Ejercicios Resueltos De Estadística Bidimensional k2o17

EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL 1.- Escriba sobre una línea, “V” si el enunciado es verdadero o “F” si es falso: 1.1.- La covarianza mide la relación lineal entre dos variables, pero depende de las unidades de medida utilizadas…………………………………………………………….( ) 1.2.- Para encontrar las frecuencias relativas marginales de la variable columna en una tabla de contingencia, se debe dividir el total de la columna por el tamaño muestral………….( ) 1.3.- Al calcular las frecuencias relativas condicionales de la variable columna dada la variable fila de una tabla de contingencia, las celdas se dividen por el total columna……( ) Solución: El orden de las respuestas son: 1.1.- V; 1.2.- V; 1.3.- F 2.- Se ha observado conjuntamente "la edad" y "la antigüedad" de los trabajadores de una empresa. De los datos resulta que el 18% de los trabajadores tienen menos de 30 años y 2 años de antigüedad. Este 18% es: a) b) c) d)

Una frecuencia relativa de la variable antigüedad condicionada a la variable edad Una frecuencia relativa conjunta de las variables edad y antigüedad. Una frecuencia relativa de la variable edad condicionada a la variable antigüedad. Una frecuencia relativa marginal de la variable edad.

Solución: b) Una frecuencia relativa conjunta de las variables edad y antigüedad. 3.- La siguiente distribución corresponde a 210 ciudadanos considerado su opinión ciudadana agrupada en tres categorías (a favor, en contra e indeciso) en la construcción de una autopista según sexo. Opinión (Y) Sexo (X)

Hombres Mujeres TOTAL

Total A favor

En contra

Indeciso

41 40 81

39 43 82

20 27 47

100 110 210

a) Construir las distribuciones de frecuencias marginales para las variables X e Y respectivamente. Además interpretar f 2. y f .3 . b) Construir las distribuciones de frecuencias relativas bidimensionales para las variables X e Y. Además interpretar: f 22 y h23

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c) Construir las distribuciones de frecuencias relativas marginales de X e Y respectivamente. Además interpretar: h1. y h.3 . 4.- Los siguientes datos representan las calificaciones de los estudiantes del 5to grado de la I.E. 25014, en los cursos de matemática (X), y comunicación (Y). Los datos hipotéticos son: X 9 11 14 11 16 13 15

Y 13 12 17 13 15 11 14

X 12 16 14 10 11 14 6

Y 12 18 14 16 14 15 8

X 12 10 13 10 13 10

Y 13 16 16 12 13 14

Presentar dichos datos mediantes una tabla de distribución bidimensional de frecuencias. Considere para cada caso k=5 (número de intervalos). Solución: Construiremos un cuadro de frecuencias bidimensionales con intervalos: Para Y:

Para X: R  X max  X min  16  6

R  10 A  R / k  10 / 5 A2 Construyendo el cuadro de frecuencias bidimensionales: X/Y [6-8> [8-10> [10-12> [12-14> [14-16] Total

[8-10> 1 0 0 0 0 1

[10-12> 0 0 0 1 0 1

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[12-14> 0 1 3 3 0 7

[14-16> 0 0 2 0 4 6

[16-18] 0 0 2 1 2 5

Total 1 1 7 5 6 20

5.- La tabla de frecuencias que se presenta a continuación es el resultado de una muestra aleatoria de parejas de padre e hijo. hijo

padre

Menos de 1.60 m De 1.60 a 1.80 Más de 1.80 Total

Menos de 1.60 m 50 150 5 205

De 1.60 a 1.80 m 400 2000 300 2700

Más de 1.80 m 10 200 60 270

Total 460 2350 365 3175

Hallar: a) La distribución marginal. b) La tabla de distribución absoluta acumulada. Solución: En a) Distribución Marginal de la talla del hijo: Condición X Menos de 1.60 m De 1.60 a 1.80 Más de 1.80 Total

f i.

hi.

460 2350 365 3175

0.145 0.740 0.115 1.000

Distribución Marginal de la talla del padre: Condición Y Menos de 1.60 m De 1.60 a 1.80 Más de 1.80 Total

f. j

h. j

205 2700 270 3175

0.065 0.850 0.085 1.000

En b) La tabla de distribución de frecuencias absolutas acumuladas:

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1

1

F11   f ij  f11  50 i 1 j 1 1

2

F12   f ij  f11  f12  50  400  450 i 1 j 1 1

3

F13   f ij  f11  f12  f13  50  400  10  460 i 1 j 1 2

1

F21   f ij  f11  f 21  50  150  200 i 1 j 1 2

2

F22   f ij  f11  f12  f 21  f 22  50  400  150  2000  2600 i 1 j 1 2

3

F23   f ij  f11  f12  f13  f 21  f 22  f 23  50  400  10  150  2000  200  2810 i 1 j 1

