Fundamentos De Algebra New.pdf 1y5f3q

0) a b b a es no negativo (b a 0) a>b b
De…nición 7.1 Una desigualdad es una expresión algebraica que contiene variables y alguno de los símbolos ; ; rel="nofollow"> o <.

7 Valor Absoluto y Desigualdades De…nición 7.2 Resolver una desigualdad que incluye una variable o incógnita, signi…ca determinar todos los valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad. El conjunto de los valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad es llamado conjunto solución. A diferencia de las ecuaciones, las desigualdades generalmente tienen un conjunto in…nito de soluciones. Si la desigualdad contiene sólo una variable, representará regiones en la recta y si la desigualdad contiene dos variables las regiones estarán ubicadas en el plano. De…nición 7.3 Decimos que dos desigualdades son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Existen dos tipos de desigualdades, las absolutas y las condicionales. Las desigualdades absolutas son aquellas que son satisfechas por cualquier valor de la variable, por ejemplo x + 1 > x. Las desigualdades condicionales son aquellas que se satisfacen sólo para ciertos valores de la variable, por ejemplo 2x 10 > 0 es satisfecha sólo para los valores de x > 5. Las desigualdades condicionales son tambien llamadas inecuaciones. Existen conjuntos en la recta numérica que son importantes por su utilización en la matemática. Estos conjuntos son llamados intervalos. Por ejemplo, dados dos números reales a y b con a < b, el conjunto fx 2 R; a < x; x < bg es llamado un intervalo abierto. Este conjunto es representado en diferentes formas como fx 2 R; a < x; x < bg = fx 2 R; a < x < bg = (a; b) En la siguiente tabla presentamos los tipos de intervalos y el nombre usual de ellos. Para esto, supondremos que a < b Notación Desigualdad Conjunto Solución (a; b) a<x
Nombre Intervalo abierto Intervalo semiabierto Intervalo semiabierto Intervalo cerrado Intervalo no acotado Intervalo no acotado Intervalo no acotado Intervalo no acotado

Los métodos para resolver desigualdades son semejantes a los empleados para resolver ecuaciones. Existen algunos detalles que deben ser considerados cuando trabajamos con las desigualdades. Estos están dados en el siguiente teorema. 138

7.1 Introducción Teorema 7.1 (Operaciones que producen desigualdades equivalentes) Supongamos que a y b son dos números reales con a < b y sea c un número real cualquiera. Las siguientes desigualdades son equivalentes. 1. a + c < b + c 2. ac < bc si c > 0 3. ac > bc si c < 0. Demostración: Supongamos que a < b 1. Tenemos que si a < b entonces b a > 0. Consideremos ahora la expresión (b + c) (a + c) (b + c)

por lo que (b + c)

(a + c) = b + c = b a > 0

a

c

(a + c) es positivo y a+c

2. Supongamos que c > 0, se tiene que b a es positivo y por lo tanto el producto de dos números positivo es positivo y (b a) c > 0 bc ac > bc > ac 3. Supongamos que c < 0, como b a es positivo y el producto de un número positivo y un negativo es negativo se tiene (b a) c < 0 bc ac < 0 bc < ac

Vocabulario

139

7 Valor Absoluto y Desigualdades 1 2

3

Hechos importantes 1 2

Ejercicios de la Sección 7.1

7.2. Desigualdades Lineales De…nición 7.4 (Desigualdad lineal) Una desigualdad lineal es una desigualdad de la forma ax + b > c con a 6= 0. Los métodos de solución son similares a los métodos de solución de las ecuaciones lineales, pero teniendo en cuenta las propiedades mostradas en el teorema 7.1. Ejemplo 7.1 8x + 4 < 16 + 15x 12 < 7x 12 < x 7 12 7

El conjunto solución es x 2 R; x >

=

12 ;1 7

Ejemplo 7.2 1

>0 x 2 Para que el resultado de la división sea positivo se requiere que x x > 2 por lo que el conjunto solución es (2; 1) 140

2>0o

7.2 Desigualdades Lineales Ejemplo 7.3 6 < 2x

4<2

Esta desigualdad es una forma de escribir dos desigualdades que se deben de satisfacer en forma conjunta 4 y 2x

6 < 2x

4<2

El conjunto solución de la desigualdad original es la intersección de los conjuntos soluciones de las dos últimas desigualdades. Podemos trabajar las dos desigualdades simultaneamente ya que las operaciones involucradas serían las mismas 6 < 2x 4 < 2 sumando 4 en todos los lados de la desigualdad 2 < 2x < 6 Multiplicando por

1 2

1<x<3 y el conjunto solución es el intervalo ( 1; 3). Ejemplo 7.4 5

4

3x

<1

2

Multiplicando por 2 10 Sumando

4

3x < 2

4 14

Mutiplicando por

1 3

3x <

2

la desigualdad se invierte y 14 3

y el conjunto solución es

2 14 ; 3 3

x>

2 3

.

Vocabulario 1 2

3

141

7 Valor Absoluto y Desigualdades



7.3. Valor Absoluto y Desigualdades 7.3.1. Ecuaciones con valor absoluto Recordemos la de…nición de la función valor absoluto. Esta es a; a 0 a; a < 0

jaj = Tenemos el siguiente resultado.

Teorema 7.2 Sea a un número real positivo, entonces la expresión jxj = a si y sólo si x=aox=

a

Con esto en mente, resolveremos los siguientes ejemplos Ejemplo 7.5 La ecuación j 2xj = 9 implica 2x = 9 o 2x = 9: De la primera ecuación se tiene que x = lo que las soluciones de la ecuación son x= 142

9=2 y de la segunda x = 9=2. Por 9 2

7.3 Valor Absoluto y Desigualdades Ejemplo 7.6 La ecuación j5x

3j = 8

implica 5x

3=8o

(5x

3) = 8

por lo que las soluciones de la ecuación son x=

11 ;x = 5

1

7.3.2. Desigualdades con valor absoluto Cuando una desigualdad involucra el valor absoluto de alguna expresión algebraica que contiene a la variable a determinar es necesario utilizar el siguiente teorema. Teorema 7.3 Sea a un número real positivo, entonces: 1. El conjunto solución de la desigualdad jxj < a es ( a; a) 2. El conjunto solución de la desigualdad jxj > a es ( 1; a) [ (a; 1) Demostración: Consideremos que a > 0 1. La desigualdad jxj < a signi…ca que x < a si x

0

x < a si x

0:

a si x

0

o Esto es, x>

por lo que tomando la intersección de los dos conjuntos se tiene que a<x
7 Valor Absoluto y Desigualdades 2. La desigualdad jxj rel="nofollow"> a signi…ca que x > a si x > 0 y x > a si x < 0 o x>

a si x < 0

por lo que tomando la unión de los dos conjuntos se tiene que el conjunto solución es ( 1; a) [ (a; 1)

Ejemplo 7.7

j2x + 5j 7 12 6

< < < <

7 2x + 5 < 7 2x < 2 x<1

El conjunto solución es ( 6; 1). Ejemplo 7.8

j3x + 1j 3x + 1 3x + 1 3x

4 4o 4o 3o

(3x + 1) 4 3x 1 4 3x 5 5 1ox 3

x El conjunto solución es

1;

5 3

[ [1; 1)

Ejemplo 7.9

6 x+2

1

1 144

6 x+2

1

7.3 Valor Absoluto y Desigualdades Multiplicando por x + 2 (si x + 2 > 0) se tiene x

2

6

x+2

Consideremos primero x

2 x x

6 4 4

y 6 4

x+2 x

Tenemos entonces que si x > 2, x debe de satisfacer que la solución en este caso es 4 x. Si consideramos ahora que x + 2 < 0 se tiene x

2

6

4

xo4

x, por lo

x+2

de donde x

2 x x

6 8 8

y 6 4

x+2 x

por lo que se tiene que x < 2;entonces x el conjunto solución es x 8

8ox

4: De esto se sigue que

Juntando estos resultados, el conjunto solución es ( 1; 8] [ [4; 1) Ejemplo 7.10 j3x

5j

Esta desigualdad es equivalente a

j1

3x 5 1 4x

4xj

1

Esto es, 1 Debemos considerar dos casos:1

3x 5 1 1 4x 4x > 0 o 1 4x < 0 145

7 Valor Absoluto y Desigualdades Caso 1 Si 1

4x > 0 entonces (1 4x) 1 + 4x

3x 3x

5 5

1 1

4x 4x

Consisderando la primera desigualdad 1 + 4x 3x 5,la solución es ( 1; 4]. Para la segunda desigualdad 3x 5 1 4x, la solución 3x 5 1 4x es es 1; 67 . por lo que la solución de 1 + 4x la intersección de las dos soluciones obtenidas ( 1; 4] \ 1; 76 = ( 1; 4]. Caso 2 Si 1

4x < 0 entonces (1 4x) 1 + 4x

3x 3x

5 5

1 1

4x 4x

Consisderando la primera desigualdad 1 + 4x 3x 5, ,la solución es [ 4; 1). Para la segunda desigualdad 3x 5 1 4x, la solución 6 es 7 ; 1 . por lo que la solución de 1 + 4x 3x 5 1 4x es la intersección de las dos soluciones obtenidas [ 4; 1) \ 76 ; 1 = 76 ; 1 . La solución de la desigualdad original es entonces ( 1; 4] [

Vocabulario 1 2

3



146

6 ;1 7

7.4 Desigualdades no lineales

7.4. Desigualdades no lineales Las desigualdades no lineales son todas aquellas que no son del tipo ax+b > 0 donde el signo > puede ser reemplazado por cualquiera de los signos <; o . Un tipo de desigualdad no lineal importante es la desigualdad polinómica, del tipo P (x) > 0 donde P (x) es un polinomio. Ejemplo 7.11 Ejemplos de desigualdades polinómicas son 1. x2 2. 2x2 3.

2x

0

x<3

3x2 <

4. x4

15

21x + 30

5x + 3 > 0

Las desigualdades que incluyen al cociente de dos polinomios P (x) y Q (x) se llaman desigualdades racionales: Ejemplo 7.12 Las siguientes desiguadades son ejemplos de desigualdades racionales 1.

2.

3.

x (x 1) >0 (x + 2) (x + 2) (3 x) (x + 1) (x2 + 1)

0

x+1 <2 x+3

La foma de resolver las desigualdades polinómicas o racionales es igual. Presentamos el algoritmo en seguida. 1. Usar las propiedades de las desigualdades para replantear la desigualdad dada de tal forma que las variables y constantes diferentes de cero queden del un lado y el número cero quede del otro lado. 2. Factorizar los polinomios en factores lineales de la forma ax + b o en polinomios cuadráticos irreducibles en los reales. 3. Marque en la recta numérica todos los ceros reales del polinomio. Esto dividirá a la recta numérica en intervalos. 147

7 Valor Absoluto y Desigualdades 4. En cada intervalo determine el signo de cada factor y luego determine el signo del producto o división aplicando las reglas de los signos. Esto puede ser hecho con ayuda de una tabla como se muestra en los ejemplos siguientes. Ejemplo 7.13 Consideremos la desigualdad x2

2x

15

La desigualdad puede ser escrita como x2

2x

15

0

y puede ser factorizada como (x

5) (x + 3)

0

Los ceros reales de la cuadrática son x = 3 y x = 5. Estos dividen a la recta numérica en tres intervalos: ( 1; 3) ; ( 3; 5) y (5; 1). La tabla queda de la siguiente forma Intervalo x 2 ( 1; 3) x= 3 x 2 ( 3; 5) x=5 x 2 (5; 1)

x+3 0 + + +

x

5 0 +

Producto + 0 0 +

De la tabla anterior es posible observar que la desigualdad será mayor o igual a cero si x está en el conjunto ( 1; 3) [ f 3g [ f5g [ (5; 1). Por lo tanto, el conjunto solución es ( 1; 3] [ [5; 1) Ejemplo 7.14 Consideremos ahora la desigualdad 2x2

x<3

Esta puede ser escrita como 2x2

x

3<0

y factorizada como (x

1) (2x 148

3) < 0

7.4 Desigualdades no lineales Los ceros reales de la cuadrática son x = 1 y x = 3=2. Estos dividen a la recta numérica en tres intervalos: ( 1; 1) ; (1; 3=2) y (3=2; 1). La tabla queda de la siguiente forma Intervalo x 2 ( 1; 1) x=1 x 2 (1; 3=2) x = 3=2 x 2 (3=2; 1)

x

1

2x

0 + + +

3

0 +

Producto + 0 0 +

De la tabla anterior es posible observar que la desigualdad será menor a cero si x está en el conjunto (1; 3=2). Por lo tanto, el conjunto solución es (1; 3=2) Ejemplo 7.15

3x2 < 21x + 30 0 < 3x2 21x + 30 0 < 3 (x 2) (x 5) Las raíces son x = 2 y x = 5 Intervalo x 2 ( 1; 2) x=2 x 2 (2; 5) x=5 x 2 (5; 1)

x

2

x

0 + + +

5 0 +

El conjunto solución es ( 1; 2) [ (5; 1) Ejemplo 7.16 x (x 1) x+2 Raíces x =

2; 0; 1 149

0

Producto + 0 0 +


Intervalo x x+2 x 2 ( 1; 2) x= 2 0 x 2 ( 2; 0) + x=0 0 + x 2 (0; 1) + + x=1 + + x 2 (2; 1) + +

x

Resultado No existe + 0 0 +

1 0 +

El conjunto solución es ( 1; 2) [ [0; 1] Ejemplo 7.17 (x + 2) (3 x) (x + 1) (x2 + 1)

0

Las raíces reales son x = 2; 1; 3. Dado que el polinomio x2 + 1 es irreducible en los reales se tiene que siempre será positivo y Intervalo x 2 ( 1; 2) x= 2 x 2 ( 2; 1) x= 1 x 2 ( 1; 3) x=3 x 2 (3; 1) Se tiene que

(x+2)(3 x) (x+1)(x2 +1)

x+2 x+1 0 + + 0 + + + + + +

3

x + + + + + 0 -

x2 + 1 + + + + + + +

Resultado + 0 No existe + 0 -

será menor o igual a cero en el conjunto solución [ 2; 1) [ [3; 1)

Ejemplo 7.18 (x2 + x + 1) (x + 1) ( x2 + x 9) (x 1)

0

Las raíces reales son x = 1 y x = 1, Los factores (x2 + x + 1) y ( x2 + x 9) son irreducibles por lo que siempre tienen el mismo signo. La tabla a considerar 150

7.4 Desigualdades no lineales es Intervalo x 2 ( 1; 1) x= 1 x 2 ( 1; 1) x=1 x 2 (1; 1)

x+1 x 1 0 + + 0 + +

x2 + x + 1 + + + + +

x2 + x -

9

por lo que la solución es [ 1; 1) Ejemplo 7.19 x+1 x+3 Reescribimos la desigualdad como

2

x+1 2 x+3 (x + 1) 2 (x + 3) x+3 (x + 5) x+3 x+5 x+3 Las raíces son x =

5yx=

0 0 0

3: La tabla obtenida es

Intervalo x 2 ( 1; 5) x= 5 x 2 ( 5; 3) x= 3 x 2 ( 3; 1)

x+5 x+3 0 + + 0 + +

Por lo tanto, la solución es ( 1; 5] [ ( 3; 1)

Vocabulario 1 2

0

3

151

Resultado + 0 No existe +

Resultado 0 + No existe -




152

8

Fracciones Parciales

8.1. Introducción Cuando dos expresiones racionales, digamos 1 2 y x+3 x+1 son sumadas, los términos se combinan por medio de un común denominador 2 1 3x + 5 + = 2 x+3 x+1 x + 4x + 3 obteniendo otra expresión racioanl. Si vemos el resultado obtenido, no es evidente de que fracciones proviene dicha expresión. En algunas ocaciones, dada la expresión resultante, nos gustaría saber de que expresiones racionales provienen. Este es el caso en el estudio del cálculo integral o en la determinación de la transformada inversa de Laplace de una expresión racional. El proceso de descomponer una expresión racional relativamente compleja en la suma (o resta) de expresiones racionales mas simples es llamado descomposición en fracciones parciales. Para esto, supongamos que la expresión racional P (x) ; Q (x) 6= 0 Q (x) es una fracción propia, es decir, el grado de P (x) es menor que el grado de Q (x). Además supongamos que P (x) y Q (x) no tienen factores comunes. En

8 Fracciones Parciales caso de que la fracción no sea propia, podemos transformarla en la suma de un polinomio y una fracción propia efectuando la división al considerar que R (x) P (x) = C (x) + Q (x) Q (x) donde el grado del residuo R (x) es menor que el grado de Q (x). Por ejemplo 5x3 + 2x 1 22x 1 = 5x + x2 4 x2 4

Vocabulario 1 2

3



8.2. Descomposición en Fracciones Parciales La técnica de descomposición en fracciones parciales de una fracción propia está basada en la idea de que el denominador de la fracción se puede escribir como el producto de potencias de factores lineales y potencias de factores cuadráticos irreducibles en los reales. A continuación mostramos los pasos necesarios para efectuarla: 1. Determinar que la fracción sea una fracción propia, en otro caso, efectuar la división a …n de obtener una fracción propia. 2. Factorizar el denominador como potencias de factores lineales (ax + b)n o m potencias de factores cuadráticos irreducibles en los reales (ax2 + bx + c) 154

8.3 Q (x) Contiene Solo Factores Lineales Distintos 3. Escribir la fracción

P (x) Q(x)

como la suma de fracciones parciales de la forma

A Ax + B n ó (ax + b) (ax2 + bx + c) En el proceso de descomposición en fracciones parciales pueden presentarse diferentes casos, como el que haya solo factores lineales o exista un factor cuadrático. Esto es presentado en la sección siguiente.

