Upiita Mecatrónica 9 Control Par Calculado Para Robot "rr" Y "rrr" 1p6x50

Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingenier´ıa y Tecnolog´ıas Avanzadas

Implementaci´on de un control par calculado para un robot RR y un RRR utilizando Matlab y Working Model

Mecatr´ onica IX. Rob´ otica 2 Autores: Mart´ınez Chepe Jaime Jonathan Osornio Ordu˜ na David Rodr´ıguez Ram´ırez Juan de Dios

Grupo: 9MV2 9MV1 9MV1

Responsable de la asignatura: Villarreal Cervantes Miguel Gabriel 6 de diciembre del 2010

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´Indice ´ 1. INTRODUCCION

2

2. MARCO TEOR´ ICO 2.1. Cinem´ atica directa e inversa 2.1.1. Robot RR . . . . . . 2.1.2. Robot RRR . . . . . 2.2. M´odelo din´ amico . . . . . . 2.2.1. Robot RR . . . . . . 2.2.2. Robot RRR . . . . . 2.3. Generaci´ on de trayectoria . 2.4. Control par calculado . . .

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3. DESARROLLO 3.1. Robot de 2 GDL planar RR . 3.1.1. Simulaci´ on en Matlab. 3.1.2. Animaci´ on en Working 3.2. Robot de 3 GDL planar RRR

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. . . . . . . . Model . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . con v´ınculo . . . . . . .

4. CONCLUSIONES

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3 3 3 3 5 6 6 8 8

. . . . . . . . . . . . . . con Matlab. . . . . . . .

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9 9 9 10 14

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1.

´ INTRODUCCION

En este documento reportaran las simulaciones de un robot de 2 GDL planar RR y un robot de 3 GDL planar RRR. Esto se har´a con la ayuda de Matlab y Working Model los cuales estar´ an comunicados con la ayuda de Matlab Proxy. De maner´a general la funcionalidad de cada uno de estos programas es: Matlab. Actuar´ a como el controlador del robot, en este s´e genrar´a la trayectoria que se desea seguir y s´e pragramar´ a el modelo din´ amico del robot as´ı como su controlador. Working Model. Tendr´ a comunicaci´ on con Matlab y ayudar´a a observar el comportamiento fisico del robot. Matlab Proxy. Servir´ a para comunicar a Matlab con Working Model. Primero se simular´ a en Matlab el control de movimiento del robot RR y despu´es se proseguir´a simular el robot en Working Model y se obtendr´ an las gr´aficas pertinentes. Despu´es de lo anterior se proseguir´ a con la simulaci´on del robot RRR, el cual deber´a tomar un objeto y trasladarlo a una posici´ on dada. Para esto el robot ser´a controlado y se le definir´a una trayectoria para lograr su tarea.

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MARCO TEOR´ICO

2. 2.1.

Cinem´ atica directa e inversa

La cinem´atica inversa es resolver el problema de: dada la posici´on y orientaci´on deseadas de la herramienta respecto a la estaci´ on encontrar los ´angulos de articulaci´on que logren este resultado deseado (Craig, 2006). 2.1.1.

Robot RR i 1 2 3

αi−1 0 0 0

ai−1 0 L1 L2

di 0 0 0

θi θ1 − θ2 0

π 2

Cuadro 1: Par´ametros de Denavit-Hartenberg 

sin θ1 cos θ1  − cos θ1 sin θ1 0T =  1  0 0 0 0

0 0 1 0

 0 0   0  1



cos θ2 − sin θ2  cos θ2 1 T =  sin θ2 2  0 0 0 0



sin (θ1 + θ2 ) cos (θ1 + θ2 )  − cos (θ1 + θ2 ) sin (θ1 + θ2 ) (01 T )(12 T )(23 T ) =03 T =   0 0 0 0

 0 L1 0 0   1 0  0 1

1  2T =  0 3  0 0

0 1 0 0

 0 L2 0 0   1 0  0 1

 0 L2 sin (θ1 + θ2 ) + L1 sin θ1 0 −L2 cos (θ1 + θ2 ) − L1 cos θ1    1 0 0 1

Para la cinem´ atica inversa se tienen las siguientes ecuaciones: 2 x + y 2 − L21 − L22 θ2 = arc cos 2L1 L2 y π − arcsin θ1 = + arctan 2 x 2.1.2.



