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TODOS DE 9 Y EL ÚLTIMO DE 10 INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS VÉDICAS Nacho Ruiz Cía matematicasvedicas.org

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Todos de 9 y el último de 10

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© Nacho Ruiz Cía, 2017

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INDICE INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 5 Origen .................................................................................................................................. 7 SUTRAS ............................................................................................................................... 8 Resta de 100, 1000, 10000,… ................................................................................. 10 Practica ....................................................................................................................... 12 Aprender las tablas de multiplicar sin memorizar ....................................... 13 Extensión del método ................................................................................................ 17 Números por encima de 10 ................................................................................ 17 Números cercanos a 100, 1000, … .................................................................. 18 Practica ....................................................................................................................... 20 Multiplicación por una serie de 9’s ...................................................................... 20 Misma cantidad de dígitos que de 9’s ............................................................ 20 Practica .................................................................................................................. 21 Menos dígitos que 9’s ........................................................................................... 21 Practica .................................................................................................................. 22 Más dígitos que 9’s ............................................................................................. 22 Practica .................................................................................................................. 24 Suma de Dígitos (Navasesh) ................................................................................... 25 Practica ....................................................................................................................... 25 Usos del Navasesh .................................................................................................. 25 Comprobar operaciones con el Navasesh ............................................... 26 Practica .................................................................................................................. 27

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División ............................................................................................................................ 28 División entre 9 ....................................................................................................... 30 Practica .................................................................................................................. 31 Números más largos ......................................................................................... 33 Practica .................................................................................................................. 34 División entre 99 .................................................................................................... 36 Practica .................................................................................................................. 37 Extensión del método para dividir entre cualquier número formado por una serie de 9’s ........................................................................ 38 Practica .................................................................................................................. 39 División entre números debajo de 100, 1000, 10000, … ....................... 39 Practica .................................................................................................................. 42 Practica .................................................................................................................. 45

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INTRODUCCIÓN De un tiempo a esta parte existe una cada vez mayor fobia a las matemáticas, así lo refleja el cada vez menor número de alumnos que eligen esta materia en las pruebas de a la Universidad y el descenso de los matriculados en carreras relacionadas con esta materia a pesar de la enorme cantidad de salidas profesionales de las mismas. Las consecuencias de esta fobia son varias, desde el preocupante aumento de las tasas de fracaso escolar hasta la falta de vocaciones científicas y el déficit de este tipo de trabajadores. Las matemáticas védicas se presentan como un medio de evitar esta fobia. Por su sencillez y flexibilidad hacen que los alumnos las encuentren entretenidas en lugar de rígidas y aburridas. Esto junto con los beneficios del estudio de las mismas; aumento de la memoria, mejora de la intuición, incremento de la creatividad, desarrollo de la agilidad y capacidad mental,… las convierten en el mecanismo ideal para conseguir que los alumnos se vean atraídos por los números, las operaciones y desarrollen amor por la ciencia. Y es que sin duda, como decía Gauss, la matemática es la Reina de las Ciencias y es difícil pensar en una mejora de las vocaciones científicas sin un avance significativo en el interés de nuestros jóvenes por las matemáticas. Este libro es una breve introducción al maravilloso mundo de las matemáticas védicas, sus métodos y técnicas, y pretende darlas a conocer en el mundo de habla hispana en el que, desgraciadamente apenas son valoradas por el desconocimiento que existe de las mismas.

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Después de leerlo y conocer los sencillos métodos védicos serás capaz de realizar operaciones que hasta ahora te resultan engorrosas de una manera sencilla y divertida, empleando además una fracción del tiempo que te cuesta realizarlas actualmente. Podrás, por ejemplo, calcular 112031 : 8898 en menos de 10 segundos y sin realmente tener que dividir en ningún momento. Sabrás cómo multiplicar 9982 x 9992 en una sola línea conociendo solo las tablas hasta 5 x 5. Descubrirás los secretos de los Vedas para no tener que memorizar las tablas de multiplicar, haciendo estas y otras muchas operaciones de una manera ágil y asombrosa. Y además podrás enseñar estos secretos a tus hijos, amigos o alumnos ayudándoles así a que no tengan miedo a las matemáticas, disfrutando con ellas mientras incrementan su inteligencia, activando y conectando los dos hemisferios cerebrales.

