Funcion Segmentada Y Otras 1p66r

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CÁLCULO DIFERENCIAL

GUÍAS DE MATEMÁTICAS PRIMER SEMESTRE PROGRAMAS DE EDUCACIÓN SUPERIOR Francisco J. Sepúlveda C.

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1905- 2008

Cálculo Diferencial.

Francisco J. Sepúlveda C.

ESCUELA TECNOLÓGICA INSTITUTO TÉCNICO CENTRAL TEMA 1: NÚMEROS REALES, FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN El Cálculo se basa en el sistema de los números reales y sus propiedades. Pero, ¿cuáles son los números reales y sus propiedades? Respondamos a esta pregunta, comenzando con algunos sistemas numéricos más simples. Al principio, el hombre solo requería medir y contar, para ello utilizaba los números naturales, que se representan y definen así: N = {0,1,2,3,4,... } . Con estos números se comienza en el Pre-escolar y Primaria a contar libros, frutas, compañeros de curso, dinero. Si a estos números se les agrega los inversos aditivos de los números naturales diferentes de cero, se obtiene el conjunto de los enteros, que se definen así: Z = {,...,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,... }. Cuando se trata de medir: longitudes, pesos o voltajes, los enteros son inadecuados, no permiten precisión, por estar tan espaciados. Es necesaria ampliar este conjunto. Se llega a considerar cocientes (razones) de los enteros, como números tales como: 3 − 7 8 25 1 , , ,− y . Es te conjunto de números se llaman racionales, y se definen así: 4 8 2 5 3 ⎧ p Q = ⎨ x / x = , p, q ∈ Z , q ≠ 0} . Es decir, todo número , que pueda expresarse como el q ⎩ cociente de dos enteros es un número racional. Luego son racionales: los números naturales, los números enteros, los números decimales con cifra decimal finita y los números decimales con cifra decimal infinita periódica.

¿Sirven los números racionales para medir todas las longitudes? No. Para los griegos 2 era un número inconmensurable, sin embargo fueron los Pitagóricos que descubrieron algunos siglos antes de Cristo que si se construye un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 unidad, la hipotenusa mide 2 unidades. Este número no puede expresarse como el cociente de dos números enteros, tiene cifra decimal infinita no periódica. ( 2 ≈ 1.4142135623730950... Todos los números que tiene cifra decimal infinita no periódica se llaman irracionales y se representan por I = Q!. Son irracionales: 3 ,

5 , 3 7 , π , e y gran cantidad de números más. La unión de todos los números racionales y todos los números irracionales corresponde a los números reales que se denotan así: R = Q ∪ I . Los reales se representan en una recta, llamada recta real. En ella, a cada punto, le corresponde un número real, y todo número real tiene su ubicación en la recta. Por ello se afirma que la RECTA REAL ES COMPLETA, ni sobran números que no estén ubicados en la recta en la recta, ni sobran puntos de la recta donde no hallan números. 7

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En resumen , N es un subconjunto de Z, Z es subconjunto de Q y Q es subconjunto de R. I y Q son conjuntos disyuntos, pero I es también subconjunto de R. Es decir: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R, Q ∪ I = R . La recta real. El conjunto de números reales se puede representar mediante los puntos de una recta horizontal, que se denomina recta real, donde a cada punto le corresponde un único número real. Al número real correspondiente a un punto particular de la recta se le denomina coordenada del punto.

Desigualdades. Dados dos números reales a, entonces: a < b si y solo si b – a es positiva a = b si y solo si a – b = 0 a > b si y solo si a – b es positiva Propiedades. Si m, n ∈ R, tal que m > n, entonces m + c > n + c para todo c ∈ R. Si m, n ∈ R, y m < n, entonces: mc < nc, si c> 0 y mc > nc, si c< 0 m n m n < , si c > 0 y > , si c < 0 c c c c

Intervalos Un intervalo es un subconjunto de la recta real. Clases de intervalos En general, si a y b son números reales, tales que a < b, entonces: Intervalo abierto: ( a , b ) = {x ∈ R : x < b,∧, x > a } = {x ∈ R : a < x < b } Intervalo cerrado: [a, b] = {x ∈ R : x ≤ b,∧ x ≥ a } = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b } Intervalo cerrado-abierto: [a, b ) = {x ∈ R : x < b,∧, x ≥ a } = {x ∈ R : a ≤ x < b } Intervalo abierto-cerrado: (a, b] = {x ∈ R : x ≤ b,∧, x > a } = {x ∈ R : a < x ≤ b } Intervalos al infinito: (- ∞ , b ) = {x ∈ R : x < b } ( a , ∞ ) = {x ∈ R : x > a } [a, ∞ ) = {x ∈ R : x ≥ a } (− ∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b } (− ∞, ∞ ) = R

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EJERCICIOS PROPUESTOS I. Utilizando la notación de intervalos y la notación conjuntista, encontrar en cada uno de los siguientes ejercicios el conjunto correspondiente y representarlo gráficamente. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

[− 3,7] ∪ [2,6] [2,4] ∪ [3,10[ [0,3[∪] − 7,1] [2,6] − [− 3,7] [6,9] ∩ [3,10] ]− 2, ∞[ ∩ [− 3.01,5]

7. 8.

]− 3.01,5]∆]2, ∞[ [− 8.21,2.2[ − ]− 12.1,−6.02]

9.

