Ejercicios De Repaso 1, Teoría De Líneas De Transmisión 6a2z
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Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicios de repaso 1 Teoría de líneas de transmisión
Ejercicio 1
√ (
( )
)( )(
(
Enunciado
) ) (
Una línea de transmisión tiene los siguientes parámetros por unidad de longitud:
)
O lo que es lo mismo (
)
Ahora, ésta misma impedancia característica pero para una frecuencia de operación de :
√ ( Por simplicidad, se asume que estos cuatro parámetros son independientes a la frecuencia de operación. (a) Calcule la impedancia característica de la línea a ya . (b) Haga tres gráficas en función de la frecuencia, desde hasta , de , (constante de atenuación) y (constante de propagación).
Solución (a) Comenzaremos calculando la impedancia característica de la línea utilizando la expresión √ Así bien, sustituyendo los valores de cada una de las impedancias de los componentes a , la impedancia característica es:
( )
)( )(
(
) ) (
)
O lo que es lo mismo (
)
(b) Ahora, antes de hacer las gráficas de los parámetros requeridos, recordemos que están definidos como la parte real e imaginaria de la constante de propagación compleja : √(
)(
)
Donde es la constante de atenuación y la de propagación (como se mencionó en el enunciado del problema). Así bien, las gráficas pedidas en el enunciado es presentan a continuación.
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia impedancia de entrada a siguientes distancias de la , (b) y (c)
Characteristic Impedance of an Ideal Lossy Transmission Line 50.5 50 49.5
, a las carga: (a) .
abs(Z ) [ ]
49 0
48.5 48 47.5 47 46.5 7 10
8
9
10
10
10
10
Frequency [Hz]
Solución
Attenuation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line 0.189
La impedancia de entrada línea es
0.1885
a lo largo de la
[rad/m]
0.188
()
0.1875
0.187
En este caso, la constante de propagación compleja es
0.1865
0.186
0.1855 7 10
8
9
10
10
10
10
Frequency [Hz]
√
[ [(
( )
)( (
)] )(
)]
Propagation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line 400 350 300
La impedancia de carga para una Resistencia en serie con un inductor es , así bien, la impedancia de carga para la frecuencia pedida es:
[rad/m]
250 200 150 100
(
50 0 7 10
8
9
10
10
)(
)
10
10
(
Frequency [Hz]
Ejercicio 2 Enunciado La línea de transmisión con pérdidas ilustrada a continuación tiene los mismos parámetros por unidad de longitud que el problema anterior. La impedancia de carga consiste de un resistor de en serie con un inductor de . Calcule la
)
La impedancia característica para esta línea de transmisión fue obtenida en el ejercicio anterior: (
)
Así bien, al emplear estos datos sobre la expresión para calcular la impedancia de entrada, obtenemos:
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia a)
(
b)
(
c)
(
)
( )
)
) (
(
() )
Así bien, para
) (
)
(
)
(
) (
Ejercicio 3 (
Enunciado Para el siguiente circuito con línea de transmisión, calcule el coeficiente de reflexión en la carga, , el en la línea, la impedancia de entrada en la entrada de la línea. Asuma que , ( ) y (a) ; (b) .
(
)
)
(
)
( (
) )
)
Y para (
)
(
)
(
(
) (
)
)
Ejercicio 4 Enunciado
Solución El coeficiente de reflexión en la carga se puede calcular utilizando la expresión
Una línea de transmisión sin pérdidas está conectada a . (a) Si se mide un de en la carga, encuentre los dos valores posibles para . (b) ¿Cuál es el valor del SWR cuando se mide a una distancia desde la carga?
Solución Sustituyendo los datos dados enunciado, encontramos el valor de
en
Podemos aprovechar que tenemos coeficiente de reflexión para calcular el de a siguiente forma: | | | | La impedancia de entrada se calcula:
el
(a) Sabemos que la relación de onda estacionaria está definida así: | | | |
el
Y en este caso su valor es el módulo de sería:
, de forma que
| | Pero a su vez, el coeficiente de reflexión en la carga debe corresponder a:
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Posteriormente, lo calculamos per ahora a una distancia de desde la carga: Para ambos valores . Resolviendo la igualdad anterior para estos dos valores encontramos los dos posibles valores de la impedancia característica, que son:
(b) El valor de la impedancia de entrada medida a una distancia de es el mismo que en el resto de la línea de transmisión, pues es éste no depende de la longitud.
