Matemática_básica k4tr

AULA 1 – ARITMÉTICA

Múltiplo e divisor de um número

Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 se o número formado pelos algarismos das unidades e das

Sendo x e y números inteiros, dizemos que x é múltiplo de y se existir um número inteiro k tal que x  y.k . Quando x é múltiplo de y, dizemos

dezenas for divisível por 4. Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 (zero) ou 5.

também que y é divisor de x. Por exemplo, os múltiplos de 3 pertencem

Divisibilidade por 6: Um número é

ao conjunto M 3   0,  3,  6,  9, ... .

divisível

por

6

se

for

divisível

simultaneamente por 2 e por 3. Divisibilidade por 10: Um número é Critérios de divisibilidade

divisível por 10 se o algarismo das unidades for 0 (zero).

Se um número inteiro x é múltiplo de outro número inteiro y,

Números primos

dizemos também que x é divisível por y. Existem regras para se saber que um número é divisível por outro. As principais regras são: Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 se o algarismo das

Um número N é denominado primo se seus únicos divisores forem 1, –1, N e –N. Observe alguns números primos positivos:

unidades for 0 (zero), 2, 4, 6 ou 8. Todo

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

número divisível por 2 é denominado

41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,

par.

83, 89, 97, ...

Divisibilidade por 3 (ou por 9): Um

Um número que não é primo é

número é divisível por 3 (ou por 9) se a

denominado composto. As exceções

soma dos seus algarismos for um

são os números 0, 1 e –1, que não são

número divisível por 3 (ou por 9).

primos nem compostos.

1

Decomposição em fatores primos

necessário escrever todos eles. Basta observar que todo divisor de 60 é um número

da

2a.3b.5c,

forma

onde

Um número composto pode ser

a  {0, 1, 2}, b  {0, 1} e c  {0, 1}. Assim,

decomposto em fatores primos. Para

temos 3 possibilidades para o número

isso, utilizamos as divisões sucessivas

a, 2 para o número b e 2 para o

por meio dos critérios de divisibilidade.

número c, perfazendo 3.2.2 = 12

Exemplo: Decomponha o número 60

divisores

em fatores primos.

(positivos ou negativos).

60

2

30

2

15

3

5

5

positivos

e

24

divisores

Números primos entre si

Dois números são denominados

1

primos entre si se os únicos divisores

Assim, 60 = 22.3.5

comuns forem 1 e –1. Por exemplo, os números 15 e 16 são primos entre si,

Divisores e quantidade de divisores

pois os divisores de 15 são ±1, ±3, ±5,

de um número

±15, enquanto que os divisores de 16 são ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Por meio da decomposição em fatores primos, podemos determinar os

Máximo divisor comum (MDC)

divisores e também a quantidade de divisores de um número inteiro. Como

O maior número que é divisor simultaneamente de dois ou mais

exemplo, observe o número 60. 1

números é denominado máximo divisor

60

2

2

comum. Existem várias maneiras de se

30

2

4

determinar o MDC de dois ou mais

15

3

3, 6, 12

números. Uma delas consiste em se

5

5

5, 10, 20, 15, 30, 60

decompor cada um dos números em

1

seus fatores primos e em seguida

Divisores positivos de 60

comparar os expoentes de cada fator, Assim, os divisores do número 60 são

tomando-se os menores. O produto

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15,

dos fatores primos com os menores

±20, ±30, ±60.

expoentes será o MDC.

Para determinarmos a quantidade de divisores

do

número

60

não

é 2

Exemplo: Determine o máximo divisor

os fatores primos que são divisores

comum dos números 36 e 24.

comuns para se obter o MDC.

Inicialmente observe que: 36 = 22.32

Exemplo: Determine o mínimo múltiplo

3

24 = 2 .3

comum e o máximo divisor comum dos

O máximo divisor comum dos números

números 36 e 24.

36 e 24, representado por mdc{36, 24}

36, 24 2 (comum)

é igual a 22.3 = 12.

18, 12 2 (comum)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

O menor número positivo que é

9, 6

2

9, 3

3 (comum)

3, 1

3

1, 1

múltiplo simultaneamente de dois ou mais números é denominado mínimo

mmc{36, 24} = 23.32 = 72

múltiplo comum. Para determinar o

mdc{36, 24} = 22.3 = 12

MMC, podemos decompor cada um dos números em seus fatores primos e

Observação: Como o mínimo múltiplo

em seguida comparar os expoentes de

comum é obtido multiplicando-se os

cada fator, tomando-se os maiores. O

fatores

produto dos fatores primos com os

expoentes e o máximo divisor comum

maiores expoentes será o MMC.

é obtido multiplicando-se os fatores

primos

com

os

maiores

primos com os menores expoentes, Exemplo: Determine o mínimo múltiplo

então podemos escrever a seguinte

comum dos números 36 e 24.

relação: mmc{a, b}.mdc{a, b} = a.b

Inicialmente observe que: 2

2

36 = 2 .3 24 = 23.3

Exercícios em aula:

O mínimo múltiplo comum dos números 36 e 24, representado por mmc{36, 24} 3

2

é igual a 2 .3 = 72.

1) Considere os números: 15, 32, 213, 396, 565, 1219, 2149, 4000, 6378, 9165.

Existe um método prático para

a) Quais são divisíveis por 2?

se determinar o MDC e o MMC. Após decompor simultaneamente os dois (ou mais) números, multiplicam-se todos os

b) Quais são divisíveis por 3?

fatores primos para se obter o MMC e

3

5) (UEL – PR) Para levar os alunos de

c) Quais são divisíveis por 4?

certa escola a um museu, pretende-se formar d) Quais são divisíveis por 6?

grupos

que

tenham

iguais

quantidades de alunos e de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1350 rapazes e 1224 garotas e cada grupo

2) Qual a quantidade total de divisores

deverá ser acompanhado de um único

do número 360?

professor,

o

professores

número

mínimo

necessários

de para

acompanhar todos os grupos nessa visita é: a) 18

b) 68

c) 75

d) 126

e) 143

3) Qual o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números 80 e 120?

Exercícios propostos:

4) (UTFPR) Dois ciclistas, A e B,

1. O mínimo múltiplo comum dos

partem simultaneamente, numa pista

números 12, 15 e 18 é:

circular, em sentidos contrários. O

a) 36

b) 72

c) 90

d) 120

e) 180

ciclista A dá 4 voltas em 840 segundos e o ciclista B dá 6 voltas em 1170 segundos. O número de voltas que os ciclistas A e B devem dar para se encontrarem pela primeira vez no ponto

2. O máximo divisor comum dos

de partida é, respectivamente:

números 36, 48 e 72 é:

a) 65 e 70

b) 39 e 28

a) 2

d) 13 e 14

e) 19 e 17

c) 35 e 48

b) 4

c) 12

d) 18

e) 24

4

3. A quantidade de divisores positivos

7. Se o número total de divisores do

do número 1350 é igual a:

número N = 23.32.5x é 72, o valor de x

a) 8

b) 12

c) 16

d) 24

e) 48

é: a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

4. O mmc{A, B}, sendo A = 23.32.5 e B = 2.32.52 é igual a: 3

2

2

8. (UNIFESP – SP) O número de 2

a) 2 .3 .5

b) 2.3 .5

d) 2.32.52

e) 24.34.53

3

2

c) 2 .3 .5

inteiros positivos que são divisores do número N = 214 x 353, inclusive 1 e N, é: a) 84

5.

Subtraindo-se uma

unidade

b) 86

c) 140

d) 160

e) 162

do

quadrado do número 12, obtemos um número: a) primo

b) divisível por 2

9.

(UTFPR)

Três

c) divisível por 3

d) divisível por 7

encontraram-se

num

vendedores certo

dia

na

cidade de Medianeira – PR e jantaram

e) divisível por 13

juntos. O primeiro vendedor visita esta cidade a cada 6 dias, o segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 5 dias. Estes 6. (FCC – SP) Considere o número de

três vendedores marcaram de jantar

9 algarismos, dos quais o algarismo

juntos novamente no próximo encontro.

das unidades é n e todos os demais

Este deverá acontecer após:

são iguais a 2. (Isto é: o número

a) 480 dias

b) 120 dias

22222222n). O valor de n a fim de que

d) 80 dias

e) 60 dias

c) 48 dias

este número seja divisível por 6 é: a) 2 ou 8

b) 2 ou 7

d) 3 ou 9

e) 4

c) 0 ou 6

5

faixa

12. (UEM – PR) Para distribuir 105

ser

litros de álcool, 120 litros de azeite e 75

totalmente recortada em quadrados,

litros de água em barris de mesma

todos do mesmo tamanho e sem deixar

capacidade, de modo que a quantidade

sobras. Esses quadrados deverão ter o

de barris seja a menor possível, a

maior tamanho (área) possível. Se as

capacidade de cada barril, em litros,

dimensões da faixa são 105 cm de

deve ser de:

largura por 700 cm de comprimento, o

a) 25

10.

(UNESP

retangular

perímetro

–

de

de

SP)

tecido

cada

Uma deverá

quadrado,

b) 15

c) 18

d) 12

e) 9

em

centímetros, será: a) 28

b) 60

d) 140

e) 280

c) 100 DESAFIO (FUVEST – SP) Os números inteiros positivos são dispostos em quadrados da seguinte maneira:

11. (UEL – PR) Em 1982 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, em

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 . . . . . . . .

O número 500 se encontra em um desses quadrados. A linha e a coluna em que o número 500 se encontra são, respectivamente: a) 2 e 2

b) 3 e 3

d) 3 e 2

e) 3 e 1

c) 2 e 3

qual dos anos seguintes estiveram em conjunção no céu da Terra? a) 1840

b)1852

d) 1922

e) 1960

c) 1864

GABARITO: 1. e

2. c

3. d

4. a

5. e

6. a

7. b

8. d

9. b

10. d

11. d

12. b

DESAFIO: a

6

AULA 2 – EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Toda sequência de operações

3) 16   64  4    2  3   3. 1 6  2  2

com números reais é denominada expressão

numérica.

Para

resolver

uma expressão numérica, seguimos uma ordem tanto dos símbolos quanto das operações. Os

símbolos

são

eliminados

na



1 5   

2  7 6

4) 1      1     .  4 2 9 3 5

seguinte ordem:







● parênteses ● colchetes ● chaves As

operações

são

realizadas

na

seguinte ordem: ● potenciação ou radiciação ● multiplicação ou divisão ● adição ou subtração

2  1  3  49

1

  5)  1  .    3  5  64 8 

Exercícios em aula: 1) 28  13  6   4  1  2  1 

1 1 1 3 2 6)   1 1 1 2 2 3 2

2) 52  9  20  (4)  3 

7


5. (CESGRANRIO – RJ) O valor da

1. A expressão 2  (1 7)  3  169 é

expressão 1         é:  5 3   5 15 

igual a:

a)

a) 11

b) 13

c) 15

d) 17

9 10

1

1 3

b) 2

c)

1

15 9

d) 1

e) 19

2. (PUC – SP) O valor da expressão numérica

1 5 2  . é: 2 2 5

6 a) 5

17 b) 5

6. 3 c) 2

1 d) 2

–

(FUVEST

expressão

SP)

O

valor

da

1 1 ab para a  e b  é: 2 3 1  a.b

a) 5

b) 0

c) 3

d) 1

3. (PUC – SP) O valor da expressão 1 1 4  . é: 3 10 3

a)

4 21

7. (PUC – SP) O valor da expressão b)

1 5

c)

14 15

d)

7 30

3

 10  5  ( 4)    é: 9  ( 2)  

a) –1

4.

(PUC

–

RJ)

 1 9  2 1  2.7    4  6   3    

A

d) 5 e 6

e) 1 e 2

d) 1

um 8.

número compreendido entre: b) 3 e 4

c) 2

expressão

representa

a) 2 e 3

b) –2

–

(MACK

SP)

A

expressão

1

c) 4 e 5

2  1 1  2  3   3 é igual a:  

a)

13 15

b)

28 15

c)

1 4

d) 

12 5

e) 1

8

9.

(FUVEST

–

SP)

O

valor

da

 1 1 1     6 3  é: expressão 2 3  1 1 6  2  2  

a)

1 2

b)

3 4

c)

3 5

12. (UTFPR) Simplificando

22  43 42  82

,

obtém-se: a) d) 

3 5

1 54

b)

1 16

c)

3 8

d)

13 11

e)

17 5

e) 1

10. (UFSM – RS) Dados os números reais a 

2 1 5 1  , b  e c = 0,12, 3 2 4 2

pode-se afirmar que: a) c  b  a

b) a  b  c

c) c  a  b

d) b  c  a

e) b  a  c

11. (UPF – RS) O valor da expressão   1  4  1 3   1  6         .     27 , é:  2   2    2 

a) –2

b) –1

c) 0

d)

1 2

e) 2

GABARITO: 1. b

2. c

3. b

4. c

5. b

6. d

7. a

8. b

9. c

10. a

11. c

12. e 9

AULA 3 – EXPRESSÕES ALGÉBRICAS I

Além

das

operações

com

Produto da soma pela diferença

números, estudaremos operações que podem ser generalizadas. Dentre as

O

produto

da

soma

pela

inúmeras generalizações, destacamos

diferença de dois termos é igual ao

três, denominados produtos notáveis.

quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Quadrado de uma soma

 a  b  .(a  b)  a.a  a.b  b.a  b.b  a  b  .(a  b)  a2  a.b  a.b  b2

O quadrado da soma de dois

a  b . a  b  a2  b2

termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo, mais o


quadrado do segundo termo.

a  b  a  b. a  b 2  a  b   a.a  a.b  b.a  b.b 2  a  b   a2  a.b  a.b  b2 2

a  b

2

 a2  2.a.b  b2

Quadrado de uma diferença

1) Desenvolva os produtos notáveis a seguir: a) (x  2)2 

b) (x  3y)2  c) (2a  3b).(2a  3b) 

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do

2) Simplifique a expressão a seguir:

primeiro termo, menos o dobro do

E   a  b    a  b    a  b  .  a  b   a2  b2

produto do primeiro pelo segundo

2

2

termo, mais o quadrado do segundo termo.

a  b  a  b. a  b  2  a  b   a.a  a.b  b.a  b.b 2  a  b   a2  a.b  a.b  b2 2

a  b

2

3) Sendo N  19992  19982 , calcule a soma dos algarismos de N.

 a2  2.a.b  b2

10

4)

Se

x  y  14

e

x2  y2  100 ,

calcule o valor de x. y .

b) 6x

1

5) (MACK – SP) Se a 2  a



1 2



100 d) 82

3.

