Libro Diseños Factoriales Aplicado A Procesamiento De Minerales 4n4s6m

DISEÑOS EXPERIMENTALES APLICADO A PROCESAMIENTO DE MINERALES Diseños Factoriales

La siguiente guía es la publicación de la primera parte, de un conjunto de resúmenes de datos reales, que se aplican en procesamiento de minerales en base a la estadística. 13/12/2011

Alvaro Paitan Q.

PERU Alvaro PAITAN Q.

Primera Parte: 1

INTRODUCCION Las actividades de planear y realizar una investigación tienen implicaciones de estadística, es por ello que a la estadística se le considera como la base fundamental que relaciona una estructura sistematizada de los factores que intervienen en un proceso para obtener un resultado.

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Primera Parte: 1

DISEÑOS FACTORIALES ¿Que son los Diseños Factoriales? Los diseños factoriales permiten el estudio de las simulaciones de varios efectos del factor sobre el proceso conocido como respuesta. Para dicho estudio es necesario variar los niveles de los factores que intervienen. El diseño factorial se aplica:  Para determinar los efectos de los factores en estudio, para la función respuesta.  Eficiente en términos del tiempo y costo, porque disminuye el numero de tratamiento o pruebas.  Permite el estudio de interacciones entre los factores. ¿Cuándo usar los diseños factoriales? Se usa para:  Obtener eficiencia en las estimaciones de los efectos de cada factor de la respuesta.  Estimar los efectos de interacciones entre dos o más factores en la respuesta.  Probar la curvatura en la respuesta incluyendo el centro de los puntos de réplica en el diseño.  Determinar la varianza de error experimental. ¿Por qué usar los Diseño Factoriales? En la mayor parte de los diseños factoriales se usa para contestar preguntas como: ¿Cuáles son la preparación de las variables más influyentes en la respuesta? ¿Cuáles son los factores que optimizaran la respuesta? PRINCIPIOS PARA EL DISEÑO EXPERIMENTACION EN LA INVESTIGACION Para una buena investigación un investigador debe conocer los problemas de manera sistematizada con la finalidad de responder a las preguntas que se genera durante el análisis del problema. La buena planeación ayuda al investigador organizar las tareas necesarias para llevar al desarrollo una investigación. Un investigador debe tomar decisiones críticas, en base a la observación de los factores para buscar los mejores resultados de un proceso. Al iniciar una investigación es necesario una lista de verificaciones de aspectos concretos entre ellos tenemos: • Planteamiento del problema [email protected]

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Primera Parte: 1

Formulación del problema Objetivos trazados Justificación Limitaciones Antecedentes del estudio El marco teórico Hipótesis del tema en estudio Variables de la investigación Métodos Población y muestra Diseño Procedimiento e instrumentos de recolección de datos Procedimientos de análisis.

Entre estas etapas es necesario conocer también:  Los factores que influyen y cuáles de ellos varían y cuales permanecen constantes.  Número de repeticiones del experimento básico a realizar.  Los recursos y materiales disponibles. Cuáles son las preguntas sencillas para enfocar las actividades de una investigación. Las preguntas que centran nuestra atención a través del proceso de diseño incluyen: ''¿Cuál es mi objetivo?", ''¿Qué quiero saber?" y "¿Por qué quiero saberlo?". Las preguntas de seguimiento productivo para cada actividad en el proceso, tales como: "¿Cómo voy a realizar esta tarea?" y ''¿Por que hago esta tarea?", dirigen la atención a definir el papel de cada actividad en el estudio de investigación. Con lo que respecta a la investigación en procesamiento de minerales el investigador debe conocer las características del mineral a detalle, porque mediante el cual definirá los mejores procesos mediante los factores.

