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ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA “VESALIUS”

REPASO 2010

ALUMNO: ..................................................................................................

FECHA: 12 – 09 – 2010

ASIGNATURA: MATEMÀTICA

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos

TEMA Nº 03 - ECUACIÓN DE LA PARABOLA 01. DEFINICIÓN: Es un lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de una recta fija del plano llamada directriz y un punto fijo llamado foco.

02. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

 *  Vértice:  V   *  Foco:  F    *  Directriz:  L   *  Eje de simetría  Eje focal  :  *  Lado recto: RS LR = 4p

 *  Cuerda: MN  *  Cuerda focal: UT



 L1 

03. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA 3.1. Parábola Horizontal: Vértice en el origen

 0,0 

y eje focal el eje “X”

3.2 Parábola Vertical: Vértice en el origen

 0,0 

y eje focal el eje “Y”

3.3. Vértice

 h,k 

y eje focal el eje “x”

3.4. Vértice

 h,k 

y eje focal el eje “y”  5  03. La ecuación de la parábola que tiene por foco: F  ,0  y  3 

directriz la recta 3x– 5 = 0; es: [CEPUNT – 05 –II]

a) 3y2 – 20x = 0 c) 3x2 – 20y = 0 e) 2x2 – y = 0

b) 3y2 + 20x = 0 d) 3x2 + 15y = 0

04. La ecuación de la parábola que pasa por el punto (6; –5) con vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje de las ordenadas, es: [CEPUNT – 06 – I]

36 a) x = y 5

36 b) y = – x 5

2

4.

Forma General: Las ecuaciones anteriores se reducen a las dos formas siguientes : 2

x  Dx  Ey  F  0 Eje Focal // al eje " y " (o coincidente con el eje Y)

c) x2 =

26 y 5

e) y2 =

36 x 5

2

d) x2 = –

36 y 5

05. La longitud de la cuerda focal de la parábola x2 + 8y = 0 que es paralela a la recta L: 3x + 4y – 7 = 0, es: [CEPUNT – 06 – I]

2

y  Dx  Ey  F  0 Eje Focal // al eje " x " (o coincidente con el eje x)

5.

TEOREMAS RESPECTO A PARÁBOLAS:

a)

25 2

b)

23 2

d)

19 2

e)

17 2

c)

21 2

06. El vértice de una parábola es V(3,2) y su directriz y + 1 = 0; entonces, la suma de las coordenadas del foco de la parábola, es: [CEPUNT – 05 –II]

5.1. TEOREMA 1:

a) 2 d) 7

Se la parábola P : y2 = 4px; y P(x1 ; y1) un punto de

b) 3 e) 8

c) 5

ella; luego la ecuación de la recta tangente a ella e P es: 07. Una parábola tiene su foco en F(1,3) y directriz x = 5; entonces la longitud de su lado recto es:

RT: y1 y = 2p(x + x1)

[CEPUNT – 05 –II]

5.2. TEOREMA 2:

a) 4 d) 10

Se la parábola P : y2 = 4px; luego la ecuación de la

b) 6 e) 12

c) 8

recta tangente de pendiente m es: RT: y = mx + p/m;

08. La longitud de la cuerda de la parábola y2 = -4x, que es un segmento de la recta 2x + y + 4 = 0, es:

m 0.

[CEPUNT – 05 –II]

a)

PRÀCTICA DE CLASE

3 5 4

d) 3 5

b)

3 5 2

c)

5

e) 4 5

01. Los puntos de la parábola L equidistan de la recta y= 2, y ECUACIÓN ORDINARIA

del punto fijo (4,6) . Un punto de L. es: [CEPUNT – 08 – II]

a) (-6,4)

b) (-4,-4)

d) (4,8)

e) (6,–6)

c) (8,6) 09.

