Superficies Cilíndricas 425b70

Superficies cilíndricas

Superficies cilíndricas Una buena parte de las superficies con las que trabajaremos en el curso se generan a partir de una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la gráfica de una superficie de este tipo es muy simple, la idea es arrastrar la generatriz en la dirección de la directriz, el movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza que va dejando. En la figura 7, la curva generatriz es una párabola y como directriz se usa el vector u = ( 0, 5, 0).

Definición (cilindro)

Sea una curva sobre un plano llamada directriz y sea una recta no paralela al plano , llamada generatriz. Entonces el conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a que intersecan a es un cilindro

esta definición es una generalización del conocido cilindro circular recto donde, por ejemplo, la generatriz es que esta sobre el plano y la directriz es paralela al eje .Para los fines del curso, vamos a estar interesados únicamente en cilindros cuyas curvas generatrices están sobre planos paralelos a los planos coordenados y cuyas directrices son rectas paralelas a alguno de los ejes coordenados.Este tipo de cilindros se conoce como cilindros rectos.Cuando la directriz es una recta que no es paralela a alguno de los ejes coordenados el cilindro generado se conoce como oblicuo.

Un cilindro circular recto tiene como generatriz un círculo y como recta directriz una recta paralela a uno de los ejes coordenados.En la figura 7 se muestra un cilindro con generatriz;

y con recta directriz paralela al eje .

Figura 8.

En la figura 8 se muestra un cilindro parabólico recta directriz paralela al eje

Figura 9.

Si en la ecuación:

con generatriz y

alguna de las variables , o es libre (no aparece en la ecuación), entonces su gráfica corresponde a un cilindro y trazarla resulta muy simple : primero dibujamos la traza de la superficie sobre el plano coordenado correspondiente a las variables no libres y luego movemos esta curva en la dirección del eje coordenado correspondiente a la variable libre.Ahora presentamos algunos ejemplos que ilustran esta técnica.

Superficies cuadráticas

Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.

Definición (superficies cuadráticas) La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables

se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.

n la ecuación de segundo grado deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos , y , pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso Elipsoide La gráfica de la ecuación:

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en ), y .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide [Ver en ambiente 3D-JviewD]

Paraboloide elíptico La gráfica de la ecuación

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales :

son elipse

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean

o

son parábola.

Figura 2. Paraboloide elíptico [Ver en ambiente 3D-JviewD]

Paraboloide hiperbólico La gráfica de la ecuación:

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son hipérbolas o dos rectas ( ). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.

Figura 3. Paraboloide hiperbólico [Ver en ambiente 3D-JviewD]

Cono elíptico La gráfica de la ecuación:

es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4.

Figura 4. Cono elíptico [Ver en ambiente 3D-JviewD]

Hiperboloide de una hoja La gráfica de la ecuación:

es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales elipses

son

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5. .

Figura 5. Hiperboloide de una hoja [Ver en ambiente 3D]

Hiperboloide de dos hojas La gráfica de la ecuación:

es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).

Figura 6. Hiperboloide de dos hojas

para la ayuda de la enseñanza de la geometría mediante medios informáticos son los llamados programas de Geometría Dinámica. Proporcionan una ayuda extraordinaria para la experimentación. Un programa de Geometría Dinámica permite construcciones de geometría elemental, donde los elementos que se construyen se definen por propiedades cualitativas no mediante ecuaciones y geometría analítica, aunque ésta esté detrás, en el funcionamiento interno del programa. Una vez definida la construcción ésta se puede "mover" y deformar pero las condiciones que definen cada elemento permanecen invariables. Normalmente al abrir un programa de Geometría Dinámica aparece una ventana con un área de trabajo que desempeña el papel de pizarra donde se dibujan las construcciones geométricas. Además hay una barra con botones de herramientas y menús que permiten la definición y características de cada elemento. Existen varios programas de Geometría Dinámica que son similares aunque cada uno tiene características especiales que le hacen mejor para algunas cosas: 

Cabri-Geometre, es el más antiguo y por ello tiene la ventaja de tener el mayor número de desarrollos efectuados por s, está incluso incluido en algunas calculadoras gráficas de Texas Instruments. Es sin duda el más utilizado aunque tiene algunos fallos de continuidad debidos a su codificación interna.