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Primera Parte: 1

APLICACIÓN DE LOS DISEÑOS FACTORIALES EN EL PROCESAMIENTO DE MINERALES Los diseños experimentales que se usaron en distintas empresas desde el siglo 19 permitió en las industrias identificar y controlar a los factores que más correlación tenía con la producción (función respuesta), lográndose aumentar la producción con el mínimo costo. Es importante en la actualidad enfocar los Diseños experimentales en el procesamiento de minerales de la metalurgia extractiva, con la finalidad de mejorar la producción en todos los aspectos. En procesamiento de minerales uno de los factores importantes que se bebe estudiar es la influencia de estos con la función respuesta, en este caso la recuperación del concentrado de mineral y las leyes de las mismas, la mayoría de los factores que se bebe estudiar es como ejemplo, los colectores, depresores, activadores, tiempo de acondicionamiento, condiciones de la pulpa, granulometría del mineral y otros. Para un estudio sistematizado de un problema en procesamiento de minerales es importante conocer los problemas en base a la identificación de las variables independientes y dependientes (Función respuesta). Por ello es de suma importancia la estadística en la Ingeniería Metalúrgica y en todas las otras Ingenierías. 1.- PRUEBAS METALURGICAS CON DISEÑO FACTORIAL. En metalurgia, especialmente en flotación de minerales, el proceso es complejo, del tipo caja negra (black box). La relación del criterio de optimización a las variables independientes del proceso (función respuesta), puede ser descrita con el siguiente modelo matemático. Sea la ecuación de la función respuesta:

Y =  ( x , u, z) ……(1.1) Donde: Y: Función respuesta. x : Variable controlable u : Variable no controlable z : Variable desconocida Las variables no controlables pueden medirse pero no controlar, y las variables desconocidas no pueden medirse ni controlarse y se encuentra dentro de las variables aleatorias; estas son incluidas dentro de la función respuesta como se puede ver en la ecuación (1.1)

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Primera Parte: 1

Para disminuir la influencia de las variables no controlables y las desconocidas en la función respuesta es necesario que las variables controladas tomen un rango o parámetro de operación esto se representa mediante la ecuación.

Y = (x1, x 2 ,..., x n ) +  ……….(1.2) Donde: e : Variable aleatoria (variable no controlada y desconocida). Xn : Variables controladas o estudiadas. En el diseño factorial 2K se estudian en la mayor parte de los casos los efectos de los factores y las “n” interacciones de las mismas. N=2K indica el numero de tratamientos que deben hacerse con los “K” factores y “n” interacciones. En la notación 2K los niveles superior e inferior están indicados por los signos (+) y (-) ó (+1) y (-1) respectivamente. Investigar con diseño experimental es determinar los experimentos que conviene usar para poder hacer un mejor estudio de las variables, al mismo tiempo determinar la influencia de cada una sobre la función respuesta. Es por ello importante para que una función respuesta se la mejor (optima) en procesamiento de minerales identificar y seleccionar las variables que más influyen para ello existe los diseños experimentales completos, fraccionados y de Planckett Burman que permite estudiar hasta 20 variables o factores. PRIMERA ETAPA DE SELECCIÓN DE VARIABLES. Es una de las etapas más importantes en la cual se debe definir las variables o factores a estudiar, estoy convencido de que en esta etapa el factor humano es importante, porque mediante el cual los rangos serán elegidos adecuadamente (con lógica), de no ser así el diseño aplicarse será poco confiable por no decirlo nulo. Si tomamos un ejemplo simple de realizar una flotación de zinc y en planta o históricamente se determino que el colector xantato se usa un promedio de 30g/TM, seria en vano escoger parámetros de 10g/TM y 60g/TM para las variables de investigación, debido a que estos datos están lejos del dato promedio. Para la selección de las variables es necesario usar todo los conocimientos en un proceso metalúrgico así como un diagnostico de todos los antecedentes de la operación, ya que será de mucha importancia para la identificación las posibles variables las cuales se someterán a pruebas de diseño factorial. Como ya mencionamos la codificación de las variables están en rango inferior con (-1) y el rango máximo con (+1) tomando como promedio cero (0). [email protected]

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Primera Parte: 1

¿Qué son las variables codificadas? Las variables codificadas son los datos que debe tomas las variables en rangos de una unidad sea (-1) ó (+1) con la finalidad de simplificar la interpretación de la correlación con el factor respuesta o factor observado, en la mayoría de los casos se toma este dato para tener referencia de una figura geometría en el plano cartesiana o en el espacio con centro en las orígenes (0). ¿Qué son las variables reales? Son las variables que toman datos reales del factor o variable sometido a prueba. CALCULOS PARA MATRIZ A ESCALA CODIFICADA Una de las formas más adecuadas, para pasar de la escala codifica sea X , a la escala real Z, es utilizando las ecuaciones siguientes: Z j = Z jo + X j .∆Z j …………(1.3) Donde: Zºj : Centro del diseño ∆Zj : Radio del diseño Xj : Escala codificada