{x ∈ ℜ / − 3 < x < 2 } ∩ {x ∈ ℜ / x < 1}

10. {x ∈ ℜ / x ≥ 2 } − {x ∈ ℜ / x > 2}

II. Problemas de conjuntos 1. En un colegio se encuestaron a los alumnos de último grado acerca de la carrera que les gusta. A 127 alumnos les gusta la istración de empresas; a 64, la ingeniería; a 98 la medicina; a 33 la istración e ingeniería; a 21 la ingeniería y la medicina; a 52 la istración y la medicina y a 7 les gusta la istración, la ingeniería y la medicina: a. b. c. d.

Elabora el diagrama de Venn del ejercicio. ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? ¿A cuántos alumnos les gusta únicamente la istración? ¿A cuántos alumnos les gusta solamente la ingeniería y medicina?.

2. Una empresa encuestada entre países exportadores arrojó los siguientes datos: 49, exportaron arroz; 34 banano; 18, café; 41, solamente arroz; 21, solamente banano; ningún país exporta arroz y café; ni arroz, banano y café. a. b. c. d.

Elabora un diagrama de Venn del ejercicio. ¿Cuántos países fueron encuestados? ¿Cuántos países exportan café, banano y arroz? ¿Cuántos países exportan solamente café?.

3. Al cerrar la contabilidad al final del día en una pizzería, el cajero contó que 143 personas habían comido pizza; 93 personas comieron pizza de pollo; 42 únicamente de pollo; 36 únicamente de champiñones; 5 únicamente de vegetales; 25 de pollo con champiñones y 12 de pollo, champiñones y vegetales. a. Elabore un diagrama de Venn con el ejercicio. b.¿Cuántas personas comieron pizza de champiñones y vegetales? c. ¿Cuántas personas comieron solamente pizza de champiñones y vegetales? d.¿Cuántas personas comieron únicamente pizza de pollo y vegetales?

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INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad que se satisface para determinados valores reales de la cantidad desconocida llamada incógnita.

Solución de inecuaciones de Primer Grado. Ejemplo: Halle el conjunto solución de la inecuación: 2 + 3x < 5x + 8 2 + 3x < 5x + 8 2 + 3x – 2 – 5x < 5x + 8 – 5x – 2 - 2x < 6 − 2x 6 > −2 −2 x > -3 Luego el conjunto solución es: S = (− 3, ∞ ) = {x ∈ R / x > −3 } Solución de inecuaciones simultáneas de Primer Grado. Ejemplo. Halle el conjunto solución de la inecuación: 4 < 3x – 2 ≤ 10 4 < 3x – 2 ≤ 10 4 + 2 < 3x – 2 + 2 ≤ 10 + 2 6< 3x ≤ 12 2< x ≤ 4 Luego el conjunto solución es: S = (2,4] = {x ∈ R / 2 < x ≤ 4 } Solución de inecuaciones cuadráticas. Ejemplo. Halle el conjunto solución de la inecuación: x2 + 2x – 3 > 0 x2 + 2x – 3 > 0 (x + 3) ( x – 1) > 0 Como el producto de los dos factores es positivo, entonces por propiedades del producto se tiene que: x + 3 > 0, y, x – 1 > 0, de donde x > -3 y x > 1, o , x + 3 < 0, y, x – 1 < 0, de donde x < -3 y x < 1 El conjunto solución se halla mediante la operación: (− 3, ∞ ) ∩ (1, ∞ ) ∪ (− ∞,−3) ∩ (− ∞,1) = (1, ∞ ) ∪ (− ∞,−3) = (− ∞,−3) ∪ (1, ∞ ) = {x ∈ R / x < −3, o, x > 1} Solución de inecuaciones racionales. Ejemplo. x +1 Halle el conjunto solución de la inecuación: ≥ −1 x+2 x +1 ≥ −1 x+2 x +1 +1 ≥ 0 x+2 x +1+ x + 2 ≥0 x+2

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2x + 3 ≥ 0, donde, x ≠ −2 x+2 Como el cociente es positivo, entonces por propiedades del cociente se tiene que: 2x + 3 ≥ 0 , y, x + 2 ≥ 0, o, 2x + 3 ≤ 0 , y, x + 2 ≤ 0 El conjunto solución se halla mediante la operación: 3 3 x ≥ - , y, x > -2, x ≤ - , y, x < -2 2 2 ⎡ 3 ⎞ De esta manera, el conjunto solución está dado por el intervalo: S = (- ∞ ,-2) ∪ ⎢− , ∞ ⎟ = ⎣ 2 ⎠ − 3⎫ ⎧ ⎨ x ∈ R / x < −2, o, x ≥ ⎬ 2 ⎭ ⎩

EJERCICIOS PROPUESTOS

En cada ejercicio 1 a 20, halle el conjunto solución de la desigualdad indicada, e ilustre dicho conjunto solución en la recta real. 11º : 3 − x < 5 + 3 x 1º : 5 x + 2 > x − 6 12 º : 3 − 2 x ≥ 9 + 4 x 2 1 2º : x − ≤ 0 13o : 2 > −3 − 3 x ≥ −7 3 2 5 3 3º : − 2 < 6 − 4 x ≤ 8 14 º : ≤ x 4 4 2 4º : − 3 > − 7 x +1 x x x 15o : < 2− x 3+ x 1 2 < 5º : 16 º : x 2 + 2 x − 15 > 0 x + 1 3x − 1 6º : x 2 − 3 x + 2 > 0 7º :

