Espe Proyecto Geometría 1re5x

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS “ESPE”

FÍSICA DEBER CONJUNTO 3ER PARCIAL

DANIEL GEOVANNY DOMÍNGUEZ REYES [email protected]

15/01/2014

“Las matemáticas comenzaron a ser una ciencia cuando alguien, probablemente un griego, enunció proposiciones acerca de cualquier cosa o de alguna cosa sin especificar ninguna particularidad. Los griegos fueron los primeros en aplicar proposiciones a la geometría; por ello, la geometría fue la gran ciencia matemática en Grecia”. Johannes Kepler, 1600

ÍNDICE ÍNDICE................................................................................................................................................. 2 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 4 1.- GEOMETRÍA................................................................................................................................... 5 1.2.- FIGURAS GEOMÉTRICAS......................................................................................................... 5 2.- PRISMA .......................................................................................................................................... 5 2.1.- ELEMENTOS DE UN PRISMA................................................................................................... 6 2.1.1.- CARAS: ..................................................................................................................................... 6 2.1.2.- ARISTAS: .......................................................................................................................... 6 2.1.3.- VÉRTICES: ........................................................................................................................ 6 2.1.3.- ALTURA:........................................................................................................................... 6 2.2.- CLASIFICACIÓN DE PRISMAS .................................................................................................. 6 2.2.1.- SEGÚN LA FORMA DE SUS CARAS LATERALES ................................................................ 6 2.2.2.- SEGÚN SU BASE............................................................................................................... 8 3.- PIRÁMIDE .................................................................................................................................... 10 3.1.- ELEMENTOS DE UNA PIRÁMIDE ........................................................................................... 11 3.1.1.- CARAS: ........................................................................................................................... 11 3.1.2.- ARISTAS: ........................................................................................................................ 11 3.1.3.- VÉRTICES: ...................................................................................................................... 11 3.1.4.- ALTURA:......................................................................................................................... 11 3.2.- ÁREA DE UNA PIRÁMIDE ...................................................................................................... 12 3.2.1.- ÁREA DE LA BASE .......................................................................................................... 12 3.2.2.- ÁREA LATERAL ............................................................................................................... 12 3.2.3.- ÁREA TOTAL .................................................................................................................. 12 3.3.- VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE.............................................................................................. 12 3.4.- CLASIFICACIÓN DE PIRÁMIDES............................................................................................. 13 3.4.1.- PIRAMIDE REGULAR ...................................................................................................... 13 3.4.2.- PIRAMIDE IRREGULAR ................................................................................................... 13 3.4.3.- PIRÁMIDE CONVEXA ..................................................................................................... 14 3.4.4.- PIRÁMIDE CÓNCAVA ..................................................................................................... 14 3.4.5.- PIRÁMIDE RECTA ........................................................................................................... 15 3.4.6.- PIRÁMIDE OBLICUA ....................................................................................................... 15 3.4.7.- SEGÚN SU BASE............................................................................................................. 15 2

4.- CILINDRO ..................................................................................................................................... 17 4.1.- ELEMENTOS DEL CILINDRO .................................................................................................. 17 4.1.1.- EJE: ................................................................................................................................ 17 4.1.2.- BASES: ........................................................................................................................... 17 4.1.3.- ALTURA:......................................................................................................................... 18 4.1.4.- GENERATRIZ: ................................................................................................................. 18 4.2.- ÁREA DEL CILINDRO ............................................................................................................. 18 4.3.- CLASIFICACIÓN DE LOS CILINDROS ...................................................................................... 18 4.3.1.- CILINDRO RECTO ........................................................................................................... 19 4.3.2.- CILINDRO OBLICUO ....................................................................................................... 19 5.- ESFERAS....................................................................................................................................... 19 5.1.- ELEMENTOS DE LA ESFERA .................................................................................................. 20 5.1.1.- CENTRO: ........................................................................................................................ 20 5.1.2.- RADIO: ........................................................................................................................... 20 5.1.3.- CUERDA: ........................................................................................................................ 20 5.1.4.- DIÁMETRO:.................................................................................................................... 20 5.1.5.- POLOS:........................................................................................................................... 20 5.2.- RADIO DE LA ESFERA ................................................................................................................ 21 5.3.- ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA ....................................................................................... 21 5.4.- VOLUMEN DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA ............................................................................... 21 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................... 22

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INTRODUCCIÓN

La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías). La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta que las definiciones, axiomas y teoremas no sólo pretenden describir el comportamiento de unos objetos. Cuando se axiomatiza algo, se convierte ese comportamiento en el objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelos).

