Bétonic2(part 1) 6l5a5q

DEPARTEMENT BÂTIMENT ET URBANISME

COURS DE BETON ARME Enseignant : Prof. A. KONIN

SOMMAIRE

SOMMAIRE ................................................................................................................................................................................. 1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................................................ 1 CHAPITRE 1 : JUSTIFICATIONS ET FONCTIONNEMENT DU BETON ARME .......................................................... 2 1.1. PRINCIPE.............................................................................................................................................................................. 2 1.2. EXEMPLES ........................................................................................................................................................................... 2 1.3. CAS DE LA POUTRE EN FLEXION (MOMENT FLECHISSANT (M) ET EFFORT TRANCHANT (T)) ................................................. 3 2.1. DEFINITION [ART. A.1.2]..................................................................................................................................................... 3 2.2. ETAT LIMITE DE SERVICE (ELS) .......................................................................................................................................... 4 2.3. ETAT LIMITE ULTIME (ELU) ................................................................................................................................................ 4 3.1. ACTIONS .............................................................................................................................................................................. 4 3.2. SOLLICITATIONS .................................................................................................................................................................. 6 4.1. PRINCIPE DES JUSTIFICATIONS ............................................................................................................................................. 6 4.2. INTRODUCTION DE LA SECURITE VIS-A-VIS DES MATERIAUX ............................................................................................... 6 CHAPITRE 2 : CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX................................................................................................. 8 1.1. A LA TRACTION A J JOURS : FTJ ............................................................................................................................................ 8 1.2. VALEURS UTILISEES DANS LES CALCULS ............................................................................................................................. 8 1.3. DEFORMATIONS LONGITUDINALES DU BETON ..................................................................................................................... 9 2.1. PROPRIETES GENERALES ................................................................................................................................................... 10 2.2. CARACTERES MECANIQUES ............................................................................................................................................... 11 2.3. VALEURS A PRENDRE EN COMPTE DANS LES CALCULS ....................................................................................................... 11 TABLEAU DES CONTRAINTES DE CALCUL DE L’ACIER .............................................................................................................. 13 2.4. ETABLISSEMENT DU TABLEAU DES SECTIONS D’ACIERS : AS (, N) EN CM2 ....................................................................... 13 3.1. PROTECTION DES ARMATURES [ART. A7.1] ....................................................................................................................... 13 3.2. GROUPEMENTS D’ACIERS [ART. A7.2] .............................................................................................................................. 14 3.3. POSSIBILITE DE BETONNAGE CORRECT .............................................................................................................................. 14 3.4. POUSSEE AU VIDE .............................................................................................................................................................. 14 4.1. HYPOTHESES: .................................................................................................................................................................... 14 4.2. PRESENTATION DES DOMAINES .......................................................................................................................................... 15 CHAPITRE 3 : LIAISON ACIER - BETON ........................................................................................................................... 16 3.1. ANCRAGE RECTILIGNE ....................................................................................................................................................... 17 3.2. ANCRAGE COURBE............................................................................................................................................................. 18 CHAPITRE 4 : MISE EN ŒUVRE DU BETON ARME ....................................................................................................... 21 1.1. BETON PRET A L’EMPLOI ................................................................................................................................................... 21 1.2. BETON CONFECTIONNE OU LIVRE SUR CHANTIER............................................................................................................... 21 2.1. ORGANES CONSTITUTIFS DES COFFRAGES.......................................................................................................................... 21 2.2. DECOFFRAGE ..................................................................................................................................................................... 21 2.3. REEMPLOI DES COFFRAGES ................................................................................................................................................ 21 3.1. PREFABRICATION EN CAGE ................................................................................................................................................ 22 3.2. ASSEMBLAGE SUR PLACE................................................................................................................................................... 22 3.3. CALAGE ............................................................................................................................................................................. 22 3.4. REPRISES DE BETONNAGE .................................................................................................................................................. 22 4.1. REMPLISSAGE DU COFFRAGE ............................................................................................................................................. 22 4.2. COMPACTAGE EN PLACE .................................................................................................................................................... 22 4.3. FINITIONS .......................................................................................................................................................................... 22 4.4. CURE DU BETON ................................................................................................................................................................ 22 4.5. DECOFFRAGE ..................................................................................................................................................................... 23 5.1. ACIERS .............................................................................................................................................................................. 23 5.2. BETONS ............................................................................................................................................................................. 23

2

6.1. OBJECTIF DU CALCUL ........................................................................................................................................................ 24 6.2. DIMENSIONNEMENT / VERIFICATION ................................................................................................................................. 24 6.3. METHODOLOGIE DE CALCUL ............................................................................................................................................. 24 CHAPITRE 5 : LES TIRANTS ET LES POTEAUX ............................................................................................................. 25 1.1. HYPOTHESES ..................................................................................................................................................................... 25 1.2. CALCUL DE LA SECTION D'ARMATURES LONGITUDINALES ................................................................................................. 25 1.3. DISPOSITIONS REGLEMENTAIRES ET CONSTRUCTIVES ........................................................................................................ 26 2.1. DEFINITION........................................................................................................................................................................ 26 2.2. ELANCEMENT D’UN POTEAU .............................................................................................................................................. 27 2.3. JUSTIFICATION DES POTEAUX (B.8.4) ................................................................................................................................ 28 2.4. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES ET RECOMMANDATIONS DIVERSES ................................................................................... 28 2.5. PREDIMENSIONNEMENT D'UN POTEAU ............................................................................................................................... 30 CHAPITRE 6 : FLEXION SIMPLE – ARMATURES LONGITUDINALES ..................................................................... 31 1.1. DOMAINE D’APPLICATION ................................................................................................................................................. 31 1.2. PORTEES DES POUTRES ...................................................................................................................................................... 31 2.1. HYPOTHESES ..................................................................................................................................................................... 32 2.2. NOTATIONS ....................................................................................................................................................................... 33 2.3 DROITES DE DEFORMATION - PIVOTS .................................................................................................................................. 33 2.4 EQUATIONS D’EQUILIBRE ................................................................................................................................................... 33 2.5 ADIMENSIONNEMENT ......................................................................................................................................................... 34 2.6 CALCUL DES SECTIONS D’ACIER ......................................................................................................................................... 34 2.7 PREDIMENSIONNEMENT ...................................................................................................................................................... 35 2.8. REMARQUES ...................................................................................................................................................................... 35 3.1. HYPOTHESES ..................................................................................................................................................................... 35 3.2 NOTATIONS ........................................................................................................................................................................ 36 3.3 EQUATIONS DE L’EQUILIBRE ............................................................................................................................................... 36 3.4. DIMENSIONNEMENT ET VERIFICATION ............................................................................................................................... 36 4.1. POURQUOI DES SECTIONS EN TE ?...................................................................................................................................... 37 4.2. FONCTIONNEMENT DES SECTIONS EN T ............................................................................................................................. 39 4.3. CALCUL DES VRAIES SECTIONS EN T .................................................................................................................................. 40 CHAPITRE 7 : FLEXION SIMPLE – ARMATURES TRANSVERSALES ....................................................................... 46 2.1. CONTRAINTE TANGENTE CONVENTIONNELLE (A.5.1,1) ..................................................................................................... 47 2.2. ELU DES ARMATURES D’AME (A.5.1,23)........................................................................................................................... 47 2.3. ELU DU BETON DE L’AME (A.5.1,21) ................................................................................................................................ 47 2.4. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES ......................................................................................................................................... 47 2.5. JUSTIFICATION DES SECTIONS D’APPUIS (A.5.1,3) ............................................................................................................. 47 2.6. REPARTITION DES ARMATURES TRANSVERSALES .............................................................................................................. 48 3.1. ENTRAINEMENT DES ARMATURES (A.6.1,3) ...................................................................................................................... 49 3.2. DECALAGE DE LA COURBE DU MOMENT FLECHISSANT (A.4.1,5) ....................................................................................... 50 4.1. REGLE GENERALISEE ......................................................................................................................................................... 50 4.2. SECTION D’ACIER DE COUTURE.......................................................................................................................................... 50 4.3. LIAISON HOURDIS/AME ...................................................................................................................................................... 51 4.4. LIAISON TALON/AME ......................................................................................................................................................... 52 CHAPITRE 8 : FLEXION SIMPLE – ARRET DES BARRES ............................................................................................ 53 2.1. COURBE DE CALCUL DES MOMENTS ................................................................................................................................... 54 2.2. MOMENT RESISTANT D’UNE SECTION ................................................................................................................................ 54 3.1. QUELS ACIERS ARRETER ? ................................................................................................................................................. 55 3.2. REMARQUES ...................................................................................................................................................................... 56

Cours de Béton Armé – A. KONIN

INTRODUCTION

INTRODUCTION

Le matériau béton – par nature non homogène – associé à l’acier induit un comportement autrement plus complexe que ne peut le décrire les hypothèses très simplificatrices de la RDM. C’est pourquoi, des règles de calcul précises et dédiées au béton armé ont été établies. Elles sont contenues dans le règlement BAEL (Béton Armé aux Etats Limites).  [Art. A.1.1 du BAEL]  Les règles BAEL91 modifiées 99 sont applicables à tous les ouvrages en béton armé, dont le béton est constitué de granulats naturels normaux, avec un dosage en ciment au moins égal à 300 kg/m 3 de béton mis en oeuvre. Les constructions suivantes restent en dehors du domaine d’application : - les constructions en béton non armé, - les constructions en béton léger, - les constructions mixtes acier – béton, - les constructions en béton de résistance caractéristique supérieure à 80MPa (pour les résistances de 60 à 80MPa se reporter à l’Annexe F des règles modifiées en 99), - les éléments soumis à des températures s’écartant de celles qui résultent des seules influences climatiques.

Ouvrages de référence 1. Règles BAEL91, modifié 99. 2. Traité de physique du bâtiment, Tome 2, Mécanique des ouvrages, édition du CSTB, 1999 3. Précis de bâtiment, Conception, mise en œuvre et normalisation, édition AFNOR, 1991 4. Maîtrise du BAEL91 et des DTU associés, J. PERCHAT et J. ROUX, édition Eyrolles, 1994 5. Cours de béton armé BAEL91. Calcul des éléments simples et des structures de bâtiments, J. P. MOUGIN, édition Eyrolles, 1992 6. Ouvrages en béton armé, H. RENAUD et F. LETERTRE, édition FOUCHER, 1978 7 – Conception et calcul des structures de bâtiment (6 tomes), H. THONIER, édition ENPC, 1995

COURS DE BETON ARME – A. KONIN

1. Généralités

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CHAPITRE 1 : JUSTIFICATIONS ET FONCTIONNEMENT DU BETON ARME

OBJECTIF Comprendre les principes de base du fonctionnement et des calculs du béton armé. 1. GENERALITES Le béton de ciment présente des résistances à la compression assez élevées, de l’ordre de 25 à 40MPa, mais sa résistance à la traction est très faible, de l’ordre de 1/10 è de sa résistance en compression. De plus, le béton de ciment a un comportement fragile. Pour pouvoir utiliser en construction ce matériau économique, on lui associe des armatures métalliques capables d’éviter les inconvénients résultant de sa faible résistance à la traction : le matériau ainsi obtenu est le béton armé. Le fait d’incorporer des armatures dans le béton n’est pas suffisant pour en faire un béton armé. Il faut en plus une organisation structurale spécifique portant sur : • la forme des pièces ; • la quantité et l’agencement des armatures. 1.1. PRINCIPE Tout élément doit être armé suivant trois directions non coplanaires, généralement orthogonales. Toutefois, les éléments de faible épaisseur (dalles) et les semelles de fondation ne sont généralement armés que dans deux directions parallèles à leur feuillet moyen (= plan à mi-épaisseur de l’élément). 1.2. EXEMPLES 1.2.1. Cas d’une poutre console Poutre encastrée à une extrémité, reposant librement sur un appui intermédiaire, avec porte-à-faux.



3

Remarque En béton armé, les moments sont représentés du côté des fibres tendues : – vers le haut lorsque le moment est négatif (M < 0), – vers le bas lorsque le moment est positif (M > 0), ce qui permet d’obtenir directement la position des armatures tendues (supérieures ou inférieures équilibrant les efforts de traction engendrés par ces moments).