3

1

F31   f ij  f11  f 21  f 31  50  150  5  205 i 1 j 1 3

2

F32   f ij  f11  f12  f 21  f 22  f 31  f 32  50  400  150  2000  5  300  2905 i 1 j 1 3

3

F33   f ij  f11  f12  f13  f 21  f 22  f 23  f 31  f 32  f 33  50  400  10  150  2000  i 1 j 1

200  5  300  60  3175 La tabla de distribución de frecuencias absolutas acumuladas completa es: padre

hijo

Menos de 1.60 m De 1.60 a 1.80 Más de 1.80

Menos de 1.60 m 50 200 205

De 1.60 a 1.80 m 450 2600 2905

Más de 1.80 m 460 2810 3175

6.- Dada la variable estadística bidimensional (X, Y) con la tabla de frecuencias: X/Y 1 3 5

1 2 3 0

2 0 1 1

4 1 0 0

6 1 1 5

Se pide: 3

a)

4

 f i 1 j 1

3

ij

b) h23 , h34 , h21

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c)

4

 f ; f i 1

i.

j 1

.j

d) h xi / Y 2  y h y j / X 3

Solución: En a) 3

4

 f i 1 j 1 3

ij

 f11  f 12 f13  f14  f 21  f 22 f 23  f 24  f 31  f 32 f 33  f 34

ij

 2  0  1  1  3  1  0  1  0  1  0  5  15

4

 f i 1 j 1

En b)

f 23 0  0 n 15  f 5 h34  34   0. 3 n 15 f 3 h21  21   0.20 n 15 h23 

En c) 3

f i 1

i.

 f1.  f 2.  f 3.  4  5  6  15

.j

 f .1  f .2  f .3  f .4  5  2  1  7  15

4

f j 1

En d) h xi / Y 2  X

f  xi / Y 2 

h xi / Y 2 

1 3 5

0 1 1 f .2  2

0 ½ ½

Y

f  yi / X  3 

h yi / X 3

1 2 4 6

0 1 0 5 f 3.  6

1

h y j / X 3 0 1/6 0 5/6 1

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7.- Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en Estadística (E) y Macroeconomía (M): E M

3 5

4 5

6 8

7 7

5 7

8 9

7 10

3 4

5 7

4 4

8 10

5 5

5 7

8 9

8 10

8 5

a) Hallar la tabla de frecuencias. b) Hallar las distribuciones marginales, medias y varianzas muestrales de las mismas. c) Covarianza muestral. Solución: En a) Construyendo el cuadro de distribución bidimensional: E/M 3 4 5 6 7 8 f. j

4 1 1

5 1 1 1

6

7

8

9

10

2

1 2

fi. 2 2 5 1 2 5

2

3

17

4 1 1

1 2

4

0

5

1

En b) Marginal de Y:

Marginal de X: X 3 4 5 6 7 8 Total

fi. 2 2 5 1 2 5 17

hi. 0.118 0.118 0.294 0.059 0.118 0.294 1.000

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Y 4 5 6 7 8 9 10

2 4 0 5 1 2 3

0.118 0.235 0.000 0.294 0.059 0.118 0.176

17

1.000

5 7

Medias y Varianzas Muestrales:

X  S

Y S

f i.

i

n

X 

2 X

2 Y

X

Y f i

2 i

f i.  n X

n 1

2

i

2

629  17 5.824  3.274 17  1 2



7

.j

n

Y 

 5.824

f i.  nY

2

n 1

903  17 7    4.375 17  1 2

Covarianza: S xy 

 X

i

 X Yi  Y  n 1



46  2.875 16

8.- Se conocen las varianzas de la suma y la diferencia de dos variables: V x  y   8.3 y V x  y   10.1 Hallar la covarianza de ambas variables Solución: V x  y   V x   V  y   2Covx, y   8.3.......I 

V x  y   V x   V  y   2Covx, y   10.1......II  Multiplicando a (I) por -1:  V x   V  y   2Covx, y   8.3

V x   V  y   2Covx, y   10.1

 4Covx, y   1.8  Covx, y   0.45

9.- La siguiente tabla de contingencia recoge la información sobre la preferencia de los jóvenes sobre conocidas marcas de gaseosas según edades: GASEOSA/EDAD Marca A Marca B Marca C