Ejercicio 5
)
Para poder hacer éste cálculo expresaremos la longitud en términos de lambda para así poder cancelar los términos .
( (
Una línea coaxial tiene una impedancia característica , una longitud física de , y está rellena con un dieléctrico cuyo . Si su frecuencia de operación es y está conectada a una impedancia , calcule el coeficiente de reflexión en la carga, , el coeficiente de reflexión en la entrada, , el SWR en la línea, y la impedancia en la entrada de la línea coaxial, .
Solución coeficiente
de
(
) )
)
(
)
Note que la magnitud no cambia, ya que estamos en un caso de una línea de transmisión sin pérdidas. El cálculo del forma:
Enunciado
Calculamos primero el reflexión en la carga :
(
se realiza de la siguiente | | | |
Finalmente, calculamos la impedancia de entrada al final de la línea ( ) () ( (
) (
) (
) )
( )
(
( (
) ) )
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicio 6 Enunciado El siguiente circuito con líneas de transmisión tiene , , , . Calcule la potencia promedio entregada a la carga si: (a) ; (b) .
Ya teniendo el voltaje de entrada en la línea, obtendremos ahora el voltaje incidente en la carga (ya que la potencia entregada corresponde únicamente a la parte incidente del voltaje). Sabemos que si el voltaje a lo largo de la línea es: () Entonces incidente línea:
(
)
podemos escribir el voltaje en función del voltaje en la () (
Solución El procedimiento a seguir será primero obtener el voltaje a la entrada de la línea de transmisión, para así poder trabajar el circuito como en los ejercicios anteriores. El voltaje a una distancia de la carga se puede obtener mediante la expresión que corresponde al divisor de voltaje:
)
Para el caso descrito en el inciso (a):
(
)
(
) (
Para el primer caso (a) donde impedancia de entrada es: ( (
, la
)
Una vez habiendo obtenido el voltaje incidente, es posible ahora calcular la potencia entregada a la carga:
) (
)
( (
) )
( (
) )
| | )
)
Así bien, al ejecutar el divisor de voltaje, obtenemos el voltaje en el nodo de entrada de la línea de transmisión (
(
√ )( (
) )
Para la longitud del inciso (b) se entregará la misma potencia a la carga, ya que estamos tratando con una línea sin pérdidas.
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicio 7 Enunciado Un radio transmisor de se conecta a una antena a través de una línea coaxial de . La antena puede ser representada por un resistor de en serie con un inductor cuando se opera a . Si el transmisor puede entregar cuando está conectada a una carga acoplada. (a) ¿Cuál es el valor equivalente de la fuente de voltaje ?; (b) ¿Cuánta potencia es entregada a la antena a ?
Solución Para encontrar el valor equivalente de la fuente, hagamos el supuesto entonces de que la carga está completamente acoplada a la línea de transmisión, es decir:
Así bien, podemos utilizar la expresión de potencia promedio para obtener el voltaje de entrada de la línea de transmisión y la carga : (
√ (
| | )
| | )
Dado que la línea está correctamente acoplada, la impedancia de entrada de la línea será también de , de modo que para encontrar el valor de la fuente equivalente del transmisor podemos utilizar el divisor de voltaje conformado por la impedancia de entrada y la impedancia de salida de la fuente: (
)
Donde es el voltaje en el nodo de entrada de la línea de transmisión. Así bien:
Ya conociendo el voltaje de la fuente, ahora podemos calcular la potencia entregada a la carga. Para facilitar los cálculos hagamos que la longitud de la línea de transmisión tenga un valor de (podemos hacer esta suposición ya que la potencia entregada es independiente de la longitud de la línea para el caso sin pérdidas), así bien, podemos seguir el mismo procedimiento que el ejercicio anterior. Primero obtengamos la impedancia de entrada de la línea, que después utilizaremos como parte del divisor de voltaje. () ( (
) (
)
) )
(
( (
) )
Recordemos ahora que la tangente de tiende a infinito, de modo que podemos simplificar la expresión a (
)
(
)
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia (
)
(
)
Ahora ejecutamos el divisor de voltaje
( (
( (
)) ) )
También necesitaremos calcular coeficiente de reflexión en la carga :
(
el
)
Y ahora podemos calcular el voltaje incidente en la carga : ( (
) ( ( (
) )
)
)
Por lo tanto, la potencia entregada a la carga es: (
(
| | )
)
Ejercicios de repaso 1 Teoría de líneas de transmisión
Ejercicio 1
√ (
( )
)( )(
(
Enunciado
) ) (
Una línea de transmisión tiene los siguientes parámetros por unidad de longitud:
)
O lo que es lo mismo (
)
Ahora, ésta misma impedancia característica pero para una frecuencia de operación de :
√ ( Por simplicidad, se asume que estos cuatro parámetros son independientes a la frecuencia de operación. (a) Calcule la impedancia característica de la línea a ya . (b) Haga tres gráficas en función de la frecuencia, desde hasta , de , (constante de atenuación) y (constante de propagación).
