Guia No 2 334t4i
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- Words: 932
- Pages: 5
UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA ESCUELA DE PEDAGOGIA
Casos de factorización. Guía practica para la realización de ejercicios de descomposición factorial Factor Es de gran importancia conocer la factorización de expresiones algebraicas puesto que es una vital herramienta matemática para la simplificación de estas. Para comprender el proceso factorización es necesario aprenderlo y practicarlo, para posteriores temas en matemáticas. • Ejemplo Para comenzar a factorizar hay que visualizar la expresión, si es binomio, trinomio o polinomio. Por ejemplo la expresión algebraica a2+ab es un binomio de segundo grado con respecto a. Tenemos que el coeficiente literal a se repite en cada miembro del binomio. Por tanto al factorizar el binomio nos queda:
a(a+b) De tal forma que al multiplicar a a*(a+b) nos de cómo resultado a2+ab • Ejemplo Sea el polinomio a2-2a3+3a4-4a5+6a6 es de gado 6º con respecto a a. entonces factorizamos el polinomio a21-2a+3a2-4a3+64
a2*1-2a+3a2-4a3+64 = a2-2a3+3a4-4a5+6a6
• Ejemplo Debemos determinar primero cual es el término literal que se repite en toda la expresión algebraica y ver si los coeficientes numéricos son factores comunes entre si. Por ejemplo tenemos la expresión 34ax2+51a2y-68ay2
17 a 34ax2+51a2y-68ay2 •
Tenemos que los coeficientes numéricos 34, 51 y 68 son divisibles por 17 ya que 17 x 2 = 34, 17 x 3 = 51 y 17 x 4 = 68 y el coeficiente literal a se repite en cada miembro del trinomio
Al factorizar el trinomio nos queda 17a(2x2+3ay-4y2) Entonces 17a * 2x2+3ay-4y2 = 34ax2+51a2y-68ay2
Ejercic
Factorizar las siguientes expresiones
UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA ESCUELA DE PEDAGOGIA
1. b+b2 2. 3a3-a2 3. x2y+x2y 4. a3+a2+a 5. a3-a2x+ax2 6. 4x2-8x+2 16. 25x7-10x5+15x3-5x2 7. x-x2+x3-x4 18. x5-x4+x3-x2+x Trinomio cuadrado
8. a6-3a4+8a3-4a2 9. 9a2-12ab+15a3b2-24ab3 10.x15-x12+2x9-3x4 11.16x2y2-8x2y-24x4y2-40x2y3 12.a2-2a3+3a4-4a5+6a6 13.100a2b3c-150ab2c2+50ab3c3-200abc2 14.a20-a16+a12-a8+a4+a2 17. 3a2b+6ab-5a3b2+8a2bx+4ab2m 15.55m2n3x+110m2n3x2-220m2y3
UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA ESCUELA DE PEDAGOGIA
En la factorización de un trinomio cuadrado perfecto hay que distinguir cuando hay un trinomio cuadrado perfecto. tenemos que ordenarlo con relación a una letra, luego el primer monomio y tercero son raíces cuadradas positivas exactas. El segundo termino es el doble producto de las raíces cuadras. Dado el trinomio a2+2ab+b2 desde luego es un trinomio cuadrado perfecto. Para comprobarlo tenemos que realizar los siguientes pasos. a)
Verificar la expresión si es un trinomio “que tenga tres términos”
b)
Ordenarlo con respecto a una letra