Vocabulario 1 2

3



8.3. Q (x) Contiene Solo Factores Lineales Distintos Supongamos que Q (x) puede factorizarse como Q (x) = (a1 x + b1 ) (a2 x + b2 ) La descomposición en fracciones parciales se propone como P (x) A1 A2 = + + Q (x) a1 x + b 1 a2 x + b 2

+

An an x + b n

Ejemplo 8.1 La fracción x2

2x + 1 + 2x 3

puede descomponerse como x2

2x + 1 2x + 1 A1 A2 = = + + 2x 3 (x 1) (x + 3) x 1 x+3 155

(an x + bn ).

8 Fracciones Parciales Esto es 2x + 1 A1 A2 = + (x 1) (x + 3) x 1 x+3 A1 (x + 3) + A2 (x 1) = (x 1) (x + 3) A1 (x + 3) + A2 (x 1) = (x 1) (x + 3) Dado que las fracciones son iguales los numeradores deben de ser iguales por lo que 2x + 1 = A1 (x + 3) + A2 (x 1) = x (A1 + A2 ) + (3A1 A2 ) Al comparar los coe…cientes de las potencias de x se tiene que 2 = A 1 + A2 1 = 3A1 A2 Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es A1 = 3 ; A2 = 45 por lo que 4 2x + 1 = 2 x + 2x 3 x =

3 4

4 (x

1 3

+

5 4

x+3

1)

+

5 4 (x + 3)

Una forma de determinar los valores de las constantes A1 y A2 que no involucra la solución de un sistema es presentada aquí. De la expresión 2x + 1 = A1 (x + 3) + A2 (x

1)

podemos ver que si x = 3 el primer término se anula y obtenemos una expresión que sólo involucra a A2 2 ( 3) + 1 = A2 ( 3 5 = 4A2 5 A2 = 4

1)

Similarmente, si x = 1 se tiene 2 (1) + 1 = A1 (1 + 3) 3 = 4A1 3 A1 = 4 156

8.3 Q (x) Contiene Solo Factores Lineales Distintos con lo que se obtubo la misma solución. Ese proceso, además de ser sencillo nos permite trabajar más rápido y no involucra el proceso algebraico de escribir el numerador como un polinomio en x, dado que lo necesitamos para comparar la coe…cientes de las diferentes potencias de x. Ejemplo 8.2 En la fracción propia 4x2 + x + 1 (x 1) (x + 3) (x 6) el denominador ya está factorizado y solo contiene factores lineales no repetidos. Por lo tanto, proponemos 4x2 + x + 1 A1 A2 A3 = + + (x 1) (x + 3) (x 6) x 1 x+3 x 6 A1 (x + 3) (x 6) + A2 (x 1) (x 6) + A3 (x 1) (x + 3) (x 1) (x + 3) (x 6) De esto se sigue 4x2 + x + 1 = A1 (x + 3) (x

6) + A2 (x

1) (x

6) + A3 (x

1) (x + 3)

Si x = 1 se tiene 4 (1)2 + 1 + 1 = A1 (1 + 3) (1 6 = 20A1 3 A1 = 10 Si x =

6)

3 obtenemos 4 ( 3)2 + ( 3) + 1 = A2 (( 3) 34 = 36A2 17 A2 = 18

1) (( 3)

6)

Finalmente, si x = 6 4 (6)2 + 6 + 1 = A3 (6 151 = 45A3 151 A3 = 45

1) (6 + 3)

por lo que la descomposición en fracciones parciales es (x

4x2 + x + 1 1) (x + 3) (x

6)

=

3 17 151 + + 10 (x 1) 18 (x + 3) 45 (x 6) 157

8 Fracciones Parciales Ejemplo 8.3

x3

7x + 3 7x + 3 = 2 2x 3x x (x + 1) (x 3) A2 A3 A1 + + = x x+1 x 3 A1 (x + 1) (x 3) + A2 x (x 3) + A3 x (x + 1) = x (x + 1) (x 3)

Comparando numeradores 7x + 3 = A1 (x + 1) (x

3) + A2 x (x

3) + A3 x (x + 1)

Haciendo x = 0; 1 y 3 se tiene que A1 =

1; A2 =

1; A3 = 2

por lo que x3

7x + 3 = 2x2 3x

1 x

1 2 + x+1 x 3

Ejemplo 8.4 6x + 27 6x + 27 = 2 4x 9 (2x 3) (2x + 3) A1 A2 = + 2x 3 2x + 3 A1 (2x + 3) + A2 (2x 3) = (2x 3) (2x + 3) Esto es, 6x + 27 = A1 (2x + 3) + A2 (2x Tomando x =

2 3

yx=

2 3

se tiene A1 = 6; A2 =

x3

3)

3

6 7x + 3 = 2 2x 3x 2x 3

Vocabulario

158

3 2x + 3

8.4 Q (x) Contiene un Factor Lineal Repetido 1 2

3



8.4. Q (x) Contiene un Factor Lineal Repetido Supongamos que Q (x) contiene un factor lineal repetido de la forma (ax + b)n , este factor debe descomponerse en la forma A1 A2 + + ax + b (ax + b)2

+

An (ax + b)n

Los factores lineales no repetidos son tratados como en el caso anterior. Ejemplo 8.5 La fracción 4x2 13x (x + 3) (x 2)2 tiene un factor lineal repetido, por lo que la propuesta para la descomposición en fracciones parciales es 4x2 13x A1 A2 A3 + + 2 = x + 3 x 2 (x 2)2 (x + 3) (x 2) A1 (x 2)2 + A2 (x + 3) (x 2) + A3 (x + 3) = (x + 3) (x 2)2 Comparando numeradores 4x2

13x = A1 (x

2)2 + A2 (x + 3) (x 159

2) + A3 (x + 3)

8 Fracciones Parciales Haciendo x =

3 se tiene 4 ( 3)2

2)2

13 ( 3) = A1 ( 3 75 = 25A1 A1 = 3

Tomando x = 2 se tiene 4 (2)2

13 (2) = A3 (2 + 3) 10 = 5A3 A3 = 2

Podemos observar que no existe otro posible valor que haga que se eliminen los términos que contienen a A1 y a A3 a …n de determinar el valor de A2 . Sin riesgo de equivocarse, podemos tomar cualquier valor de x diferente a los ya tomados. Por ejemplo, sea x = 0, entonces 4 (0)2

13 (0) = A1 (0 2)2 + A2 (0 + 3) (0 0 = 4A1 6A2 + 3A3

Como A1 = 3 y A3 =

2) + A3 (0 + 3)

2 entonces tenemos 0 = 4 (3)

6A2 + 3 ( 2)

y de aquí se sigue que A2 = 1 Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es 3 1 4x2 13x + 2 = x+3 x 2 (x + 3) (x 2)

2 (x

2)2

Ejemplo 8.6

x3

A1 A2 A 3 A4 6x 1 = + 2 + 3 + (2x 1) x x x 2x 2 2 A1 x (2x 1) + A2 x (2x 1) + A3 (2x = x3 (2x 1)

1) + A4 x3

Entonces 6x

1 = A1 x2 (2x

1) + A2 x (2x 160

1) + A3 (2x

1) + A4 x3

8.4 Q (x) Contiene un Factor Lineal Repetido Tomando x = 0 6 (0) Tomando x =

1 = A3 (2 (0) A3 = 1

1)

1 2

6

1 2

1 = A4

3

1 2

A4 = 16 Nos quedan dos constantes por determinar, debemos de asignar dos valores a x para obtener un sistema de ecuaciones lineales para A1 y A2 . Sea x = 1 6 (1)

1 5 5 A 1 + A2

= A1 (1) (2 (1) 1) + A2 (1) (2 (1) = A1 + A 2 + A3 + A 4 = A1 + A2 + 1 + 16 = 12

Sea x =

1

1) + A3 (2 (1)

1 = A1 ( 1)2 (2 ( 1) 1) + A2 ( 1) (2 ( 1) +A3 (2 ( 1) 1) + A4 ( 1)3 7 = 3A1 + 3A2 3A3 A4 7 = 3A1 + 3A2 3 16 3A1 + 3A2 = 12 6 ( 1)

1) + A4 (1)3

1)

Tenemos el sistema de dos ecuaciones A1 + A 2 = 12 3A1 + 3A2 = 12 con solución A1 = parciales es

8 y A2 = x3

4. Por lo tanto, la descomposición en fracciones

6x 1 = (2x 1)

8 x

4 1 16 + 3+ 2 x x 2x 1

Ejemplo 8.7 3x3

7x2 + 4x + 1 A1 A2 A3 A4 = + 4 2 + 3 + x 1 (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)4 A1 (x 1)3 + A2 (x 1)2 + A3 (x 1) + A4 = (x 1)4 161

8 Fracciones Parciales Comparando numeradores 3x3

7x2 + 4x + 1 = A1 (x

1)3 + A2 (x

1)2 + A3 (x

1) + A4

Con x = 1 se obtiene 1 = A4 Procedemos a asignar tres valores de x a …n de obtener un sistema de tres ecuaciones lineales. Los valores que tomaremos son x = 0; x = 1 y x = 2. Se obtiene el sitema A2

A 1 A3 = 0 4A2 8A1 2A3 = 14 A1 + A 2 + A3 = 4 La solución del sistema es A1 = 3; A2 = 2; A3 = ción en fracciones parciales es: 3x3

2 3 7x2 + 4x + 1 + = 4 x 1 (x 1)2 (x 1)

1, por lo que la descomosi-

1 (x

Vocabulario 1 2

3



162

3

1)

+

1 (x

1)4

8.5 Q (x) Contiene un Factor Cuadrático Irreducible en los Reales

8.5. Q (x) Contiene un Factor Cuadrático Irreducible en los Reales Supongamos que Q (x) contiene un factor cuadrático irreducible en los reales de la forma ax2 + bx + c, este factor se descompone en la forma Ax + B ax2 + bx + c El resto de los factores se descomponen como en los casos anteriores. Ejemplo 8.8 La fracción 4x + 1) (x2 + 2x + 3) tiene en el denominador dos factores cuadráticos irreducibles por lo que la propuesta para la descomposición en fracciones parciales es A1 x + B1 A2 x + B2 4x = + (x2 + 1) (x2 + 2x + 3) x2 + 1 x2 + 2x + 3 (A1 x + B1 ) (x2 + 2x + 3) + (A2 x + B2 ) (x2 + 1) = (x2 + 1) (x2 + 2x + 3) (x2

Entonces 4x = (A1 x + B1 ) x2 + 2x + 3 + (A2 x + B2 ) x2 + 1 No existe valor de x que haga que alguno de los factores se anule, por lo que procedemos a tomar cuatro valores de x diferentes. Consideremos x = 0; 1; 2 y 3. Se tiene 0 = (A1 (0) + B1 ) (0)2 + 2 (0) + 3 + (A2 (0) + B2 ) (0)2 + 1 4 (1) = (A1 (1) + B1 ) (1)2 + 2 (1) + 3 + (A2 (1) + B2 ) (1)2 + 1 4 (2) = (A1 (2) + B1 ) (2)2 + 2 (2) + 3 + (A2 (2) + B2 ) (2)2 + 1 4 (3) = (A1 (3) + B1 ) (3)2 + 2 (3) + 3 + (A2 (3) + B2 ) (3)2 + 1 Simpli…cando 0 4 8 12

= = = =

3B1 + B2 6A1 + 6B1 + 2A2 + 2B2 22A1 + 11B1 + 10A2 + 5B2 54A1 + 18B1 + 30A2 + 10B2

La solución de este sistema es A1 = 1; B1 = 1; A2 = 1; B2 = la descomposición en fracciones parciales es 4x x+1 x+3 = 2 2 2 2 (x + 1) (x + 2x + 3) x + 1 x + 2x + 3 163

3 por lo que

8 Fracciones Parciales Ejemplo 8.9 x2 x + 2 A1 A2 x + B2 = + 2 (x + 1) (x + 3) x+1 x2 + 3 A1 (x2 + 3) + (A2 x + B2 ) (x + 1) = (x + 1) (x2 + 3) Se tiene x2 Sea x =

x + 2 = A1 x2 + 3 + (A2 x + B2 ) (x + 1)

1, entonces ( 1)2

( 1) + 2 = A1 ( 1)2 + 3 4 = 4A1 A1 = 1

A …n de determinar los valores de A2 y de A3 asignamos dos valores de x diferentes. Sean x = 0 y x = 1, entonces 1 = B2 2 = 2A2 + 2B2 La solución de este sistema es A2 = 0; B2 =

1, por lo que

1 x2 x + 2 = 2 (x + 1) (x + 3) x+1

x2

1 +3

Vocabulario 1 2

3



164

8.6 Q (x) Contiene un Factor Cuadrático Irreducible Repetido

8.6. Q (x) Contiene un Factor Cuadrático Irreducible Repetido n

Supongamos que Q (x) contiene un factor lineal repetido de la forma (ax2 + bx + c) , este factor debe descomponerse en la forma A1 x + B1 A2 x + B2 + + 2 (ax + bx + c) (ax2 + bx + c)2

+

An x + Bn (ax2 + bx + c)n

Ejemplo 8.10 A1 x + B1 A2 x + B2 x2 + 2 = 2 x2 + 4 (x + 4) (x2 + 4)2 (A1 x + B1 ) (x2 + 4) + (A2 x + B2 ) = (x2 + 4)2 Se sigue x2 = (A1 x + B1 ) x2 + 4 + (A2 x + B2 ) de donde al asignar cuatro valores diferente a x (x = 1 0 1 4

= = = =

1; 0; 1; 2) se tiene

5B1 A2 5A1 + B2 4B1 + B2 5A1 + A2 + 5B1 + B2 16A1 + 2A2 + 8B1 + B2

La solución al sistema es A1 = 0; A2 = 0; B1 = 1; B2 = en fracciones parciales es por tanto 1 x2 2 = 2 2 x +4 (x + 4)

(x2

4. La descomposición

4 + 4)2

Ejemplo 8.11 Para la fracción x3 + 4x2 + 5x + 3 (x + 1) (x2 + x + 1)2 proponemos la descomposición en la forma: x3 + 4x2 + 5x + 3 A1 A2 x + B2 A3 x + B3 + 2 + 2 = 2 x + 1 x + x + 1 (x2 + x + 1)2 (x + 1) (x + x + 1) Se tiene que la descomposición es x3 + 4x2 + 5x + 3 1 2 = 2 x+1 (x + 1) (x + x + 1)

x2

x 1 x+1 + 2 + x + 1 (x + x + 1)2

Vocabulario 165

8 Fracciones Parciales 1 2

3


Ejercicios de la Sección 8.6 1. En los siguiente problemas encuentre las constantes A; B; C y D de manera que el lado derecho sea igual al izquierdo. A 7x 14 = + (x 4) (x + 3) x 4 B x+3 A x 11 = + b) (3x 2) (2x 1) 3x 2 B 2x 1 3x2 + 7x + 1 B A c) + + = 2 x x+1 x (x + 1) C (x + 1)2

a)

A 3x2 + x = + d) 2 (x 2) (x + 3) x 2 Bx + C x2 + 3 Ax + B 2x2 + 4x 1 + e) 2 = 2 2 x +x+1 (x + x + 1) Cx + D (x2 + x + 1)2

2. Identi…que si la fracción dada es propia o impropia, factorice el denominador e identi…que el tipo de descomposición al cual corresponde 9x2 3x + 8 x3 + 2x 2x3 + 2x2 + 4x 3 b) x4 + x2 2x4 2x3 + 6x2 5x + 1 c) x3 x2 + x 1

a)

3. Descomponga en fracciones parciales.

166

4x3 + 4x2 4x + 2 2x2 x 1 2x2 + 7x e) 2 x + 6x + 9 x5 5x4 + 7x3 x2 f) x3 3x2

d)

4x + 12

8.6 Q (x) Contiene un Factor Cuadrático Irreducible Repetido a) b) c) d) e) f) g)

x + 22 2 x 2x 8 2 x 12x + 18 3 x 6x2 + 9x 2 5x + 7x 18 x4 + 6x2 + 9 3 x + x2 13x + 11 x2 + 2x 15 4x2 + 5x 9 x3 6x 9 x2 + x 7 x4 5x3 + 9x2 8x + 4 4x5 + 12x4 x3 + 7x2 4x + 2 4x4 + 4x3 5x2 + 5x 2

h)

4x2 + 5x 9 x3 6x 9

i)

14x2 3x3

j)

x 22 2x3 + 4x2 + 16x + 32

k)

4x2 + 8x + 15 x3 + 3x2 4

l)

x5 + 6x3 2x2 + 9x 2 x6 + 9x4 + 27x2 + 27

m)

167

37x + 24 9x2 + 6x

6x2 11x + 18 x3 9x2

8 Fracciones Parciales

168

9

Polinomios y sus Raíces

9.1. Introducción y División Sintética Iniciamos este capítulo recordando la de…nición de un polinomio en una variable. De…nición 9.1 Un polinomio p (x) de grado n en una variable x es una expresión de la forma p (x) = an xn + an 1 xn

1

+

+ a2 x 2 + a1 x + a0

con an 6= 0 y ai ; i = 0; 1; : : : ; n constantes reales o complejas: Ejemplo 9.1 Los siguientes son ejemplos de polinomios Polinomio Coe…cientes Grado 4 3 2 3x + x 2x 3; 1; 2; 0; 0 4 9x5 + ix3 3x 9; 0; i; 0; 3; 0 5 2xp+ 3 2; 1 p3 5 5 0 0 0 No de…nido De…nición 9.2 Se llama cero, raíz o solución del polinomo p (x) a los números r (reales o complejos) tales que p (r) = 0 Ejemplo 9.2 Los siguientes son ejemplos de polinomios