82 3

é

c) 12x

10 , 3

então a  a1 vale: b)

2

e) 2x2  18

d) 2x 2

100 9

  x  3

2

equivalente a: a) 0

a)

 x  3

2. A expressão

c)

82 9

16 e) 9

(PUC

–

SP)

Simplificando

a

expressão  2a  b    a  b  , obtemos: 2

2

a) 3a2  2b2

b) 3a2  6ab

c) 4a2  4ab  b2

d) 4a2  2ab2

e) 3a2  2ab

4.

 x  y

Exercícios propostos: 1. O desenvolvimento de  3x  2y 

(FCC

2

é

2

–

SP)

A

expressão

  x  y  é equivalente a: 2

c) 2y 2

a) 0

b) 2y 2

d) 4xy

e) 2.  x  y 

2

igual a: a) 9x2  4y2

b) 3x2  12xy  2y2

c) 9x2  6xy  4y2

d) 9x2  12xy  4y 2

e) 9x2  4y2

5. (UFSC) Calcule  a  b  , sendo a e b 2

números reais positivos, sabendo que: 2 2  a  b  117   a.b  54

11

6. (FGV – SP) Seja N o resultado da

10. (UEL – PR) Se a 

operação 3752  3742 . A soma dos

1   expressão  a   é equivalente a: a 

algarismos de N é: a) 18

b) 19

c) 20

d) 21

2

e) 22 a) 1 d)

7. Se

a  b

2

e a  0, a

b) 2

a4  1 a2

e)

c)

a2  1 a

a2  2a  1 a

 900 e ab  200 , o

valor de a2  b2 é: a) 300

b) 400

d) 700

e) 1300

c) 500 11. (UTFPR) A expressão



3 5

  2

3 5

  2



3 5 .

3 5

é equivalente a: a) 14  4 15 8. (CEFET – RJ) Qual a expressão que

c) 14

b) 14  4 15 d) 0

e) 19

deve ser somada a x2  6x  5 para que resulte o quadrado de  x  3  ? a) 3x

b) 4x

d) 4

c) 3

e) 3x + 4x

12. (UFES) O número N  20022 .2000  2000.19982 é igual

a:

9.

(ESPM

a  b  c 

2

–

SP)

A

expressão

a) 2.106

b) 4.106

d) 16.106

e) 32.106

c) 8.106

é igual a:

a) a2  2ab  b2  c 2 b) a2  b2  c 2  2ab  2ac  2bc c) a2  b2  c 2  2abc

GABARITO:

d) a2  b2  c 2  4abc

1. d

2. e

3. b

4. d

e) a2  2ab  b2  2bc  c 2

5. 9

6. c

7. c

8. d

9. b

10. e

11. c

12. e

12



AULA 4 – EXPRESSÕES ALGÉBRICAS II

Muitas vezes não basta que

a) 2x2  6x  2x.(x  3)

saibamos efetuar multiplicações ou desenvolver

produtos

notáveis.

necessário

utilizar

o

contrário,

denominado

É

b)

procedimento fatoração.

Fatorar é transformar em produto.

3a2  3  ba2  b 









 3. a2  1  b. a2  1 





Estudaremos os três principais casos.

 a2  1 .  3  b 

Fator comum

c) x2  2x  1   x  1

a. x  b. x  x.  a  b 

d) x2  10x  25  (x  5)2

2

forma fatorada

e) Agrupamento

81  4x 2   92   2x   2

a. x  b. x  a. y  b. y 

  9  2x  .  9  2x 

 x.  a  b   y.  a  b    a  b.  x  y 


forma fatorada

1) Fatore as expressões a seguir:

Produtos notáveis a2  2.a.b  b2   a  b 

a) 7a  7b 

2

forma fatorada

a2  2.a.b  b2   a  b 

b) a3  a2 

2

forma fatorada

a  b  a  b . a  b  2

2

c) 3x2  12x5  15x7 

forma fatorada

d) 5am  ay  5bm  by  É importante conhecer os casos de fatoração para simplificar algumas expressões

algébricas.

Observe

a

e) 8x  3xy  8  3y 

seguir os exemplos.

13

f) 64  a2 


g) 9x2  1 

1. Fatore cada uma das expressões a seguir:

h) 4x2  12x  9 

i) a2  6a  9 

j) x3  x2  9x  9 

a) x2  2x  b) x2 y  xy2 

c) m2  4m  4  d) x2  8x  16 

2) Simplifique as expressões a seguir: e) y2  49  a)

x2  x  x 1

b)

x 4  x2

2. Associe as duas colunas e assinale 2

x  6x  9  2x  6 2

c)

a

alternativa

e)

x 2  2xy  y 2  x2  y2

f)

ax  ay  x  2xy  y 2

1.  x  2 

2

h)

a

   x  3    9x  2  . 9x  2    2x 2  2   x 2  4x  4 2

2. 81x 2  4 3. x 2  6x  9 4.  x  1   x  1

2

a) 2, 1, 3, 4

b) 3, 2, 1, 4

c) 3, 4, 2, 1

d) 3, 2, 4, 1

e) 4, 2, 3, 1

2

6ab  3a2 g)  4b2  2ab

apresenta

sequência correta de cima para baixo.

2

a2  d) 2 a  4a  4

que

3. A expressão

x2  9 , onde x  3 , é x3

equivalente a: a) x  3

b) x  9

d) x  3

e) 6

c) x  9

a2  2ab  b2 a  b   ab a2  b2 14

4. (CEFET – RJ) A expressão mais simples de a) –1 d) 2ab

a2  2ab  b2 é: a2  b2

4x 3  x , obtemos: 2x  1

b) 2ab e)

c)

ab ab

x  0, y  0 e x   y , é equivalente a:

d)

xy xy

a) x2  1 d) 2x2  x

c) 2x2  1

b) x2  1 e) 2x2  1

1 b a

x2 x2  y2 5. A expressão , onde . xy  y 2 x 2  xy

y a) x

7. (CESGRANRIO – RJ) Simplificando

x b) y

e)

xy c) xy

8. (PUC – MG) O valor da fração a2  b2 , quando a  51 e b  49 , a2  2ab  b2

é: a) 0,02

b) 0,20

c) 2,00

d) 20,0

x2 y2

9. (UTFPR) Simplificando a expressão 6x 4 y3  4x3 y 4 , obtém-se: 12x3 y 2  8x 2 y3

6. Se a  4 , a expressão algébrica a)

3a  4 1  é equivalente a: 2 a  16 a  4

a)

1 a4

b)

1 a4

d)

2 a4

e)

2 a  4.a  4

c)

2 a4

x2y2 2

d) 3x  2y

b)

2

e)

xy 2

c)

0

15

10.

(ACAFE

–

SC)

A

expressão

36y  16x 2 y é equivalente a: 2.(2x  3)

a) 2y.  3  2x  d)

yx 2x  3

b)

2y 3  4x

DESAFIO

c) y.  2x  3 

dizer que o valor de

e) 4x  6

(FATEC

–

SP)

2  2y  x  xy , 4  x2

para

SP)

A

Se

mn p  6;

mnp  2 e mn  mp  np  11, podemos

a) 22

11.

–

(UNIMEP

b) 7

m2  n2  p2 é: mnp

c) 18

d) 3

e) 1

expressão

x  2,

é

equivalente a: a)

y 1 2x

b)

y 1 2x

d)

y 1 x2

e)

y 1 2x

c)

y x

GABARITO: 1. *

2. d

3. d

4. c

5. b

6. d

7. d

8. a

12. (CEFET – CE) Sabendo-se que

9. e

10. a

11. d

12. a

p  q  4 e pq  5 , então o valor de

DESAFIO: b

E  p3  q3  p2q  pq2 é:

a) 24

b) 26

c) 30

d) 34

e) 36

* a) x.  x  2  b) xy.  x  y  c) m  2  d)  x  4 

2

2

e)  y  7  .  y  7 

16

AULA 5 – EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU O

matemático

Diofante

de

Quantos anos Diofante viveu?

Alexandria é considerado o maior algebrista grego. Pouco se sabe sobre sua vida, até mesmo a data exata em

Se chamarmos de x a idade total de

que nasceu.

Diofante

quando

morreu,

podemos

escrever a seguinte igualdade.

1 1 1 1 .x  .x  .x  5  .x  4  x 6 12 7 2 Antes

de

anterior,

resolvermos vamos

a

equação

compreender

a

definição a seguir: Denomina-se equação do primeiro grau uma igualdade matemática que é ou pode ser escrita na forma a.x  b  0 , Capa da obra: Aritmética de Diofante O único registro sobre quantos

em que a e b são números reais e a  0.

anos viveu encontra-se em seu túmulo

São exemplos de equações do primeiro

por meio de versos. Uma versão

grau:

simplificada é:

2x  4  0

Sob esta lápide repousam os restos de Diofante, Mestre dos números, homem de mente brilhante. Sua infância ocupou um sexto de sua existência, Da qual um doze avos aram na adolescência. Depois, mais um sétimo de sua vida transcorreu, Quando sua cerimônia de casamento aconteceu.

3x  7  1 5x  3   x  4 1 1 .x  3  .x 1 2 3

Mestre dos números, homem de mente brilhante. A quem, pobre coitado, o destino permitiu viver Metade apenas dos dias que ao genitor decidiu conceder.

2.x 1 2

Uma

equação

pode

ser

Por mais quatro anos a perda do filho lamentou,

comparada com uma balança de dois

Até que diante de Deus também se apresentou.

pratos em equilíbrio.

17



x x   20 2 3

O mínimo múltiplo comum dos números 2 e 3 é 6.

● Se adicionarmos ou subtraírmos a mesma quantidade dos dois pratos, a balança continuará em equilíbrio. 2x  10  20 2x  10  10  20  10 2x  30

Agora

dos

dois

pratos

podemos

descobrir

quantos

anos tinha Diofante quanto morreu.

● Se multiplicarmos ou dividirmos as quantidades

x x  2  3  .6  20 .6   3x  2x  120 5x  120 5x 120  5 5 x  24

pelo

1 1 1 1 .x  .x  .x  5  .x  4  x 6 12 7 2

mesmo número, a balança continuará O mínimo múltiplo comum dos números

em equilíbrio.

6, 12, 7 e 2 é 84. 2x  30 2x 30  2 2 x  15

Desta forma, o número 15 é aquele que mantém a balança em equilíbrio. Esse número é chamado solução ou raiz da equação.

1 1 1 1   6 . x  12 . x  7 . x  5  2 . x  4  .84  x .84   14x  7x  12x  420  42x  336  84x 75x  756  84x 75 x  756  75x  84x  75x  75 x 756  9x 756 9x  9 9 84  x

Observe mais dois exemplos:  5x  3  3x  7 5x  3  3  3x  7  3 5x  3x  4 5x  3x  3x  4  3x 8x  4 8x 4  8 8 1 x 2

Assim,

segundo

os

versos

gravados em seu túmulo, Diofante de Alexandria viveu 84 anos.

18

4) (UNICAMP – SP) Roberto disse a


Valéria: “pense um número, dobre esse número; some 12 ao resultado divida o novo resultado por 2. Quanto deu?”

1) Resolva a equação a seguir:

Valéria disse “15”, ao que Roberto

7.  x  1  5.  2x  4   3

imediatamente

revelou

o

número

original que Valéria havia pensado. Calcule esse número.

2) Represente matematicamente cada 5) (UTFPR) Em um cassino, uma

uma das sentenças a seguir.

pessoa introduz em uma máquina um a) O oposto de um número x:

determinado número de fichas e recebe dela o dobro da quantidade original

b) O inverso de um número x:

decrescido de dez unidades. Em uma c) O triplo de um número x:

segunda máquina, coloca essa nova quantidade e recebe novamente o

d) A terça parte de um número x: e)

A

metade

de

um

número

dobro, mas agora decrescido de trinta x

unidades. Finalmente, em uma terceira máquina, coloca a nova quantidade

aumentada de três unidades:

obtida e recebe mais uma vez o dobro, f)

A

metade

de

um

número

x

aumentado de três unidades:

menos

quarenta

unidades.

Coincidentemente, o valor final é o mesmo que a quantidade introduzida na primeira máquina. Essa quantidade

3) A metade de um número adicionada

original de fichas era de:

de 5 unidades é igual ao dobro desse número

subtraído

de

7

unidades.

a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

e) 25

Calcule a terça parte desse número aumentado de 1 unidade.

19


4. (UFRS) A solução da equação 2.  x  3  3

1. A solução da equação 5.  x  3   2.  x  1  20 é um número:

a) primo

b) par

a)

1 2



5.  2x  1

b) 

2

1 2



c) 2

1  5x é: 6

d) 2

e) 1

c) negativo

d) divisível por 3

e) divisor de 7

5. O dobro de um número, mais a sua 2. (MACK – SP) O conjunto solução da

x2 equação  2 em x a) S  1

b) S  2

d) S  

e) S  1

*

metade, mais a sua terça parte é igual a 51. Esse número é:

, é: a) 6

b) 12

c) 18

d) 24

e) 30

c) S  2

6. (CEFET – CE) Sabendo que um 3. (PUC – SP) A raiz da equação 2.  x  1  3.  2  x 

é

um

número

número somado com a sua terça parte é igual à metade desse mesmo número mais 30, então esse número é:

racional: a) menor que 1

a) 18

b) 26

c) 42

d) 36

e) 38

b) compreendido entre 1 e 0 c) compreendido entre 0 e 1 d) maior que 1 e) igual a 1

20

7. (OBM) Considere um número inteiro

10. (UEPG – PR) Ache o valor de x na

x

equação 2m.x  4m2  x  2m .

e

faça

com

ele

as

seguintes

operações sucessivas: multiplique por 2, some 1, multiplique por 3 e subtraia

a) 2m

b) m  1

5. Se o número for 220, o valor de x é:

d) 2m  1

e) 2m

c) 2m  1

a) um número primo; b) um número par; c) um número entre 40 e 50; 11. (UFSC) Certo número x foi dividido

d) um número múltiplo de 3;

por 7, tendo como resto 5. O quociente e)

um

número

cuja

soma

dos

algarismos é 9.

obtido foi multiplicado por 38, obtendose, assim um valor igual a 5x  11. O número x é:

8. (ACAFE – SC) Achar um número inteiro tal que os seus

4 diminuídos de 5

7 seja igual a metade aumentada de 2.

12. (UEM – PR) José gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em

a) 30

b) 20

c) 18

d) 14

e) 10

cada uma gastou 1 (um) real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto tinha José quando entrou na primeira loja?

9. (UFGO) Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha obtém-se os

3 de 5

sua idade. A idade de minha filha, em anos, é: a) 10

GABARITO: b) 15

c) 12

d) 18

e) 20

1. e

2. b

3. c

4. a

5. c

6. d

7. a

8. a

9. b

10. a

11. 89

12. *

* R$ 14,00 21

AULA 6 – SISTEMAS LINEARES em uma das equações e substituir na “A diferença entre as idades de duas pessoas é de 5 anos. Há 10 anos, a idade da mais velha era o

outra equação.  x  y  5 I   x  2y  10 II

dobro da idade da mais nova.” O problema anterior pode ser resolvido por meio de duas equações.

Isolando x na equação I , temos: x  5  y III

Se denominarmos as idades de x e y temos que:

Substituindo III em II , temos:

 x  y  5 x  y  5    x  10  2.  y  10  x  2y  10 

5  y  2y  10  y  15  y  15

Substituindo o valor de y na equação As duas equações anteriores, x  y  5 e

x  2y  10

são

lineares.