17 º : x 3 + 1 > x 2 + x

1 4 ≥ 3x − 7 3 − 2 x

3 1 < 2x − 2 2x + 1 x+5 19o : 2 ≤0 x − 7 x + 12 18o :

( (x 20o :

8º: x2 + 9x + 20 < 0 9º: 4x2 – 20x + 25 ≥ 0 2x + 6 10º: ≤0 x−3

2

)

)

− 1 ( x + 3) >0 x2 − 4

(

)

21º Para que un medicamento tenga un efecto benéfico, su concentración sanguínea debe ser mayor que cierto valor llamado nivel terapéutico mínimo. Suponga que la concentración c (en mg/l) de un 20t fármaco t horas después de su ingestión, está dada por c = 2 . Si el nivel terapéutico mínimo t +4 es de 4 mg/l, ¿cuándo se rebasa el nivel?

(

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)

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VALOR ABSOLUTO El VALOR ABSOLUTO se define como: ⎧ x, si x > 0 ⎪ Para x ∈ R, x = ⎨ 0 si x = 0 ⎪− x si x < 0 ⎩ Propiedades del valor absoluto Para todo x, y ∈ R, se tiene: 1. x ≥ 0

2. x = 0 si

y solo si

x=0

3. x = − x 4. x y = xy 5.

x y

=

x y

6. x ≤ a si

y solo si − a ≤ x ≤ a,

7. x ≥ a si

y solo si x ≤ − a o

para a > 0 x ≥ a,

para a ∈ R

Ecuaciones con valor absoluto Determine los valores de x que satisfacen la ecuación: 2 x − 5 = 4

Solución: 2x – 5 = 4, o, 2x – 5 = - 4 2x = 9, o, 2x =1 9 1 x = , o, x = 2 2 ⎧9 1 ⎫ El conjunto solución es S = ⎨ , ⎬ ⎩2 2⎭ Inecuaciones con valor absoluto Determine el conjunto solución de la inecuación: 6 x + 5 ≤ 8 Solución:

6x + 5 ≤ 8

− 8 ≤ 6 x + 5 ≤ 8 , resolviendo esta inecuación simultánea, obtenemos − 8 − 5 ≤ 6x + 5 − 5 ≤ 8 − 5 − 13 ≤ 6 x ≤ 3 13 1 − ≤x≤ . 6 2 13 1⎫ ⎡ − 13 1 ⎤ ⎧ Entonces, el conjunto solución es: S = ⎢ , ⎥ = ⎨x ∈ R /− ≤ x ≤ ⎬ 6 2⎭ ⎣ 6 2⎦ ⎩ Resolver la inecuación: 3x + 6 > 9

Solución:

3x + 6 > 9

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Aplicando propiedades, se tiene que: 3x + 6 < -9, o, 3x + 6 > 9 3x < -15, o, 3x >3 x < -5, o, x > 1 Luego, el conjunto solución es: S = (− ∞,−5) ∪ (1, ∞ ) = {x ∈ R / x < −5, o, x > 1}

EJERCICIOS PROPUESTOS I. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1º : 4 x + 3 = 7

4º : 5 x − 3 = 7

2º : 7 x = 4 − x

5º : 4 x + 5 = 2 x + 3

3º :

x+2 =5 x−2

6º :

3x + 8 =4 2x − 2

II. Obtenga el conjunto solución de la desigualdad indicada e ilustre el conjunto solución en la recta real.

2º : 2 x − 3 < x + 1 3º : x + 2 > 3 4º : 3 x − 4 ≤ 2 5º : 5 − 2 x ≥ 7 6º : 3 − 4 x ≥ 8 7º : x − 3 > 6 8º : 4 x − 3 ≥ 1 9º : 2 x − 1 ≥ x − 2 10º : x > −2 III. Ejercicios de aplicación.

x 2 = x , ¿Cuál es la solución de la inecuación x2 < 25? 2. Exprese cada enunciado en términos de una desigualdad con valor absoluto: a. El radio r de un componente no debe variar más de 0,1 cm de 1 cm. b. La diferencia entre las edades de 2 personas tiene que estar entre 0 y 4 años. c. La distancia entre 2 valores en la recta real debe estar entre 5 y 27 unidades

1. Si se define

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CONCEPTO DE FUNCIÓN Los objetos fundamentales con que tratamos en el Cálculo son funciones. En esta guía se prepara el camino para el Cálculo al analizar las ideas básicas de las funciones: concepto, dominio y rango; sus gráficas y las maneras transformarlas y combinarlas. Una función se puede representar de diferentes modos: mediante una ecuación, en una tabla, con una gráfica o con palabras. Analizaremos los tipos principales de funciones que se presentan en el Cálculo y describiremos el proceso de usarlas como modelos matemáticos de fenómenos del mundo real. Iniciemos con el concepto. Piense en una función como en una máquina, una máquina de calcular. Ésta toma un número (la entrada) y produce un resultado (la salida). A cada número en la entrada le corresponde un único número como salida, pero puede suceder que varios valores diferentes de entrada den el mismo valor de salida. Una definición de función más formal es la siguiente: Una función f definida de A en B, (f: A → B) es una correspondencia que asigna a cada elemento x ∈ A, un único elemento y ∈ B El elemento y ∈ B es el valor de x al aplicarle f y se denota por f(x), que es la imagen de x El conjunto A es el dominio de la función y el conjunto B es el codominio de la función. El rango o recorrido de la función es un subconjunto de B formado por todos los y = f(x) 1