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1.- GEOMETRÍA La geometría es una parte de la matemática que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros. “En la práctica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, sistema de posicionamiento global. También es la que nos permite medir áreas y volúmenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artesanías”1. La geometría clásica o axiomática es una matemática en la cual los objetos, en vez de ser números, son puntos, rectas, planos y otras figuras definidas en función de estas 1.2.- FIGURAS GEOMÉTRICAS Una figura geométrica es un conjunto cuyos elementos son puntos. La geometría es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el espacio o en el plano, estudia sus características: forma, extensión, posición relativa y propiedades. 2.- PRISMA “Prisma proviene del latín prisma y tiene su antecedente más remoto en un vocablo griego. En el ámbito de la geometría, se conoce como prisma a un cuerpo cuyos límites lo establecen un par de polígonos iguales y planos, dispuestos de forma paralela, y diversos paralelogramos, de acuerdo a la cantidad de lados que dispongan sus bases. Esto quiere decir que si las bases son triángulos, estaremos hablando de un prisma triangular”2.

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2.1.- ELEMENTOS DE UN PRISMA “Los lados de las bases, constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales, las aristas laterales; éstas son iguales y paralelas entre sí”3.

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Fig. 1. “Elementos de un prisma” .

2.1.1.- CARAS: Porción de plano que limita un cuerpo 2.1.2.- ARISTAS: Segmentos donde se intersecan (juntan) dos caras. 2.1.3.- VÉRTICES: Son los puntos donde se interceptan tres o más aristas. 2.1.3.- ALTURA: Es la distancia medida entre las bases. 2.2.- CLASIFICACIÓN DE PRISMAS 2.2.1.- SEGÚN LA FORMA DE SUS CARAS LATERALES

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2.2.1.1.- PRISMAS RECTOS

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Fig. 2. “Prisma Recto” .

Son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados. Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. 2.2.1.1.1.- PRISMAS REGULARES

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Fig. 3. “Prisma Regular” .

Son aquellos cuyas bases son polígonos regulares. 2.2.1.1.2.- PRISMAS IRREGULARES

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Fig. 4. “Prisma Irregular” . 5 6

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Son aquellos cuyas bases son polígonos irregulares. 2.2.1.2.- PRISMAS OBLICUOS

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Fig. 5. “Prisma Oblicuo” .

Son aquellos cuyas caras laterales son paralelogramos que no son rectángulos ni cuadrados. Sus aristas laterales no son perpendiculares a las bases. 2.2.2.- SEGÚN SU BASE 2.2.2.1.- PARALELEPIPEDOS

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Fig. 6. “Prisma Paralelepípedo” .

Los paralelepípedos son los prismas cuyas bases son paralelogramos. 2.2.2.2.- ORTOEDROS

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Fig. 7. “Prisma Ortoedros” . 7

(CEIBAL, 2012) (CEIBAL, 2012) 9 (DIVERTIPAPEL) 8

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Los ortoedros son paralelepípedos que tienen todas sus caras rectangulares. 2.2.2.3.- TRIANGULAR

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Fig. 8. “Prisma Triangular” .

Sus bases son triángulos 2.2.2.4.- CUADRANGULAR

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Fig. 9. “Prisma Cuadrangular” .

Sus bases son cuadradas.

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(CEIBAL, 2012) (CEIBAL, 2012) 12 (CEIBAL, 2012) 11

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2.2.2.5.- PENTAGONAL

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Fig. 10. “Prisma Pentagonal” .

Sus bases son pentágonas. 2.2.2.6.- HEXAGONAL

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Fig. 11. “Prisma Hexagonal” .

Sus bases son hexágonos. 3.- PIRÁMIDE Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice. El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.

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3.1.- ELEMENTOS DE UNA PIRÁMIDE

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Fig. 12. “Elementos de una pirámide” .

3.1.1.- CARAS: Pueden ser: - Base de la pirámide, que es un polígono cualquiera. - Caras laterales de la pirámide, que son triángulos. 3.1.2.- ARISTAS: Pueden ser: - Aristas básicas, que son los lados de la base. - Aristas laterales, que son los lados de las caras laterales que no son aristas básicas. 3.1.3.- VÉRTICES: Pueden ser - Vértices de la base, que son los vértices del polígono de la base. - Vértice o cúspide de la pirámide, que es el punto en el que se encuentran las aristas laterales. 3.1.4.- ALTURA: 15

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Es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice. 3.2.- ÁREA DE UNA PIRÁMIDE

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Fig. 13. “Área de una pirámide” .

3.2.1.- ÁREA DE LA BASE Como la base de una pirámide puede ser cualquier polígono, entonces llamamos área de la base (Ab) de la pirámide al área del polígono que conforma su base. 3.2.2.- ÁREA LATERAL Las caras laterales de la pirámide son triángulos y habrá tantas caras laterales como lados tenga el polígono de la base. Entonces el área lateral (AL) de la pirámide se calcula como la suma de todas las áreas de los triángulos que conforman las caras laterales: AL =A1 + A2 + A3 +... 3.2.3.- ÁREA TOTAL El área total (AT) de la pirámide se calcula como la suma de su área de la base (Ab) y el área lateral (AL), es decir, con la fórmula: AT = Ab + AL 3.3.- VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base

por la altura:

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El volumen de una pirámide es una tercera parte del volumen de un prisma recto que tenga la misma base y la misma altura:

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Fig. 14. “Área de una pirámide” .