III , temos:

Uma

equação é linear se puder ser escrita na forma a1 .x1  a2 .x2  ...  an .xn  b ,

x  5  15  x  20

Assim, as pessoas têm 20 e 15 anos.

onde x1, x2, ..., xn são as incógnitas, a1, a2, ..., an são os coeficientes e b é o

termo

independente.

Um

sistema

Método da adição

linear é um conjunto de equações lineares. Nesta aula, vamos enfatizar duas

Esse método consiste em tornar

incógnitas, ou seja, sistemas lineares

os coeficientes de uma das incógnitas

2 2 .

opostos nas duas equações.

os

sistemas

lineares

Abordaremos

com

dois

principais

métodos: SUBSTITUIÇÃO E ADIÇÃO.

x  y  5   x  2y  10

Método da substituição

Multiplicando a segunda equação por

1, temos:

Esse método consiste em isolar uma das incógnitas em função da outra

x  y  5   x  2y  10

Somando as duas equações, temos: 22

 x  y  5   x  2y  10 y  15

3) (UEL – PR) Somando-se os um número x com os

2 de 3

3 de um número 5

Substituindo, por exemplo, na primeira

y, obtém-se 84. Se o número x é a

equação, temos:

metade do número y, então a diferença

x  15  5  x  20

y  x é igual a:

a) 18

b) 25

c) 30

d) 45

e) 60


1) Resolva os sistemas lineares a seguir: x  y  7 a)  x  y  1

4) (FUVEST – SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao

2x  y  8 b)  3x  2y  5

dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

2) Em um estacionamento existem carros e motos, totalizando 68 veículos. Se o número total de rodas é 238, calcule a razão entre o número de carros e o número de motos.

23

4. (ITA – SP) Suponha que x e y são


números

reais,

simultaneamente

satisfazendo as

equações

1. (UFV – MG) A solução do sistema

2x  3y  21

2x  y  3 é:  x  y  3

condições, se S  x  y , então:

a)

x  1, y  1

b)

x  2, y  1

c)

x  1, y  2

d)

x  1, y  0

e

7x  4y  1.

a) S  10

b) S  8

d) S  8

e) S  15

Nestas

c) S  5

e) x  3, y  0

5.

(UFSE)

Numa caixa

há

bolas

brancas e pretas num total de 360. Se 2. (CESGRANRIO – RJ) Se

 x, y 

é

 x  2y  5 solução de  , então o valor 4x  y  2

de x  y é: a) 4

o número de brancas é o quádruplo do de pretas, então o número de bolas brancas é: a) 72

b) 3

c) 2

d) 1

b) 120 c) 240

d) 288 e) 296

e) 0

3. (PUC – SP) A solução do sistema

6. (ESAL – MG) Em um quintal há

3x  y  1 é:  2x  2y  1

galinhas e coelhos perfazendo o total de 14 cabeças e 38 pés. Calcule o número de galinhas.

a)

 1  0, 4   

 1 1 d)  ,  2 4

b)

 1    2, 0  

c)

 1    2 , 1  

 1 1 e)  ,  4 4

24

7. (UNESP – SP) Maria tem em sua

9.

bolsa R$ 15,60 em moedas de 10

comprou bicicletas de duas rodas e

centavos de 25 centavos. Dado que o

guarda-chuvas de 12 varetas. Se o

número de moedas de 25 centavos é o

total de rodas e varetas é 38000 e o

dobro do número de moedas de 10

número de guarda-chuvas é o triplo do

centavos, o total de moedas na bolsa é:

de bicicletas, então o número de

a) 68

8.

b) 75

(UEL

–

c) 78

PR)

Um

d) 81

e) 84

comerciante

varejista comprou 80 calças de dois tamanhos diferentes, pequeno e médio, gastando R$ 4.300,00. Cada calça de tamanho pequeno custou R$ 50,00 e cada calça de tamanho médio custou R$ 60,00. Quantas calças de tamanho

(UNIMEP

–

SP)

Uma

pessoa

guarda-chuvas corresponde a: a) 1000

b) 9500

d) 3000

e) 19000

c) 3800

10. (OBM) Um time de futebol ganhou 8 jogos mais do que perdeu e empatou 3 jogos menos do que ganhou, em 31 partidas.

Quantas

partidas

o

time

venceu? a) 11

b) 14

c) 15

d) 17

e) 23

pequeno e médio, respectivamente, ele comprou? a) 30 e 50

b) 37 e 43

d) 43 e 37

c) 50 e 30

c) 40 e 40

25

11.

(UNESP

–

SP)

Um

orfanato

12. Eu tenho o dobro da idade que

recebeu uma certa quantidade x de

você tinha quando eu tinha a idade que

brinquedos para serem distribuídos

você tem. Quanto você tiver a idade

entre as crianças. Se cada criança

que eu tenho, a soma das nossas

receber três brinquedos, sobrarão 70

idades será de 81 anos. A minha idade

brinquedos para serem distribuídos;

é:

mas para que cada criança possa receber

cinco

brinquedos,

serão

necessários mais 40 brinquedos. O

a) 36 anos

b) 32 anos

d) 24 anos

e) 18 anos

c) 27 anos

número de crianças do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato recebeu são, respectivamente: a) 50 e 290

b) 55 e 235

c) 55 e 220

d) 60 e 250

e) 65 e 265 DESAFIO (FUVEST – SP) Resolva o sistema 2 3  u  v  8   1  1  1  u v

GABARITO: 1. b

2. b

3. e

4. b

5. d

6. 9

7. c

8. e

9. d

10. b

11. b

12. a

DESAFIO: u  1 e v 

1 2 26

AULA 7 – CONJUNTOS I

O que é um conjunto? Apesar de não existir uma definição formal, temos a ideia intuitiva do que seja um

● Por meio de uma propriedade que caracterize seus elementos.

conjunto. Por exemplo, a sala de aula

A  vogais do alfabeto

em que você estuda é um conjunto de

A  x / x é vogal do nosso alfabeto

ou

alunos. O alfabeto é um conjunto de letras. Um conjunto está associado a uma coleção ou grupo.

Elementos de um conjunto

Representação de um conjunto

Para representar quais são os elementos que fazem parte de um conjunto,

Existem

várias

maneiras

de

utilizamos

os

símbolos

 (pertence) e  (não pertence).

representar um conjunto: ● Quando um elemento x faz parte de ● Por meio de diagramas (curvas

um conjunto A, dizemos que x pertence

fechadas) com os elementos em seu

ao conjunto A.

interior. Exemplo: Conjunto das vogais do

xA 

x pertence ao conjunto A

nosso alfabeto. ● Quando um elemento x não faz parte de um conjunto A, dizemos que x não pertence ao conjunto A. xA 

x não pertence ao conjunto A

● Por meio da nomeação dos seus

Exemplo: Se A  1, 2, 5, 8, 9 , temos

elementos entre chaves.

que 5  A e 3  A .

A  a, e, i, o, u

27

Conjunto vazio

Observe que toda vogal é uma letra do alfabeto, ou seja, o conjunto V está contido no conjunto L. Simbolicamente

Um conjunto que não possui elemento

algum

é

denominado

conjunto vazio. Existem duas maneiras para se representar um conjunto vazio:  ou 



Observação: Não se pode representar o conjunto vazio por  .

temos: V L

LV

ou





V está contido emL

L contém V

Considere agora os conjuntos: A  1, 3, 7 B  2, 5, 8 C  1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9

Podemos dizer que B  C (B está Subconjuntos

contido em C) e que A  C (A não está contido em C), pois todo elemento de B pertence ao conjunto C, mas como

Se todos os elementos de um conjunto A pertencem a outro conjunto

7C,

nem

todo

elemento

de

A

pertence ao conjunto C.

B, diz-se que A é subconjunto de B ou ainda que A está contido em B. Se nem

Observações:

todo elemento do conjunto A pertence

● Todo conjunto é subconjunto dele

ao conjunto B diz-se que A não é

próprio. Em símbolos, A  A .

subconjunto de B ou que A não está contido em B.

● O conjunto vazio é subconjunto de qualquer

conjunto.

Em

símbolos,

Se considerarmos o conjunto L

  A . Essa propriedade justifica-se

das letras do nosso alfabeto e V o

pelo fato de não existir algum elemento

conjunto das vogais, temos a seguinte

do conjunto vazio que não pertença ao

representação:

conjunto A.

28

Igualdade de conjuntos

Intersecção de conjuntos

Dois conjuntos são iguais se

Dados os conjuntos A e B, define-se a

apresentarem os mesmos elementos.

intersecção dos conjuntos A e B o

Diz-se também que os conjuntos A e B

conjunto A  B , formado por todos os

são iguais se A  B e B  A .

elementos que pertencem a A e a B.

A B A B e B A * : se, e somente se,

A  B  x / x  A e x  B

Exemplo: Dados os conjuntos A  1, 2, 5 e B  1, 3, 5, 8 , temos

União de conjuntos

Dados os conjuntos A e B, define-se a união dos conjuntos A e B o conjunto A  B , formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.

que A  B  1, 5 .

Observações:  AA  A  A     Se A  B, então A  B  A.

A  B  x / x  A ou x  B

Exemplo: Dados os conjuntos

Diferença de conjuntos

A  1, 2, 5 e B  1, 3, 5, 8 , temos

que A  B  1, 2, 3, 5, 8 .

Dados os conjuntos A e B, define-se a diferença entre A e B, nesta ordem, o conjunto A  B , formado por todos os

Observações:  AA  A  A   A  Se A  B, então A  B  B.

elementos que pertencem a A e não pertencem a B. A  B  x / x  A e x  B

Exemplo: Dados os conjuntos A  1, 2, 5, 7 e B  0, 2, 5, 8 , temos

que A  B  1, 7 . 29


3) Considere os conjuntos formados por elementos não negativos:

1) Sejam A, B e C os conjuntos representados no diagrama.

M  x / x é múltiplo de 3 N  x / x é ímpar P  x / x é divisor de 24

Determine o conjunto P  M  N .

4) Dado o conjunto A  1, 3, 4, 5, 7 , assinale

V

ou

F

conforme

cada

afirmação seja verdadeira ou falsa Determine:

respectivamente.

A B  A C  BC  A B C  A B  A C  BC  A B C  A B  A C  BC  BA  CA  CB 

      

3  A 5  A 3, 5  A 3, 5  A   A   A 3, 5, 6, 7  A


1. Se A  1,2,3,4,5 , B  1,1,2,5,7 e 2) Sendo A  1, 3, 5, 6 , B  3, 5, 6, 7 e C  2, 5, 6, 9 , determine o conjunto

B  C   A .

C  0,2,4,6,8 , o número total de

elementos do conjunto  A  B   C é: a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

30

A  B  0,1,2,3,4 ,

2. (PUC – PR) Dados os conjuntos

5.

A  1,4,7,10,13 e B  2,4,6,8,10,12 ,

A  B  2,3 e A  B  0,1 , então:

(UTFPR)

Se

podemos afirmar que: a) A  1,2,3 e B  0,2,3,4

a) A é subconjunto de B. b) B é subconjunto de A.

b) A  2,3 e B  0,1,2,3,4

c) a intersecção de A e B é vazia.

c) A  2,3,4 e B  0,1,2,3

d) a intersecção de A e B é não vazia.

d) A  0,1,2,3 e B  2,3,4

e) a união de A e B é vazia.

e) A  0,1,2,3,4 e B  2,3

3. (MACK – SP) Sendo A  1,2,3,5,7,8 e B  2,3,7 , então o complementar de 6.

B em A é: a) 

b) 8

d) 9,10,11,...

e) 1,5,8

c) 8,9,10

OBSERVAÇÃO: Se B  A , chama-se complementar de B em A e representa-

(UTFPR)

A  0,1,2,3 ,

Sendo

B  2,3,4,5 e C  4,5,6,7 , então o

conjunto  A  B   C é: a)

0,1

b)

d) 4,5

2,3

c)

6,7

e) 

se por CBA o conjunto A  B .

7. (UFSE) Sejam A e B subconjuntos 4. (UFAL) Se A e B são dois conjuntos

de

não vazios tais que: A  B  1,3,6,7 ,

X  A  0,1,5,6 e X  B  0,4,6 . Se

B  A  4,8

A  B  2,3 , o conjunto A  B é igual

e A  B  1,2,3,4,5,6,7,8 ,

então A  B é o conjunto:

1,4

a) 

b)

d) 6,7,8

e) 1,3,4,6,7,8

um

conjunto

X,

tais

que

a: c)

2,5

a)

1,4,5

b)

0,2,3,5

c)

1,2,3,4

d)

1,2,3,4,5

e) 0,2,4,5,6

31

8. (ITA – SP) Considere as seguintes

11. (PUC – PR) A região assinalada no

afirmações

diagrama representa:

sobre

o

conjunto

U  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 :

I.   U e n(U)  10 II.   U e n(U)  10 III. 5  U e 5  U IV. 0,1,2,5  5  5 a)

 A  B  C

b)

 A  B   B  C 

c)

 A  C   B  C 

d)

 A  B   C  B

Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s):

e)  A  B  B  C a) apenas I e III

b) apenas II e IV

c) apenas II e III

d) apenas IV 12. (FUVEST – SP) Seja a diferença

e) todas as afirmações

simétrica dos conjuntos A e B, definida pela igualdade: A  B   A  B  B  A  .

9. (MACK – SP) Se 1; 2x  y; 2;3;1 

A  B é o conjunto:

 2;4; x  y; 1;3 , então:

a)

xy

d) 2x  y

b)

Se A  a,b,c e B  b,c,d,e,f  , então

xy

c)

xy

e) x  2y

a) a,d,e,f 

b) b,c,d,f 

d) a

e) A  B

c) 

10. (CESGRANRIO – RJ) O número de conjuntos

X

que

satisfazem

1,2  X  1,2,3,4 é: a) 3

b) 4

c) 5

GABARITO: d) 6

e) 7

1. c

2. d

3. e

4. c

5. d

6. e

7. d

8. c

9. b

10. b

11. c

12. a

32

AULA 8 – CONJUNTOS II

Na aula anterior, aprendemos que um conjunto pode ser subconjunto

 B  1, 5, 7  P(B)  1, 5, 7, , 1, 5, 1, 7, 5, 7, 1, 5, 7, 

de outro. Por exemplo, o conjunto A  1, 2 é subconjunto do conjunto

O conjunto B possui 3 elementos e o

B  0, 1, 2, 3 , da mesma forma que o

conjunto P(B) possui 8 elementos, ou

conjunto C  0, 2, 3 também o é.

seja, B possui 8 subconjuntos.

