Prácticos Electrostática i334o
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Capitulo 1 La Carga Eléctrica, Materia y la Ley de Coulomb 1.1 Preguntas Teóricas (a) ¿Qué semejanza existe entre las fuerzas eléctricas y las gravitatorias? (b) ¿Cuáles son las principales diferencias? 1.1.2 Una varilla cargada atrae partículas de polvo de corcho seco, las cuales, después de tocar la varilla, a menudo se alejan de ella violentamente. ¿Explique el fenómeno eléctrico?. 1.1.3 ¿Por qué se recomienda tocar el armazón metálico de una computadora personal antes de instalar algún rio interno?. 1.1.4 Si frota enérgicamente una moneda entre los dedos no logra que resulte cargada por la fricción. ¿Por qué sucede esto? 1.1.5 ¿Por qué los experimentos de electrostática no funcionan bien en los días húmedos? 1.1.6 En los carros cisterna se acostumbra poner cadenas que arrastran contrae el suelo en los caminos ¿Cuál es su propósito? 1.1.7 El personal de quirófano debe utilizar un calzado conductor especial cuando trabaja con oxígeno. ¿Por qué?. Compare dicha situación con lo que ocurriría si el personal utilizara calzado con suela de goma. 1.1.8 Se le dan dos esferas de metal montadas sobre soportes aislantes portátiles. Halle una manera de darles cargas iguales y opuestas. Puede emplear una varilla de vidrio frotada con seda pero no puede tocar las esferas. ¿Han de ser las esferas de igual tamaño para que su método funcione? 1.1.9 En la pregunta 1.1.7 encuentre una forma de dar a las esferas cargas iguales del mismo signo. Nuevamente ¿Es necesario que las esferas sean de igual tamaño para que el método funcione? 1.1.10¿Qué queremos decir con que una cantidad física está (a) cuantizada o (b) se conserva? De algunos ejemplos. 1.1.1
1.2 Problemas 1.2.1 a) Una carga Q ejerce una fuerza repulsiva de 1 N sobre una carga q. ¿Qué fuerza ejerce q sobre Q? b) Si se sustituye a q una carga 2q en el mismo lugar, ¿Qué fuerza ejerce Q sobre la carga 2q? c) Si q cambia de lugar a dos veces su distancia original a Q, ¿Qué fuerza ejerce Q sobre q? 1.2.2 Cinco cargas puntuales se encuentran colocadas en una línea recta como se muestra en la Fig. 1.1. Si la separación entre cargas es de 1 cm, ¿qué valores deben tener las cargas q1 y q2 para que la fuerza neta sobre cada una de las otras cargas sea cero?. 2 µC
q1
1 µC
q2
Fig 1.1.- Problema 1.2.2
2 µC
1.2.3 Tres cargas puntuales se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero, como se muestra en la Fig. 1.2. Calcule la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7.00 µ C . 7.0 E-6 C
y
60.0 x 2.00 E-6 C
- 4.00 E-6 C
Fig. 1.2.- Problema 1.2.3
1.2.4 Una carga puntual de +80E-7 C dista 5 cm de una carga puntual de -60E7 C. (a) ¿Qué fuerza en N ejerce cada carga sobre la otra? (b) Una carga puntual de +14.4 E-7 C está la 4 cm de la carga positiva citada en (a) y la 3 cm de la carga negativa. ¿Cuál es la fuerza resultante ejercida sobre ella? Rta.: (a) 172.8 N, (b) 108 N. 1.2.5 Dos diminutas esferillas semejantes de masa m están colgadas de hilos de seda de longitud L y portan cargas iguales q como se muestra en la Fig. 1.3. Suponga que θ es tan pequeña que tg θ puede ser reemplazado por su igual aproximado, sen θ . (a) Para la aproximación demuestre que, para el equilibrio, 1
q2 L 3 x= 2πε 0 mg
En donde x es la separación entre las esferillas. (b) Si L = 122 cm, m =11.2 g, y x = 4.70 cm, ¿Cuál es el valor de q? Rta.: 2.28E-8 C 1.2.6 Dos esferas muy pequeñas, cada una de las cuales pesa 3 dina, están sujetas la hilos de seda de 5 cm de longitud y cuelgan de un punto común. Cuando se suministra la las esferas una cantidad igual de carga negativa, cada hilo forma un ángulo de 30º con la vertical. Calcular el valor de las cargas. Rta.: 2.04E-9. 1.2.7 Dos cargas puntuales positivas iguales a q se mantienen separadas por una distancia fija 2a. Una carga puntual de prueba se localiza en un plano que es normal a la línea que se une a estas cargas y a la mitad entre ellas. Halle el radio R del círculo en este plano para el cual la fuerza sobre la partícula de prueba tiene un valor máximo. Vea la Fig. 1.4. Rta.: R=
a 2
q
θ θ
R r
L
L
q
q
q x Fig. 1.3.- Problema 1.2.5
Fig. 1.4.- Problema 1.2.7
Capitulo 2 El Campo Eléctrico 2.1 Preguntas teóricas 2.1.1 Nombre tantos campos escalares y vectoriales como pueda. 2.1.2 Al definir el campo eléctrico ¿por qué es necesario especificar que la magnitud de la carga de prueba es muy pequeña (es decir, por qué es
necesario tomar el limite de
F a medida que q 0 → 0 )?. q0
(a)¿De que manera varia la intensidad de campo eléctrico con la distancia para una carga puntual? (b) ¿De que manera varia la intensidad de campo eléctrico en un dipolo eléctrico?. 2.1.4 Describa el campo eléctrico debido a una carga puntual Q. Explique cómo varían su magnitud y dirección con la posición?. 2.1.3
2.1.5
Las líneas de fuerza eléctrica nunca se cruzan. ¿Por qué ?.