9 Polinomios y sus Raíces Polinomio Solución 3x4 + x3 2x2 1; 0; 0; 23 1 4 ; ; 1 6x3 5x2 7x + 4 2 3 3 2xp+ 3 2 5 No solución 0 C 9.1.1. División Sintética y Multiplicación Anidada Dado el polinomio p (x) = an xn + an 1 xn

1

+ an 2 x n

2

+ a2 x 2 + a1 x + a0

Este puede ser escrito como p (x) = (((((an x + an 1 ) x + an 2 ) x + an 3 ) x

+ a2 ) x + a1 ) x + a0

Si deseamos evaluar el polinomio en x = r entonces p (r) = (((((an r + an 1 ) r + an 2 ) r + an 3 ) r

+ a2 ) r + a1 ) r + a0

Este proceso involucra sólo n multiplicaciones y n sumas y es llamada evaluación del polinomio por multiplicación anidada. Ejemplo 9.3 Podemos evaluar el polinomio p (x) = este procedimiento. Para esto

x4 + 5x3 + 3x2

2x

7 en x = 4 con

p (4) = (((( 1) 4 + 5) 4 + 3) 4 + ( 2)) 4 + ( 7) = 97 Podemos observar que la forma de trabajar con este procedimiento es multiplicar el coe…ciente de la potencia más alta por el valor a evaluar, sumar el siguiente coe…ciente y el resultado multiplicarlo por el valor a evaluar y repetir este proceso hasta llegar al último coe…ciente; este último resultado ya no es multiplicado por el valor a evaluar. Este prodedimiento, descrito en el párrafo anterior, no es lo su…cientemente práctico para ser usado. De…namos b n = an b n 1 = b n r + an 1 b n 2 = b n 1 r + an .. . b 2 = b 3 r + a2 b 1 = b 2 r + a1 b 0 = b 1 r + a0 170

2

9.1 Introducción y División Sintética entonces b0 = p (r). Este algoritmo es llamado el algoritmo de Hörner1 . La representación grá…ca del algoritmo de Hörner es llamada división sintética ya que se obtiene el cociente y el residuo al efectuarlo. Esto es b0 p (x) = bn x n + bn 1 x n 2 + + b2 x + b1 + x r x r p (x) = (x r) bn xn + bn 1 xn 2 + + b2 x + b1 + b0 Para la división sintética se arreglan los coe…cientes de p (x) de mayor a menor grado, si alguno de ellos no aparece se escribe un cero. A la extrema izquierda se escribe el valor de r. El primer elemento an se escribe en la parte inferior sin cambio alguno an

an

a1

1

a0

r an El siguiente paso es multiplicar el elemento en la …la inferior por r y escribirlo justo abajo de an 1 y efectuar la suma algebraica. an r an

an 1 ran an r + an

a1

a0

1

El procedimiento se repite hasta terminar con la última columna. Escribimos esto pero con los elementos bn = an ; bi 1 = bi r + ai 1 ; i = n 1; n 2; : : : ; 1. Se tiene an an 1 an 2 a1 a0 r bn r bn 1 r b2 r b 1 r bn bn 1 bn 2 b1 b0 Ejemplo 9.4 Determinemos el cociente, el residuo al dividir p (x) = 5x5 3x3 + 2x2 x + 1 por x + 3. En este caso r = 3 y escribimos los coe…cientes de p (x) en la tabla para la división sintética. 5 3 5

0 15 15

3 45 42

2 126 124

Se tiene entonces que el cociente es 5x4 es 1112. Esto es 5x5

1 William

3x3 + 2x2 x+3

x+1

= 5x4

1 372 371

15x3 + 42x2

15x3 + 42x2

1 1113 1112 124x + 371 y el residuo

124x + 371 +

1112 x+3

George Horner (Bristol, Inglaterra , 22 de septiembre de 1789 – Bath, Inglaterra, 1837)

171

9 Polinomios y sus Raíces

Vocabulario

172

9.2 Teoremas Sobre las Raíces de un Polinomio 1 2

3


Ejercicios de la Sección 9.1 1. Utilizando división sintética encuentre el residuo al dividir: a) 3x2

2x

4 por x

b) x3

2x2 + 9 por x + 2

c) x4

2x3

1) x

3x2

4x

2) x + 1

3

d) x8 8 por:

3x4

2x

1 por:

1) x 1 2) x + 1

2

2. Demuestre que x + y es factor de x5 + y 5 y x7 + y 7 . Determine mediante división sintética el cociente. 3. Encuentre el residuo al dividir x35

3x22

7x3

3x + 2 por x + 1

9.2. Teoremas Sobre las Raíces de un Polinomio Encontrar los ceros o raíces de un polinomio de grado mayor a dos no siempre es fácil, aunque los ceros si existen pero no necesariamente son racionales o reales. Existe una relación entre el cero r de un polinomio p (x) y el resultado de dividir el polinomio p (x) por x r como lo muestran los siguientes ejemplos Ejemplo 9.5 Dividamos p (x) = 3x3 5x2 + 3x 10 por x 1 y consideremos el residuo, 3x3 5x2 +3x 10 = 3x2 2x + 1 + x 91 , se tiene que el residuo es 9. Además se x 1 tiene que p (1) = 3 (1)3 5 (1)2 + 3 (1) 10 = 9. Coinciden el residuo de la división y el valor de p (1). 173

9 Polinomios y sus Raíces Ejemplo 9.6 Dividamos ahora p (x) = 3x3 5x2 + 3x 10 por x + 2 y consideremos el 3 2 +3x 10 60 = 3x2 11x + 25 + x+2 , se tiene que el residuo es 60. residuo, 3x 5xx+2 3 2 Además se tiene que p ( 2) = 3 ( 2) 5 ( 2) +3 ( 2) 10 = 60. Coinciden el residuo de la división y el valor de p ( 2). Estos resultados no son una coincidencia. Se explican estos en la siguiente sección. 9.2.1. Teoremas Fundamentales Teorema 9.1 (Teorema del Residuo) Si p (x) es un polinomio y r es un número real o complejo. El residuo al dividir p (x) por x r es p (r). Demostración: Al dividir p (x) por x p (x) = (x

r se tiene que

r) Q (x) + R (x)

donde Q (x) es el cociente y R (x) es el residuo. El residuo R (x) es una constante ya que al dividir por un polinomio de grado 1 se debe tener que el residuo debe ser de grado menor que 1, es decir una constante R. Evaluando a la expresión del polinomio dada anteriormente en x = r se tiene p (r) = (r p (r) = R

r) Q (r) + R

Ejemplo 9.7 Usando el teorema del residuo podemos determinar el residuo resultante al dividir p (x) = x917 3x400 x + 1 por x + 1. El resuduo es p ( 1) = ( 1)917 = 2

3 ( 1)400

( 1) + 1

Un caso particular e importante de este teorema es cuando el residuo es cero. Teorema 9.2 (Teorema del Factor) Si p (x) es un polinomio y r un número real o complejo, entonces p (r) = 0 si y sólo si x r es un factor de p (x). Demostración: Asumimos primero que p (r) = 0 y demostraremos que x es un factor de p (x). Por el teorema del residuo se tiene que p (x) = (x 174

r) Q (x) + p (r)

r

9.2 Teoremas Sobre las Raíces de un Polinomio Dado que p (r) = 0 se sigue p (x) = (x

r) Q (x)

por lo que x r es un factor de p (x). Ahora supongamos que x r es un factor de p (x) lo que resta demostrar es que p (r) = 0. Para esto, se tiene que p (x) se puede escribir como p (x) = (x

r) Q (x)

para algún polinomio Q (x) y cualquier x. En particular esto se cumple para x = r por lo que p (r) = (r r) Q (r) = 0

Ejemplo 9.8 Sea p (x) = 3x3

5x2 + 3x

10, se tiene que

p (2) = 3 (2)3 = 0 por lo que x se tiene

5 (2)2 + 3 (2)

10

2 es un factor de p (x). Efectuando la división de p (x) por x 3x3

5x2 + 3x x 2

10

2

= 3x2 + x + 5

por lo que 3x3

5x2 + 3x

10 = (x

2) 3x2 + x + 5

Ejemplo 9.9 Dadas las raíces de un polinomio, es posible construir polinomios que tengan esas raíces. Por ejemplo, si 2; 3 y 5 son raíces de un polinomio, se debe tener que x 2; x 3 y x + 5 son factores del polinomio. Algunos polinomios que tienen esa raíces son p1 (x) = (x 2) (x 3) (x + 5) p2 (x) = 3 (x 2) (x 3) (x + 5) p3 (x) = (x 2) (x 3) (x + 5) x2 + 1 El problema tiene solución única si restringimos a determinar el polinomio de menor grado posible que tenga como coe…ciente principal a una constante determinada, por ejemplo 1. la solución a este problema es entonces p (x) = (x

2) (x 175

3) (x + 5)

9 Polinomios y sus Raíces Ejemplo 9.10 Podemos determinar si x + 2 es factor del polinomio p (x) = x4 simplemente evaluando p ( 2) p ( 2) = ( 2)4

7 ( 2)2 + 6 ( 2) =

7x2 + 6x

24

Dado que este último es diferente de cero tenemos que x + 2 no es factor de p (x) : Ejemplo 9.11 Ahora bien, podemos veri…car que x 10x3 3x2 + 15x ya que p (5) = (5)6

5 (5)5

5 si es factor de p (x) = x6

2 (5)4 + 10 (5)3

5x5

2x4 +

3 (5)2 + 15 (5) = 0

El teorema del factor puede ser de gran ayuda al determinar los ceros de un polinomio. Ejemplo 9.12 Determinar las tres raíces cúbicas de 1 es equivalente a encontrar los ceros del polinomio p (x) = x3 + 1. Dado que p ( 1) = 0 se tiene que x + 1 es un factor del polinomio, y efectuando la división de p (x) por x + 1 se obtiene x3 + 1 = x2 x+1

x+1

Por lo tanto x3 + 1 = (x + 1) x2

x+1

El determinar los ceros de p (x) = px3 +1 espequivalente a determinar los ceros de todos sus factores y dado que 21 + 23 i, 21 23 i son los ceros del factorp cuadrático p se sigue que los ceros del polinomio p (x) = x3 + 1 son x = 1; 12 p+ 23 i; 12 p 23 i. 3 i En otras palabras, las tres raíces cúbicas de 1 son 1; 12 + 23 i; 12 2 Ejemplo 9.13 Podemos demostrar usando el teorema del factor que p (x) = x3 + x2 es divisible por x + 3 ya que p ( 3) = ( 3)3 + ( 3)2

7 ( 3)

7x

3

3=0

Ejemplo 9.14 A …n de determinar si x y y x + y son factores de x2n y 2n de…nimos el polinomio p (x) = x2n y 2n . Se tiene que p (y) = y 2n y 2n = 0 y p ( y) = ( y)2n y 2n = 0 por lo que x y y x + y si son factores de x2n y 2n . Antes de continuar considerando métodos para determinar los ceros de los polinomios, vale la pena preguntarse: 176

9.2 Teoremas Sobre las Raíces de un Polinomio 1. ¿Cuántos ceros de p (x) son reales y cuantos son complejos? 2. ¿Cuántos ceros reales de p (x) son positivos y cuántos son negativos? 3. ¿Cuántos ceros de p (x) reales son racionales o irracionales? 4. ¿Los ceros de p (x) son grandes o pequeños? Las respuestas a estas preguntas es lo que forma la Teoría de Ecuaciones. Iniciamos con un resultado importante del álgebra. Teorema 9.3 (Teorema Fundamental del Álgebra) Toda ecuación polinomial de grado n 1 tiene al menos una raíz real o compleja. Teorema 9.4 (Teorema de la Factorización Completa) Todo polinomio p (x) de grado n 1 se puede expresar como el producto de n factores lineales p (x) = a (x

r1 ) (x

r2 )

(x

rn )

A partir del teorema de la factorización completa, tenemos que las raíces son r1 ; r2 ; : : : ; rn Ejemplo 9.15 Consideremos los siguientes polinomios, su factorización y sus raíces Polinomio Factorizazción raíces 3x2 (12 + 6i) x + 24i 3 (x 4) (x 2i) 4; 2i 3 2 5x 30x + 65x 5x (x (3 + 2i)) (x (3 2i)) 0; 3 + 2i; 3 2i 3 2 5x + 4x 31x + 6 (x 2) (5x 1) (x + 3) 2; 15 ; 3 x4 1 (x i) (x + i) (x 1) (x + 1) i; i; 1; 1 De…nición 9.3 Si el factor x r aparece k veces en la factorización completa de un polinomio, decimos entonces que r es un cero con multiplicidad k. Ejemplo 9.16 La factorización completa de p (x) = 3x5 + 24x3 + 48x es 3x (x 2i)2 (x + 2i)2 por lo que r = 0 es una raíz de multiplicidad 1 y 2i y 2i son raíces con multiplicidad 2. Teorema 9.5 (Teorema de los Ceros) Toda ecuación polinomial de grado n tiene exactamente n raíces, donde si una raíz tiene multiplicidad k esta raíz es contada k veces. 177

9 Polinomios y sus Raíces Ejemplo 9.17 El polinomio p (x) = x6

9x5 + 21x4 + 13x3

90x2 + 96x

32

puede ser factorizado como 4)2 (x

p (x) = (x

1)3 (x + 2)

por lo que tiene 6 raíces, r = 4 con multiplicidad 2, r = 1 con multiplicidad 3 y r = 2 con multiplicidad 1. Ejemplo 9.18 El polinomio p (x) = x7

12x6 + 61x5

168x4 + 208x3

(2 + 3i)) (x

(2

puede ser factorizado como p (x) = x3 (x

3i)) (x

4)2

por lo que las raíces son r = 0 con multiplicidad 3, r = 2 3i con multiplicidad 1 y r = 4 con multiplicidad 2. Teorema 9.6 Si un número complejo z es raíz de una ecuación polinomial con coe…cientes reales, entonces su conjugado complejo z es también raíz de la ecuación. Ejemplo 9.19 Consideremos el problema de determinar un polinomio con coe…cientes reales y de grado 4 con x = i; 2 y 2 como ceros del polinomio que satisface la condición p (3) = 250. Dado que i es una raíz y que las raíces complejas provienen de polinomios cuadráticos, se tiene que el conjugaddo complejo de esta también debe ser raíz. Por lo que las raíces son i; i; 2; y 2. El polinomio debe ser por tanto p (x) = a (x i) (x + i) (x = a x4 3x2 4

2) (x + 2)

Como p (3) = a (3)4 50a = 250

3 (3)2

4 = 250

se tiene que a = 5 y el polinomio es p (x) = 5 (x = 5x4

i) (x + i) (x 15x2 20 178

2) (x + 2)

9.2 Teoremas Sobre las Raíces de un Polinomio Ejemplo 9.20 Si se sabe que 2 + 3i es una raíz de la ecuación x4 4x3 + 10x2 + 12x 39 = 0 entonces 2 3i tambien es raíz y por tanto (x (2 + 3i)) y (x (2 3i)) son factores de la ecuación. Esto es, x2 4x + 13 es tambien un factor de la ecuación. Efectuando la división del polinomio original con este factor se tiene x4

4x3 + 10x2 + 12x x2 4x + 13

39

= x2

3

por lo que x4

4x3 + 10x2 + 12x

y las raíces son r =

p

39 =

x2

=

x

p

3;

3 x2 4x + 13 p p 3 x + 3 (x

3; 2 + 3i y 2

(2 + 3i)) (x

(2

3i.