Solución (a) Comenzaremos calculando la impedancia característica de la línea utilizando la expresión √ Así bien, sustituyendo los valores de cada una de las impedancias de los componentes a , la impedancia característica es:
( )
)( )(
(
) ) (
)
O lo que es lo mismo (
)
(b) Ahora, antes de hacer las gráficas de los parámetros requeridos, recordemos que están definidos como la parte real e imaginaria de la constante de propagación compleja : √(
)(
)
Donde es la constante de atenuación y la de propagación (como se mencionó en el enunciado del problema). Así bien, las gráficas pedidas en el enunciado es presentan a continuación.
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia impedancia de entrada a siguientes distancias de la , (b) y (c)
Characteristic Impedance of an Ideal Lossy Transmission Line 50.5 50 49.5
, a las carga: (a) .
abs(Z ) [ ]
49 0
48.5 48 47.5 47 46.5 7 10
8
9
10
10
10
10
Frequency [Hz]
Solución
Attenuation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line 0.189
La impedancia de entrada línea es
0.1885
a lo largo de la
[rad/m]
0.188
()
0.1875
0.187
En este caso, la constante de propagación compleja es
0.1865
0.186
0.1855 7 10
8
9
10
10
10
10
Frequency [Hz]
√
[ [(
( )
)( (
)] )(
)]
Propagation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line 400 350 300
La impedancia de carga para una Resistencia en serie con un inductor es , así bien, la impedancia de carga para la frecuencia pedida es:
[rad/m]
250 200 150 100
(
50 0 7 10
8
9
10
10
)(
)
10
10
(
Frequency [Hz]
Ejercicio 2 Enunciado La línea de transmisión con pérdidas ilustrada a continuación tiene los mismos parámetros por unidad de longitud que el problema anterior. La impedancia de carga consiste de un resistor de en serie con un inductor de . Calcule la
)
La impedancia característica para esta línea de transmisión fue obtenida en el ejercicio anterior: (
)
Así bien, al emplear estos datos sobre la expresión para calcular la impedancia de entrada, obtenemos:
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia a)
(
b)
(
c)
(
)
( )
)
) (
(
() )
Así bien, para
) (
)
(
)
(
) (
Ejercicio 3 (
Enunciado Para el siguiente circuito con línea de transmisión, calcule el coeficiente de reflexión en la carga, , el en la línea, la impedancia de entrada en la entrada de la línea. Asuma que , ( ) y (a) ; (b) .
(
)
)
(
)
( (
) )
)
Y para (
)
(
)
(
(
) (
)
)
Ejercicio 4 Enunciado
Solución El coeficiente de reflexión en la carga se puede calcular utilizando la expresión
Una línea de transmisión sin pérdidas está conectada a . (a) Si se mide un de en la carga, encuentre los dos valores posibles para . (b) ¿Cuál es el valor del SWR cuando se mide a una distancia desde la carga?
Solución Sustituyendo los datos dados enunciado, encontramos el valor de
en
Podemos aprovechar que tenemos coeficiente de reflexión para calcular el de a siguiente forma: | | | | La impedancia de entrada se calcula:
el
(a) Sabemos que la relación de onda estacionaria está definida así: | | | |
el
Y en este caso su valor es el módulo de sería:
, de forma que
| | Pero a su vez, el coeficiente de reflexión en la carga debe corresponder a:
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Posteriormente, lo calculamos per ahora a una distancia de desde la carga: Para ambos valores . Resolviendo la igualdad anterior para estos dos valores encontramos los dos posibles valores de la impedancia característica, que son:
(b) El valor de la impedancia de entrada medida a una distancia de es el mismo que en el resto de la línea de transmisión, pues es éste no depende de la longitud.