L sin θ2 p2 x2 + y 2

(1) ! (2)

Robot RRR i 1 2 3 4

αi−1 0 0 0 0

ai−1 0 L1 L2 L3

di 0 0 0 0

θi θ1 − θ2 θ3 0

π 2

Cuadro 2: Par´ametros de Denavit-Hartenberg

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

sin θ1 cos θ1  0 T =  − cos θ1 sin θ1 1  0 0 0 0

0 0 1 0

 0 0   0  1



cos θ2  1 T =  sin θ2 2  0 0  1  3T =  0 4  0 0

− sin θ2 cos θ2 0 0 0 1 0 0

 0 L1 0 0   1 0  0 1 



cos θ3 − sin θ3  cos θ3 2 T =  sin θ3 3  0 0 0 0

 0 L2 0 0   1 0  0 1

0 L3 0 0   1 0  0 1

Para resolver la cinem´ atica inversa del robot de 3 GDL planar RRR se decidi´o hacer uso del m´etodo geom´etrico por que resulta m´ as sencillo que los m´etodos basados en los par´ametros D-H. Se dedujeron las ecuaciones para las articulaciones del robot como a continuaci´on se desarrolla. Se consider´o la configuraci´ on con codo hacia abajo como se ve en la figura 1.

Figura 1: Obtenci´on de la cinem´atica inversa Dado que se conoce la orientaci´ on del ultimo eslab´on (φ) se reduce el problema del robot RR a un robot RR haciendo el siguiente cambio de variable.

x0 = x − L3 cos φ y0 = y − L3 sin φ q ρ = 2 (x0 )2 + (y 0 )2 L22 = L21 + ρ2 − 2L1 ρ cos β -2L1 ρ cos β = L22 − (L21 + ρ2 ) 2L1 ρ cos β= (L21 + ρ2 ) − L22 β = a cos

(L21 +ρ2 )−L22 2L1ρ

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θ = a tan

0 y x0

π q1 = −β − θ 2

(3)

q2 = π − γ

(4)

ρ2 = L21 + L22 − 2L1 L2 cos γ −2L1 L2 cos γ = ρ2 − (L21 + L22 ) 2L1 L2 cosγ = (L21 + L22 ) − ρ2 γ = a cos

(L21 +L22 )−ρ2 2L1 L2

Para hallar la ultima variable de articulaci´on q3 se sabe que la orientaci´on del robot RRR est´a definida por la suma de la tres variables de articulaci´on q1 , q2 y q3 , la orientaci´on del efector final se mide desde eje x y positivo en direcci´ on antihoraria. π 2 = q1 + q2 + q3 + (−φ) π q3 = +φ − (q1 +q2 ) 2

2.2.

(5)

M´ odelo din´ amico

La formulaci´ on del modelo din´ amico de Newton-Euler es un m´etodo de ”balance de fuerzas”din´ amicas, y la formulaci´on lagrangiana es un m´etodo de ”balance de energ´ıas”de la din´amica. Desde luego, para el mismo manipulador, ambos m´etodos proporcionar´an las misma ecuaciones de movimiento (Craig, 1996). A continuaci´on se describe brevemente como los pasos a seguir para calcular el modelo din´amico de un robot. 1.- Calcular la posici´ on para el centro de masa para todos los eslabones. 2.- Calcular las velocidades para el centro de masa para cada eslab´on. 3.- Calcular la energ´ıa cin´etica para cada eslab´on. 1 ki = mi 2

0

1i VciT 0 Vci + ωici Iii ωi 2

4.- Calcular n ˜a energ´ıa potencial para cada eslabo´on.