Teorema 9.7 p Si el número a + b es raíz de una ecuación polinomial con coe…cientes p racionales, entonces a b también es raíz de la misma ecuación. Ejemplo 9.21 La ecuación polinomial con coe…cientes racionales y coe…ciente principal igual p a 1 de menor grado posible que tiene como raíces a 2 + 3 2 y 4 + i es p p x 2+3 2 x 2 3 2 (x (4 + i)) (x (4 i)) = 0 x4

12x3 + 35x2 + 44x

238 = 0

Ejemplo 9.22 p 2 es raíz del polinomio p (x) = 3x3 7x2 x + 1 podemos Si se sabe que 1 p determinar en forma simple las raíces restantes. Primero que nada, 1 + 2 es tambien raíz del polinomio por lo que podemos factorizarlo como p p 3x3 7x2 x + 1 = 3 (x r) x 1 2 x 1+ 2 = (x por lo que dividiendo 3x3

7x2

r) x2

2x

1

x + 1 por (x2

2x

3x3 7x2 x + 1 = 3x x2 2x 1

1) tenemos que

1

y 3x3

7x2

x+1=3 x

Se sigue que las raíces son 13 ; 1

1 x 1 3 p p 2; 1 + 2. 179

p

2

x

1+

p

2

3i))

9 Polinomios y sus Raíces 9.2.2. Regla de los Signos de Descartes De…nición 9.4 Un polinomio p (x) con los términos escritos en orden descendente de sus potencias se dice que tiene una variación de signo si dos términos consecutivos tienen signos opuestos. Ejemplo 9.23 El polinomio p (x) = 2x5

x4

3x3 + x2

2

tiene tres variaciones de signo. El siguiente teorema relaciona el número de raíces reales del polinomio p (x) con el número de variaciones de signo de los polinomios p (x) y p ( x). Teorema 9.8 (Regla de los Signos de Descartes) Sea p (x) un polinomio con coe…cientes reales y término constante diferente de cero. Entonces 1. El número de ceros reales positivos de p (x) es igual al número de variaciones de signo de p (x) o es menor que ese número por un entero par. 2. El número de ceros reales negativos de p (x) es igual al número de variaciones de signo de p ( x) o es menor que ese número por un entero par. Ejemplo 9.24 Consideremos el polinomio p (x) = x3 + 7x2 + 8x 17, dado que sólo hay una variación, entonces hay sólo una raíz positiva. Ahora bien p ( x) = ( x)3 + 7 ( x)2 + 8 ( x) 17 = x3 + 7x2 8x 17 y p ( x) tiene dos variaciones de signo entonces p (x) tiene dos o ninguna raíz real negativa, esto es, dos raíces pueden ser complejas. De hecho, las raíces son x = 4: 019 7 0;445 03i; x = 4: 019 7 + 0;445 03i; x = 1: 039 4. Ejemplo 9.25 Con el polinomio p (x) = 2x5

7x4 + 3x2 + 6x

5

tenemos que p (x) tiene tres variaciones de signo y p ( x) = 2x5 7x4 + 3x2 6x 5 tiene dos variaciones de signo. Podemos describir la naturaleza de las raíces en la siguiente tabla Soluciones reales positivas Soluciones reales negativas Soluciones complejas Total de soluciones 180

3 2 0 5

3 0 2 5

1 2 2 5

1 0 4 5

9.2 Teoremas Sobre las Raíces de un Polinomio Si el polinomio tiene término constante cero, es posible aplicar la regla de los signos, tal y como lo muestra el siguiente ejemplo Ejemplo 9.26 Con el polinomio p (x) = 2x6 + 5x5

x4 + 3x2

puede ser escrito como p (x) = x2 2x4 + 5x3

x2 + 3

por lo que x = 0 es una raíz doble. Consideraremos ahora el polinomio q (x) = 2x4 + 5x3 x2 + 3, tenemos que q (x) tiene dos variaciones de signo y q ( x) = 2x4 5x3 x2 + 3 tiene tambien dos variaciones de signo. Podemos describir la naturaleza de las raíces en la siguiente tabla Soluciones reales positivas Soluciones reales negativas Soluciones complejas Solucion x = 0 Total de soluciones

2 2 0 2 6

2 0 2 2 6

0 2 2 2 6

0 0 4 2 6

9.2.3. Límites de las Raíces Reales En esta sección estudiaremos las cotas para los ceros reales de un polinomio con coe…cientes reales. De…nición 9.5 Un número real C es una cota superior para los ceros de un polinomio si ninguna raíz es mayor que C. Un número real c es una cota inferior para los ceros de un polinomio si ninguna raíz es menor que c. Observación: Si r es cualquier raíz de p (x) entonces c

r

C.

Teorema 9.9 (Teorema de las cotas para ceros reales) Si p (x) = an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 = 0 tiene coe…cientes reales con an positivo y se aplica la división sintética con x r como divisor entonces, 1. si r > 0 y todos los números del tercer renglón de la división sintética son positivos o cero, r es una cota superior de las raíces reales de p (x) = 0. 2. si r < 0 y todos los números del tercer renglón de la división sintética son, alternadamente, positivo y negativo, r es una cota inferior de las raíces reales de p (x) = 0. 181

9 Polinomios y sus Raíces Ejemplo 9.27 Podemos determinar unas cotas superiores e inferiores para las raíces de la ecuación 2x3 5x2 7x + 4 = 0 Probaremos con posibles raíces positivas 12 ; 1; 2 y 4. Para 2 1 2

2

5 1 4

7 2 9

1 2

4 9 2 1 2

Las raíces no cumplen con alguno de los criterios para ser cota superior o inferior ya que todos los números de la tercera …la no son positivos o no alternan de signo. Probaremos ahora con 4 2 4 2

5 8 3

7 4 12 20 5 24

Todos los coe…cientes de la tercera …la son positivos, por lo que 4 es una cota superior para las raíces. Probaremos ahora con los valores negativos a …n de determinar una cota inferior. con 2 se tiene 2

5 4 9

2 2

7 18 11

4 22 18

Se tiene que 2es una cota inferior para las raíces. Por lo tanto, todas las raíces reales se encuentran ubicadas en el intervalo [ 2; 4]. 9.2.4. Raíces Racionales Si una raíz de un polinomio es racional de la forma pq ; q 6= 1; p y q no tienen factores comunes, esta raíz será llamada raíz racional. Damos ahora un teorema sobre la existencia de las raíces racioales de un polinomio. Teorema 9.10 Sea p (x) = an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 un polinomio de grado mayor o igual a 1 con a0 ; an 6= 0 donde los coe…cientes son números enteros. si pq donde p y q no tienen factores comunes es un cero racional de p (x) entonces p debe ser un factor de a0 y q es un factor de an . Esto es, las posibles raíces racionales deben ser de la forma factor del término a0 factor del término an 182

9.2 Teoremas Sobre las Raíces de un Polinomio Observación: Si an = 1, todos los ceros racionales son enteros. Ejemplo 9.28 Dado la ecuación 1 4 2 3 3 x + x + 3x2 x+3=0 2 3 2 a …n de satisfacer las condiciones del teorema multiplicamos por 6 a …n de tener coe…cientes enteros y se tiene 3x4 + 4x3 + 18x2

9x + 18 = 0

por lo que las posibles raíces racionales son 1 2 ; 3 3 Se puede comprobar que ninguno de estos valores es una raíz racional, por lo que el polinomio sólo tiene raíces irracionales o complejas. 1; 2; 3; 6; 9; 18;

Ejemplo 9.29 El polinomio p (x) = x5

5x4 + 12x3

24x2 + 32x

16

tiene cinco raíces. Usando la regla de los signos de descartes existen 3 o 1 raíces positivas y ninguna raíz real negativa. Las posibles raíces racionales son 1; 2; 4; 8 y 16. Se puede ver, usando el teorema para las cotas de las raíces reales que las raíces reales se encuentran en el intervalo [ 2;4]. Usando división sintética, 1 2 1 2 1 1 1

5 2 3 2 1 1 0

12 6 6 2 4 0 4

24 12 12 8 4 4 0

32 24 8 8 0

16 16 0

Podemos observar que el polinomio puede ser factorizado como p (x) = (x

2)2 (x

1) x2 + 4

por lo que las raíces son 2i; 2i; 1 y 2. Ejemplo 9.30 Para el polinomio p (x) = 2x3 + 11x

7x

6

se tiene que existen tres raíces, con una de ellas positiva y dos o cero negativas. Las posibles raíces racionales son 21 ; 23 ; 1; 2; 3; 4 y 6: Se tiene que las raíces del polinomio son 6; 12 y 1. 183

9 Polinomios y sus Raíces 9.2.5. Localización de Raíces. Las raíces reales de un polinomio pueden ser acotadas en un intervalo. También pueden ser localizadas usando el siguiente teorema. Teorema 9.11 (Teorema del cambio de signo) Sea p (x) un polinomio y a; b 2 R, tales que a < b. Si p (a) y p (b) tienen signos diferentes, entonces existe una raíz entre a y b. Ejemplo 9.31 Consideremos el polinomio p (x) = x3

2x2

12x + 8

Se tiene que p (2) = 16 y p (6) = 80 por lo que hay una raíz real entre 2 y 6. Podemos reducir el intervalo al considerar el punto medio 4, p (4) = 8. Vemos que hay un cambio de signo entre 4 y 6 por lo que la raíz está localizada en el intervalo [4; 6]. Continuando de esta forma podemos cercar la raíz, la cual es aproximadamente 4: 340. Tambien se pueden localizar las otras raíces usando diferentes valores. Las raíces aproximadas son x = 4: 340 2; x = 0: 622 22 y x = 2: 962 4.

Vocabulario 1 2

3


Ejercicios de la Sección 9.2 1. Utilizando división sintética y teorema del factor determine si la primera expresión es factor de la segunda:

184

9.2 Teoremas Sobre las Raíces de un Polinomio a) x

2; x4 + 3x3

b) x

3; x4

5x2 + 2x

24

5x3 + 3x2 + 8x + 12

c) 2x+3; 2x4 +5x3 +3x2 +8x+12 d) 3x + 1; 9x3 + 6x2 + 4x + 2

2. Determine por inspección los ceros del polinomio e indique la multilicidad de cada uno. 3)2 (x + 4)3

a) (x

2) (x

b) (x

1)4 (x + 2)5

c) (x2

4x + 4) (x2 + 3x

d) (3x

5)2 (x2

6x + 9)

2

10) 2

3. Determine una cota superior y una cota inferior para los ceros de cada uno de los siguientes polinomios. a) x3 3x2 b) x5 + 5x2

c) x4

2x + 15 7

4. Trace la grá…ca de f (x) = x3 2 y 1; 0 y 1, y entre 1 y 2:

x2

5x2 + 6x

9

2x + 1 la cual tiene un cero entre

5. Determine las raices exactas de las siguientes ecuaciones y trace su grá…ca. a) 2x3 3x2 11x + 6 = 0 b) x3 6x2 + 11x 6 = 0 c) x4 16x3 +86x2 176x+105 = 0

d) 4x4 + 8x3

7x2

21x

9=0

e) 10x4 13x3 +17x2 26x 6 = 0

6. Encuentre la ecuación de tercer grado con coe…ciente inical uno dado que 3; 2 y 1 son ceros de la ecuación. 7. Encuentre la ecuación de cuarto grado con coe…ciente inical uno y con ceros en i y 2 + i: 8. Encuentre la ecuación de tercer grado que satisface f (2) = 1; f ( 1) = f (1 i) = 0: 9. Analice las grá…cas dadas y encuentre el polinomio de menor grado posible. 185


y

10

5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-5

a)

y

8 6 4 2

-1

1

2

3

4

x

-2 -4 -6

b)

y

3 2 1

-2

-1

1 -1

2

x

-2 -3

c)

10. Si f (x) = 3x3 kx2 + x 5k; encuentre un número k tal que la grá…ca de f contiene el punto ( 1; 4) 11. Si f (x) = kx3 + x2 kx + 2; encuentre el número k tal que la grá…ca de f contiene el punto (2; 12) 186

9.2 Teoremas Sobre las Raíces de un Polinomio 12. Si un cero de f (x) = x3 ceros.

3x2

kx + 12 es

13. Si un cero de f (x) = x3 ceros.

2x2

16x + 16k es 2, encuentre los otros dos

187

2, encuentre los otros dos


188

10

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

10.1. Introducción y De…niciones Hemos estudiado en capítulos anteriores expresiones con base variable y 2 1 exponentes constantes, por ejemplo x, x 2 y x 3 . SI asignamos valores a x decimos que estas expresiones son funciones y son representadas como f (x) = x, 2 1 g (x) = x 2 y h (x) = x 3 . Con esto queremos decir que para cada número real que pueda ser sustituido en la expresión obtendremos otro número real. Por 1 ejemplo, en g (x), x = 4 es un valor isible y se tiene g (4) = 4 2 = 2. El conjunto de todos los valores isibles es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los resultados posibles es lllamado el rango de la función. Ahora trabajaremos con dos funciones, llamadas en forma genérica funciones trascendentales, donde cambiaremos a funciones con base …ja y exponentes variable. Estas funciones son las exponenciales y las logarítmicas. De…nición 10.1 (Función Exponencial) Sea a un número real con a > 0 y a 6= 1. La función exponencial con base a se de…ne con la expresión f (x) = ax . El dominio de la función exponencial es R y el rango es el conjunto (0; 1). A continuación se presentan algunas grá…cas de la función exponencial para x diferentes valores de a. 21 Observación: Se excluyen los casos cuando a 0 y a = 1 porque: 1. Si a < 0 generalmente f (x) = ax no es un número real. 2. Si a = 0 se tiene que f (0) no está de…nida.

10 Funciones Exponenciales y Logarítmicas

y

18 16 14 12 10 8 6 4 2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

FIGURA 10.1. Grá…cas de 2x (línea sólida),

3 x 2

3

4

x

(giones) y

1 x 2

(círculos)

3. si a = 1 la grá…ca de f (x) esuna línea recta horizontal cuyo valor constante es 1.

10.1.1. Propiedades de la Función Exponencial La función exponencial tiene características comunes para todos los valores de a. A continuación listamos algunas de esas propiedades: 1. El dominio de la función exponencial f (x) = ax es R, y el rango es el conjunto de todos los números reales positivos: 2. Si a > 1 entonces f (x) = ax es una función creciente. 3. Si 0 < a < 1 entonces f (x) = ax es una función decreciente. 4. El eje x es una asíntota horizontal para la grá…ca de f (x) = ax . 5. Las grá…cas de f (x) = ax y g (x) = a sobre el eje y.

x

son re‡exiones, una de la otra,

6. Las grá…cas de la función f (x) = ax son idénticas, excepto que es una transalación de k > 0 unidades si: a) y = f (x) + k, translación de k unidades hacia arriba. 190

10.1 Introducción y De…niciones b) y = f (x)

k, translación de k unidades hacia abajo.

c) y = f (x + k), translación de k unidades hacia la izquierda. d) y = f (x

k), translación de k unidades hacia la derecha.

Las siguientes propiedades son muy importantes, por lo que nos permitimos escribirlas como un teorema. Teorema 10.1 Sea a un número real con a > 0 y a 6= 1, entonces 1. La grá…ca de f (x) = ax pasa por los puntos (0; 1) y (1; a). 2. La función exponencial f (x) = ax es uno a uno o inyectiva. Esto es si ar = as entonces r = s. 3. Si f (x) = ax , entonces f (x + y) = f (x) f (y), 4. Si f (x) = ax , entonces f (xy) = [f (x)]y = [f (y)]x .

Vocabulario 1 2

3



191


10.2. La Función Exponencial Natural La función exponencial natural es llamada tambien la función exponencial base e o simplemente función exponencial si es que no hay riesgo de confusión. El número e fue introducido por Leonard Euler (1707 - 1783) al considerar kt y hacer un cambio de variable de k por rp:La la expresión A = A0 1 + kr h rpt p irt k r expresión 1 + kr se transforma en 1 + rp = 1 + p1 . Consideremos p

soamente la expresión 1 + p1 y consideremos su valor conforme p aumente de valor. Observemos la siguiente tabla: p

1+

1 10 100 1,000 1’000,000 1,000’000,000

1 p

p

2 2: 593 742 2: 704 813 2: 716 923 2: 718 128 2: 718 281

p

Cuando p crece, la expresión 1 + p1 tiende a un numero …jo 2.7182818284. . . y ese número es llamado e. El número e = 2;7182818284 : : : es un número irracional y aparece con mucha frecuencia en investigaciones de fenómenos físicos. Presentamos a continuación gra…cas de funciones exponenciales.

y 200

150

100

50

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

Grá…cas de ex (línea sólida), 2x (guiones) y 3x (círculos) A continuación presentamos sin demostrar unos resultados fundamentales de las funciones exponenciales. 192

10.2 La Función Exponencial Natural Teorema 10.2 Consideremos las funciones exponenciales ax y bx ; 0 < a; b < 1 o a; b > 1. Entonces: 1. ax1 = ax2 sí y sólo sí x1 = x2 2. Sea a; b > 1; x > 1, ax < bx sí y sólo sí a < b. 3. Sea a; b > 1; x < 1, ax < bx sí y sólo sí a > b. 4. Sea a; b < 1; x > 1, ax < bx sí y sólo sí a > b. 5. Sea a; b < 1; x < 1, ax < bx sí y sólo sí a < b. 6. Si 0 < a < 1 la función ax es una función decreciente, esto es si x > y entonces ax < ay . 7. Si 1 < a la función ax es una función creciente, esto es si x > y entonces ax > a y . El primer resultado nos permite resolver ecuaciones donde se encuentran involucradas funciones exponenciales. Ejemplo 10.1 1. Si 23x = 2x+1 entonces 3x = x + 1 y la solución de 23x = 2x+1 es x = 21 . 2. Si 4x 3 = 84 x escribimos todo en relación a la misma base, en este caso x 3 4 x la base es 2. Entonces (22 ) = (23 ) o 22(x 3) = 23(4 x) y por tanto x 3 . 2 (x 3) = 3 (4 x), y la solución de 4 = 84 x es x = 18 5

Vocabulario 1 2

3

Hechos importantes 1 2 193



10.3. Funciones Logarítmicas La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial. Las funciones logarítmicas se pueden usar para múchos cálculos numéricos y son de gran valor en aplicaciones del cálculo y otras áreas en las matemáticas. De hecho, múchos fenómenos en la naturaleza, a …n de ser medidos, utilizan escalas logarítmicas; ejemplos de ellos son, la medición del sonido y la magnitud de un terremoto. A continuación presentamos una de…nición precisa de la función logarítmica.

De…nición 10.2 Sea a un número positivo con a 6= 1. La función logarítmica con base a, denotada por loga x, se de…ne como

loga x = y () ay = x: Su dominio es el conjunto (0; 1) y el rango son todos los números reales. A continuación veamos algunos cálculos con la función logarítmica

Función Logarítmica log2 8 = 3 log3 9 = 2 log9 27 = 32 1 log5 25 = 2 loga a = 1 1 = 1 log10 10 log10 10000 = 4

Función Exponencial 23 = 8 32 = 9 3 9 2 = 27 1 5 2 = 25 a1 = a 1 10 1 = 10 4 10 = 10000

Ahora mostramos las grá…cas de dos funciones logarítmicas 194

10.3 Funciones Logarítmicas

y

3

2

1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

-1

-2

-3

Grá…cas de log 1 x (línea contínua) y log2 x (guiones) 2

Los siguientes ejemplos muestran ecuaciones logarítmicas que pueden ser resueltas a partir de la de…nición de ellas. Ejemplo 10.2 1. Dada la ecuación log5 x = x = 5 4 . Entonces x = 514 = 2. Dada la ecuación loga 36 = 216.