Zimax + Zimin ………….(1.4) 2 Zimax − Zimin ∆Z j = ...............(1.5) 2 Para la selección de variables existen las plantillas codificadas y dependen del número de variables o factores. Z jo =

DISEÑOS FACTORIALES COMPLETOS En un experimento de Diseño factorial, las respuestas son medidas como una combinación de niveles de los factores experimental. La combinación de niveles de factores representa las condiciones de las cuales las respuestas serán medidas. Una condición experimental es una Corrida o prueba y la medida de la respuesta es una observación. Las pruebas enteras son el diseño. La aplicación de un diseño factorial completo en procesamiento de minerales es recomendable usar para el estudio desde dos hasta tres factores, esto se debe a que las pruebas que se realiza son como máximo hasta ocho y son económicamente posibles.

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Primera Parte: 1

Plantilla para el factorial 22 este diseño se aplica para estudiar los efectos de las dos variables A y B así como sus interacciones AB, AA y BB es aplicable en la mayoría en la etapa de optimización a mas detalle se tocara en la etapa siguiente. Tabla 1. Nº pruebas 1 2 3 4 5

A(X1) + + 0

B(X2) + + 0

Plantilla para el factorial 23 este diseño se aplica para identificar los efectos de tres variables A, B, C y sus interacciones AB, AC, BC y ABC Tabla 2. Nº pruebas 1 2 3 4 5 6 7 8

A(X1)

B(X2)

C(X3)

+ + + +

+ + + +

+ + + +

Para realizar una regresión es necesario que la diferencia entre el número de pruebas menos las variables y menos uno esto sea igual o mayor a uno en todas las plantillas a diseñar, por ejemplo en la Tabla 2 tenemos 8 pruebas y 3 variables entonces para la regresión quedan 4 a esto se le conoce como grados de libertad de la regresión. Esto se debe a que la ecuación lineal que forma es el siguiente:

Y = 0 + 1X1 + 2 X2 + 2 X3 ….. (1.6) En la ecuación 1.6 se observa que tenemos tres variables y una constante entonces los grados de libertad será: GL: 8 – 4 = 4 Para la regresión. Si queremos hallar la interacción AB, AC, CB y ABC entonces el grado de libertad será: GL: 8 – 8 = 0 tenemos grados de libertad igual a cero en estos casos no se puede realizar la regresión, para aumentar los grados de libertad mínimo a uno es necesario aumentar las replicas en el centro (aprovechando que las replicas en el centro en necesario realizar como mínimo 2 pruebas para encontrar el error experimental, curvatura de la ecuación y los cálculos con ANOVA). [email protected]

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Primera Parte: 1

El nuevo cuadro con interacción. Tabla 3. Nº Pruebas

A(X1)

B(X2)

C(X3)

AB

AC

BC

ABC

Y Respuesta (1) a b ab c ac bc abc

-1 -1 -1 1 1 1 1 -1 +1 -1 -1 2 -1 -1 1 1 -1 +1 -1 3 -1 1 -1 1 +1 +1 -1 4 1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 5 1 -1 -1 1 +1 -1 +1 6 -1 1 -1 -1 -1 +1 +1 7 -1 -1 1 -1 +1 +1 +1 8 1 1 1 1 9 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 Los signos de la interacción de las variables se completa multiplicando los signos de las mismas variables. Es importante considerar que los cuadros de diseño factorial deben cumplir la ortogonalidad.

Comprobación ortogonal. Para evaluar el ortogonal de un diseño, se necesita cambiar la hoja de trabajo a código de unidad. También se puede entender el diseño fácilmente en código automático como ya mencionamos. Las columnas de los cuadros deben ser ortogonales una a la otra, se pude tener las siguientes condiciones: • La suma de cada columna es cero. • La correlación entre cada columna es cero. Cuando los factores en un diseño son ortogonales, se puede estimar los factores de cada factor independientemente. Ventaja de un diseño ortogonal • Se pueden estimar términos de modelo. • Debido a que se puede encontrar la contribución independiente de cada efecto, el análisis es más simple al reducir un modelo, usted puede quitar todos los términos no significativos simultáneamente. En la tabla 3 se aumento las replicas en el centro con la finalidad de aumentar los grados de libertad. En la columna de Y función respuesta (respuesta observada) en cada fila representa un dato que permite calcular los efectos y la suma de cuadrados así como determinar el error experimental.