Vi = mi ghi 5.- Obtener el Lagrangiano. L =ni=1 Ki −ni=1 Vi 6.- Obtener las ecuaciones de Lagrange.

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d τi = dt



∂L ∂L − ˙ ∂ θi ∂θi



La ecucaci´ on en el espacio de estados A menudo es conveniente expresar las ecuaciones din´amicas de un manipulador en una sola ecuaci´ on que oculte algunos de los detalles, pero que muestre parte de la estructura de las ecuaciones (Craig, 1996).

τ = M (q)¨ q + C(q, q) ˙ q˙ + G(q) τ Rn : q Rn : M(q) Rnxn : C(q,q) ˙ Rnxn : G(q) Rn : 2.2.1.

Vector de fuerzas y pares de entrada. Vector de coordenadas generalizadas. Matriz de inercia, tiene que ser sim´etrica y definida positiva. Matriz con las fuerzas centr´ıfigas y de coriolis. Vector de fuerzas de gravedad.

Robot RR

τ = M q¨ + C q˙ + G

⇒

τ1 τ2



=M

θ¨1 θ¨2



+C

θ˙1 θ˙2

+G

2 2 I2z + m2 P2x + P2y + L1 P2x cos θ2− L1 P2y sin θ2 M= 2 2 I2z + m2 I2z + m2 P2x + P2y −2θ˙2 L1 P2y m2 cos θ2 − 2θ˙2 L1 P2x m2 sin θ2 −θ˙2 L1 m2 (cos θ2 P2y + sin θ2 P2x ) C= θ˙1 L1 m2 (cos θ2 P2y + sin θ2 P2x ) 0 gP2y m2 cos (θ1 + θ2 ) + gP2x m2 sin (θ1 + θ2 ) + gPy m1 cos θ1 − gL1 m2 sin θ1 + gPx m1 sin θ1 G= gm2 (cos(θ1 + θ2 )P2y + sin(θ1 + θ2 )P2x )



M11 2 2 P2x + P2y + L1 cos θ2 P2x − L1 sin θ2 P2y



2 2 M11 = Iz + I2z + L21 m2 + Px2 m1 + Py2 m1 + P2x m2 + P2y m2 + 2L1 P2x m2 cos θ2 − 2L1 P2y m2 sin θ2

2.2.2. Robot RRR      ¨    ˙   θ1 θ1 C11 C12 C13 G11 τ1 M11 M12 M13  M21 M22 M23   θ¨2  +  C21 C22 C23   θ˙2  +  G21  =  τ2  G31 τ3 C31 C32 C33 M31 M32 M33 θ¨3 θ˙3

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M11 = m1 l12 + Iz + I2z + I3z + m2 L21 + l12 + 2L1 l2 cos(θ2 + γ2 ) + m3 L21 + L22 + l32 + 2L1 L2 cos θ2 +2l3 (L1 cos(θ2 + θ3 + γ3 ) + L2 cos(θ3 + γ3 )) M12 = I2z + I3z + m2 l2 (l2 + L1 cos(θ2 + γ2 )) + m3 L22 + l32 + L1 L2 cos θ2 + L1 l3 cos(θ2 + θ3 + γ3 ) +2L2 l3 cos(θ3 + γ3 ) M13 = I3z + m3 l3 (l3 + L1 cos(θ2 + θ3 + γ3 ) + L2 cos(θ3 + γ3 )) M21 = I2z + I3z + m2 l2 (l2 + L1 cos(θ2 + γ2 )) + m3 L22 + l32 + L1 L2 cos θ2 + L1 l3 cos(θ2 + θ3 + γ3 ) +2L2 l3 cos(θ3 + γ3 ) M22 = I2z + I3z + m2 l22 + m3 L22 + l32 + 2L2 l3 cos(θ3 + γ3 ) M23 = I3z + m3 l3 (l3 + L2 cos(θ3 + γ3 )) M31 = I3z + m3 l3 (l3 + L1 cos(θ2 + θ3 + γ3 ) + L2 cos(θ3 + γ3 )) M32 = I3z + m3 l3 (l3 + L2 cos(θ3 + γ3 )) M33 = I3z + m3 l32

