Funcion Lineal Y Su Aporte En El Campo De La Ingenieria-civil. 6j3t2e

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL “AÑO DE LA CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU” ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL INGENIERIA CIVIL ULADECH-SATIPO

TEMA

: FUNCIONES LINEALES EN LA ING.CIVIL

ASIGNATURA

: MATEMATICA Y LOGICA

1. FUNCION LINEAL Y SU APORTE EN EL CAMPO DE LA INGENIERIA El concepto función es uno de los más básicos en matemáticas y resulta esencial para el estudio del cálculo. Por ello se debe insistir en la importancia de las funciones en la ingenieria. En especial el estudio de la función lineal dado su gran aplicación a situaciones económicas. La función lineal debe analizarse, dándole interpretación económica a la pendiente y la intersección, en las distintas funciones lineales económicas que se utilizan, tales como oferta, demanda, costos, ingreso, ganancia y producción. (Haeussler, 1997; Pindyck y Rubinfeld, 1997) Para el buen desarrollo de las clases es importante una selección adecuada de los métodos a utilizar. Como es conocido, en cualquier contenido matemático que sea objeto de estudio, cuando se introducen problemas de aplicación, aumenta la dificultad en cuanto a la comprensión por parte de los estudiantes. Por esa razón, en las conferencias se utiliza, preferentemente, la exposición problémica y la conversación heurística, en dependencia de la complejidad del problema que se esté resolviendo. Si el problema es de difícil comprensión se utiliza la exposición problémica, en los otros casos se emplea la conversación heurística. (Delgado y Hernández, 2009). Se debe tener en cuenta que la habilidad para resolver problemas matemáticos vinculados con situaciones económicas de aplicación de la función lineal, no se forma a partir de la repetición de acciones ya elaboradas previamente, sin atender a cómo se han asimilado y el nivel de significación que éstas tienen para los estudiantes atendiendo a sus experiencias, su disposición hacia la actividad; de ahí la necesidad de enfocar como parte de la formación de habilidades el sistema de conocimientos (conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos) a partir de situaciones problémicas. Esta habilidad implica también las habilidades docentes, lógicas o intelectuales; que guían el proceso de búsqueda y planteamiento de la solución. Así se destacan habilidades como identificar, observar, describir, denotar, interpretar, analizar, modelar, calcular, fundamentar, valorar, etc. que están presentes en la comprensión y búsqueda de vías de solución, en su descripción y en la valoración de los resultados.

1.1 APLICASION DE LA FUNCION LINEAL A SITUACIONES ECONOMICAS Para aplicar la función lineal a fenómenos económicos, el estudiante tiene que ser capaz de manejar conceptos como demanda y oferta, precio por unidad, relación entre precio y cantidad de producto, entender el significado de costo, ingreso ganancia, producción, consumo, entre otros. El profesor debe hacer un resumen de los principales aspectos teóricos necesarios para la enseñanza de la función lineal aplicada a la economía. A continuación se exponen 10 ejemplos de aplicación de la función lineal a situaciones económicas. Estos problemas resultan de mucha utilidad para los estudiantes de las Licenciaturas en Economía, Contabilidad y Turismo. Este es el momento en que los estudiantes aplican sus conocimientos precedentes a situaciones nuevas para ellos, pero sin dudas interesantes pues están vinculadas con sus especialidades. 1.2 DETERMINACION DE LA ECUACION DE DEMANDA Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $ 58,00 por unidad y de 200 unidades si son a $ 51,00 cada uno. Determinar la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal. Solución: A partir de esta situación el estudiante para darle solución debe combinar elementos de economía con matemática. Tiene que percibir que la cantidad q y el precio p están relacionados linealmente de modo que p═58 cuando q═100, y p═51 cuando q═200. Estos datos pueden ser representados en un plano de coordenadas q, p por los puntos (100, 58) y (200, 51). Con estos puntos se puede encontrar una ecuación de la recta, que sería la ecuación de demanda: P (q) ═ . 65 1007   q 1.3 Determinación de la ecuación de oferta y del tipo de relación entre el precio p y la cantidad q Suponga que un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50 pares cuando el precio es de $35,00 (pesos por par) y 35 pares cuando el precio es de $30,00. a) Determinar la ecuación de oferta suponiendo que el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente. b) Cuando se incrementa el precio ¿qué le ocurre a las cantidades ofrecidas? Solución: A) A medida que el precio se incrementa las cantidades ofrecidas también aumentan, pues tienen una relación directamente proporcional.