En el plano medio de un dipolo eléctrico ¿es el campo eléctrico E paralelo o antiparalelo al momento dipolar eléctrico p? Demuestre gráficamente. 2.1.6
2.1.7 Explique la diferencias entre densidades de carga lineal, superficial y volumétrica y de ejemplos de cuando se usaría cada una?. 2.1.8 una carga 4q esta a una distancia r de una carga –q compare el numero de líneas de campo eléctrico que salen de la carga 4q con el numero que entra a la carga –q?. 2.1.9 Trace las líneas del campo eléctrico para un disco de radio R con una densidad de carga superficial uniforme positiva σ . Use lo que sabe sobre el campo eléctrico muy cerca y muy lejos del disco como ayuda para hacer el dibujo.
2.1.10Cuál es la carga por área unitaria en C/m², de una lámina plana infinita de carga si el campo eléctrico producido por la lámina de carga tiene una magnitud 3.00 N/C? 2.2 Problemas 2.2.1 Un electrón se lanza al interior de campo eléctrico uniforme dirigido hacia arriba de magnitud igual a 400 N/C. La velocidad inicial del electrón es de 3.00E+6 m/s y su dirección forma un ángulo de 30º con la horizontal. (a) Encuentre la distancia máxima que el electrón sube verticalmente por encima de su elevación inicial. (b) Después de que distancia horizontal retorna el electrón a su elevación original? (c) Trace la trayectoria del electrón: (a)1.6 cm; (b) 11.1 cm. 2.2.2 Se colocan cinco cargas negativas iguales en los vértices de un pentágono. Una carga positiva pequeña de prueba q0 , se coloca en el centro de la figura. ¿Cual es la fuerza sobre la carga de prueba? Si se quita una de las cargas de un vértice, ¿en que dirección se acelera la carga de prueba? (Cero; Se aleja directamente de la esquina vacía). 2.2.3 Halle el campo eléctrico en el centro del cuadrado de la Fig. 2.1. Suponga que q = 11.8 nC y a = 5.20 cm. P y
+q
-q y
-q
+2q
x
++++++++++++++++++++++++ L
2.1.-no Problema 2.2.3 de longitud Fig. 2.2.Problema 2.2.4 2.2.4 Una Fig. varilla conductora finita L contiene una carga total q, distribuida uniformemente a lo largo de ella. Demuestre que E en el punto P sobre la bisectriz perpendicular en la Fig. 2.2 está dado por: E=
q 2πε 0 y
1 1 2 2
(L + 4 y ) 2
Se dan los valores medidos del campo eléctrico E a una distancia z a lo largo del aje de un disco de plástico cargado: Calcule a) el radio del disco y b) la carga sobre él. Rta..- a) 6.50 m, b) 4.80 uC. 2.2.5
Z(cm)
E(107 N/C)
0 1 2 3 4 5
2.043 1.732 1.442 1.187 0.972 0.797
2.2.6 Un alambre recto infinitamente largo tiene una carga negativa uniforme λ (C/m). a) ¿Cuál es la carga del elemento de longitud dx representado sobre
el alambre?. b) ¿Cuál es la intensidad dE del campo eléctrico creado en un punto P por esta carga?. c) Calcular por integración el valor y dirección del campo eléctrico resultante en el punto P. Una varilla aislante de 14.0 cm de longitud cargada uniformemente se dobla hasta darle forma semicircular, como se ve en la Fig. 2.2.3. La varilla tiene una carga total de – 7.50 µ C . Calcule la magnitud, dirección y sentido del campo eléctrico en 0, el centro del semicírculo. 2.2.7
2.2.8 Una varilla fina de longitud L y densidad lineal de carga λ está situada a lo largo del eje x , como se muestra en la Fig. 2.2.4 . (a) Demuestre que el campo en P, a una distancia y
Capitulo 3 Ley de Gauss 3.1 Preguntas teóricas ur r
3.1.1 El la ley de Gauss ε 0 ∫∫ E.nda = q , es E necesariamente el campo eléctrico atribuible a la carga q? Una superficie encierra a un dipolo eléctrico ¿que puede usted decir acerca de φE = para esta superficie? 3.1.2
3.1.3 Supóngase que una superficie gaussiana no encierra carga neta alguna ¿requiera la ley de Gauss que E sea igual a cero para todos los puntos sobre la superficie? ¿Es cierto el reciproco de este postulado; esto es, si E es igual a
cero en toda las partes de la superficie requiere la ley de Gauss que no exista ninguna carga neta en el interior? 3.1.4 Se ha visto que la ley de Coulomb puede deducirse de la ley de Gauss ¿Significa ello necesariamente que la ley de Gauss puede deducirse da la ley de Coulomb? 3.1.5 ¿Se cumpliría la ley de Gauss si el exponente de la ley de Coulomb no fuese exactamente 2? 3.1.6 Si más líneas de campo eléctrico salen de una superficie gaussiana de las que entran ¿Qué puede usted concluir acerca de la carga neta encerrada por dicha superficie? 3.1.7 Con base en la naturaleza repulsiva de la fuerza entre partículas iguales y la libertad de movimiento de carga en el conductor, explique por que el exceso de carga en un conductor aislado debe residir en su superficie. 3.1.8 Una persona se sitúa dentro de una gran esfera metálica hueca que esta aislada de la tierra. Si una gran carga se pone en la esfera ¿la persona se lastimará al tocar el interior de la esfera? Explique que sucederá si la persona tiene también una carga inicial cuyo signo es opuesto al de la carga en la esfera. 