Energía Interna Mediante El Método De Imagenes u6o5g

Energía Interna Mediante el Método de Imagenes Autor Camilo Andrés Velásquez Andrade Electrodinámica Estudiante de Maestría en Ciencias - Física Grupo de Materiales Nanoestructurados y sus Aplicaciones Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia Abstract En el siguiente articulo se pretende encontrar la energía interna de un sistema compuesto de dos conductores esféricos, cada uno con un radio diferente r y R que se encuentran separados una distancia d (d > r + R). La primera esfera se encuentra con un potencial V y la segunda esfera se encuentra conectada a tierra, V = 0. Primero se mostrara a partir del método de imágenes como se distribuyen las cargas y las distancias entre ellas y luego se utilizara el método de energía interna para observar el comportamiento. Palabras clave: Energía Interna, Método de Imágenes.

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Gereralidades

Se plantea el modelo de un Sistema A, donde se tiene un conductor y una distribución de cargas que se traen del infinito, de acuerdo a esto se utiliza el método de imágenes, y se plantea un Sistema B, que emula al Sistema A, con esto se puede empezar el planteamiento de la energía interna del sistema. Donde partimos de la siguiente expresión para calcular la energía (A)

Uint =

1 2

Figura 1. Sistema A formado por un conductor, con cargas traidas desde el infinio, Sistema B Método de imágenes que emula el Sistema A[1]

Z ρ(r)φ(r)dV

(1)

donde ρ(r) y φ(r) son la densidad de carga y el potencial. Es claro que si observamos la 1 1 (A) generalidad del problema tendríamos términos de (2) Uint = qc φs + qφA (r0 ) 2 2 auto-energía, pero por conveniencia los términos de la auto-energía se pueden remover para tener Donde la expresión muestra a φs como el potenen cuenta solo valores finitos, por esta suposición cial constante de la superficie del conductor, r0 es podemos identificar ahora la expresión de la sigu- la posición donde se encuentra la carga, qc es la iente manera carga neta del conductor, φA (r0 ) es el potencial en 1

r0 debido a todas las fuentes. El método de las imá- se denomina como qj , de acuerdo a esto la ecuación genes garantiza que el potencial electrostático en la (7) queda región exterior del conductor es equivalente al po1 1 (A) tencial generado por el sistema B, mas el conjunto Uint = qc φs + Uq(B) 2 2 de imágenes, y este esta dado por n M n X X X Kc qj Kc q¯m n qc = q¯k ; φs = + X Kc q¯k |r − r | | r ¯ − rs | s = φA (r0 ) (3) φB (r0 ) = m=1 m j=1 j k=1 |r¯k − r0 | k=1 M M N X X X Kc q¯k (B) ¯ j ) (8) = Uext ≡ qj φ(r qj Donde q¯k y r¯k denotan la posición y las cargas | r ¯ − r | k j −1 j−1 j=1 k=1 imagen, Kc = (4πε0 ) , en sistema internacional. Ahora remplazando en (3) y en (2) tenemos ¯ j ) es el potencial generado por las imáDonde φ(r " n # genes en el punto (rj ), donde se ubica la carga qj , 1 X Kc q¯k 1 (A) (4) por lo tanto U (B) es la energía potencial externa Uint = qc φs + ext 2 2 |r¯k − r0 | k=1 asociada con la distribución de cargas reales cuando Ahora teniendo encuenta la ley de Gauss, se tiene están inmersas en el campo generado por las imáque la carga neta en la superficie del conductor qc , genes. es la suma algebraica de las cargas imagen, y el potencial sobre la superficie del conductor es el que Desarrollo Método de Imáse genera a partir del sistema B sobre cualquier 2 punto, y esto es entonces genes

qc =

n X k=1

Se considera el caso de dos esferas de radios r y R cuyos centros están separados una distancia d > r + R. La primera esfera está a una potencial V y la segunda esfera está conectada a Tierra, V = 0

n

X Kc q¯k Kc q q¯k ; φs = + |r0 − rs | |r¯k − rs |

(5)

k=1

Donde rs es la posicion de cualquier punto sobre la superficie del conductor y de esta manera remplazando (5) en (4) tenemos que