Ejemplo: Halle el dominio y el rango de la función: f(x) =

x −1 Solución. El dominio lo determinamos identificando los valores que puede tomar la variable independiente x. El denominador tiene que ser diferente de 0 y x – 1 debe ser mayor que cero. Entonces: Como x – 1 > 0, implica que x > 1 Luego, el dominio de la función es: D [ f (x)] = (1, ∞ ) = {x ∈ R / x > 1} Para hallar el rango, despejamos x en la ecuación y =

1 x −1

y analizamos los valores

que puede tomar la variable dependiente y. 1 1 , entonces y2 = Como y = x −1 x −1

1+ y2 y2 Como el denominador debe ser diferente de cero y además y no es negativo, entonces el rango de la función es: R [ f ( x)] = (0, ∞ ) = {y ∈ R / y > 0}

Despejamos x mediante procesos algebraicos y llegamos a x =

TIPOS DE FUNCIONES REALES Los tipos de funciones reales más comunes son: 14

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-

Funciones polinómicas Funciones racionales Funciones trascendentes Funciones especiales

1. FUNCIONES POLINÓMICAS

Definición: Una función polinómica es una función de la forma: f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + ax + a0, con n ∈ Z + y x ∈ R Las funciones polinómicas más usadas son: a. Función lineal b. Función cuadrática c. Función cúbica. a. Función lineal. Toda función de la forma y = f(x) = mx + b, donde m y b son números reales, es una función lineal y su representación gráfica es una línea recta. Cuando m = 0, entonces y = f(x) = b recibe el nombre de función constante cuya representación también es una línea recta paralela al eje x. b. Función cuadrática. Toda función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, c son constantes, a ≠ 0, es una función cuadrática y su representación es una parábola. Ejemplo de aplicación: El perímetro de un rectángulo es de 6 cm. Halle: El área en función de x y el área del rectángulo cuando x = 2 cm Solución: El área del rectángulo : A = xy Perímetro del rectángulo: 2x + 2y = 6 Despejando y se tiene: y=3–x Remplazamos y en la ecuación del área: A(x) = x(3 – x) = 3x – x2. Luego A(x) = 3x – x2 A(2) = 3(2) – 22 = 6 – 4 = 2 cm2. Luego el área del rectángulo cuando x = 2 es 2 cm2 c. Función cúbica. Toda función de la forma f(x) =ax3 + bx2 + cx + d, donde a, b, c, d son constantes, a ≠ 0, es una función cúbica EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Encuentre los valores propuestos en cada una de las siguientes funciones: 1. Si f(x) = 3x2+5, halle f(-1), f(0), f(2), f(a), f(a+b) 2. Si h(x) = 3, halle h(-2), h(-1), h(-1/2), h(0), h(a) 3x − 4 3. Si m(x) = , halle m(-4/3), m(0), m(4/3), m(2), m(a2) 2x + 1 4. Si W(x) = x − 2 , halle W(2), W(18), W(11), W(0), W(a) 5. Si S(x) = Sen(x), halle Sen(π/6), Sen(π/4), Sen(π/3), Sen(-π/6), Sen(2π/3)

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II. Dadas las siguientes imágenes, encuentre los valores de “x” correspondientes al valor de la función dada. 1. f(x) = 2, con f(x) = 3x -2; 2. m(x) = 0, con m(x) = x2 +10x +2 3. S(x) = 2, con S(x) 3 , con C(x) = Cos(x) = x2-6x+11 4. G(x) = 5, con G(x) = x + 3 5. C(x) = 2 III. Determine el dominio y el rango de cada función. Trace la gráfica 1. h(x) = 3 2. g(x) = 5x - 2 3. f(x) = 3x2 + 4x + 1 4. F(x) = x3 + 2 1)2

5. f(x) = -(x +

IV. Aplicaciones. 1.El número Q de litros de agua que hay en un estanque, t minutos después de haber empezado a vaciarlo, está dado por: Q(t) = 200(30 – t)2 a. Halle Q cuando t = 0. ¿Cómo se interpreta el valor? b. ¿Al cabo de cuánto tiempo el estanque está vacío? c. Represente gráficamente la función Q 2. Una pista de una milla tiene lados paralelos y extremos semicirculares iguales. Encuentre una fórmula para el área encerrada por la pista, A(d), en términos del diámetro de los semicírculos d. ¿Cuál es el dominio natural de esta función? 3. Un cilindro circular recto de radio r está inscrito en una esfera de radio 2r. Encuentre una fórmula para V(r), el volumen del cilindro , en términos de r.

2. FUNCIONES RACIONALES

f ( x) , g ( x) ≠ 0 representa g ( x) una función racional cuyo dominio son los números reales, excepto aquellos puntos donde g(x) se hace igual a cero.

Si f(x) y g(x) son funciones polinómicas, entonces h(x) =

x+2 , halle: x−4 Dominio, rango e interfectos Asíntotas, si existen Gráfica

Ejemplo. Dada la función racional f(x) = a. b. c.