Quais são todos os subconjuntos do

Observe

que

todos

os

conjunto B? Qual o número total de

subconjuntos de um conjunto são

subconjuntos do conjunto B?

elementos do conjunto das partes desse conjunto. Assim, se A  1, 5 , temos, por exemplo, que

Conjunto das partes de um conjunto

5  A

e

5  P(A) . Existe uma relação entre o

Dado um conjunto A qualquer, o

número de elementos de um conjunto

conjunto cujos elementos são todos os

A e o número de elementos de P(A) .

possíveis subconjuntos (ou partes) do

Considere o conjunto B  1, 5, 7 e o

conjunto A é representado por P(A) e denominado conjuntos das partes de A. Exemplos:  A  1, 5

elemento 5. Esse elemento pode ou não pertencer a algum elemento do conjunto P(B) . Por exemplo, 5  1, 5 , mas 5  1, 7 . Dessa forma, podemos dizer que para o elemento 5 existem

Lembrando que o conjunto vazio e o

duas possibilidades com relação a

próprio conjunto é subconjunto de

ocorrência em um elemento de P(B) .

qualquer conjunto, temos:

Analogamente, para os elementos 1 e

P(A)  1, 5, , 1, 5

7 também existem duas possibilidades.

O conjunto A possui 2 elementos e o

possibilidades, temos que o número de

conjunto P(A) possui 4 elementos, ou

elementos do conjunto P(B) é igual a

seja, A possui 4 subconjuntos.

2.2.2  23  8 .

Assim, se cada elemento ite duas

33

Em geral, se um conjunto A possui n elementos, o conjunto P(A) possui 2n

n(A  B)  n(A)  n(B)  n(A  B) 



7

4



6



3

elementos, ou seja, o conjunto A possui O número de elementos de A  B é

2n subconjuntos.

igual ao número de elementos de A  n elementos A n  2 subconjuntos

mais o número de elementos de B menos o número de elementos de A B . n(A  B)  n(A)  n(B)  n(A  B)

Número de elementos da união Observação: Se os conjuntos A e B forem disjuntos, ou seja, se A  B   , temos que n(A  B)  n(A)  n(B) , pois

Considere os conjuntos:

n(A  B)  0 .

A  2, 3, 5, 7 e B  0, 1, 2, 3, 4, 5

Se

representarmos

o

número

de

elementos de um conjunto A por n(A) ,

Produto cartesiano

temos que n(A)  4 e n(B)  6 . Se questionarmos várias pessoas sobre o número de elementos da união dos

Dados dois conjuntos A e B,

conjuntos A e B, talvez algumas

define-se o produto cartesiano de A por

respondam 10, ou seja, 4  6 . Não

B e representa-se por A  B , o conjunto

confunda união com soma. Observe o

formado por todos os pares ordenados

diagrama a seguir:

(x, y) , nos quais x  A e y  B .

A  B  (x, y) / x  A e y  B

Exemplo: Se A  1, 5 e B  3, 7, 8 , determine A  B e B  A .

Observa-se anteriormente que:

A  B  (1, 3), (1, 7), (1, 8), (5, 3), (5, 7), (5, 8) B  A  (3, 1), (3, 5), (7, 1), (7, 5), (8, 1), (8, 5)

n(A)  4, n(B)  6, n(A  B)  3, n(A  B)  7

Os números anteriores podem ser relacionados da seguinte maneira:

Observações:  Em geral, A  B  B  A.  n(A  B)  n(A).n(B) 34

4) (PUC – PR) Em um levantamento


com

100

vestibulandos

da

PUC,

verificou-se que o número de alunos 1) Se o conjunto A possui 5 elementos,

que

B possui 4 elementos e A  B possui 2

Matemática, Física e Português foi o

elementos,

seguinte: Matemática, 47; Física, 32;

calcule

o

número

de

subconjuntos de A  B .

estudou

para

as

provas

de

Português, 21; Matemática e Física, 7; Matemática e Português, 5; Física e Português, 6; as três matérias, 2. Quantos dos 100 alunos incluídos no

2) Sendo o conjunto A  3, 5, 3, 5 , determine P(A) e analise a veracidade

levantamento não estudaram nenhuma das três matérias? a) 16

b) 28

c) 9

d) 13

e) 0

de cada uma das afirmações a seguir.

 

5A

  5  A

  5  A

  5  P(A)

  3, 5  A

  3, 5  P(A)

  3, 5  A

 

A

 

 

  P(A)

A


1. (FGV – SP) Seja A um conjunto com 8 3) (PUC – RJ) Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas

elementos.

O

número

total

de

subconjuntos de A é: a) 8

b) 256

c) 6

d) 128

e) 100

gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de samba nem de rock?

2. (UFMG) Os conjuntos A, B e A  B

a) 800 b) 730 c) 670 d) 560 e) 430

têm, respectivamente, 10, 9 e 15 elementos. O número de elementos de A  B é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 8 35

A  0, 1 ,

3. (MACK – SP) Sendo

5.

A  1, 2, 1, 2 , pode-se afirmar que:

B  1, 0, 1 e C  0, 1, 1, 0, 1 ,

c) 1  2  A

a) 1  A

b) 1  A

d) 2  A

e) 1  2  A

(FATEC

–

SP)

Se

então: a)

A B

c) A  B  

b)

A  B  0, 1

d) C  (A  B)  B

e) (A  C)  B

4.

Com

relação

A  1, 2, 3, 4, 5

e

aos

conjuntos

B  3, 5, 6, 7 ,

6. (UFV – MG) Sabe-se que os conjuntos A e B têm, respectivamente, 64 e 16 subconjuntos. Se A  B tem 7

analise as afirmações a seguir. ● Os conjuntos A  B e B  A são

elementos, então A  B tem:

iguais.

a) nenhum elemento b) três elementos

● (3, 7)  A  B

c) dois elementos

● A  B  1, 2, 4, 6, 7

e) quatro elementos

d) um elemento

● 5  A  B ● O número de elementos de A  B é 7. (UDESC – SC) Uma pesquisa foi

20.

realizada junto a 930 pessoas a O

número

exato

de

afirmações

verdadeiras é: a) 1

b) 2

respeito da prática dos esportes futebol e vôlei: Foi constatado que o vôlei era

c) 3

d) 4

e) 5

praticado por 340 pessoas e que 65 praticavam ambos os esportes. Foi constatado ainda que 15 pessoas não praticavam nenhum desses esportes. O número de pessoas que praticavam apenas futebol é: a) 565 b) 525 c) 535 d) 510 e) 575

36

8. (UNIFOR – CE) Os editores das

11. (AFA – SP) Em um grupo de n

revistas Fotomania e Musical fizeram

cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19

uma pesquisa entre os 400 alunos de

jogam basquetebol, 21 jogam voleibol,

uma escola. A pesquisa revelou que,

5 nadam e jogam basquetebol, 2

desses alunos, 210 lêem a revista

nadam e jogam voleibol, 5 jogam

Musical, 190 lêem a revista Fotomania

basquetebol e voleibol e 2 fazem os

e 50 não lêem revistas. O número de

três esportes. Qual o valor de n,

alunos que lêem somente a revista:

sabendo-se que todos os cadetes

a) Musical é 160

b) Fotomania é 150

c) Musical é 170

d) Fotomania é 130

e) Musical é 180

desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? a) 31

b) 37

c) 47

d) 51

9. (UNESP – SP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20, de história. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e de

12. (MACK – SP) Numa escola há n

História é:

alunos. Sabe-se que 56 lêem o jornal

a) exatamente 16

b) exatamente 10

c) no máximo 6

d) no mínimo 6

e) exatamente 18

A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é: a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183

10. (MACK – SP) Dados os conjuntos A, B e C, tais que: n B  C   20

n  A  B  C  1

n  A  B  5

n  A  B  C   22

n  A  C  4

GABARITO:

Então n  A  B  C é igual a: a) 0

b) 1

c) 4

d) 9

e) 12

1. b

2. c

3. e

4. c

5. e

6. b

7. e

8. a

9. d

10. d

11. c

12. c 37

AULA 9 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS

Nesta

aula

estudaremos

os

seguintes conjuntos numéricos:

um valor absoluto e um valor relativo. O valor absoluto coincide com o valor atribuído ao algarismo, mas o valor

● números naturais

relativo depende da posição ocupada

● números inteiros

pelo

algarismo

no

correspondente

número.

● números racionais

Exemplo:

● números irracionais

5732 2 3.10 = 30 7.102 = 700 5.103 = 5000

● números reais

Números naturais O número 5732 é formado por 5 unidades de milhar, 7 centenas, 3 Foram os primeiros números que

surgiram,

necessidade fiscalizar naturais

do

seus estão

possivelmente ser bens.

humano Os

pela em

números

associados

às

dezenas e 2 unidades, ou seja: 5732  5000  700  30  2 ou 5732  5.103  7.102  3.10  2.100 forma polinomial do número 5732

quantidades. Os símbolos, também chamados

de

algarismos,

são

utilizados para a representação de

Números inteiros

quantidade de elementos. A cada uma destas quantidades é associado um símbolo que representa um número natural. Desta forma, o conjunto dos números naturais é dado por:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

Os números naturais não foram suficientes, ao longo da história, para responder determinadas perguntas. Por exemplo, qual o resultado de 3  7 ? Para representar quantidades perdidas,

O sistema de numeração decimal utiliza dez algarismos para representar qualquer número. Cada algarismo tem

quantidades que representam débitos, dívidas, fez-se necessário um novo conjunto, uma vez que o conjunto dos 38

números naturais não é fechado em

Como a pizza foi dividida em 8

relação à subtração. Para representar o

pedaços, podemos representar um dos

oposto de certa quantidade, utilizamos o símbolo “–“ antes do número natural. Os números naturais e seus opostos formam

o

conjunto

dos

números

inteiros.

pedaços pelos número

1 . Surge, 8

portanto, um novo conjunto numérico. Define-se como número racional todo número que é quociente entre dois

 ...,  4,  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

números inteiros. p   / p q

O uso da letra Z, para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se

e q

*

 

ao fato de ser a primeira letra da

Os números racionais sempre podem

palavra Zahl, que significa número em

ser representados por um número

alemão.

decimal exato ou periódico.

Observação:



Como todo número natural é inteiro, temos que



.

1  0,125  número decimal exato 8

3



Números racionais

3  número inteiro 1

5  0,555...  0,5 9 número decimal periódico

Nem sempre a divisão entre dois

números

inteiros

tem

como



123  1,242424...  1,24 99 número decimal periódico

resultado outro número inteiro. Por exemplo, você e seus amigos vão a

Observação:

uma pizzaria e pedem uma pizza dividida em oito pedaços iguais.

Como todo número inteiro é racional, temos que



.

Se você degustar um dos pedaços, como representar essa quantidade? 39

Números irracionais

Números reais

Observe na figura um quadrado cujos lados medem 1.

O conjunto dos números reais, representado por

, é definido como a

união entre os conjuntos dos números racionais e irracionais.



I

O diagrama a seguir ilustra todos os conjuntos estudados até aqui. Por meio do teorema de Pitágoras, temos que

d  2 . Utilizando uma

calculadora,

2  1,41421356237... . O

número anterior não é decimal exato nem periódico. Temos, portanto, um novo conjunto de números. Define-se como número irracional todo

Os

número que não é quociente entre dois

representados em uma reta.

números

reais

podem

ser

números inteiros.  p I  x  / p  q 

e q

*

 

São exemplos de números irracionais:

Assim, como todos os números reais “preenchem” a reta, esta é denominada

3  1,73205080...   3,14159265...

reta real.

5  1,70997594... e  2,71828182... 3

Intervalos

Observação: Como não existe número racional e irracional simultaneamente,

I   .

Intervalos são subconjuntos dos números

reais

determinados

por

desigualdades.

40

: maior do que : menor do que : maior do que ou igual a : menor do que ou igual a

Faça um diagrama representando os conjuntos

numéricos

estudados

e

disponha os números da tabela.

Intervalo Fechado É um subconjunto dos números reais tais que a  x  b , ou seja, formado por

2) Dados os intervalos A   , 2 e

todos os números de a até b.

B  0, 5  , determine A  B e A  B .

Representação:

a, b  x 

/ a  x  b

Intervalo Aberto 3) Assinale V ou F conforme cada É um subconjunto dos números reais tais que a  x  b , ou seja, formado por

afirmação seja verdadeira ou falsa, respectivamente.

todos os números entre a e b.

 

A soma de dois números naturais

é um número natural.

 

Representação:

a, b  a, b  x 

/ a  x  b

A soma de dois números racionais

é um número racional.

 

O produto de dois números

irracionais é um número irracional.


 

A

irracionais 1) Observe os números da tabela. 0

2,3

0,777...

e

–2 3

2

 3  8

2 4 2

 3 0,1234...

soma pode

de ser

dois um

números número

racional.

 

O quociente de dois números

irracionais é um número irracional. 41

4. (PUC – SP) Um número racional


qualquer: a) tem sempre um número finito de 1. (FGV – SP) Assinalando V ou F, se

ordens (casas) decimais.

as

b) tem sempre um número infinito de

sentenças

são

verdadeiras

ou

ordens (casas) decimais.

falsas,  ;



 ;



 ;





,

c) não pode expressar-se em forma decimal exata.

obtemos:

d) nunca se expressa em forma de uma a) F,V,F,V

b) V,V,V,V

d) F,V,V,V

e) V,V,V,F

c) F,V,V,F

decimal inexata. e) nenhuma das anteriores.

2. (CESGRANRIO – RJ) Sejam

A  2, 3

5. (PUC – MG) Se

e

A  , 2 e B  0,  intervalos de

B  0, 5 , então os números inteiros

números reais. Então A  B é:

que estão em B  A são:

a)

1

b)

d) 0, 1, 2

, 0

c) vazio

e) 0, 2

3. (UNIFAL – MG) Seja

a) 1 e 0

b) 1 e 0

d) 3, 4 e 5

e) 0, 1, 2, e 3

Dados

c) 4 e 5

o conjunto

dos números reais,

o conjunto dos

6.

números naturais e

o conjunto dos

A   2, 1 e B  0, 2 , então A  B e

números racionais. Qual a afirmativa

(UEMT)

os

intervalos

A  B , são respectivamente:

falsa? a)





b)





c)





d)





e)





a)

 0, 1 e  2, 2

b)

0, 1 e  2, 2

c)

0, 1 e  2, 2

d)

 0, 1 e  2, 2

e) 0, 1 e  2, 2

42

7.

–

(UNESP

A  x   B  x  

/ x  4n , *

/

SP) com

Se

n

20   n , com n  x 

,

e

, então

9. (FATEC – SP) Sejam a e b números irracionais. Das afirmações I) a.b é um número irracional

o número de elementos de A  B é:

II) a  b é um número irracional

a) 3

III) a  b pode ser um número racional

b) 2

c) 1

d) 0

e) impossível de determinar

pode-se concluir que: a) as três são falsas; b) as três são verdadeiras; c) somente I e III são verdadeiras; d) somente I é verdadeira; e) somente I e II são falsas.

8. (FGV – SP) Sejam os intervalos A   , 1 , B   0, 2 e C   1, 1 . O

intervalo C   A  B  é: a)

 1, 1

d)  0, 1

b)

 1, 1

e)  ,  1

c)

0, 1

10.

