Método De Frobenius 5a25u

Método de Frobenius En las matemáticas , el método de Frobenius , cuyo nombre deriva del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius , describe una manera de encontrar una solución como serie infinita a una ecuación diferencial ordinaria de la forma

Se puede dividir la ecuación diferencial para z 2 y obtener un equivalente:

Estos últimos no pueden ser resueltos por desarrollo en serie del tipo en busca de

, si p ( z ) / z o q ( z ) / z 2 no es analítica en z = 0. El

soluciones

método de Frobenius permite crear soluciones en serie de potencias en este tipo de ecuaciones diferenciales, en el caso en que p ( z ) y Q ( z ) son en sí mismos analítica en la vecindad de 0, o, estar en cualquier otra analítica momento, incluso existe el límite en cero (finito).

Raíces dobles El ejemplo anterior implica un polinomio indicial con una raíz repetida, que entonces sólo proporciona una solución a la ecuación diferencial dada. En general, el método de Frobenius proporciona dos soluciones linealmente independientes si las raíces son distintos. Si se repiten las raíces, o difieren en un número entero, la segunda solución se puede encontrar por la ecuación:

Dónde

es la primera solución y los coeficientes

a determinar.

GEORG FROBENIUS

Georg Frobenius nació el 26 de octubre de 1849 en Berlin-Charlottenburg, antigua Prusia (ahora Alemania) y murió el 3 de agosto de 1917 en Berlín, ya Alemania. su padre fue Christian Ferdinand Frobenius, un pastor protestante, su madre fue Christine Elizabeth Friedrich. Georg había nacido en Charlottenburg que no fue incorporado como barrio de Berlín hasta 1920. Entró en la escuela Joachimsthal Gymnasium en 1860 con once años de edad y se graduó en 1867. Ese mismo mismo año, entró en la universidad de Göttingen, pero solo estudió allí un semestre volviendo a continuación a Berlín. En la universidad de Berlín asistió a clases de Kronecker, Kummer y Weierstrass. Allí preparó su doctorado, asistiendo a los seminarios de Kummer y Weierstrass, que presentó en 1870, supervisado por Weierstrass. En 1874, después de un tiempo enseñando en la escuela secundaria, primero en el Joachimsthal Gymnasium y después en la Sophienrealschule, fue aceptado en la universidad de Berlín como profesor extraordinario de matemáticas. En realidad Frobenius no hizo su segunda tesis (tesis de habilitación) antes de ser nombrado profesor en la universidad, eso fue debido a la influencia de Weierstrass que consideraba a Frobenius el mejor de sus alumnos. Frobenius estuvo en Berlin solo un año, antes de irse a Zürich como profesor ordinario de la Eidgenössische Polytechnikum. Durante 17 años, entre 1875 y 1892, Frobenius trabajó en Zürich. Se casó allí, tuvo familia y realizó un importante trabajo de investigación en diferentes áreas de matemáticas. Exigía un nivel muy alto, sospechaba a cada oportunidad que el gobierno trataba de bajar el nivel académico. Durante 25 años Frobenius fue la figura líder, la que dirigió la enseñanza universitaria de la matemática en Berlín. Poco a poco el número de doctorados, habilitaciones y docentes de matemáticas fue bajando, aunque el número de alumnos se había incrementado considerablemente. En 1892, Frobenius fue elegido para la Academia Prusiana de Ciencias, por sus contribuciones a la teoría de funciones analíticas, a la solución algebráica de ecuaciones, cuyos coeficientes son funciones racionales de una variable, a la teoría de ecuaciones diferenciales lineales, al problema de Pfaff, a las formas lineales con coeficientes enteros, a las sustituciones lineales y formas bilineales, a los operadores diferenciales lineales adjuntos, a la teoría de funciones elípticas y de Jacobi, a las geometrías finitas, a los teoremas de Sylow, a los clases adjuntas dobles asociadas a dos subgrupos, a los covariantes de Jacobi, a las funciones de Jacobi de tres variables, a la teoría de formas bicuadráticas y a la teoría de superficies con un parámetro diferencial.En 1896, ya en Berlín publicó 5 artículos sobre teoría de grupos, uno de ellos Über die Gruppencharactere es fundamental en la teoría de caracteres. Ideas de Dedekind de 1885 fueron la base y sobre ellas Frobenius fue capaz de construir un conjunto completo de representaciones complejas. Frobenius de hecho introdujo las representaciones de grupos en este trabajo sin hacerlas explícitas. Al año siguiente en 1897, publicó el concepto tal como lo conocemos hoy. Entre 1897-1899 Frobenius publicó dos artículos sobre representaciones, uno sobre caracteres inducidos y otro sobre producto tensorial de caracteres. En 1898, demostró el teorema de reciprocidad de Frobenius. En 1896, Frobenius dió los caracteres irreducibles de los grupos alternados A4 y A5, de los grupos simétricos S4 y S5 y del grupo PSL(2,7) de orden 168. . Frobenius colaboró con Schur en teoría de representaciones de grupos y teoría de caracteres. La teoría de representaciones de grupos finitos de Frobenius tuvo mas tarde importantes aplicaciones a la mecánica cuántica y la física teórica, en contra de la visión de una matemática pura que tenía Frobenius. Al final de su carrera, Frobenius estudió matrices positivas y no negativas. Introdujo el concepto de irreducibilidad de matrices y sus artículos de 1910 continuan siendo resultados fundamentales en esa disciplina. Muchos de sus artículos han sido reproducidos en libros y convertidos en estandard en el estudio de la matemática, en muchas áreas diferentes. Sin embargo, siempre hizo contribuciones fundamentales en áreas que ya habían sido introducidas anteriormente por otros matemáticos.