Derivada Da Função Composta 211t5t

Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente. Teorema 2.31 Derivada da Função Composta Suponha-se que g: A→ℜ é diferenciável no ponto a e que f: D→ℜé diferenciável no ponto b=g(a). Então fog é diferenciável no ponto a e tem-se : ( fog)′(a) = f ′(g(a))g′(a) Utilizando outra notação: h = fog e z=f(y) e y=g(x) então dx dy dy dz dx dh = Exemplos: Calcule a derivada dos seguintes exercícios utilizando o conceito de derivada da função composta. (1) Sendo z = sen(y) e y=x4 , calcule a derivada de

( )

h=sen x4

(2) h = ln u(x) calcule dx dh ? O teorema anterior permite estabelecer as fórmulas das derivadas das funções elementares: Seja: u=u(x) sen′(u) = u′cos(u) cos′(u) = −u′sen(u)

tg′(u) = u′sec2(u) cotg′(u) = −u′cosec2(u)

(u ) = u u′

α ′ α −1 α , α (constante ∈ℜ)

(au )=u′au ln(a) ′ ua u a u ln (log ) ′ ′=

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Função implícita e sua derivada Seja F(x,y)=0 uma condição e y=f(x) uma função definida implicitamente pela condição. Então a derivada y′ = f ′(x) da função implícita obtém-se derivando em ordem a x ambos os membros da condição. Exemplo Derive a função implícita: x2 + y2 = 4 Teorema 2.32 Derivada da Função Inversa Seja f: I ⊂ D uma função injectiva e contínua, e g: J=f(I) a sua inversa. Então se f é diferenciável no ponto a com f ′(a) ≠ 0 e g diferenciável em b=f(a): ( ( )) 1 () 1 ()

fafgb gb ′ = ′ ′=

xy y=arctg(x) x=tg(y)

() 2222 2 2 2

1 1 1() 1 cos ( ) ( ) cos ( ) 1 cos ( ) cos ( ) ( ( )) 1 () y sen y tg y x y y y tg y arctg x + = + =

+ = === ′ ′= Análise Matemática I - 2006/2007 4ª aula teórica Pág. 25

Derivada de uma função dada sob a forma paramétrica Obs. - A circunferência pode definir-se por duas expressões com o auxilio de um parâmetro t: ___ = = y r sent x r cost , 0 ≤ t < 2π equações paramétricas da circunferência - A elipse pode definir-se por duas expressões com o auxilio de um parâmetro t: ___ = = y b sent x a cost , 0 ≤ t < 2π equações paramétricas da elipse Por serem duas equações num parâmetro dizem-se equações paramétricas. Como se calcula a derivada de uma função dada sob a forma paramétrica? Seja y =f(x) uma função definida pelas equações paramétricas.

___ = = () () yt xt

ψ ϕ

, t0 ≤ t ≤ t1 Se ϕ e ψ são diferenciáveis em cada t0 < t < t1 e para além disso ϕ ite inversa diferenciável, então : dt dx dt dy dx dy =

() ()() 22 2

1 1 1 1 1 1 x arcsen(x) x arccos(x) x arccotg(x)

− ′= − ′=− + ′=− Análise Matemática I - 2006/2007 4ª aula teórica Pág. 26

Exemplo: Seja y=f(x) dada pelas equações paramétricas ___ = = y a sent x a cost , 0 ≤ t ≤π calcule y′ 2.6 Estudo do gráfico de uma função Para desenhar o gráfico deve: (1) Determinar o domínio da função; (2) Determinar os zeros da função; (3) Analisar a função quanto à continuidade e identificar os pontos de descontinuidade; (4) Procurar assimptotas; (5) Com a primeira derivada de f(x), determinar : - Pontos de estacionaridade e pontos de descontinuidade da 1ª derivada; - Máximos e mínimos; - Monotonia (crescimento e decrescimento de f(x)). (6) Com a segunda derivada de f(x), determinar : - Os pontos de inflexão - Concavidades (convexas _ e côncavas _) (7) Esboçar o gráfico tendo em consideração os pontos "notáveis", nomeadamente:

-

zeros da função; extremos; pontos de inflexão; e as assimptotas.

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Algumas Definições e Teoremas úteis ao estudo do gráfico de funções. Def.2.33 Zeros de uma função Seja f: D →R uma função, as soluções da equação f(x)=0 chamam-se zeros da função. Def. 2.34 Assimptotas Seja f: D →R uma função; (1) Se a∉D e a∈D′ e = ∞ →

lim f (x) xa

então a função tem uma assimptota vertical de equação x=a. (2) Se f x b x

= →+∞

lim ( ) ou f x b x

=

→−∞

lim ( ) , f tem uma assimptota horizontal de equação y=b. (3) Se = ∞ →∞

lim f (x) x

f tem uma assimptota oblíqua y=mx+b se existir e for finito x

fx x

() lim →∞

; neste caso: x fx m x

() lim →∞

= e b lim ( f (x) mx) x

=−

→∞ Análise Matemática I - 2006/2007 4ª aula teórica Pág. 28

Algumas definições e teoremas importantes para o cálculo de extremos e da monotonia. Def. 2.35 Seja f: D →R uma função e a∈D um ponto, diz-se que: (1) f(x) tem máximo local em a se existir ε > o tal que ∀x∈Vε (a) f (x) ≤ f (a) (2) f(x) tem mínimo local em a se existir ε > o tal que ∀x∈Vε (a) f (x) ≥ f (a) (3) f(x) tem um extremo local em a se f(x) tiver um máximo ou um mínimo em a - Os máximos e mínimos locais procuram-se nos pontos de

estacionaridade ( f ′ (x)=0) e nos pontos onde a função está definida e a derivada não. Teorema de Rolle 2.36 Seja f: I⊂ D,(I=[a,b]) uma função contínua e diferenciável em ]a,b[; se f(a)=f(b),

existe c∈ ]a,b[ tal que f ′(c) = 0 . Corolário 2.37 Entre dois zeros de uma função existe um zero da sua derivada. Corolário 2.38 Entre dois zeros consecutivos da derivada não pode haver mais de um zero da função. Teorema 2.39 Se para ∀x∈I, f ′(x) > 0, f é crescente em I e se f ′(x) < 0, f é decrescente em I. Algumas definições e teoremas importantes para o cálculo dos pontos de inflexão e das concavidades. - pontos de inflexão são os pontos onde a função f muda de concavidade e obtêm-se igualando a zero a segunda derivada. Análise Matemática I - 2006/2007 4ª aula teórica Pág. 29

Teorema 2.40 Seja f uma função. Se f ′(x) < 0 ∀x∈]a,b[ a função é convexa (_) nesse intervalo e se f ′(x) > 0

∀x∈]a,b[ a função é côncava (_) nesse intervalo. 2.7 - Diferencial e diferenças finitas Consideremos uma função f: D→ℜ, e a um ponto interior ao domínio D, e h um n.º real tal que (a+h)∈D.

- Chama-se acréscimo da função f, correspondente ao incremento de h da variável x ( dado a partir do ponto a), à diferença : f(a+h)-f(a) ∆a f (h) = f (a + h) − f (a) acréscimo da função f - Chama-se diferencial da função f no ponto a ao produto f ′(a)× h e designaremos por da f (h) ou simplesmente por : da f = f ′(a)× h ou se y = f(x), dy = f ′(x)h - Note que da f ≅ ∆a f (h) Exercício: Determine o acréscimo e o diferencial da função: y = 2x2 − x para x = 1, e h = 0.01 Geometricamente ___

a h a+h f(a) f(a+h)

∆af(h) ___ da f