Solución a. Dominio: Para hallar el dominio analizamos los valores de x para los cuales la función está definida. En este caso x – 4 ≠ 0, es decir, x ≠ 4. Por tanto D(f(x)) = R - {4} x+2 Rango: Si y = , podemos despejar x de la siguiente manera: x−4 y (x – 4) = x + 2; xy – 4y = x + 2; xy – 4y – x = 2; xy – x = 4y + 2; x ( y – 1) = 4y + 2;

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4y + 2 ; y ≠ 1 . Por tanto, R(f(x)) = R - {1} y −1 Intersectos: Si hacemos x = 0, encontramos los intersectos sobre el eje y. Entonces, si x+2 1 x = 0, y = - . Si hacemos y = 0, entonces = 0, de donde x = -2. 2 x−4 1⎞ ⎛ Luego los puntos ⎜ 0,− ⎟, y, (− 2,0 ) son los intersectos sobre el eje y y el eje x 2⎠ ⎝ respectivamente.

x=

b. Asíntotas: Si tabulamos la función para valores cercanos a 4, obtenemos X 3,9 3,99 3,999 X 4,1 4,01 4,001 Y -59 -599 -5999 Y 61 601 6001 Observamos que cuando x “se acerca a” 4 por la izquierda, las imágenes “se acercan a” - ∞ y cuando x “se acerca a” 4 por la derecha, la función “se acerca a” ∞ . Por tanto podemos concluir que x = 4 es una asíntota vertical de la función. Si tabulamos valores de x cada vez más grandes (“x se acerca a ∞ ”) o cada vez más pequeños (“x se acerca a - ∞ ”), vemos que las imágenes “se van acercando” a 1. Esto significa que la recta y = 1 es una asíntota horizontal. c. Gráfica:

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3. FUNCIONES TRASCENDENTES

Llamamos funciones trascendentes, a las funciones: trigonométricas, exponenciales y logarítmicas Dentro de este tipo de funciones reales se encuentran: a. Las funciones trigonométricas b. Las funciones exponenciales c. Las funciones logarítmicas Función Exponencial Si “a” es cualquier número real positivo diferente de 1, entonces f es una función exponencial de base “a”, si y solo si: f: ( x, y ) / y = a x , x ∈ R , o f(x) = ax

{

}

La función exponencial natural, es aquella función que tiene como base el número irracional = 2,71828…o sea la función denotada por: f(x) = ex

e

Función logarítmica El logaritmo de un número positivo n, en la base “a”; con a diferente de 1, es el exponente al que debemos elevar la base para obtener n.

Simbólicamente, si n y a son números positivos y a ≠ 1, entonces logan = x, si y solo si ax = n La función f: R+ → R, definida como f(x) = logax, se llama función logarítmica. La función f: R+ → R, definida como f(x) = logex = ln x , se llama función logarítmica natural Ejemplo: Observe las gráficas de las funciones: f(x) = ex; y = x; f(x) = ln x

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La gráfica de la función exponencial f(x) = ex y la gráfica de la función logaritmo natural f(x) = ln x , son simétricas respecto a la recta y = x. EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Analice el dominio, el rango y la gráfica de cada una de las siguientes funciones: x −1 x+3 2x + 4 x2 −1 2. f(x) = 3. g(x) = 4. h(x) = 5. 1. R(x) = x +1 x−2 x+2 x +1 F(x) = 3x 6. f(x) = ex+1 7. H(x) = ex-1 8. F(x) = - ex 9. h(x) = log2 x + 2 10.

π

F(x) = Sen(x); 11. F(x) = 2Cos(x) 12. G(x) = Sen(x+ ) 2 II. Exprese en forma logarítmica: 1. a5 = m

2. 24 = 16

1

1

3. m 2 = c

4. en = y

3. logm343 = 3

4. logy125 = x 5. lnen = m

5. e 2 = 1,6487

III. Escriba en forma exponencial: 1. log5625 = m 2. logt35 = a

PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN

En cada una de las preguntas marque la respuesta que considere correcta. x+2 . Considere las siguientes afirmaciones: 2x f(x) = 0 solo si x = -2 1 f(x+1) = f(x) + f( ) 2 f(3x) = 3f(x) Si f(x) = 1, entonces x = 2

1º Sea f(x) = I. II. III. IV.

De las anteriores afirmaciones son verdaderas a. I y III b. II y IV c. II y III d. I y IV 2º Si f(x) = 20 + x – x2 y f(a) = 8, entonces “a” es igual a: a. -4 o 3 b. -3 o 4 c. 2 o 5 d. -2 o -5 3º Las funciones f y g están definidas por f(x) = x2 – 4, g(x) = x4 – 18x2 + 81. Los ⎛f⎞ valores de x para los cuales no está definida la función ⎜⎜ ⎟⎟(x) son: ⎝g⎠ a. 3 y 2 19

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b. 3 y -1 c. 3 y -3 d. 2 y -2 x2 − x − 6 . Considere las siguientes afirmaciones: x+2 El dominio de la función son los reales diferentes de -2 El rango de la función son los reales diferentes de -5 y = -5 es una asíntota horizontal x = -2 es una asíntota vertical

4º Sea f(x) = I. II. III. IV.