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Geogebra. Programa muy similar a Cabri en cuanto a instrumentos y posibilidades pero incorporando elementos algebraicos y de cálculo. La gran ventaja sobre otros programas de geometría dinámica es la dualidad en pantalla: una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa. Desarrollado por Markus Hohenwarter, http://www.geogebra.at. Es un programa libre y gratuito, GNU General Public License.

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Sketchpad, es tan antiguo como Cabri y con gran difusión en Estados Unidos. Tiene todas las cualidades de Cabri y además tiene posibilidades de tratamiento y estudio de funciones, lo que permite ser utilizado también en temas distintos de los estrictamente geométricos. El inconveniente es que está en inglés, aunque existe una versión .

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Cinderella, tiene la ventaja de estar programado en Java, posee potentes algoritmos utilizando geometría proyectiva compleja, un comprobador automático de resultados y la posibilidad de realizar construcciones y visualizar en geometría esférica e hiperbólica. Por el lado negativo no ite "macros", pequeñas construcciones auxiliares que son de utilidad.

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R y C (Regla y Compás), está también programado en Java, está traducido al castellano y tiene la ventaja de ser de libre uso y gratuito. Permite la exportación de ficheros a formato html para visualizarlos con cualquier navegador. Tiene prestaciones similares a Cinderella o Cabri aunque es menos versátil.

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WinGeom, Otro excelente programa geométrico que no tiene nada que envidiar a los programas comerciales. Permite trabajar con herramientas de construcción y medida tanto en el plano como en el espacio. Incorpora la posibilidad de trabajar con geometría esférica e hiperbólica. Forma parte de un conjunto de distintos programas conocido con el nombre de "Peanut Software" desarrollado por Rick Parris de la Phillips Exeter Academy Mathematics Department de Exeter. Descarga e información: http://math.exeter.edu/rparris/

Seguramente lo mejor para estudiar cuerpos geométricos sea el modelo sólido real, es decir, el propio cuerpo. Pero a veces no es tan fácil disponer de todos los cuerpos geométricos y en cantidad y tamaño suficiente. Por eso viene bien disponer de programas que permiten visualizar estos cuerpos de forma dinámica. Existen muchos programas de características similares, reseñaremos uno de ellos.

Cabri II Plus. Cabriweb Se trata de un excelente programa diseñado para construir Geometría. Permite construir objetos geométricos, visualizarlos de forma dinámica, manipularlos, transformarlos y realizar medidas sobre ellos. Permite estudiar en el plano y ahora con Cabri 3D también en el espacio todo tipo de propiedades geométricas y lugares geométricos de forma sencilla e intuitiva. Muy fácil de utilizar para los alumnos.

El programa permite realizar con el ordenador todas las construcciones que se pueden realizar con regla, compás y las herramientas habituales de dibujo, pero con este programa se pueden manipular directamente las figuras construidas en la pantalla mediante el arrastre con el ratón de ciertas partes de ellas. De hecho, una vez elaborada una figura geométrica, Cabri reconoce cuáles son las partes (de dicha figura) que pueden ser arrastradas. Es fundamental señalar que esto ocurre, sin alterar las relaciones estructurales entre las partes constitutivas de la figura, lo que le convierte en una herramienta muy valiosa para el estudio de invariantes y propiedades geométricas de carácter general de los objetos geométricos. En concreto es un instrumento de primer orden para el estudio dinámico de lugares geométricos