4 es equivalente a determinar x tal que 1 . 625 2 3

2

3

equivale a a 3 = 36. Esto es a = (36) 2 =

Tal como lo hicimos para la función exponencial, presentamos resultados importantes para la función logarítmica. Teorema 10.3 Para la función logarítmica con base a 6= 1se cumple que: 1. Sea a > 1, entonces loga x < 0 si 0 < x < 1 y loga x > 0 si x > 1 2. Sea a < 1, entonces loga x > 0 si 0 < x < 1 y loga x < 0 si x > 1 3. Si 0 < a < b < 1; entonces loga x < logb x para 0 < x < 1 y loga x > logb x para 1 < x. 4. Si 1 < a < b; entonces loga x > logb x para 0 < x < 1 y loga x < logb x para 1 < x. 5. loga x1 = loga x2 sí y sólo sí x1 = x2 195

10 Funciones Exponenciales y Logarítmicas 6. Sea a > 1, loga x1 < loga x1 sí y sólo sí x1 < x2 . (loga x es una función creciente) 7. Sea a < 1, loga x1 < loga x1 sí y sólo sí x1 > x2 . (loga x es una función decreciente) La parte 5 del teorema anterior nos permite resolver algunas ecuaciones que involucran funciones logarítmicas, como se puede observar en el siguiente ejemplo: Ejemplo 10.3 La ecuación log6 (8x

6) = log6 (4x

1)

es equivalente a 8x 5 , 4

la cual tiene solución x = ecuación original.

6 = 4x

1

por lo que x =

5 4

es también solución de la

El dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos; es decir, el argumento siempre debe ser un número positivo. Ejemplo 10.4 El determinar el dominio de una función logarítmica corresponde a determinar cuando el argumento es mayor que cero. Por lo tanto se debe resolver una desigualdad. Ilustramos estas ideas: 1. El dominio de la función y = log2 (1 x) es el conjunto de números reales que satisfacen 1 x > 0. Esto es 1 > x. El dominio es por tanto ( 1; 1). 2. El dominio de la función y = log5

1+x 1 x

es ( 1; 1).

3. el dominio de y = log 1 jxj es R n f0g. 2

Las siguientes son más propiedades de la función logarítmica. Teorema 10.4 Sean M; N; p y a números reales positivos, con a 6= 1; p; N 6= 0, entonces 1. loga 1 = 0; 2. loga a = 1; 3. loga ax = x; 4. aloga x = x 196

10.3 Funciones Logarítmicas 5. loga (M N ) = loga M + loga N 6. loga

M N

= loga M

loga N

7. loga (M p ) = p loga M p 8. loga p M = p1 log M Demostración: Las propiedades 1 al 4 se siguen directamente de la de…nición. Sólo demostraremos las propiedades 5 y 7 ya que la demostración de las propiedades 6 y 8 son similares. 5. Sea x = loga M y y = loga N . De la de…nición de logarítmo se sigue que ax = M y ay = N , por lo que ax ay = M N ax+y = M N y x + y = loga M N de donde loga (M N ) = loga M + loga N 7. Sea x = loga M . De la de…nición de logarítmo se sigue que ax = M por lo que (ax )p = M p axp = M p Usando la de…nición de logarítmo xp = loga M p por lo que p loga M = loga M p La propiedad 5 establece que el logarítmo de un producto es igua a la suma de los logarítmos de los factores, similarmente para la propiedad 6. La propiedad 7 establece que el logarítmo de una potencia es igual al producto de la potencia por el logarítmo de la base. De forma similar para la raíz p-ésima. Lo que tambien debe ser observado, ya que estos son errores comunes en los principiantes, es loga (M + N ) 6= loga M + loga N M loga 6= loga M loga N N 197

10 Funciones Exponenciales y Logarítmicas Ejemplo 10.5 1. log3 1 = 0 (Propiedad 1) 2. log4 4 = 1 (Propiedad 2) 3. log7 73 = 3 (Propiedad 3) 4. blogb 3 = 3 (Propiedad 4) Asumiendo que x; y; z y b; b 6= 1 son números positivos, entonces 5. logb

xy z

= logb (xy)

logb z (Propiedades 6 y 5)

logb z = logb x + logb y

6. logb (x3 y 2 z) = logb (x3 ) + logb (y 2 ) + logb z = 3 logb (x) + 2 logb (y) + logb z (Propiedades 5 y 7) 7. logb

p y2 z x

= logb (y 2 ) + logb z 1=2

= 2 logb (y) + 21 logb (z)

logb (x)

logb (x) 1

1

8. 2 logb x + 31 logb y = logb x2 + logb y 3 = logb x2 y 3 9.

1 2

logb (x

2)

logb y + 3 logb z = logb (x 1

= logb

z 3 (x 2) 2 y

= logb

1

2) 2

logb y + logb z 3

p z3 x 2 y

Ejemplo 10.6 Podemos expresar productos, cocientes, potencias y raíces como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones y viceverza: 1. log10 (780 92) = log10 780 + log10 92. 2. log5

1078 5343

= log5 1078

log5 5343.

3. log4 (78403 ) = 3 log4 7840 = 3 log4 (42 ) (490) = 3 (log4 42 + log4 490) = 3 (2 + log4 490) = 6 + 3 log4 490 = 6 + 3 log4 (2) (245) 1

1

= 6 + 3 log4 4 2 (245) = 6 + 3 log4 4 2 + log4 245 =6+3 =

15 2

1 2

+ log4 245 = 6 + 23 + 3 log4 245

+ 3 log4 245 198

10.4 Grá…cas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas 4. log2

(282 )

1

62

1

= log2 (282 ) + log2 6 2

(8)(17)

= 2 log2 28 + 12 log2 6

log2 8

1 2

log2 17

log2 23

= 2 log2 4 7 + log2 2 3

log2 ((8) (17))

log2 17

= 2 (log2 4 + log2 7) + 12 (log2 2 + log2 3) = 2 (2 + log2 7) + 21 (1 + log2 3)

3 (1)

= 4 + 2 log2 7 + 12 + 12 log2 3

log2 17

=

3 2

+ 2 log2 7 + 12 log2 3

3

3 log2 2

log2 17

log2 17

log2 17. 1

5. loga x+ 31 loga (x + 1) 5 log (2x + 3) = loga x+loga (x + 1) 3 ln (2x + 3)5 1

= loga

x(x+1) 3 (2x+3)5

.

Vocabulario 1 2

3



10.4. Grá…cas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas En las secciones anteriores hemos mostrado propiedades de las funciones exponenciales y de las logarítmicas. En seguida mostramos algunas grá…cas con estas ideas. En las dos grá…cas siguientes mostramos que f (x) = ax es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1. 199


-4

y 30

y 30

20

20

10

10

-2

0

2

4

x

Grá…ca de y = 2x

-4

-2

0

2

4

x

1 x 2

Grá…ca y =

x

Como 12 = 2 x se puede observar como una grá…ca es el re‡ejo de la otra a travez del eje y. En las siguientes grá…cas se muestran las translaciones horizontales y verticales de la función exponencial. En todas ellas, la grá…ca de y = 2x es mostrada con guiones

-4

y 30

y 30

20

20

10

10

-2

0

2

4

-4

x

Grá…ca de y = 2x

-4

-2

0

y 30

20

20

10

10

0

2

4

x

Grá…cas de y = 2x y y = 2x + 5

y 30

-2

2

4

-4

x

Grá…cas de y = 2x y y = 2x+2

-2

0

2

4

x

Grá…cas de y = 2x y y = 2x

2

Mostraremos grá…camente las propiedades establecidas en los teoremas y observaciones anteriores. En la primera se muestra que si a < b entonces ax < bx para 1 < x y ax > bx para 0 < x < 1 y en la segunda se muestra que la función exponencial es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1. 200

10.4 Grá…cas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

-4

y 30

y 30

20

20

10

10

-2

0

2

4

-4

x

Grá…cas de y = 2x (guiones) y y = 3x (línea sólida)

-2

0

2

4

x

Grá…cas de y = 2x (guiones) x y y = 31 (línea contínua)

La grá…ca de la función loga x, al ser la función inversa de ax , puede ser obtenida simplemente al gra…car a x y rotarla 90 en el sentido de las manecillas del reloj.

y

y 30

y 30

20

20

2

10

10

0

4

10 -2

-4

-2

0

2

4

x

Grá…cas de y = 2x

-4

-2

0

2

Grá…ca de y = 2

4

x x

20

30

x

-4

Grá…ca de y = log2 x

A continuación presentamos las grá…cas de 2x y log2 x en donde se observa lo mencionado anteriormente. 201


y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Vocabulario 1 2

3



10.5. Logarímos Comunes y Naturales 10.5.1. Logarítmos Comúnes Desde que usamos un sistema numérico en base 10, los logarítmos base 10 han sido usados para el cálculo numérico. Los logaritmos base 10 son llamados 202

10.5 Logarímos Comunes y Naturales logarítmos comunes, vulgares, de Briggs1 o simplemente logaritmos cuando no haya riesgo de confusión y son denotados por log x. El cálculo de los logarítmos de potencias de 10 es muy simple log 1000 = 3 log 100 = 2 log 10 = 1 log 1 = 0 log 0;1 = 1 log 0;01 = 2 log 0;0001 = 3 10.5.2. Logaritmos Naturales En muchas aplicaciones es usado el logarítmo base e = 2: 718 281 : : :. Este logarítmo es llamado el logaritmo natural o neperiano2 aunque escencialmente son dos conceptos distintos. El logarímo natural es denotado por ln x. Se tiene que ln 1 = 0 ln e = 1 ln ex = x eln x = x 10.5.3. Logarítmos en otras Bases Ahora procederemos a relacionar funciones logarítmicas en bases diferentes. Se mostrará que no es importante el elegir la base, ya que los resultados son equivalentes. Para algunos problemas es importante que la base sea 10 o e porque esto hace que los cálculos sean menos laboriosos. Establecemos este teorema que relaciona a los logarítmos en diferentes bases Teorema 10.5 (Cambio de base en funciones logarítmicas) Para cualquier número real positivo x y bases a; b > 0; a; b 6= 1 loga x =

logb x logb a

Demostración: Usando el teorema 10.4, parte 4, x = aloga x 1 Henry

Briggs (Warley Wood, 1561 - Oxford, 1630), fue un clérigo y matemático inglés notable por el cambio de logaritmos de Napier en los logaritmos de Briggs, populares por sus ventajas. 2 John Napier, barón de Merchiston, llamado también Neper o Nepair (Edimburgo, 1550 - 4 de abril de 1617) fue un matemático escocés, reconocido por ser el primero en de…nir los logaritmos. También hizo común el uso del punto decimal en las operaciones aritméticas.

203

10 Funciones Exponenciales y Logarítmicas del 10.3, parte 5, considerando la función logarítmica con base b logb x = logb aloga x logb x = loga x logb a Resolviendo para loga x, dado que a 6= 1, se tiene loga x =

logb x logb a

Este útimo teorema nos permite cacular cualquier logarítmo en términos de logarímos usuales, tales como los logaritmos comunes o los naturales. Ejemplo 10.7 Expresaremos log5 17 en términos de logaritmos comunes y de logarítmos naturales log10 17 1: 230 4 log5 17 = 1: 760 3 log10 5 0;698 97 2: 833 2 ln 17 1: 760 3 log5 17 = ln 5 1: 609 4 Ejemplo 10.8 Ahora calculemos log2 10. En este caso utilizaremos logaritmos comunes log2 10 =

log10 10 1 = log10 2 log10 2

Ejemplo 10.9 Se puede observar, del ejemplo anterior, que loga b =

1 logb a

Esto es (loga b) (logb a) = 1

Vocabulario 1 2

3


10.6 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas


10.6. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Cuando tenemos ecuaciones en las cuales están involucradas funciones exponenciales y/o logarítmicas, se deberán usar las propiedades establecidas en los teoremas 10.1, 10.2, 10.3 y 10.4 y las de…niciones dadas para las funciones involucradas. Decimos que una ecuación es exponencial si contiene variables en los exponentes, y decimos que una ecuación es una ecuación logarítmica si involucra logaritmos de expreciones que contienen variables. Cabe hacer notar que pueden existir ecuaciones que involcren los dos tipos de funciones, pero en esta sección estamos solamente interesados en las ecuaciones exponenciales o logarítmicas. Al resolver una ecuación logaritmica, se debe tener en cuenta que el argumento de la función logarítmica debe ser un número positivo, por lo que una vez que se obtengan las posibles soluciones se deberá comprobar que estas son efectivamente soluciones de la ecuación original. Mostraremos las técnicas de resolución de ellas con algunos ejemplos: Ejemplo 10.10 Resolvemos la ecuación logarítmica log4 (5 + x) = 5 Los argumentos son como sigue log4 (5 + x) = 3 5 + x = 43 De…nición de Logarítmo 5 + x = 64 x = 59 Ejemplo 10.11 . 1. Para la ecuación exponencial 3x = 5 usaremos la función logarítmica sin especi…car la base, ya que el resultado no dependerá de la base utilizada. Se debe tener en cuenta que en 205

10 Funciones Exponenciales y Logarítmicas el resultado …nal, la base es la misma para las funciones logarítmicas involucradas 3x = 5 log (3x ) = log 5 Teorema 10.3, parte 5 x log 3 = log 5 Teorema 10.4, parte 7 log 5 x = log 3 2. Consideremos la ecuación e 1 e 2 ln x = 16 2 1 eln x = 16 1 x 2 = 16 2 x = 16 x= 4

2 ln x

=

1 16

Teorema 10.4, parte 7 Teorema 10.4, parte 4

Como el dominio de ln x son todos los reales positivos, no es posible que x = 4 sea solución. Por lo tanto, la única solución es x = 4. 3. Para la ecuación loga (x + 6)

loga (x + 2) = loga x

utilizaremos las propiedades de las funciones logarítmicas ya que todos los logarítmos involucrados en esta ecuación tienen la misma base loga (x + 6) loga (x + 2) = loga x = loga x loga (x+6) (x+2) (x+6) =x (x+2) 2 x +x 6=0 x = 3; 2

Teorema 10.4, parte 6 Teorema 10.3, parte 5

Ahora comprobaremos que efectivamente son soluciones de la ecuación. Para x = 3 se tiene que loga x no está de…nido, por lo que no es solución de la ecuación original. Para x = 2 se tiene que loga (x + 6), loga (x + 2) y loga x están bien de…nidas y loga (8) loga (4) = loga 2. 4. Consideremos la ecuación log2 (8x + 2) + log2 5 = log2 290 206

10.6 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Se tiene log2 (8x + 2) + log2 5 = log2 290 log2 (8x + 2) = log2 290 log2 5 Teorema 10.4, parte 6 log2 (8x + 2) = log2 290 5 log2 (8x + 2) = log2 58 8x + 2 = 58 Teorema 10.3, parte 5 x=7 Como log2 (8x + 2) está de…nido para x = 7, tenemos que x = 7 satisface la ecuación y por tanto si es solución de la ecuación original. 5. En este ejemplo, podemos resolver la ecuación en forma simple. Consideremos la ecuación 5x = 6252 Podríamos usar logarítmos para resolver esta ecuación, pero observamos que 625 = 54 por lo que 5x = 54 5x = 58

2

y del teorema 10.2, parte 1 se sigue que x=8 6. Este ejemplo muestra el uso de las funciones logarítmicas para resolver una ecuación exponencial donde las bases no son iguales. Consideremos la ecuación 32x+1 = 71 x Por el teorema 10.3, parte 5, esta ecuación es equivalente a ln 32x+1 = ln 71

x

donde hemos aplicado la función logaritmo natural a ambos lados. Del teorema 10.4, parte 7, se sigue (2x + 1) ln (3) = (1

x) ln (7)

con solución

ln 73 ln 7 ln 3 = x= 2 ln 3 + ln 7 ln (63) Podríamos haber utilizado otra base, por ejemplo 3 o 7 para reducir la ecuación exponencial. Si utilizamos la base 3 se tiene log3 32x+1 = log4 71 207

x

10 Funciones Exponenciales y Logarítmicas donde hemos aplicado la función logaritmo natural a ambos lados. Del teorema 10.4, parte 7, se sigue (2x + 1) log3 (3) = (1 (2x + 1) = (1

x) log3 (7) x) log3 (7)

y la solución quedaría escrita como x=

log3 7 1 log3 7 + 2

El demostrar que ambas soluciones son idénticas queda como ejercicio al lector (Ejercicio XXX).

Vocabulario 1 2

3



208

11

Trigonometría

La trigonometría es importante por razones teoricas y prácticas. Los aspectos teoricos tales como en el desarrollo de las matemáticas, física, biología y química entre otras y prácticos como en la ingeniería, la navegación y electricidad. El astronomo griego Hipparcus de Nicaea es considerado el fundador de la trigonometría.

11.1. Ángulos y Sistemas de Medición En geometría, un ángulo es el que está formado por dos rayos originados en un punto común llamado vértice. En trigonometría, un ángulo es la rotación que requiere el movimiento de un rayo, llamado lado inicial a otro rayo llamado lado terminal.

