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Factorización

La factorización o escríbelo como una multiplicación

Factor común, factorización por agrupación y por fórmula.

Las ocho factorizaciones básicas. Se inventaron como un procedimiento para convertir las sumas y restas de polinomios en productos o multiplicaciones.

Las ocho factorizaciones. Factor común. Por agrupación.

Diferencia de cuadrados x2 − y2 = (x + y)(x − y)de cubos x3 − y3 = (x − y)(x2 Diferencia 2 + xy + y Por Suma de )cubos x3 + y3 = (x + y)(x2 − fórmula xy + y2) Trinomio cuadrado perfecto. Trinomio de la forma x2 + bx + c. Trinomio de la forma ax2 + bx + c.

FACTOR COMÚN

Factorización por término o factor común. Las reglas para encontrar el factor común son: 1)Se toma del polinomio la literal o letra que se repita en todos los términos pero que sea la de menor exponente. 2)Se toma, si existe, el divisor mayor diferente de 1 que divida a todos los coeficientes o números del polinomio. 3)Con los elementos tomados en el paso 1 y 2 formamos el que llamaremos el término o factor común, luego dividiremos al polinomio entre el factor común y el resultado de la división será el otro factor.

Factorización por término o factor común.

1) a2 + ab = a(a + b) 2) b + b2 = b(1 + b) 3) x2 + x = x (x + 1) 4) 3a3 − a2 = a2 (3a − 1) 5) x3 − 4x4 = x3 (1 − 4x) 6) 5m2 + 15m3 = 5m2 (1 + 3m) 7) ab − bc = b (a − c) 8) x2y + x2z = x2 (y + z) 9) 2a2x + 6ax2 = 2ax (a + 3x) 10)9a3x2 − 18ax3 = 9ax2 (a2 − 2x)

Factorización por término o factor común.

15c3d2 + 60c2d3 = 15c2d2 (c + 4d) 35m2n3 − 70m3 = 35m2 (n3 − 2m) abc − abc2 = abc(1 − c) 24a2xy2 − 36x2y4 = 12xy2 (2a2 − 3xy2) 14x2y2 − 28x3 + 56x4 = 14x2(y2 − 2x + 4x2) 55m2n3x+110m2n3x2−220m2y3= 55m2(n3x+2n3x2−4y3) x − x2 + x3 − x4 = x (1 − x + x2 − x3) 12m2n+24m3n2−36m4n3+48m5n4 = 12m2n(1 + 2mn − 3m2n2 + 4m3n3) 9) 16x3y2−8x2y−24x4y2−40x2y3= 8x2y (2xy−1−3x2y−5y2) 10)3a2b+6ab−5a3b2+8a2bx = ab(3a + 6 − 5a2b + 8ax) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Ejemplos donde el factor común es un polinomio.

a(x+1) + b(x+1) = (x+1)(a+b) x(a+1) − 3(a+1) = (a+1)(x−3)

2(x−1) + y(x−1) = (x−1)(2+y) m(a−b) + (a−b)n = (a−b)(m+n) 2x(n−1) − 3y(n−1) = (n−1)(2x−3y) a(n+2) + n+2 = a(n+2) + 1(n+2) = (n+2)(a+1) a2+1 − b(a2+1) = 1(a2+1) − b(a2+1) = (a2+1)(1−b)

Ejemplos donde el factor común es un polinomio.

1−x + 2a(1−x) = 1(1−x) + 2a(1−x) = (1−x)(1+2a) −m−n+x(m+n) = −1(m+n)+x(m+n) =(m+n)(x−1) a3(a−b+1)−b2(a−b+1) = (a−b+1)(a3−b2) 4m(a2+x−1)+3n(x−1+a2) = (a2+x−1)(4m+3n) x(2a+b+c)−2a−b−c = (2a+b+c)(x−1) (x+y)(n+1)−3(n+1) = (n+1)(x+y−3)

(x+1)(x−2)+3y(x−2) = (x−2)(x+1+3y) (a+3)(a+1)−4(a+1) = (a+1)(a+3−4) = (a+1)(a−1)

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

Factorización por agrupación. Factorizar a2 + ab + ax + bx a(a + b) + x(a + b) = (a + b)(a + x) Factorizar am − bm + an − bn m(a − b) + n(a − b) =(a − b)(m + n) Factorizar ax − 2bx − 2ay + 4by x(a − 2b) − 2y(a − 2b) = (a − 2b)(x − 2y)

