Aplicación De Las Integrales A La Economia.docx u1r3q

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES A LA ECONOMIA El teorema fundamental del calculo establece que el valor numérico de una integral definida de una función continua f(x) tras un intervalo desde a-b esta dado por la integral indefinida F (x) + c evaluada al limite más alto de integración (b), menos la misma integral evaluada al limite más bajo de integración (a). Puesto que “c” es común a ambos, la constante de integración es eliminada en la sustracción:

De esta forma, el área bajo de una función desde a hasta b puede ser expresada como una integral definida de f(x) tras un intervalo a hacia b, como se aprecia en el siguiente Gráfico:

Esta técnica tiene diversas aplicaciones en la economía puesto que permite obtener áreas de funciones continuas de una forma relativamente sencilla. De esta forma, las integrales definidas permiten obtener valores numéricos mientras que las integrales indefinidas solo permiten obtener funciones. Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda. 1. Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el

mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico.

Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de ofer ta.

A esta función la simbolizamos p = o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.

2. Función de demanda:

La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una

función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.

A esta función la simbolizamos p = d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado. 3. Superavit de Consumidores y Productores El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores. El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y = p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el

precio p0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.

El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p = d(q) y p = p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:

Donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p 0 y demanda de equilibrio q0. Para ver dichas aplicaciones, se tiene los siguientes ejemplos: 1. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x2. Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades. Solución: Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p = d(20) = 50 - 0,06 202 = 26. Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:

=

=

= 320

La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades.

2. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas: Función de demanda: p1 (q) = 1000 - 0,4 q2. Función de oferta: p2 (q) = 42q Solución: El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica:

La oferta coincide con la demanda en (q0, p0) , es decir,: p1 (q) = p2 (q) Þ 1000 - 0,4q2 = 42q Þ - 0,4q2 - 42q + 1000 = 0 Þ q1 = - 125 Ù q2 = 20 Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o demandados, q0 = 20 y, por lo tanto, p0 = 840. El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre p1 (q) y la recta p = 840, entre 0 y 20, o sea,:

= 33,33

=

= 21

El excedente de demanda asciende a $2133,33 El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p = 840 y p = 42q entre 0 y 20, o sea:

= (840.20 - 21.202) = 8400

=

Por lo tanto, el superávit de oferta alcanza $8400. 3. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la función f(x) describe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el mercado por primera vez. Se sabe que

si

.

Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro años. Solución:

Debemos plantear Venta total =

Venta total =

=

= 18000

Por lo tanto, las ventas totales durante los primeros cuatro años ascienden a 18000 unidades.

4. Excedente del Consumidor y el Excedente del Productor Una función de demanda P1 = f1(Q) como se observa en el gráfico,

representa

los diferentes precios que el consumidor está dispuesto a pagar por diferentes cantidades de un bien. Si el mercado está en equilibro en un punto como (Q 0,

P0), entonces los consumidores estarán dispuestos a pagar más de P 0. El beneficio total para los consumidores está representado por el área sombreada, la cual se denomina excedente del consumidor. Esta área equivale a la diferencia entre lo que el consumidor está dispuesto a pagar y lo que realmente paga.

Una función de oferta P2 = f2(Q) como en el gráfico, representa el precio al cual diferentes

cantidades de un

bien

será

ofertado. Si el equilibrio de mercado sucede en (Q 0, P0), los productores que ofertan a un precio menor a P0 se beneficiaran. Este beneficio o ganancia es llamado excedente del productor, EP, el cual equivale al área sombreada del Grafico. Esta área equivale a la diferencia entre el precio que el productor vende y precio límite al cual el productor estaría dispuesto a vender su producto. 1. Dada una función de demanda, p = 42 – 5q – q 2, y asumiendo que el precio de equilibrio es 6, obtenga el excedente del consumidor. Solución. Para encontrar el nivel de producción asociado a p = 6:

42 – 5q – q2 = 6, q0 = 4

2. La tonelada de un mineral cuesta US$ 46. Los estudios indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 0.09 +

0.0006x2 US$/semana. ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas? Solución: Como:

El precio dentro de 10 semanas será:

3. Obtenga la cantidad producida que maximiza la utilidad y las correspondiente utilidad total (asumiendo competencia perfecta) si IMg = 24 - 6q – q2 y CMg = 4 - 2q – q2 , siendo Img el ingreso marginal y Cmg, el costo marginal. Solución. Asumiendo competencia perfecta, las curvas de ingreso marginal y costo marginal se interceptan y determinan el precio y la cantidad demandada. Entonces: 24 - 6q – q2 = 4 – 2q –q2 q=5 Como UMg = IMg - CMg ( UMg: utilidad marginal) entonces, UMg = 20 – 4q El dato es la utilidad marginal y se desea obtener es la utilidad total (U). Entonces, es necesario “integrar” la primera función para (UMg) obtener la segunda función (U) o función original

Se ha evaluado desde 5 a 0 puesto que q = 5 es el valor que maximiza la utilidad, es decir, el punto máximo 4. Hallar la cantidad producida que maximice la utilidad y determinar la utilidad total en dicho punto s las funciones de ingreso marginal y costo marginal son respectivamente, I´(x) = 25 - 5x - 2x2 C´(x) = 10 - 3x – x2 Solución: Una forma de solucionar es obtener el ingreso total y el costo total para luego obtener el beneficio y finalmente, determinar el máximo valor de la última función. La forma más directa es obtener el beneficio marginal y luego determinar el beneficio. Con esta última se determina el valor máximo. I´ - C´ = B´ 25 – 5x - 2x2 – (10 - 3x – x2) = B´ 15 – 2x –x2 = B´ (beneficio marginal) Integrando B' se obtiene B:

Determinando el máximo en B:

Evaluando este valor en B se tiene 27. 5. Si la función de demanda es P = 85 - 4x – x2, hallar el excedente del consumidor cuando: a) x = 5 y b) P = 64 Solución:

Integrando en la función excedente, tenemos:

BIBLIOGRAFIA

1. Romero, 2009. Matematica para Economistas. Ed. Briceño. Mexico.

2. http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm 3. http://www.monografias/ejercicios/fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEcon omia.htm 4. http://www.matematicas-aplicadas-en-istracion-Economia.html