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ORIGEN A principios del S. XX un grupo de estudiosos de las mejores Universidades europeas se plantearon desvelar la sabiduría encerrada en los antiguos textos védicos procedentes de la India. Se toparon con un texto titulado “Ganita Sutras” cuyo significado es “Matemáticas”, sin embargo tras estudiarlo observaron que en el mismo no había ninguna referencia a los números o a operación matemática alguna por lo que lo desecharon pensando que no tenía valor. Entonces Sri Bharati Krsna Thirtaji (1884-1960), un brillante joven licenciado en varias materias, se propuso descubrir los secretos que los europeos no habían conseguido encontrar en este antiguo texto védico. Para ello empleó más de seis años de su vida, entre 1911 y 1918, en los que reveló los 16 Sutras (aforismos) que componen el núcleo de la sabiduría matemática védica y de los que se derivan los sencillos métodos y técnicas empleados en las mismas. Durante estos años escribió 16 libros, uno por cada Sutra, que lamentablemente se perdieron con el tiempo. Bharati Krsna intentó reescribirlos en los últimos años de su vida pero solo pudo completar un volumen introductorio que fue publicado en 1965 bajo el título “Vedic Mathematics or sixteen simple Mathematical Formulae from the Vedas” (“Matemáticas Védicas o dieciséis simples fórmulas matemáticas de los Vedas”). Este libro está disponible en la actualidad y sigue siendo un libro muy vendido en muchos países.

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SUTRAS Constantemente estoy hablándote de los Sutras, y tal vez te preguntes “pero, ¿qué son los Sutras?”. La palabra Sutra significa hilo o cordel y con ella nos referimos a los aforismos o fórmulas, escritos en verso y a través de las cuales podemos resolver problemas matemáticos de forma sencilla. Lo más destacado de estos Sutras es que están formulados tal y como la mente piensa por lo que son fáciles de entender, enseñar y aplicar. No es necesario memorizarlos, con el simple uso de las técnicas se aprenden de forma natural. En cualquier caso a continuación dejo una tabla con los 16 Sutras principales (existen también 13 Subsutras) y su traducción en español.

En este libro introductorio al alucinante mundo de las matemáticas védicas te voy a desvelar alguno de los métodos que se desprenden del segundo Sutra conocido como Nikhilam o “Todos de 9 y el último de 10”.

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Las técnicas que aprenderás te ayudaran a restar, multiplicar y dividir como nunca antes habías visto y eso que al ser un libro introductorio no te cuento todos sus secretos. Si después de leerlo quieres saber más y conocer otros deslumbrantes métodos védicos te invito a que visites mi web matematicasvedicas.org Si perteneces a una Asociación, Colegio, Empresa … y estás interesado en que vaya a impartir una charla, taller o curso de matemáticas védicas puedes ar conmigo a través de la web o del correo [email protected]

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TODOS DE 9 Y EL ÚLTIMO DE 10 RESTA DE 100, 1000, 10000,… Vamos a empezar este viaje con una técnica muy simple que nos sirve para restar números de 100, 1000, 10000, … El método elimina totalmente el esfuerzo y estrés de hacer este tipo de restas con el método tradicional. Por si fuera poco permite que hagamos la operación de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, característica diferenciadora de las matemáticas védicas. De hecho a lo largo de todo el libro calcularé de izquierda a derecha, y es que yo (como tú) leo y escribo de izquierda a derecha por lo que para mí no tiene mucho sentido calcular de derecha a izquierda, no te preocupes con las védicas es muy fácil. Vamos a suponer que hay que restar 10000 – 6328 Para hacerlo no tenemos más que aplicar la fórmula a cada uno de los dígitos del 6328.

6 de 9, es 3 3 de 9, es 6 2 de 9, es 7 Y 8 (que es el último) de 10 es 2. 10000 – 6328 = 3672 www.matematicasvedicas.org

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Del mismo modo:

1000 – 569 = 431 Vemos lo simple que resulta obtener el resultado de estas restas si aplicamos la fórmula. El Sutra funciona siempre que estemos restando de un número formado por un 1 seguido de ceros. Si el número que estamos restando termina en cero aplicaremos el Sutra sin tener en cuenta el cero, que añadiremos al final. Así:

10000 – 7980 = 2010 Si estamos restando 10000 – 234 donde 10000 tiene más ceros que dígitos 234 suponemos que estamos restando 10000 – 0234.

Añadimos tantos ceros como necesitemos hasta igualar los dígitos y los ceros y aplicamos “Todos de 9 y el último de 10”.