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Primera Parte: 1

CALCULO DE EFECTOS DE UN DISEÑO FACTORIAL 23 Los efectos se calculan con la siguiente formula. ContrasteA EfectoA = ……….(1.7) n2K −1 Donde: A: Variable n : Numero de replicas de Y(obs) K : Numero de variables independientes Los contrastes de cada variable se calculan de la siguiente forma. ContrasteA = [ b + ab + ac + abc − (1) − b − c − bc ]

ContrasteB = [b + ab + bc + abc − (1) − a − c − ac ] ContrasteC = [c + ac + bc + abc − (1) − a − b − ab] ContrasteAB = [ab − b − a + abc + (1) − bc − ac + c ] ContrasteAC = [(1) − a + b − ab − c + ac − bc + abc ] ContrasteBC = [(1) + a − b − ab − c − ac + bc + abc ] ContrasteABC = [abc − bc − ac + c − ab + b + a − (1)]

La suma de cuadrados de cada variable independiente se calcula con la siguiente formula:  ContrasteA  SCA =   …………..(1.8) n2K  La media de suma de cuadrados se determina: SCA CMA = …………..(1.9) g.l Donde: g.l : Grados de libertad de la variable, en un diseño factorial 2 K es la unidad. Ejemplo: En una planta metalúrgica el gerente de operaciones, busca mejorar la producción de concentrado de zinc, para ello selecciona tres variables más influyentes en el proceso con la finalidad interpretar los efectos en la producción, y buscar una posible optimización. Las variables seleccionados X1 (altura de espuma), X2 (Suministro de aire), X3 (agua de lavado) en rangos de 800:900mm, 25:35Ipm y 8:12lpm y la variable Y representado como la recuperación del concentrado de Zinc (es importante también relacionar con las leyes del concentrado, cabeza de mineral y la recuperación conocida como factor metalúrgico)

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Primera Parte: 1

El cuadro de diseño factorial 23 con dos pruebas centrales y una columna Xo para obtener la constante: n

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (x1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

B(x2)

C(x3)

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0

x1x2 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0 0

x1x3 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0

x2x3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 0

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0

X1X2X3 Yobs -1 86,4 1 89,5 1 86,1 -1 90,3 1 84,5 -1 85,7 -1 87,2 1 90,4 0 85,9 0 86,2

Para facilitar el cálculo de efectos se determina por matrices en Excel (se puede calcular con las formulas de efectos descritos con anterioridad). N X .Y [ X ]T .[Y ] ij i Ej = ∑ = N −r N −r i =1 2 2 [X]T: Transpuesta de la matriz codificada [Y] : Matriz de la función respuesta. N : Numero de pruebas. r : Replicas en el centro. [X]T 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 1 1 -1 1 -1 -1 -1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

1 1 -1 1 -1 1 -1 -1

1 -1 1 1 -1 -1 1 -1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

[X]T.[Y] Efecto 872,2 2,925 11,7 1,975 7,9 -1,13 -4,5 0,775 3,1 -0,72 -2,9 1,725 6,9 0,225 0,9

Analizando los efectos: La variable X1 influye con +2,9 en la recuperación de zinc, en segundo lugar le sigue X2 con +1,9, estas dos variables influyen directamente debido al signo positivo y mientras que la variable X3 influye negativamente con -1,13. Pero los efectos no determinan la confiabilidad del grado de influencia por lo tanto se realiza la regresión para evaluar con t – student. [email protected]

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Primera Parte: 1

Hallando las constantes con la siguiente ecuación en Excel:

[B] = ([ X ]T .[ X ])−1.([ X ]T .[Y ]) [B] : Constantes de la regresión -1

INVERSA ([X]T.[X]) 0,1 0 0 0 0,125 0 0 0 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0,125 0 0 0 0

0 0 0 0 0,125 0 0 0

0 0 0 0 0 0,125 0 0

0 0 0 0 0 0 0,125 0

0 0 0 0 0 0 0 0,125

Desarrollando obtenemos las constantes de la ecuación. [B] 87,22 1,4625 0,9875 -0,5625 0,3875 -0,3625 0,8625 0,1125

constante X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3

La ecuación.

