Noções Básicas Lógica Matemática 34326e

VANTAGENS E UTILIDADE DA LÓGICA • Clarificar e analisar o pensamento e a linguagem; • Assegurar a eficácia demonstrativa do pensamento; • Garantir a correcção formal do raciocínio e a coerência do discurso, • Definir conceitos, ordenar as noções, obter conclusões formalmente rigorosas.

EXPRESSÕES DA LINGUAGEM MATEMÁTICA Termo ou designação - expressão cujo papel é nomear, ou designar alguma coisa. Proposição - expressão que traduz uma afirmação sobre a qual se possa decidir se é verdadeira ou falsa. Uma oração declaratória (ou afirmação) é falsa ou

verdadeira, mas não ambas. É uma proposição. Orações exclamativas, interrogativas ou imperativas por natureza não são proposições.

Princípios da lógica matemática I- princípio da não-contradição: uma

proposição não pode ser verdadeira e falsa (ao mesmo tempo). II- princípio do terceiro excluído: toda a proposição ou é verdadeira ou falsa (isto é, verifica-se um destes casos e nunca um terceiro).

O valor lógico de uma proposição é

verdade falso se a prop. for verdadeira se a prop. for falsa denota-se por V ou 1

denota-se por F ou 0

• Duas proposições dizem-se equivalentes quando têm o mesmo valor lógico, isto é, são ambas verdadeiras ou ambas falsas.

OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES • Fazemos afirmações obtidas a partir de outras mais simples • • • • •

Por exemplo: 3 não é um número par 15 é impar e é múltiplo de 3 2 > 1 ou 3 < 1 Se sou um ser humano, então sou mortal Vou à praia se e só se estiver bom tempo.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS - quando é formada pela combinção de duas ou mais proposições usando conectivos lógicos conectivos lógicos  ,  , ,  , 

OPERAÇÕES LÓGICAS

• Negação, conjunção, disjunção, implicação, equivalência • Associadas aos símbolos  ,  , , , 

NEGAÇÃO () • Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por não p cujo valor lógico é a verdade (V) se p é falsa e a falsidade (F) se p é verdadeira. • Simbolicamente:  p.

p V F

p F V

NEGAÇÃO () • A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”. • A negação de “nunca” é “existe uma vez que”. • A negação de “p e q” é “ p ou  q ”. • A negação de “p ou q” é “ p e  q ”.

Quais negações das proposições estão correctas? 1. A resposta 2 é 2 ou 3. – – –

a) A resposta é nem 2 nem 3. b) A resposta não é 2 ou não é 3. c) A resposta não é 2 e não é 3.

2. Pepinos são verdes e têm sementes. –

– –

a) Pepinos não são verdes e não têm sementes. b) Pepinos não são verdes ou não têm sementes. c) Pepinos são verdes e não têm sementes.

Quais negações das proposições estão correctas? 3.

2 < 7 e 3 é ímpar. – – – –

a) b) c) d)

2 > 7 e 3 é par. 2  7 e 3 é par. 2  7 ou 3 é ímpar. 2  7 ou 3 é par.

CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO p

q

pq

pq

V V F F

V F V F

V F F F

V V V F

IMPLICAÇÃO • Sendo p e q proposições, a implicação de p por q, representa-se por , p  q e lê-se “ p implica q” ou “se p então q”. • p é designada antecedente e q consequente • p é uma condição suficiente para q e q é uma condição necessária para p • A implicação é falsa quando o antecedente for verdadeiro e o consequente falso

TABELA VERDADE p

q

p q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

• A implicação não traduz necessariamente uma relação de causaefeito entre as afirmações, mas apenas uma relação entre os valores lógicos das duas proposições originais e o valor lógico da nova proposição • Ex: 2 é par  a terra é um planeta ( é uma prop. Verdadeira, no entanto não há qualquer relação de causa-efeito entre as duas afirmações)

• A cada implicação entre duas proposições é costume associar outras três implicações:

• - implicação recíproca • - Implicação contrária • - Implicação contra-recíproca

implicação recíproca • O antecedente é o consequente da primeira e o consequente é o antecedente da primeira • Ex: • Se choveu então eu plantei árvores • Se plantei árvores então choveu

Implicação contrária • O antecedente é a negação do antecedente da primeira e o consequente é a negação do consequente da primeira • Ex: • Se choveu então eu plantei árvores • Se não choveu então eu não plantei árvores

Implicação contra-recíproca • O antecedente é a negação do consequente da primeira e o consequente é a negação do antecedente da primeira Ex: • x2 = 1  x = 1 • x ≠ 1  x2 ≠ 1

• A implicação contra-recíproca é a contrária da recíproca da primeira

EQUIVALÊNCIA • Sendo p e q proposições, a equivalência entre p e q, representa-se por , p  q e lê-se “ p equivalente a q” ou “p se e só se q”. • “ é condição necessária e suficiente” • sse ( se e só se) • A equivalência é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico

TABELA VERDADE p

q

p  q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

A equivalência entre duas proposições não traduz necessariamente uma relação entre o conteúdo destas proposições, mas apenas uma relação entre os seus

valores lógicos

TABELA VERDADE: Número de linhas Cada proposição simples tem dois valores V ou

F, que se excluem. Para n proposições distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos

com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela

verdade é 2n. Assim, para duas proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc.

Propriedades das operações •  ( p)  p • p ( p)  f ( f proposição falsa) • p  ( p)  v (v proposição verdadeira) • Demonstração da 1ª

p

p

( p)

( p) p

V

F

V

V

F

V

F

V

Propriedades da conjunção e da disjunção • p q  q  p ( a conjunção é comutativa) • (p q)  r  p (q  r ) ( a conjunção é associativa) • v p  p (p uma prop. verd.) • f p  f ( uma prop. falsa)

• V é o elemento neutro para a conjunção • F é o elemento absorvente para a conjunção

Propriedades da conjunção e da disjunção • p  q  q  p ( prop. comutativa) • (p  q ) r  p  (q  r) (prop. associativa) • f  p  p ( f é uma prop. falsa) F é o elemento neutro para a disjunção

• v  p  v ( v é uma prop. verdadeira) V é o elemento absorvente para a disjunção • p  (q  r)  (p  q)  (p  r) a conjunção é distributiva relativamente à disjunção • p  (q r)  (p q)  (p  r) a disjunção é distributiva relativamente à conjunção

Primeiras Leis de De Morgan • Dizer que a negação da disjunção de duas proposições é verdadeira é o mesmo que dizer que a conjunção das negações das duas proposições é verdadeira

(p q) =  p   q

Primeiras Leis de De Morgan • Dizer que a negação da conjunção de duas proposições é verdadeira é o mesmo que dizer que a disjunção das negações das duas proposições é verdadeira

(p q) =  p   q

Propriedades da implicação • p  q  p q •  p  q  p  q • (p  q)  ( q   p) • Uma implicação e sua contra-recíproca têm o mesmo valor de verdade

• (p  q)  (q r) (p r)

Propriedades da equivalência • (p  q )  (q p) ( a equivalência é comutativa) • (p  q )  p  q  q p (sendo verdadeira diz-se que p é condição necessária e suficiente )

• (p  q )   p   q

Proposições e conectivos Estrutura

Verdade se

Falsa se

pq

ambos forem V

um dos dois for F

pq

um dos dois for V

ambos forem F

pq

demais casos

péVeqéF

pq

p e q forem iguais

P e q forem diferentes

p

péF

péV