2. DETERMINACION DEL PUNTO DE EQUILIBRIO DE COSTO Y SU GRAFICA Cuando en una industria se producen x toneladas de producto al día, 0≤x≤16, el costo total de producción y el ingreso total en cientos de pesos están dados respectivamente por las ecuaciones C(x)= 3x+12 y I(x)=5x. a) Halle el punto de equilibrio. Interprete. b) Represente gráficamente las dos funciones anteriores en un mismo gráfico. c) ¿Para qué valores de x se producen ganancias y para qué valores de x se producen pérdidas?

Solución: Se debe percibir que el punto de equilibrio se determina igualando las dos funciones. a) I(x)= C(x) C (6)= 3(6)+12

5x= 3x+12 C (6)= 18+12 x= 6 C (6)= 30 El punto de equilibrio es (6; 30), significa que cuando se produce y vende la tonelada número 6, el costo y el ingreso son exactamente iguales ($30,00). En este momento la ganancia es cero. b) Para representar en un mismo gráfico ambas funciones lineales muchos estudiantes determinan los ceros, sin embargo el cero de la función de costo es negativo. Este gráfico solo tiene sentido para las x≥0, por lo que los estudiantes representa solo en el primer cuadrante. Dándole valores a las x pueden determinar al menos dos pares ordenados, suficiente para representar una línea recta. .

c) Se debe relacionar estas dos funciones con la ganancia de manera que: G(x)= I(x)-C(x), es fácil concluir a través de una inecuación: I(x)-C(x)>o, que se producen ganancias cuando la producción del producto es mayor que 6 toneladas (x>6) y se producen pérdidas cuando es menor que 6. El análisis gráfico también lo demuestra pues la recta que representa el ingreso (la de color azul) se encuentra por encima de la de costo (la de color rojo) a partir del nivel de producción igual a 6 toneladas 2.1 Determinación de valores en el punto de equilibrio y de la ganancia dado una cantidad específica de unidades

Un fabricante vende un producto a $8 por unidad, vendiendo todo lo que produce. La función de costo total es: C (q)= (22/9) q+5000. a) Encuentre la producción y el ingreso total en el punto de equilibrio. b) Encuentre la ganancia cuando son producidas 1800 unidades.

Solución: a) Es necesario determinar el ingreso total que sería: I=p×q, donde p: precio unitario, q: cantidad de unidades del producto. Sustituyendo quedaría: I (q)=8q. Luego se igualan las funciones de ingreso y costo, resultando: +5000, desarrollando la ecuación se obtiene el valor de q=900 y evaluando en la función de ingreso. Se concluye que en el punto de equilibrio la producción es de 900 productos y el ingreso total es de $7200,00. En este momento el fabricante no obtiene ni ganancias ni perdidas (la ganancia es cero).

3. PROGRAMACION LINEAL La programación lineal (PL), que trata exclusivamente con funciones objetivos y restricciones lineales, es una parte de la programación matemática, y una de las áreas más importantes de la matemática aplicada. Se utiliza en campos como la ingeniería, la economía, la gestión, y muchas otras áreas de la ciencia, y la industria. Debemos notar que cualquier problema de programación lineal requiere identificar cuatro componentes básicos: 1. El conjunto de datos. 2. El conjunto de variables involucradas en el problema, junto con sus dominios respectivos de definición. 3. El conjunto de restricciones lineales del problema que definen el conjunto de soluciones isibles. 4. La función lineal que debe ser optimizada (minimizada o maximizada). Se ilustra de manera clara el alcance de la programación lineal, para familiarizarse con los cuatro elementos descritos. El objeto de la programación lineal es optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal de n variables sujeto a restricciones lineales de igualdades o desigualdades. Más formalmente, se dice que un problema de programación lineal consiste en encontrar el óptimo (máximo o mínimo) de una función lineal en un conjunto que puede expresarse como la intersección de un número finito de hiperplanos y semiespacios en Lo que distingue un problema de programación lineal de cualquier otro problema de optimización es que todas las funciones que en el intervienen son lineales. La única función no lineal hace que el problema no pueda clasificarse como problema de programación lineal. Ténganse en cuenta además que se considera que los problemas tienen siempre un número finito de restricciones. La función lineal f de la ecuación (2.1) se denomina función objetivo o función de coste, y es la función que ha de optimizarse. Obsérvese que en el sistema de ecuaciones e inecuaciones, se presentan todas las posibles alternativas en lo que se refiere a los operadores que relacionan los dos términos de las restricciones (lineales), dependiendo de los valores p y q. Como casos especiales, el problema puede tener exclusivamente restricciones de igualdad, de desigualdad de un tipo, de desigualdad del otro tipo, desigualdades de ambos tipos, igualdades y desigualdades, etc., es decir el tipo de restricciones dependerá del problema que se plantea resolver. 3.1 Problema de programación lineal en forma estándar Un Problema de Programación Lineal puede plantearse de diversas formas, entonces para unificar su análisis, es conveniente transformarlo en lo que normalmente se llama forma estándar. A veces, esta transformación ha de realizarse antes de resolver el problema de programación lineal y determinar el óptimo. Para describir un problema de programación lineal en forma estándar son necesarios los tres elementos siguientes:

