores do primeiro e do segundo carro da fila, são, respectivamente, (A) amarelo e verde. (B) prelo e azul. (C) azul e verde. (D) verde e prelo. (E) preto e amarelo. 13. (ESAF) Sete meninos, Armando, Bernardo, Cláudio, Délcio, Eduardo, Fábio e Gelson, estudam no mesmo colégio e na mesma turma de aula. A direção da escola acredita que, se esses meninos forem distribuídos em duas diferentes turmas de aula, haverá um aumento em suas respectivas notas. A direção pro põe, então, a formação de duas diferentes turmas: a turma T1 com 4 alunos e a turma T2 com 3 alunos. Dada as características dos alunos, na formação das novas turmas, Bernardo e Délcio devem estar na mesma turma. Armando não pode estar na mesma turma nem com Bernardo, nem com Cláudio. Sabe-se que, na formação das turmas, Armando e Fábio foram colocados na turma T1. Então, necessariamente, na turma T2, foram colocados os seguintes alunos: (A) Cláudio, Délcio e Gelson (B) Bernardo, Cláudio e Geison (C) Cláudio, Délcio e Eduardo (D) Bernardo, Cláudio e Délcio (E) Bernardo, Cláudio e Eduardo

Cap. 10 - QU ESTÕ ES FiNAIS

377

14. (ESAF) Em uma cidade, ãs 15 horas, a sombra de um poste de 10 melros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 metros. Por interpolação e extrapolação iineares, calcuie quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia. (A) 20m (B) 35m (C) 65m (D) 50m (E) 45m Sf

Dica: regra de três simples!

15. (ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher? (A) 52% (B) 48% (C) 50% (D) 44% (E) 56% 16. (ESAF) Considerando os dados da questão anterior, qual a porcentagem das mulheres adultas que são fumantes? (A) 7/13 (B) 40% (C) 4/13 (D) 60% (E) 9/13 17. (ESAF) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos: (A) nenhum dos 3 valerá nada. (B) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta. (C) apenas a bicicleta valerá algo. (D) a bicicleta valerá mais que o carro. (E) a bicicleta valerá mais que a moto.

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Villar

378

18. (ESAF/2009) A e 8 são os lados de um retângulo í. Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzir-se o lado B em 20%, obtém-se o retângulo li. Se, ao invés disso, aumentar-se o iado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o retângulo III. Pode-se afirmar qu£: (A) os três retângulos têm a mesma área. (B).o retângulo III tem a maior área. (C) o retângulo II tem a maior área. (D) o retângulo I tem a maior área. (E) os retângulos II e III têm uma área igual, maior que a do retângulo I. 19. (ESAF) Num acampamento escolar com crianças que supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida suficiente para exatamen te 60 dias. ados 20 dias, chegaram inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram 10 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 50 dias, a contar do início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida havia acabado, quantas eram elas? (A) (B) (C) (D) (E)

20 60 30 120 10

20. (ESAF) Marcelo Augusto tem cinco filhos: Primus, Secundus, Tertius, Quartus e Quintus. Ele sorteará, entre seus cinco filhos, três entradas para a peça Júlio César, de Shakespeare. A probabilidade de quei Primus e Secundus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Tertius e Quintus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que sejam sorteados Secundus, Tertius e Quartus, é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

0,500 0,375 0,700 0,072 1,000

21. (ESAF) Ana e Júlía, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana — a filha de olhos azuis —, em número de anos completados, é igua! (A) (B) (C) (D) (E)

à idade de Júlia mais 7 anos. ao triplo da idade de Júlia. à idade de Júlia mais 5 anos. ao dobro da idade de Júlia. ã idade de Júlia mais 11 anos.

Cap. 10 - QU ESTÕ ES FINAIS

379

22. (ESAF) A receita bruta total de uma empresa é diretamente proporcionai ao quadrado da terça parte das quantidades vendidas. Sabe-se que quando são vendidas 6 unidades, a receita total bruta é iguai a 40. Assim, quando se vender 3 unidades, a receita bruta será iguai a: (A) (B) (C) (D)

10 20 30 40

'•

(E) 50 23. (ESAF) De dez contas de um arquivo, quatro cbntêm erro de apropriação, Se um auditor seleciona, aleatoriamente e sem reposição, duas contas entre as cinco, a probabilidade de que apenas uma das contas selecionadas contenha erro de apropriação é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

10% 20% 30% 40% 60%

'

24. (ESAF) A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 30, e o seu produto igual a 360. O produto entre o primeiro e o terceiro termo desta mesma progressão é igual a: (A) 18 (B) 20 (C) 26 (D) 36 (E) 40

'

25. (ESAF) Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe Uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade a para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a: (A) (8) (C) (D) (E)

6/25 6/13 7/13 7/25 7/16

26. Um grupo de amigos formado por três meninos (entre eles Caio e Beto) e seis meninas (entre elas Ana e Beatriz), compra ingressos para nove lugares locali zados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo ; pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque,


380

querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a: (A) 1.920 (B) 1.152 (C) 960 (D)'540 (E) 860

|

27. Ana foi visitar Bia, que mora a uma distância de 150km de sua casa. Ana per correu esta distância em seu automóvel, com uma determinada velocidade média, gastando x horas para chegar à casa de Bia. Ana teria percorrido os mesmos 150km em duas horas a menos, se a velocidade média de seu automóvel fosse aumentada em 20km/h (quilômetros por hora). Com estas informações, pode-se concluir que Ana percorreu os 150km a uma velocidade média, em quilômetros por hora, igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

25 30 40 35 50

28. Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é iguai a: (A) (B) (C) (D) (E)

24.360 25.240 24.460 4.060 4.650

29. Em uma prova de natação, um dos participantes desiste de competir ao com pletar apenas 1/5 do percurso total da prova. Mo entanto, se tivesse percorrido mais 300 metros, teria percorrido 4/5 do percurso total da prova. Com essas informações, o percurso total da prova, em quilômetros, era igual a: (A) (B) (C) (D)

0,75 0,25 0,15 0,5

(E) 1 30. Em uma caixa há oito bolas brancas e duas azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Depois, sem haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, também o acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola é azul. Dado que essa segunda bola é azul, a probabilidade de que a primeira bola extraída seja também azul é: (A) 1/3

381

Cap. 10 - QUESTÕES FINAIS

(B) (C) (D) (E)

2/9 1/9 2/10 3/10

GABARITO 1- A

2- E

3- C

4- D

5- A

6 - B

7- E

8- B

9- C

10-8

11 - E

12 - B

13 - D

14 - E

15 - A

16 - C

17 - E

18 - D

19- A

20 —C

21 - D

22 - A

23 - E

24 - D

25 - E

26 - A

27 - B

28 - A

29 - D

30 - C

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