Y= 87,22 + 1,46X1 +0,9875X2 -0,56X3 +0,387X1X2 -0,362X1X3 +0,86X2X3 +0,11X1X2X3

Analizando con t-student, para el análisis es importante realizar una regresión con las variables para los resultados. Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico Observaciones

Intercepción Variable X 1 Variable X 2 Variable X 3 Variable X1X2 Variable X1X3 Variable X2X3 [email protected]

0,954770042 0,911585832 0,602136245 1,316671941 10

Coeficientes 87,22 1,4625 0,9875 -0,5625 0,3875 -0,3625 0,8625

Error típico 0,41636823 0,46551383 0,46551383 0,46551383 0,46551383 0,46551383 0,46551383

Estadístico t Probabilidad 209,47804 2,2788E-05 3,1416897 0,08812773 2,12131185 0,16795073 -1,2083421 0,35039974 0,83241351 0,49274304 -0,7787094 0,51765713 1,85279136 0,20509867

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Primera Parte: 1

Variable X1X2X3

0,1125 0,46551383 0,24166844

0,83155634

Es importante observar que el coeficiente de determinación sea en la mayoría de los casos mayor a 0,9 como se puede ver en los resultados con un valor de 0,91158. Haciendo un entre paréntesis el análisis clásico de estadística esta siendo remplazado con el análisis de probabilidades. En el análisis con t-student se compara el error estadístico t de la regresión con t de la tabla con n-1 pruebas y 90 a 95% de probabilidad en dos colas. Para el ejemplo n-1 es 9 con una probabilidad de 90% en tabla es +1,83 y -1,83, para determinar qué factores influyen el error t debe estar fuera del rango de – y + de 1,83 y los únicos que salen de estos intervalos son los factores X1, X2 y la interacción X2X3, de esto se concluye que los factores que más influyen son X1 y X2. Analizando con ANOVA. Se aplica solamente cuando se realiza pruebas con replicas en el centro del diseño. La comparación de probabilidades se determina con Fisher con una cola hacia la derecha. Factores x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3 ERROR TOTAL

SC GL 17,111 7,8012 2,5313 1,2013 1,0512 5,9513 0,1012 0,045 35,794

CM 1 17,11125 1 7,80125 1 2,53125 1 1,20125 1 1,05125 1 5,95125 1 0,10125 1 0,045 9 3,9770833

Fº 380,25 173,3611 56,25 26,69444 23,36111 132,25 2,25

Ftabl(1,1,95%) 161,45 161,45 161,45 161,45 161,45 161,45 161,45

La terminología SC, GL y CM ya fueron definidos, para calcular Fº se divide el cuadrado medio de un factor entre el cuadrado medio del error, por ejemplo en X1 se obtiene 380,25. Para el análisis de F tabla se obtiene con los grados de libertad del numerador (factor) y denominador (error) y una probabilidad de 95%, en nuestro caso es 161,45. Si Fº>Ftabla entonces estos factores si influyen en la función respuesta y si Fº
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Primera Parte: 1

Calculo de Y estimado. Y = [Y ].[B ] ……….(1.10) Y observado Y estimado (Yobs-Yest)^2 (Yos-Ypromedio)^2 86,4 86,108 0,08555625 0,6724 89,5 89,208 0,08555625 5,1984 86,1 85,808 0,08555625 1,2544 90,3 90,008 0,08555625 9,4864 84,5 84,208 0,08555625 7,3984 85,7 85,408 0,08555625 2,3104 87,2 86,908 0,08555625 0,0004 90,4 90,108 0,08555625 10,1124 85,9 87,22 1,7424 1,7424 86,2 87,22 1,0404 1,0404

SCT= 39,216; SCE = 2,7828 Donde: SCT: Suma de (Y obs – Y promedio del observado)^2 SCE: Suma de (Y obs – Y est)^2 en las replicas centrales Error total =Error Experimental + Error del Modelo SCT =SCE + SCM SCM=SCT – SCE = 36,43 GL Error total Error experimental Error del modelo

SSC

CM

2

39,216

19,608

1 1

2,7828 36,4332

2,7828 36,4332

Error.mod elo G.L1 = 36,43/2,78 = 13,092 Fº= Error.mod elo G.L2 F tabla (GL1, GL2, 95%) = 161,45 Entonces Fº
Analizando con graficas. Diagrama de Pareto.