3.1.9 Usted habrá escuchado que uno de los lugares más seguros durante una tormenta eléctrica es dentro de un auto ¿A que se debe esto? 3.1.10Considere el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor que tiene una densidad de carga uniforme .Explique por que el campo eléctrico no depende de la distancia desde el plano en función del espaciamiento de las líneas de campo eléctrico? PROBLEMAS Un cubo con aristas de 1.4 m está orientado como se muestra en la Fig.3.1 en una región de campo eléctrico uniforme. Encuentre el flujo eléctrico a través de la cara derecha si el campo eléctrico, expresado en N/C, esta dado por a) 6î, b) –2 ˆj y c) -3î + 4 kˆ , d) Calcule el flujo total a través del cubo para cada uno de estos campos. 3.2.1
Cuatro superficies cerradas, S1 a S4, junto con las cargas -2Q, Q y –Q se dibujan en la Fig.3.2. Encuentre el flujo eléctrico a través de cada superficie. 3.2.2
3.2.3 La Fig.3.3 muestra una carga +q dispuesta como una esfera conductora uniforme de radio a y situada en el centro de una esfera hueca conductora de radio interior b y radio exterior c. La esfera hueca exterior contiene una carga de –q. Halle E(r) en las ubicaciones a) dentro de la esfera (r < a), b) entre la
esfera sólida y la hueca (a < r < b), c) dentro de la esfera hueca (b < r < c), y d) afuera de la esfera hueca (r > c), e) ¿Cuáles cargas aparecen en las superficies interna y extrema de la esfera hueca?
3.2.4 Un pequeño casquete conductor esférico con radio interior “a” y radio exterior “b” es concéntrico con un casquete conductor esférico mayor de radio interior “c” y radio exterior “d”, como se muestra en la Fig. 3.4. El casquete interior tiene una carga total de +2q y el casquete exterior de +4q. (a)Calcule el campo eléctrico en términos de q y de la misma distancia r desde el centro común de los dos casquetes para: a.1) rd. (b) Diga cual es la carga total sobre: b.1) La superficie interior del casquete pequeño, b.2) La superficie exterior del casquete pequeño, b.3) La superficie interior del casquete grande, b.4) La superficie exterior del casquete grande.
Capitulo 4
El Potencial eléctrico ¿Tienden los electrones a ir a regiones de potencial elevado o de potencial bajo?. Demuestre gráficamente. 4.1.1
4.1.2 Distinga entre la diferencia de potencial y la diferencia de energía potencial. Dé ejemplos de enunciados en los que cada término se use apropiadamente. 4.1.3 ¿Pueden intersecarse dos superficies equipotenciales diferentes? 4.1.4 Un electricista se electrocutó por accidente y la noticia apareció en el periódico como sigue: “Toco por accidente un cable de alto voltaje y su carga recibió una descarga de 20.000 V de electricidad”.Critique esta aseveración. 4.1.5 Se aconseja a los montañistas que quedan atrapados en una tormenta eléctrica a) alejarse rápidamente de picos y crestas y b) juntar ambos pies y acurrucarse a cielo abierto, tocando tierra solo con los pies ¿En que se basa este buen consejo? 4.1.6 Si es igual a cero en un punto dado, ¿debe V ser igual a cero en ese punto? Dé algunos ejemplos pera confirmar su respuesta. 4.1.7 Si a lo largo de una determinada región del espacio, V es igual a una constante ¿Qué se puede decir de con respecto a E en esa región? 4.1.8 ¿Como se puede asegurar que el potencial eléctrico en una región determinada del espacio tendrá un valor constante? 4.1.9 Establezca la distinción entre potencial eléctrico y energía potencial eléctrica. 4.1.10Explique porque, las superficies equipotenciales perpendiculares a las líneas del campo eléctrico.
son
siempre
Problemas 4.2.1 Obtenga una expresión para el trabajo requerido por un agente externo para juntar cuatro cargas como se indica en la Fig.4.1 Cada lado del cuadrado tiene una longitud a.
4.2.2 Las cargas mostradas en Fig.4.2 están fijas en el espacio. Determine el valor de la distancia x de modo que la energía potencial eléctrica del sistema sea cero. 4.2.3 El Campo eléctrico dentro de una esfera no conductora de radio R, que contiene una densidad uniforme de carga, está dirigido radialmente y tiene una magnitud de E( r ) =
qr , donde q es la carga total en la esfera y 4πε 0 R 3
r es la distancia desde el centro de la esfera. a) Encuentre el potencial V(r) dentro de la esfera, considerando que V = 0 cuando R = 0. b) ¿Cuál es la diferencia en el potencial eléctrico entre el punto en la superficie y el centro de la esfera? Si q es positiva, ¿Qué punto esta al potencial mas elevado? c) Demuestre que el potencial a una distancia r del centro, cuando r < R, está dado
(
)
q 3 R2 − r 2 por V = , donde el cero de potencial se considera 8 π ε 0 R3
en r = ∞ ¿Por qué este resultado es diferente del de la piedra a?.