1. Un vector c 2 Rn 2. Un vector no negativo b 2 Rm 3. Una matriz A de tamaño m _ n Con estos elementos, el problema lineal asociado y en forma estándar tiene la siguiente forma. Minimizar m__n f(x) = cT x s:a: Ax = b x_0 donde:x 2 Rn, cT x indica producto escalar de los vectores c y x, Ax es el producto de la matriz A y el vector x, y x _ 0 hace que todas la componentes de los Vectores factibles sean no negativas. Los problemas de programación lineal se estudian normalmente en esta forma. Típicamente, n es mucho mayor que m. En resumen, un problema de programación lineal se dice que está en forma estándar si y sólo si: 1. Es de minimización. 2. Sólo incluye restricciones de igualdad. 3. El vector b es no negativo. 4. Las variables x son no negativas. Antes de analizar un problema de programación lineal dada en su forma estándar, es Conveniente mostrar que cualquier problema expresado en la forma (2.1)-(2.2) también Puede expresarse en forma estándar. La forma estándar de función lineal es la igualación de las restricciones del modelo planteado, así como el aumento de variables de holgura, o bien la resta de variables de exceso. Ahora se puede formular al modelo matemático para este problema general de asignación de recursos a actividades. En Datos necesarios para un modelo de programación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades particular, este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para: Optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +....+ cnxn, Sujeta a las restricciones: C11x1 + C12x2 +....+ C1nxn (≥,≤,=) cn1 C1x1 + C22x2 +....+ C2nxn (≥,≤,=) cn2

X1≥ 0, X2 ≥ 0, ......, Xn≥0

Ejemplo 1  Función objetivo Maximizar z=X1 + X2 5X1+ 3X2 ≤15 3X1+ 5x2 ≤15 xj ≥0; j=1,2 Pasos para pasar un problema de programación lineal al FORMATO ESTANDAR, se consideran las siguientes fases: 1). Convertir las desigualdades en igualdades: Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 3.2Variable de holgura Se usa para convertir en igualdad una desigualdad de tipo "≤". La igualdad se obtiene al adicionar en el lado izquierdo de la desigualdad una variable no negativa, que representa el valor que le hace falta al lado izquierdo para ser igual al lado derecho. Esta se conoce como variable de holgura, y en el caso particular en el que las restricciones de tipo se refieren al consumo máximo de un recurso, la variable adicionada cuantifica la cantidad sobrante de recurso (cantidad no utilizada) al poner en ejecución la solución óptima. Todo problema programación lineal que se formula de la forma maximice, con todas sus restricciones y con la condición de no negatividad se le llama forma estándar o forma normal en análisis. Aquí al igual que en el método algebraico, debemos conseguir una solución básica factible, aplicando las variables de holgura o artificiales: quedando el sistema de ecuación así:

Maximizar z=x1+x2 5X1+ 3X2 +X3=15 3X1+ 5X2 +X4=15

Xj ≥0;j=1,2,3,4 Las variables básicas son X3 yX4 y por supuesto en la función objetivo Z.