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PRACTICA a) 1000 – 352 d) 1000 – 35 g) 100 – 12 j) 100000 – 99288

b) 1000 – 449 e) 1000 – 680 h) 1000 – 985 k) 1000 – 888

c) 10000 – 2598 f) 10000 – 650 i) 100 – 77 l) 1000 – 986

Soluciones: a) 648 b) 551 c) 7402 d) 965 e) 320 f) 9350 g) 88 h) 15 i) 23 j) 712 k) 112 l) 14

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APRENDER LAS TABLAS DE MULTIPLICAR SIN MEMORIZAR Dentro de este mismo Sutra, y combinándolo con otros, encontramos algunos de los métodos más alucinantes que existen para multiplicar. En las matemáticas védicas no es necesario conocer las tablas de multiplicar más allá de 5 x 5 y esto es gracias al método que vas a aprender ahora y que puedes enseñar a todo el que tenga problemas para recordar las tablas. Imagina que no recuerdas las tablas y que tienes que multiplicar 8 x 7, una de las multiplicaciones que más cuesta a los estudiantes cuando memorizan las tablas. Verás que sencilla de resolver. Lo primero que hacemos es poner un número encima del otro y calcular la distancia que hay de cada número a 10. Como los números están por debajo de 10 ponemos un – delante de cada una de las distancias hasta 10.

Como de 8 a 10 hay 2 y además está por debajo de 10 ponemos – 2 al lado del 8. 7 está 3 por debajo de 10, ponemos – 3 al lado del 7. La solución a la multiplicación tendrá dos partes, la parte de la izquierda la tenemos con solo operar en cruz.

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Podemos calcular 8 – 3 o si lo preferimos 7 – 2, las dos restas dan 5 que es la parte izquierda de la solución. Para calcular la parte derecha de la solución…

solo tenemos que multiplicar los números que hemos puesto a la derecha, 2 x 3 = 6. 8 x 7 = 56 Ya tenemos la solución a 8 x 7 y no hemos tenido que memorizar. A veces podemos encontrarnos una situación que deberemos arreglar. Por ejemplo si tenemos que calcular 6 x 7

Calculamos la distancia (o deficiencia) de cada número hasta 10, como 6 y 7 están por debajo de 10 ponemos un signo – delante de las distancias (- 4 en 6, - 3 en 7). Para calcular la parte izquierda de la solución operamos en cruz, podemos calcular 6 – 3 o 7 – 4, en los dos casos obtenemos el mismo resultado, 3 que es la parte izquierda de la solución.

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Si lo recuerdas para calcular la parte derecha de la solución multiplicábamos en vertical las deficiencias de cada número respecto de 10, en este caso 4 x 3

4 x 3 son 12, si lo dejáramos así la solución sería 312, pero está claro que no puede ser. Lo que ocurre es que la parte derecha de la solución solo puede tener una cifra porque 6 y 7 están cerca de 10 que solo tiene un cero. Lo que hacemos es llevar el 1 a la izquierda, así 6 x 7 = 42

Vamos a ver otro caso en el que nos pasa lo mismo.

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Algunos ejemplos más de multiplicaciones que suelen costarles a los estudiantes.

Es realmente útil memorizar las tablas, y yo animo a que se haga, este método puede servir para recordarlas en un momento determinado y también como ayuda para la memorización, y es que con un poco de práctica no es necesario escribir todos los pasos, se pueden hacer mentalmente. El método es también muy práctico para hacer que los estudiantes pierdan el miedo a multiplicar y a las tablas, primer gran escollo que encuentran en su trayectoria de estudio de las matemáticas. La técnica se puede aplicar para multiplicar números que estén cerca de 10, por debajo como hemos visto ahora o por encima, asimismo se puede usar para multiplicar rápidamente números cerca de 100, 1000, 10000, … estén por encima o por debajo, vamos a verlo…

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EXTENSIÓN DEL MÉTODO Siempre que los números estén cerca de 10, 100, 1000 … es útil, sencillo y rápido este método. Solo tenemos que tener en cuenta dos cosas: cuántos ceros tiene el número del que están cerca, para saber el número de cifras de la parte derecha de la solución y si los números están por encima o por debajo de 10, 100, 1000, 10000 …, si están por encima pondremos un + delante de las distancias, si están por debajo pondremos un – NÚMEROS POR ENCIMA DE 10 Empezamos multiplicando números cerca de 10 pero por encima, por ejemplo 12 x 13

Así de manera sencilla sabemos que 12 x 13 son 156 Como los números están cerca de 10 la parte derecha de la solución solo puede tener un dígito, por eso en 14 x 16