4.2.4 Dos placas metálicas paralelas y grandes están separadas por 1.48 cm y contienen cargas iguales pero opuestas sobre sus superficies enfrentadas. La placa negativa hace tierra y se considera que su potencial es cero. Si el potencial en medio de las placas es de + 5.52 V, ¿Cuál es campo eléctrico en esta región?. Rta.: 746 V/m. Capítulo 5 CAPACITORES Y DIÉLECTRICOS 5.1 Preguntas teóricas
Una capacitor esta conectado a una batería. a) ¿Por qué cada placa recibe una carga de la misma magnitud exactamente? b) ¿Es cierto aun cuando las placas son de tamaños diferentes? 5.1.1
Tenemos un capacitor de placas paralelas cuadradas de áreas A y separación d, en el vació. ¿Cuál es el efecto cualitativo de cada una de los casos siguientes sobre su capacitancía? a) Si d se reduce. b) Si se coloca una lamina de cobre entre las placas, pero sin que toque a ninguna de ellas. c) Si se duplica el área de ambas placas. d) Si se duplica el área de una placa solamente. e) Si se desliza a las placas paralelamente entre si, de modo que el área de traslape sea del 50%. f) Si se duplica la diferencia de potencial entre las placas. g) Si se inclina a una placa de modo que la separación permanezca siendo d en un extremo pero de 1/2d en el otro.Los capacitares se almacenan a menudo con un alambre conectado entre sus terminales. ¿Por qué se hace esto? 5.1.2
Un capacitor de placas paralelas se cargan mediante una batería, la cual después se desconecta. Entonces se desliza una lámina de material dieléctrico entre las placas. Describa cualitativamente que le sucede: a) A la carga. b) A la capacitancía. c) A la diferencia de potencial. d) Al campo eléctrico. e) A la energía almacenada. 5.1.3
Dos capacitares idénticos están conectados como se muestra en la Fig. 5.1 Entre las placas de un capacitor se desliza una lámina de material dieléctrico, permaneciendo conectada la batería. Describa cualitativamente que le sucede: a) A la carga b) A la capacitancia. c) A la diferencia de potencial. d) Al campo eléctrico y e) A la energía almacenada por cada capacitor. 5.1.4
Puesto que la carga neta en un capacitor siempre almacena un capacitor? 5.1.5
es cero. ¿Qué
Explique por que el trabajo necesario para mover una carga Q a través de una diferencia de potencial ∆V es W = Q∆V en tanto que la energía 5.1.6
1 2
almacenada en un capacitor cargado es U = Q ∆V . ¿De donde proviene el factor
1 ? 2
Si la diferencia de potencial a través de un capacitor de duplica, ¿En que factor cambia la energía almacenada? 5.1.7
5.1.8 Si se pudiera diseñar un capacitor para una situación en la cual se requiere de tamaño pequeño y gran capacitancía, ¿Qué factores serán importantes en su diseño?
Explique por que un dieléctrico aumenta el voltaje de operación máximo de un capacitor aunque el tamaño físico de este no cambie. 5.1.9
5.2 Problemas 5.2.1 El capacitor de la Fig.5.1 tiene una capacitancia de 26.0 µ F e inicialmente está descargado. La batería suministra 125 V. Después de haber cerrado el interruptor s durante un periodo largo. ¿Cuánta carga habrá pasado por la batería B?
Fig. 5.1.-
Fig. 5.2.5.2.2 Dos láminas de hoja de aluminio tienen una separación de 1.20 mm, una capacitancia de 9.70 pF, y están cargadas a 13.0 V. (a) Calcule el área de la placa. (b) La separación disminuye ahora en 0.10 mm manteniéndose la carga constante. Determine la nueva capacitancia. (c) ¿En cuánto cambia la diferencia
potencial? Investigue y explique cómo podría construirse un micrófono utilizando este principio. 5.2.3 En la Fig. 5.2, halle la capacitancia equivalente de la combinación. Suponga que: C1 = 10.3 µ F , C 2 = 4.80 µ F y C 3 = 3.90 µ F . 5.2.4 En la Fig. 5.3 se muestra un capacitor variable de aire del tipo empleado para sintonizar aparatos de radio. Están conectadas entre sí placas alternadas, un grupo fijo posición y en el otro con posibilidad de rotación. Considere un grupo de n placas de polaridad alterna, cada una de ellas con un área A y separadas de placas contiguas por una distancia d. Demuestre que este capacitor ( n − 1) ε 0 A tiene una capacitancia máxima de C = d
Fig. 5.3.-
Fig. 5.4.5.2.5 Halle la capacitancia equivalente entre los puntos x-y en la Fig. 5.4 Suponga que C2 = 10 µ F y que los otros capacitores son todos de 4.0 µ F. (Sugerencia: Aplique una diferencia de potencial V entre x-y, y escriba todas las relaciones que contengan a las cargas y las diferencias de potencial en cada uno de los capacitores). 5.2.6 Un capacitor cilíndrico tiene radios a y b como en la Fig. 5.5.
Demuestre que la mitad de la energía potencial eléctrica almacenada se encuentra dentro de un cilindro cuyo radio es r = a b 5.2.7 Una lámina de cobre de espesor b se coloca dentro de un capacitor de placas paralelas como se muestra en la Fig. 5,6, (a) ¿Cuál es la capacitancia después de haber colocado la lámina? (b) Si se mantiene una carga q en las placas, halle la razón entre la energía almacenada antes de insertar la lámina y después, (c) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre la lámina cuando se inserta? ¿Se tira de la lámina o tiene ésta que ser empujada? 5.2.8 Un cascarón esférico conductor tiene radio interior a y exterior c. El espacio entre las dos superficies se llena con un dieléctrico para el cual la constante dieléctrica es k1 entre a y b, y k2 entre b y c . Determine la capacitancia de este sistema. Ver Fig. 5.7.
