Geometri Dimensi Tiga 3qk36

GEOMETRI DIMENSI TIGA A. UNSUR-UNSUR BANGUN RUANG, LUAS PERMUKAAN & VOLUME Unsur-unsur sebuah bangun ruang adalah titik sudut, sisi dan rusuk. Unsur-unsur sebuah bangun ruang menyatakan sifat-sifat bangun ruang tersebut. 1. Balok Sifat-sifat balok : a. Mempunyai 6 sisi yang umumnya berbentuk persegi panjang. Jika kita amati bangun balok di samping terdiri dari 6 sisi yaitu : ABCD, BCGF, CDHG, ADHE, ABFE dan EFGH. b. Mempunyai 8 titik sudut yaitu A, B, C, D, E, F, G dan H. c. Mempunyai 12 rususk yaitu : AB, BC, CD, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, dan EH. d. Mempunyai 8 diagonal sisi : AC, BD, EG, HF, AF, BE, CH, DG, AH, DE, BG dan CF. e. Mempunyai 4 diagonal ruang : AG, BH, CG, dan DF. f. Mempunyai 6 bidang diagonal : ACGE, BDHF, ABGH, CDEF, ADGF, dan BCHE.

Luas Permukaan dan Volume Balok

Dari gambar di atas dapat di uraikan bahwa rumus luas permukaan balok (L.ABCD.EFGH) adalah : L. ABCD.EFGH = L.ABCD + L.BCGF + L.ADHE + L.ABFE + L.DCGH + L.EFGH . Karena L.ABCD = L.EFGH = p x l LBCGF = L.ADHE = l x t L.ABFE = L.DCGH = p x t maka di dapatkan : L. ABCD.EFGH = L.ABCD + L.BCGF + L.BCGF + L.ABFE + L.ABFE + L.ABCD L. ABCD.EFGH = 2 L.ABCD + 2 L.BCGF + 2 L.ABFE L. ABCD.EFGH = 2 ( L.ABCD + L.BCGF + L.ABFE ) L. ABCD.EFGH = 2 ( ( p x l ) + ( l x t ) + ( p x t ) ) Volume Balok = p x l x t

2. Kubus

Sifat-sifat kubus adalah sebagai berikut : a. Mempunyai 6 sisi yang berbentuk persegi yaitu ABCD, b. CDHG, BCGF, ABFE, ADHE dan EFGH. c. Mempunyai 8 titik sudut yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H. d. Mempunyai 12 rusuk sama panjang atau persegi yaitu AB = BC= CD= DA= AE= EF= FB= FG= GH= HE= DH= CG. e. Mempunyai 8 diagonal sisi : AC, BD, EG, HF, AF, BE, CH, DG, AH, DE, BG dan CF. f. Mempunyai 4 diagonal ruang : AG, BH, CG, dan DF. g. Mempunyai 6 bidang diagonal : ACGE, BDHF, ABGH, CDEF, ADGF, dan BCHE.

Luas Permukaan dan Volume Kubus Kemudian, kita dapat mengetahui bahwa luas permukaan kubus (L.ABCD.EFGH) adalah jumlah luas seluruh bidang pada kubus. Dapat di uraikan sebagai berikut : L. ABCD.EFGH = L.ABCD + L.BCGF + L.ADHE + L.ABFE + L.DCGH + L.EFGH L. ABCD.EFGH = (s x s) + (s x s) + (s x s) + (s x s) + (s x s) + (s x s) L. ABCD.EFGH = 6 (s x s) = 6 s2 Karena Volume balok = p x l x t Maka volume kubus dengan rusuk sama panjang = p x l x t = s x s x s = s3 Jadi Volume kubus = S3 3. Prisma Segi n Sifat-sifat prisma segi n adalah sebagai berikut : a. Mempunyai : banyak sisi (n+2), banyak sudut (2n) dan banyak rusuk (3n). b. Sisi-sisi tegak berbentuk persegi panjang atau persegi. c. Sisi alas dan sisi atas sama bentuk dann ukuran, yaitu segi n.