La ecuación de la parábola con foco (10,2) y la ecuación de la directriz x = 2, es: [CEPUNT – 06 – II]

02. La distancia del vértice al foco de la parábola y2 = 16x, es: [CEPUNT – 03 –I]

a) 7 u d) 4 u

b) 6 u e) 3 u

c) 5 u

a) x2 – 10x – 8y + 68 = 0 b) x2 – 12x – 16y + 34 = 0 c) y2 – 12y – 16x + 68 = 0 d) y2 – 4y – 16x + 100 = 0 e) x2 – 16x – 12y + 68 = 0

10. La ecuación de la parábola de eje horizontal, con foco F(–2,3) y vértice sobre la recta 5x – 2y – 4 = 0 es:

17. La ecuación de la recta con pendiente 2, tangente a la parábola y2 – 8x – 2y + 1 = 0, es:

[CEPUNT – 05 – II]

a) (x – 2) 2 = –18(y – 3)

[CEPUNT – 04 –I]

a) 4x – 2y + 2 = 0 c) 2x – y + 1 = 0 e) 2x – y + 4 = 0

b) (y – 3) 2 = –16(x – 2) c) (x – 3) 2 = 10(y – 2) d) (y – 2) 2 = 16(x – 3)

18. La suma de las coordenadas de un punto de la parábola de ecuación x2 = 16y, cuya distancia a la recta x + y + 3 = 0

e) (x – 1) 2 = 18(x – 4) 11. La entrada de un túnel tiene forma parabólica de 9 m de alto y 12 m de base. Si de la parte superior cuelga un foco que ilumina la entrada y la paralela a la base que pasa por el foco mide 8 m, entonces la altura en metros a la que se encuentra el foco es:

es igual a 4 2 , es: [CEPUNT – 03 –II]

b) 5,30 e) 6,00

c) 5,50

b) 5 e) 2

a) 8 d) 3

c) 4

TAREA DOMICILIARIA

[CEPUNT – 07 – II]

a) 5,00 d) 5,80

b) 2x – y + 2 = 0 d) 2x – y – 2 = 0

01.La ecuación de la parábola con vértice sobre la recta 3x – 2y – 19 = 0, cuyo foco está sobre la recta x + 4y = 0 y su directriz x = 2, es: [UNT – 08 - II]

ECUACIÓN GENERAL 12. La ecuación de la recta que pasa por el foco de la parábola 3x2 – 12x + 2y + 15 = 0 y tiene pendiente igual a la longitud del lado recto, es:

a) (y + 2)2 = 12(x – 5)

b) (y + 2)2 = –12(x – 5)

c) (y – 2)2 =

12(x – 5)

d) (y – 2)2 =

e) (y + 2)2 =

12(x +5)

12(x + 5)

[CEPUNT – 06 – II]

a) 2x + 5y – 4 = 0 c) 2x – 5y – 4 = 0 e) 7x + 4y + 5 = 0

b) 5x – 2y + 2 = 0 d) 2x – 3y – 9 = 0

13. La ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje x, y que pasa por los puntos (0,3); (–1,1) y (8,7); es: [CEPUNT – 04 –I]

a) (y + 1)2 = 4(x + 2) c) (y – 1)2 = 4(x + 1) e) (y + 1)2 = 8(x + 2)

b) (y – 1)2 = 3(x – 1) d) y2 = 4x

TANGENTES 14. La ecuación de la recta tangente a la parábola y2 = 12x paralela a la recta 3x – 2y + 30 = 0, es:

y

[CEPUNT – 06 – I]

a) 3x + 2y = 0 c) x + y –1 = 0 e) 3x – 2y + 4 = 0

b) 2x – 3y – 4 = 0 d) 3x – 2y – 6 = 0

02. La ordenada del punto más alto de la parábola con vértice en la recta x – y + 2 = 0, directriz y = 2 y que pasa por el punto (3; –3) es: [UNT – 07 - II] a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1 03. Si una parábola de eje horizontal, con foco (–2,3), tiene su vértice sobre la recta 5x – 2y – 4 = 0; entonces, la ecuación de la parábola es: [UNT – 07 - I] a) (y + 2)2 = 16(x – 3) b) (y – 3)2 = –16(x – 2) c) (y – 3)2 = 16(x – 2) d) (y + 3)2 = –16(x – 2) 2 e) (y – 2) = –16(x – 3) 04. La representación gráfica de la ecuación x2 + y2 – 8x + 20 = 4y, es: [UNT – 02] a) un punto c) una parábola e) una hipérbola