3.4.- CLASIFICACIÓN DE PIRÁMIDES 3.4.1.- PIRAMIDE REGULAR

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Fig. 15. “Pirámide Regular” .

La pirámide regular tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales. 3.4.2.- PIRAMIDE IRREGULAR

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Fig. 16. “Pirámide Irregular” .

La pirámide irregular tiene de base un polígono irregular. 3.4.3.- PIRÁMIDE CONVEXA

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Fig. 17. “Pirámide Convexa” .

La pirámide convexa tiene de base un polígono convexo. 3.4.4.- PIRÁMIDE CÓNCAVA

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Fig. 18. “Pirámide Cóncava” .

La pirámide convexa tiene de base un polígono cóncavo. 19

(CEIBAL, 2012) (CEIBAL, 2012) 21 (CEIBAL, 2012) 20

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3.4.5.- PIRÁMIDE RECTA

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Fig. 19. “Pirámide Recta” .

En la pirámide recta todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base. 3.4.6.- PIRÁMIDE OBLICUA

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Fig. 20. “Pirámide Oblicua” .

En la pirámide oblicua alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles. 3.4.7.- SEGÚN SU BASE 3.4.8.1.- TRIANGULAR

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Fig. 21. “Pirámide Triangular” .

Su base es un triángulo 3.4.8.2.- CUADRANGULAR

Fig. 22. “Pirámide Cuadrangular”.

Su base es un cuadrado. 3.4.8.3.- PENTAGONAL

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Fig. 23. “Pirámide Pentagonal” .

Su base es un pentágono.

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3.4.8.4.- HEXAGONAL

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Fig. 24. “Pirámide Hexagonal” .

Su base es un hexágono. 4.- CILINDRO En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro. 4.1.- ELEMENTOS DEL CILINDRO

Fig. 25. “Elementos del cilindro”.

4.1.1.- EJE: Lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo. 4.1.2.- BASES: Son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro. 26

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4.1.3.- ALTURA: Corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto. 4.1.4.- GENERATRIZ: Es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la superficie lateral o manto del cilindro. 4.2.- ÁREA DEL CILINDRO

Fig. 26. “Área del cilindro”.

En el desarrollo de un cilindro se aprecia que su superficie lateral es un rectángulo cuya base es igual al perímetro del círculo, 2 r, y cuya altura h, es la del cilindro. Por lo tanto: Área lateral = 2

rxh

Área total = Área lateral + Área de las dos bases Área total = 2

rxh+2

r2

4.3.- CLASIFICACIÓN DE LOS CILINDROS

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4.3.1.- CILINDRO RECTO

Fig. 27. “Cilindro Recto”.

Si el eje del cilindro es perpendicular a las bases. 4.3.2.- CILINDRO OBLICUO

Fig. 28. “Cilindro Oblicuo”.

Si el eje del cilindro no es perpendicular a las bases. 5.- ESFERAS En geometría, una superficie esférica es un lugar geométrico o el conjunto de los puntos del espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica llama esfera.

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5.1.- ELEMENTOS DE LA ESFERA

Fig. 29. “Elementos de la Esfera”.

5.1.1.- CENTRO: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.

5.1.2.- RADIO: Distancia del centro a un punto de la esfera. 5.1.3.- CUERDA: Segmento que une dos puntos de la superficie. 5.1.4.- DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro. 5.1.5.- POLOS: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

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5.2.- RADIO DE LA ESFERA

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Fig. 30. “Radio de la Esfera” .

Calculamos la radio de la esfera, conociendo la distancia de un plano que corta la esfera y el radio de la sección, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado: 5.3.- ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA

5.4.- VOLUMEN DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA

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BIBLIOGRAFÍA CEIBAL. (2012). www.ceibal.edu.uy. Obtenido de http://www.ceibal.edu.uy/Files/P0001/ODEA/ORIGINAL/110908_prismas.elp/elementos_de _un_prisma.html DANIEL. (2010). figure-geometriche-n-n.blogspot.com. Obtenido de http://figure-geometriche-nn.blogspot.com/2010/12/los-son-los-siguientes-las-bases-en-la.html DIVERTIPAPEL. (s.f.). divertipapel.com. Obtenido de http://divertipapel.com/imprimirarmar/paralelepipedo.html GNU. (2012). www.culturageneral.net. Obtenido de http://www.culturageneral.net/matematicas/definicion_geometria.htm WORDPRESS. (2012). definicion.de. Obtenido de http://definicion.de/prisma/

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