Luas Permukaan Prisma dan Volume Prisma L. permukaan = L.ΔABC + L.ΔDEF + L.EDAB + L.DFCA + L.FEBC L. permukaan = 2 · L.ΔABC + L.EDBA + L.DFAC + L.FEBC L. permukaan = (2 x Luas alas) + (jumlah luas bidang tegak) Jumlah luas bidang tegak dapat dicari dengan cara mengalikan keliling alas dengan tinggi prisma, yakni: L.bidang tegak = keliling alas x tinggi Maka, secara umum luas permukaan prisma dapat dihitung dengan menggunakan rumus : L = 2 x Luas alas + keliling alas x tinggi prisma Volume Prisma segitiga sebarang = V1 + V2 = ( L alas 1 x t ) + ( L alas 2 x t ) = ( L alas 1 + L alas 2 ) x t = L alas x t

4. Limas Segi n Sifat-sifat limas segi n adalah sebagai berikut : a. Mempunyai banyak sisi (n+1), banyak sudut (n + 1), banyak rusuk (n X 2). b. Sisi-sisi tegak berbentuk segitiga. c. Alas limas berbentuk bangun datar segi n yaitu tergantung bentuk alasnya. Apabila limas segi empat maka alasnya berbentuk bangun datar persegi atau persegi panjang.

Luas Permukaan dan Volume Limas Luas Permukaan Limas segi empat L = Luas alas + Jumlah Luas Sisi Tegak = (s x s ) + ( 4 + a.t ) Volume Limas = 1/3 x ( L.alas x t)

5. Tabung Tabung merupakan prisma dengan alas berbentuk lingkaran. Adapun sifatsifat tabung sebagai berikut : a. Mempunyai 3 sisi, 2 rusuk dan tidak mempunyai titik sudut. b. Sisi alas dan sisi atas berbentuk lingkaran yang sama ukurannya.

Luas Permukaan dan Volume Tabung

 

Jaring-jaring tersebut terdiri dari : Selimut tabung yang berupa persegi panjang dengan panjang = keliling alas tabung = 2πr dan lebar = tinggi tabung = t; Dua buah lingkaran berjari-jari r. Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan cara berikut Luas selimut tabung = keliling alas x tinggi tabung = 2πr x tinggi tabung = 2πrt Setelah memperoleh luas selimut tabung, dapat ditentukan pula luas permukaan tabung. Luas permukaan tabung = luas alas + selimut tabung + tutup = πr²+πrt + r² = 2πr²+2πrt = 2πr(r+t) Untuk setiap tabung dengan tinggi tabung t dan jari-jari alas tabung r berlaku rumus sebagai berikut : Luas selimut tabung = 2πrt Luas permukaan tabung = 2 πr(r + t)

 Volume tabung = πr2t ( Luas alas x t )

6. Kerucut

Sifat-sifat kerucut sebagai berikut : a. Alasnya berbentuk lingkaran b. Mempunyai satu titik sudut c. Selimut kerucut berupa bangun datar sisi lengkung.

Luas Permukaan dan Volume Kerucut

Luas selimut Kerucut

Luas juring CDD ' Luas Lingkaran

=

panjang busur DD ' panjang keliling Lingkaran Luas juring CDD ' π s2 Luas juring CDD’ =

= 7. Bola

Luas Permukaan dan Volume Bola

=

π s2

( 22 ππ rs )

π s2

( rs )

2πr 2πs

Bola adalah bangun ruang yang hanya memiliki satu sisi dan tidak memiliki rusuk. Unsur-unsur bola dapat diuraikan sebagai berikut. 1. Titik O dinamakan titik pusat bola. 2. Ruas garis OA dinamakan jari-jari bola. Sebutkan jari=jari bola lainnya. 3. Ruas garis CD dinamakan diameter bola. Jika kamu amati, ruas garis AB juga merupakan diameter bola. AB dapat pula disebut tinggi bola. 4. Sisi bola adalah kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik O. Sisi tersebut dinamakan selimut atau kulit bola. 5. Ruas garis ACB dinamakan tali busur bola. Sebutkan tali busur bola lainnya. 6. Ruas-ruas garis pada selimut bola yaitu ACBDA dinamakan garis pelukis bola.

Luas permukaan bola : L = 4 x luas lingkaran = 4 x π r2 = 4 π r2

Volume bola : V = 4 x volume kerucut = 4 x 1/3 π r2 t karena pada bola, t = r maka = 4 x 1/3 π r2 r = 4 x 1/3π r3 = 4/3 π r3

B. HUBUNGAN ANTARA UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG Ruang adalah himpunan dari semua titik. Titik-titik dalam ruang mempunyai lokasi yang eksak atau pasti dan tidak bergerak. Unsur-unsur ruang adalah titk, garis dan bidang. Titik adalah himpunan bagian terkecil dari ruang. 1. a.

Jarak pada Bangun Ruang Jarak antara dua titik Contoh : Suatu kubus ABDC.EFGH mempunyai rusuk dengan panjang 6 cm. tentukan: a. Jarak A ke D b. Jarak F ke H c. Jarak E ke C Penyelesaian : a. b.