Schéma de ferraillage

Tableau de désignation des armatures

1.2.2. Cas du tirant (N en traction) Toute la section de béton est tendue, les aciers longitudinaux reprennent seuls l’effort de traction. N

N

1.2.3. Cas du poteau (N en compression) La section de béton est globalement comprimée, les aciers longitudinaux viennent seulement renforcer la résistance du poteau et assurer un comportement non fragile au béton. N

N

N

1.3. CAS DE LA POUTRE EN FLEXION (MOMENT FLECHISSANT (M) ET EFFORT TRANCHANT (T)) 2. METHODES DES ETATS LIMITES 2.1. DEFINITION [ART. A.1.2] Un état limite est un état pour lequel une condition requise d’une construction (ou d’un de ses éléments) est strictement satisfaite et cesserait de l’être en cas de variation défavorable d’une des actions appliquées. COURS DE BETON ARME – A. KONIN

3. Actions et sollicitations

4

La théorie des états limites considère 2 états limites [Art. A.1.2] 2.2. ETAT LIMITE DE SERVICE (ELS) Les conditions de bon fonctionnement de la structure ont été atteintes. La durabilité de la structure est remise en cause. Cet état limite comprend : - Etat limite d’ouverture de fissures pour assurer la durabilité et éviter la corrosion des armatures. - Etat limite de déformation pour éviter que les déformations gênent l’utilisation de la construction. - Etat limite de compression du béton : on limite volontairement la contrainte de compression à une valeur raisonnable pour éviter l’apparition d’une fissure parallèle à l’axe neutre. L’état limite de service atteint remet en cause l’aptitude au service de la structure (fissures, fuites, désordres divers). En revanche, la sécurité (c’est à dire sa résistance) n’est pas remise en cause. Pour les ELS, le modèle demeure élastique linéaire et la méthode s’apparente au calcul aux contraintes issibles. 2.3. ETAT LIMITE ULTIME (ELU) Le déement de cet état conduit à la ruine de la structure. Au delà de l’état limite ultime, la résistance des matériaux béton et acier est atteinte, la sécurité n’est plus garantie et la structure risque de s’effondrer. Cet état limite comprend : - Etat limite de l’équilibre statique ; - Etat limite de résistance de l’un des matériaux. - Etat limite de stabilité de forme : flambement Pour les ELU, on utilise si possible des modèles de calcul plastiques et la méthode s’apparente au calcul à la rupture. 3. ACTIONS ET SOLLICITATIONS 3.1. ACTIONS Les actions sont l’ensemble des charges (forces, couples, …) appliquées à une construction, ainsi que les conséquences des modifications statiques ou d’état (retrait, variations de température, tassements d’appuis, etc.) qui entraînent des déformations de la structure. 3.1.1. Valeurs caractéristiques des actions [Art. A.3.1.] Les états limites distinguent principalement 2 types d’actions caractéristiques [Art. A.3.1] : les actions permanentes notées G et les actions variables notées Q.

3.1.1.1. Les actions permanentes i G [Art. A.3.1,2] Elles sont appliquées pratiquement avec la même intensité pendant toute la durée de vie de l’ouvrage ; elles comportent : -

le poids propre de la structure, calculé d’après les dimensions prévues aux dessins d’exécution, la masse volumique du béton armé est prise égale à 25kN/m3

-

les charges des superstructures, des équipements fixes, les efforts dus à la terre ou à des liquides dont les niveaux varient peu, les efforts dus aux déformations permanentes imposées à la construction, etc.



5

Le tableau ci-dessous donne le poids volumique de quelques matériaux. Matériau

Poids volumique kN/m3

Béton armé

25

Sol

Béton

24

Briques pleines

Chape

22

Briques creuses

Plâtre

14

Parpaing plein

20 à 22

Carrelage

22

Parpaing creux

12 à 15

Cloisons de distribution : 0,75 kN/m²

0,5 à 1

Etanchéité multicouche : 0,1 kN/m²

Matériau

Acier

78,5

Isolant thermique

Bois

5à8

Gravillon d’étanchéité

Poids volumique kN/m3 18 à 20

Matériau

Poids volumique kN/m3

Verre

23 à 25

18

Bitume

9 à 12

14

Asphalte

22

15

3.1.1.2. Les actions variables i Q [Art. A.3.1,3] Les actions variables ont une intensité qui varie fréquemment et de façon importante dans le temps. Elles sont désignées par la lettre Q. - Charges d’exploitation classées par durée d’application (provisoire, longue durée) - Charges climatiques (vent et pluie) - Actions de la température Les valeurs des actions variables courantes (les charges d’exploitation) sont données dans le tableau ci-dessous. Non accessibles sauf pour entretien TERRASSES

Accessibles privées Accessibles au public

HABITATIONS

BUREAUX

1 kN/m² 1,5 kN/m² 5 kN/m²

locaux

1,5 kN/m²

Escaliers

2,5 kN/m²

balcons

3,5 kN/m²

Locaux privés

2 kN/m²

Locaux publics

2,5 kN/m²

Escaliers

4 kN/m²

Archives

5 kN/m²

4.1.1.3. Actions climatiques Elles sont définies par les règles dites ‘Neige et Vent’ DTU P 06-002 et DTU P 06-006. Pour la pluie, on prendra une action de 15 daN/m2. 3.1.2. Valeurs de calcul des actions [Art. A.3.3] Pour tenir compte des risques non mesurables, on associe aux valeurs caractéristiques des actions un coefficient de sécurité pour obtenir les valeurs de calcul des actions. Puis on combine ces valeurs de calcul pour établir le cas de chargement le plus défavorable.

3.1.2.1. Combinaison d’actions aux ELS [Art. A.3.3,3] La combinaison d’action courante à l’ELS est la suivante : G max + Gmin + Q1 + iQi Avec :


4. Principe du calcul aux états limites

6

- Gmax : ensemble (somme) des actions permanentes défavorables. - Gmin : ensemble (somme) des actions permanentes favorables. - Q1 : action variable de base. - Qi : autres actions variables d’accompagnement avec leur coefficient i. Les combinaisons les plus courantes : G + Q + 0,9 (S ou W) ; G + (S ou W) + 0,8 Q

3.1.2.2. Combinaison d’actions aux ELU [Art. A.3.3,2] La combinaison d’action courante à l’ELU est la suivante : 1,35 G max + Gmin + 1,5 Q1 + iQi Les combinaisons les plus courantes : 1,35  G 1,35  G   1,5  Q  1,2  S ou W  ;   1,04  Q  1,5  S ou W  G G  

3.2. SOLLICITATIONS Les sollicitations sont les efforts provoqués, en chaque point et sur chaque section de la structure, par les actions qui s’exercent sur elle. Elles sont exprimées sous forme d’efforts (normal ou tranchants), de moment (de flexion ou de torsion). Les notations RDM sont les suivantes : N : effort normal

V : effort tranchant

M : le moment fléchissant

T : moment de torsion

Ces sollicitations sont calculées en utilisant les résultats de la RDM en considérant un comportement élastique linéaire et en négligeant les sollicitations dites du second ordre. 4. PRINCIPE DU CALCUL AUX ETATS LIMITES La justification d’une structure est l’aboutissement du processus suivant : - Inventaire des actions, - Détermination des actions concomitantes et calcul des combinaisons d’actions correspondantes, - Calcul des sollicitations pour chaque combinaison d’actions, - Justification des différents états limites. 4.1. PRINCIPE DES JUSTIFICATIONS  A chaque combinaison d’actions correspond une sollicitation agissante de calcul S a.  Pour chaque état limite, il existe une sollicitation résistante de calcul S r obtenue par une méthode de calcul en supposant que l’état limite est atteint (déformation limite pour l’ELU, contrainte limite pour l’ELS)  Pour chaque état limite et pour la combinaison la plus défavorable on doit vérifier que : S a  S r 4.2. INTRODUCTION DE LA SECURITE VIS-A-VIS DES MATERIAUX Pour le calcul des sollicitations résistantes, on utilise des coefficients partiels de sécurité; ils dépendent du matériau et de l’état limite considéré; on notera : s pour l’acier et b pour le béton. Ils interviennent sur les résistances caractéristiques des matériaux en les divisant.



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5. ETUDES ET PLANS DE BETON ARME Buts recherchés

Méthodes et documents

Calcul de la structure

Etude du projet de construction

Constructions

Eléments BA

Habitation

Planchers, voiles

Local scolaire

Escaliers, poutres

Bâtiment industriel

Poteaux, piles

Ouvrage d’art, etc.

Fondations, etc.

Détermination des actions Descente des charges :  Permanentes et variables

Définition de la structure porteuse

Documents dessinés Plans de situation, plan de masse, plans, Coupes et détails du bâtiment, coupes sur terrain après sondage

Documents écrits Descriptif des travaux, Quantitatif et estimatif CCTG et CCTP Règlement et normes

Applications des normes Valeurs nominales de certaines actions Textes et documents du projet

Recherche comparative et choix

 Etude des options possibles

 Analyse de la structure

 Prédimensionnement (du béton)

 Evaluation rapide des sections, des quantités de matériaux, des coûts pour effectuer un choix

 Evaluation rapide et choix selon critères prioritaires  Définition de la structure

Calcul des sollicitations

 Moyens : calculs manuel ou informatique

Procédés de calcul

 Calcul des réactions d’appuis

 Calcul informatique

 Calcul des efforts internes suivants les cas de charges dans les sections critiques

 Calculs manuels selon les cas rencontrés

 Obtention des courbes enveloppes (si besoin)

Calcul des sections et vérifications

Procédés de calcul

 Calcul des sections d’acier à l’état limite donné

 Calcul informatique avec les logiciels disponibles

 Vérification dans l’état limite complémentaire

 Calculs manuels selon les cas rencontrés

Dessins de coffrage et d’armatures

Production de documents

 Dessins d’exécution du béton

 Dessins manuels ou DAO

 Dessins d’exécution des armatures, nomenclature

 Notes de calcul et dispositions constructives

Contrôle à la mise en oeuvre

Suivi de chantier

 Respect des qualités du béton armé

 Essais sur éprouvettes de béton

 Respect dans les zones sensibles comme les zones de reprise et les nœuds de jonction entre éléments

 Contrôles des dispositions constructives réglementaires : enrobage, bétonnage correct, etc.


1. Le béton

8

CHAPITRE 2 : CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX

L’objectif de cette partie est de présenter les principales caractéristiques des matériaux utilisés en Béton Armé, puis les modèles adoptés pour conduire les calculs réglementaires. 1. LE BETON On se limitera ici aux aspects relatifs au comportement mécanique du béton. Pour les aspects relatifs à sa composition et à sa mise en oeuvre, on se référera au cours de Matériaux. Un béton est caractérisé par sa résistance caractéristique à la compression à j jours. La résistance caractéristique est obtenue à partir de la résistance moyenne obtenue et de l'écart type. Si des sollicitations sont exercées avant 28 jours on peut calculer la résistance caractéristique au jour considéré f cj. Pour des bétons non traités thermiquement :

fcj 

j  fc28 pour fc28  40 MPa 4,76  0,83  j

fcj 

j  fc28 pour fc28 > 40 MPa 1,40  0,95  j

1.1. A LA TRACTION A J JOURS : FTJ Elle est définie par la relation : ftj = 0,6 + 0,06 fcj (en MPa) en ftj = 0,17 + 0,10 fcj (en MPa) en Côte d’Ivoire 1.2. VALEURS UTILISEES DANS LES CALCULS On utilise le diagramme contrainte - déformation obtenu par les essais que l'on réduit et que l'on simplifie. A l'E.L.U. contrainte fcj

diagramme réel

fbu

diagramme réglementaire (parabole-rectangle)

déformation unitaire 0

2‰

bc

3,5 ‰

Fig. 2.1 : Définition du diagramme contrainte – déformation du béton à l’ELU La contrainte de calcul vaut : f bu  0,85  fcj

  b



9

0,85 tient compte des conditions de bétonnage. b est un coefficient de sécurité qui vaut : 1,5 dans le cas général 1,15 pour les combinaisons accidentelles est uncoefficient valant:

1 pour des charges appliquées plus de 24 heures 0,9 pour des charges appliquées entre 1 h et 24 h 0,85 pour des charges appliquées moins d'1 h.

Dans le cas général, on a donc : fbu  0,85  fc 28  0,57  fc 28 b

Lorsque la section n'est pas entièrement comprimée on peut utiliser le diagramme rectangulaire simplifié présenté à la figure 2.2 :  bc

fbu

yu

0,8yu

G

axe neutre contraintes

déformations

Fig. 2.2.: Diagramme rectangulaire simplifié de calcul à l’ELU du béton Où yu est la distance de l'axe neutre à la fibre la plus comprimée. A l'E.L.S. On utilise un diagramme linéaire car on reste dans le domaine élastique, la contrainte issible de compression du béton vaut :fbser = 0,6 fcj Selon le dosage et la classe du ciment les valeurs les plus

fcj

couramment utilisées sont en MPa (B. 1.1) :

 bc Eij  bc

fc28

|

16

|

20

|

25

|

30

ft28

|

1,56

|

1,8

|

2,1

|

2,4

fbu

|

9,1

|

11,3

|

14,2

|

17

fbser

|

9,6

|

12

|

15

|

18

1.3. DEFORMATIONS LONGITUDINALES DU BETON 1.3.1. Module de déformation longitudinale du béton (module d'Young) Pour des contraintes normales d'une durée d'application < 24 h (module instantané) :

Eij = 11000 fcj1/3

Pour des contraintes de longue durée (module de déformation différée) (Fluage et Retrait) : Evj = 3700 fcj1/3 Ce module est utilisé aux ELS pour les calculs de vérification de flèches ou de déformations. 1.3.2. Retrait Après coulage, une pièce de béton conservée à l’air tend à se raccourcir. Ceci est dû à l’évaporation de l’eau non liée avec le ciment et peut entraîner des déformations de l’ordre de 1,5.10-4 sur le littoral et 4.10-4 dans le Nord


2. Les Aciers (A 22)

10

selon l’humidité de l’environnement. La principale conséquence du retrait est l’apparition de contraintes internes de traction, contraintes dont la valeur peut facilement déer la limite de fissuration. 1.3.3. Fluage Sous chargement constant, la déformation du béton augmente continuellement avec le temps (voir figure 2.3). Le fluage se produit essentiellement dans la pâte de ciment. Cette déformation se stabilise au cours du temps.