(UFSC)

Dados

A  x 

/ 1  x  17 ,

B  x 

/ x é ímpar ,

C  x 

/ 9  x  18 ,

os

conjuntos

determine

a

soma dos elementos que formam o conjunto  A  B   C .

43

11. (FGV – SP) Quaisquer que sejam o

DESAFIO

racional x e o irracional y, pode-se dizer que:

Todo número real x verifica a condição n  x  n  1, onde n é um número

a) x. y é irracional

inteiro. O número n é denominado b) y. y é irracional

parte inteira de x e é representado por

 x .

c) x  y é racional

Calcule o valor da expressão a

seguir. d) x  y  2 é irracional 13  y  3,5      2,3 3

e) x  2y é irracional

12. (FUVEST – SP) Os números x e y são tais que 5  x  10 e 20  y  30 . O maior valor possível de

a)

1 6

b)

1 4

c)

1 3

x é: y

d)

1 2

e) 1

GABARITO: 1. a

2. e

3. c

4. e

5. c

6. b

7. b

8. b

9. e

10. 15

11. e

12. d

DESAFIO: 10 44

AULA 10 – POTENCIAÇÃO

É muito comum nos depararmos com cálculos matemáticos que, por serem

excessivamente

demandam

muito

trabalhosos,

tempo.

Algumas

propriedades nos auxiliam a tornar esse trabalho menos árduo. Nesta

Propriedade 1 Se multiplicarmos potências com a mesma base, a potência resultante é obtida

conservando-se

a

base

e

adicionando-se os expoentes.

am .an  amn

aula, estudaremos a potenciação. Exemplo: Definição

34 .33  343  37

Dado

um

número

real

a

qualquer e n um número natural não

Propriedade 2

nulo, define-se a potência an como

Se dividirmos potências com a mesma

sendo o produto de n fatores iguais ao

base, a potência resultante é obtida

número a, ou seja:

conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes.

an  a.a.a.(...).a

am  a m n an

n fatores

Exemplo:

Exemplos:

45  452  43 42

2  2.2.2.2.2 5

57  5.5.5.5.5.5.5 33  3.3.3

Observação: A definição anterior é

Agora já podemos obter dois resultados

válida para expoentes naturais não

importantes:

nulos. Entretanto, é possível definir uma potência para números inteiros quaisquer.

Antes,

porém,

estudar algumas propriedades.

vamos

an  1 (a  0) an a0 1  n  n (a  0) a a

 a0  ann   an  a0n

45

Propriedade 3

Propriedade 5

Na potência de potência, a potência

A potência de um quociente é igual ao

resultante é obtida conservando-se a

quociente das potências do numerador

base e multiplicando-se os expoentes.

e do denominador.

a 

m n

n

an a  (b  0)   bn b

 am.n

Exemplo: Exemplo:

2  3

4

 23.4  212

5

25 2  3 35  

Observação: Não confunda

a  m

n

Potências de base 10

mn

com a , pois são diferentes. Exemplo: As potências de base 10 são

5  3

2

 53.2  56

muito

utilizadas

não

apenas

na

Matemática, mas também em outras

2

53  59

ciências como Física e Química, devido a existem de grandezas macroscópicas e microscópicas. Dois casos devem ser

Propriedade 4

considerados. A potência de um produto de dois ou mais fatores é igual ao produto das potências desses mesmos fatores.

 a.b 

n

O expoente é inteiro e positivo

 an .bn 10n  1000(...)00

Exemplo:

n zeros

 2.3 

5

 25 .35

Exemplos: 101  10

104  10000

102  100

105  100000

103  1000

106  1000000

46

O expoente é inteiro e negativo

10n 

1  0, 000(...)001 10n n casas decimais


1) Assinale V ou F conforme cada afirmação seja verdadeira ou falsa, respectivamente.

Exemplos: 101  0,1

104  0,0001

102  0,01

105  0,00001

103  0,001

106  0,000001

 

27 .22  29

 

103  102 5 10

 

39  35 4 3

 

7x2  7x .72

 

45  42 3 4

 

23  23

 

5 x 3 

5x 53

 

23  22

 

7 

 75

 

2   2 

 

2

2

Notação científica

Para representar grandes ou pequenas medidas, utilizamos uma

3

2

2

3

3

2

2

3

forma especial denominada notação científica. 2) (CEFET – CE) Se 20x2  25 , então Um número escrito em notação científica deve estar na seguinte forma:

 .10n, onde 1    10

20 x é igual a:

a) 25

b)

1 25

c) 16

d)

1 16

e)

16 25

Por exemplo, a massa de um elétron e a distância média da Terra ao Sol são iguais, respectivamente a 0,000000000000000000000000000911 g

e 149600000000 m . Escrevendo esses

3) Simplifique a expressão a seguir: 3n3  3.3n 4.3n2

números em notação científica, temos 9,11.1028 g e 1,496.1011 m .

47


3. A expressão

5.103 .101 .104 é igual 102 .105

a: 1. Assinale V ou F conforme cada afirmação seja verdadeira ou falsa, respectivamente.

a) 5

b) 50

c) 500

d) 5000

e) 50000

   22  4    2

2

4

2  4. (OBM) A razão 4  4

   2

2

1  4

   22    

8

1 4

a)

1 4

b)

1 2

8 2

é igual a:

c) 1

d) 2

e) 4

5 x 1 1  51 x 25

  23x   2x 

3

5.

(UTFPR)

Assinale

a

afirmativa

correta:

   23 

5

 28

 

2

43  43

a)

  2x2 .2x2  4x

c) 43

  0,000000375  3,75.107

e) 43  42

 

2

2

b)

 

2

   4 

 49

2

2

43  43

d) 43

2

2

3

3

  718000000000  7,18.1010 6. (PUC – SP) O número de elementos distintos no quadro a seguir é:

5  2

2. O valor da expressão

3

5 2 .57

b) 51

c) 5

d) 52

42

42

 4 

é: a) 1

a) 52

24

b) 2

 2 4  2  4

2

c) 3

d) 4

e) 5

e) 53

48

7. (UNESP – SP) Se



  2

m  35 .43 . 32 .46





c) m  37 .43









a) m  33 .42

e) m  36 .42

10. (OMERJ) O valor de 44 .94 .49 .99 é



1

igual a: , então:



2

b) m  32 .43



2



a) 1313

b) 133

c) 3613

d) 3636

e) 129626

4

d) m  310 .418



2

4

11. (UNESP – SP) Se x  103 , então

 0,1 .  0,001 .101 10.  0,0001 a) 10.x

b) 1

é igual a:

c) x

d)

x 10

e)

x 100

8. (OSEC – SP) Se 102x  25 , então 10 x é igual a:

a) 5

b)

1 5

c) 25

d)

1 25

e) 5 12. (PUC – SP) Se N é o número que resulta do cálculo de 219 .515 , então o total de algarismos que compõem N é:

9.

(EPCAR)

 5    6  B 2  7  3

Se

A

2

, então

53  62 72

e

a) 17

b) 19

c) 25

d) 27

e) maior do que 27

K , A B  49

onde k  ... a) 250

b) 72

d) zero

e) 178

c) 72

GABARITO: 1. *

2. c

3. d

4. c

5. b

6. b

7. b

8. b

9. a

10. c

11. d

12. a

* F, V, V, V, V, V, F, V, V, F 49

AULA 11 – RADICIAÇÃO I

Existem operações matemáticas que podem ser definidas a partir de outras. Por exemplo, a subtração a  b a é igual à adição a  ( b) e a divisão b 1 é igual à multiplicação a. . Na aula b

Exemplos:  3 8  2, pois 23  8  5 243  3, pois 35  243  16  4, pois 42  16  4 625  5, pois 5 4  625  7 1  1, pois 17  1

anterior estudamos as potências com expoentes

inteiros.

Vamos

agora

Observações:

ampliar esse conceito para expoentes

● Se o índice é um número par e o

racionais.

radicando é um número positivo, a raiz

x

considerada

1 an

é

sempre

25  5 e não

Assim,

a

positiva.

25  5 .

Sendo x  a , temos : y

● Se o índice é um número par e o

1 n a

a  1 y n n. y  1 Assim : y

radicando é um número negativo, a raiz não está definida no conjunto dos números reais. 1

an.y  a1

a  y

n

● Como x  a n implica em xn  a que

a

1

implica em x  n a , então

xn  a

a  an .

xn  a

Ao número x da igualdade

chamaremos raiz enésima de a e n

representaremos pelo símbolo

Propriedade 1

a em

m n

que a é o radicando e n é o índice. a  x  xn  a a : radicando

n

am  a n

Exemplos:

n



n : índice do radical n  x : raiz enésima de a

*



2 3

52  5 3 1

7  72

50

Propriedade 2 n


a.b  n a . n b

Observação: Se o índice for par, os radicandos devem ser não negativos.

1) Assinale V ou F conforme cada afirmação seja verdadeira ou falsa, respectivamente.

Exemplos: 16.25  16 . 25  4.5  20 3

8.27  3 8 . 3 27  2.3  6

   

a na  b nb

Observação: Se o índice for par, os

64  4 2 3 5 0,25  0,5 4  2

   

Propriedade 3

n

   

3

   

1 2 3

 3  2. 3  6  102  92  1  3 82  90,5  7

13  7  2  4  4 0,444...  0,222...

2) Justifique as propriedades a seguir:

radicandos devem ser não negativos. 

Exemplos:

n.p

am.p  n am

 a. n b  n an .b 16 16 4   25 25 5 3

8  27

3 3

8 2  27 3

3) Determine o valor de x na expressão

Propriedade 4

x nm

a

n.m

a



74 3  74 3

. 2

Exemplos: 3

5 

3.2

5 65

3 4

2

3.4

2  12 2

4) Escreva os números a seguir em ordem crescente:

2, 3 4 e 5 8

Observação: Se o índice for par, o radicando deve ser não negativo.

51

Exercícios propostos: 5.

3

1. O valor da expressão

8  4 81  4 9  16

(UFAL)

Simplificando

 3  2 

 

1 1 6  2

 , 

obtemos: a)

4

2

b)

3

2 c)

2

d) 2 4 2

e)

6

2

é: a) 1

b) 0,6

c) 0,8

d) 1,2

d) 1,4

6. (EPCAR) Se A  3 , B  4 5

e

C  3 4 , então será verdadeiro afirmar: 75 , 12

2. (PUC – SP) Simplificando obteremos:

a)

5 2

b)

5 3

c)

5 3

d)

5 2

e)

a)

CB A

b)

C A B

c)

BAC

d)

A BC

e)

A CB

25 4

7. (PUC – MG) O valor da expressão 3.

(UNIRIO

–

RJ)

O

valor

de

15  32  25  81 é:

a) 1

b) 2

c) 3

4. (ESPCEX) Efetuando

y  8. 3 103 .5.103 é: a) 40

b) 40.102

d) 4.103

e) 40.103

c) 402

d) 4

2.



2 2



8. (UFMG) Simplificando a expressão 9.106 . 0,0049 . 2,5.103 , obtém-se:

você encontrará: a) 105 a) 2

b)

2

c) 2 2

d) 1

e) 4

d) 0,105

b) 10,5

c) 1,05

e) 0,0105

52

9. (UFRN) O valor que devemos adicionar

a

quadrado de

5

para

obtermos

11. (UFMS) O número

o

 

103 . 102

2  3 é:

1

. 1000 2

3

a)

6

b)

d) 2 3

está compreendido

1 .10 3 100

c) 2 2 entre:

e) 2 6

a) 1 e 0

b) 0 e 0,1

d) 10 e 100

e) 100 e 1000

c) 0,1 e 1

10. (ESAL – MG) O resultado da 3

divisão 6

a2 b é: a b5

12. (UTFPR) O valor da expressão

  812

1 4 .5

2

323 .125 3 3

3

5

a)

d)

a5 .b7

b)

a b

e)

6

6

a b7

b a

c)

a.b

2 9 27 .   .   3 4

2

é:

2

a) 525

b) 330

d) 300

e) 600

c) 400

GABARITO: 1. e

2. d

3. c

4. e

5. a

6. e

7. d

8. e

9. e

10. c

11. e

12. d

53

AULA 12 – RADICIAÇÃO II

Quando estamos diante de uma

Se observarmos rapidamente, diremos

soma polinomial, podemos reunir em

que os radicais anteriores não são

um só termo aqueles termos que sejam

semelhantes. No entanto, manipulando

semelhantes.

algebricamente os radicais, temos:

E  5x  2x 2  2x  3x 2

8  4.2  2 2

E  5x  2x  2x 2  3x 2

32  16.2  4 2

E  x.(5  2)  x .(2  3)

50  25.2  5 2

2

E  3x  5x

2

Retornando à soma inicial, temos: Com radicais o procedimento não é diferente.

Podemos

reunir

radicais

8  32  50  2 2  4 2  5 2   2 .(2  4  5)  2

semelhantes.

Caso

os

radicais

não

sejam

semelhantes, não é possível reduzir a

Adição e subtração de radicais

soma ou a subtração a apenas um radical. Por exemplo, para realizar a Dois

ou

considerados

mais

radicais

semelhantes

são

quando

tiverem o mesmo índice e o mesmo radicando.

soma

2  3 podemos utilizar uma

calculadora e aproximar o resultado. 2  3  1,414  1,732  3,146

Exemplos:  3 5  2 5  5 .(3  2)  5 5

Multiplicação de radicais

 2 3 5  7 3 5  3 3 5  3 5 .(2  7  3)  2 3 5

Para multiplicar dois ou mais radicais, temos dois casos. Se os Observe mais um exemplo.

8  32  50

radicais são de mesmo índice, a multiplicação é feita de acordo com a propriedade da aula anterior. n

a . n b  n a.b

54

Exemplos:

Primeiro caso

 2 . 8  2.8  16  4

O denominado apresenta um

 3 2 . 3 3  3 2.3  3 6

a (a  0) .

único radical da forma

Se os radicais não são de mesmo

N N a N. a N. a  .   a a a a a2

índice, devemos inicialmente igualar os índices.

Exemplo: Exemplo: 3

1 1 2 2  .  2 2 2 2

5. 3  ? 4

O mínimo múltiplo comum dos números 3 e 4 (índices dos radicais) é 12. Para

Segundo caso

transformar o índice 3 em 12, basta O denominador apresenta um

multiplicá-lo por 4. Para transformar o índice 4 em 12, multiplicamos por 3.

único radical da forma

n

am .

Assim, temos: N 3.4

4 4.3

3

5.4 3 

3

5 . 4 3  12 54 .33

5 .

3  3

12

4 12

5 . 3

3

n

am



N n

am

.

n

anm

n

anm



N. n anm n

an



N. n anm a

Exemplo: 2 2 3 22 2 3 4 3  .   4 3 2 2 3 2 3 22

Divisão de radicais

Muitas vezes, as operações

Terceiro caso

numéricas tornam-se mais simples se o denominador for racional, ou seja, não apresentar radicais. Se o denominador não

for

racional,

procedimento racionalizar

que (tornar

utilizamos

um

consiste

em

racional)

soma ou uma subtração de radicais.