Jarak A ke D sama dengan rusuk kubus = 6 cm Jarak F ke H sama dengan diagonal kubus, yaitu : FH =

√ EH 2 + EF 2

=

√ 62 +62

=

√ 36+36

=

√ 72

=

6 √ 2 cm

Jadi jarak F ke H adalah c.

6 √ 2 cm

Jarak E ke C sama dengan diagonal ruang kubus, yaitu: FH =

√ AC 2+ AE2

6√2 ¿ b. Jarak titik ke garis ¿ = Jarak titik ke garis adalah panjang garis¿yang ditarik dari suatu titik dan tegak lurus garis tersebut. √¿ Contoh : Limas A.ABC pada gambar merupakan limas segitiga beraturan. Tentukan jarak dari titik A ke garis BE? A.ABC adalah limas segitiga AB = AC = AD =

6√2

BC = CD = BD = 12 Dari ∆ BCE didapat : BE =

√ BC 2−CE2

=

√ 122−62

=

√ 144−36

=

√ 108

6 √ 3 cm Dari ∆ ADE didapat : c.

Jarak antara titik dengan bidang

=

Dari ∆ ABE didapat :

t 6 t=

=

6 √2 6 √3

6 √2 .6 6 √3

=

2 √6

Jarak antara titik dengan bidang adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik proyeksinya pada bidang. Jarak sebuah titik ke sebuah bidang adalah jarak tegak lurus dari titik ke bidang itu. Contoh : Panjang rusuk ABCD.EFGH adalah 12 cm. tentukan titik F ke bidang BEG? AF

=

√ BA 2+ BF2

=

√ 12 +12

=

√ 144+144

=

√ 288

2

2

Perhatikan ∆ FLG dan ∆ FMG, diperoleh:

FM FL FM 6 √2

=

12 √ 2 cm

Perhatikan ∆ FLG

=

FG LG 12 6 √6

FM

=

12 . 6 √ 2 6√6

FM

=

12 √ 2 √6

BE = EG = BG = AF =

12 √ 2 cm

=

12 √ 2

√6

d. Jarak antara dua garis bersilangan FM = . √6 = √ 6tidak sejajar Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis tersebut dan tidak terletak pada dua bidang yang berbeda. Pada gambar garis AE dan BH saling bersilangan. Misal dari kubus ABCD.EFGH akan ditentukan jarak antara AE dan BH. Langkahlangkahnya sebagai berikut: a. Tentukan dan buat bidang yang melalui BH dan sejajar AE sehingga diperoleh bidang BDHF. b. Proyeksikan AE pada bidang BDHF sehingga diperoleh garis KL. c. Jarak antara AE dan BH adalah jarak antara AE dan KL diperoleh OM atau EK atau AL. Contoh : ABCD.EFGH adalah suatu kubus dengan panjang rusuk 4 cm. tentukan jarak antara: a. HD dan AG b. AE dan CH c. FG dan HD a.

Jarak antara HD dan AG dapat diwakili oleh jarak antara titik O dengan HD =

1 2

=

1 2 1

e.

b.

c. x DB

√ 4 2+ 4 2

√ 16+16 Jarak dua garis sejajar = antara 2

Jarak antara AE dan CH dapat diwakili oleh garis EH karena apabila garis AE diproyeksikan ke bidang CDHG, maka garis AE akan tegak lurus dengan CH di titik H. Jadi, jarak AE dan CH adalah 4 cm. Jarak antara FG dan HD dapat diwakili oleh garis HG karena apabila garis HD diproyeksikan ke FG akan memotong FG di titik G. Jadi, jaral HD ke FG = 4 cm.

Garis AB dan DC sejajar dan terletak pada bidang ABCD. Misalkan garis IJ tegak lurus garis AB dan DC dan memotong kedua garis tersebut masingmasing di titk I dan titik J. jarak antara garis AB dan CD adalah panjang ruas garis IJ.

Contoh : Balok JKLM.NOPQ memliki panjang 18 cm, lebar 5 cm dan tinggi 12 cm. tentukan jarak antara ML dan NQ. ML dan NO terletak pada bidang MLON. ML dan NO sejajar, maka jarak antara ML dan NO dapat diwakili oleh panjang LO. AF

f.