Factorización por agrupación. Factorizar 3m − 2n − 2nx4 + 3mx4 3m + 3mx4 − 2n − 2nx4 = 3m(1 + x4) − 2n(1 + x4) = = (1 + x4)(3m − 2n) Factorizar 4a3 − 1 − a2 + 4a 4a + 4a3 − 1 − a2 = 4a(1 + a2) − (1 + a2) = = (1 + a2)(4a − 1)

Factorización por agrupación. Factorizar x + x2 − xy2 − y2 x2 + x − xy2 − y2 = x(x + 1) − y2(x + 1) = = (x + 1)(x − y2) Factorizar a2x2 − 3bx2 + a2y2 − 3by2 a2x2 + a2y2 − 3bx2 − 3by2 = a2(x2 + y2) − 3b(x2 + y2) = = (x2 + y2)(a2 − 3b)

Factorización por agrupación. Factorizar 2a2x − 5a2y + 15by − 6bx 2a2x − 6bx − 5a2y + 15by = 2x(a2 − 3b) − 5y(a2 − 3b) = = (a2 − 3b)(2x − 5y) Factorizar 6m − 9n + 21nx − 14mx 6m − 9n − 14mx + 21nx = 3(2m − 3n) − 7x(2m − 3n) = = (2m − 3n)(3 − 7x)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Diferencia de cuadrados.

Factorizar. x2 − y2 = (x + y)(x − y)

36x4 − 49x10 = (6x2 + 7x5)(6x2 − 7x5) 16a2 − 25b6 = (4a + 5b3)(4a − 5b3) 1 − 4m2 = (1 + 2m)(1 − 2m) a2b8 − c2 = (ab4 + c)(ab4 − c) 4a2 − 9 = (2a + 3)(2a − 3) 100 − x2y6 = (10 + xy3)(10 − xy3) 25x2y4 − 121 = (5xy2 + 11)(5xy2 − 11)

Diferencia de cuadrados.

25 − 36x4 = (5 + 6x2)(5 − 6x2)

100m2n4 − 169y6 = (10mn2 + 13y3)(10mn2 − 13y3) 196x2y4 − 225z12 = (14xy2 + 15z6)(14xy2 − 15z6) 256a12 − 289b4m10 = (16a6 + 17b2m5)(16a6 − 17b2m5) 1 − 9a2b4c6d8 = (1 + 3ab2c3d4)(1 − 3ab2c3d4) 1 4x2 = − 16 49 a2 x6 = − 36 25

( (

1 2x + 4 7 a x3 + 6 5

)( )(

1 2x − 4 7 a x3 − 6 5

) )

Caso especial.

Diferencia de cuadrados.

(a + b)2 − c2 = [(a + b) + c][(a + b) − c] = = (a + b + c)(a + b − c) a6 − (a + 1)2 = [a3 + (a + 1)][a3 − (a + 1)] = = (a3 + a + 1)(a3 − a − 1) (x + y)2 − a2 = [(x + y) + a][(x + y) − a] = = (x + y + a)(x + y − a) 4 − (a + 1)2 = [2 + (a + 1)][2 − (a + 1)] = = (2 + a + 1)(2 − a − 1)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA DIFERENCIA DE CUBOS.

Diferencia de cubos. Factorizar. x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) a3 − 8 = (a − 2)(a2 + 2a + 4) 27a3 − b6 = (3a − b2)(9a2 + 3ab2 + b4) 64a3 − 729 = (4a − 9)(16a2 + 36a + 81) x3y6 − 216y9 = (xy2 − 6y3)(x2y4 + 6xy5 + 36y6) a3b3x3 − 1 = (abx − 1)(a2b2x2 + abx + 1) 8a3 − 27b6 = (2a − 3b2)(4a2 + 6ab2 + 9b4)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA SUMA DE CUBOS.

Suma de cubos. Factorizar. x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) a3 + 8 = (a + 2)(a2 − 2a + 4) 27a3 + b6 = (3a + b2)(9a2 − 3ab2 + b4) 64a3 + 729 = (4a + 9)(16a2 − 36a + 81) x3y6 + 216y9 = (xy2 + 6y3)(x2y4 − 6xy5 + 36y6) a3b3x3 + 1 = (abx + 1)(a2b2x2 − abx + 1) 8a3 + 27b6 = (2a + 3b2)(4a2 − 6ab2 + 9b4)

Trinomio Cuadrado Perfecto

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. Un trinomio ordenado en relación con una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer términos son cuadrados perfectos o tienen raíz cuadrada exacta positiva y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Por ejemplo: el trinomio a2 − 10a + 25 sus raíces son a y 5, su doble producto es 2(a)(5) = 10a que es el segundo término, luego es trinomio cuadrado perfecto.