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tenemos que llevar el 2 del 24 de la parte derecha a la izquierda de la solución. NÚMEROS CERCANOS A 100, 1000, … Teniendo en cuenta el número del que están cerca y si están por encima o por debajo podemos usar este método para números cerca de 100, 1000, … Vamos a verlo 98 x 96

Los números están cerca de 100 que tiene dos ceros, ponemos 02 y 04 para acordarnos de que la parte derecha de la solución solo puede tener dos dígitos. Como 98 y 96 están por debajo de 100 ponemos un – delante de 02 y 04. Este es un ejemplo de multiplicación que con el sistema tradicional sería muy engorrosa y que sin embargo con el método védico se hace súper fácil, la única multiplicación que tenemos que hacer es 2 x 4. En 88 x 89 nos quedan tres dígitos en la parte derecha de la solución y solo podemos tener dos por eso llevamos el uno a la parte izquierda.

88 x 89 = 7832 www.matematicasvedicas.org

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Vamos a ver números por encima de 100, por ejemplo 103 x 106

Números cerca de 100, dos dígitos a la derecha. Números por encima de 100, + delante de las distancias de cada número hasta 100. Seguro que ya eres capaz de multiplicar números cerca de cualquier potencia de 10 (10, 100, 1000, 10000,…) Te dejo unos ejemplos:

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PRACTICA a) 12 x 14 d) 99 x 97 g) 88 x 87 j) 1014 x 1018

b) 15 x 17 e) 92 x 98 h) 992 x 989 k) 9982 x 9992

c) 17 x 12 f) 91 x 90 i) 898 x 996 l) 10101 x 10104

Soluciones: a) 168 b) 255 c) 204 d) 9603 e) 9016 f) 8190 g) 7656 h) 981088 i) 894408 j) 1032252 k) 99740144 l) 102060504

MULTIPLICACIÓN POR UNA SERIE DE 9’S Con este mismo Sutra “Todos de 9 y el último de 10” podemos calcular muy rápido multiplicaciones en las que uno de los factores sea un número formado por 9’s. MISMA CANTIDAD DE DÍGITOS QUE DE 9’S Supón que tienes que calcular 235 x 999. Como 999 es uno menos que 1000 podríamos calcular 235 x 1000 y restarle luego 235. Tendríamos pues: 235 x 1000 = 235000 235000 – 235 = 234765 Observa que la solución tiene dos partes; 234 y 765 la primera parte no es más que el número que estamos multiplicando menos 1, 235 – 1 = 234. la segunda, 765, es el resultado de aplicar el Sutra al 235. En 648 x 999, la solución será 647 352.

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Esta simple técnica se puede usar para calcular mentalmente cuando multiplicamos cualquier número por otro que tiene el mismo número de 9’s. PRACTICA a) 36 x 99 d) 123 x 999 g) 5436 x 9999

b) 88 x 99 e) 456 x 999 h) 2486 x 9999

c) 63 x 99 f) 890 x 999 i) 15973 x 99999

Soluciones: a) 3564 b) 8712 c) 6237 d) 122877 e) 455544 f) 889110 g) 54354564 h) 24857514 i) 1597284027

Otra manera de resolverlo todavía más fácil es pensar que la parte de la derecha de la solución está formada por los complementos hasta 9 de los dígitos de la parte izquierda. Escribimos la parte izquierda de la solución y luego calculamos cuanto le falta a cada número para llegar a 9. MENOS DÍGITOS QUE 9’S Si por ejemplo estamos calculando 463 x 9999 el número de dígitos de 463 es menor que el de 9’s. En este caso lo único que tenemos que hacer es añadir delante del 463 los ceros que necesitemos hasta igualar la cantidad de 9’s. Imaginaríamos que estamos multiplicando 0463 x 9999 y aplicaríamos la técnica que ya hemos aprendido. 463 x 999 = 0463 x 999 = 0462 937 El resultado es 462 937 Supón que tienes 82 x 9999. Añadiendo dos ceros delante del 82 tendrías 0082 x 9999 = 0081 9918 y el resultado final es 819918. www.matematicasvedicas.org

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PRACTICA a) 28 x 999 d) 231 x 9999 g) 3564 x 99999

b) 74 x 999 e) 382 x 99999 h) 6818 x 999999

c) 37 x 9999 f) 613 x 9999 i) 130 x 9999

Soluciones: a) 27972 b) 73926 c) 369963 d) 2309769 e) 38199618 f) 6129387 g) 356396436 h) 6817993182 i) 1299870

MÁS DÍGITOS

QUE 9’S

¿Qué ocurre cuando tenemos más dígitos que 9’s? Si tenemos que multiplicar 235 x 99 lo que hacemos es: separar el 235 en dos partes, contando desde la derecha tantos dígitos como 9’s haya en el otro número, en este caso dos.

aumentamos en uno la parte de la izquierda, tendremos 3, y la ponemos debajo alineando la separación con el final del número de arriba, así:

restamos 3 de 235 y al 35 le aplicamos el Sutra.