=

√ KL2 + KO 2

=

√ 52+ 122

=

√ 25+144

Jarak antara garis dan bidang = √ 169 = 13 cm 1. Hubungan garis dan bidang Hubungan suatu garis terhadap suatu bidang memenuhi satu dari tiga kemungkinan berikut: a. Garis terletak pada bidang Suatu garis terletak pada bidang apabila setiap titik pada garis tersebut terl;etak atau berimpit dengan bidang, perhatikan gambar. Garis EG terletak pada bidang EFGH dan garis AB pada bidang ABCD. b. Garis sejajar bidang Suatu garis dikatakan sejajar bidang apabila antara garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan (tidak berpotongan). Pada gambar, garis EF sejajar bidang ABCD dan garis AC sejajar bidang EFGH. c. Garis menembus bidang Suatu garis dikatakan menembus bidang apabila garis dan bidang tersebut mempunyai tepat satu titik persekutuan (titik potong). Perhatikan gambar, garis BO menembus bidang EFGH di titik O. Titik O disebut titik tembus. 2. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar Garis MN sejajar dengan bidang EFGH. Tarik garis yang melalui sembarang titik L digaris MN dan tegak lurus bidang EFGH. Misalkan garis tersebut menembus bidang EFGH di L’, maka jarak antara garis MN dan bidang EFGH adalah panjang ruas garis LL’.

g.

Jarak antara dua bidng yang sejajar

Jarak bidang ADHE dan BCGF yang sejajar adalah ruas garis UV dimana U adalah titik sembarang pada bidang ADHE dan V adalah proyeksi titik U pada bidang BCGF.

Contoh : Balok PQRS.TUVW memiliki panjang 7 cm, lebar 5 cm dan tinggi 4 cm. tentukan jarak bidang PQUT dengan bidang SRVW? Bidang PQUT sejajar dengan bidang SRVW, karena ruas garis PS tegak lurus dengan bidang SRVW, maka PS digunakan untuk mewakili jarak kedua bidang ini. Jadi, jarak bidang PQUT dengan bidang SRVW adalah 5 cm

2. Sudut a. Sudut antara dua garis berpotongan Dua garis l dan m yang saling berpotongan di titik P, yang dimaksud dua garis bersilangan (berpotongan) adalah sudut dan

∠ APC. Besar ∠ APB + ∠ APC = 180o.

Contoh : Kubus PQRS.TUVW. tentukan sudut yang dibentuk a. QS dan QR b. QV dan VS c. QR dan PW d. TR dan WS Jawab : a.

Garis QS dan QR berpotongan di Q. sudut antara QS dan QR adalah RQS. ∆ SQR merupakan segitiga siku-siku sama kaki b. c.

d.

∠

∠ RQS = 45o.

Garis QV dan VS berpotongan di V dan membentuk sudut QVS. ∆ SQV merupakan segitiga sama sisi. Jadi, sudut antara QV dan VS adalah 60o. QR dan PW saling bersilangan, garis PW sejajar QV pada bidang QRVU, jadi

∠ (QR, PW) = ∠ VQR = 45o.

TR dan WS saling bersilangan, WS sejajar VR pada biang SRVW.

∠ (TR, WS) = ∠ (TR, RV) = ∠ TRV, ∆TRV,

tan

θ =

5 √2 5

=

√2

b. Sudut antara garis dan bidang

∠ APB (atau α )

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk antara garis dengan proyeksinya pada bidang. Garis EG ada;ah proyeksi EC pada bidang EFGH, maka sudut antara EC dan bidang EFGH adalah

∠ CEG.

Contoh : Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, tentukan sudut antara ACGE dengan garis BG ? Jawab : AC

OC

=

√ AB2 + BC2

=

√ 4 2+ 4 2

=

√ 16+16

=

√ 32

1 = 2

=

AC =

BG

=

4 √2 cm

BO

=

√ CG2 +OC 2

=

√ 4 +(2 √2)

=

√ 16+8

4 √ 2 cm

2

2

2 √ 2 cm

Sudut antara BG dengan ACGE adalah ∠ BGO, BO c. Sudut antara dua bidang

⊥ OG, karena BO ⊥ bidang ACGE. Bidang A dan bidang B membentuk sudut

α . Sudut yang

dibentuk dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Tandai titik potong kedua bidang, misal titik Q b. Buat garis k pada bidang A melalui titik Q dan garis l pada bidang B melalui titik Q. Kedua garis tegak lurus garis potong. Diperoleh sudut antara bidang A dan bidang B sama dengan sudut antara garis k dan garis l. Sudut antara garis k dan garis l disebut sudut tumpuan, sedangkan bidang yang melalui garis k dan garis l disebut bidang tumpuan. Contoh : Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm, tentukan sudut yang terbentuk antara bidang PQRS dengan bidang QSV Jawab : Bidang PQRS beririsan dengan SQV di garis QS. Jadi, sudut yang terbentuk merupakan sudut antara garis QV atau OR =

1 2

PR =

VR Tan θ = ¿

1 5 √2 2 .

=

5 =

5 √2 2

=

∠ (OV, OR) = θ 5 √2 2 2 √2

=

√2