Funciones 2n2364

FUNCIONES Cálculo

Al finalizar la sesión el estudiante estará en capacidad de: •

Reconocer las propiedades de una función de variable real (dominio, rango, regla de correspondencia)

•

Deduce el dominio y rango de algunas funciones de acuerdo a propiedades de los números reales.

•

Representa gráficamente funciones elementales, indicando su dominio, rango, intersectos con los ejes y alguna otra propiedad relevante.

•

Aplica propiedades de las funciones para modelar situaciones de ciencia y tecnología prediciendo comportamientos particulares.

Introducción En la Física muchos de los fenómenos que ocurren son modelados por ecuaciones que permiten describir o predecir algún comportamiento en particular. Las variables que conforman las ecuaciones están relacionas por medio de una regla de correspondencia, cabe indicar que estas ecuaciones en el contexto matemático que estudiaremos en la mayoría de casos es una función.

Análisis del movimiento de un móvil con MRUV Un automóvil se mueve a lo largo del eje x con MRUV partiendo de la posición x0 = 0 m con rapidez v0 = 10 m/s y aceleración de 4 m/s2. Utilizando el sofware Modellus 4.0 efectué la simulación del movimiento. Las funciones que modelan el comportamiento de un móvil con MRUV.

1 2 x  x0  v0 t  a t 2

v  v0  a t

Funciones de variable real •

Definición de función: Una relación f : A → B es una función real, si A y B son subconjuntos de R y si para todo elemento x є A le corresponde un único elemento y = f(x) є B .

y=f(x)

f: A → B x → y = f(x) •

•

Dominio de la función: Es el conjunto de valores reales que puede tomar la variable x є A . Rango de la función: Es el conjunto de valores reales que toma la variable y = f(x).

x

Observaciones  Las variables x y f(x) están relacionados por medio de una regla de correspondencia, donde x representa la variable independiente e y=f(x) representa la variable dependiente  El conjunto de pares ordenados (x; f(x)) al ser representados en el plano cartesiano representan la grafica de la función. 5

Funciones de variable real ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función?

y

Es función x

y

x

Observación: Para saber si una grafica representa una función se debe trazar una recta vertical paralela al eje «y» por cualquier valor de «x» del dominio y debe existir una sola imagen (un solo valor de «y» ) del rango.

No es función

Funciones de variable real Halle el dominio siguiente función. f ( x) 

de

la

4x 1 5 x

f ( x)  2 x  5

Una pregunta equivalente para hallar el dominio, es para que valores de la variable x, esta definida la función f(x). Para que f(x) este definida en R se debe cumplir que:

5–x >0 → por lo tanto

dom f   ; 5 

Halle el rango de la siguiente función.  4 ; 2

aquí el dominio será -4 < x ≤ 2 para hallar el rango, hay que hallar la variación de f(x).

4 x  2  8  2x  4  3  2x  5  9

x<5

 3  f ( x)  9 luego

rang f   3; 9]

Funciones de variable real Dadas las siguientes encuentra el dominio .

a. b. c. d. e. f. g.

funciones

f ( x)  x  5 4x 1 f ( x)  x2

Dadas las siguientes encuentra el rango .

a. b.

f ( x)  x 2  1 3 f ( x)  1  x5 x g ( x)  2 x 4 1 x h( x )  1  x3 s( x) 

x2  2x  8 x 2 4 x  5

c. d.

1 x 3 2 5  3x s ( x)  2 f ( x) 

h( x )  x 2  1

2 x  4 3 x  2 0 x3

f ( x)  x 2  4 x  1

e.

g ( x)  x( x  2)

f.

r ( x) 

g.

h( x )  3 x  6 x 2

x x 1

funciones

4 x 5 x  2

Ley de Ohm V  IR Existe una dependencia entre las magnitudes

Composición de Funciones Ejemplo: El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos de determinado modelo es una función de la demanda “x” del mercado. Si una función ingreso mensual y la demanda dependieran del precio “p” por par,tal como se muestra : I= 300p - 2p2 y

p=300 – x/2.

¿Cómo depende I de x?

Composición de Funciones Definición: Sean f y g dos funciones. Sea x en el dominio de g de tal manera que g(x) pertenezca al dominio de f. Entonces la composición fog (f compuesta con g) se define por:

(f o g)(x) = f(g(x))

Composición de Funciones Por ejemplo: g x   x  2

f x   x

 fog x   y

x2 y

g(x)

(fog) (x)

f(x) x 0

2

x 2

-2

Dom(f) = R

Dom(g) = [0, ∞[

Dom(fog) = [2, ∞[

Composición de Funciones

fog x

.

Dom de g

g

.

g(x)

f

.f(g(x))

Ran de f Ran de g Dom de f

Composición de Funciones La función compuesta fog, de dos funciones, f y g se define así: (fog)(x) = f(g(x)) El dominio de fog es el conjunto de todas las x en el dominio de g, tales que g(x) esté en el dominio de f. Dom( fog)  x / x  Dom( g ) y g ( x)  Dom( f )

Ejemplo: Sean las funciones :

f ( x )  x  16 2

y

g ( x) 

x

a) Determinar la regla de correspondencia (fog)(x) y el dominio de fog b) Determinar la regla de correspondencia (gof)(x) y el dominio de gof.

Ejemplo:

Sean las funciones : 1 f ( x)  y g ( x)  x2 Evalúe: a) (fog)(9)

d) (gof)(6)

b) (fog)(4)

e) (gof)(1)

c) fog

c) gof

x

Ejemplo: Sean las funciones :

f ( x)  2 x  4 ;

5  x  7

g ( x)  5  3x ;

3 x  4

a) Determine fog. b) Determine fog(-1).

Composición de Funciones Aplicación Un estudio ambiental de cierta comunidad señala que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será: C  p   0.5 p 2 17 partes por millón cuando la población es de p miles. Se estima que dentro de t años, la población de la comunidad será de: P t  3.1  0.1t 2



miles.

a) Grafique en un plano coordenado la función C(p) indicando su dominio y rango. b) Calcule e interprete la función (CoP)(t)

Bibliografía • Larson, Ron (2011). Precálculo. México D.F: Cengage Learning. (515/L25P) • Stewart, James (2012). Precálculo. México D.F: Cengage Learning. (515/S79)