Fig. 5.5.-
Fig. 5.6.-
5.2.9 Un capacitor de placas paralelas esta lleno con dos dieléctricos como se muestra en la Fig. 5.8. Demuestre que la capacitancia esta dado por: C=
ε 0 A k e1 + k e 2 ( ) d 2
Compruebe esta fórmula para todos los casos limitantes que pueda imaginarse. (Sugerencia: ¿Puede justificar el ver este arreglo como si se tratara de dos capacitores en paralelo?)
5.2.10 Un capacitor de placas paralelas está lleno con dos dieléctricos como en la Fig. 5.9. Demuestre que la capacitancia está dada por: C=
2 ε 0 A k e1k e 2 ( ) d k e1 + k e 2
5.2.11 ¿Cuál es la capacitancia del capacitor de la Fig. 5.10?
Fig. 5.8.-
Fig.5.9.-
Fig. 5.10.-
1.2 Problemas 1.2.1 a) Una carga Q ejerce una fuerza repulsiva de 1 N sobre una carga q. ¿Qué fuerza ejerce q sobre Q? b) Si se sustituye a q una carga 2q en el mismo lugar, ¿Qué fuerza ejerce Q sobre la carga 2q? c) Si q cambia de lugar a dos veces su distancia original a Q, ¿Qué fuerza ejerce Q sobre q? 1.2.2 Cinco cargas puntuales se encuentran colocadas en una línea recta como se muestra en la Fig. 1.1. Si la separación entre cargas es de 1 cm, ¿qué valores deben tener las cargas q1 y q2 para que la fuerza neta sobre cada una de las otras cargas sea cero?. 2 µC
q1
1 µC
q2
Fig 1.1.- Problema 1.2.2
2 µC
1.2.3 Tres cargas puntuales se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero, como se muestra en la Fig. 1.2. Calcule la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7.00 µ C . 7.0 E-6 C
y
60.0 x 2.00 E-6 C
- 4.00 E-6 C
Fig. 1.2.- Problema 1.2.3
1.2.4 Una carga puntual de +80E-7 C dista 5 cm de una carga puntual de -60E7 C. (a) ¿Qué fuerza en N ejerce cada carga sobre la otra? (b) Una carga puntual de +14.4 E-7 C está la 4 cm de la carga positiva citada en (a) y la 3 cm de la carga negativa. ¿Cuál es la fuerza resultante ejercida sobre ella? Rta.: (a) 172.8 N, (b) 108 N. 1.2.5 Dos diminutas esferillas semejantes de masa m están colgadas de hilos de seda de longitud L y portan cargas iguales q como se muestra en la Fig. 1.3. Suponga que θ es tan pequeña que tg θ puede ser reemplazado por su igual aproximado, sen θ . (a) Para la aproximación demuestre que, para el equilibrio, 1
q2 L 3 x= 2πε 0 mg
En donde x es la separación entre las esferillas. (b) Si L = 122 cm, m =11.2 g, y x = 4.70 cm, ¿Cuál es el valor de q? Rta.: 2.28E-8 C 1.2.6 Dos esferas muy pequeñas, cada una de las cuales pesa 3 dina, están sujetas la hilos de seda de 5 cm de longitud y cuelgan de un punto común. Cuando se suministra la las esferas una cantidad igual de carga negativa, cada hilo forma un ángulo de 30º con la vertical. Calcular el valor de las cargas. Rta.: 2.04E-9. 1.2.7 Dos cargas puntuales positivas iguales a q se mantienen separadas por una distancia fija 2a. Una carga puntual de prueba se localiza en un plano que es normal a la línea que se une a estas cargas y a la mitad entre ellas. Halle el radio R del círculo en este plano para el cual la fuerza sobre la partícula de prueba tiene un valor máximo. Vea la Fig. 1.4. Rta.: R=
a 2
q
θ θ
R r
L
L
q
q
q x Fig. 1.3.- Problema 1.2.5
Fig. 1.4.- Problema 1.2.7
Capitulo 2 El Campo Eléctrico 2.1 Preguntas teóricas 2.1.1 Nombre tantos campos escalares y vectoriales como pueda. 2.1.2 Al definir el campo eléctrico ¿por qué es necesario especificar que la magnitud de la carga de prueba es muy pequeña (es decir, por qué es
necesario tomar el limite de
F a medida que q 0 → 0 )?. q0
(a)¿De que manera varia la intensidad de campo eléctrico con la distancia para una carga puntual? (b) ¿De que manera varia la intensidad de campo eléctrico en un dipolo eléctrico?. 2.1.4 Describa el campo eléctrico debido a una carga puntual Q. Explique cómo varían su magnitud y dirección con la posición?. 2.1.3
2.1.5
Las líneas de fuerza eléctrica nunca se cruzan. ¿Por qué ?.
En el plano medio de un dipolo eléctrico ¿es el campo eléctrico E paralelo o antiparalelo al momento dipolar eléctrico p? Demuestre gráficamente. 2.1.6
2.1.7 Explique la diferencias entre densidades de carga lineal, superficial y volumétrica y de ejemplos de cuando se usaría cada una?. 2.1.8 una carga 4q esta a una distancia r de una carga –q compare el numero de líneas de campo eléctrico que salen de la carga 4q con el numero que entra a la carga –q?. 2.1.9 Trace las líneas del campo eléctrico para un disco de radio R con una densidad de carga superficial uniforme positiva σ . Use lo que sabe sobre el campo eléctrico muy cerca y muy lejos del disco como ayuda para hacer el dibujo.