Fig. 2.3 : Contrainte appliquée et déformation engendrée en fonction du temps pour un essai de fluage de béton Pour se protéger des désordres liés au retrait, on adoptera les dispositifs constructifs suivants : -

Utiliser des bétons à faible chaleur d’hydratation,

-

Maintenir les parements en ambiance humide après coulage,

-

Disposer des armatures de peaux de faible espacement pour bien répartir les fissures de retrait,

-

Eviter de raccorder des pièces de tailles très différentes,

-

Utiliser des adjuvants limitant les effets du retrait. 1.3.4. Coefficient de Poisson



= 0 pour le calcul des sollicitations (ELU) = 0,2 pour le calcul des déformations (ELS).

2. LES ACIERS (A 22) 2.1. PROPRIETES GENERALES Les aciers pour béton armé sont obtenus par tréfilage ou laminage à chaud. Ce sont des ronds lisses ou des ronds à surface crénelée ou crantée pour les aciers à haute adhérence. La réalisation de ces surfaces améliore l'adhérence entre l'acier et le béton et provoque un écrouissage qui améliore la résistance de l'acier. Ils sont livrés : . en barres de 10 à 12 m, . en rouleaux pour les petits diamètres, . en panneaux ou en rouleaux de treillis soudés.



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2.2. CARACTERES MECANIQUES Contrairement au béton, un acier a le même comportement à la traction et à la compression sauf s'il y a risque de flambement. Tous les aciers ont sensiblement le même module d'élasticité longitudinale qui est : Es = 2.105 MPa. Un acier est défini par sa limite d’élasticité garantie : fe en MPa. 2.2.1. Les produits du commerce Types d’aciers en barres Doux et lisses : 

Caractéristiques Dénomination

Types de treillis

Haute adhérence : HA

Lisses

Haute adhérence :

E 215

E 235

E 400

E 500

T.S.L

T.S.H.A

Limite élastique en MPa : fe

215

235

400

500

500

500

Résistance à la rupture en

330

410

480

550

550

550

14%

12%

8%

8% 1,5

MPa Allongement à la rupture

22%

Coefficient de scellement : s

1

1,5

1

Coefficient de fissuration : 

1

1,6

1

1,3 pour  < 6 mm 1,6 pour   6 mm Diamètres courants en mm

6 8 10 12

6 8 10 12 14 16 20 25 32 40

3,5 à 9

2.2.2. Diagramme contrainte-déformation r

s fe

O

Allongements

20

200

‰

s Diagramme de calcul :

fe fe/ s traction

Raccourcissements

fe/Es fe/ s.Es

compression

-fe

2.3. VALEURS A PRENDRE EN COMPTE DANS LES CALCULS A l'E.L.U. on tient compte d'un coefficient de sécurité : 

s

= 1,15 dans les cas courants = 1 pour les combinaisons accidentelles Dans le cas général, on a donc : fsu  fe

1,15


‰

-10 10

Allongements

3,5 à 12

2. Les Aciers (A 22)

12

A l'E.L.S. pour limiter l’ouverture des fissures, on limite la contrainte de traction des aciers tendus. En fonction de la destination de la structure (à découvert, à l’abri, en bord de mer), la taille des fissures sont plus ou moins nocives. 1) fissuration préjudiciable : éléments exposés aux intempéries ou à des condensations ou éléments pouvant être alternativement noyés et immergés en eau douce : 2 f f sser  min   f e ; max  e ;110    f tj 2 3

  

 : coefficient de fissuration = 1 pour les ronds lisses = 1,3 pour les armatures à haute adhérence de  < 6 mm = 1,6 pour les armatures à haute adhérence ≥ 6 mm. De plus : . le  des armatures les plus proches des parois est  6 mm, . Pour les dalles et voiles d'épaisseur e  40 cm, l'écartement des armatures d'une même nappe est  min [ 25 cm ; 2 e ], . les armatures de peau pour les poutres de grande hauteur ( 70 cm) ont une section > 1 cm2 par m de paroi.

2) fissuration très préjudiciable : éléments devant assurer une étanchéité ou éléments exposés à un milieu agressif (eau de mer, atmosphère marine telle que embruns et brouillards salins, eau très pure, gaz ou sols particulièrement corrosifs). 2 f f sser  0,8  min   f e ; max  e ;110    f tj 2 3

  

De plus : . le  des armatures les plus proches des parois est  à 8 mm, . Pour les dalles et voiles d'épaisseur e  40 cm, l'écartement des armatures d'une même nappe est  min [ 20 cm; 1,5 e ], . les armatures de peau pour les poutres de grande hauteur ont une section > 5 cm 2 par m de paroi, . Lorsque la partie tendue d'une poutre est constituée de barres de  > 20 mm, l'écartement de celles-ci dans le sens horizontal est  3 .

N.B : les armatures de peau devront être disposées dans la section de béton tendu

3) fissuration peu préjudiciable : autres cas. 

st = fe

(cette valeur correspond aussi à la condition de non fragilité)

Pour limiter la fissuration il convient : . de n'utiliser les gros  que dans les pièces suffisamment épaisses, Cours de Béton Armé – A. KONIN


13

. d'éviter les très petits  dans les pièces exposées aux intempéries, . de prévoir le plus grand nombre de barres compatible avec une mise en place correcte du béton. Le critère d’état limite de déformation n’est généralement pas prépondérant en béton armé et ne sera pas développé. TABLEAU DES CONTRAINTES DE CALCUL DE L’ACIER

Fe

215

fc28

20

235

25

30

20

400

25

30

20

25

500 30

20

25

30

fsu

fsser

FPP FP FTP 2.4. ETABLISSEMENT DU TABLEAU DES SECTIONS D’ACIERS : AS (, N) EN CM2 6

8

10

12

14

16

20

25

32

40

1

0,28

0,50

0,79

1,13

1,54

2,01

3,14

4,91

8,04

12,57

2

0,57

1,01

1,57

2,26

3,08

4,02

6,28

9,82

16,08

25,13

3

0,85

1,51

2,36

3,39

4,62

6,03

9,42

14,73

24,13

37,70

4

1,13

2,01

3,14

4,52

6,16

8,04

12,57

19,63

32,17

50,27

5

1,41

2,51

3,93

5,65

7,70

10,05

15,71

24,54

40,21

62,83

6

1,70

3,02

4,71

6,79

9,24

12,06

18,85

29,45

48,25

75,40

7

1,98

3,52

5,50

7,92

10,78

14,07

21,99

34,36

56,30

87,96

8

2,26

4,02

6,28

9,05

12,32

16,08

25,13

39,27

64,34

100,53

9

2,54

4,52

7,07

10,18

13,85

18,10

28,27

44,18

72,38

113,10

10

2,83

5,03

7,85

11,31

15,39

20,11

31,42

49,09

80,42

125,66

 Nbre

3. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES 3.1. PROTECTION DES ARMATURES [ART. A7.1] Afin d’éviter les problèmes de corrosion des aciers, il convient de les enrober par une épaisseur de béton suffisante. Cette épaisseur, l’enrobage, dépend des conditions d’exposition de l’ouvrage. L’enrobage e de toutes armatures est au moins égal à (… et toujours supérieur à : - 1 cm : locaux couverts non exposés aux condensations. - 3 cm : éléments exposés aux intempéries, condensations et liquide - 5 cm : atmosphère très agressive, mer, embruns.


4. Diagramme des trois pivots

14

3.2. GROUPEMENTS D’ACIERS [ART. A7.2] Les armatures sont souvent groupées en paquets. Mais leur disposition doit être compacte et opposer le minimum de gène lors du coulage du béton (en particulier à cause de la taille des granulats). Le diamètre des armatures longitudinales doit respecter la condition suivante  l  b / 10 . On retiendra les dispositions constructives suivantes:

Fig. 2.5 : Protection des armatures et conditions de bétonnage correct 3.3. POSSIBILITE DE BETONNAGE CORRECT 3.3.1. Diamètre maximal des aciers  Aciers longitudinaux : Pour les dalles et voiles d’épaisseur h, afin d’améliorer l’adhérence acier béton, on limite le diamètre des aciers longitudinaux à  l  h / 10 .  Aciers transversaux : Pour les poutres de hauteurs h, on limite le diamètre des aciers transversaux à b   h  t  min  ;  l ; 0  où b0 est la largeur de l’âme. 10   35 3.4. POUSSEE AU VIDE Il convient d’adopter un mode constructif qui permette d’éviter tout désordre engendré par la poussée au vide des armatures. On adoptera les dispositions présentées ci-dessous :

Fig. 2.6 : Dispositions à adopter pour se prémunir de la poussée au vide 4. DIAGRAMME DES TROIS PIVOTS 4.1. HYPOTHESES: . les sections droites restent planes, . il n'y a pas glissement entre les armatures et le béton, . la résistance du béton à la traction est négligée, Cours de Béton Armé – A. KONIN


15

. les déformations se font selon le diagramme des 3 pivots, avec comme limites : 10 ‰ pour l'allongement de l'acier (Pivot A) 3,5 ‰ pour le raccourcissement du béton en flexion (Pivot B) 2 ‰ pour le raccourcissement du béton en compression simple (Pivot C). 4.2. PRESENTATION DES DOMAINES Ce diagramme défini 3 domaines : Raccourcissements

Allongements

-3,5‰ -2‰

B

D

0,259d

3h/7 2

C

h

d

1 3 E

A

As

10‰

Domaine 1 : le diagramme des déformations e par le pivot A. L'acier est utilisé au maximum (allongement 10 ‰). Le raccourcissement du béton est compris entre 0 et -3,5 ‰. Ce domaine correspond à la flexion simple ou composée et à la traction simple (droite AD). Domaine 2 : le diagramme e par le pivot B. Le béton est utilisé au maximum (raccourcissement 3,5 ‰). L'acier est tendu ou faiblement comprimé (entre A et E). Ce domaine correspond à la flexion simple ou composée. Domaine 3 : le diagramme e par le pivot C. La déformation du béton est de 2‰. La section est entièrement comprimée en flexion composée ou en compression simple.


1. Aspect expérimental

16

CHAPITRE 3 : LIAISON ACIER - BETON

Le comportement de l’acier est bien connu et celui du béton également. Le béton armé étant une structure composite – béton et acier – il est nécessaire de bien connaître aussi le comportement de l’interface entre les deux matériaux. L’objectif est de : o de bien connaître les différents paramètres qui influencent le comportement de l’interface (f c28, HA, rond lisse) o de justifier une des hypothèses importantes des calculs en béton armé, à savoir qu’il n’y a pas de glissement des barres d’acier (b = s). 1. ASPECT EXPERIMENTAL L’adhérence de l’acier et du béton peut être mesurée sur un essai d’arrachement, dont le principe est présenté sur la figure 2.8 :

Fig. 3.1.a : Dispositif expérimental d’un essai d’arrachement

b. Courbes caractéristiques obtenues sur un acier HA et un rond lisse

A partir de ces essais, on obtient des courbes reliant le déplacement s du l’extrémité de l’acier à l’effort de traction F (la figure 3.1.b présente les courbes obtenues pour un acier HA14 et un rond lisse 14. Ces essais permettent de mettre en évidence l’influence : -

de la longueur ancrée,

-

du type d’acier (HA ou rond lisse),

-

de la qualité du béton

et ainsi de déterminer la valeur de la contrainte d’adhérence en fonction des conditions de l’essai. On définit un bon ancrage comme un ancrage où lorsque la barre commence à glisser, celle-ci vient d’atteindre la limite d’élasticité (s ≥ e ou F / As ≥ fe).



17

2. APPROCHE THEORIQUE L’action du béton sur la barre peut-être remplacée par une contrainte normale (serrage) et une contrainte tangentielle (adhérence). Si par ailleurs on suppose que cette contrainte d’adhérence s est constante le long de la barre, on obtient la modélisation présentée sur la figure 3.2. Si il n’y a pas de glissement,

Fig. 3.2 : Modélisation d’un essai d’arrachement : la barre dans le béton, la barre isolée avec les contraintes résultantes de l’action du béton, l’effort dans la barre L’équilibre selon x conduit à l’équation : Fext 



xB

xA

 s  u  dx   s  u  l AB ,

Où u est le périmètre utile de la barre et lAB la longueur de l’ancrage. 3. ANCRAGES 3.1. ANCRAGE RECTILIGNE On définit la longueur de scellement droit ls comme la longueur à mettre en oeuvre pour avoir un bon ancrage droit. Le bon ancrage étant un ancrage pour lequel le glissement a lieu au moment où le comportement de la barre entre dans le domaine plastique, on a : Fext  A s  f e au moment où la barre commence à glisser. En notant que l AB  l s , u     et A s     2 / 4 , on obtient : l s 

  fe 4  s

Dans la pratique les calculs d’ancrage sont réalisés à l’ELU et la valeur de la contrainte d’adhérence est donnée de façon forfaitaire (A.6.1,21) par :  su  0,6   2s  f tj , où le coefficient de scellement s vaut 1 pour les ronds lisses et 1,5 pour des aciers HA. On retiendra que la longueur de scellement droit l s dépend du type d’acier (via fe et s) et de la qualité du béton (via ftj ). Le BAEL propose d’adopter les valeurs forfaitaires suivantes (A.6.1,22, déconseillé): 40  pour un HA 400 ls   50  pour un HA 500 ou un rond lisse

Pour des aciers HA, on utilisera la figure 3.3 pour calculer la longueur de scellement droit l s. Chaque barre d’un paquet de barres sera ancrée individuellement. Pour ancrer les barres d’un paquet de deux barres il faudra prévoir 2 × ls et pour un paquet de trois barres (2 + 1,5) × l s, puisque la troisième barre a un périmètre utile de seulement 2     / 3 .