N N a  b N. a  b  .  ab a b a b a b



o

denominador. Vamos considerar três casos.

O denominador apresenta uma

Exemplo: 1 1 2 3 2 3  .   2 3 43 2 3 2 3 2 3

55

4) (PUCCAMP – SP) Efetuando-se


3 2 2 2 2 3 , obtém-se:  3 2 2 3 2 2

1) (UFMG) O número a) 

3 8  4 18  27  3 48  2 98

é igual a: b) 14 2  15 3

c) 18 2  29 3

d) 4 2  15 3

2) (UEL – PR) Seja o número real



2. 4 6  11

e)

5


b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

3) (CEFET – RJ) Sabe-se que n é um número natural e maior do que 1. Então o valor da expressão

b) 2

c) 2n

22n  22n2 é: 5

d)

n 2

18  8  2 é

1. (UFGO) O número

a) d)

1 5



c) 0

igual a:

tem-se que a  b  c é igual a:

a)

8 6 5

500  3 20  2  2 5 . 5 1

Escrevendo-se x na forma x  a  b c ,

a) 5

b) 

d) 4 6  11

a) 10 2  9 3

x

22 5

e)

8

b) 4

10  2

e)

c) 0

18  6

2. (PUC – SP) A expressão com radicais a)

2

d) 3 2

8  18  2 2 é igual a: b)

12

c)  8

e) 3 2

n 5

56

3. (ACAFE – SC) Se

x 3

e

2 3  3

6. (FUVEST – SP)

y  12  243  2 27 , então:

a) y  x

b) y  5x

d) y  8x

e) y  17x

c) y  7x

a)

22 6  3 3 2 6 6

c)

(FUVEST

expressão

a) d)

2

1 2

–

SP)

O

valor

52 6 3

d)

3 6 3

6 3 6

e) 4.

b)

da

2 2 é: 2 1

b) e)

1 2

c) 2 7. (UFV – MG) A expressão

2 1

7 , onde a é um número real 7a  a

positivo, equivale a: a) 7 5. (CESGRANRIO – RJ) Se a  8 e

d)

b  2 , então o valor de a1  b1 é:

a)

3 2 4

b)

3 2

d)

8 2

e)

1 10

c)

b)

7 7

7a  a

c)

7

e) 1

2 2

8. (UFRS) A expressão

3 5  5 3

é

igual a: a)

8 15

b)

d)

34 15

e)

3 5

c) 1

8 15 15

57

9. (PUC – RJ) Assinale a alternativa INCORRETA: a) o dobro de

11. (COLÉGIO NAVAL) A expressão 3

8 é

0,25  3 2 é equivalente a: 3 2

32 3

b)

100  64  6

a)

c)

2 8 3 2

d) 

d)

60  16  8

e)

2  3  5  24

3

2

2 4

b)

1 2

e)

3

c) 1

0,5

12. (ESPM – SP) Simplificando a expressão

a) 10. (UTFPR) A expressão

9 8 é 5 2

213  216 obtemos: 215

b) 1,5

2

d) 27

c) 2,25

e) 1

equivalente a: a)

18 10

b)

6 10  4

c)

2 10  12

d)

6 10  12

e) 6 10

GABARITO: 1. c

2. a

3. b

4. a

5. a

6. d

7. b

8. e

9. b

10. d

11. d

12. b 58

AULA 13 – EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU I

“Dois números são tais que sua soma é igual a 5 e seu produto é igual a 6. Quais são os números?”

Exemplos:  x 2  6x  8  0  2x 2  7x  0  x 2  16  0

Sendo x e y os números procurados, temos: Equações incompletas x  y  5   x. y  6

Isolando y na primeira equação e substituindo

na

segunda

equação,

 a. x 2  b. x  0 A equação pode ser fatorada.

temos:

Exemplo:

y 5x x.(5  x)  6

2x 2  7x  0 x.(2x  7)  0

5x  x 2  6

x  0 ou 2x  7  0  x  

x  5x  6  0 2

Observe que a equação x  5x  6  0 2

7 2

7  S  0,   2 

não é do primeiro grau, pois o maior expoente da variável x é igual a 2. Trata-se, portanto, de uma equação do segundo grau. Antes de resolvermos a

 a. x 2  c  0 A variável x pode ser isolada.

equação anterior, vamos definir uma equação do segundo grau.

Exemplo:

Denomina-se equação do segundo

x 2  16  0

grau uma igualdade matemática que é

x 2  16

ou

x   16 x  4

pode

ser

escrita

na

forma

a.x2  b.x  c  0 , em que a, b e c

são números reais e a  0 .

S  4, 4

59

Equações completas


 a. x 2  b. x  c  0 b   a.  x 2  . x   c  0 a   2 2  2 b  b    b  a.  x  . x      c  0  a.    a  2a    2a  

1) Resolva a equação x2  5x  6  0 .

2

b  b2  a.  x   c 2a  4a  2

b  b2  4ac  a.  x   2a  4a  2

2) (UFF – RJ) Uma das soluções da

b  b  4ac   x  2a   4a2   x

2

equação

b b2  4ac  2a 4a2

x

2x 2  x  2x  1 é um número 11

múltiplo de: a) 2

b b2  4ac  2a 2a

 a0x

b b2  4ac  2a 2a

 a0x

b 2a

b2  4ac 2a

b) 3

c) 5

d) 7

e) 11

3) Determine o valor de m de modo que a equação x2  (2m  2).x  m2  0

Assim, temos que:

ita duas raízes iguais. x

O número

b  b2  4ac 2a

b2  4ac

é denominado

discriminante e é representado pela letra grega  (delta). De acordo com o valor

do

discriminante,

temos

4) Determine o conjunto solução da

as

seguintes possibilidades:

equação

2 1   1 . x 1 x 1 2

  0 : As raízes são reais e distintas.   0 : As raízes são reais e iguais.   0 : As raízes não são reais.

60


4. (FUVEST – SP) Se x.(1  x) 

1 , 4

então: 1. O conjunto solução da equação a) x  1

3x  2x  1  0 é: 2

1  a) 1,  3    1 d) 1,   3

1  b) 1,   3  

1  c) 1,   3  

d) x 

b) x 

1 4

1 2

e) x  

c) x  0

1 2

e) 

5. O valor de k para que o número 3 seja raiz da equação k.x2  7x  3  0 2. (PUC – SP) Quantas raízes reais

é:

tem a equação 2x2  2x  1  0 ?

a) 1

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

c) 1

b) 2

d) 2

e) 3

e) 4

6. (CESGRANRIO – RJ) Se x é positivo 3. (PUC – SP) Uma das raízes da

e se o inverso de x  1 é x  1 , então x é:

equação 0,1.x2  0,7.x  1  0 é: a) 2 a) 0,2

b) 0,5

c) 7

d) 2

b) 3

c)

2

d)

3

e) 2 2

e) 0,7

61

7. (FGV – SP) Quais valores de x

10. (UFPE) Se x é um número real

2 1   1? 1  x (1  x)2

positivo, tal que, ao adicionarmos 1 ao

satisfazem a equação

 d) 

a) 1, 2





b) 2,  2

2,  2



e)





c) 1, 2

2, 2



seu inverso, obtemos como resultado o número x, qual é o valor de x?

a) d)

1 5 2 1 3 2

b) e)

1 5 2

c) 1

1 2 2

8. (UTFPR) Seja a a raiz positiva e b a raiz

negativa

da

equação

2x2  7x  15  0 . Então o valor de

a  2.b é igual a:

a) 

17 2

b) 1

c) 1

d) 2

e) 0 11. (UEL – PR) A soma de um número racional não inteiro com o dobro do seu inverso

multiplicativo

é

33 . 4

Esse

número está compreendido entre: a) 5 e 6 d) 9. (UEL – PR) Os valores de m, para os

3 1 e 10 2

b) 1 e 5 e) 0 e

c)

1 e 1 2

3 10

quais a equação 3x2  mx  4  0 tem duas raízes reais iguais, são: a)  5 e 2 5 c) 3 2 e  3 2

b) 4 3 e 4 3 d) 2 e 5

e) 6 e 8

62

12. (PUC – BA) Um professor dispunha

DESAFIO

de 144 doces para dividir igualmente entre os alunos de sua classe. Como

Determine

no dia da distribuição faltaram 12

equação

alunos, ele dividiu os 144 doces

que subtraindo uma unidade do valor

igualmente

de m, obtém-se outra equação com

entre

os

presentes,

cabendo a cada aluno 1 doce a mais. O

o

conjunto

solução

mx2  mx  2  0 ,

da

sabendo

raízes reais e iguais.

número de alunos presentes no dia da distribuição era: a) 36

b) 40

c) 42

d) 48

e) 50

GABARITO: 1. c

2. a

3. d

4. b

5. b

6. c

7. d

8. d

9. b

10. b

11. e

12. a

1  2 DESAFIO: S   ,   3 3   63

AULA 14 – EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU II

Na aula anterior, você aprendeu a determinar as soluções (raízes) de

 b  b2  4ac x1 .x 2    2a 

uma equação do segundo grau. Vamos agora estudar algumas propriedades

x1 .x 2 

que relacionam essas raízes. x1 .x 2  x1 .x 2 

Soma das raízes

 b 2 



b2  4ac 4a2



b2  b2  4ac 4a

  b  b2  4ac .  2a 



   

2



2

4ac 4a2

x1 . x 2 

c a

Sendo x1 e x 2 as raízes da equação a.x2  b.x  c  0 , temos:

A partir dos resultados anteriores, é x1  x 2 

b  b2  4ac b  b2  4ac  2a 2a

b  b2  4ac  b  b2  4ac x1  x 2  2a 2b x1  x 2  2a

x1  x 2  

b a

Produto das raízes

possível escrever uma equação do segundo grau a partir da soma S e do produto P. a. x 2  b. x  c  0 1 1 . a. x 2  b. x  c  .0 a a b c x2  . x   0 a a b c   x2     . x   0 a  a





x2  S.x  P  0

Sendo x1 e x 2 as raízes da equação a.x2  b.x  c  0 , temos:


1) Determine a soma e o produto das raízes da equação 2x2  7x  4  0 .

64

2) Sendo  e  as raízes da equação

5) Determine mentalmente as raízes

3x2  5x  1  0 , calcule:

das equações a seguir.

a)    

a) x2  5x  6  0

b)  .   b) x2  4x  3  0

1 1 c)    

d) 2  2 

c) x2  x  6  0

d) x2  10x  25  0 3) Escreva uma equação do segundo grau cujas raízes são 2  3 e 2  3 . e) x2  2x  8  0


4) (UNESP – SP) Um valor de m para o qual uma das raízes da equação

1. (UnB – DF) A soma das raízes da

x2  3mx  5m  0 é o dobro da outra,

equação 3x2  6x  9  0 é igual a:

é: a) 

a) 4 5 2

b) 2

c) 2

d) 5

e)

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

5 2

65

2. (PUC – PR) A soma e o produto das

5. (FGV – SP) Se a soma das raízes da

raízes da equação x2  x  1  0 são

equação kx2  3x  4  0 é 10, podemos

respectivamente:

afirmar que o produto das raízes é:

a) 1 e 0

b) 1 e  1

d) 1 e  1

e) 1 e 1

c) 1 e 1

a)

40 3

b)



40 3

d) 

80 3

e) 

3 10

c)

80 3

3. (UFSM – RS) A soma e o produto das raízes da equação 2x2  7x  6  0 , respectivamente, são: 6. Se  e  são as raízes da equação a) 7 e 6 d)

b) 

7 e3 2

7 e3 2

c) 

7 e 3 2

x2  x  1  0 , o valor de

1 1  é:  

e) 7 e  6 a) 1

b) 1

c) 2

d)

1 2

e) 2

4. (UFBA) A razão entre a soma e o produto

das

raízes

da

equação

2x2  14x  9  0 é:

7. (UFGO) O valor de k para que a soma

das

raízes

da

equação

(k  2).x2  3kx  1  0 seja igual ao seu

a)

14 9

b)

2 9

c) 14 d)

63 2

e) 

63 2

produto é: a)

1 2

b)

1 3

c)

2 3

d) 

3 2

e) 

1 3

66

8. (CEFET – CE) Sejam x1 e x 2 as

11. (PUCCAMP – SP) Se v e w são as

raízes da equação 2x2  6 .x  P  2  0 .

raízes

Se  x1  x2   x1 .x2 , então P é igual a:

onde a e b são coeficientes reais, então

2

a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 8

da

equação

x2  ax  b  0 ,

v 2  w 2 é igual a: a) a2  2b

b) a2  2b

d) a2  2b2

e) a2  b2

c) a2  2b2

9. (FEI – SP) Sendo a e b as raízes da equação 2x2  5x  m  3 , então, se 12. (FUVEST – SP) A soma e o

1 1 4   , o valor de m é: a b 3

produto das raízes da equação de segundo grau

a)

3 4

b) 

4 3

c)

27 4

d) 0

e)

(4m  3n).x2  5n.x  (m  2)  0 valem,

respectivamente,

5 3 e . Então m  n 8 32

é igual a: a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

e) 5

10. (CESGRANRIO – RJ) Se m e n são as raízes da equação 7x2  9x  21  0 , então (m  7).(n  7) vale:

a) 49

b) 43

c) 37

d) 30

e)

30 7

GABARITO: 1. c

2. d

3. d

4. a

5. a

6. a

7. b

8. c

9. c

10. b

11. a

12. a

67

Exemplos:

LEITURA COMPLEMENTAR

3x 2  2x  1  0 EQUAÇÃO ORIGINAL

Você deve ter percebido que, para determinar mentalmente as raízes de uma equação do segundo grau, é interessante

x ’  1 3x 2  2x 1  0  x 2  2x  3  0  1 x ’  3  por 3  por 3 EQUAÇÃO AUXILIAR  2 Como

x1 

que o coeficiente do termo em x 2 seja igual a 1. E se isso não acontecer? Observe,

por

exemplo,

a

equação

3x2  2x  1  0 . O coeficiente de x 2 é

x1’ 1 x ’ 3  e x2  2   1, o 3 3 3 3

conjunto solução da equação original é

 1, 

1 . 3

diferente de 1. Se dividirmos a equação por 3,

teremos

2 1 x 2  .x   0 . 3 3

Agora

o

64x 2  63x  1  0 EQUAÇÃO ORIGINAL

outros coeficientes não são inteiros, o que

 x ’  64 64x 2  63x 1  0  x 2  63x  64  0  1 x ’  1  por 64  por 64 EQUAÇÃO AUXILIAR  2

também dificulta a obtenção mental. Existe

Como

um

x1 

coeficiente de x

método

2

é igual a 1, porém os

prático

para

resolver

mentalmente esse tipo de equação. Dada a

Dividimos

o

coeficiente

de

x2

o

conjunto solução da equação original é

equação a.x2  b.x  c  0 , temos: ●

x1’ 64 x ’ 1 1   1 e x2  2   , 64 64 64 64 64

e

 1   ,1 .  64 

multiplicamos o termo independente por a, obtendo assim, uma equação auxiliar. ● Resolvemos mentalmente essa equação auxiliar. ● Sendo x1’ e x 2 ’ as raízes da equação auxiliar e x1 e x 2 as raízes da equação original, temos que: x1 

x1’ x ’ e x2  2 . a a

68

AULA 15 – EQUAÇÕES REDUTÍVEIS E EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Algumas equações podem ser,

Equações irracionais

por meio de substituição de variáveis, reduzidas

às

do

segundo

grau.