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. Por ejemplo: el trinomio 49m6 − 70am3n2 + 25a2n4 sus raíces son 7m3 y 5an2, su doble producto es 2(7m3)(5a2n4) = 70am3n2 que es el segundo término, luego es trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo: el trinomio 9b2 − 35a2b + 25a4 sus raíces son 3b y 5a2, su doble producto es 2(3b) (5a2) = 30a2b que no es el segundo término, luego no es trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. x2 ± 2xy + y2 = (x ± y)2 Estando ordenado se toma la raíz del primero el signo del segundo y la raíz del tercero. Factorizar 9b2 − 30a2b + 25a4 = (3b − 5a2)2 49a2 − 14a + 1 = (7a − 1)2 36 + 12m2 + m4 = (6 + m2)2 y4 + 1 + 2y2 = y4 + 2y2+ 1 = (y2 + 1)2

Trinomio Cuadrado Perfecto Factorizar 9 − 6x + x2 = (3 − x)2 1 − 2a3 + a6 = (1 − a3)2 4x2 − 12xy + 9y2 = (2x − 3y)2 1 + 14x2y + 49x4y2 = (1 + 7x2y)2 1 + a10 − 2a5 = 1 − 2a5 + a10 = (1 − a5)2 a2/4 − ab + b2 = (a/2 − b)2

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO DE LA FORMA X2+BX+C.

Trinomio de la forma 2 x +bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c. Se ordena en forma descendente se saca raíz al primer término y se coloca la misma como el primer término en un par de paréntesis, luego se buscan dos números que sumados o restados den el coeficiente del segundo término, pero que multiplicados los mismos números den el coeficiente del tercer término con todo y signo. Esos números son respectivamente los segundos términos del par de paréntesis.

Trinomio de la forma 2 x +bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c. Factorizar Se observa que: 2 x + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) 2 + 5 = 7 y 2 x 5 = 10 Factorizar x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Factorizar x2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)

Se observa que: 2+3=5y2x3=6 Se observa que: −3 −4 = −7 y (−3)x(−4) = 12

Trinomio de la forma 2 x +bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c. Se observa que: Factorizar −3 + 5 = 2 y x2 + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5) (−3)x(5) = −15 Factorizar Se observa que: x2 − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2) −7 + 2 = −5 y (−7)x(2) = −14 Factorizar Se observa que: 2 a − 13a + 40 = (a − 5)(a − 8) −5 −8 = −13 y (−5)x(−8) = 40

Trinomio de la forma 2 x +bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c. Se observa que: Factorizar m2 − 11m − 12 = (m − 12)(m + 1) −12 + 1 = −11 y (−12)x(1) = −12 Factorizar Se observa que: n2 + 28n − 29 = (n − 1)(n + 29) −1 + 29 = 28 y (−1)x(29) = −29 Factorizar Se observa que: 2 x + 6x − 216 = (x − 12)(x + 18) −12 +18 = 6 y (−12)x(18) = −216

Trinomio de la forma 2 x +bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c en casos especiales. Se observa que: Factorizar −10 + 5 = −5 y x4 − 5x2 − 50 = (x2 − 10)(x2 + 5) (−10)x(5) = − 50 Factorizar Se observa que: x6 + 7x3 − 44 = (x3 − 4)(x3 + 11) −4 + 11 = 7 y (−4)x(11) = − 44 Factorizar Se observa que: 2 2 a b − ab − 42 = (ab − 7)(ab + 6) −7 + 6 = − 1 y (−7)x(6) = − 42

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C.

Trinomio de la forma 2 ax +bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c. Método de las tijeras. Ordenado el polinomio se descompone el primer y tercer términos, en cuatro términos que se colocan en las esquinas de un rectángulo, los primeros del lado izquierdo y los segundos del lado derecho. Luego se obtienen dos términos de multiplicar las diagonales y con ellos se efectúa la suma algebraica, si se obtiene el segundo término del trinomio, la factorización se hace sumando los dos términos superiores del rectángulo por la suma de los dos inferiores.