De las anteriores afirmaciones, son verdaderas: a. I y II b. III y IV c. I y III d. II y IV 5º Un tanque puede llenarse en 4 horas por dos llaves y en 6 12 por la primera de las dos llaves. Si abrimos únicamente la segunda llave, podemos afirmar que el tanque se llenaría en: a. 10 horas 15 minutos b. 10horas 24 minutos c. 10 horas 30 minutos d. 10 horas 45 minutos 3 1 de sus ahorros, el otro de sus ahorros. La 6º Dos estudiantes gastan, el uno los 7 3 suma de lo que les queda es $ 70 000 y la diferencia de sus gastos es $ 15 000. Si “x” representa los ahorros del primer estudiante y “y” los ahorros del segundo estudiante; para saber cuánto tenía ahorrado cada uno de los dos estudiantes, se debe resolver el siguiente sistema: 2 ⎧4 ⎪ 7 y + 3 x = 70000 ⎧12 x + 14 y = 1470000 a. ⎨ b. ⎨ 3 1 ⎩ 9 x − 7 y = 315000 ⎪ x − y = 15000 3 ⎩7 2 ⎧4 ⎪ 7 x + 3 y = 70000 ⎧12 x + 14 y = 1470000 d. ⎨ c. ⎨ 3 1 ⎩ 7 x − 9 y = 315000 ⎪ y − x = 15000 3 ⎩7 7º Dos botes viajan en ángulo recto después de partir de un mismo muelle y a la misma hora. Después de 1 hora, los botes se encuentran separados 13 millas. Si uno viaja 7 millas más rápido que el otro, podemos afirmar que el bote más rápido viaja a: a. 13 millas por hora b. 12 millas por hora c. 11 millas por hora d. 10 millas por hora Con base en las funciones f(x) = x y g(x) =

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x 2 − 4 , responda las preguntas 8 a 10

Cálculo Diferencial.

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8º El dominio de f [g ( x)] es el intervalo: a. ( -4, 4 ) b. (- 2, 2 ) c. (− ∞,−2] ∪ [2, ∞ ) d. (− ∞,−2] ∩ [2, ∞ ) 9º El rango de la función f [g ( x)] es el intervalo: b. (− ∞,0 ) c. (− ∞,0] a. ( -4 , 4 )

d. [0, ∞ )

10º El rango de la función –f(x) es el intervalo: a. ( -4, 4 ) b. (− ∞,0] c. [0, ∞ ) d. (− ∞,0 ) 4. FUNCIONES ESPECIALES Funciones especiales Dentro de este grupo de funciones dedicaremos nuestra atención a: a. Función valor absoluto b. Función parte entera c. Función por partes o función segmentada o función a trozos a. La función Valor Absoluto tiene la característica de que la imagen de cada número real es un ⎧ x si x ≥ 0 número positivo. F(x) = x = ⎨ D(F(x)) = R, R(F(x)) = R+ − < x si x 0 ⎩

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Cálculo Diferencial.

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b. La función Parte Entera se define como f(x) = [x ] = a, donde a ≤ x
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Cálculo Diferencial.

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c. Función Segmentada es aquella función cuyo dominio está dividido en intervalos y en cada uno de ellos la función se define de forma diferente. x < −2 ⎧2 x si ⎪ 2 Ejemplo: F(x) = ⎨ x si − 2 ≤ x ≤ 2 ⎪ 2 si x rel="nofollow">2 ⎩

FUNCIONES INVERSAS Una función es inyectiva o uno a uno si y solo si cada elemento del rango es imagen de uno y solo un elemento del dominio. Simbólicamente: f: A → B es inyectiva si f(x1) = f(x2), entonces x1 = x2 para todo x1, x2 ∈ A

Una función es sobre o sobreyectiva si y solo el codominio es igual al rango. Si una función F(x) es uno a uno y sobre decimos que es Biyectiva, y si es Biyectiva decimos que tiene inversa. Si f : A → B es una función Biyectiva, entonces definimos su inversa como f-1: B → A, tal que f-1(y) = x si y solo si f(x) = y EJERCICIOS PROPUESTOS

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Cálculo Diferencial.

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I. Analice dominio, rango y gráfica de cada una de las siguientes funciones: 1. f(x) = x + 2 ⎧ 1 si ⎪ 5. F(x) = ⎨ 0 si ⎪− 1 si ⎩

3. g(x) = [x ] + 1

2. f ( x) = x − 2 x>0

4. P(x) = 2[x ] ;

x < −2 ⎧2 x si ⎪ 2 6. G ( x) = ⎨ x si − 2 ≤ x ≤ 2 ⎪ 3 si x>2 ⎩

x=0 x<0

II. Determine si la función dada tiene inversa; en caso afirmativo, escríbala. Dibuje la función y su inversa. 1. f(x) = x+1, F: R → R ;

2. h(x) = 1-x2; h: [0, ∞ ) → (− ∞,1]

⎡10 ⎞ 3 x − 10 , S: ⎢ , ∞ ⎟ → [0, ∞ ) ⎣3 ⎠ 3x − 4 ; Q : R − {0} → R − {3} 5. Q(x) = x