2.1.10Cuál es la carga por área unitaria en C/m², de una lámina plana infinita de carga si el campo eléctrico producido por la lámina de carga tiene una magnitud 3.00 N/C? 2.2 Problemas 2.2.1 Un electrón se lanza al interior de campo eléctrico uniforme dirigido hacia arriba de magnitud igual a 400 N/C. La velocidad inicial del electrón es de 3.00E+6 m/s y su dirección forma un ángulo de 30º con la horizontal. (a) Encuentre la distancia máxima que el electrón sube verticalmente por encima de su elevación inicial. (b) Después de que distancia horizontal retorna el electrón a su elevación original? (c) Trace la trayectoria del electrón: (a)1.6 cm; (b) 11.1 cm. 2.2.2 Se colocan cinco cargas negativas iguales en los vértices de un pentágono. Una carga positiva pequeña de prueba q0 , se coloca en el centro de la figura. ¿Cual es la fuerza sobre la carga de prueba? Si se quita una de las cargas de un vértice, ¿en que dirección se acelera la carga de prueba? (Cero; Se aleja directamente de la esquina vacía). 2.2.3 Halle el campo eléctrico en el centro del cuadrado de la Fig. 2.1. Suponga que q = 11.8 nC y a = 5.20 cm. P y
+q
-q y
-q
+2q
x
++++++++++++++++++++++++ L
2.1.-no Problema 2.2.3 de longitud Fig. 2.2.Problema 2.2.4 2.2.4 Una Fig. varilla conductora finita L contiene una carga total q, distribuida uniformemente a lo largo de ella. Demuestre que E en el punto P sobre la bisectriz perpendicular en la Fig. 2.2 está dado por: E=
q 2πε 0 y
1 1 2 2
(L + 4 y ) 2
Se dan los valores medidos del campo eléctrico E a una distancia z a lo largo del aje de un disco de plástico cargado: Calcule a) el radio del disco y b) la carga sobre él. Rta..- a) 6.50 m, b) 4.80 uC. 2.2.5
Z(cm)
E(107 N/C)
0 1 2 3 4 5
2.043 1.732 1.442 1.187 0.972 0.797
2.2.6 Un alambre recto infinitamente largo tiene una carga negativa uniforme λ (C/m). a) ¿Cuál es la carga del elemento de longitud dx representado sobre
el alambre?. b) ¿Cuál es la intensidad dE del campo eléctrico creado en un punto P por esta carga?. c) Calcular por integración el valor y dirección del campo eléctrico resultante en el punto P. Una varilla aislante de 14.0 cm de longitud cargada uniformemente se dobla hasta darle forma semicircular, como se ve en la Fig. 2.2.3. La varilla tiene una carga total de – 7.50 µ C . Calcule la magnitud, dirección y sentido del campo eléctrico en 0, el centro del semicírculo. 2.2.7
2.2.8 Una varilla fina de longitud L y densidad lineal de carga λ está situada a lo largo del eje x , como se muestra en la Fig. 2.2.4 . (a) Demuestre que el campo en P, a una distancia y
Capitulo 3 Ley de Gauss 3.1 Preguntas teóricas ur r
3.1.1 El la ley de Gauss ε 0 ∫∫ E.nda = q , es E necesariamente el campo eléctrico atribuible a la carga q? Una superficie encierra a un dipolo eléctrico ¿que puede usted decir acerca de φE = para esta superficie? 3.1.2
3.1.3 Supóngase que una superficie gaussiana no encierra carga neta alguna ¿requiera la ley de Gauss que E sea igual a cero para todos los puntos sobre la superficie? ¿Es cierto el reciproco de este postulado; esto es, si E es igual a
cero en toda las partes de la superficie requiere la ley de Gauss que no exista ninguna carga neta en el interior? 3.1.4 Se ha visto que la ley de Coulomb puede deducirse de la ley de Gauss ¿Significa ello necesariamente que la ley de Gauss puede deducirse da la ley de Coulomb? 3.1.5 ¿Se cumpliría la ley de Gauss si el exponente de la ley de Coulomb no fuese exactamente 2? 3.1.6 Si más líneas de campo eléctrico salen de una superficie gaussiana de las que entran ¿Qué puede usted concluir acerca de la carga neta encerrada por dicha superficie? 3.1.7 Con base en la naturaleza repulsiva de la fuerza entre partículas iguales y la libertad de movimiento de carga en el conductor, explique por que el exceso de carga en un conductor aislado debe residir en su superficie. 3.1.8 Una persona se sitúa dentro de una gran esfera metálica hueca que esta aislada de la tierra. Si una gran carga se pone en la esfera ¿la persona se lastimará al tocar el interior de la esfera? Explique que sucederá si la persona tiene también una carga inicial cuyo signo es opuesto al de la carga en la esfera. 3.1.9 Usted habrá escuchado que uno de los lugares más seguros durante una tormenta eléctrica es dentro de un auto ¿A que se debe esto? 3.1.10Considere el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor que tiene una densidad de carga uniforme .Explique por que el campo eléctrico no depende de la distancia desde el plano en función del espaciamiento de las líneas de campo eléctrico? PROBLEMAS Un cubo con aristas de 1.4 m está orientado como se muestra en la Fig.3.1 en una región de campo eléctrico uniforme. Encuentre el flujo eléctrico a través de la cara derecha si el campo eléctrico, expresado en N/C, esta dado por a) 6î, b) –2 ˆj y c) -3î + 4 kˆ , d) Calcule el flujo total a través del cubo para cada uno de estos campos. 3.2.1
Cuatro superficies cerradas, S1 a S4, junto con las cargas -2Q, Q y –Q se dibujan en la Fig.3.2. Encuentre el flujo eléctrico a través de cada superficie. 3.2.2
3.2.3 La Fig.3.3 muestra una carga +q dispuesta como una esfera conductora uniforme de radio a y situada en el centro de una esfera hueca conductora de radio interior b y radio exterior c. La esfera hueca exterior contiene una carga de –q. Halle E(r) en las ubicaciones a) dentro de la esfera (r < a), b) entre la
esfera sólida y la hueca (a < r < b), c) dentro de la esfera hueca (b < r < c), y d) afuera de la esfera hueca (r > c), e) ¿Cuáles cargas aparecen en las superficies interna y extrema de la esfera hueca?