15. La ecuación de una recta con pendiente igual a –1 y tangente a la parábola y2 – 8x = 0; es:

b) una elipse d) una curva imaginaria

05. La suma de las coordenadas del vértice de la parábola de ecuación y2 + 4x – 6y + 7 = 0 es:

[CEPUNT – 07 - II]

a) x + y – 1 = 0 c) x – y + 2 = 0 e) x – y + 1 = 0

b) x + y + 2 = 0 d) 2x + 2y – 1 = 0

16. La ecuación de una parábola de eje horizontal que pasa por los puntos A(4,5), B(–2,–1) y C(4, –3) es:

[UNT – 10 – I]

a) -7/2

b) -5/2

d) 7/2

e) 9/2

06. Los puntos de una parábola P equidistan de la recta y = 1 y del punto fijo (2; 5). Un punto de P, es:

[CEPUNT – 05 –II]

a) y2 – 2x – 2y – 7 = 0 c) y2 – 2x + 2y – 7 = 0 e) y2 + 2x – 2y + 7 = 0

b) y2 + 2x – 2y – 7 = 0 d) y2 – 2x – 2y + 7 = 0

c) 5/2

[CEPUNT – 07 – I]

a) (5; 4) d) (4; 8)

b) (–4; 4) e) (6; 6)

c) (6,5)

07. La ecuación de la parábola cuyo foco es F(1,–3) y la directriz y – 7 = 0, es:

ADICIONALES [CEPUNT – 06 – I]

a) x2 + 2x + 20y – 39 = 0 b) x2 + 2x – 20y – 39 = 0 c) x2 + 4x + 20y – 39 = 0 d) x2 – 2x + 20y + 39 = 0 e) x2 – 2x + 20y – 39 = 0

11. La ecuación de la parábola de eje horizontal que tiene como vértice el centro de la elipse: 6x2 + 8y2– 24x – 48y = 0, y cuya longitud de lado recto es igual a la longitud de los lados rectos de la elipse, es: [CEPUNT – 05 – II]

a) y2 – 6x – 4y + 22 = 0 b) x2 – 6x – 6y + 21 = 0

08. Si la recta que pasa por el foco de la parábola x2 – 2x – 12y + 13 = 0, su ordenada en el origen es igual a su abscisa en el origen, entonces la ecuación de la recta es:

c) y2 – 6x – 6y + 21 = 0 d) y2 – 6x + 6y – 3 = 0 e) x2 + 4x – 6y + 22 = 0

[CEPUNT – 05 – II]

a) y + x – 5 = 0 c) y + x – 6 = 0 e) y + 2x – 6 = 0

b) y – x + 5 = 0 d) y + 2x – 1 = 0

09. Determinar la ecuación de la parábola (F es su foco), si la recta L tiene por ecuación x – 8 = 0.

12. La parábola x2 + Dx + Ey + F = 0 pasa por los focos de la elipse: x2 – 2x + 2y2 – 4y + 1 = 0 Si el vértice de dicha parábola coincide con el punto más bajo de la elipse, entonces el valor de E + D + F, es: [CEPUNT – 05 – II]

a) – 5 d) – 2

a) y2 = 20(x - 3) c) y2 = 16(x - 3) e) y2 = 12(x - 3)

b) y2 = 10(x - 3) d) y2 = 24(x - 3)

10. Sean A y B los puntos de intersección de la recta: x – y + 3 = 0 y la parábola: x2 + 4y = 0. Halle AB a) 4 2

b) 6 2

d) 10 2

e) 12 2

c) 8 2

CLAVES 01) a 06) c

02) e 07) e

03) c 08) a

04) a 09) a

05) d 10) c

b) – 4 e) – 1

c) –3