3. AncrAges

18

Fig. 3.3 : Evolution de la longueur de scellement droit en fonction de fcj 3.2. ANCRAGE COURBE Par manque de place, comme aux appuis de rives par exemple, on est obligé d’avoir recourt à des ancrages courbes afin de diminuer la longueur d’encombrement de l’ancrage. On pourrait aussi penser au gain d’acier, mais celui-ci est plus faible que le coût de la main d’oeuvre nécessaire au façonnage de l’ancrage. Donc, quand il n’y a pas de problème pour placer un ancrage droit, c’est cette solution qu’il faut adopter. Un ancrage courbe est composé de deux parties droites AB et CD de longueurs  et , respectivement, et d’une partie courbe BC de rayon de courbure R et d’angle . (voir figure 3.4).

Fig. 3.4 : Définition d’un ancrage courbe Efforts repris par les parties droites Par analogie à la partie précédente, on en déduit que FA  FB    su et

FC  FD  FC    su , FD = 0 car au bout le l’ancrage l’effort est nul. Effort repris par la partie courbe On s’intéresse ici à l’effort repris par la partie courbe. Pour cela, isolons un tronçon élémentaire d’ancrage d, comme indiqué sur la figure 3.5 :

Fig. 3.5 : Equilibre d’un tronçon élémentaire d’un ancrage courbe Cours de Béton Armé – A. KONIN


19

On distingue : - F l’effort axial dans l’armature au point N, - F +dF l’effort axial au point M, - dT et dN les efforts de entre l’armature et le béton, tels que dT =  dN, où  est le coefficient de frottement acier-béton (  0,4), -dA l’action due à l’adhérence le long de ds  R d , soit dA   su R d en supposant que la contrainte d’adhérence est constante le long de l’ancrage. L’équilibre du tronçon élémentaire conduit aux deux équations suivantes en projection sur les axes x et y : dA   dN  F cos d / 2  F  dF cos d / 2  0  dN  F sin d / 2  F  dF sin d / 2  0

sur x sur y

Comme d est très petit, on en déduit que cos (d / 2)  1, sin (d / 2)  d / 2 et dF d  0 . Les équations de l’équilibre se réduisent à :  su R d  dN  dF  dN  F d

sur x sur y

On en déduit une équation différentielle (du premier ordre avec second membre) vérifiée par F : dF  F   su R d

En intégrant cette équation entre les points B et C, nous obtenons : FB  FC   su R où   exp () et 

exp ()  1 qui permet de calculer l’effort repris pas la partie courbe de l’ancrage de rayon de courbure R et 

Effort total de l’ancrage courbe L’effort total repris par l’ancrage courbe vaut donc :

F  FA    su    su R   su  Si cet ancrage est un bon ancrage, on doit avoir F  FA   2 f e / 4 , d’où la formule permettant de calculer les dimensions d’un ancrage courbes , , R et  : l s    R   Où ls est la longueur de scellement droit de l’ancrage droit équivalent. On ne confondra pas l s à la longueur développée de l’ancrage courbe ld donnée par :     5,5 ld      R        3

pour un HA pour un rond lisse

Le BAEL propose d’adopter le crochet normal à 180° (A.6.1,253) de longueur d’encombrement de l’ancrage l a  0,4  l s pour des aciers HA (voir figure 3.6).

Fig. 3.6 : Définition de l’ancrage normal (A.6.1,253) Pour un HA 500 et un Béton B20, la longueur d’ancrage droit équivalent pour ce crochet est l a = 56, ce qui est légèrement supérieure à ls = 51 pour une longueur développée de seulement ld = 34.


4. Recouvrements et couvre-ts

20

4. RECOUVREMENTS ET COUVRE-TS Les longueurs commerciales des barres (12 m), imposées par les conditions de transport ne permettent pas d’armer les éléments de béton de grande longueur avec des barres d’un seul tenant. De plus, la réalisation d’un ouvrage comporte très souvent plusieurs phases de bétonnage, la liaison entre deux parties est assurée par des aciers en attente. Les barres devront donc se chevaucher sur une longueur lr appelée : longueur de recouvrement utilisant le béton comme agent de liaison. Ainsi, si c est l’entraxe des barres : Si c < 5  lr = ls Si c  5  lr = ls + c. Dans tous les cas de recouvrement, il est nécessaire de disposer des armatures de couture pour empêcher l’ouverture des fissures à 45°. Dans le cas des barres comprimées en permanence, il faudra toujours utiliser des jonctions rectilignes avec : lr = 0,6 ls. Et en utilisant au moins 3 nappes d’aciers de couture sur la longueur de recouvrement. 5. FAÇONNAGE DES ACIERS Afin de ne pas trop plastifier les aciers, il convient d’adopter des mandrins de façonnage dont les diamètres ne soient pas trop petits. On et qu’un cadre, un étrier ou une épingle soit plus plastifié au niveau des coudes que les ancrages d’une barre longitudinale.

Les ancrages courbes : Les rayons de courbure R des ancrages courbes de barres longitudinales doivent vérifier : R  3  pour un rond lisse de diamètre   R  5.5  pour un HA de diamètre 

Le rayon de courbure étant défini sur la fibre moyenne de la barre, le diamètre du mandrin à utiliser est D  2R  .

Les cadres, épingles et étriers : Pour les cadres, étriers et épingles, les rayons de courbures r sont : r  2  pour un rond lisse de diamètre   r  3  pour un HA de diamètre 

La figure ci-dessous permet de calculer les longueurs développées des cadres, étriers et épingles en acier HA, définis à partir de leurs cotes d’encombrement a et b.

Fig. 3.7 : Longueur développée des cadres, étriers et épingles


CHAPITRE 4 : MISE EN ŒUVRE DU BETON ARME

21


On supposera le béton déjà fabriqué  dans une usine de béton prêt à l’emploi  sur chantier * dans une centrale avec malaxeur, 

dans une bétonnière,



à la pelle.

1. TRANSPORT DU BETON 1.1. BETON PRET A L’EMPLOI En général l’usine de préfabrication est peu éloignée (30 à 45 mn) et le transport se fait par camion toupie (malaxeur à axe légèrement incliné sur l’horizontale de 4 à 6 m 3) ; il faudra comparer le temps de prise (2 à 3h) et celui mis pour le transport. 1.2. BETON CONFECTIONNE OU LIVRE SUR CHANTIER Pour des trajets de quelques centaines de mètres, on utilise des bennes automotrices ; il faut surveiller alors la ségrégation due aux vibrations de circulation (au besoin re-malaxer à l’arrivée). Dans la plupart des cas, une benne (500 à 1000 litres) suspendue à une flèche de grue ne pose pas de problème si sa forme est étudiée pour le déversement du béton dans le coffrage. Dans certains cas et selon les conditions économiques, on utilise une pompe à béton qui peut refouler le béton sur 100 à 200 m au maximum. 2. COFFRAGES 2.1. ORGANES CONSTITUTIFS DES COFFRAGES Peau

Etanchéité – aspect de surface

Raidisseurs

Résistance (poussée du béton) – indéformabilité géométrique

Stabilisateurs

Réglages de géométrie (horizontale et verticale) – sécurité par rapport au poids et au vent

2.2. DECOFFRAGE  possible : utiliser des coffrages démontables par morceaux ou des formes coniques (angle de dépouille de 5° environ)  facile : pulvériser un produit de décoffrage (huile, résine,…) 2.3. REEMPLOI DES COFFRAGES Il sera fonction de la nature de la peau : on utilise le bois brut en planches (1), le contreplaqué (10), la tôle métallique (3000). (x) indique le nombre moyen de réemplois.


3. Armatures

22

3. ARMATURES Elles pourront être stockées à l’air libre car quelques piqûres de rouille ne peuvent que contribuer à une meilleure adhérence. 3.1. PREFABRICATION EN CAGE C’est le cas général des poutres et poteaux tant que les problèmes de manutention (poids, rigidité) ne sont pas insurmontables. 3.2. ASSEMBLAGE SUR PLACE C’est le cas des dalles et voiles armés à l’aide de longues barres. 3.3. CALAGE Les cales en mortiers sont réservées pour les surfaces de coffrages horizontales alors que les distanciers en plastique le sont pour les faces verticales. On s’efforcera de choisir les distanciers présentant le minimum de surface d’appui sur le coffrage afin d’éviter les défauts de parements. 3.4. REPRISES DE BETONNAGE Il n’est jamais possible de couler un ouvrage avec un seul coffrage ; il est donc nécessaire de prévoir des surfaces de reprise de bétonnage traversées par des aciers en attente ; ceux-ci devront toujours présenter une longueur suffisante (égale ou supérieure à celle de scellement droit – sauf pour les éléments comprimés). 4. BETONNAGE 4.1. REMPLISSAGE DU COFFRAGE Pour éviter la ségrégation, le déversement s’effectue au moyen d’un plan incliné ou à l’aide d’une goulotte (tube ou demi tube) ; ensuite selon les dimensions, on utilise la pelle ou le râteau. 4.2. COMPACTAGE EN PLACE Afin de chasser l’air occlus dans le béton, il faut vibrer le béton dans toute sa masse : les frottements internes sont ainsi supprimés, les bulles d’air peuvent remonter en surface et les granulats se réarrangent pour donner un squelette plus compact. 4.3. FINITIONS Elles consistent à dresser le béton sur la surface libre supérieure à l’aide de règles s’appuyant sur des guides noyés dans le béton ou fixés sur le coffrage ; cette méthode permet d’obtenir une surface réglée. Par la suite et selon la destination de l’élément, on peut procéder au talochage, au lissage à la truelle, au bouchardage ou pratiquer des indentations à la truelle dans le cas de surface de reprise. 4.4. CURE DU BETON Par la suite, la prise du béton a lieu et l’eau en surface s’évapore plus ou moins lentement selon les conditions atmosphériques ; pour éviter ce dessèchement en surface qui provoquerait un retrait localisé donc des fissures, on réalise la cure du béton : cela consiste (au choix) à : o couvrir le béton avec des sacs en toile humide, o arroser en pluie fine en permanence, o pulvériser un produit de cure.



23

4.5. DECOFFRAGE Il devra être fait quand le béton aura suffisamment durci pour pouvoir se porter ; en moyenne on pratique les délais minimaux suivants : o 1 jour pour les murs et poteaux o 1 ou 2 jours pour les poutres préfabriquées o 1 semaine pour les éléments horizontaux coulés sur place mais en n’oubliant pas de placer des étais pendant encore 3 semaines. Pour diminuer ces délais, on peut utiliser un adjuvant accélérateur de prise ou étuver le béton ; ceci est très utilisé en préfabrication où l’immobilisation du coffrage est coûteuse. 5. PATHOLOGIE DU BETON ARME 5.1. ACIERS En présence d’air et d’eau, l’acier s’oxyde et on assiste à la formation de rouille expansive, celle-ci peut faire éclater le béton qui l’enrobe et permettre ainsi la progression de l’oxydation. Dans le béton, les alcalis du ciment créent un milieu basique (pH > 7), ce qui ive l’acier enrobé par ce béton ; donc tout va bien tant que le béton reste compact et sans fissures. Par contre dans le cas contraire, la carbonatation du béton rendue possible par la circulation de l’air (dans les fissures), fait chuter le pH et l’acier est déivé. Il faut tout de même noter que cette carbonatation est une réaction chimique très lente et très sensible à l’environnement atmosphérique. 5.2. BETONS On peut distinguer 3 types de défauts pour le béton :  Les fissures qui peuvent être  d’origine mécanique -résistance à la traction du béton déée,  dues au retrait de la pâte de ciment qui met les aciers en compression et le béton en traction,  dues aux tassements différentiels du béton frais dans son coffrage quand celui-ci présente des variations brusques de hauteur de coulage.  Les altérations de la pâte de ciment : la réaction de prise du ciment libère de la chaux libre, celle-ci peut être  dissoute par l’eau pure ou acide, son départ rend le béton poreux donc vulnérable,  attaquée par les sulfates (eau de mer, eaux séléniteuses dans le sol) qui forment avec la chaux du sulfoaluminate de calcium ou ettringite ; ce sel expansif provoque la destruction du béton par gonflement. Pour remédier à ces problèmes, il faut fixer la chaux en rajoutant de la pouzzolane broyée lors de la fabrication du ciment ou en utilisant un ciment au laitier (CLK).  une mise œuvre défectueuse : on peut rencontrer  des zones hétérogènes dues à une vibration insuffisante ou trop prolongée,  de la ségrégation en pied de mur ou poteau ou lors d’une reprise de coulage si la vibration a été mal faite,  du bullage dû à l’état de surface du coffrage,  des zones hétérogènes dues à une peau percée (effet de filtre).