Ejercicio 5
)
Para poder hacer éste cálculo expresaremos la longitud en términos de lambda para así poder cancelar los términos .
( (
Una línea coaxial tiene una impedancia característica , una longitud física de , y está rellena con un dieléctrico cuyo . Si su frecuencia de operación es y está conectada a una impedancia , calcule el coeficiente de reflexión en la carga, , el coeficiente de reflexión en la entrada, , el SWR en la línea, y la impedancia en la entrada de la línea coaxial, .
Solución coeficiente
de
(
) )
)
(
)
Note que la magnitud no cambia, ya que estamos en un caso de una línea de transmisión sin pérdidas. El cálculo del forma:
Enunciado
Calculamos primero el reflexión en la carga :
(
se realiza de la siguiente | | | |
Finalmente, calculamos la impedancia de entrada al final de la línea ( ) () ( (
) (
) (
) )
( )
(
( (
) ) )
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicio 6 Enunciado El siguiente circuito con líneas de transmisión tiene , , , . Calcule la potencia promedio entregada a la carga si: (a) ; (b) .
Ya teniendo el voltaje de entrada en la línea, obtendremos ahora el voltaje incidente en la carga (ya que la potencia entregada corresponde únicamente a la parte incidente del voltaje). Sabemos que si el voltaje a lo largo de la línea es: () Entonces incidente línea:
(
)
podemos escribir el voltaje en función del voltaje en la () (
Solución El procedimiento a seguir será primero obtener el voltaje a la entrada de la línea de transmisión, para así poder trabajar el circuito como en los ejercicios anteriores. El voltaje a una distancia de la carga se puede obtener mediante la expresión que corresponde al divisor de voltaje:
)
Para el caso descrito en el inciso (a):
(
)
(
) (
Para el primer caso (a) donde impedancia de entrada es: ( (
, la
)
Una vez habiendo obtenido el voltaje incidente, es posible ahora calcular la potencia entregada a la carga:
) (
)
( (
) )
( (
) )
| | )
)
Así bien, al ejecutar el divisor de voltaje, obtenemos el voltaje en el nodo de entrada de la línea de transmisión (
(
√ )( (
) )
Para la longitud del inciso (b) se entregará la misma potencia a la carga, ya que estamos tratando con una línea sin pérdidas.
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicio 7 Enunciado Un radio transmisor de se conecta a una antena a través de una línea coaxial de . La antena puede ser representada por un resistor de en serie con un inductor cuando se opera a . Si el transmisor puede entregar cuando está conectada a una carga acoplada. (a) ¿Cuál es el valor equivalente de la fuente de voltaje ?; (b) ¿Cuánta potencia es entregada a la antena a ?
Solución Para encontrar el valor equivalente de la fuente, hagamos el supuesto entonces de que la carga está completamente acoplada a la línea de transmisión, es decir:
Así bien, podemos utilizar la expresión de potencia promedio para obtener el voltaje de entrada de la línea de transmisión y la carga : (
√ (
| | )
| | )
Dado que la línea está correctamente acoplada, la impedancia de entrada de la línea será también de , de modo que para encontrar el valor de la fuente equivalente del transmisor podemos utilizar el divisor de voltaje conformado por la impedancia de entrada y la impedancia de salida de la fuente: (
)
Donde es el voltaje en el nodo de entrada de la línea de transmisión. Así bien:
Ya conociendo el voltaje de la fuente, ahora podemos calcular la potencia entregada a la carga. Para facilitar los cálculos hagamos que la longitud de la línea de transmisión tenga un valor de (podemos hacer esta suposición ya que la potencia entregada es independiente de la longitud de la línea para el caso sin pérdidas), así bien, podemos seguir el mismo procedimiento que el ejercicio anterior. Primero obtengamos la impedancia de entrada de la línea, que después utilizaremos como parte del divisor de voltaje. () ( (
) (
)
) )
(
( (
) )
Recordemos ahora que la tangente de tiende a infinito, de modo que podemos simplificar la expresión a (
)
(
)
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia (
)
(
)
Ahora ejecutamos el divisor de voltaje
( (
( (
)) ) )
También necesitaremos calcular coeficiente de reflexión en la carga :
(
el
)
Y ahora podemos calcular el voltaje incidente en la carga : ( (
) ( ( (
) )
)
)
Por lo tanto, la potencia entregada a la carga es: (
(
| | )
)
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