235 x 99 = 23265

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Aunque ahora te parezca complicado con un poco de práctica es muy sencillo, solo tienes que practicar un poco. Con este método resuelves multiplicaciones sin tener que multiplicar en ningún momento lo que facilita mucho la operación. Piensa ahora en 12345 x 99

La solución a 12345 x 99 es 1222155. Con el método tradicional deberíamos hacer diez multiplicaciones por 9 además de multitud de sumas y restas, con el método védico el cálculo se reduce a unas cuantas sumas y restas sencillas. Algunos ejemplos resueltos más.

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PRACTICA a) 239 x 99 d) 16824 x 999 g) 421421 x 99

b) 321 x 99 e) 5555 x 999 h) 432812 x 999

c) 689 x 99 f) 7437 x 99 i) 76543 x 99

Soluciones: a) 23661 b) 31779 c) 68211 d) 16807176 e) 5549445 f) 736263 g) 41720679 h) 432379188 i) 7577757

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SUMA DE DÍGITOS (NAVASESH) La suma de dígitos o Navasesh consiste en reducir cualquier número a un solo dígito, para ello basta con sumar los dígitos del número hasta conseguir que se reduzca a una sola cifra. Por ejemplo el Navasesh de 21 es 3 porque 2 + 1 = 3 el Navasesh o suma de dígitos de 234 es 9 ya que 2 + 3 + 4 = 9 Es posible que al sumar los dígitos del número no consigamos reducirlo a una sola cifra, entonces seguiremos sumando hasta lograrlo. Así el Navasesh de 77 es 5 porque 7 + 7 = 14 y 1 + 4 = 5 PRACTICA Calcula la suma de dígitos o Navasesh de estos números: a) 123 d) 374 g) 3428

b) 224 e) 555 h) 1766

c) 448 f) 919 i) 8254

Soluciones: a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6 f) 1 g) 8 h) 2 i) 1

USOS DEL NAVASESH El Navasesh tiene varios usos interesantes, entre ellos: sirve para comprobar de forma rápida el resultado de operaciones. el Navasesh de un número coincide con el resto de dividir este número entre nueve. Como veremos más adelante esto nos servirá para dividir de manera sencilla.

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COMPROBAR OPERACIONES CON EL NAVASESH Podemos chequear el resultado de una operación usando el Navasesh de los números implicados. Para comprobar sumas, restas y multiplicaciones basta con calcular el Navasesh de cada número y ver si también se cumple la igualdad para estos Navasesh.

En estos tres ejemplos coincide el resultado de la operación con los números y con los Navasesh por lo que en principio pensamos que están bien. Se puede dar el caso de que al comprobar una resta, cuando la hacemos con los Navasesh obtengamos un número negativo, para pasarlo a positivo basta con sumarle 9.

El Navasesh de 321 es 6, al restarle el Navasesh de 242 (8) obtenemos – 2 que no puede ser el Navasesh de 79. Para convertir este – 2 en un número positivo basta con sumar 9 a – 2 obteniendo 7 que como vemos coincide con el Navasesh de 79. Lo mismo ocurre cuando al restar los Navasesh el resultado es cero, y es que el Navasesh no cambia cuando le sumamos 9 a un número. www.matematicasvedicas.org

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Te animo a que lo compruebes por ti mismo. PRACTICA Chequea el resultado de las siguientes operaciones usando el Navasesh: a) 458 + 243 = 701 d) 243 – 121 = 122 g) 14 x 13 = 172

b) 652 + 222 = 874 e) 431 – 260 = 171 h) 98 x 96 = 9408

c) 313 + 204 = 527 f) 233 – 122 = 101 i) 102 x 101 = 10302

Soluciones: a) OK (8 + 9 = 8) b) OK (4 + 6 = 1) c) NO (7 + 6 ≠5) d) OK (9 – 4 = 5) e) OK (8 – 8 = 0) f) NO (8 – 5 ≠ 2) g) NO (5 x 3 ≠ 1) h) OK (8 x 6 = 3) i) OK (3 x 2 = 6)