4. W(x) = 1 − x 2 , W : [0,1] → [0,1]

3. S(x) =

III. Analice cuáles de las siguientes funciones son: a. Inyectivas, b. Sobreyectivas; c. Biyectivas. 1. f: R → R f(x) =

x 2

4. E: R → R E(x) = x3

2. s: R+ → R , s(x) =

3. z: [0,1] → 0,1

1 x +1

z(x) = x2

5. m : N → N m(x) = x2 + x + 1

IV. Dadas las siguientes funciones, elaborar la gráfica, especificar el tipo de función, hallar el dominio, el rango y determinar dónde es creciente o decreciente. ⎧ x [[ x ]] ⎪ ⎧2x² + 3x + 1 si x < 0 2 ⎪⎪ ⎪ 1. f(x) = ⎨ 2 si 0 ≤ x ≤ 2 2. h(x) = ⎨ x - 1 ⎪log (x - 2) ⎪ x² - x - 12 si x > 2 ⎩ ⎪ ⎪⎩ 3 (x - 4) ⎧ 2x si x < -1 ⎪x + 5 ⎪ 3. F(x) = ⎨x³ - x² - x - 1 ≤ x < 3 ⎪ si x≥3 ⎪ x -3 ⎩

4. g(x) = 3 2x + 2

V. Aplicaciones

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si

x<-2

si

2≤ x<3

si

x≥3

Cálculo Diferencial.

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1.Después de estar en el negocio durante x años, un fabricante de automóviles está haciendo 100 + x + 2x2 unidades por año. El precio de venta (en dólares) por unidad se ha elevado de acuerdo con la fórmula P = 500 + 60x. Escriba una fórmula del ingreso anual R(x) del fabricante después de x años. 2.Partiendo al mediodía, el aeroplano A vuela hacia el norte a 400 millas por hora. Una hora más tarde, el aeroplano B vuela hacia el este a 300 millas por hora. Despreciando la curvatura de la tierra y suponiendo que vuelan a la misma altura, encuentre una fórmula para D(t), la distancia entre los dos aviones t horas después del mediodía. ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Álgebra de funciones Definición Considérense las funciones f y g: a. su suma, denotada por f + g, es la función definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) b. su diferencia, denotada por f – g, es la función definida por (f – g)(x) = f(x) – g(x) c. su producto, denotado por f . g, es la función definida por (f . g)(x) = f(x) . g(x) ⎛f ⎞ f ( x) f d. su cociente, denotado por , es la función definida por ⎜⎜ ⎟⎟( x) = g ( x) g ⎝g⎠

En todos estos casos, el dominio de la función resultante consiste en los valores de x comunes a los dominios de f y g, con el requisito adicional en el cociente que se excluyen los valores de x para los cuales g(x) = 0. Ejemplo. Dadas las funciones f y g definidas por f(x) = x + 1 y g(x) = determinar: ⎛f⎞ a. (f + g)(x) b. (f – g)(x) c. (f . g)(x) d. ⎜⎜ ⎟⎟(x) ⎝g⎠ Solución a. (f + g)(x) = x + 1 + x − 4 b. (f – g)(x) = x + 1 - x − 4 c. (f . g)(x) =

x +1. x − 4

⎛f ⎞ d. ⎜⎜ ⎟⎟(x) = ⎝g⎠

x−4

x +1 x−4

FUNCIÓN COMPUESTA

Dadas dos funciones f y g, la función compuesta, representada por f o g, está definida por (f o g)(x) = f(g(x)) y el dominio de f o g es el conjunto de todos los números x en el dominio de g, tales que g(x) se encuentre en el dominio de f. Ejemplo 1

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Cálculo Diferencial.

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Si f y g están definidas por f(x) = x y g(x) = 2x – 3 (f o g)(x) = f(g(x)) = f(ex – 3) = 2 x − 3 El dominio de g es (− ∞, ∞ ) y el dominio de f es [0, ∞ ) . Así el dominio de f o g es el ⎡3 ⎞ conjunto de números reales para los cuales 2x – 3 ≥ 0 o, lo que es lo mismo ⎢ , ∞ ⎟ ⎣2 ⎠ Ejemplo 2 Dadas las funciones f y g definidas por f(x) = x y g(x) = x2 – 1 Determinar: a. f o f b. g o g c. f o g d. g o f . Determinar asimismo en cada parte el dominio de la función compuesta.

x =4 x; D(f o f)(x) = [0, ∞ ) a. (f o f)(x) = f(f(x)) = f( x ) = 2 2 2 D(g o g)(x) = R b.(g o g)(x) = g(g(x)) = g(x – 1) = (x – 1) – 1 = x4 - 2x2;

c. (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 1) =

x2 −1 ;

D(f o g)(x) = (− ∞,−1] ∪ [1, ∞ )

d.(g o f)(x) = g(f(x)) = g( x ) =( x ) – 1 = x – 1; D(g o f)(x) = [0, ∞ ) 2

FUNCIÓN PAR Y FUNCIÓN IMPAR

a. Se dice que una función f es una función par si para toda x en el dominio de f, f(-x) = f(x) b.Se dice que una función f es una función impar si para toda x en el dominio de f, f(-x) = -f(x) En ambos caso se entiende que – x está en el dominio de f siempre que x lo esté. Ejemplo 1 Determine si la función f(x) = 3x4 – 2x2 + 7 es par o impar. f(-x) = 3(-x)4 – 2(-x)2 + 7 = 3x4 – 2x2 + 7 = f(x). Por lo tanto f(x) es una función par. Ejemplo 2 Determine si la función g(x) = 3x5 + 4x3 – 9x es par o impar. g(-x) = 3(-x)5 + 4(-x)3 – 9(-x) = -3x5 – 4x3 + 9x = - (3x5 + 4x3 – 9x ) = - g(x). Por lo tanto g(x) es una función impar. Ejemplo 3 Haga el mismo análisis anterior para la función h(x) = 2x4 + 7x3 – x2 + 9 h(-x) = 2(-x)4 + 7(-x)3 – (-x)2 + 9 = 2x4 – 7x3 – x2 + 9. La función h(x) no es par ni tampoco impar. EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Halle (fog)(x) de las funciones dadas, encuentre el dominio y el valor indicado. 2. F(x) = x + 4, g(x) = x2-1,

1. f(x) = x-1, g(x) = x + 4, (fog)(2) ; (fog)(0) 3. f(x) =

x

2

+ 4, g(x) = x + 5, (fog)(-2);

(fog)(1)

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4. f(x) =

x +1 ; g(x) = 2x − 4

3x − 2 ,

Cálculo Diferencial.