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Primera Parte: 1

Un diagrama de Pareto muestra cuales factores afectan la incorporación y la relativa magnitud de cada efecto. Mirar cuales términos contribuyen a la mayor variable respuesta. Grafica 1. Pareto Chart of the Standardized Effects (response is Y, Alpha = ,05) 12,71 F actor A B C

A B

N ame A B C

Term

BC C AB AC ABC 0

5

10 Standardized Effect

15

20

En la grafica 1 observamos que los factores A (X1) y B (X2) son los que intervienen con mayor efecto a la función respuesta, debemos tomar en cuenta siempre un análisis de Pareto es importante porque permite identificar los efectos de muchos factores en un proceso. La grafica 1 exhibe lo siguiente: • Los términos desde arriba hacia abajo en orden de importancia decreciente. • Una línea de referencia Mientras el diagrama de Pareto muestra una clara visualización de la magnitud de un efecto, este no provee información acerca de la dirección del efecto. Usar las graficas normales de efectos para evaluar la dirección. Grafica de probabilidad normal. Una grafica de probabilidad normal identifica el signo de cada efecto. Estos términos son los mismos efectos significativos que se muestran en el diagrama de Pareto. La identificación de signos se encuentra en la línea de las abscisas. Grafica 2.

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Primera Parte: 1 Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is Y, Alpha = ,05)

99

Effect Ty pe Not Significant Significant

95 A

90

Percent

80

B

70

F actor A B C

N ame A B C

60 50 40 30 20 10 5

1

-10

-5

0 5 10 Standardized Effect

15

20

La grafica 2 de probabilidad normal, muestra a los efectos más resaltantes y son aquellas que se encuentran alejados a la línea y estos son A y B, con signos positivos. Grafica de efectos de las variables seleccionadas. Es importante que después de la evolución de los factores y la selección respectiva (en nuestro caso A y B ó X1 y X2) se busque evaluar independientemente de cómo afecta en la función respuesta en nuestro caso la recuperación del Zinc (es importante considerar un factor metalúrgico). Grafica 3 Main Effects Plot (data means) for Y A

B

Point Ty pe C orner C enter

89,0

Mean of Y

88,5 88,0 87,5 87,0 86,5 86,0 -1

0

1

-1

0

1

En la grafica 3, el factor A y B influyen directamente en la recuperación de Zinc, esto nos lleva a concluir que sí aumentamos valores hacia la derecha del factor A y B, la [email protected]

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Primera Parte: 1

recuperación aumentará en este caso estamos entrando a la siguiente etapa conocida como optimización. Grafica de interacción. Esta grafica determina si los factores seleccionadas A y B conjuntamente en que grado pueden influir en la recuperación del concentrado de Zinc. Grafica 4. Interaction Plot (data means) for Y 91

A -1 0 1

90

Point Ty pe Corner Center Corner

Mean

89 88 87 86 85 -1

0 B

1

En la grafica 4, si el factor A toma un valor mínimo con referencia a B (línea continua) entonces la recuperación de Zinc no aumentara, llegando solamente a 86%; Pero si B (línea punteada) toma valores altos con referencia a B entonces la recuperación de Zinc aumentará 90%.

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Primera Parte: 1

Aréa a optimizar

Análisis superficial de respuestas. Grafica 5. Contour Plot of Y vs B; A 1,0

Y < 87 88 89 >

0,5

87 88 89 90 90

B

Hold Values C -1

0,0

-0,5

-1,0 -1,0

-0,5

0,0 A

0,5

1,0

DISEÑO FACTORIAL FRACCIONAL Para la mayoría de los experimentos, la cantidad de recursos disponibles (tiempo, dinero) es limitada, como el número de factores en 2k se incrementa, el número de corridas para preparar una réplica completa se incrementa rápidamente. En muchos casos, el diseño factorial completo comienza a ser muy costoso y difícil de preparar. Los diseños factorial fraccional usa fracciones de un diseño factorial completo para obtener información en relación a efectos principales y a bajas ordenes de interacción. Porque usar diseño factorial fraccional. Se pueden contestar las siguientes preguntas. • ¿Cuáles factores tienen un efecto mayor en la respuesta? • ¿Cuáles factores tienen solo un impacto insignificante en la respuesta? • ¿Cuáles ordenes de baja interacción son importantes para explicar la variación en la respuesta?