c) Hallar la raíz cuadrada del primer termino en este caso a2 entonces a2=a d) Hallar la raíz cuadrada del tercertermino en este caso b2 entonces b2=b e) Obtener el producto
2 por la raíz cuadrada del primer y tercer
termino o sea
2(a)(b) 2ab
a+b2=a2+2ab+b2
a+b
a2+2ab+b2 a2=a
* a+b
a2+ab ab+b2 + b2=b a2+2ab+b2
2(ab) •
Ejemplo
Factorizar o descomponer en dos factores el trinomio 16+40x2+25x4
16+40x2+25x4 Vemos que el trinomio esta ordenado con respecto a x. Entonces hallamos las raíces cuadradas al primer y tercer monomio de tal manera que la expresión nos queda de la siguiente forma
16+40x2+25x4 16+40x2+25x4 4 + 5x2 245x2=40x2
•
Los factores son 4 + 5x22 por tanto comprobaremos el resultado por medio de una multiplicación algebraica
4 + 5x2Los dos factores son 4 + 5x2*4 + 5x2 o también se puede expresar 4 + 5x22, que * 4 + 5x2 es lo mismo 16+20x2
4 + 5x22=16+40x2+25x4
• Ejemplo Factorizar o descomponer en dos factores -30a2b+25a4+9b2 20x2+25x4 El trinomio hay que ordenarlo con respecto a una letra. Al ordenarlo con respecto a a nos queda el trinomio de la siguiente forma 25a4-30a2b+9b2 16+40x2+25x4 o si lo ordenamos con respecto a b el trinomio seria 9b2-30a2b+25a4
UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA ESCUELA DE PEDAGOGIA
3b-5a2
Con respecto a b realicemos la factorización
9b2-30a2b+25a4
9b2-30a2b+25a4
*3b-5a2
3b - 5a2
9b2-15a2b
23b5a2=30a2b
-15a2b+25a4
Los dos factores que buscábamos son 3b-5a2*3b- 5a2 o también se9b2-30a2b+25a4 puede el doble producto expresar 3b + 5a22, que es la misma expresión
3b + 5a22=9b2-30a2b+25a4 • Ejemplo Factorizar o descomponer en dos factores la expresión algebraica 125+25x436-x23 este trinomio no esta ordenado con respecto a un coeficiente literal, al ordenarlo nos queda de la siguiente manera 25x436-x23+125 . Luego hallamos las raíces cuadradas al primero y tercer monomio
25x436-x23+125
25x436-x23+125 5x26 - 15 25x2615= x23
El doble producto entre 5x26-15*5x26-15
•
Comprobe mos que pasa cuando multiplica mos x23+125
5x26-15
*
5x26-15 25x436-x26 -x26+125 25x436-
o lo mismo que tener 5x26-152con
seguridad nos dará el resultado 25x436-x23+125 • Ejemplo Factorizar o descomponer en dos factores a2+2aa+b+(a+b)2 el trinomio se halla ordenado con respecto a a. Por tanto
a2+2aa+b+(a+b)2 a2+2aa+b+(a+b)2 a + (a+b)
Hemos
a2+2aa+b+(a+b)2 comprobado
que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto y que los factores son: a+ (a+b)* a+
a2+2aa+b+(a+b)2 (a+b) = a+ (a+b)2
2aa+b=2a(a+b) Comprobando el resultado por medio de la multiplicación * a+ (a+b)* a+ (a+b) Nos da como resultado Ejercic
a+ (a+b) a+ (a+b) a2+a(a+b) aa+b+(a+b)2 a2+2aa+b+(a+b)2
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Factorizar o descomponer en dos factores los siguientes trinomios cuadrados perfectos
1. a2-2ab+b2 2. x2-2x+1 3. y4+1+2y2 4. 36+12m2+m4
19.