Trinomio de la forma 2 ax +bx+c Factorizar 6x2 − 7x − 3 = (2x − 3)(3x + 1) 2x

−3

− 9x

3x

1

2x − 7x

Segundo término

Trinomio de la forma 2 ax +bx+c Factorizar 20x2 + 7x − 6 = (4x + 3)(5x − 2) 4x

3

15x

5x

−2

− 8x 7x

Segundo término

Trinomio de la forma 2 ax +bx+c Factorizar 18a2 − 13a − 5 = (a − 1)(18a + 5) a 18a

−1

− 18a

5

5a − 13a

Segundo término

Trinomio de la forma 2 ax +bx+c Factorizar 15x4 − 11x2 − 12 = (3x2 − 4)(5x2 + 3) 3x2

−4

− 20x2

5x2

3

9x2 − 11 x2

Segundo término

Trinomio de la forma 2 ax +bx+c Factorizar 12x2y2 + xy − 20 = (3xy + 4)(4xy − 5) 3xy

4

16xy

4xy

−5

− 15xy xy

Segundo término

Trinomio de la forma 2 ax +bx+c Factorizar 6x2 − 11ax − 10a2 = (2x − 5a)(3x + 2a) 2x

− 5a

− 15ax

3x

2a

4ax − 11ax

Segundo término

Trinomio de la forma 2 ax +bx+c Factorizar 20 − 3x − 9x2 = (5 + 3x)(4 − 3x) 5

3x

12x

4

− 3x

− 15x − 3x

Segundo término

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA COMBINADAS.

El trinomio cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados Factorizar a2 − 6ay + 9y2 − 4x2 = Primero se factoriza el trinomio cuadrado perfecto. a2 − 6ay +9y2 − 4x2 = (a − 3y)2 − 4x2 Segundo se factoriza la diferencia de cuadrados. (a − 3y)2 − 4x2 = [(a − 3y) + 2x][(a − 3y) − 2x] = Finalmente a2 − 6ay +9y2 − 4x2 = (a − 3y + 2x)(a − 3y − 2x)

El trinomio cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados Factorizar a2 + 2ab + b2 − 1 = Primero se factoriza el trinomio cuadrado perfecto. a2 + 2ab + b2 − 1 = (a + b)2 − 1 Segundo se factoriza la diferencia de cuadrados. (a + b)2 − 1 = [(a + b) + 1][(a + b) − 1] = Finalmente a2 + 2ab + b2 − 1 = (a + b + 1)(a + b − 1)

El trinomio cuadrado perfecto por suma o resta

Factorizar x4 + x2y2 + y4 = No es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y restamos x2y2. x4 + x2y2 + y4 = x4 + x2y2 + y4 + x2y2 − x2y2 = x4 + 2x2y2 + y4 − x2y2 = Finalmente se resuelve como los anteriores: x4 + 2x2y2 + y4 − x2y2 = (x2 + y2)2 − x2y2 = [(x2 + y2) + xy ][(x2 + y2) − xy ] = x4 + x2y2 + y4 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 − xy)

El trinomio cuadrado perfecto por suma o resta

Factorizar 4a4 + 8a2b2 + 9b4 = No es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y restamos 4a2b2. Se obtiene de 2(2)(3) − 8 = 4. 4a4 + 8a2b2 + 9b4 = 4a4 + 8a2b2 + 9b4 + 4a2b2 − 4a2b2 = 4a4 + 12a2b2 + 9b4 − 4a2b2 = Finalmente se resuelve como los anteriores: 4a4 + 12a2b2 + 9b4 − 4a2b2 = (2a2 + 3b2)2 − 4a2b2 = [(2a2 + 3b2) + 2ab][(2a2 + 3b2) − 2ab] = 4a4 + 8a2b2 + 9b4 = (2a2 + 3b2 + 2ab)(2a2 + 3b2 − 2ab)

Factorizar una suma de dos cuadrados. En general una suma de cuadrados no tiene factorización, pero hay algunas que al sumarles y restarles se les puede hacer factorización como en el caso anterior: Factorizar a4 + b 4 = Para formar un trinomio cuadrado perfecto le falta 4a2b2 a4 + 4a2b2 + b4 − 4a2b2 = (a2 + 2b2)2 − 4a2b2 = Finalmente a4 + b4 = (a2 + 2b2 + 2ab)(a2 + 2b2 − 2ab)

Factorizar una suma de dos cuadrados. Factorizar 4m4 + 81n4 = Para formar un trinomio cuadrado perfecto le falta 2(2m2)(9n2) = 36m2n2 4m4 + 36m2n2 + 81n4 − 36m2n2 = (2m2+ 9n2)2 − 36m2n2 = Finalmente 4m4 + 81n4 = (2m2 + 9n2 + 6mn)(2m2 + 9n2 − 6mn)