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Primera Parte: 1

Se usa cuando se busca estudiar los efectos de 4, 5 factores a más. Plantilla fraccionado en mitad para 4 factores. Tabla 4. Nº Prueba A B 1 -1 -1 2 +1 -1 3 -1 +1 4 +1 +1 5 -1 -1 6 +1 -1 7 -1 +1 8 +1 +1

C -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

Plantilla fraccionado en un cuarto para 5 factores. Tabla 5. Nº Prueba A B C 1 -1 -1 -1 2 +1 -1 -1 3 -1 +1 -1 4 +1 +1 -1 5 -1 -1 +1 6 +1 -1 +1 7 -1 +1 +1 8 +1 +1 +1

D -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1

D -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1

E -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1

DISEÑOS DE PLANCKETT BURMAN. Una clase de diseños desarrollada por Plackett y Burman (1946), que requiere un número de unidades experimentales igual a un múltiplo de 4, se ha utilizado de manera exhaustiva en experimentos exploratorios dentro de la investigación industrial. Ellos establecen diseños para valores intermedios de N que no sean una potencia de 2 y para N < 100, excepto 92. En la tabla 7 se encuentra una muestra de los diseños más prácticos y fáciles de construir encuentra para N = 12, 16, 20, 24 y 32 corridas experimentales; los diseños se pueden generar a partir de los renglones con signos + y -. En esta tabla, cada renglón de generadores tiene N - 1 coeficientes, que son los coeficientes + y - necesarios para la primera corrida de los N - 1 factores. Los coeficientes del factor para la segunda corrida se generan a partir de la primera, tomando el primer coeficiente de la primera corrida y colocándolo en la última posición de la segunda corrida y moviendo los coeficientes de la primera una posición a la izquierda; las corridas sucesivas se generan de la misma manera. Al completar el ciclo de reemplazo de coeficientes para N - 1 corridas, se agrega una corrida final con coeficientes - para los N - 1 factores. En la tabla 7 se muestra un diseño para N - 1 = 11 factores en N = 12 corridas. [email protected]

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PERU Alvaro PAITAN Q.

Primera Parte: 1

Plantilla de Planckett Burman para seis factores Tabla 6 Nº Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

C

D

E

F

G

+1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1

+1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1

+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 -1

-1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1

+1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1

-1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 -1

-1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1

EL arreglo de los (+) y (-) de las tablas de La Planckett Burman es tal que cuando una variables esta a un nivel dado la mitad son positivos y la otra mitad negativos y el efecto neto de una variable se calcula como la influencia de las otras variables. Estos efectos es la diferencia de los promedios de la suma de cantidades positivos y negativos de la función respuesta y se calcula con la siguiente formula. suma.de.(+) suma.de.(−) Efecto = − Numero(+) Numero(−) Suma (+): Suma de los valores positivos que se obtiene al multiplicar los signos de la columna de un factor con la función respuesta Y observada. Suma (-): Suma de los valores negativos que se obtiene al multiplicar los signos de la columna de un factor con la función respuesta Y observada. Numero (+) y (-): Es la cantidad de signos que intervienen en la columna de una variable o factor. Determinación de efectos de cada variable se determina con las ecuaciones mencionadas anteriormente, es importante considerar en una tabla de Planckett Burman una columna de un factor como constante en este caso para la tabla tomemos la columna D, esto se debe a que los efectos calculados se divide entre el error del diseño. Para determinar la significancia del efecto de las variables por el método t student y se calcula por regresión. En la mayoría de los casos de debe tomar una significancia mayor al 85% valida la probabilidad.

Tabla 7. [email protected]

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PERU Alvaro PAITAN Q.

Primera Parte: 1

Plantilla de 7 a 10 factores. Tabla 8. Prueba

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1

1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1

-1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1

1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1

1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1

1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1

-1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1

-1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1

-1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1

1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

-1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1

Un método para estimar la varianza del error experimental de diseños factoriales fraccionadas. Una prueba de la significancia de estos efectos requiere una estimación de la varianza del error experimental. Una estrategia general para obtener tal estimación incluye varios pasos, el primero selecciona aquellos efectos que parecen ser despreciables en la gráfica de probabilidad normal y une sus sumas de cuadrados para estimar el error experimental.

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