Observe os exemplos:

São equações que apresentam a incógnita sob algum radical.

 x 4  13x 2  36  0

 

2

Observando que x 4  x 2 , temos:

Exemplos:

x 

 2x  x

2

2

 13x 2  36  0

Troca de variável: x 2  y

Condição de existência: x  0

y 2  13y  36  0



( 13)  ( 13)2  4.1.36 2.1 13  5 y 2 y  4 ou y  9

2x



2

 x

2

2  x  x2

y

x 2  x  2  0  x  1 ou x  2 Como x  0, então S  1.

y  4  x 2  4  x  2 ou x  2

 25  x 2  7  x

y  9  x 2  9  x  3 ou x  3

Condição de existência: 7  x  0  x  7



S  3,  2, 2, 3

25  x 2



2

 7  x 

2

25  x 2  49  14x  x 2 2x 2  14x  24  0

 4 x  12.2x  32  0

x 2  7x  12  0  x  3 ou x  4

    2  , temos:

Observando que 4 x  22

2  x

2

x

x

2

Como x  7, então S  3, 4.

 12.2 x  32  0

Troca de variável: 2 x  y

 3x  4  3x  3  1 3x  4  1  3x  3

y 2  12y  32  0 ( 12)  ( 12)2  4.1.32 y 2.1 12  4 y 2 y  4 ou y  8 y  4  2 x  4  2 x  22  x  2 y  8  2  8  2  2 x  3 x

S  2, 3

x

3



3x  4

  1  2

3x  3



2

3x  4  1  2. 3x  3  3x  3 2. 3x  3  6 3x  3  3



3x  3



2

 32

3x  3  9 3x  12  x  4 S  4 69



1) Resolva a equação x 4  2x2  3  0

1. O conjunto solução da equação

em

x 4  5x2  4  0 é:

.

a) 1, 2

b)

1,  2

c) 1, 4

d) 1, 1,  2, 2

e) 

2) A equação x6  9x3  8  0 possui: a) apenas 1 raiz real e positiva; b) apenas 1 raiz real e negativa; c) apenas 2 raízes reais e positivas; d) apenas 2 raízes reais e negativas;

2. (UEL – PR) A raiz da equação 1  x  3 é um número: x 3

a) ímpar

b) divisor de 2

e) apenas 2 raízes reais e de sinais

c) divisor de 3

d) múltiplo de 4

contrários.

e) divisor de 10

3) Resolva as seguintes equações irracionais. a)

x2  12  2  x

3. (PUC – SP) A solução da equação x  2x  2  3 é:

a) 1

b)

b) 2

c) 3

d) 5

e) 7

x 1 x  7  2

70

4. (PUC – PR) O conjunto verdade da expressão a)

2

 1 d) 0,   2

4x  1  2x  1 é:

b)

0, 2

7. (FGV – SP) A equação x  1   x2  1 :

0

c)

1 e)   2

a) tem duas raízes reais; b) tem três raízes reais; c) não tem raízes reais; d) não tem raízes; e) tem uma única raiz real.

5. (FGV – SP) Com relação à equação x  2  2x  7 , podemos afirmar que o

conjunto solução é: a)

3,  1

d) 1

b)

3

c) 1,  3

e) 

8. (FUVEST – SP) Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-se o dobro de sua raiz quadrada. O número é: a) um cubo perfeito; b) um quadrado perfeito; c) um número primo;

6. (PUC – MG) A solução da equação x  2  4  x pertence ao intervalo:

a)

2, 7

d)  1, 3

b)

2, 3

c)

d) um número irracional; e) um múltiplo de 6.

0, 1

e)  1, 1

71

9. (PUC – SP) O conjunto verdade da

a)

x  2  2x  2  1 é um número:

x  1  2x  2  2 é:

equação

9

b)

d) 3, 9

4

12. (UFPA) A solução da equação

c)

3

e) 

a) múltiplo de 5; b) divisor de 2; c) múltiplo de 3; d) primo; e) múltiplo de 2.

x 3x:

10. A equação

a) não possui solução real; b) possui apenas uma solução real; c) possui apenas duas soluções reais; d) possui apenas três soluções reais; DESAFIO

e) possui infinitas soluções reais.

Resolva a equação: 3x2  4x  6  3x2  4x  18

11. (ACAFE – SC) Para que valores de





2





x, temos x2  1  7. x 2  1  10  0 ? a)

1,  2

b)

2, 1

c)

2,  1, 1, 2

d)

5, 2

e) 5,  2, 2, 5

GABARITO: 1. d

2. d

3. e

4. a

5. d

6. d

7. e

8. b

9. c

10. c

11. c

12. d

 5  DESAFIO: S   , 3   3 

72

AULA 16 – GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Razão

Propriedade 2 Denomina-se razão entre dois

Uma proporção é mantida se

números o quociente do primeiro pelo

adicionarmos os antecedentes e os

segundo. O primeiro é denominado

consequentes.

antecedente e o segundo consequente. a b

a c ac   b d bd

antecedente consequente

A razão

Propriedade 3

a é lida : "a está para b" b

Uma proporção é mantida se subtrairmos os antecedentes e os consequentes.

Proporção Denomina-se

proporção

a c ac   b d bd

a

igualdade entre duas ou mais razões. A igualdade

a c é uma proporção. Os  b d

números a e c são denominados

Grandezas diretamente proporcionais

antecedentes e os números b e d consequentes.

Outra

Diz-se que duas grandezas são

denominação

diretamente proporcionais se existir

possível é meios (b e c) e extremos (a

uma correspondência entre elas de tal

e d) da proporção.

forma que, multiplicando-se uma delas por

um

número,

a

outra

fica

multiplicada pelo mesmo número. Se x Propriedade 1 Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

e

y

são

grandezas

diretamente

proporcionais, temos que: y  k. x ou

y k x

a c   a.d  b.c b d

73

Grandezas inversamente proporcionais

Exemplos:

Diz-se que duas grandezas são

1) Um veículo consumiu 50 litros de

inversamente proporcionais se existir

gasolina para percorrer 600 km. Qual

uma correspondência entre elas de tal

será o consumo de gasolina para esse

forma que, multiplicando-se uma delas

veículo percorrer 840 km?

por um número, a outra fica dividida pelo mesmo número. Se x e y são grandezas inversamente proporcionais, temos que: y

k ou y. x  k x

Regra de três A regra de três é um processo prático para resolver problemas cujas grandezas envolvidas são diretamente ou

inversamente

Consumo Distância 50 600 km x 840 km • Quanto maior a distância percorrida, maior o consumo de gasolina. Logo, distância e consumo são diretamente proporcionais. Sendo C o consumo e D a distância percorrida, temos: C  k .D 1 C  50 e D  600  50  k .600  k  12 1 C  x e D  840  x  .840  x  70 12

proporcionais.

Existem muitos métodos para utilizar a

2) Uma obra é construída por 12

regra de três. Um deles consiste em:

operários em 90 dias. Em quantos dias

 Organizar em colunas as grandezas envolvidas no problema.  Em relação a grandeza que possui a incógnita, verificar se as demais são diretamente ou inversamente proporcionais.  Escrever a grandeza que possui a incógnita em função das demais.  Determinar a constante de proporcionalidade.  Solucionar o problema.

essa obra seria construída por 18 operários? Tempo Número de operários 90 dias 12 x 18 • Quanto maior o número de operários, menor o tempo. Logo, número de operários e tempo são inversamente proporcionais. Sendo T o tempo e N o número de operários, temos: k T N k T  90 e N  12  90   k  1080 12 1080 T  x e N  18  x   x  60 dias 18

74

3) Um ciclista percorre 300 km em 4

3) Um livro de 240 páginas possui 30

dias, pedalando 3 horas por dia. Em

linhas em cada página. Se o mesmo

quantos dias, pedalando 4 horas por

livro fosse reimpresso com os mesmos

dia, esse ciclista iria percorrer 800 km?

caracteres, utilizando 40 linhas em

Dias Distância Horas por dia 4 300 km 3 x 800 km 4 • Quanto maior a distância, maior o número de dias. • Quanto maior o número de horas por dia, menor o número de dias. Sendo N o número de dias, D a distância e H o número de horas por dia, temos: k .D N H N  4, D  300 e H  3  4 

k .300 3 1

N  x, D  800 e H  4  x  25

k 

1

cada página, quantas páginas teria o novo livro?

4) Se dois gatos caçam dois ratos em dois

minutos,

quantos

gatos

são

necessários para caçar 60 ratos em 30 minutos?

25

.800 4

x  8

Assim, o ciclista demoraria 8 dias.


5) (UEL – PR) José limpa o vestiário de um clube de futebol em 30 minutos, enquanto seu irmão, Jair, limpa o

1) Calcule os valores de x e y tais que

x  y  20 e

x y  . 2 3

mesmo

vestiário

em

45

minutos.

Quanto tempo levarão os dois para limpar o vestiário juntos? a) 15 minutos e 30 segundos b) 18 minutos

2) Divida o número 180 em três partes

c) 20 minutos

diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

d) 36 minutos e) 37 minutos e 30 segundos

75

4. (PUC – MG) São necessários sete


litros de leite para fabricar um quilo e meio de manteiga. Nessas condições, 1. Na proporção

2x  1 4  , o valor de 3 5

o volume de leite necessário para fabricar doze quilos de manteiga é:

x é: a) 0,5

b) 0,7

c) 0,8

d) 0,9

e) 1,2

a) 42 litros

b) 56 litros

c) 62 litros

d) 84 litros

5. (MACK – SP) Dividindo 70 em partes 2. (PUC – SP) Para que se verifique a 9 x 5   igualdade , os valores de x y 8 20

proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é: a) 35

b) 49

c) 56

d) 42

e) 28

e y devem ser, respectivamente: 1 1 e 4 5

a) 2 e 5

b)

d) 5 e 35

e) 1 e 5

c) 2 e 36

6. (UEL – PR) Numa gráfica, 5 máquinas

de

mesmo

rendimento

imprimem um certo número de cópias de certo folheto em 8 horas de 3. (UFRN) Uma gravura de forma

funcionamento.

retangular, medindo 20 cm de largura

quebrassem, em quanto tempo de

por 35 cm de comprimento, deve ser

funcionamento as máquinas restantes

ampliada para 1,2 m de largura. O

fariam o mesmo serviço?

comprimento correspondente será:

a) 4 horas e 8 minutos

a) 0,685 m

b) 6,85 m

b) 4 horas e 48 minutos

d) 1,35 m

e) 0,21 m

c) 2,1 m

Se

duas

delas

c) 13 horas e 20 minutos d) 13 horas e 33 minutos e) 20 horas 76

7.

(UPF

–

transporte

RS)

Um

veículo

de

10. (PUCCAMP – SP) Considere o

coletivo

tem

capacidade

número D de dias que N máquinas, de

para transportar 30 adultos ou 36

igual

crianças. Se 20 adultos já estão no

ininterruptamente durante H horas por

coletivo, quantas crianças a viatura

dia, levariam para produzir P peças

ainda poderá transportar?

iguais. Se k é uma constante real, é

a) 18

b) 8

c) 10

d) 12

e) 16

rendimento

funcionando

verdade que: a) D  c)

D

e) D  8. (FUVEST – SP) Uma família de 6

R,

k H.N.P.R

b) D 

k.P H.N.R

k .N.P H.R

d)

D

k .H.P N.R

k .P.R H.N

pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-la durante 5 dias estando ausentes duas pessoas? a) 3

b) 5

c) 4

d) 6

e) 2 11. (UFPE) Se x 2 gatos caçam x 3 ratos em x dias, em quantos dias 10 destes gatos caçam 100 ratos?

9. (UFPR) Uma piscina possui duas bombas ligadas a ela. A primeira

a) 1 dia

b) 10 dias

d) 40 dias

e) 50 dias

c) 20 dias

bomba, funcionando sozinha, esvazia a piscina

em

2

horas.

A

segunda,

também funcionando sozinha, esvazia a piscina em 3 horas. Caso as duas bombas mantendo

sejam o

funcionamento,

ligadas

mesmo a

juntas,

regime

piscina

de será

esvaziada em: a) 1 hora

b) 1,2 horas

c) 2,5 horas

d) 3 horas e) 5 horas

77

12. (PUC – MG) Duas costureiras

DESAFIO

fazem 5 cortinas em 5 dias. Se duplicar o grau de dificuldade, três costureiras,

Um fazendeiro possui ração suficiente

com a mesma capacidade, farão três

para alimentar suas 16 vacas durante

cortinas em:

62 dias. Após 14 dias, ele vende 4

a) 3 dias

b) 4 dias

d) 8 dias

e) 10 dias

c) 6 dias

vacas. ando mais 15 dias ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total, durou sua reserva de ração?

GABARITO: 1. b

2. c

3. c

4. b

5. b

6. c

7. d

8. a

9. b

10. b

11. b

12. b

DESAFIO: 57 dias

78

AULA 17 – PORCENTAGEM

Razão centesimal


Uma razão cujo consequente é igual a 100 é denominada razão centesimal.

1) Calcule: a) 22% de 500 

Exemplos:

3 21 87 , , 100 100 100

b) 31% de 800 

Porcentagem

c) 60% de 900 

Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal, representada pelo símbolo %, lido como “por cento”.

d) 120% de 240 

Exemplos: 3  0,03  3% 100 21   0,21  21% 100 87   0,87  87% 100 

e) 185% de 300 

2) (FGV – SP) Trinta por cento da quarta parte de 6400 é igual a: Assim, por exemplo, 25% de 320 é igual a

25 .320  80 . Para que 100

a) 480 b) 640 c) 240 d) 160 e) 120

um valor seja aumentado de 25%, devemos multiplicá-lo por

125  1,25 . 100

Se um valor deve ser diminuído de 25%,

devemos

multiplicá-lo

por

75  0,75 . 100 79

3) (UDESC – SC) De 150 candidatos

5) (CESGRANRIO – RJ) Se o seu

que participaram de um concurso, 60

salário subiu 56%, e os preços subiram

foram aprovados. Isso significa que:

30%, de quanto aumentou o seu poder de compra?

a) 20% reprovaram b) 30% foram aprovados

a) 20%

b) 21%

d) 25%

e) 26%

c) 23%

c) 40% reprovaram d) 50% foram aprovados e) 60% reprovaram


4) (PUC – SP) Uma certa mercadoria, que

custava

R$ 12,50 ,

teve

um

aumento, ando a custar R$ 14,50 .