6. Introduction au calcul

24

6. INTRODUCTION AU CALCUL 6.1. OBJECTIF DU CALCUL L’objectif de tout calcul est de définir les dimensions du coffrage ainsi que le ferraillage de tous les éléments d’une construction. 6.2. DIMENSIONNEMENT / VERIFICATION La notion d’états limites introduit un nombre important de conditions. Il faut en effet s’assurer que l’élément de structure étudié satisfasse les conditions imposées par l’Etat Limite de Service (ELS) mais aussi par l’Etat Limite Ultime (ELU). C’est pourquoi, le calcul de béton armé est basé sur le principe du dimensionnement / vérification. o Dans un premier temps, une phase de dimensionnement qui va permettre de déterminer une première valeur de section d’aciers. Ce dimensionnement résulte de l’application d’une seule des dispositions réglementaires. o Dans un deuxième temps, on vérifie que toutes les conditions réglementaires sont satisfaites. Ainsi dans le cas général, si le dimensionnement exploite une condition de l’ELS, la vérification sera réalisée avec les conditions de l’ELU ou vice-versa. 6.3. METHODOLOGIE DE CALCUL 1) Evaluation des actions et des combinaisons d’actions 2) Etude de résistance des matériaux à N, V et M et déformations en toute section de l’élément considéré 3) Détermination des courbes enveloppes et déduction des « sections dangereuses » (valeurs maximales des sollicitations) 4) Dimensionnement au droit de ces « sections dangereuses » des sections d’armatures à l’ELS (ou l’ELU) 5) Vérification de ces mêmes sections d’armatures à l’ELU (ou l’ELS) 6) Etablissement des plans d’exécution : armatures/coffrages


25

CHAPITRE 5 : LES TIRANTS ET LES POTEAUX


OBJECTIF 1- Déterminer les armatures dans une pièce tendue. Disposition rare et à éviter puisque le béton résiste mal à la traction. 2- Calculer un poteau dans les cas courants. L'étude de la flexion composée n'est pas abordée dans ce cours. 1. LES TIRANTS EN BETON ARME Les tirants sont des éléments de structure sollicités en traction simple. Ils servent à équilibrer des poussées horizontales (dans un arc) ou des actions verticales (suspentes). Ce sont des ouvrages à éviter à chaque fois que possible car le béton y est mal utilisé et a pour seule fonction de protéger les armatures. 1.1. HYPOTHESES 1 - Le centre de gravité des armatures longitudinales coïncide avec celui du béton et avec le point d'application de l'effort de traction. 2 - Les sections droites restent planes après déformation. 3 - Le béton tendu est négligé. L'effort normal est repris entièrement par les aciers. 4 - A l'ELU les aciers sont tendus à s = 10 ‰ et sont donc calculés pour une contrainte fsu = fe/s. A l'ELS la contrainte de traction de l'acier st est définie par les conditions de fissuration. 1.2. CALCUL DE LA SECTION D'ARMATURES LONGITUDINALES 1.2.1. Calculs à l'ELS Effort normal de traction : Ns = G + Q La section d’aciers vaut : A sser 

Ns fsser

(1)

1.2.2. Calculs à l'ELU Effort normal de traction : Nu = 1,35.G + 1,5.Q La section d’aciers vaut : A su 

Nu fsu

(2)

1.2.3. Condition de non-fragilité : (A42) Les armatures longitudinales doivent avoir une section suffisante pour er l'effort qui provoquerait la fissuration du béton lorsque la contrainte dans l'acier atteint sa limite d'élasticité f e. La condition de non-fragilité en traction simple est donc : A scNF 


B  ft 28 fe

(3)

26

2. LES Poteaux en compression centrée

1.2.4. Choix de la section Il faut prendre la plus grande des 3 valeurs précédentes (1), (2) et (3). Si la fissuration est peu préjudiciable l'ELU est prépondérant. Si la fissuration est très préjudiciable l'ELS est prépondérant. Si la fissuration est préjudiciable il faut calculer aux 2 états-limites.

Dans tous les cas il faut vérifier la condition de non-fragilité. 1.3. DISPOSITIONS REGLEMENTAIRES ET CONSTRUCTIVES 1.3.1. Armatures longitudinales - fissuration préjudiciable :  6 mm, écartement  4  si  20 mm - fissuration très préjudiciable :  8 mm, écartement  3  si  20 mm 1.3.2. Enrobage (A71) : 5, 3 ou 1 cm 1.3.2. Armatures transversales Pour maintenir en place les armatures longitudinales, il est nécessaire de disposer des armatures transversales telles que : t [h/35; b/10] Espacement  a

(a : plus petite dimension du tirant)

2. LES POTEAUX EN COMPRESSION CENTREE 2.1. DEFINITION Un poteau est une poutre droite verticale soumise uniquement à une compression centrée (N > 0 et M = 0). Le béton résistant très bien à la compression, il serait théoriquement inutile de placer des armatures. MAIS les charges transmises au poteau ne sont jamais parfaitement centrées (imperfections d’exécution, moments transmis par les poutres, dissymétrie du chargement). Pour ces raisons, on introduit des armatures longitudinales calculées de façon forfaitaire (car ces moments sont difficiles à estimer). Le risque de flambement des armatures longitudinales conduit à placer des armatures transversales (cadres, étriers ou épingles). D’un point de vue Réglementaire (B.8.2,1), le poteau est soumis à une compression centrée si :  l’excentricité de l’effort normal est petite (figure 5.1), noyau central

Poteau rectangulaire

R/8 R/4 R

Poteau circulaire

Fig. 5.1 : Définition de l’excentricité maximale de l’effort normal  l’imperfection de rectitude est inférieure à Max 1 cm ; l 0 / 500 ,  l’élancement  est inférieur à 70 (voir plus loin),


27


 la descente de charge pour chaque poteau tient compte de son propre poids, la charge des planchers qu’il e, la part de cloison reportée sous lui, le poids propre des poutres qui le chargent, le poids propre des murs et des couvertures s’il s’agit de poteau extérieur, les éléments spéciaux : escaliers, gaine de fumée, etc. Généralement les calculs de descente de charges sont faits en ettant que les poutres reposent à appuis simples sur les poteaux. Les calculs ainsi faits devront subir des majorations données par les règles BAEL 91 : en tenant compte de la loi de dégression des charges pour les bâtiments à étages à usage d’habitation. Dans le cas courant d’étages identiques, les charges d’exploitation sont affectées d’un coefficient variant de 1 à 0,5 par pas de 0,1 par planchers successifs à partir de l’étage sous terrasse et en descendant. D’une manière générale, la loi de dégression s’applique à un bâtiment à usage d’habitation à grand nombre d’étages où les occupations des divers niveaux peuvent être considérées comme indépendantes. On note Q 0 la valeur de référence de la terrasse, Qn la valeur de référence pour le plancher de l’étage n. La numérotation étant effectuée à partir du sommet. La surcharge n pour n  5 est donnée par :

n  Q0 

3 n 2n

in

 Q i i 1

2.2. ELANCEMENT D’UN POTEAU L’élancement d’un poteau est   l f / i , où i  I / B est le rayon de giration du poteau et l f sa longueur de flambement, déterminée à partir de la figure 5.2 pour un poteau isolé et de la figure 5.3 pour un bâtiment à ossature BA.

Fig. 5.2 : Définition de la longueur de flambement pour différentes conditions de liaison du poteau.

Fig. 5.3: Valeurs des longueurs de flambement des poteaux d’un bâtiment. Le tableau ci-dessous donne les valeurs du moment quadratique minimal I mini, de la section B, du rayon de giration i, ainsi que les valeurs du rapport de la longueur de flambement sur la dimension caractéristique de la section pour des valeurs d’élancement inférieur à 50, et pour les trois formes de section classiques. COURS DE BETON ARME – A. KONIN

28


2.3. JUSTIFICATION DES POTEAUX (B.8.4) La justification se fait à l’ELU. La section de béton étant entièrement comprimée, le diagramme des déformations e par le Pivot C (bc = sc = 20/00). 2.3.1. Effort normal résistant théorique Un section en béton armé de surface B, contenant une section d’acier A s, résiste théoriquement à un effort normal ultime de: Nuthéorique  B fbu  A s  0 , s 2 / 00

où  0 s2 /

00

 E s 2 0 00 est la contrainte dans les aciers pour une déformation de 20/00 correspondant au Pivot C du

diagramme de déformation. En fait, les règles BAEL apportent de nombreuses corrections qui:  pénalisent les poteaux de faible section en remplaçant B par une section réduite B r, obtenue en enlevant 1 cm de béton sur toute la périphérie de la section,  supposent que les charges sont appliquées bien après 28 jours (1,1 fc28 ),  tiennent compte du fait que les effets du second ordre (flambement) sont négligés, en minorant l’effort normal résistant par un coefficient de flambement  fonction de l’élancement   ettent que  s 20

00

 0,85 f e /  s

2.3.2. Effort normal résistant ultime  B r  fc 28 A f   s e s   0,9     b

Avec ces correctifs, l’effort normal ultime Nu d’un poteau doit être au plus égal à : Nu     0,85    2 1  0 , 2   / 35 Le coefficient  est fonction de l’élancement :   2  50     0,60       

pour

  50

pour

50    70

Lorsque plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours, il faut remplacer  par  / 1,10 . Lorsque la majeure partie des charges est appliquée avant 28 jours, fc28 est remplacée par fcj et  par  / 1,2 . Etant donné la forte décroissance de  en fonction de , il convient de choisir une valeur de l’élancement inférieure à = 50 et si possible, proche de  = 35. 2.4. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES ET RECOMMANDATIONS DIVERSES 2.4.1. Evaluation des charges verticales (B.8.1,1) Dans les bâtiments comportant des travées solidaires ées par des poteaux, il convient de majorer les charges calculées en ettant la discontinuité des travées de (voir figure 5.5) :  15% pour le poteau central d’une poutre à deux travées,  10% pour les poteaux intermédiaires voisins des poteaux de rive dans le cas d’une poutre comportant au moins 3 travées. Cours de Béton Armé – A. KONIN

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Pn-2 P1

P1

P2

1,15P2

P3

P3

Charges appliquées

Charges à prendre en compte

P1

P1

P2

1,1P2

Pn-1

P3

P3

Pn

Pn

Pn-2 1,1Pn-1

Fig. 5.4 : Effort normal à prendre en compte dans les poteaux ant une poutre continue 2.4.2. Section d’acier de calcul  Pour le calcul de Nu, les aciers pris en compte dans A s, sont les barres maintenues par des cadres espacés au maximum de 15 fois le diamètre des barres longitudinales (A.4.1,2),  les barres qui augmentent la rigidité dans le plan de flambement lorsque  > 35 (B.8.4,1 et voir figure 5.5).

Fig. 5.5 : Acier à prendre en compte pour le calcul de Nu. 2.4.3. Ferraillage minimal La valeur de As doit vérifier les conditions suivantes (A.8.1,2): 0,2 B  5B  A min  Max 4 cm 2 / m de longueur de paroi ;  As   100  100 

L’espacement c entre deux armatures longitudinales est au plus égal (A.8.1,22), comme indiqué sur la Figure 5.6 à

Fig. 5.6 : Espacement maximal des armatures longitudinales d’un poteau. La longueur de recouvrement (A.6.1,24) est au moins égale à l r  0,6 l s , où ls est la longueur de scellement droit. 2.4.4. Armatures transversales A.8.1,3 Le diamètre des armatures transversales est au moins égal au tiers du diamètre des armatures longitudinales:  t   l / 3 . Les armatures transversales sont espacées au maximum de 15l min ; 40 cm ; a. Il faut placer au moins 3 nappes d’armatures transversales dans les zones de recouvrement. 2.4.5. Remarque La relation précédente peut donner un résultat A < 0. Ceci signifie que le béton seul est capable de er N u. On applique alors les prescriptions suivantes. COURS DE BETON ARME – A. KONIN


30

Remarque : le ferraillage d'un poteau peut être réalisé en Treillis Soudé pourvu que les prescriptions précédentes soient respectées (voir documents ADETS). 2.5. PREDIMENSIONNEMENT D'UN POTEAU Les dimensions indiquées sur les plans d'architecte sont en général convenables et souvent surabondantes. 

Pour un prédimensionnement rapide, la section du poteau sera prise égale à : B  N / 10 Avec : N = nombre total de m² de planchers és par le poteau ; B = section en m².