! n X Kc q Kc q¯m q¯k + |r0 − rs | m=1 |r¯k − rs | k=1 " n # Se sustituyen las dos esferas por cúmulos de de 1 X Kc q¯k q cargas puntuales que convergen rápidamente a cero, + (6) 2 |r¯k − r0 | haciendo superficies esféricas equipotenciales. k=1 Ahora se aplica el método de imágenes, lo Donde el termino entre corchetes cuadrados se primero para hacer es colocar una carga q0 en el puede identificar como la energía potencial asoci- centro de la esfera de radio r de modo que el poada a la carga q en presencia de las cargas imagen, tencial de esta sea: (B) y esta se puede denotar como Uq y entonces ten1 q0 kc q 0 emos V = = (9) 4πε0 r r 1 1 (A) (7) Uint = qc φs + Uq(B) 2 2

(A) Uint

1 = 2

n X

!

Donde el resultado de la ecuación (7) es valida, pero para realizar una generalización del sistema se utiliza el principio de superposición, entonces para un punto de carga en una distribución M de cargas 2

Como la superficie esférica de radio R deja de ser Despejamos q1 y x1 del sistema de ecuaciones (13) equipotencial, ponemos una carga Q1 en el interior y (14) y obtenemos de la segunda esfera a una distancia X1 de su centro r2 x1 = ; d − X1 rR r (15) = q0 2 q1 = −Q1 d − X1 d − R2 Ahora se calcula el valor de Q2 y su posición X para que la segunda esfera de radio R sea una 2 Se Calcula el valor de Q1 y su posición X1 para superficie equipotencial, aunque deje de serlo la que la segunda esfera de radio R sea una superficie primera esfera de radio r. equipotencial, aunque deje de serlo la primera esfera de radio r. El potencial en C(d − R, 0) debido a las cargas q0 y Q1 lo hacemos cero Q1 q0 + =0 d − R R − X1

(10)

El potencial en D(d + R, 0) debido a las cargas q0 y Q1 lo hacemos cero q0 Q1 + =0 d + R R + X1

El potencial en C(d − r, 0) debido a las cargas Q2 y q1 lo hacemos cero

(11)

Q2 q1 + =0 R − X2 d − R − x1

Despejamos Q1 y X1 del sistema de ecuaciones (10) y (11) y obtenemos

(16)

El potencial en D(d + r, 0) debido a las cargas Q2 R2 R ; Q1 = −q0 (12) y q1 lo hacemos cero d d Q2 q1 Ahora como el conductor esferico de radio r ya + =0 (17) R + X2 d + R − x1 no es equipotencial, entonces se coloca una carga q1 en el interior de la esfera a una distancia x1 de Despejamos Q2 y X2 en este sistema de dos ecuasu centro ciones con dos incógnitas X1 =

R2 ; d − x1 R rR2 Q2 = −q1 = −q0 3 d − x1 d − dR2 − dr2 X2 =

se calcula el valor de q1 y x1 , para que la esfera conductora de radio r sea una superficie equipotencial, sin tener en cuenta lo que le ocurra a la esfera de radio R. El potencial en A(−r, 0) debido a las cargas q1 y Q1 lo hacemos cero

(18)

vuelve a ocurrir lo mismo, la superficie esférica de radio r deja de ser equipotencial, por lo que ponemos una carga q2 en el interior de primera esfera a una distancia x2 de su centro. Calculamos el valor de q2 y su posición x2 para que la primera esfera de radio r sea una superficie equipotencial, aunque deje de serlo la segunda Q1 q1 + =0 (13) esfera de radio R. r + x1 d + r − x1 El potencial en A(−r, 0) debido a las cargas q2 y El potencial en B(r, 0) debido a las cargas q1 y Q1 Q2 lo hacemos cero lo hacemos cero q1 Q1 Q2 q2 + =0 (14) + =0 (19) r − x1 d − r − x1 r − X2 d + r − X2 3

WF ext es el trabajo realizado por las fuerzas externas, con esto definimos que: " ! !# X X f i WBatt = V ∆Q = V q¯k − q¯m m=1

k=1

(24) El potencial en B(r, 0) debido a las cargas q2 y Q2 lo hacemos cero Q2 q2 + =0 r − x2 d − r − X2