1. Os valores pelos quais um número qualquer deve ser multiplicado, para aumentá-lo em 30% e diminuí-lo de 20% são, respectivamente:

A taxa de reajuste sobre o preço antigo é de: a) 2,0%

b) 20,0%

d) 11,6%

e) 16,0%

a) 0,3 e 0,2

b) 0,3 e 0,8

d) 1,3 e 0,8

e) 1,03 e 0,8

c) 1,3 e 0,2

c) 12,5% 2. (OBM) Uma loja de CD’s realizará uma liquidação e, para isso, o gerente pediu para Anderlaine multiplicar todos os preços dos CD’s por 0,68. Nessa liquidação, a loja está oferecendo um desconto de: a) 68%

b) 6,8%

d) 3,2%

e) 32%

c) 0,68%

80

3. (FUVEST – SP) 10% é igual a: 2

6. (UFMS) Cíntia e Fábio querem dividir R$ 3600,00

a) 1%

b) 10%

d) 100%

e) 2%

c) 20%

de

modo

que

Cíntia

receba 80% da quantia que Fábio receberá. A parte que caberá a Fábio será: a) R$1500,00

b) R$1600,00

c) R$1800,00

d) R$ 2000,00

e) R$ 2400,00 4. (CESGRANRIO – RJ) Numa turma, 80% dos alunos foram aprovados, 15% reprovados e os 6 alunos restantes desistiram do curso. Na turma havia: a) 65 alunos

b) 95 alunos

c) 80 alunos

d) 120 alunos

7. (UFC) O preço de um aparelho elétrico com um desconto de 40% é

e) 150 alunos

igual a R$36,00 . Calcule, em reais, o OBS: O autor da questão quis se referir ao número exato de alunos da turma.

preço deste aparelho elétrico, sem este desconto.

8. (ESAL – MG) Suponhamos que a 5. (PUC – RJ) 30% de 30% são:

taxa de inflação tenha sido igual a 20% nos meses de abril, maio e junho. Isto

a) 3000%

b) 300%

d) 9%

e) 0,3%

c) 900%

significa que a inflação acumulada nesses meses foi de: a) 60%

b) 50%

d) 70%

e) 72,8%

c) 68%

81

9. (FUVEST – SP) Que número deve

12. (MACK – SP) Numa faculdade com

ser

48

somado

ao

numerador

denominador da fração

e

ao

2 para que ela 3

tenha um aumento de 20%? a) 1

b) 2

c) 3

professores,

e) 5

25%

são

doutores. Foram contratados novos professores sem o título de doutor e, com

d) 4

apenas

isso,

a

porcentagem

de

professores doutores diminuiu para 24%. Nessas condições, o número atual de professores da faculdade é: a) 84

b) 62

c) 60

d) 52

e) 50

10. (UFES) Se hoje Rafael tem 20 anos e Patrícia tem 18 anos, então ela terá 92% da idade dele daqui a quantos anos? a) 6

b) 5

c) 4

d) 3

e) 2

DESAFIO (UNICAMP – SP) Uma quantidade de 6240 litros de água apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à evaporação esse índice subiu para 18%. Calcule, em litros, a quantidade

11.

(UFCE)

Numa

sala

há

100

de água que evaporou.

pessoas, das quais 97 são homens. Para que os homens representem 96% das pessoas contidas na sala, deverá sair que número de homens? a) 2

b) 5

c) 10

d) 15

e) 25 GABARITO: 1. d

2. e

3. a

4. d

5. d

6. d

7. R$60,00

8. e

9. b

10. b

11. e

12. e

DESAFIO: 2080 litros

82

AULA 18 – MEDIDAS

Medir é comparar. O ato de medir consiste em realizar uma comparação entre o objeto de interesse e uma unidade padrão pré-estabelecida. Vamos estudar as seguintes unidades de medida: • Unidades • Unidades • Unidades • Unidades • Unidades • Unidades • Unidades

de comprimento de área de volume de capacidade de medida de ângulos de medida de tempo agrárias

Unidades de comprimento A unidade padrão de medida de comprimento é o metro.

Unidades de área A unidade padrão de medida de área é metro quadrado.

83

Unidades de volume A unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico.

Unidades de capacidade A unidade padrão de medida de capacidade é o litro.

Um litro é equivalente a um cubo cujas arestas medem 1 dm.

Assim, 1 dm3  1 L . Como conseqüência, temos que:  1 cm3  1 mL  1 m3  1000 L 84

Unidades de medidas de ângulos

Unidades agrárias

A principal unidade é o grau. O

Apenas como curiosidade, as

grau, representado pelo símbolo °, é

unidades a seguir são utilizadas para

1 de 360

medir superfícies de terra em áreas

um ângulo que corresponde a

rurais do país.

uma circunferência.  1 hectare  10000 m2  1 alqueire  24200 m2


O grau ite submúltiplos: 1  1  60 ' 60 1'  segundo: 1''   1'  60 '' 60  minuto: 1' 

1) Transforme as medidas em metros. a) 12 km  b) 25 dm  c) 80 cm 

Unidades de medidas de tempo A principal unidade é a hora. A hora, representada pela letra minúscula h, corresponde a

1 de um dia. A hora 24

ite submúltiplos. 1h  1 h  60 min 60 1 min  segundo: 1 s   1 min  60 s 60  minuto: 1 min 

2) Transforme as medidas em metros quadrados. a) 2 km2  b) 7 dm2  c) 36 cm2 

3) (UFRJ) Uma chapa de vidro tem 0,15 metros quadrados. Quanto mede a sua área em centímetros quadrados? Justifique.

85

4) (UFPE) Uma empresa de exportação


de gasolina comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos.

1. Para transformar uma distância

Se

tem

qualquer, expressa em metros, para

quantos

quilômetros e centímetros, multiplica-

um

caminhão-tanque

capacidade

de

32 m3 ,

caminhões seriam necessários para

se, respectivamente, por:

transportar a gasolina desaparecida?

a) 103 e 102

b) 102 e 103

a) 205

b) 210

c) 102 e 102

d) 103 e 103

d) 220

e) 225

c) 215

e) 102 e 103

2. Um automóvel vai de Curitiba a São Paulo, percorrendo um total de 400 km. Podemos afirmar que essa distância é equivalente a: 5) (UFRN) A velocidade de 27 km/s, quando

expressa

em

cm/h,

é

equivalente a:

a) 40000 m

b) 4000 dam

c) 400000 hm

d) 400000 m

e) 40 hm a) 972  106 cm/h

b) 972  107 cm/h

c) 270  106 cm/h

d) 270  105 cm/h

e) 270  104 cm/h 3. (PUC – MG) A escada representada na figura tem sete degraus e altura 1,54 m. A altura e cada degrau, em cm, é: a) 18

b) 22

c) 25

d) 28

e) 32

86

4. Para transformar a área de uma

7. (UFRS) Considerando que um dia

superfície

equivale a 24 horas, 1,8 dias equivale

qualquer,

expressa

em

metros quadrados, para quilômetros quadrados e centímetros quadrados, multiplica-se, respectivamente, por: a) 106 e 102

b) 106 e 103

c) 103 e 102

d) 106 e 104

e) 106 e 104

a: a) 1 dia e 8 horas b) 1 dia e 18 horas c) 1 dia e 19 horas d) 1 dia, 19 horas e 2 minutos e) 1 dia, 19 horas e 12 minutos

5. A área de uma chapa metálica é igual a 2,5 metros quadrados. A área dessa chapa, expressa em centímetros quadrados, é igual a: a) 250 d) 250000

b) 2500

c) 25000

8. (UEGO) Um reservatório de uma distribuidora de gás tem capacidade

e) 2500000

para 88,4 m3 do produto. Sabendo-se que o botijão, usado nas cozinhas, vem embalado 6. Assinale V ou F, conforme cada afirmativa seja verdadeira ou falsa, respectivamente.

   

na

forma

líquida

(transformando-se em gás depois) e que cada botijão tem capacidade para 13

litros,

a

capacidade

total

do

reservatório da distribuidora equivale a:

 1 m3  1 L  1 dm3  1 L  1 cm3  1 mL  1 mm3  0,001 L

a) 7110 botijões de gás; b) 7010 botijões de gás; c) 6900 botijões de gás;

A sequencia correta, de cima para

d) 6880 botijões de gás;

baixo, é: e) 6800 botijões de gás; a) F,V,F,V

b) F,V,V,F

d) F,F,V,V

e) V, V, V,V

c) F,V,V,V

87

9. (UFRS) Durante os jogos Pan-

11. (UERJ – RJ) Pedro foi comprar

Americanos de Santo Domingo, os

papel para a impressora e observou

brasileiros perderam o ouro para os

que em cada pacote havia a seguinte

cubanos

especificação:

por

37

centésimos

de

segundo nas provas de remo. Dentre as alternativas, o valor mais próximo

100 folhas de papel 75 g/m2 no formato 215 mm x 315 mm

desse tempo, medido em horas, é: a)

1,03.104

b)

3

c)

1,03.10

e)

1,03.102

d)

1,3.104 1,3.10

O valor mais próximo, em kg, do conteúdo de cada pacote é:

3

a) 0,5

b) 1,6

c) 2,3

d) 5,0

e) 2,0

12. (UFRS) Observe a tabela abaixo, usada em informática. 10. (UNIRIO – RJ) Uma área de 2.104 km2 ,

1 byte  8 bits 1 kilobyte  1024 bytes 1 megabyte  1024 kilobytes 1 gigabyte  1024 megabytes 1 terabyte  1024 gigabytes

numa certa região do

Estado do Rio, possui 20% de terras cultiváveis e improdutivas. Essas terras cultiváveis e improdutivas deverão ser usadas no assentamento de famílias de agricultores sem terra. Considerando

A medida, em gigabytes, de um arquivo de 2000 bytes é:

que cada família receba 40 hectares

1 ha  10

4



m2 , o número total de

famílias será de: a) 40000

b) 20000

d) 4000

e) 1000

a) 23

b) 53 .230

d) 53 .226

e) 103 .226

c) 103 .230

c) 10000

GABARITO: 1. a

2. d

3. b

4. e

5. c

6. c

7. e

8. e

9. a

10. a

11. c

12. d

88

AULA 19 – GEOMETRIA PLANA BÁSICA: ÁREAS

Vamos agora estudar algumas figuras geométricas, algumas de suas relações e suas áreas.

Losango É um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes.

Paralelogramo É um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.

Área 

Área  b.h

D.d 2

Quadrado É um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes.

Retângulo É um quadrilátero que possui os quatro ângulos congruentes (mesma medida).

Área  L2

Área  b.h

dL 2

89

Trapézio

Triângulo

É um quadrilátero que possui dois lados paralelos.

Área 

Bb Área    .h  2 

b.h 2

Circunferência e círculo

De acordo com as definições anteriores, podemos concluir que: ● Todo quadrado é um retângulo. ● Todo quadrado é um losango. ● Todo retângulo e todo losango são

CIRCUNFERÊNCIA Comprimento  2 .R

paralelogramos. ● Todo paralelogramo é um trapézio. Em diagramas, temos:

CÍRCULO Área   .R2

90

3) (FUVEST – SP) Aumentamos a


altura de um triângulo em 10% e diminuímos a sua base em 10%. Então 1) (PUC – SP) A área do quadrado sombreado é:

a área do triângulo: a) aumenta 1%

b) aumenta 0,5%

c) decresce 0,5%

d) decresce 1%

e) não se altera.

a) 36

b) 40

c) 48

d) 50

e) 60 4) (MACK – SP) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são vértices de um

quadrado,

são

tangentes

exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é: 2) (UFPR) Qual o valor da área da figura?

a) 95

b) 144 c) 169

d) 119 e) 109

a) 2 3  

b) 3 2  

d) 4  

e) 5  

c)

 2

91

5) (UFES) A figura sombreada abaixo é

2. (CESGRANRIO – RJ) Se as duas

limitada

e

diagonais de um losango medem,

 2 m.

respectivamente, 6 cm e 8 cm, então a

por

semicircunferências

inscrita num quadrado de lado

área do losango é:

Sua área vale:

a)

2 m2

b)

  c)  2   m2 2  

(4  ) m2

d) (2  4) m2

a) 18 cm2

b) 24 cm2

d) 36 cm2

e) 48 cm2

c) 30 cm2

3. (CESGRANRIO – RJ) A base de um retângulo de área S é aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:

e) (   2) m2 a) 1,04S

b) 1,02S

d) 0,98S

e) 0,96S

c) S

4. (FUVEST – SP) Os lados de um


retângulo de área 12 m2 estão na razão 1. (CESGRANRIO – RJ) A área da sala

1:3.

Qual

o

perímetro

do

retângulo?

representada na figura é:

a) 15 m2

b) 17 m2

d) 20 m2

e) 21 m2

a) 8 m

b) 12 m

d) 20 m

e) 24 m

c) 16 m

c) 19 m2

92

5. (PUC – MG) As dimensões de um

8. (PUC – BA) Na figura abaixo temos

5 . 8

dois círculos concêntricos, com raios

terreno retangular estão na razão

5 cm e 3 cm.

Se a área do terreno é de 1000 m2 , então sua menor dimensão em metros é de: a) 15

b) 20

c) 25

d) 30

e) 35 A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é: a)

9

b)

d)

20

e) 25

c)

12

16

6. (FATEC – SP) A diagonal de um quadrado é k 2 . O perímetro de um outro quadrado, com

1 da área do 4 9. (UFRS) A região representada na

primeiro é:

figura a) 2k

b) k

c)

k 2

d)

k 4

e) 4k

é

limitada

por

4

semicircunferências de raio R. A área da região é: a) 4R2 .(   1) c) R2 .(2  1)

b) 2R2 .(   2) d) 4R2

e) 2R2

7. (UFPA) A área de um círculo é 5 cm2 . Sua circunferência mede:

a) 10 cm d)

5 cm

b) 5 cm

c)

5 cm 2

e) 2 5 cm

93

10. (UECE) Em um trapézio a soma

12. (PUC – BA) Na figura, ABCD é um

das bases é 24 cm , a altura é igual à

losango

metade da base maior e a base menor

circunferência de raio 4 cm. A área

é igual à altura. A área desse trapézio,

desse

em cm2 , é:

quadrados, é:

a) 60

b) 72

c) 84

d) 96

a) 4 3

e

A

losango,

é

o

em

centro

da

centímetros

b) 8 c) 12 d) 8 3

e) 12 3

11. (CESGRANRIO – RJ) A região sombreada R da figura é limitada por arcos de circunferência centrados nos vértices do quadrado de lado 2 . A área de R é:

a)

 2 2

4  c)     3 

  2 2 

b) 2

d) (4  )

2

e)

2

2

2

GABARITO: 1. d

2. b

3. e

4. c

5. c

6. a

7. e

8. c

9. b

10. d

11. d

12. d

94

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