Pour un prédimensionnement en fonction des sollicitations, on peut obtenir la section d'un poteau en divisant N u par fc28 et arrondir les dimensions aux valeurs inférieures. On vérifie ensuite les prescriptions réglementaires


31

CHAPITRE 6 : FLEXION SIMPLE – ARMATURES LONGITUDINALES


OBJECTIF 1- Calculer les armatures d’une section rectangulaire fléchie. C’est le calcul de base des poutres et dalles en béton armé. 2- Calculer les armatures longitudinales d'une section en T soumise à la flexion simple. 1. GENERALITES 1.1. DOMAINE D’APPLICATION Un élément est soumis à de la flexion simple si les sollicitations se réduisent à un moment fléchissant M et un effort tranchant V. Si l’effort normal N n’est pas nul, alors on parle de flexion composée. En béton armé on distingue l’action du moment fléchissant qui conduit au dimensionnement des aciers longitudinaux de l’action de l’effort tranchant qui concerne le dimensionnement des aciers transversaux (voir figure 6.1). Ces deux calculs sont menés séparément, et dans cette partie on se limitera aux calculs relatifs au moment fléchissant. Le chapitre suivant traitera des calculs relatifs à l’effort tranchant. Aciers transversaux

Aciers de construction

Aciers longitudinaux

Fig. 6.1 : Différentes armatures d’une poutre en béton armé Les éléments d’une structure soumis à de la flexion simple sont principalement les poutres, qu’elles soient isostatiques ou continues. Pour une poutre isostatique, le calcul des sollicitations M et V est simple, il est conduit en utilisant les méthodes de la résistance des matériaux (RDM). Pour une poutre continue, l’hyperstaticité rend les calculs plus compliqués et le BAEL propose deux méthodes qui permettent d’évaluer les sollicitations dans les poutres continues en béton armé. Ce qui suit est limité au calcul des sections rectangulaires et en Té. S’il apparaît nécessaire de placer des aciers comprimés dans une section de béton, c’est que son coffrage est mal dimensionné et il est préférable pour des raisons économiques, mais aussi de fonctionnement, de le modifier. 1.2. PORTEES DES POUTRES En béton armé, la portée des poutres à prendre en compte est (voir figure 6.2) :  la portée entraxe d’appuis lorsqu’il y a des appareils d’appui ou que la poutre repose sur des voiles en maçonnerie,  la portée entre nus d’appuis lorsque les appuis sont en béton armé (poutre principale, poteau ou voile). COURS DE BETON ARME – A. KONIN

32

2. Calculs à l’ELU

Fig. 6.2 : Définition de la portée d’une poutre On rappelle que tout ouvrage ou partie d’ouvrage doit être justifié vis-à-vis des ELU et des ELS. A cette fin, deux démarches sont possibles : -

un dimensionnement à l’ELU suivi d’une vérification à l’ELS,

-

un dimensionnement à l’ELS suivi d’une vérification à l’ELU.

Si une vérification n’est pas satisfaite, on procède à un redimensionnement à l’ELS ou à l’ELU selon le cas. Afin de limiter le risque de devoir redimensionner, il est préférable de choisir la bonne méthode. Pour cela, on peut considérer : -

pour la fissuration peu préjudiciable (FPP), le dimensionnement se fera à l’ELU ;

-

pour les autres types de fissuration, le dimensionnement se fera à l’ELS.

2. CALCULS A L’ELU 2.1. HYPOTHESES Les principales hypothèses du calcul des sections en BA soumises à la flexion simple aux ELU sont les suivantes : o Les sections planes restent planes, o Il n’y a pas de glissement à l’interface béton – armatures, o Le béton tendu est négligé, o L’aire des aciers n’est pas déduite de celle du béton, o L’aire des aciers est concentrée en son centre de gravité, o Le comportement de l’acier est défini par le diagramme contrainte – déformation de calcul, o En flexion simple la section est partiellement comprimée. Il est donc possible d'utiliser pour les contraintes du béton le diagramme rectangulaire simplifié,

Fig. 6.3 : Définition des diagrammes contrainte – déformation parabole – rectangle et simplifié dans le béton



33

2.2. NOTATIONS Pour les calculs aux ELU, on utilise les notations de la figure 6.4, où :  b et h sont la largeur et la hauteur de la section de béton.  As est la section d’acier, dont le centre de gravité est positionné à d de la fibre la plus comprimée du coffrage.  yu est la position de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée du coffrage.  st est la valeur de la contrainte de calcul des aciers, limitée à fsu.

Fig. 6.4 : Notations utilisées pour les calculs de flexion simple à l’ELU. 2.3 DROITES DE DEFORMATION - PIVOTS Pour les calculs à l’ELU, on suppose qu’un point de la droite de déformation dans la section est fixé. Ce point s’appelle le pivot. Soit il correspond à la déformation limite de traction dans les aciers st = 100/00 : c’est le Pivot A, soit il correspond à la déformation limite en compression du béton bcmax = 3,50/00 c’est le Pivot B. Toutes les droites de déformation comprises entre la droite (Pivot A, bcmax = 0) et (st =0, Pivot B) sont possibles, comme indiqué sur la figure 6.5. Le bon fonctionnement de la section de Béton Armé se situe aux alentours de la droite AB, car les deux matériaux -acier et béton travaillent au mieux.

Fig. 6.5 : Définitions des différentes droites de déformation possibles en flexion simple à l’ELU et des Pivots 2.4 EQUATIONS D’EQUILIBRE

L’équilibre de la section vis à vis de l’effort normal et du moment fléchissant conduit aux deux équations suivantes: COURS DE BETON ARME – A. KONIN

34

2. Calculs à l’ELU

Selon N : Nu  0,8 b y u fbu  A sc  sc  A st  st  0 Selon M : Mu  0,8 b y u fbu d  0,4 y u   A sc  sc d  d'  A st  st d  0,4 y u  2.5 ADIMENSIONNEMENT On définit les quantités adimensionnées suivantes :  

Mu yu la hauteur réduite et   le moment ultime d b d 2 f bu

réduit. Il vient d’après les équations d’équilibre :   0,8  1  0,4   .



La hauteur réduite est solution de l’équation du second degré précédente :   1,25 1  1  2 



2.6 CALCUL DES SECTIONS D’ACIER 2.6.1. Section rectangulaire sans acier comprimé Dans la phase de calcul des aciers, les inconnues sont : A st, st, d et yu. Afin d’éliminer une inconnue, on fait l’hypothèse complémentaire d  min 0,9 h ; h  e  3 cm. On calcule le moment ultime réduit , puis . Le Pivot et la contrainte dans les aciers tendus sont déterminés à partir de l’abaque de la figure 6.6, en fonction de la valeur de .

Fig. 6.6 : Valeurs de , du pivot et de la contrainte dans les aciers en fonction de  Si s  e, alors les aciers sont mal utilisés (st  fsu), on devra donc s’attacher à ce que s soit compris entre e et 100/00. De plus, l’expérience montre que, pour que la section d’aciers calculée à l’ELU satisfasse une vérification à l’ELS, il faut que s reste supérieure à 5,250/00. Ainsi, la valeur de r est pris égale à 0,269 (r = 0,667). Si  > r les aciers ne travaillent pas de façon optimale (domaine élastique), il est préférable d’apporter une modification à la section pour permettre la plastification de l’acier. Une solution consiste à placer des aciers comprimés. 2.6.2. Section rectangulaire avec aciers comprimés C’est le cas où  est supérieur à r. La valeur de r (obtenue pour  r   bc /( bc  5,25) ) correspond à une valeur du moment de référence Mr telle que M r   r b d 2 f bu . Les aciers comprimés doivent équilibrer, avec un complément d’aciers tendus, la part de moment excédant Mr comme indiqué sur la figure 6.7.


35


bc N' s A'

+

= A

Mu

Nb

A'

A1

=

Mc

+

d-d' A2

Ns

Mu - Mc

Fig. 6.7 : Principe du dimensionnement avec acier comprimé La section d’aciers A  s1

M  Mr Mr est calculée comme exposé plus haut. Par ailleurs A s 2  et la d  d' f su f su  d 1  0,4   r 

section d’aciers tendus vaut : A s  A s1  A s 2 . La section d’aciers comprimés est donnée par : A sc 

M  Mr .  sc d  d'

La contrainte sc dépend de la déformation relative des aciers comprimés qui se calcule à partir du diagramme des déformations par :  sc   r  d ' / d   bc .

r

Un organigramme de dimensionnement à l’ELU est proposé à la fin du chapitre. 2.7 PREDIMENSIONNEMENT Pour un prédimensionnement rapide de la hauteur du coffrage (la section de béton), on se place sur la droite de M déformation AB ( = 0,186), d’où b d 2  avec d  0,9h et b  0,3h 0,186 fbu 2.8. REMARQUES 1) Actuellement les projeteurs n'aiment pas placer d'armature comprimée. Ils préfèrent augmenter la section de la poutre, sans doute pour des raisons d'économie, de difficultés de mise en place des armatures comprimées, du risque d'oubli sur chantier surtout lorsque les soffites sont préfabriqués et aussi à cause de la nécessité de ligaturer ces armatures tous les 15. 2) A partir de µ > 0,200, si l'on ne dispose pas de tableau pour déterminer µ l, il faut vérifier la section à l'ELS et éventuellement la recalculer avec des armatures comprimées ou en augmentant la section. 3. CALCULS A L’ELS 3.1. HYPOTHESES Les principales hypothèses du calcul des sections en BA soumises à de la flexion simple aux ELS sont les suivantes: 

Les sections planes restent planes,



Il n’y a pas de glissement à l’interface béton - armatures,



Le béton et l’acier sont considérés comme des matériaux élastiques,



Le béton tendu est négligé,



L’aire des aciers n’est pas déduite de celle du béton,



L’aire des aciers est concentrée en son centre de gravité,



Le coefficient d’équivalence n  E s / E v j est fixé forfaitairement à n = 15.


36

3. Calculs à l’ELS

3.2 NOTATIONS Pour les calculs aux ELS, on utilise les notations définies sur la figure ci-dessous, où: 

b et h sont la largeur et la hauteur de la section de béton,



As est la section d’acier, dont le centre de gravité est positionné à d de la fibre la plus comprimée du coffrage.



Y1 est la position de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée du coffrage.

Fig 6.8 : Notations utilisées pour les calculs en flexion simple à l’ELS. 3.3 EQUATIONS DE L’EQUILIBRE

Fig 6.9 : Diagrammes de déformations relatives et de contraintes à l’ELS L’équilibre de la section vis à vis de l’effort normal et du moment fléchissant conduit aux deux équations suivantes: Selon N : Nser  0,5 b y 1 fbser  A sc  sc  A st  st  0 Selon M:

Mser  0,5 b y 1 fbser d  y 1 / 3  A sc  sc d  d'

 A st  st d  y 1 / 3 3.4. DIMENSIONNEMENT ET VERIFICATION Pour le calcul de la section d’aciers (dimensionnement) ou le calcul des contraintes maximales (vérification), on adoptera la démarche présentée dans le tableau de la figure 6.10. Pour un calcul rapide, on pourra utiliser l’abaque de la figure 6.11.



37

Fig. 6.10 : Etapes du dimensionnement des sections d’acier et de la vérification des contraintes à l’ELS 4. CAS DES SECTIONS EN TE 4.1. POURQUOI DES SECTIONS EN TE ? Les poutres en béton armé d’un bâtiment ent souvent des dalles. Il est alors loisible de considérer que la dalle ée par la poutre reprend une partie des contraintes de compression induites par la flexion de la poutre. Attention, ceci n’est vrai que si la dalle est comprimée, c’est-à-dire si la poutre subit un moment positif. Donc, pour une poutre continue, seule la partie en travée est concernée et sur appui il faudra considérer une poutre rectangulaire de largeur, la largeur de l’âme. Le BAEL (A.4.1,3) définit la largeur du débord à prendre en compte de façon forfaitaire (voir figure 6.12), comme au plus égale à : 

le dixième de la portée de la poutre,



les deux tiers de la distance de la section considérée à l’axe de l’appui le plus proche,



la moitié de la distance entre deux poutres ant la même dalle.

On peut aussi rencontrer des poutres en béton armé de sections en T (ou en I) sur des charpentes industrielles. Dans ce cas, la largeur du débord est donnée par la géométrie de la section de béton.


4. Cas des sections en Té

38

Fig 6.11 : Abaques de dimensionnement et de vérification en flexion simple à l’ELS


39


Fig. 6.12 : Dimensions des débords à prendre en compte pour le calcul d’une poutre en T 4.2. FONCTIONNEMENT DES SECTIONS EN T On utilise les notations définies sur la figure 6.13. Que l’on soit à l’ELU ou à l’ELS, la façon de traiter le calcul est identique (en gardant bien sûr les hypothèses de l’état limite considéré). On traitera donc ici les deux états limites en parallèle.

Fig. 6.13 : Notations utilisées pour le calcul d’une poutre en Té On distinguera deux cas, selon que l’axe neutre est compris dans la table de compression ou non : 

L’axe neutre est dans la table de compression. On a donc yu ≤ h1 (ou y1 ≤ h1 `a l’ELS). Le béton tendu étant négligé, la poutre en T se calcule exactement comme une poutre rectangulaire de largeur b, à l’ELU ou à l’ELS.



L’axe neutre est sous la table de compression. On a donc yu > h1 (ou y1 > h1 à l’ELS). Une partie de la contrainte normale est reprise par la table de compression de largeur b, l’autre par une partie de l’âme de largeur b0 et de hauteur 0,8 y u  h1 `a l’ELU (y1 - h1 à l’ELS).

Détermination a posteriori C’est le calcul recommandé. En effet dans 99% des cas, une poutre en T se calcule comme une poutre rectangulaire. On fera donc le calcul de la poutre en T comme si c’était une poutre rectangulaire de largeur b. On vérifiera a posteriori que y u ≤ h1 (ou y1 ≤ h1 à l’ELS). Si cette condition n’est pas vérifiée, il faut refaire le calcul avec les hypothèses d’une poutre en T (voir plus loin). Détermination a priori Ce n’est pas le calcul recommandé, pour les raisons données plus haut. On calculera en préambule le moment résistant de la table défini comme le moment que peut reprendre la table si elle est entièrement comprimée (0,8yu = h1 à l’ELU Mtu  b h1 fbu d  h1 / 2 à l' ELU  à l' ELS Mtser  0,5 b h1 fbser d  h1 / 3 COURS DE BETON ARME – A. KONIN

ou

y1

=

h1

à

l’ELS).