a24-ab+b2
20. a4-a2b2+b44 21. 125-25x436+x23
5. 9+x2-6x
22. 16x6-2x3y2+y416
6. 16+25x4+40x2
23. 2mn+9m2+n29
7. –14a+49a2+1
24. 4-41-a+1-a2
8. a6-2a3b3+b6
25. 4m2-4mn-m+n-m2
9. 1+14x2y+49x4
26. a+x2-2a+xx+y+x+y2
10. 1+a10-2a5
27. 9x-y2+12x-yx+y+4x+y2
11. 49m6-70am3n2+25a2n428. 41+a2-41+ab-1+b-12 12. 100x10-60a4x5y6+9a8y12 29. 9e+42-24e+4e-2+16e-22 13. 121+198x6+81x12 14. a2-24am2x2+144m4x4 15. 16-104x2+169x4 16. 400x10+1+40x5 17. a22+2a11b11+1 18. 81e6-36e3+4
30. 25ln2+12-40ln2+1ln-6+16ln-62
Casos de factorización. Guía practica para la realización de ejercicios de descomposición factorial Factor Es de gran importancia conocer la factorización de expresiones algebraicas puesto que es una vital herramienta matemática para la simplificación de estas. Para comprender el proceso factorización es necesario aprenderlo y practicarlo, para posteriores temas en matemáticas. • Ejemplo Para comenzar a factorizar hay que visualizar la expresión, si es binomio, trinomio o polinomio. Por ejemplo la expresión algebraica a2+ab es un binomio de segundo grado con respecto a. Tenemos que el coeficiente literal a se repite en cada miembro del binomio. Por tanto al factorizar el binomio nos queda:
a(a+b) De tal forma que al multiplicar a a*(a+b) nos de cómo resultado a2+ab • Ejemplo Sea el polinomio a2-2a3+3a4-4a5+6a6 es de gado 6º con respecto a a. entonces factorizamos el polinomio a21-2a+3a2-4a3+64
a2*1-2a+3a2-4a3+64 = a2-2a3+3a4-4a5+6a6
• Ejemplo Debemos determinar primero cual es el término literal que se repite en toda la expresión algebraica y ver si los coeficientes numéricos son factores comunes entre si. Por ejemplo tenemos la expresión 34ax2+51a2y-68ay2
17 a 34ax2+51a2y-68ay2 •
Tenemos que los coeficientes numéricos 34, 51 y 68 son divisibles por 17 ya que 17 x 2 = 34, 17 x 3 = 51 y 17 x 4 = 68 y el coeficiente literal a se repite en cada miembro del trinomio
Al factorizar el trinomio nos queda 17a(2x2+3ay-4y2) Entonces 17a * 2x2+3ay-4y2 = 34ax2+51a2y-68ay2
Ejercic
Factorizar las siguientes expresiones
UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA ESCUELA DE PEDAGOGIA
1. b+b2 2. 3a3-a2 3. x2y+x2y 4. a3+a2+a 5. a3-a2x+ax2 6. 4x2-8x+2 16. 25x7-10x5+15x3-5x2 7. x-x2+x3-x4 18. x5-x4+x3-x2+x Trinomio cuadrado
8. a6-3a4+8a3-4a2 9. 9a2-12ab+15a3b2-24ab3 10.x15-x12+2x9-3x4 11.16x2y2-8x2y-24x4y2-40x2y3 12.a2-2a3+3a4-4a5+6a6 13.100a2b3c-150ab2c2+50ab3c3-200abc2 14.a20-a16+a12-a8+a4+a2 17. 3a2b+6ab-5a3b2+8a2bx+4ab2m 15.55m2n3x+110m2n3x2-220m2y3
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En la factorización de un trinomio cuadrado perfecto hay que distinguir cuando hay un trinomio cuadrado perfecto. tenemos que ordenarlo con relación a una letra, luego el primer monomio y tercero son raíces cuadradas positivas exactas. El segundo termino es el doble producto de las raíces cuadras. Dado el trinomio a2+2ab+b2 desde luego es un trinomio cuadrado perfecto. Para comprobarlo tenemos que realizar los siguientes pasos. a)
Verificar la expresión si es un trinomio “que tenga tres términos”
b)
Ordenarlo con respecto a una letra
c) Hallar la raíz cuadrada del primer termino en este caso a2 entonces a2=a d) Hallar la raíz cuadrada del tercertermino en este caso b2 entonces b2=b e) Obtener el producto