3.2.4 Un pequeño casquete conductor esférico con radio interior “a” y radio exterior “b” es concéntrico con un casquete conductor esférico mayor de radio interior “c” y radio exterior “d”, como se muestra en la Fig. 3.4. El casquete interior tiene una carga total de +2q y el casquete exterior de +4q. (a)Calcule el campo eléctrico en términos de q y de la misma distancia r desde el centro común de los dos casquetes para: a.1) rd. (b) Diga cual es la carga total sobre: b.1) La superficie interior del casquete pequeño, b.2) La superficie exterior del casquete pequeño, b.3) La superficie interior del casquete grande, b.4) La superficie exterior del casquete grande.
Capitulo 4
El Potencial eléctrico ¿Tienden los electrones a ir a regiones de potencial elevado o de potencial bajo?. Demuestre gráficamente. 4.1.1
4.1.2 Distinga entre la diferencia de potencial y la diferencia de energía potencial. Dé ejemplos de enunciados en los que cada término se use apropiadamente. 4.1.3 ¿Pueden intersecarse dos superficies equipotenciales diferentes? 4.1.4 Un electricista se electrocutó por accidente y la noticia apareció en el periódico como sigue: “Toco por accidente un cable de alto voltaje y su carga recibió una descarga de 20.000 V de electricidad”.Critique esta aseveración. 4.1.5 Se aconseja a los montañistas que quedan atrapados en una tormenta eléctrica a) alejarse rápidamente de picos y crestas y b) juntar ambos pies y acurrucarse a cielo abierto, tocando tierra solo con los pies ¿En que se basa este buen consejo? 4.1.6 Si es igual a cero en un punto dado, ¿debe V ser igual a cero en ese punto? Dé algunos ejemplos pera confirmar su respuesta. 4.1.7 Si a lo largo de una determinada región del espacio, V es igual a una constante ¿Qué se puede decir de con respecto a E en esa región? 4.1.8 ¿Como se puede asegurar que el potencial eléctrico en una región determinada del espacio tendrá un valor constante? 4.1.9 Establezca la distinción entre potencial eléctrico y energía potencial eléctrica. 4.1.10Explique porque, las superficies equipotenciales perpendiculares a las líneas del campo eléctrico.
son
siempre
Problemas 4.2.1 Obtenga una expresión para el trabajo requerido por un agente externo para juntar cuatro cargas como se indica en la Fig.4.1 Cada lado del cuadrado tiene una longitud a.
4.2.2 Las cargas mostradas en Fig.4.2 están fijas en el espacio. Determine el valor de la distancia x de modo que la energía potencial eléctrica del sistema sea cero. 4.2.3 El Campo eléctrico dentro de una esfera no conductora de radio R, que contiene una densidad uniforme de carga, está dirigido radialmente y tiene una magnitud de E( r ) =
qr , donde q es la carga total en la esfera y 4πε 0 R 3
r es la distancia desde el centro de la esfera. a) Encuentre el potencial V(r) dentro de la esfera, considerando que V = 0 cuando R = 0. b) ¿Cuál es la diferencia en el potencial eléctrico entre el punto en la superficie y el centro de la esfera? Si q es positiva, ¿Qué punto esta al potencial mas elevado? c) Demuestre que el potencial a una distancia r del centro, cuando r < R, está dado
(
)
q 3 R2 − r 2 por V = , donde el cero de potencial se considera 8 π ε 0 R3
en r = ∞ ¿Por qué este resultado es diferente del de la piedra a?.