C11 = −2m1 L1 l2 θ˙2 sin(θ2 + γ2 ) − m3 L1 L2 θ˙2 sin θ2 + l3 (θ˙2 + θ˙3 ) sin(θ2 + θ3 + γ3 ) −2m3 L2 l3 θ˙3 sin(θ3 + γ3 ) C12 = −m2 L1 l2 θ˙2 sin(θ2 + γ2 ) − m3 L1 L2 θ˙2 sin θ2 + l3 (θ˙2 + θ˙3 ) sin(θ2 + θ3 + γ3 )

C13 C21 C22 C23 C31

−2m3 L2 l3 θ˙3 sin(θ3 + γ3 ) = −m3 l3 L1 (θ˙2 + θ˙3 ) sin(θ2 + θ3 + γ3 ) + L2 θ˙3 sin(θ3 + γ3 ) = −m3 2L2 l3 θ˙3 sin(θ3 + γ3 ) + L1 L2 θ˙2 sin θ2 + L1 l3 (θ˙2 + θ˙3 ) sin(θ2 + θ3 + γ3 ) m2 L1 l2 θ˙1 sin(θ2 + γ2 ) + m3 L1 θ˙1 (L2 sin θ2 + l3 sin(θ2 + θ3 + γ3 )) − m2 L1 l2 θ˙2 sin(θ2 + γ2 ) = −2m3 L2 l3 θ˙3 sin(θ3 + γ3 ) + L1 θ˙1 (m2 l2 sin(θ2 + γ2 ) + m3 (L2 sin θ2 + l3 sin(θ2 + θ3 + γ3 ))) = −m3 L2 l3 θ˙3 sin(θ3 + γ3 ) + m2 L1 l2 θ˙1 sin(θ2 + θ3 + γ3 ) = −m3 L2 l2 θ˙3 sin(θ3 + γ3 ) + L1 l3 (θ˙2 + θ˙3 ) sin(θ2 + θ3 + γ3 ) − L2 l3 θ˙1 sin(θ3 + γ3 )

C32 = m3 L2 (l3 θ˙2 − l2 θ˙3 ) sin(θ3 + γ3 ) + m3 θ˙1 (2L2 l3 sin(θ3 + γ3 ) + L1 l3 sin(θ2 + θ3 + γ3 )) C33 = m3 l3 (L2 sin(θ3 + γ3 ) + L1 sin(θ2 + θ3 + γ3 )) G11 = m1 gl1 sin(θ1 + γ1 ) + m2 g (L1 sin θ1 + l2 sin(θ1 + θ2 + γ2 )) +m3 g (L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2 ) + l3 sin(θ1 + θ2 + θ3 + γ3 )) G21 = m2 gl2 sin(θ1 + θ2 + γ2 ) + m3 g (L2 sin(θ1 + θ2 ) + l3 sin(θ1 + θ2 + θ3 + γ3 )) G31 = m3 gl3 sin(θ1 + θ2 + θ3 + γ3 )

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2.3.

Generaci´ on de trayectoria

Para la generaci´ on de trayectoria se utiliz´o un polinomio de B´ezier, el cual es el siguiente: ϕ(t, t1 , t2 ) = 171647 − 900948 + 2002049 − 24024410 + 16380411 − 6006412 + 924413 Donde:

4=

(6)

t−t1 t2 −t1

Sustituyendo la ecuaci´ on 6 en las ecuaciones 7 y 8, se obtiene la trayectoria que debe de seguir el robot desde un punto P1 = [x1 , y1 ] hasta un punto P2 = [x2 , y2 ].

2.4.

x(t1 , t2 ) = (x2 − x1 )ϕ(t, t1 , t2 ) + x1

(7)

y(t1 , t2 ) = (y2 − y1 )ϕ(t, t1 , t2 ) + y1

(8)

Control par calculado

El control de par calculado nos sirve para controlar el movimiento de un robot dado y se define de la siguiente forma: τ = M v + C q˙ + G

(9)

v = q¨d + Kp e + Kv e˙

(10)

En la figura 2 se muestra el diagrama a bloques de este control.