Menor de 15 150 300 300

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De 15 a 25 100 125 200

De 26 a 35 200 200 300

Marca la respuesta correcta: 9.1.- La frecuencia marginal relativa porcentual para Edad de 15 a 25 es: a) 22.67%

b) 40.00%

c) 37.333%

d ) 33.33%

9.2.- La frecuencia relativa porcentual para gaseosa Marca B y edad menor de 15: a) 10.67%

b) 6.67%

c)16.00%

d ) 8.00%

9.3.- La frecuencia condicional relativa porcentual de Marca C dado que la persona tiene una edad de 26 a 35 años: a) 42.67%

b) 28.57%

c) 37.50%

d ) 42.86%

Solución: f .1 750 *100  *100  40.0% n 1875 f 300 9.2.- h22 %  22 *100  *100  16.0% n 1875 f ( x / Y 2635) 300 *100  *100  42.86% 9.3.- h( X 3. / Y 2635) %  3. f .3 700

9.1.- h.1 % 

10.- La relación entre gastos en publicidad (miles de soles) y ventas efectuadas (miles de unidades) de cierto producto por una empresa viene expresada por la siguiente tabla:

Publicidad Ventas f ij

4 6

4 8

6 6

6 8

6 10

8 8

8 10

5

1

1

3

5

4

3

Disponer los datos en forma de tabla de doble entrada y obtener: a) Hallar e interpretar las Medias b) Calcular e Interpretar la covarianza c) Calcular e interpretar el gasto medio en publicidad, cuando las ventas realizadas son ocho mil unidades.

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Solución: Primero definimos que X= Publicidad y Y=Ventas luego construimos nuestro cuadro de distribución de frecuencias bidimensionales: X/Y 4 6 8

6 5 1 0

8 1 3 4

10 0 5 3

En a) Media de X:  X i f i.  46  69  87  6.091 X  n 22 Interpretación: El gasto en publicidad promedio en cierto producto por una empresa es de aproximadamente 6 mil soles. Media de Y: Yi f . j  66  88  108  8.182 Y n 22 Interpretación: El número promedio de ventas efectuadas en cierto producto por una empresa es de aproximadamente 8 mil unidades. En b) Utilizando la fórmula de la covarianza de una muestra para datos agrupados:

Cov X , Y  

 f X ij

i

 X Yi  Y 

n 1

Cov X , Y   1.506



54  6.0916  8.182  ...  38  6.09110  8.182 22  1

Interpretación: Existe una relación directa positiva entre el gasto en publicidad y las ventas, es decir mientras más se invierta en publicidad, se venderán más unidades. En c)

X / Y 8 

f

i . / Y 8



41  63  84  6.75

f .2 8 Interpretación: El gasto medio en publicidad cuando la cantidad de unidades vendidas son 8 mil unidades, es de 6.75 mil soles.

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11.- Supongamos que la tabla de frecuencias relativas dada corresponde a una variable bidimensional (X,Y). X/Y 38 40 42

40 45 50 55 60 65 0.04 0.05 0.05 0.03 0.00 0.05 0.06 0.10 0.00 0.07 0.05 0.10 0.12 0.05 0.05 0.03 0.10 0.05

Teniendo en cuenta que han sido 200 los elementos extraídos de la población, se pide: a) Determinar las distribuciones marginales. b) Determinar la media y desviación típica de X e Y. c) Determinar la distribución condicionada de X para Y=55. d) Determinar la distribución condicionada de Y para X=42. Solución: En a: Determinamos las distribuciones marginales: Para “Y”:

Para “X”: Xi

hi .

38 40 42 Total

0.22 0.38 0.40 1.00

40 45 50 55 60 65 Total

En b: Determinamos las medias para ambas variables: X   X i hi.  380.22  400.38  420.40

X  40.36 Y   Yi h. j  400.22  450.20  ...  650.20 Y  51.95

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0.22 0.20 0.10 0.13 0.15 0.20 1.00

Determinamos las desviaciones típicas para ambas variables: 2 2 2 2 2 X i2 hi.  X n  38 0.22  40 0.38  42 0.40  40.36 200  2 SX   n 1 200  1 1631.28  1628.930200 S X2  199 2 S X  2.362



 

S X  1.537 S

2 Y

 Y 

2

i



  40 0.22  ...  65 0.20 51.95 200

h. j  Y n 2



2

n 1 2785.25  2698.802200 S Y2  199 2 S Y  86.882 S Y  9.321 En c: Xi

hX / Y 55

38 40 42 Total

0.231 0.538 0.231 1.000

2

2

200  1

Donde:

h14 0.03 h 0.07   0.231 ; h X 2 / Y 55  24   0.538 ; h.4 0.13 h.4 0.13 h 0.03  34   0.231 h.4 0.13

h X1 / Y 55  h X 3 / Y 55

En d: Yi 40 45 50 55 60 65 Total Donde:

hY / X 42 0.300 0.125 0.125 0.075 0.250 0.125 1.000

h31 0.12 h h 0.05 0.05   0.30 ; hY2 / X 42  32   0.125 ; hY3 / X 42  33   0.125 h3. 0.40 h3. 0.40 h3. 0.40 Así sucesivamente hY1 / X 42 

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