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DIVISIÓN Englobado bajo este mismo Sutra encontramos un método para dividir que consigue simplificar bastante las operaciones, de hecho permite resolver algunas divisiones sin necesidad de dividir en ningún momento. Pero antes de que lo aprendas tengo que enseñarte la manera en que expresamos la división en las matemáticas védicas porque se hace de una manera un poco distinta a cómo lo hacemos en el método tradicional. En el método tradicional la notación de las divisiones es así:

En el método védico notamos las divisiones de un modo un poco diferente pero que nos facilita un montón el cálculo:

Recuerda que el Dividendo es el número que estamos dividiendo, el divisor es el número entre el que dividimos, Cociente es el resultado de la división, es decir el número de veces en que el divisor está contenido en el Dividendo, y Resto es lo que sobra y no podemos dividir más.

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Por ejemplo, si estamos dividiendo 314 : 9, con el sistema tradicional lo notaríamos así:

Con el sistema védico la notación sería la siguiente:

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DIVISIÓN ENTRE 9 Como te he dicho cuando te hablaba de los usos del Navasesh, el Navasesh de un número coincide con el resto de dividir este número entre 9. Esta propiedad nos es de gran ayuda para dividir números entre 9 y nos permite hacer este tipo de divisiones sin ni siquiera tener que dividir. Si tenemos que dividir 23 : 9,

El primer dígito del 23 es la respuesta: 2 Y sumando los dígitos del 23 obtenemos el resto: 2 + 3 = 5 Es fácil entender porque funciona este método y es que cada 10 contiene un 9 y sobra 1. Así que 20 contiene 2 nueves (la respuesta) y sobran 2 que sumados al 3 nos dan el resto de la división (2 + 3 = 5). Veamos el ejemplo 51 : 9

El cociente es el primer dígito de 51 y el resto es la suma de dígitos (el Navasesh).

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PRACTICA a) 43 : 9 d) 25 : 9

b) 35 : 9 e) 50 : 9

c) 71 : 9 f) 65 : 9

Soluciones: a) 4/resto 7 b) 3/resto 8 c) 7/resto 8 d) 2/resto7 e) 5/resto 5 f) 6/resto 11 que es 7/resto 2

Puede ocurrir que al sumar los dígitos y obtener el resto tengamos un número igual o mayor a 9 como pasaba en el último ejercicio y como vemos en los siguientes ejemplos: 66 : 9

Obtenemos como resultado 6 y resto 12. Lo que pasa es que en 12 hay otro 9. Así que sumamos este nueve extra a 6 y calculamos el nuevo resto sustrayendo 9 de 12 o sumando los dígitos, de las dos maneras vemos que el resto es 3.

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Veamos 78 : 9

Acuérdate de que lo que estamos intentando hallar es el número de nueves que contiene 78, en la primera respuesta obtienes 7 resto 15. Es decir que 78 contiene 7 nueves y que sobran 15. Como en 15 hay otro nueve lo juntas con los 7 anteriores y al quitarlo de 15 sobran 6. Observa que este 6 es el Navasesh de 15 (1 + 5 = 6). PRACTICA a) 79 : 9 d) 47 : 9

b) 88 : 9 e) 57 : 9

c) 36 : 9 f) 68 : 9

Soluciones: a) 8/resto 7 b) 9/resto 7 c) 4/resto 0 d) 5/resto2 e) 6/resto 3 f) 7/resto 5

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NÚMEROS MÁS LARGOS Podemos extender este método a la división entre 9 de números más largos. 2321 : 9 = 257 / resto 8 Bajamos el 2 del principio y lo ponemos como primera cifra del resultado.

Al 2 le sumamos el 3 de 2321 y ponemos debajo el resultado, 5.

A 5 le sumamos el 2 de 2321 y escribimos debajo el resultado, 7.

Hacemos lo mismo, al 7 le sumamos 1 y tenemos el resto, 8.

La primera cifra del Dividendo coincide con la primera cifra del cociente, a esta cifra le vamos sumando el resto de dígitos para ir obteniendo el resto de cifras del resultado. El último número que obtenemos es el resto.

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Del mismo modo 4021 : 9 = 446 / resto 7.