WF ext =

(20)

! X

q¯m i

!# −

m=1

X

q¯k f

k=1

"

1 X Kc q¯k f q + 2 r0 − r¯k f

# (25)

k=1

Despejamos q2 y x2 en este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas r2 ; d − X2 r q2 = −Q1 d − X2 r 2 R2 q2 = −q0 4 2 d − 2R d2 − r2 d2 + R4

V 2

"

Donde definimos que para la energía inicial tenemos que Xi+1 → ∞ debido a que traemos al conductor desde el infinito, mientras que para la energía final tomamos a Xi+1 en sus posiciones, y debido a esto podemos decir que:

x2 =

f i qci = Qii+1 + qi+1 ; qcf = Qfi+1 + qi+1

(26)

(21)

Ahora introducimos los valores que encontramos en (22) para tener que: Y esto sigue sucediendo continuamente, entonces }| { z se puede encontrar relaciones en términos de las r R i (−Q + ) (27) q = −q i+1 i c cargas qi , Qi y las posiciones xi , Xi d − xi d − Xi+1 Donde el termino que esta con el corchete se hace cero debido a que Xi+1 → ∞ tiende a cero, para el valor final de la energía tenemos que:

R2 Xi+1 = ; d − xi r2 xi+1 = ; d − Xi+1 R Qi+1 = −qi d − xi r = −Qi+1 d − Xi+1 i = 0, 1, 2, 3, ....N

qcf = −qi

R r + (−Qi+1 ) d − xi d − Xi+1

(28)

Encontrando estos valores podemor encontrar WBatt ya que remplazamos los valores de (27) y (28) y tenemo que: qi+1 " ! R r WBatt = V − qi + (−Qi+1 ) d − xi d − Xi+1 x0 = 0, X0 = 0, Q0 = 0 !# (22) R (29) − − qi d − xi " # 3 Desarrollo Energía Interna r WBatt = V − Qi+1 (30) d − Xi+1 Para desarrollar la energía interna del sistema, se toman los resultados encontrados por el método de Ahora para encontrar W F ext tenemos que: imágenes, inicialmente se define que: " ! !# V −qi R −qi R −Qi+1 r (A) WF ext = − +( ) ∆Uint = Wext = WBatt + WF ext (23) 2 d − xi d − xi d − Xi+1 " ! # X (A) Kc −qi R −Qi+1 r Donde Uint es la variación de energía del sistema, + 1 +( ) Qi+1 (31) 2 xi − (d − Xi+1 ) d − xi d − Xi+1 WBatt es el trabajo realizado por los conductores, k=1

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Resolviendo tenemos:

" Kc 1 X + 2 xi − (d − Xi+1 ) k=1

" # V −Qi+1 r WF ext = ( ) 2 d − Xi+1 !# −Q2i+1 r −qi RQi+1 +( ) (32) d − xi d − Xi+1

Ahora teniendo los valores de (31) y (32) entonces los introducimos en (23) y tenemos como energía interna que: " # R Qi+1 V (A) r+ ∆Uint = − d − Xi+1 2 !# " −Q2i+1 r 1 X Kc −qi RQi+1 + +( ) (33) 2 xi − (d − Xi+1 ) d − xi d − Xi+1 k=1

Podemos identificar que la relación de la energía interna del sistema esta dado por los radios r y R de los conductores, las distancias xi y Xi+1 donde se encuentren las cargas imagen. Esto finalmente nos muestra que este método es muy útil teniendo en cuenta que con el método de imágenes podemos encontrar relaciones que nos dan una panorámica para observar la energía interna del sistema y teniendo en cuenta que este valor no es el completo, debido a que hemos omitido la interacción entre partículas, pero sin embargo es algo que nos muestra un desarrollo limpio.

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Bibliografía

1. Rodolfo A. Diaz, William J. Herrera, J. Virgilio Niño, European Journal of Physics Vol. 27 (2006) 1391-1398 2. D. Griffiths “Introduction to Electrodynamics” 3rd Ed.(Englewood Cliffs, NJ:Prentice Hall) (1999) section 3.2.3 3. Pagina Web http : //www.sc.ehu.es/sbweb/f isica/elecmagnet/campo_electrico/imagenes/imagenes.htm

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