Los rayos que rotan en sentido contrario a las manecillas del reloj son considerados ángulos positivos y los que rotan en sentido de las manecillas del reloj

11 Trigonometría son considerados ángulos negativos.

11.1.1. Grados Una unidad de medida de ángulo es el grado, denotado por el símbolo . 1 Una rotación completa mide 360 por lo que 1 representa 360 de una vuelta completa. También se acostumbra representar la medida del ángulo con minutos y segundos, donde un grado es equivalente a 60 minutos y un minuto es 60 segundos. Los ángulos se pueden medir con grados, minutos y segundos al igual que como lo hacemos con las horas. Pero también se pueden representar sólo con grados en notación decimal. A …n de transformar un ángulo dado en g grados m minutos y s segundos (g m0 s00 ) simplemente dividimos los minutos por 60 y los segundos por 3600 s m + 3600 . a …n de convertirlos a grados; esto es g m0 s00 = g + 60 Ejemplo 11.1 Convertir a notación decimal los siguientes ángulos a) 12 60 2300 b) 128 420 800

a) 12 60 2300 = b) 128 420 800 =

23 6 + = 12: 106 60 3600 42 8 128 + + = 128: 702 60 3600

12 +

Para transformar un ángulo dado en notación decimal lo que hacemos es multiplicar la parte decimal por 60 a …n de obtener los minutos (la parte entera del resultado) y a la parte decimal de este se mutiplica de nuevo por 60 a …n de obtener los segundos, como puede ser observado en los siguientes ejemplos. 210

11.1 Ángulos y Sistemas de Medición Ejemplo 11.2 Convertir a grados, minutos y segundos los siguientes ángulos a) 72;103 b) 86;41 a) 72;103 = 72 + (0;103) (60)0 = 72 6;180 = = 72 60 + (0;18) (60)00 = 72 60 10;800 b) 86;41 = 86 + (0;41) (60)0 = 86 24;60 = = 86 240 + (0;6) (60)00 = 86 240 3600 11.1.2. Radianes Si consideramos un círculo de radio r centrado en el origen y se construye un ángulo cuyo vertice está en el origen y cuyos lados inicial y terminal subtienden un arco en el círculo de longitud r, a la medida del ángulo se le llama 1 radian. Esta medida del ángulo es independiente del radio del círculo.

Se tiene que una rotación completa mide 2 radianes. Por lo que la relación entre los grados y radianes está dada por 2 radianes = 360 De aqui que si se sigue que

es la medida del ángulo en radianes y g es la medida en grados 360

=2 g

por lo que resolviendo para g ó para g=

180

se tiene ó

=

180

g

De esto se sigue que 1 = 180 radianes y 1 radian = 180 . Es costumbre que cuando el ángulo está expresado en radianes no se escribe la unidad de medida. Por ejemplo si un ángulo mide 4 radianes, simplemente escribiremos 4 . 211

11 Trigonometría Ejemplo 11.3 Converciones de grados a radianes y viceversa.

1. 60 =

180

60 =

3

6.

6

2. 45 =

180

45 =

4

7.

3 2

3. 150 = 4.

45 =

5. 90 =

150 =

180

90 =

4

2

9.

7 3

10.

4

3 2

= =

=

= 30

6

=

3 4

8.

( 45 ) =

180 180

5 6

180

=

7 3

180 3 4

= 270 180

180 180

=

135

= 420 = 45

4

La siguiente tabla muestra la relación entre grados y radianes de ángulos usuales

grados radianes

0 0

30

45

6

4

grados 180 radianes

210 7 6

60

90

120

135

150

3

2

2 3

3 4

5 6

225

240

270

300

315

330

5 4

4 3

3 2

5 3

7 4

11 6

180

360 2

11.1.3. Posición del ángulo y ángulos coterminales Los ángulos son representados generalmente con letras griegas ; ; ; y decimos que está en posición estandar si su vértice se encuentra en el origen del sistema coordenado y el lado inicial coincide con el eje horizontal. Cuando un ángulo está en posición estandar, decimos que el ángulo está en el 1ro, 2do, 3er o 4to cuadrante si su lado terminal se encuentra en esos cuadrantes 212

11.1 Ángulos y Sistemas de Medición respectivamente.

Primer cuadrante

Segundo cuadrante

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

Si el lado terminal de dos ángulos en posición estandar coinciden, los ángulos son llamados coterminales. Por ejemplo los ángulos en posición estandar con medidas de 30 ; 390 y 330 son coterminales. Se puede observar que si tenemos un ángulo con medida entonces todos los ángulos con medidas + 360 k; k 2 Z son coterminales; en este caso, si k es positivo esto equivale a dar k giros completos al lado terminal en la dirección contraria a las manecillas del reloj y si k es negativo los giros son dados en la direccion de las manecillas del reloj. Si el ángulo está medido en radianes entonces la expresión + 360 k; k 2 Z se transforma en + 2k ; k 2 Z. A continuación de…nimos algunos ángulos importantes. Un ángulo recto es un ángulo cuya medida es 90 o =2; este ángulo es obtenido al girar el rayo un cuarto de vuelta. Un ángulo llano o colineal es el ángulo obtenido al girar un rayo media vuelta; su medida es 180 o . Si el ángulo tiene una medida mayor que 00 y menor que 90 decimos que es un ángulo agudo. Si el valor es mayor que 90 pero menor que 180 decimos que el ángulo es obtuso. Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90 y son llamados suplementarios si la suma de sus medidas es de 180 .

Vocabulario

213

11 Trigonometría 1 2

3



11.2. De…nición de Funciones Trigonométricas La gran mayoría de los trabajos en trigonometría están basados en seis funciones trigonométricas cuyo dominio es el conjunto de todos los posibles ángulos. La de…nición tradicional está basada en el teorema de Thales, el cual establece que ciertas valores en los triángulos semejantes (rectángulos) siempre permanecen proporcionales. La de…nición actual es una extensión de esta de…nición y es por eso que las funciones trigonométricas son llamadas algunas veces funciones circulares. Iniciamos con las de…niciones de ellas. De…nición 11.1 Sea un ángulo en posición estandar. Sea P (x; y) cualquier punto excepto p x2 + y 2 es la O (0; 0) sobre el lado terminal del ángulo . Entonces r = longitud del segmento OP . Las seis funciones trigonométricas del ángulo son:

214

11.2 De…nición de Funciones Trigonométricas sen =

y r

(léase seno de teta)

cot =

y x

(cotangente de teta)

cos =

x r

(coseno de teta)

sec =

r x

(secante de teta)

tan =

y x

(tangente de teta)

csc =

r y

(cosecante de teta)

Se tiene que los valores de las funciones trigonométricas son independientes de la elección del punto P (x; y). Esto se establece en el siguiente teorema. La demostración de ello es una consecuencia directa del teorema de Tales. Teorema 11.1 Si el ángulo está en posición estandar, y si P es cualquier punto sobre el lado terminal del ángulo , entonces el valor de las funciones trigonométricas es independiente de la elección del punto P . Ejemplo 11.4 Consideremos el punto P ( 3; 4) sobre el lado terminal del ángulo ', entonces q r = ( 3)2 + 42 = 5 y sen ' =

4 5

cot ' =

3 4

5 3

cos ' =

3 5

sec ' =

tan ' =

4 3

csc ' =

5 4

En el siguiente ejemplo mostraremos como determinar las funciones trigonométricas dada una de ellas y el cuadrante donde se encuentra el ángulo. Ejemplo 11.5 y que Asumamos que sen = 12 13 mostrado en la siguiente …gura

está en el segundo cuadrante. Esto es

p Determinamos la distancia horizontal x a partir del hecho de que 13 = 122 + x2 , la solución de esto es x = 5 (otra solución es x = 5 pero con esto el ángulo estaría en el primer cuadrante), por lo que 215

11 Trigonometría cos

=

5 13

tan

=

12 5

cot

=

5 12

sec

=

13 5

csc

=

13 12

Observación: En la siguiente tabla mostramos el signo de las funciones trigonométricas dependiendo de la posición del ángulo en los cuadrantes siguientes sen cos tan cot sec csc

I II + + + + + + + +

III + + -

IV + + -

Ejemplo 11.6 Asuma que no está en el segundo cuadrante y que cos = 43 procederemos a determinar las funciones trigonométricas restantes. Dado que no está en el segundo cuadrante entoncesqdeberá estar en el tercer cuadrante. Para esto p p 7 o y = 7. r = 4 x = 3 por lo que 4 = ( 3)2 + y 2 , con solución y = p dado que está en el tercer cuadrante se debe tener que y = 7y sen

=

tan

=

cot

=

p

7

4 p

p

7 4

=

7 3

=

p3 7

=

sec

=

csc

=

4 3

=

4 3

p

7 3

p3 7

4 p

7

=

p4 7

Un tríangulo se dice que rectángulo si uno de los ángulos es un ángulo recto. Se tiene además que en cualquier tríangulo la suma de los ángulos internos es de 180 o 2 . Consideremos ahora el triángulo 4ABC mostrado en la siguiente …gura

216

11.2 De…nición de Funciones Trigonométricas donde el ángulo = ]ACD es el ángulo recto. El lado c es llamado la hipotenusa del triangulo. El lado a es llamado el lado opuesto al ángulo o lado adyacente al ángulo y el lado b es lado adyacente al ángulo o lado opuesto al ángulo . Se tiene que + = 90 y c2 = a2 + b2 (Teorema de Pitágoras). Se puede observar que sen

=

a c

=

cateto opuesto hipotenusa

cot

=

b a

=

cateto adyacente cateto opuesto

cos

=

b c

=

cateto adyacente hipotenusa

sec

=

c b

=

hipotenusa cateto adyacente

tan

=

a b

=

cateto opuesto cateto adyacente

csc

=

c a

=

hipotenusa cateto opuesto

Podemos además calcular el valor de una función trigonométrica a partir del complemento del ángulo. sen

= cos

= cos (90

)

cot

= tan

= tan (90

)

cos

= sen

= sen (90

)

sec

= csc

= csc (90

)

tan

= cot

= cot (90

)

csc

= sec

= sec (90

)

Consideremos ahora el círculo unitario,

Se tiene sen (180 ) = sen sen (180 + ) = sen sen (360 ) = sen cos (180 ) = cos cos (180 + ) = cos

cos (360 ) = cos tan (180 ) = sen = tan cos sen tan (180 + ) = cos = tan sen tan (360 ) = cos = tan

Además se tiene que 217

11 Trigonometría sen ( cos ( tan (

) = sen ) = cos ) = tan

cot ( sec ( csc (

) = cot ) = sec ) = csc

Existen algunos valores de las funciones trigonométricas que pueden ser calculados a partir de geometría elemental. Primero consideremos un tríangulo rectángulo isóceles con lados de longitud 1 como se muestra en la siguiente …gura

Dado que los lados son iguales, los ángulos opuestos deben serpiguales, porplo que su suma debe ser de 45 (¿por qué?) y se tiene que r = 12 + 12 = 2 por lo que sen 45 =

p1 2

cos 45 =

p1 2

cot 45 = 1 p sec 45 = 2 p csc 45 = 2

tan 45 = 1

Si ahora consideramos un tríangulo equilatero con lados de longitud 2. Dividamos el triángulo por la mitad a partir del vertice superior, se tiene entonces

Si consideramos el triángulo 4OP Q se tiene que y =

218

p

3y

11.2 De…nición de Funciones Trigonométricas p

3 2

sen 60 = cos 60 =

1 2

tan 60 =

p

cot 60 =

p1 3

sec 60 = 2 3

csc 60 =

p2 3

También al considerar el mismo tríangulo se tiene que

sen 30 = cos 30 =

p

1 2 p

cot 30 =

3 2

sec 30 =

p1 3

csc 30 = 2

tan 30 =

3

p2 3

También se puede observar que

sen 0 = 0

cot 0 no está de…nida

cos 0 = 1

sec 0 = 1

tan 0 = 0

csc 0 no está de…nida

y

sen 90 = 1

cot 90 = 0

cos 90 = 0

sec 90 no está de…nida

tan 90 no está de…nida

csc 90 = 1 219

11 Trigonometría A partir de estos resultados se puede generar la siguiente tabla: grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

radianes 0 =6 =4 =3 =2 2 3 3 4 5 6 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6

2

sen 0 p1=2 p2=2 3=2 p1 p3=2 2=2 1=2 0 p1=2 p2=2 3=2 p1 p3=2 2=2 1=2 0

cos p0 p3=2 2=2 1=2 0 p1=2 p2=2 3=2 p1 p3=2 2=2 1=2 0 p1=2 p2=2 3=2 1

tan p0 3=3 p1 3 NE p 3 p1 3=3 p0 3=3 p1 3 NE p 3 p1 3=3 0

cot NE p 3 1 p 3=3 p0 3=3 p1 3 NE p 3 1 p 3=3 p0 3=3 p1 3 NE

sec p1 2 p3=3 2 2 NE p2 p2 2 3=3 p1 2 p3=3 2 2 NE p2 p2 2 3=3 1

csc NE p2 p2 2 3=3 p1 2 p3=3 2 2 NE p2 p2 2 3=3 p1 2 p3=3 2 2 NE

Vocabulario 1 2

3



11.3. Identidades Fundamentales A continuación presentamos algunas identidades trigonométricas fundamentales. La demostación de ellas se sigue directamente de la de…nición de ellas 220

11.3 Identidades Fundamentales cos sen

sen csc = 1

cot =

cos sec = 1

sen2 + cos2 = 1

tan cot = 1

tan2 + 1 = sec2

tan =

sen cos

cot2 + 1 = csc2

A partir de estas identidades podemos deducir nuevas identidades trigonométricas como se ve a continuación. Ejemplo 11.7 a) Podemos ver que tan =

sec csc

, dado que

tan =

sen cos

=

b) Similarmente (cot sec + 1) (cot sec

1 csc 1 sec

=

sec csc

1) = cot2 , dado que 1) = (cot sec )2 1 = cot2 sec2 1 cos2 1 = 1 sen2 cos2 1 1 = sen2 = csc2 1 2 = cot

(cot sec + 1) (cot sec

Estas identidades nos permiten determinar valores de las funciones rigonométricas de una forma sencilla. Ejemplo 11.8 Si está en el segundo cuadrante y sen = 54 , podemos determinar las otras 5 funciones a partir de las identidades dadas. p a) Dado que sen2 + cos2 = 1, entonces cos = 1 sen2 , el signo se determina a partir del valor del coseno en el segundo cuadrante. Como el coseno es negativo en el segundo cuadrante elegimos q el signo negativo p 4 2 de la raíz para obtener cos = 1 sen2 = 1 = 35 5 b) Se tiene que tan = c) Dado que cot = d) sec =

1 cos

=

e) csc =

1 sen

=

1 3 5

1 4 5

sen cos

1 tan

=

=

5 3

=

= 1 4 3

4 5 3 5

=

=

4 3

3 4

5 4

221

11 Trigonometría 11.3.1. Funciones Períodicas Una función f se dice que es períodica de periodo p, si p es el número real positivo más pequeño para el cual se cumple que f (x) = f (x + p) para toda x en el dominio de f . Se puede observar que las funciones trigonométrcas son períodicas y sen x = sen (x + 2 ), la función sen tiene periodo 2 cos x = cos (x + 2 ), la función cos tiene periodo 2 tan x = tan (x + ), la función tan tiene periodo cot x = cot (x + ), la función cot tiene periodo sec x = sec (x + 2 ), la función sec tiene periodo 2 csc x = csc (x + 2 ), la función csc tiene periodo 2

Vocabulario 1 2

3



11.4. Grá…cas de las Funciones Trigonométricas Hemos visto que las funciones trigonométricas son funciones períodicas. Presentamos las grá…cas de ellas. En estas grá…cas se puede observar la periodicidad de ellas. 222

11.4 Grá…cas de las Funciones Trigonométricas

1.0

y

1.0

y

0.5

-10

0.5

-5

5

10

x

-0.5

-10

-5

5

-1.0

-1.0

y = sin x

y = cos x

y

y

2 1

-4

-2

2 1

2

4

-1

-4

x

-2

2

x

-2

y = tan x

y = cot x

y

y

2

-5

4

-1

-2

-10

10

x

-0.5

5

10

x

-10

-2

2

-5

5

10

x

-2

y = sec x

y = csc x

Las funciones seno y coseno son períodicas y su valor se encuentra entre 1 y 1. Procedemos a generalizar este concepto. Consideremos a la función trigonométrica y = a sen bx; el valor máximo que toma es jaj y el valor mínimo es jaj. Llamamos amplitud de la grá…ca de y = a sen bx o y = a cos bx al número jaj. Además las funciones y = a sen bx; y = a cos bx son períodicas con periodo 2b . Presentamos algunas grá…cas de este tipo de funciones. Ejemplo 11.9 a) La función y = 5 sen 7x tiene amplitud 5 y periodo 223

2 7

.

11 Trigonometría

y

4 2

-2

-1

1

2

x

-2 -4

b) La función y =

3 cos 12 x tiene amplitud 3 y periodo 4 .

y

3 2 1

-15

-10

-5

5

10

-1

15

x

-2 -3

Se tiene que las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante, aunque son periodicas no tienen de…nidas la amplitud.

Vocabulario 1 2

3



224

11.5 Ley de los Senos

11.5. Ley de los Senos Iniciamos esta sección con una de…nición De…nición 11.2 Un triángulo que no contiene un ángulo recto es llamado triángulo oblicuángulo. En general, un triángulo queda determinado por tres de sus seis partes (ángulos y lados) siempre y cuando una de sus partes sea un lado, por lo que se tienen las siguientes cuatro posibiidades. Caso I Se conocen un lado del triángulo y dos de sus ángulos (LAA ó ALA).

Caso II Se conocen dos lados y un ángulo opuesto a ellos (LLA).

Caso III Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).