Hemos calculado el resultado de una división sin tener que dividir en ningún momento, reduciendo los cálculos a meras sumas sencillas. PRACTICA a) 2112 : 9 d) 3210 : 9

b) 6200 : 9 e) 1511 : 9

c) 4111 : 9 f) 3214 : 9

Soluciones: a) 234/resto 6 b) 688/resto 8 c) 456/resto 7 d) 356/resto 6 e) 167/resto 8 f) 357/resto 1

Puede pasar que en algún momento de la suma obtengamos 9 o un número mayor, como ocurre al llegar al resto en el ejercicio f y como veíamos en casos anteriores. Actuamos de la misma manera, aumentamos el número anterior y en el lugar donde aparecía el número igual o mayor a 9 dejamos su Navasesh. Veamos otros casos para acabar de tenerlo claro: 1434 : 9 = 159 / 3

En este caso bajamos el 1 como primera cifra del resultado (cociente). www.matematicasvedicas.org

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Le vamos sumando el resto de dígitos para obtener las cifras del cociente. Al llegar al resto tenemos 8 + 4 = 12. Nos damos cuenta de que 12 contiene un 9 por lo que aumentamos en 1 el cociente (158 + 1 = 159). En el resto dejamos el Navasesh de 12 (1 + 2 = 3) que es lo mismo que restarle a 12 el 9 extra que contiene. En 6224 : 9 = 691 / 5

Bajamos el 6 como primera cifra del resultado, le sumamos 2 para obtener la segunda 8, entonces nos damos cuenta de que si a ese 8 le sumamos la siguiente cifra 8 + 2 = 10, el resultado es mayor que 9 así que aumentamos el 8 escribiendo 9 como segunda cifra y donde debía ir el 10 dejamos un 1 (el Navasesh de 10). Para hallar el resto volvemos a sumar, 1 + 4 = 5. PRACTICA a) 2614 : 9 d) 7145 : 9 g) 6922 : 9 j) 33174 : 9

b) 4113 : 9 e) 5241 : 9 h) 80231 : 9 k) 44001 : 9

c) 3621 : 9 f) 1663 : 9 i) 9241 : 9 l) 161616 : 9

Soluciones: a) 290/4 b) 457/0 c) 402/3 d) 793/8 e) 582/3 f) 184/7 g) 769/1 h) 8914/5 i) 1026/7 j) 3686/0 k) 4889/0 l) 17957/3

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DIVISIÓN ENTRE 99 El método que acabas de aprender se puede ampliar para usarlo en divisiones en las que el divisor es un número formado por 9’s. Aprenderemos a dividir entre 99 y a partir de ahí serás capaz de usar el método para cualquier número formado por una serie de nueves (999, 9999,…). La división entre 99 es muy similar a la división entre 9 pero como 99 tiene dos nueves podemos obtener el resultado de dos cifras en dos cifras. Supón que estamos calculando 121314 : 99 Lo primero que hacemos es separar las cifras del dividendo de dos en dos empezando desde la derecha. En este caso el resto tendrá dos cifras pues estamos dividiendo para 99.

Bajamos el 12 como primera parte de la respuesta.

Y le vamos sumando parejas de cifras hasta llegar al final. 12 + 13 = 25

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Con la última suma obtenemos el resto, 25 + 14 = 39

Así 121314 : 99 = 1225 / resto 39 Cuando el número que estamos dividiendo tiene un número de cifras impar al separarlo en parejas desde la derecha nos quedará una única cifra como primer número de la solución. Esto no supone ningún problema como vemos en 12345 : 9 = 124 / 69

Bajamos el 1 como primera cifra de la solución y vamos sumando parejas hasta llegar al resto. PRACTICA a) 2442 : 99 d) 213243 : 99 g) 602010 : 99

b) 414103 : 99 e) 162142 : 99 h) 73441 : 99

c) 321421 : 99 f) 17112 : 99 i) 12312312 : 99

Soluciones: a) 24/66 b) 4182/85 c) 3246/67 d) 2153/96 e) 1637/79 f) 172/84 g) 6080/90 h) 741/82 i) 124366/78

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EXTENSIÓN DEL MÉTODO PARA DIVIDIR ENTRE CUALQUIER NÚMERO FORMADO POR UNA SERIE DE 9’S Supongo que imaginarás que para dividir entre 999 lo único que hay que hacer es separar los dígitos del dividendo de tres en tres desde la derecha, para dividir entre 9999 de cuatro en cuatro y así sucesivamente. En cada caso obtendremos la respuesta tres en tres cifras, de cuatro en cuatro,… Basta con bajar el primer grupo de cifras como inicio de la solución e ir sumándole el grupo siguiente hasta llegar al resto. Así 423145221 : 999 = 423568 / 789