3

5.f(x)=

x

2

+4

6. Sea f (x) =

,g(x)=

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2x + 3 ,fog)(0) x −1

1 , h (x) = 2x + 1 ,(foh)(3) x −1 2

II. Determine si cada uno de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos. 1. f(x) = 2x4 – 3x2 + 1 2. f(x) = 5x3 – 7x 3. f(s) = s2 + 2s + 2 4. g(x) = x6 –1 z −1 5. h(t) = 5t7 + 1 6. f(x) = x 7. g(z) = 8. f(x) = x3 z +1 +1 III Para las funciones f y g indicadas, defina las funciones siguientes y determine el dominio de la función resultante: a. f + g b. f – g c. f . g f g d. e. f. f o g g. g o f g f 1 x 1. f(x) = x2 – 4 y g(x) = 4x – 3 2. f(x) = y g(x) = x−3 x +1 PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN

En cada una de las preguntas marque la respuesta que considere correcta. Las preguntas 1 y 2 están relacionadas con la función f(x) = 1 + x 2 1º El valor de la función para x = 2 es: a. ± 5 b. − 5 c. 5 d. 3 2º Una función es par si f(-x) = f(x) y es impar si f(-x) = -f(x); debido a esto la función dada es: a. b. c. d.

Par Impar Ni par ni impar Par e impar

3º Un agricultor desea cercar un campo rectangular y luego dividirlo en tres lotes rectangulares mediante dos cercas paralelas a uno de los lados. El agricultor necesita 1000 de alambre. Si x es el largo del campo, el área del campo se expresa correctamente mediante la función:

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x ) 2 b. A(x) = x ( 500 – x) c. A(x) = x ( 1000 – x) d. A(x) = x ( 250 – x)

a. A(x) = x( 250 -

4º El número Q de litros de agua que hay en un estanque, t minutos después de haber empezado a vaciarlo, está dado por Q(t) = 200 ( 30 – t)2 Considere las siguientes afirmaciones: I. La capacidad del tanque es de 180 000 m3 El dominio de la función es [0,180000] II. III. El tanque puede vaciarse en 30 minutos IV. A los 15 minutos de haber de comenzar a vaciarse quedan 90000 m3 en el tanque De las anteriores afirmaciones son verdaderas: a. b. c. d.

I y II III y IV I y III II y IV

5º Una pista de 1 milla tiene lados paralelos y extremos circulares iguales. Una función que represente el área encerrada por la pista en términos del diámetro d de los semicírculos es: π 2 ⎛ 1 − πd ⎞ a. A(d) = ⎜ ⎟d + d 2 ⎝ 2 ⎠ π 2 ⎛ πd − 1 ⎞ b. A(d) = ⎜ ⎟d + d 4 ⎝ 2 ⎠ d c. A(d) = (2 − πd ) 4 d d. A(d) = (πd − 2) 4

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Cálculo Diferencial.

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6º Un cilindro circular recto de radio r está inscrito en una esfera de radio 2r. Una fórmula para el volumen V del cilindro, en términos de r es: a. V(r) = 2 3r 3 b. V(r) = 4 3πr 3 c. V(r) = 3πr 3 d. V(r) = 2 3πr 3

x −1 podemos afirmar: x +1 El rango son los reales diferentes de -1 y = 1 es una asíntota horizontal La función es decreciente a la derecha de -1 Es una función racional

7º De la función f(x) = I. II. III. IV.

Son verdaderas: a. I y II b. III y IV c. II y IV d. I y III Con base en la siguiente información responda las preguntas 8 a 10 Un automóvil se mueve con aceleración constante, según la gráfica que muestra el comportamiento de la velocidad contra el tiempo. Se sabe que el consumo de combustible para un tiempo t está dado por la expresión: C(t) = vt + C0 Donde v es la velocidad del automóvil y C0 es el consumo previo a la observación realizada; t se mide en segundos.

8º La función lineal que representa el comportamiento de la velocidad del automóvil con respecto al tiempo es: a. C(t) = vt + Co C (t ) − C 0 b. V = t c. V = t + 5 d. V = 5t + 5

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Cálculo Diferencial.

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9º Si se sabe que el consumo de combustible C0 = 5 galones y quiere saber cuánto es el consumo después de 2 segundos, debe a. b. c. d.

Resolver una ecuación cuadrática Resolver un sistema de ecuaciones lineales Buscar más datos pues los que hay no son suficientes Resolver una ecuación de segundo grado

10º Si el consumo de combustible en t = 0 era de 10 galones, ¿en qué tiempo el automóvil consume 15 galones? a. b. c. d.

t = 2 segundos t = 0.8 segundos t = 2 segundos t = 5 segundos

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