Ce

moment

vaut

:

40

4. Cas des sections en Té

4.3. CALCUL DES VRAIES SECTIONS EN T Avant d’entamer ce calcul on regardera s’il n’est pas possible de modifier le coffrage de la poutre (h et/ou h 1) de telle sorte que l’axe neutre se retrouve dans la table de compression. C’est de loin la meilleure solution, car si l’axe neutre est en dessous de la table, cela veut dire que la poutre risque de ne pas vérifier les conditions de flèches maximales. A l’ELU : Les calculs à l’ELU sont conduits en soustrayant au moment fléchissant à reprendre M u le moment fléchissant repris par les débords du hourdis Mutable, comme indiqué sur la figure 6.14. On ramène donc au calcul de deux sections rectangulaires, l’une de largeur b - b0 et l’autre de largeur b0.

Fig. 6.14 : Principe du calcul de la section d’acier pour une poutre en Té à l’ELU Les étapes du calcul sont les suivantes : 1. calcul de la part de moment repris par les débords de la table : Mutable  b  b0  h1 fbu d  h1 / 2 2. calcul de la part de moment que doit reprendre l’âme : Muâme  Mu  Mutable 3. calcul classique de la section d’acier à prévoir pour reprendre Muâme (calcul du moment ultime réduit , de  et de fsu). 4. calcul de la section d’acier à mettre en place Ast = Aâme + Atable, avec :

A table 

Mutable Mu  Mutable et A âme  fsu d 1  0,4   fsu d  h1 / 2

A l’ELS : A l’ELS le problème est un peu plus complexe puisque les contraintes dans le béton varient linéairement. Ainsi, on ne peut pas connaître a priori la valeur de la résultante du béton comprimé qui dépend de la position de l’axe neutre y1. Pour résoudre ce problème, on décompose la résultante des contraintes de compression du béton en deux résultantes fictives : Nbc1 et Nbc2 comme indiqué sur la figure. Nbc1 est la résultante de la poutre fictive rectangulaire équivalente et Nbc2 est la partie reprise par le béton fictif sous la table de compression. En notant K la pente de la droite des contraintes dans la section  y = Ky, on a : Nbc1  0,5 K b y12  2 Nbc2  0,5 K b  b0 y1  h1 

Fig. 6.15 : Principe de calcul d’une poutre en T à l’ELS Les équations de l’équilibre s’écrivent alors : Cours de Béton Armé – A. KONIN

41


Nbc1  Nbc2  A st st  0  2 2  y1 Nbc1  y1  h1  Nbc2  d  y1  A st st  Mser 3 3

selon N selon M sur l' axe neute

De plus, comme pour le calcul d’une section rectangulaire, on adoptera st = fsu pour minimiser la section d’acier. Comme pour les sections rectangulaires, l’équation de compatibilité des déformations fournit une équation supplémentaire reliant les contrainte via la pente K de la droite des contraintes st = n K(d - y1) et bcmax = Ky1. On a donc trois inconnues y1, bcmax et Ast pour trois équations, et on peut résoudre ce système. On prendra garde de vérifier en fin de calcul que bcmax ≤ fbser = 0,6 fcj. 5 CONDITION DE NON FRAGILITE La condition de non fragilité conduit à placer une section minimum d’armatures tendues pour une dimension de coffrage donnée. Une section de béton armé est considérée comme non fragile si le moment fléchissant entraînant la fissuration de la section de béton conduit à une contrainte dans les aciers au plus égale à leur limite d’élasticité garantie (A.4.2). On évalue la sollicitation de fissuration en considérant la section de béton seul soumise à une contrainte normal variant de façon linéaire sur toute la section et en limitant les contraintes de traction à ftj. En flexion simple, pour une poutre rectangulaire de dimension b x h, la contrainte maximale de traction vaut : M h h bt max  b     fiss  ftj , où Ib  b h3 / 12 est le moment quadratique de la section de béton non armé non 2 I   b 2 fissuré. On en déduit Mfiss 

ftj b h2 6

. La condition de non fragilité suppose que lorsque la section de béton armé est

soumise à Mfiss, alors la contrainte dans les aciers vaut au plus fe, soit comme le moment dans la section est égale à : M  A st fe zb , on obtient la relation suivante donnant la section minimale d’acier vérifiant la condition de non fragilité :

ftj b h2 6

 A min fe zb .

Si, de plus, on suppose que zb ≈ 0,9 d ≈ 0,92 h ; la condition de non fragilité s’écrit (A.4.2,2) : A min  0,23 b d


ftj fe

42

6. Organigramme de calcul à l’ELU des poutres de section rectangulaire

6. ORGANIGRAMME DE CALCUL A L’ELU DES POUTRES DE SECTION RECTANGULAIRE

Données b, h, Mu, fe, fc28 r = 0,269

Caractéristiques de la section d ≈ min (0,9h; h – e – 3 cm) fbu 

0,85 fcj b

fsu 

fe s

Moment réduit Mu  b d2 fbu   r



  1,25 1  1  2  z  d 1  0,4  



d'  e  2 cm Mr  r b d2 fbu



r  1,25 1  1  2 r zr  d 1  0,4 r 

As 

Mu z fsu

Section des aciers tendus A st 

- Vérification / Dimensionnement ELS - Condition de non fragilité - Dispositions constructives


Mr M  Mr  u zr fsu d  d' fsu

Section des aciers comprimés A sc 

Mu  Mr

d  d' 

sc

sc  f ( sc );  sc 

 r  d' / d r 1  d' / d



43


7. ORGANIGRAMME DE CALCUL A L’ELS DES POUTRES DE SECTION RECTANGULAIRE

Données b, h, Mser, fe, fc28 Caractéristiques de la section d ≈ min (0,9h; h – e – 3 cm) r 

n fbser n fbser  fsser

Mser  0,5 b d2 fbser r 1  r / 3

Mser  Mr

 ser 

n Mser b d2 fsser

Section des aciers tendus

  3   6  ser   1  0 3

2

A st 

Mser  Mr Mr  d  d' fsser z r fsser

Section des aciers comprimés A sc 

As 

Mser z fsser

 sc  n

- Vérification / Dimensionnement ELU - Condition de non fragilité - Dispositions constructives


Mser  Mr d  d'  sc



r

 d' / d fbser r

8. Organigramme de calcul à l’ELU des poutres de section en Té

8. ORGANIGRAMME DE CALCUL A L’ELU DES POUTRES DE SECTION EN TE


44


9. ORGANIGRAMME DE CALCUL A L’ELS DES POUTRES DE SECTION TE


45

1. Principe de justification de l’effort tranchant

46

CHAPITRE 7 : FLEXION SIMPLE – ARMATURES TRANSVERSALES

Il s’agit de la justification sous effort tranchant et moment de torsion (s’il en existe). Pour ces types de sollicitations, le BAEL n’impose aucune justification à l’ELS.

OBJECTIF Calculer les armatures transversales en se limitant au cas courant des armatures "droites". 1. PRINCIPE DE JUSTIFICATION DE L’EFFORT TRANCHANT L'effort tranchant est maximum sur les appuis. En étudiant l'équilibre d'un prisme élémentaire on constate l'existence de bielles comprimées à 45° encadrées par des fissures.

Fig. 7.1 : Action de l’effort tranchant sur une poutre en béton armé Les modes de rupture possibles par effort tranchant vont conduire à envisager les états limites principaux suivants : 1. Traction limite des armatures d’âme ou armatures transversales 2. compression limite des bielles de béton comprimées limitées par deux fissures à 45° 3. traction limite des aciers longitudinaux existants.



47

2 –DIMENSIONNEMENT DES SECTIONS SOUS SOLLICITATIONS D’EFFORT TRANCHANT (A.5.1,2) Tous les calculs sont menés à l'E.L.U. 2.1. CONTRAINTE TANGENTE CONVENTIONNELLE (A.5.1,1) La contrainte tangente conventionnelle utilisée pour les calculs relatifs à l’effort tranchant est définie par : V u  u où Vu est l’effort tranchant à l’ELU dans la section, b0 la largeur de l’âme et d ≈ 0,9h la position des b0 d aciers tendus. 2.2. ELU DES ARMATURES D’AME (A.5.1,23) Le rapport de la section At sur l’espacement st des armatures transversales doit vérifier l’inégalité suivante:





u  0,3 ftj k At s  où b0 s t 0,9 fe cos   sin  



b0 est la largeur de l’âme,



fe est la limite d’élasticité garantie des armatures transversales,



 est l’angle d’inclinaison des armatures transversales ( = 90° si elles sont droites),



k est un coefficient qui vaut: - k = 1 en flexion simple, - k  1  3 cm / fcj en flexion composée avec compression (cm contrainte moyenne de compression), - k  1  10  tm / fcj en flexion composée avec traction (tm contrainte moyenne de traction), - k = 0 si la fissuration est considérée très préjudiciable ou si il y a une reprise de bétonnage non traitée, - k ≤ 1 si la reprise de bétonnage est munie d’indentations dont la saillie atteint au moins 5mm.

En flexion simple, on utilise souvent la formule simplifiée (armatures droites, participation du béton en traction A Vu négligée) : t  s t 0,9 d fsu 2.3. ELU DU BETON DE L’AME (A.5.1,21) La contrainte tangente conventionnelle ¿u doit vérifier (dans le cas où les armatures sont droites) :  0,2 fcj  ; 5 MPa  En Fissuration peu préjudiciable : u  min   b 

Dans les deux autres cas

 0,15 fcj  ; 4 MPa : u  min   b  

2.4. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES Pourcentage minimal d’armatures transversales (A.5.1,22) Il faut vérifier : s t  min 0,9 d ; 40 cm et

A t fe  0,4 MPa b0 s t

Diamètre des aciers transversaux (A.7.2,2) Il faut vérifier : t  min l ; h / 35 ; b0 / 10 2.5. JUSTIFICATION DES SECTIONS D’APPUIS (A.5.1,3) Appui de rive

Effort de traction dans l’armature inférieure : COURS DE BETON ARME – A. KONIN

2 –Dimensionnement des sections sous sollicitations d’effort tranchant (A.5.1,2)

48

On doit prolonger les armatures inférieures au delà du bord de l’appui et y ancrer une section d’armatures longitudinales suffisantes pour équilibrer l’effort tranchant sur l’appui Vu0, soit : A s tan crée  Vu0 / fsu

Ancrage des armatures inférieures : On doit déterminer le type d’ancrage des armatures inférieures (droit ou par crochet). Pour cela, on calcule la longueur de l’ancrage droit nécessaire l  Vu0 /ns   su  Où ns est le nombre de barres ancrées. Si l ≤ a alors un ancrage droit est suffisant, sinon il faut prévoir des crochets (voir la figure 7.2 pour la définition de a).

Fig. 7.2 : Définition de la largeur a de la bielle de compression au niveau d’un appui Dimension de l’appui : La contrainte de compression dans la bielle doit vérifier : bc 

fcj 2 Vu0  0,8 a b0 b

Où la grandeur a est définie sur la figure 7.2. Appui intermédiaire

Ancrage et bielle d’appui :  Mu   / fsu (à vérifier de chaque coté de l’appui; Mu en valeur algébrique) Il convient d’ancrer une section A st   Vu  0 ,9 d  

Pour la contrainte de compression, il faut effectuer la même vérification que pour un appui simple mais de chaque coté de l’appui (Vu à gauche et à droite de l’appui).

Surface de l’appui : Si Ru est la réaction totale d’appui, il faut vérifier :

fcj Ru  1,3 sec tion d' appui b

2.6. REPARTITION DES ARMATURES TRANSVERSALES Pour déterminer la section d’acier transversale et l’espacement des cadres, il faut procéder de la manière suivante (voir figure 5.3) : 

Pour des raisons de mise en oeuvre, les espacements st sont choisis dans la suite de Caquot (non obligatoire, mais conseillé) : 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 13 - 16 - 20 - 25 - 35 - 40



On se fixe la valeur de la section d’armature transversale At, ce qui revient dans les faits à choisir le diamètre des armatures transversales (avec t  l / 3  min h / 35 ; b0 / 10 ; l  . Pour des facilités de mise en oeuvre, on placera des cadres identiques sur toute la travée.



On détermine l’espacement s t 0  zb fsu A t / Vu sur l’appui, et le premier cadre est placé à st0/2 du nu de l’appui.



On détermine la répartition des armatures transversales suivantes de façon à avoir un effort tranchant résistant VuR(x) qui enveloppe la courbe de l’effort tranchant à reprendre Vu(x). Pour cela, on peut



49

procéder graphiquement sur le diagramme de l’effort tranchant en reportant les valeurs des efforts tranchants résistants VuRi  zb fsu A t / s ti pour les différents espacements sti de la suite de Caquot supérieurs à st0 . On répète autant de fois que nécessaire l’espacement sti, jusqu’à pouvoir adopter l’espacement suivant sti+1 dans la suite de Caquot (voir exemple ci-dessous). On doit par ailleurs vérifié que l’espacement maximal reste inférieur à min 0,9 d ; 40 cm ; A t fe /0,4 b0 . 

Pour une travée, la cotation de l’espacement des cadres se fait à partir des deux nus d’appui, ce qui permet de ne pas coter l’espacement central qui, a priori, peut ne pas comporter un nombre entier de centimètres.

Fig. 7. 3 : Exemple de tracé de la répartition des cadres dans une poutre en fonction de la courbe enveloppe de l’effort tranchant.