225

11 Trigonometría Caso IV Se conocen tres lados (LLL).

En cada uno de estos casos, excepto el Caso II, queda determinado un único triángulo con base a la información dada. El Caso II presenta una situación donde pudieran existir dos triángulos, un único triángulo o ningun triángulo con las propiedades dadas. Por esta razon, el Caso II se conoce como el caso ambiguo. La ley de los senos se usará para determinar los triánguos en los Casos I y II. Para los Casos III y IV se utilizará la ley de los cosenos. El determinar los elementos faltantes de un triángulo dada cierta información será llamado el resolver el triangulo. Consideremos el siguiente triángulo 4ABC

con vértices en los puntos A; B y C, lados a; b; c y ángulos ; referencias establecemos la ley de los senos.

y . Con estas

Teorema 11.2 (Ley de los Senos) Los lados de cualquier triángulo son proporcionales a los senos de los ánguos opuestos a esos lados. Esto es a sen

=

b sen

226

=

c sen

11.5 Ley de los Senos Demostración: Tracemos una perpendicuar al lado BC a partír del vértice A. Sea D el punto de intersección de la perpendicular trazada con el lado BC. Sea h la longitud del segmento AD.

Entonces los triángulos 4DCA y 4BDA son triángulos rectángulos por lo que h h sen = ; sen = b c Despejando h en las dos expresiones anteriores h = b sen ; h = c sen por lo que b sen

= c sen

y b c = sen sen Se puede demostrar en forma similar que b sen

=

a sen

Consideremos ahora el caso cuando el triángulo es un triángulo obtuso como el mostrado

227

11 Trigonometría Los triángulos 4DCA y 4BDA son triángulos rectángulos por lo que se tiene que h h sen (180 ) = ; sen = b a Pero sen (180 ) = sen y sen

=

h ; sen b

=

h a

de donde se sigue b sen

=

a sen

=

c sen

Un argumento similar muestra que b sen

Ejemplo 11.10 Consideremos el triángulo 4ABC

con a = 14 km; = 21 ; restantes del triángulo. Para esto = 180 21

= 35 . Procederemos a determinar los valores 35 = 124 y de la ley de los senos se tiene 14 b = sen 21 sen 35

por lo que b=

14 sen 35 = 22;4 sen 21 228

11.5 Ley de los Senos y 14 sen 21

c sen 124 14 sen 124 c = = 32;387 sen 21 =

Los siguientes dos casos son llamados el caso ambiguo, el primer ejemplo muestra cuando existen dos posibles soluciones y el segundo cuando no existe solución. Ejemplo 11.11 Consideremos el triángulo

Si a = 1; b = 2 y por determinar. Sabemos que

= 20 existen dos posibilidades para los restantes valores a sen

=

b sen

por lo que b sen = 0;6840 a Pueden haber dos valores de : un ángulo agudo y uno obtuso sen

=

= 43;2 ó por lo que

= 180

43;2 = 136;8

tendrá también dos posibilidades = 180

= 116;8

= 180

= 23;2

ó y c=

a sen sen

= 2;61

c=

a sen sen

= 1;15

ó bién

229

11 Trigonometría Por lo tanto, las posibles soluciones son a = 1; b = 2; c = 2;61;

= 20 ;

= 43;2 ;

= 116;8

a = 1; b = 2; c = 1;15;

= 20 ;

= 136;8 ;

= 23;2

y

Ejemplo 11.12 Consideremos el triángulo con a = 1; b = 2 y senos se tiene que 1 2 = sen 45 sen por lo que sen

=2

= 45 , aplicando la ley de los

p

2 p = 2 2

Dado que el valor máximo del seno es 1, no existe triangulo que satisfaga lo anterior.

Vocabulario 1 2

3



230

11.6 Ley de los Cosenos

11.6. Ley de los Cosenos La ley de los cosenos es una herramienta para determinar los vaores restantes de un triángulo cuando se tiene los casos III y IV (LAL y LLL). Consideremos el triángulo

Se puede observar que las coordenadas de B son (0; 0) y las de C son (a; 0). Podemos determinar las coordenadas de A, estas son (c cos ; c sen ). Con esto en mente procedemos a establecer el teorema de la ley de los cosenos. Este teorema es una generalización de el Teorema de Pitágoras. Teorema 11.3 (Ley de los Cosenos) En cualquier triángulo se satisface que a2 = b 2 + c 2 b 2 = a2 + c 2 c 2 = a2 + b 2

2ab cos 2ac cos 2bc cos

Demostración: Cosideremos la distancia del vértice A al vértice C, esta es b. Pero de la fórmula de la distancia tenemos q b = (a c cos )2 + (0 c sen )2

Elevando al cuadrado ambos lados b2 = = = = =

(a c cos )2 + (0 c sen )2 a2 2ac cos + c2 cos2 + c2 sen2 a2 2ac cos + c2 cos2 + sen2 a2 2ac cos + c2 a2 + c2 2ac cos

Intercambiando los nombres de los vértices, ángulos y lados se obtienen las otras igualdades. Procederemos ahora a resolver algunos triángulos. 231

11 Trigonometría Ejemplo 11.13 1. Si el triángulo tiene b = 27; c = 14 y datos faltantes como sigue a2 = 272 + 142 = 272 + 142 = 372: 1 p por lo que a = 372;1 = 19: 29.

= 43 podemos determinar los

2 (27) (14) cos 43 2 (27) (14) (0;731 35)

Los elementos restantes pueden ser calculados, ya sea bien con la ley de los cosenos o la ley de los senos. Primero, con la ley de los senos se tiene sen

=

b sen a

=

27 sen 43 27 (0;682 ) = = 0;954 59 19;290 19;290

por lo que = 72: 668 Usando la ley de los cosenos tenemos para el mismo ángulo cos

=

a2 + c 2 b 2 19;292 + 142 272 = = 2ac 2 (19;29) (14)

0;297 89

y = 72: 668 podemos observar que los resultados son idénticos. = 180

= 180

72;668

43 = 64: 332

2. Si a = 5;2; b = 3;7 y c = 7;1 procederemos a determinar el ángulo . De la ley de los cosenos cos

=

5;22 + 7;12 3;72 a2 + c 2 b 2 = = 0;863 49 2ac 2 (5;2) (7;1)

y = 30;29

Vocabulario 1 2

3


11.6 Ley de los Cosenos


233

11 Trigonometría

234

12

Los Números Complejos

12.1. Introducción Hemos visto que algunas ecuaciones cuadráticas tienen solución dentro del campo de los núeros reales. Une ejemplo de ellas es la ecuación x2 +1 = 0. A …n de que todas las ecuaciones cuadráticas tengan solución, es necesario introducir un nuevo objeto. Este objeto se de…nirá como la solución de la ecuación x2 +1 = 0 y extenderemos el campo de los números reales a otro campo más amplio. Con este nuevo objeto tendremos que toda ecuación cuadrática siempre tendrá dos soluciones. De…nición 12.1 Un número complejo z, dado en la forma z = a + bi, donde a y b son números reales y el elemento i es tal que i2 = 1. El elemento i no es un número real dado que no existe un real que satisfaga la expresión i2 = 1. Decimos que i es la unidad imaginaria. El conjunto de los números complejos es denotado por C y está de…nido como C = fz = a + bi; a; b 2 Rg Observación: 1. Como se tiene que i2 = 1, entonces podemos pensar que i = p por lo que asumiremos que i = 1. 2. Se tiene que el inverso multiplicativo de i es

i. Esto es

1 i

=

p

1,

i.

3. El número real a es llamado la parte real de z y b es llamada la parte imaginaria,Esto es denotado por Re z = a; Im z = b. Decimos que el número complejo z = a + bi está dado en su forma estandar.

12 Los Números Complejos 4. Si a = 0 el número z = bi se dice que es un número imaginario puro o simplemente imaginario, si b = 0 el número z = a es un número real. 5. Se puede observar que R

C, por lo que se tiene N

Z

Q

R

C.

Ejemplo 12.1 Los siguientes números son ejemplos de números complejos p 5. 3 + 4 = 3 + 2i 1. 3 4i p 6. 25 = 5i 2. 1 + 2i p 7. 2 36 = 2 6i 3. 7i p p p 8. 12 = 2 3i 4. 2i

Vocabulario 1 2

3



12.2. Aritmética de los Números Complejos Para iniciar con la aritmética de los números complejos calcularemos algunas potencias de la unidad imaginaria i. Por de…nición i0 = 1 i1 = i i2 = 1 236

12.2 Aritmética de los Números Complejos por lo que i3 i4 i5 i6

= = = =

i2 i = ( 1) i = i i2 i2 = ( 1) ( 1) = 1 i2 i3 = (1) ( i) = i i3 i3 = ( i) ( i) = i2 =

1

Tenemos el siguiente resultado Teorema 12.1 Para cualquier entero m se tiene que im = im mod 4 Demostración: La demostración es directa ya que cualquier entero m puede ser expresado como m = 4n + k donde k puede ser 0; 1; 2 o 3. Así im = i4n+k = i4n ik n = i4 ik = (1) ik = ik Esto es im = im mod 4

Ejemplo 12.2 Calculemos las siguientes potencias de i 1. i341 = i341 mod 4 = i1 = i

3. i210 = i210 mod 4 = i2 =

1

2. i2192 = i2192 mod 4 = i0 = 1

4. i451 = i451 mod 4 = i3 =

i

Con estos resultados en mente podemos calcular las siguientes expresiones Ejemplo 12.3 Consideremos las expresiones siguientes 1. i5 + 5i4 2. 6i3 3. i

13

3i + 4 = 9

4i5 + 15i9 = 5i =

1 i13

=

1 i

=

i

2i

4. i

55

=i

5. i66 =

55 mod 4

1

6. i7 (1 + i2 ) = 0 237

= i1 = i

12 Los Números Complejos 7. i8 + 2i6

3i4 + 2i2

8. i6

6

5=

1=

9. 2i4 (1 + i3 ) = 2

7

2i

Procederemos ahora a de…nir las operaciones con números complejos. Estas operaciones son una extensión natural de las operaciones con números reales De…nición 12.2 Sean z1 = a + bi y z2 = c + di dos números complejos, se de…ne 1. z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i 2. z1

z2 = (a + bi)

(c + di) = (a

3. z1 z2 = (a + bi) (c + di) = (ac

c) + (b

d) i

bd) + (bc + ad) i

Tenemos los siguientes ejemplos: Ejemplo 12.4 1.

4. i (3

(5 6i) + (2 + 4i) = 7 2i (5 6i) (2 + 4i) = 3 10i (5 6i) (2 + 4i) = 34 + 8i 2. 4 (2 + 5i) 3. (4

(3

4i)

5. ( 2 + 3i) (8 6. (5

2i)

7. 2

p

8.

3i) (2 + i)

2i)2

3+

p

i)

( 3 + 6i) 4

3 25

p 8

16 p

36

Para resolver ciertas ecuaciones que involucran números complejos es necesario de…nir la igualdad de números complejos. De…nición 12.3 Dos números complejos son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. Es decir, si z1 = a + bi y z2 = c + di entonces z1 = z2 si y sólo sí a = c y b = d. Ejemplo 12.5 Resolver las ecuaciones: 1. (2x + 1) + ( 2y + 3) i = 2

4i

Para esto, se tiene que las partes reales e imaginarias correspondientes deben de ser iguales, por lo que se tiene 2x + 1 = 2 2y + 3 = 4 La solución a este último sistema es x = 12 ; y = 72 , por lo que esta es la solución a la ecuación original. 238

12.2 Aritmética de los Números Complejos 2. (2x

y) + 9i = 8 + 3yi

Al comparar las partes reales e imaginarias tenemos el sistema 2x

y = 0 9 = 3y

Por lo tanto la solución a la ecuación compleja es x = 32 ; y = 3. 3. 4 + (x + 2y) i = x + 2i: Comparando partes reales e imaginarias se tiene 4 = x x + 2y = 2 por lo que la solución a la ecuación original es x = 4; y = 4. (2x + y)

1.

16i = 10 + 4yi

Comparando partes reales e imaginarias se tiene 2x + y = 10 16 = 4y por lo que la solución a la ecuación original es x = 7; y =

4.

Observación: Los números complejos satisfacen lo siguiente: 1. Los axiomas de asociatividad,conmutatividad y distributividad en los números complejos se cumplen al igual que en los número reales. 2. La identidad aditiva es el número 0 = 0 + 0i 3. La identidad multiplicativa es el número 1 = 1 + 0i 4. El inverso aditivo de z = a + bi es 5. El inverso multiplicativo de i es

z=

a

bi

i:

La demostración de estos resultados es dejada al lector. La existencia del inverso multiplicativo de un número complejo es establecida en el siguiente teorema Teorema 12.2 (Inverso Multiplicativo Complejo) Todo número complejo no nulo tiene un inverso multiplicativo. Esto es, si z = a + bi 6= 0 tiene un inverso multiplicativo complejo z1 = x + iy que es solución de la ecuación (a + bi) (x + iy) = 1 = 1 + 0i 239

12 Los Números Complejos Demostración: Por la de…nición de la multiplicación de números complejos, se deben de determinar dos números reales x y y tales que ax by = 1 bx + ay = 0 Multiplicando la primera ecuación por a y la segunda ecuación por b y sumando estas ecuaciones se obtiene a2 + b 2 x = a dado que a + bi 6= 0 se tiene que al menos uno de los números a o b es diferente de cero y a2 + b2 6= 0 por lo que x=

a2

a + b2

a2

b + b2

Similarmente y= por lo que

1 a = x + yi = 2 z a + b2 a bi = 2 a + b2

a2

b i + b2

o simplemente a bi 1 = 2 a + bi a + b2 A …n de simpli…car notación, introducimos una operación unitaria, el conjugado de un número complejo De…nición 12.4 Si z = a + bi es un número complejo, el conjugado de z, denotado por z, se de…ne como el número complejo z = a bi. Ejemplo 12.6 1. z = 5 + 3i; z = 5 2. z =

5

3i; z =

3. z = 7i; z =

3i

4. z = 8; z = 8

5 + 3i

Observación: Sea z = a + bi, entonces 1. z = z si y sólo sí b = 0. 240

7i

12.2 Aritmética de los Números Complejos 2. z =

z si y sólo sí a = 0

3. z + z = 2a, esto es a =

z+z 2

4. z

z z 2i

z = 2bi, esto es b =

5. zz = a2 + b2

Otra operación unitaria importante en los números complejos es el módulo de un número complejo. Este concepto es el equivalente al concepto de valor absoluto en los reales. De…nición 12.5 Si z = a + bi es un número complejo, el módulo de z, denotado por jzj, se p de…ne como el número real jzj = a2 + b2 . Este número también es llamado la magnitud o norma de z. Teorema 12.3 Sean z y w dos números complejos cualesquiera, entonces 1. z + w = z + w 2. ( z) =

z

3. z = z 4. wz = wz 5.

z w

=

z w

para w 6= 0

6. Re z =

z+z 2

7. Im z =

z z 2i

8. zz = jzj2 9. jzj = jzj Demostración: Todas estas propiedades se siguen de las de…niciones correspondientes. Con esta notación en mente tenemos entonces que 1 1 1 = 2z = z z zz jzj 241

12 Los Números Complejos Ejemplo 12.7 Sean z = 5 + 3i entonces z+z z z zz jzj 1 z

= 10 = 6i = ( 5)2 + 32 = 34 p = 34 1 5 = ( 5 3i) = 34 34

3 i 34

Procederemos ahora a de…nir la división de dos números complejos. Se de…ne la división de dos númerso complejos z1 y z2 , representada por zz21 como z1 1 = z1 z2 z2 Podemos observar que z1 1 = z1 z2 z2 1 = z1 z2 z2 z 2 z1 z 2 = z2 z 2 Esto es, el dividir un número complejo z1 por otro complejo z2 es equivalente a multiplicar por z 2 tanto el numerador como al denominador. Esto lo ilustramos en los siguientes ejemplos Ejemplo 12.8 Efectuamos las siguientes divisiones 1.

3 2+4i

=

3 2 4i 2+4i 2 4i

=

3(2 4i) 22 +42

2.

1 7i 6 2i

=

1 7i 6+2i 6 2i 6+2i

=

(1 7i)(6+2i) (6 2i)(6+2i)

3. 4.

5.

4+6i 2+7i

=

4+6i 2 7i 2+7i 2 7i

=

=

6 12i 20

=

=

3 10

20 40i 40

( 4+6i)(2 7i) (2+7i)(2 7i)

p p p 4+p 8 4+2 2i 2+3i 4+2 2i = = 2 3i 2+3i 2 p9 p 2 3i 8 6 2 4 2+12 + 13 i 13 p p 36 49 p = (6i)(7i) = 21 i 16 (4i) 2

= =

3 i 5

=

1 2

34+40i 53 p

(4+2

=

34 53

+

2i)(2+3i) (2 3i)(2+3i)

Vocabulario 242

i 40 i 53

=

(8

p p 6 2)+(4 2+12)i 13

=

12.2 Aritmética de los Números Complejos 1 2

3


Ejercicios de la Sección 12.2 1. Efectue las operaciones indicadas, expresando su respuesta como un número complejo de la forma x + yi. a) (2 + 5i) + (4 i) b) (2 + 5i) (4 i) c) (2 + 5i)(4 i) d) (2 5i)(4 + i)

f) 24+i5i g) (a + bi)2 h) (a + bi)(a i) a 1bi

e) 2+5i 4 i

j)

p

2 2

+

p

2 i 2

bi) 2

2. Demuestre que la suma de dos números complejos imaginarios puros es un número imaginario puro o cero. 3. Demuestre que el conjugado del conjugado de a + bi es a

bi.