11436111 : 999 = 11447 / 558

421436281234 : 9999 = 42147842 / 9076

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PRACTICA a) 11256143 : 999 b) 242369214 : 999 d) 226666 : 999 e) 714231423 : 999 g) 24661222321 : 9999

c) 36215626 : 999 f) 632372902 : 999

Soluciones: a) 11267/410 b) 242611/825 c) 36251/877 d) 226/892 e) 714946/369 f) 633005/907 g) 2466368/8689

DIVISIÓN ENTRE NÚMEROS DEBAJO DE 100, 1000, 10000, … Como has visto dividir entre 9, 99, 999 es fácil con el método védico. También podemos dividir cualquier número entre otro que esté proximo a 100, 1000, 10000 sin en realidad tener que dividir en ningún momento. Supón que tenemos que dividir 235 : 88 Lo que hay que hallar es cuantas veces está contenido 88 en 235 y cuanto nos sobraría. Como cada 100 contiene un 88 parece claro que hay dos 88’s en 235. Y nos sobrarían dos 12’s (porque de 88 a 100 hay 12) que son 24 más el 35 del 235 nos dan el sobrante. La respuesta sería 2 resto 59 (24 + 35).

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Siguiendo la forma que hemos aprendido de notar las divisiones tenemos un método muy claro y sencillo para hacer esta división.

Separamos los dos último dígitos porque el resto tendrá dos cifras, ya que 88 está cerca de 100 que tiene dos ceros. Calculamos la distancia que hay desde 88 hasta 100, 12 y la escribimos debajo del 88.

Comenzamos a calcular el resultado de una forma muy similar a cómo lo hemos hecho antes: Bajamos el 2 como primera cifra de la solución:

Multiplicamos el 2 por el 12 y escribimos el resultado bajo el 35.

Basta sumar 35 + 24 para obtener el resto de la división.

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En un solo esquema:

La distancia de 88 hasta 100 la obtenemos utilizando el Sutra “Todos de 9 y el último de 10” por ello este método se engloba bajo este Sutra. Recuerda que el resto tendrá tantas cifras como ceros tenga el número del que está cerca el divisor. Así si estamos dividiendo entre 786 el resto tendrá tres cifras ya que 786 está cerca de 1000 que tiene tres ceros. Vamos a verlo en 2254 : 786 y a repasar el método para dejártelo lo más claro posible.

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PRACTICA a) 236 : 98 d) 217 : 79 g) 4363 : 888

b) 446 : 96 e) 6362 : 996 h) 2112 : 739

c) 324 : 89 f) 4258 : 962 i) 34268 : 8698

Soluciones: a) 2/40 b) 4/62 c) 3/57 d) 2/59 e) 6/386 f) 4/410 g) 4/811 h) 2/634 i) 3/8174

Nota: Te dejo resuelto el ejercicio b) 446 : 96 para que veas que la deficiencia, como el resto también debe tener tantos dígitos como ceros el número del que está cerca el divisor. Tendremos que acordarnos de poner el 0 para no equivocarnos al multiplicar por la deficiencia.

En estos ejemplos la respuesta está formada por un solo número, pero no todas las divisiones tienen una sola cifra como resultado, vamos a ver un ejemplo en el que la solución tiene dos cifras. 23184 : 896 = 25 / 784

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Bajamos el 2 de 23184 como primer número del cociente y lo multiplicamos por 104 poniendo el resultado en la segunda fila como te muestro.

Sumamos en la segunda columna 3 + 2 = 5 y lo escribimos debajo como segunda cifra del resultado.

Multiplicamos el 5 por 104 y escribimos el resultado, 520, en la tercera fila.

Sumando las tres columnas finales obtengo el resto, 784.

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Calculando 1120214 : 8893, el método es el mismo, pero el cociente tiene tres dígitos.

1120214 : 8893 = 125 / 8589 www.matematicasvedicas.org

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Ahora vamos a suponer que tenemos que calcular 1218 : 79

Cuando llegamos al resto vemos que 112 contiene otro 79, así que el resultado no es 12 sino 13. Para saber el resto basta con restar 79 a 112.

Así 1218 : 79 = 13 / 33. PRACTICA a) 1222 : 88 d) 13131 : 97 g) 21113 : 888

b) 20141 : 96 e) 11243 : 887 h) 30125 : 988

c) 23112 : 95 f) 21212 : 899 i) 112031 : 8898

Soluciones: a) 13/78 b) 209/77 c) 243/27 d) 135/36 e) 12/599 f) 23/535 g) 23/689 h) 30/485 i) 12/5255

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