2 por la raíz cuadrada del primer y tercer
termino o sea
2(a)(b) 2ab
a+b2=a2+2ab+b2
a+b
a2+2ab+b2 a2=a
* a+b
a2+ab ab+b2 + b2=b a2+2ab+b2
2(ab) •
Ejemplo
Factorizar o descomponer en dos factores el trinomio 16+40x2+25x4
16+40x2+25x4 Vemos que el trinomio esta ordenado con respecto a x. Entonces hallamos las raíces cuadradas al primer y tercer monomio de tal manera que la expresión nos queda de la siguiente forma
16+40x2+25x4 16+40x2+25x4 4 + 5x2 245x2=40x2
•
Los factores son 4 + 5x22 por tanto comprobaremos el resultado por medio de una multiplicación algebraica
4 + 5x2Los dos factores son 4 + 5x2*4 + 5x2 o también se puede expresar 4 + 5x22, que * 4 + 5x2 es lo mismo 16+20x2
4 + 5x22=16+40x2+25x4
• Ejemplo Factorizar o descomponer en dos factores -30a2b+25a4+9b2 20x2+25x4 El trinomio hay que ordenarlo con respecto a una letra. Al ordenarlo con respecto a a nos queda el trinomio de la siguiente forma 25a4-30a2b+9b2 16+40x2+25x4 o si lo ordenamos con respecto a b el trinomio seria 9b2-30a2b+25a4
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3b-5a2
Con respecto a b realicemos la factorización
9b2-30a2b+25a4
9b2-30a2b+25a4
*3b-5a2
3b - 5a2
9b2-15a2b
23b5a2=30a2b
-15a2b+25a4
Los dos factores que buscábamos son 3b-5a2*3b- 5a2 o también se9b2-30a2b+25a4 puede el doble producto expresar 3b + 5a22, que es la misma expresión
3b + 5a22=9b2-30a2b+25a4 • Ejemplo Factorizar o descomponer en dos factores la expresión algebraica 125+25x436-x23 este trinomio no esta ordenado con respecto a un coeficiente literal, al ordenarlo nos queda de la siguiente manera 25x436-x23+125 . Luego hallamos las raíces cuadradas al primero y tercer monomio
25x436-x23+125
25x436-x23+125 5x26 - 15 25x2615= x23
El doble producto entre 5x26-15*5x26-15
•
Comprobe mos que pasa cuando multiplica mos x23+125
5x26-15
*
5x26-15 25x436-x26 -x26+125 25x436-
o lo mismo que tener 5x26-152con
seguridad nos dará el resultado 25x436-x23+125 • Ejemplo Factorizar o descomponer en dos factores a2+2aa+b+(a+b)2 el trinomio se halla ordenado con respecto a a. Por tanto
a2+2aa+b+(a+b)2 a2+2aa+b+(a+b)2 a + (a+b)
Hemos
a2+2aa+b+(a+b)2 comprobado
que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto y que los factores son: a+ (a+b)* a+
a2+2aa+b+(a+b)2 (a+b) = a+ (a+b)2
2aa+b=2a(a+b) Comprobando el resultado por medio de la multiplicación * a+ (a+b)* a+ (a+b) Nos da como resultado Ejercic
a+ (a+b) a+ (a+b) a2+a(a+b) aa+b+(a+b)2 a2+2aa+b+(a+b)2
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Factorizar o descomponer en dos factores los siguientes trinomios cuadrados perfectos
1. a2-2ab+b2 2. x2-2x+1 3. y4+1+2y2 4. 36+12m2+m4
19.
a24-ab+b2
20. a4-a2b2+b44 21. 125-25x436+x23
5. 9+x2-6x
22. 16x6-2x3y2+y416
6. 16+25x4+40x2
23. 2mn+9m2+n29
7. –14a+49a2+1
24. 4-41-a+1-a2
8. a6-2a3b3+b6
25. 4m2-4mn-m+n-m2
9. 1+14x2y+49x4
26. a+x2-2a+xx+y+x+y2
10. 1+a10-2a5
27. 9x-y2+12x-yx+y+4x+y2
11. 49m6-70am3n2+25a2n428. 41+a2-41+ab-1+b-12 12. 100x10-60a4x5y6+9a8y12 29. 9e+42-24e+4e-2+16e-22 13. 121+198x6+81x12 14. a2-24am2x2+144m4x4 15. 16-104x2+169x4 16. 400x10+1+40x5 17. a22+2a11b11+1 18. 81e6-36e3+4
30. 25ln2+12-40ln2+1ln-6+16ln-62
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