3. VERIFICATIONS DIVERSES LIEES A L’EXISTENCE DE L’EFFORT TRANCHANT 3.1. ENTRAINEMENT DES ARMATURES (A.6.1,3) La brusque variation de la contrainte de cisaillement longitudinal au niveau de l’armature tendue peut conduire à un glissement de la barre par rapport au béton. Il convient donc de s’assurer que l’effort tranchant résultant Vu est équilibré par l’adhérence se développant au acier-béton pour les différentes armatures isolées ou paquets d’armatures. Chaque armature isolée (ou paquet d’armatures) d’aire Asi et de périmètre utile ui reprend une fraction A si / A st de l’effort tranchant, avec Ast la section totale des aciers longitudinaux tendus. L’effort normal dans l’armature i vaut donc : Nsti  Asti Vu / Ast . Cet effort de traction Nsti doit être équilibré par la contrainte d’adhérence d’entraînement se entre l’armature et le béton sur une longueur zb (hypothèse du fonctionnement selon un treillis de Ritter-Mörsch), soit : se zb ui  Asi Vu / Ast . Où le périmètre utile ui est défini sur la figure 7.4.

Fig. 7.4 : Définition du périmètre utile d’un paquet de barres. COURS DE BETON ARME – A. KONIN

4. Règles des coutures généralisées (A.5.3)

50

Il faut vérifier pour chaque paquet de barres que la contrainte d’adhérence se reste inférieure à la valeur limite ultime se,u (A.6.1,3):

se 

 s  1 pour les ronds lisses , Vu A si  se ,u   s ftj , avec 0,9 d ui A st  s  1,5 pour les aciers HA.

3.2. DECALAGE DE LA COURBE DU MOMENT FLECHISSANT (A.4.1,5) La règle du décalage tient compte de l’inclinaison à ≈ 45° des bielles de béton comprimé : l’effort de traction Ns dans les aciers est constant sur une longueur z b (fonctionnement simplifié selon un treillis de Ritter-Mörsch comme décrit sur la figure 7.5). Par conséquent, l’effort agissant dans l’armature doit être évalué en prenant en compte le moment fléchissant agissant à une distance zb de la section considérée.

Fig. 7.5 : Fonctionnement de la section de béton armé selon un treillis de Ritter-Mörsch Pour tenir compte de ce décalage, le BAEL propose de décaler horizontalement de 0,8h (zb ≈ 0,9d et d ≈ 0,9h) dans le sens défavorable la courbe des moments fléchissants, ce qui revient à rallonger de 0,8h les deux côtés des aciers longitudinaux. 4. REGLES DES COUTURES GENERALISEES (A.5.3) 4.1. REGLE GENERALISEE

Tout plan soumis à un effort de cisaillement doit être traversé par des armatures de couture totalement ancrées de part et d’autre de ce plan, faisant un angle d’au moins 45° avec lui et inclinées en sens inverse de la direction probable des fissures du béton. Si les actions tangentes sont susceptibles de changer de sens, les armatures de couture doivent être normales au plan sur lequel s’exercent les actions. 4.2. SECTION D’ACIER DE COUTURE Considérons un élément d’aire dP  p dx du plan [P], de largeur dx et de profondeur p, situé entre deux fissures et traversé par une armature de couture. Le plan [P] est supposé soumis à un effort de cisaillement g par unité de longueur et à une contrainte uniforme de compression (ou traction) u perpendiculairement à [P] (voir figure 7.6). L’élément d’aire dP est donc soumis aux efforts suivants : - un effort de cisaillement g dx contenu dans [P], - un effort de compression p dx u normal à [P], - un effort de compression dFbc incliné de  par rapport à [P] provenant des bielles de béton comprimé, - un effort de traction dFdt incliné de par rapport à [P] provenant des armatures de couture.


51


Fig. 7.6 : Equilibre d’une surface élémentaire du plan [P]. La projection de ces efforts sur [P] et perpendiculairement à [P] conduit aux deux équations suivantes : dFst sin     g dx sin   p u dx cos   dFbc sin     g dx sin   p u dx cos 

Les armatures de couture doivent équilibrer par mètre de longueur du plan [P] un effort :

dFst A t A  st  t fsu dx st st

Dans les cas habituellement rencontrés en BA (armatures de couture perpendiculaires au plan [P]), ce qui conduit A f à la formule simplifiée (commentaire du A.5.3,12 ) : t su  u  u p st Connaissant la contrainte de cisaillement u, il est donc possible d’en déduire la section At et l’espacement st des aciers de couture. La valeur de u dépend du type de plan [P] que l’on considère (plan de l’âme, liaison hourdis/âme, liaison talon/âme,…). 4.3. LIAISON HOURDIS/AME Considérons une poutre en T, dont la table de compression de largeur b est supposée symétrique (voir figure 7.7). Il se produit dans cette table des contraintes de cisaillement parallèlement et perpendiculairement aux faces verticales de l’âme. Il y a donc un risque de séparation entre la table de compression et l’âme de la poutre.

Fig. 7.7 : Notations et équilibre d’un demi-hourdis d’une poutre en T. On obtient alors la section d’acier de couture à mettre en place : A t  de couture est généralement identique à celui des cadres de l’âme.


Vu b  b0  s t . L’espacement st des aciers 0,9 d 2 b fsu

4. Règles des coutures généralisées (A.5.3)

52

4.4. LIAISON TALON/AME

Fig. 7.8 : Notations pour le calcul des aciers de couture à la liaison talon/âme. Les notations utilisées sont définies sur la figure 7.8. Le calcul est mené de façon identique à celui du hourdis. La V Al1 s t section d’acier de couture à mettre en place pour la liaison talon/âme est donnée par : A t  u 0,9 d Al fsu Dans le cas de plancher à charge d'exploitation modérée (Q  5 KN/m2) il n'est pas nécessaire de placer des armatures de couture si b 0,025.fc28 (ou 0,05.fc28 s'il n'y a pas de reprise verticale).


53

CHAPITRE 8 : FLEXION SIMPLE – ARRET DES BARRES


OBJECTIF Montrer qu'il est judicieux de ne pas prolonger toutes les armatures longitudinales jusqu'aux appuis et expliquer le principe de l'épure d'arrêt des barres. Sous une charge uniformément répartie le moment de flexion a une variation parabolique. La section d'acier déterminée pour la valeur maximum du moment devient surabondante dans les autres parties de la poutre. On peut arrêter une partie des barres avant l'appui. 1. EFFORT SOLLICITANT LES BARRES TENDUES Considérons un tronçon de poutre fissurée à 45° sous l'action de l'effort tranchant et supposons qu'aucune armature transversale ne traverse la fissure. Effectuons une coupure (S) dans la poutre suivant la fissure et écrivons l'équilibre du tronçon de gauche :

A

Nbc

(S)

z

45°

x

z x+z

Nst

 M/A : M(x+z) - Nst(x).z = 0 soit :

Nst(x) = M(x+z) / z

L'effort dans l'armature tendue à l'abscisse x est déterminé à partir de la valeur du moment de flexion à l'abscisse x+z. Dans les cas courants on prend d = 0,9.h et z = 0,9.d, soit z = 0,8.h 2. ARRET DES ARMATURES LONGITUDINALES On a déjà dimensionné les aciers dans les sections critiques, à savoir là où le moment est maximum en valeur absolue : positif en travée et négatif sur appui dans le cas général. Pour justifier les aciers dans toute les sections le long de la poutre, on utilise la courbe enveloppe des

moments fléchissants obtenue : -

Par une méthode approchée dans le cas des bâtiments (méthode forfaitaire ou méthode de Caquot),

-

Point par point (tous les 50 cm) dans les ouvrages d’art avec des charges variables multiples et complexes (charges roulantes).

Remarques simplificatrices * Si les sollicitations sont faibles : le dimensionnement des aciers en travée n’impose qu’une nappe d’aciers, celle-ci est prolongée intégralement s’il s’agit d’une poutre ; pour une dalle, on peut arrêter une barre sur deux, COURS DE BETON ARME – A. KONIN

54

2. Arrêt des armatures longitudinales

* Pour les poutres de planchers à charges d’exploitation modérées, lorsque la charge d’exploitation est approximativement répartie et inférieure à la charge permanente, lorsque les longueurs des travées successives sont dans un rapport compris entre 0,8 et 1,25, les chapeaux sur appuis doivent avoir une longueur telle que le débord par rapport au nu de l’appui soit supérieur : 

Au 1/5ème de la longueur de la plus grande travée voisine si l’appui n’appartient pas à une travée de rive,



Au 1/4 de la longueur de la plus grande travée voisine si l’appui appartient à une travée de rive.

2.1. COURBE DE CALCUL DES MOMENTS 2.1.1. Décalage de la courbe des moments Dans la théorie du treillis de Ritter-Mörsch, on suppose que les efforts sont constants le long de chaque barre. Dans la membrure tendue l’effort de traction sera égal à

z

(M/z), mais comme le moment varie avec x, on prendra par sécurité (pour dimensionner les aciers tendus) la valeur de M maximum sur l’intervalle [x0 ; x0 + z].

x0 x0 + z

En pratique pour calculer les aciers à l’abscisse x, on prendra le maximum du moment sur un intervalle [x – z ; x + z]. 2 cas sont alors possibles selon la variation de M : 2.1.2. Prise en compte aux appuis Pour les aciers inférieurs à l’ELU, on tient compte des résultats chapitre 2, soit

M u  Vu  z

2.2. MOMENT RESISTANT D’UNE SECTION Il sera obtenu quand l’un des matériaux aura atteint sa limite : le béton en compression ou l’acier en traction. Les relations donnant le moment résistant sont dans le cas où il n’y a pas d’aciers comprimés : 2.2.1. ELU section rectangulaire sans aciers comprimés On utilise la règle des 3 pivots, la droite de déformation e par A ou B. Dans le cas général où on se trouve au pivot A : Mru  A s  fsu  d  0,4  y u  ; sinon lorsque s < e (As très grand) : Mru  0,8  b  y u  fbu  d  0,4  y u  2.2.2. ELS section rectangulaire sans aciers comprimés L’équation des moments statiques donne la position de l’axe neutre : y. Comme à l’ELU, l’un des matériaux atteint sa limite, c’est soit : -

L’acier (pivot A ; s = fsser) qui est le cas général où l’acier a été dimensionné économiquement : y  Mrser  A s  fsser   d   (1) 3 

-

Le béton (pivot B ; b = fbser) : Mrser  A s  n  fbser 


dy  y  d   y 3 

(2)

55


2.2.3. Cas particuliers En présence d’aciers comprimés, on peut déterminer le point d’arrêt des barres en utilisant Mul à l’ELU ou MAB à l’ELS, ce qui signifie que tous les aciers comprimés seront arrêtés au même niveau. Pour une section en Té, on remarque que les calculs précédents restent encore valables car quand A s diminue, « y » aussi et l’axe neutre est dans la table Examinons le cas d'une barre arrêtée en un point A de la poutre et représentons la variation de son moment résistant :

Mrs

M

- de O à A le moment résistant est nul, - de A à B, sur la longueur de scellement droit le moment varie linéairement

O

de 0 à Mrs,

O

B

A

- Au-delà de B, Mrs reste constant

ls Longueur de scellement droit : C'est la longueur nécessaire pour qu'une armature droite soit suffisamment ancrée dans le béton pour que les forces d'adhérence l'empêchent de glisser sous l'action des forces intérieures. On peut prendre les valeurs forfaitaires suivantes : . ls = 40  pour les aciers Fe E 400 . ls = 50  pour les aciers Fe E 500 et pour les barres lisses. . ou calculer ls = fe/4su Les ancrages courbes sont définis en A6.1.2,5, les ancrages des paquets de 3 barres en A6.1.3 et les ancrages des treillis soudé en A6.2. 3 - EPURE D'ARRET DES BARRES 3.1. QUELS ACIERS ARRETER ? On peut énoncer les règles suivantes : 

Arrêter par groupe symétriquement par rapport au plan moyen,



Dans une nappe, arrêter d’abord les barres les plus proches du plan moyen,

Pour les nappes inférieures, commencer par les plus hautes Les tracés suivants peuvent se faire à l'ELU ou à l'ELS. . On trace la courbe enveloppe des moments de flexion M(x) . On décale cette courbe de z = 0,8h vers les appuis . On calcule les moments résistants des groupes de barres des différents lits . On arrête les barres d'un lit en tenant compte de la longueur ls nécessaire à leur ancrage.


56

3 - Epure d'arrêt des barres

ls

M(x)

(1°+2°+3°)lits ls

(1°+2°)lits

M3 M2

M(x) 1° lit

M1

M(x) décalé de 0,8h

x l

O

3° lit

2° lit

1° lit

l

Le diagramme des moments résistants doit se trouver à l'extérieur de la courbe des moments de flexion décalée. Pour un moment négatif sur appui le décalage se fait en s'écartant de l'appui.

z ls z ls

3.2. REMARQUES Dans certains bureaux d’études, on calcule plus grossièrement mais plus rapidement les moments résistants en procédant ainsi : -

garder pour z la valeur du dimensionnement,

-

calculer Mr en supposant qu’il est directement proportionnel à A s (Mr = As fs z),

Ceci permet de sous-estimer les Mr, ce qui va dans le sens de la sécurité mais pas de l’économie des barres d’aciers : Il n’est pas rare ainsi de déer de 50 cm la longueur strictement nécessaire.




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