Figura 2: Diagrama a bloques del control par calculado

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3.

DESARROLLO

3.1. 3.1.1.

Robot de 2 GDL planar RR Simulaci´ on en Matlab.

En la Figura 3 se muestra la simulaci´ on en Matlab del robot RR, en este caso para estas gr´ aficas se resolvio la ecuaci´ on diferencial del m´ odelo din´amico del robot RR con: tau = M v + C q˙ + G Por lo tato en este caso τ ya no va a ser una constante si no que va a estar cambiando en el tiempo por la acci´on del controlador de par calculado.

Posici´ on angular del eslab´on 1

Posici´on angular del eslab´on 2

Velocidad angular del eslab´on 1

Velocidad angular del eslab´on 2

Figura 3: Simulaci´on en Matlab

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3.1.2.

Animaci´ on en Working Model con v´ınculo con Matlab.

Ahora se prosegir´ a a programar el control en Matlab, esto se hizo con los c´odigos fuentes mostrados en las Figuras 4 y 6. Lo primero que hay que hacer es abrir Matlab y en su Command Window insertar la funci´on qdeseada(p), la cual tiene un s´ olo parametro de entrada que es la secuencia de puntos que se desea recorrer, para este caso en particular ser´ıan los puntos p = [0, −6; 2, −4; 2, −2; 4, −2; 4, −4; 2, −4; 0, −6] = [P1 ; P2 ; P3 ; P4 ; P5 ; P2 ; P1 ] (Ver Figura 6). En general para el c´ odigo fuente de la Figura 4 funciona de la siguiente manera: Lineas 9-12. Se hacen globales las matrices de posici´on angular deseada(qdes), velocidad angular deseada (dqdes) y aceleraci´ on angular deseada (ddqdes). Y tambi´en se definen algunos parametros del robot y el tiempo que tardar´ a cada trayectoria. L´ınea 13. Ecuaci´ on de B´ezier, es la misma que la ecuaci´on 6 que se mostr´o anteriormente. L´ıneas 15-18. Se calcul´ an los polinomios de B´ezier para cada una de las trayectorias en x y y (ecuaciones 7 y 8). L´ıneas 20-21. Se calcula la cinem´ atica inversa para todos los puntos de la trayectoria. L´ıneas 23-29. Calculo de la derivada de los ´angulos θ1 y θ2 , obtenidos de la cinem´atica inversa.

Figura 4: C´ odigo fuente que genera la trayectoria deseada

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Figura 5: C´ odigo fuente para el enlace entre Matlab y Working Model El c´odigo fuente de la figura 5, nos permite el enlace de Matlab con Working Model. Primero Working Model envia las entradas correspondientes a la funci´on [r1,r2]=crr(q1,q2,dq1,dq2,t), d´onde de acuerdo al m´odelo dinamico del robot RR estas son: Salidas provenientes de Matlab y que recibe Working Model. [r1,r2]=[τ1 , τ2 ] Entradas a Matlab provenientes de Working Model. (q1,q2,dq1,dq2,t)=[θ1 , θ2 , θ˙1 , θ˙2 , t]. A continuaci´ on se explicar´ a el c´ odigo fuente de la Figura 5: L´ınea 2. Acomoda las entradas en dos matrices de 1x2. L´ınea 3. Se recuper´ an las variables globales generadas en el c´odigo fuente de la Figura 4. L´ıneas 4-5. Se establecen los par´ ametros fisicos del robot . L´ıneas 9-21. M´ odelo din´ amico del robot. L´ınea 23. Definen las costantes del controlador. L´ınea 24. Calculo de el error y su derivada (e y e). ˙ L´ıneas 25-27. Aplicaci´ on de la ley de control y obtenci´on de τ1 y τ2 .