Permite construir: Puntos: aislados, sobre un objeto, como intersección. Figuras rectilíneas: rectas, semirrectas, segmentos, vectores, triángulos, polígonos y polígonos regulares Figuras curvilíneas: circunferencias, arcos de circunferencia, cónicas Construcciones y herramientas: punto medio, recta perpendicular, recta paralela, mediatriz, bisectriz, suma de vectores, construcciones con compás, transferir medidas, lugares geométricos. Movimientos en el plano: simetría central y axial, traslación, rotación, homotecia e inversión Determinación de posiciones relativas: pertenece un punto a un objeto, están alineados tres puntos, es equidistante, son paralelas dos rectas, son perpendiculares Medidas: coordenada, distancia, longitud, área, ángulo, pendiente, ecuación, valores numéricos de expresiones algebraicas, crear tablas Elementos de edición: texto sobre objetos, números, expresiones Marcas sobre objetos: ángulos, hacer trazas, animar objetos... Elementos de diseño gráfico: color, espesor, llenado, ocultar, mostrar, aspecto, punteado, ejes, cuadrícula... CABRI tiene un problema nada desdeñable, su dificultad de exportar sus gráficos y sus animaciones a otras aplicaciones más familiares para el . Hace unos años los creadores de CABRI han lanzado el Proyecto Cabriweb, que permite disfrutar de las aplicaciones con animaciones y la posibilidad de manipulación de los objetos geométricos a través de cualquier navegador de Internet mediante applets de Java. Ahora Cabri puede traducir sus aplicaciones al lenguaje Java y permite verlas en ficheros html sin necesidad de tener el programa cargado en el ordenador. La idea es simple: una aplicación llamada Cabri Web que traduce directamente un fichero de Cabri a un fichero HTML con un applet de Java incluido. La aplicación está disponible en la red en esta dirección: http://www.cabri.net/cabrijava/, con manual incluido.

Derive 5.0 – 6.0 Derive es una herramienta matemática de propósito general que procesa todo tipo de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos), variables, expresiones algebraicas, ecuaciones, vectores, matrices, funciones... Puede realizar cálculos numéricos y simbólicos con álgebra, trigonometría, análisis... Realiza representaciones gráficas en dos y tres dimensiones Se puede utilizar Derive como una calculadora numérica de gran potencia. Con Derive podemos realizar cálculos exactos con la precisión que sea necesaria. Permite manipular expresiones racionales como 1/3, sin necesidad de tener que operar con su expresión decimal aproximada. Incorpora rutinas de cálculo matricial, estadística, interpolación, integración numérica, etc. Maneja el cálculo matemático simbólico, manipulando con facilidad expresiones algebraicas (identidades, ecuaciones, fórmulas, polinomios y fracciones algebraicas) y puede realizar la mayoría de operaciones con las mismas: simplificar, factorizar, resolver.... Su potencial didáctico reside en la capacidad de combinar el cálculo simbólico con la representación gráfica. Permite construir gráficos de 2 y de 3 dimensiones. Es decir puede trabajar en el plano para la representación de curvas y en el espacio para el estudio de planos y superficies.

N el tratamiento gráfico se pueden representar los datos y adjuntar sus tablas de valores, modificar escalas, colores y sombreados y otras características de los gráficos. Calcula límites, derivadas e integrales. Puede crear gráficos animados. Características principales 

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Álgebra: desarrollo y factorización de polinomios; simplificación de expresiones algebraicas; resolución de numérica y simbólica; resolución de sistemas lineales de ecuaciones... Aritmética: aritmética exacta y aritmética aproximada de precisión configurable; factorización de enteros; conversión de unidades métricas; calculadora científica, números complejos Gráficos 2D: en forma explícita, implícitas y paramétricos; coordenadas rectangulares y polares; funciones de variable compleja; especificación de colores; permite poner etiquetas de ejes y anotaciones sobre los gráficos... Gráficos 3D: mallado para funciones de dos variables; selección del punto de vista; cambio de escala; rotación de gráficos en tiempo real... Cálculo: cálculo simbólico de límites finitos e infinitos; primera y n-ésima derivadas; integrales definidas e indefinidas; integración numérica; sumas y productos finitos e infinitos; derivación implícita y paramétrica; desarrollos de Taylor y series de Fourier; longitud de arco, áreas y volúmenes.

En el currículo de secundaria se puede utilizar en los siguientes temas Números, Álgebra, Geometría analítica del plano, Funciones, Derivadas, Integrales, Geometría Analítica del Espacio y Programación Lineal. < >