4.2.4 Dos placas metálicas paralelas y grandes están separadas por 1.48 cm y contienen cargas iguales pero opuestas sobre sus superficies enfrentadas. La placa negativa hace tierra y se considera que su potencial es cero. Si el potencial en medio de las placas es de + 5.52 V, ¿Cuál es campo eléctrico en esta región?. Rta.: 746 V/m. Capítulo 5 CAPACITORES Y DIÉLECTRICOS 5.1 Preguntas teóricas
Una capacitor esta conectado a una batería. a) ¿Por qué cada placa recibe una carga de la misma magnitud exactamente? b) ¿Es cierto aun cuando las placas son de tamaños diferentes? 5.1.1
Tenemos un capacitor de placas paralelas cuadradas de áreas A y separación d, en el vació. ¿Cuál es el efecto cualitativo de cada una de los casos siguientes sobre su capacitancía? a) Si d se reduce. b) Si se coloca una lamina de cobre entre las placas, pero sin que toque a ninguna de ellas. c) Si se duplica el área de ambas placas. d) Si se duplica el área de una placa solamente. e) Si se desliza a las placas paralelamente entre si, de modo que el área de traslape sea del 50%. f) Si se duplica la diferencia de potencial entre las placas. g) Si se inclina a una placa de modo que la separación permanezca siendo d en un extremo pero de 1/2d en el otro.Los capacitares se almacenan a menudo con un alambre conectado entre sus terminales. ¿Por qué se hace esto? 5.1.2
Un capacitor de placas paralelas se cargan mediante una batería, la cual después se desconecta. Entonces se desliza una lámina de material dieléctrico entre las placas. Describa cualitativamente que le sucede: a) A la carga. b) A la capacitancía. c) A la diferencia de potencial. d) Al campo eléctrico. e) A la energía almacenada. 5.1.3
Dos capacitares idénticos están conectados como se muestra en la Fig. 5.1 Entre las placas de un capacitor se desliza una lámina de material dieléctrico, permaneciendo conectada la batería. Describa cualitativamente que le sucede: a) A la carga b) A la capacitancia. c) A la diferencia de potencial. d) Al campo eléctrico y e) A la energía almacenada por cada capacitor. 5.1.4
Puesto que la carga neta en un capacitor siempre almacena un capacitor? 5.1.5
es cero. ¿Qué
Explique por que el trabajo necesario para mover una carga Q a través de una diferencia de potencial ∆V es W = Q∆V en tanto que la energía 5.1.6
1 2
almacenada en un capacitor cargado es U = Q ∆V . ¿De donde proviene el factor
1 ? 2
Si la diferencia de potencial a través de un capacitor de duplica, ¿En que factor cambia la energía almacenada? 5.1.7
5.1.8 Si se pudiera diseñar un capacitor para una situación en la cual se requiere de tamaño pequeño y gran capacitancía, ¿Qué factores serán importantes en su diseño?
Explique por que un dieléctrico aumenta el voltaje de operación máximo de un capacitor aunque el tamaño físico de este no cambie. 5.1.9
5.2 Problemas 5.2.1 El capacitor de la Fig.5.1 tiene una capacitancia de 26.0 µ F e inicialmente está descargado. La batería suministra 125 V. Después de haber cerrado el interruptor s durante un periodo largo. ¿Cuánta carga habrá pasado por la batería B?
Fig. 5.1.-
Fig. 5.2.5.2.2 Dos láminas de hoja de aluminio tienen una separación de 1.20 mm, una capacitancia de 9.70 pF, y están cargadas a 13.0 V. (a) Calcule el área de la placa. (b) La separación disminuye ahora en 0.10 mm manteniéndose la carga constante. Determine la nueva capacitancia. (c) ¿En cuánto cambia la diferencia
potencial? Investigue y explique cómo podría construirse un micrófono utilizando este principio. 5.2.3 En la Fig. 5.2, halle la capacitancia equivalente de la combinación. Suponga que: C1 = 10.3 µ F , C 2 = 4.80 µ F y C 3 = 3.90 µ F . 5.2.4 En la Fig. 5.3 se muestra un capacitor variable de aire del tipo empleado para sintonizar aparatos de radio. Están conectadas entre sí placas alternadas, un grupo fijo posición y en el otro con posibilidad de rotación. Considere un grupo de n placas de polaridad alterna, cada una de ellas con un área A y separadas de placas contiguas por una distancia d. Demuestre que este capacitor ( n − 1) ε 0 A tiene una capacitancia máxima de C = d
Fig. 5.3.-
Fig. 5.4.5.2.5 Halle la capacitancia equivalente entre los puntos x-y en la Fig. 5.4 Suponga que C2 = 10 µ F y que los otros capacitores son todos de 4.0 µ F. (Sugerencia: Aplique una diferencia de potencial V entre x-y, y escriba todas las relaciones que contengan a las cargas y las diferencias de potencial en cada uno de los capacitores). 5.2.6 Un capacitor cilíndrico tiene radios a y b como en la Fig. 5.5.
Demuestre que la mitad de la energía potencial eléctrica almacenada se encuentra dentro de un cilindro cuyo radio es r = a b 5.2.7 Una lámina de cobre de espesor b se coloca dentro de un capacitor de placas paralelas como se muestra en la Fig. 5,6, (a) ¿Cuál es la capacitancia después de haber colocado la lámina? (b) Si se mantiene una carga q en las placas, halle la razón entre la energía almacenada antes de insertar la lámina y después, (c) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre la lámina cuando se inserta? ¿Se tira de la lámina o tiene ésta que ser empujada? 5.2.8 Un cascarón esférico conductor tiene radio interior a y exterior c. El espacio entre las dos superficies se llena con un dieléctrico para el cual la constante dieléctrica es k1 entre a y b, y k2 entre b y c . Determine la capacitancia de este sistema. Ver Fig. 5.7.
Fig. 5.5.-
Fig. 5.6.-
5.2.9 Un capacitor de placas paralelas esta lleno con dos dieléctricos como se muestra en la Fig. 5.8. Demuestre que la capacitancia esta dado por: C=
ε 0 A k e1 + k e 2 ( ) d 2
Compruebe esta fórmula para todos los casos limitantes que pueda imaginarse. (Sugerencia: ¿Puede justificar el ver este arreglo como si se tratara de dos capacitores en paralelo?)
5.2.10 Un capacitor de placas paralelas está lleno con dos dieléctricos como en la Fig. 5.9. Demuestre que la capacitancia está dada por: C=
2 ε 0 A k e1k e 2 ( ) d k e1 + k e 2
5.2.11 ¿Cuál es la capacitancia del capacitor de la Fig. 5.10?
Fig. 5.8.-
Fig.5.9.-
Fig. 5.10.-