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Figura 6: Captura de la simulaci´on del robot RR en Working Model

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En las Figuras 7 y 8 se muestran las gr´aficas del error (e) y la derivada del error (e) ˙ del controlador, los datos para estas gr´ aficas se obtienen capturando los datos de error del c´odigo fuente de la Figura 5, en la l´ınea 24 de este c´ odigo fuente se obtuvier´on los valores para estas gr´aficas.

Figura 7: Gr´ afica del error para thete1 y theta2

Figura 8: Gr´ afica de la derivada del error para dtheta1 y dtheta2

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3.2.

Robot de 3 GDL planar RRR

Para las simulaci´ on del Robot RRR en Working Model es el mismo procedimiento que el anterior, lo primero es la progrmaci´ on en Matlab, para la cual se hicier´on una serie de programas los cuales se explicar´an en las siguientes hojas. Los dos principales programas que se deben de tener en cuenta son: main. Este programa (Figura 9) se tendr´a que ejecuatar antes de iniciar la simulaci´on, ya que generar´a los datos y las trayectorias necesarias que necesita el robot. control(q1,q2,q3,q1 d,q2 d,q3 d,t). Este programa (Figura 10) ser´a el controlador del robot y estar´a enviando y recibiendo datos a Working Model.

Figura 9: C´odigo fuente del programa main Para el programa de la Figura 9 es necesario de otros programas ya que este manda a llamarlos durante le ejecuci´on del mismo. A continuaci´ on se muestran estos programas:

En la l´ınea 23 se observa que se llama a la funci´on bezier pr, la cual sirve para calcular el polinomio de bezier para la trayectoria dada. Su c´odigo fuente se muestra en la Figura 11. En la l´ınea 26 se observa que se llama a la funci´on cinRRR, la cual contiene el m´odelo din´ amico del robot RRR. Su c´ odigo fuente se muestra en la Figura 12. Observese que en las l´ıneas 3-21 se asignan los valores f´ısicos que necesita el m´odelo. 14

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Figura 10: C´ odigo fuente del programa control Con la ayuda de los programas anteriores se puede hacer la animaci´on en Working Model junto con Matlab en la Figura 13 se muestra el robot en Working Model en su posici´on inicial. Una vez que se incializa la animaci´ on, el robot RRR ir´a y mover´a la pelota de un lugar a otro, en la Figura 14 se muestran varias capturas de la animaci´on en proceso.

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Figura 11: C´ odigo fuente para el polinomio de B´ezier

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Figura 12: C´ odigo fuente que contiene el m´odelo din´amico del robot RRR

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Figura 13: Robot en Working Model

4 segundos

6.3 segundos

9.5 segundos

14.3 segundos

Figura 14: Capturas de la animaci´on en Working Model

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Figura 15: Gr´ aficas obtenidas del programa main

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4.

CONCLUSIONES

Para el robot RR se tuvo una simulaci´on exitosa, un poco m´as de complicaciones fueron la comunicaci´on con Matlab ya que para la comunicaci´on sea exitosa se tiene que tomar en cuenta una serie de factores, como los punto y comas que lleve el programa y ciertas estructuras que son necesarias seguir para que la comunicaci´ on sea exitosa. Adem´as hay tomar en cuenta que Working Model tanto la posici´ on como la velocidad angular de los eslabones son referenciados con respecto al marco de referencia x, y. En cuanto al control del robot se comprob´o que realmente tuviera un buen control y que al variar las constantes Kp y Kv el control de este cambiaba de manera significativa, se podr´ıa tener un control bueno con Kp y Kv, y al momento de cambiar estas constantes por otros valores num´ericos el robot se sal´ıa completamente de control. De aqu´ı la importancia de una buena sintonizaci´on de estas constantes y tambi´en se verifico que no es tan trivial encontrar las constantes adecuadas, ya que se requiere de un gran n´ umero de pruebas para tener unas constantes que respondan de manera efectiva.

Referencias [1] John J. Craig, Rob´ otica, Prentice Hall, Tercera Edici´on, 2006. [2] Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, Thomson, Quinta Edici´ on, 2002.

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