4. Demuestre que la suma de un número complejo y su conjugado es el doble de la parte real del número y que la diferencia es el doble de la parte imaginaria del número multiplicado por i. 5. Demuestre que un número complejo es igual a su conjugado si y sólo si el número es real. 6. Resuelva las siguientes ecuaciones (despeje z): 2z 5i = 0 3 b) (4 + i)z = 2 iz c) = 3 4i 2

2z 4i =1 z+i e) z 2 + 5z + 6 = 0

d)

a)

5i

f ) z 2 + (3 + 2i)z + 6i = 0 243

g) z 2 + 5iz

6=0

h) iz 2 + 7z

12i = 0

12 Los Números Complejos 7. Demuestre que si la suma y el producto de dos números complejos son ambos reales, entonces, o bien ambos números son reales, o bien uno de los números es el conjugado del otro. 8. Demuestre que para todo entrero positivo n, se tiene a) i4n = 1

b) i4n+1 = i

c) i4n+2 =

1

d) i4n+3 =

i

e) in+4 = in

12.3. Representación Geométrica de un Número Complejo Un número complejo z = a + bi queda determinado en forma única por un par ordenado de números reales de la forma (a; b) y viceversa. Por ejemplo, al par (3; 2) le corresponde el número complejo z = 3 + 2i. Una vez hecha esta identi…ación de un número complejo con un par ordenado, podemos representar el número complejo en lo que es llamado el plano complejo o plano de Argand1 . Se acostumbra llamar al eje horizontal el eje real y al eje vertical el eje imaginario. Por ejemplo, el número complejo 3 + 2i es representado como (3; 2)

eje imaginario

5 4 3

z=3+2i 2 1

-1

1

2

3

4

5

eje real

-1

Ejemplo 12.9 Podemos representar los números complejos z1 = 5 + 4i; z2 = y z4 = 4 + 2i en el plano complejo 1 Jean

2i; z3 = 2

3i

Robert Argand (17 de julio de 1768 - 13 de agosto de 1822) Matemático autodidacta francés nacido en Suiza, quien describió en “Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques” (Ensayo sobre una forma de representar las cantidades imaginarias mediante construcciones geométricas) en 1813 publicado en la revista sa Annales de Mathématiques un método para representar gra…camente los números complejos.

244

12.3 Representación Geométrica de un Número Complejo

Im

6

5+4i 4

-4+2i 2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -2

-2i

2

3

4

5

6

Re

2-3i

-4 -6

p Recordemos que si z = a + bi, la magnitud de z está de…nida como jzj = a2 + b2 y se tiene que si P = (a; b) es su representación geométrica en el plano complejo entonces la distancia de P al origen está dada por jzj Se tienen las siguientes propiedades:

Teorema 12.4 (Propiedades de la magnitud de un complejo) Sean z; w 2 C, entonces 1. Re z

2. jzj

jzj ; Im z

jzj

0

3. jzj = 0 si y sólo sí z = 0 4. jz + wj 5. jjzj

jwjj

jzj + jwj jz

wj

Demostración: Las demostraciones de las partes 1, 2, y 3 son directas de la de…nición de la magnitud de un número complejo. Procederemos a demostrar solo las partes 4 y 5. 245

12 Los Números Complejos 4. jz + wj2 = = = =

(z + w) (z + w) (z + w) (z + w) zz + zw + wz + ww jzj2 + zw + zw + jwj2

= jzj2 + 2 Re (zw) + jwj2 jzj2 + 2 jzwj + jwj2 = jzj2 + 2 jzj jwj + jwj2 = jzj2 + 2 jzj jwj + jwj2 = (jzj + jwj)2 de donde jz + wj

jzj + jwj

5. Se tiene que jzj = jz jz

w + wj wj + jwj

Entonces jzj

jwj

jz

(12.1)

wj

Similarmente, al invertir los papeles de z y w jwj = jw jw

z + zj zj + jzj

Entonces (jzj

jwj) = jwj

jzj

jz

wj

Esto es jz

wj

jzj

jwj

(12.2)

De las ecuaciones 12.1 y 12.2 se sigue que jz

wj

jzj

jwj

jz

jjzj

jwjj

jz

wj

o simplemente

Vocabulario 246

wj

12.3 Representación Geométrica de un Número Complejo 1 2

3


Ejercicios de la Sección 12.3 1. Para los valores dados de los números complejos z1 y z2 , encuentre z1 +z2 y represente los puntos z1 , z2 y z1 + z2 en un diagrama de Argand. a) z1 = 1 + 2i; z2 = 3 i b) z1 = 1 + 2i; z2 = 1 2i

c) z1 = 3i; z2 = 2 d) z1 = 4i; z2 = 3i

2. Para los números complejos z dados, encuentre z e iz y represente los tres puntos en un diagrama de Argand. a) z = 3 + 4i b) z = i

c) z = 2 d) z = 3

3i

3. Encuentre el valor absoluto o módulo de cada uno de los números complejos del ejercicio 2. 4. Demuestre que el conjugado de la suma de dos números complejos z1 = x1 + y1 i y z2 = x2 + y2 i es igual a la suma de los conjugados de estos números; esto es, z1 + z2 = z1 + z2 . 5. Demuestre que el conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de estos números; esto es, z1 z2 = z1 z2 . 6. Demuestre que para todo complejo z = x + yi , se cumple x y jzj.

jzj e

7. Demuestre que para todo complejo z = x + yi, se cumple z + z = 2x y z z = 2yi. 8. Demuestre que para dos números complejos cualesquiera, el valor absoluto del producto es igual al producto de sus valores absolutos; esto es, jz1 z2 j = jz1 j jz2 j. 247

12 Los Números Complejos 9. Es posible demostrar que para dos números complejos cualesquiera, el valor absoluto de su suma es menor o igual a la suma de sus valores absolutos; esto es, jz1 + z2 j jz1 j + jz2 j. Indique las razones para cada paso en la siguiente demostración. jz1 + z2 j2 = (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) = (z1 + z2 ) (z 1 + z 2 ) = z1 z1 + z2 z1 + z1 z2 + z2 z2 Ahora, z1 z2 y z2 z1 son conjugados, de modo que z1 z2 + z2 z1 = 2(parte real de z1 z2 ) 2 jz1 z2 j = 2 jz1 j jz2 j = 2 jz1 j jz2 j Por tanto, tenemos jz1 + z2 j2

z1 z1 + 2 jz1 j jz2 j + z2 z2 = jz1 j2 + 2 jz1 j jz2 j + jz2 j2 = (jz1 j + jz2 j)2 ;

de modo que jz1 + z2 j

jz1 j + jz2 j.

12.4. Forma Trigonométrica o Polar de un Número Complejo Dada la representación geométrica de un número complejo, es posible observar que el número complejo a + ib puede tener diferentes representaciónes. La primera representación es como un punto (a; b) en el plano complejo. La segunda representación está relacionada con la distancia del punto (a; b) al origen y el ángulo formado por la recta que une al punto con el origen y el eje horizontal. La siguiente …gura ilustra esta idea

248

12.4 Forma Trigonométrica o Polar de un Número Complejo Se tiene que si r es la distancia del origen al punto P (a; b) entonces p 2 r = a + b2 = jzj y a = r sen , b = r cos donde es el ángulo en posición estandar cuyos lados terminales son el eje horizontal y el lado formado por la recta que paas por el origen y el punto P (a; b). Se tiene entonces que z = a + bi = r cos + ir sen = r (cos + i sen ) El número complejo cos + i sen también es representado como cis . De…nición 12.6 (Forma trigonométrica o polar) Sea z = a + bi un número complejo, la forma trigonométrica o polar de un complejo es z = r (cos + i sen ) = r cis p donde r = a2 + b2 es llamada la magnitud de z y llamada el argumento de z. Si a = 0 cuando b > 0,

= tan 1 ab ; 0 < 2 es = 12 y si b < 0, = 23

Ejemplo 12.10 Podemos representar cualquier número complejo en su forma trigonométrica. Por ejemplo p 1. z = 1 i; 3. z = 1+i = 2 cos 14 + i sen 41 q p p r = 12 + ( 1)2 = 2; 4. z = 1 + 3i = tan 1 11 = 47 ; = 2 cos 23 + i sen 23 p 7 7 z = 2 cos 4 + i sen 4 5. z = 3 = 3 (cos + i sen ) p 2. z = 1 3i; q p 2 6. z = 2i = 2 cos 12 + i sen 21 r = 12 + 3 = 2; = tan

1

p 1

3

=

5 3

;

7. z = 3 + 4i

z = 2 cos 53 + i sen 53

= 5 cos tan

Vocabulario

249

1

4 3

+ i sen tan

1

4 3

12 Los Números Complejos 1 2

3


Ejercicios de la Sección 12.4 1. Determine el módulo de los siguientes números complejos a) j3 4ij b) ji7 j c) j 15ij

d)

p

2

e) j5

i 4ij

2. Exprese el número complejo en forma trigonométrica con 0 a)

p

d) 6i

b)

3+i p 4 3 + 4i

c)

10 + 10i

f)

<2

e) 3 + 2i 3+i

3. Exprese los siguientes números complejos en la forma a + bi, con a y b reales. a) 4 cos

4

+ i sen

c) 34 cis tan 1 35 p d) 5 cis tan 1

4

b) 3 cos 32 + i sen 32

4. Use la forma trigonométrica para calcular z1 z2 y a) z1 = b) z1 =

1 + i; z2 = 1 + i p 2 2 3i; z2 = 5i

250

z1 z2

c) z1 = 2i; z2 = d) z1 =

1 2

3i

3; z2 = 5 + 2i

12.5 Multiplicación y División de Números Complejos en Forma Trigonométrica

12.5. Multiplicación y División de Números Complejos en Forma Trigonométrica Cuando los números complejos están expresados en forma trigonométrica, la multiplicación de ellos es una operación simple. Teorema 12.5 Sean z1 = r1 (cos

1

+ i sen

1)

y z2 = r2 (cos

2

+ i sen

2)

entonces

z1 z2 = r1 r2 (cos ( 1 + 2 ) + i sen ( 1 + 2 )) z1 r1 = (cos ( 1 2 ) + i sen ( 1 2 )) ; z2 6= 0 z2 r2 Demostración: Si z1 = r1 (cos tonces z1 z2 = = = = =

1

+ i sen

1)

y z2 = r2 (cos

2

+ i sen

2)

en-

[r1 (cos 1 + i sen 1 )] [r2 (cos 2 + i sen 2 )] r1 r2 [(cos 1 + i sen 1 ) (cos 2 + i sen 2 )] r1 r2 (cos 1 cos 2 + i cos 1 sen 2 + i sen 1 cos 2 sen 1 sen 2 ) r1 r2 [(cos 1 cos 2 sen 1 sen 2 ) + i (cos 1 sen 2 + sen 1 cos 2 )] r1 r2 (cos ( 1 + 2 ) + i sen ( 1 + 2 ))

Supongamos que z2 6= 0 z1 r1 (cos 1 + i sen 1 ) = z2 r2 (cos 2 + i sen 2 ) r1 (cos 1 + i sen 1 ) (cos 2 = r2 (cos 2 + i sen 2 ) (cos 2 r1 (cos 1 + i sen 1 ) (cos 2 = r2 cos2 2 + sen2 2 r1 (cos 1 + i sen 1 ) (cos 2 = r2 r1 = [(cos 1 cos 2 + sen 1 sen r2 r1 = (cos ( 1 2 ) + i sen ( 1 r2 Ejemplo 12.11 Si z1 = 2 cos 14 + i sen 14

i sen i sen i sen

2)

i sen

2)

2)

2) 2)

+ i (cos

1

sen

= 10 cos

1 1 + 4 3

sen

2 ))

y z2 = 5 cos 13 + i sen 13

z1 z2 = 10 cos

2

+ i sen

7 7 + i sen 12 12 251

entonces

1 1 + 4 3

1

cos

2 )]

12 Los Números Complejos y 5 z1 = z2 2 5 = 2 5 = 2

cos cos cos

1 4

1 3 1 12

1 12

+ i sen + i sen i sen

1 4 1 12

1 3

1 12

Ejemplo p 12.12 p Si z1 = 2 (cos 75 + i sen 75 ) y z2 = 3 2 (cos 60 + i sen 60 ) entonces z1 z2 = 6 (cos (75 + 60 ) + i sen (75 + 60 )) = 6 (cos 135 + i sen 135 ) y 1 z1 = (cos (75 60 ) + i sen (75 z2 3 1 = (cos 15 + i sen 15 ) 3

Vocabulario 1 2

3



252

60 ))

12.6 Potencias de Números Complejos

12.6. Potencias de Números Complejos La aplicacion repetida de la fórmula de la multiplicación da como resultado una fórmula útil para calcular la potencia de un número complejo para cualquier potencia entera positiva n. Teorema 12.6 (Teorema de De Moivre) Sea z = r (cos + i sen ) un número complejo y n un entero positivo, entonces z n = rn (cos n + i sen n ) Ejemplo 12.13 p Para calcular ( 1 i)12 sea z = 1 i entonces r = 2y p por lo que z = 2 cos 54 + i sen 45 por lo que z

12

= = = =

p

5 5 + i sen 2 cos 4 4 5 5 26 cos 12 + i sen 12 4 4 64 (cos 15 + i sen 15 ) 64 12

= tan

12

Ejemplo p p 12.14 25 2 2 + i , entonces r = 1; = 4 por lo que 2 2 p !25 p 2 2 + i = 125 cos 25 + i sen 25 2 2 4 4 25 25 + i sen 4 4 = cos + i sen 4 p 4 p 2 2 = + i 2 2 = cos

Ejemplo p 312.15 1 3i ; se tiene que r = 2; = 1

p

3

3i

5 3

y

5 + i sen 3 3 = 8 (cos 5 + i sen 5 ) = 8 ((cos + i sen )) = 8

= 23 cos 3

Vocabulario 253

5 3

1

1 1

=

5 4

12 Los Números Complejos 1 2

3


Ejercicios de la Sección 12.6 1. Use el teorema de De Moivre para calcular las siguientes potencias y escriba el resultado en la forma a + bi. a) (3 + 3i)5 b)

p

2 2

+

p

3 2

c) p

2 i 2

15

d)

2. Encuentre las dos raíces cuadradas de 1 +

p

3+i

1 i 2

20

7

p

3i. p 3. Encuentre las cuatro raíces cuartas de 8 + 8 3i. p 3 i y represéntelas geométri4. Encuentre las cinco raices quintas de camente. 5. Determine las soluciones de la ecuación x5

243 = 0.

6. Demuestre que el recíproco de r (cos + i sen ) es

1 r

(cos

i sen )

7. Demuestre que [r (cos + i sen )]2 = r2 r (cos 2 + i sen 2 )

12.7. Raíces de Números Complejos Si un número complejo z diferente de cero tiene una raíz n ésima w, entonces wn = z 254

12.7 Raíces de Números Complejos Si las formas trigonométricas para w y z son w = s (cos + i sen ) z = r (cos + i sen ) aplicando el teorema de De Moivre a wn = z se tiene sn (cos n + i sen n ) = r (cos + i sen ) por lo que se tiene que r = sn ó s =

p n

r

Como el argumentos de dos números complejos iguales di…eren por un múltiplo de 2 se debe cumplir que n = + 2k para algún entero k por lo que =

+ 2k n

Sustituyendo en w se tiene p n

z=

p n

r cos

+ 2k + 2k + i sen n n

Esto lo establecemos en el siguiente teorema Teorema 12.7 (Raíces n ésimas) Si z = r (cos + i sen ) y n es un entero positivo, entonces z tiene n raíces n ésimas distintas wk =

p n

r cos

+ 2k + 2k + i sen n n

; k = 0; 1; 2; : : : ; n

1

Observación: Sea z = r (cos + i sen ), entonces 1. Existen n raíces n ésimas de z. 2. El módulo de la raíz n ésima de r es r1=n : 3. Los argumentos de la primera raíz es n . 4. Los argumentos de las raíces restantes son obtenidos al sumar primera raíz.

2k n

a la

5. Las grá…cas de las raíces n ésimas de z estan uniformemente repartidas en un círculo de radio r1=n 255

12 Los Números Complejos

Ejemplo 12.16 Determinar las tres raíces cúbicas de z = 2 + 2i y gra…carlas en el plano complejo. Se tiene que p r = 2 2 = 4 por lo que p z = 2 + 2i = 2 2 cos + i sen 4 4 Se tiene que las raíces son wk = = Esto es w0 w1 w2

p 2 2 p

1 3

cos

4

+ 2k 3

+ 8k 12

2 cos

+ i sen

+ i sen

p h = 2 cos

4

+ 2k 3

+ 8k 12

; k = 0; 1; 2

i

+ i sen = 1: 366 + 0;366 03i 12 12 p 3 3 + i sen = 1+i = 2 cos 4 4 p 17 17 = + i sen 2 cos = 0;366 03 1: 366i 12 12 x2 + y 2 = 8

Im w2

2

1

w1 -2

-1

1

-1

w3

-2

256

2

Re

12.7 Raíces de Números Complejos Ejemplo 12.17 Resuelva la ecuación z 6 + 64 = 0 1

Se tiene que z 6 = trigonométrica es

64 ó z = ( 64) 6 por lo que r = 64;

= . La forma

1

z = [64 (cos + i sen )] 6 por lo que las raíces son 1

zk = (64) 6 = 2 cos

+ 2k + 2k + i sen 6 6 + 2k + 2k + i sen ; k = 0; 1; 2; 3; 4; 5 6 6

cos

Por lo tanto z0 = 2 cos

6

+ i sen

6

=

p

3+i

+ i sen = 2i 2 2 p 5 5 cos + i sen 3 =i 6 6 p 7 7 cos + i sen = 3 i 6 6 3 3 + i sen cos = 2i 2 2 p 11 11 + i sen cos = 3 i 6 6

z1 = 2 cos z2 = 2 z3 = 2 z4 = 2 z5 = 2

Im

3

2

1

-3

-2

-1

1 -1

-2

-3

257

2

3

Re

12 Los Números Complejos

Vocabulario 1 2

3



258

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