Fracciones Complejas 5j5h4a

Fracción Algebraica Compleja Es una fracción en la cual el numerador o el denominador (o ambos) son fracciones algebraicas o expresiones mixtas como:

1 x 1 1  a x x 1 y a x 1 1  b x 1 x 1 b Para simplificar una fracción algebraica compleja se aplican los siguientes pasos. 1) Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador y denominador de la fracción compleja. 2) Se divide el resultado que se obtiene en el numerador entre el resultado que se obtiene en el denominador. Ejemplo 1.

4 2  2 x x . Simplificar 1 2 x 

Efectuamos las operaciones del numerador:



Efectuamos las operaciones del denominador: 2 



Luego reescribiendo la fracción y denominador resulta:

4 2 4 x  2 2  2 x  1  2   x x x2 x2

1 2x  1  x x

dividiendo el numerador entre el

4 2 2  2 x  1  2  2 x  1 x 2 x x2  x2    1 2x  1 x2 2x  1 x 2 x x

Ejemplo 2.

a 1 a 1  a  1 a 1 . Simplificar a 1 a 1  a 1 a 1 

Efectuamos las operaciones del numerador:

a  1 a  1  a  1   a  1   a 1 a 1  a  1 a  1 2

2

a  1 a  1 a 2  2a  1  a 2  2a  1   a 1 a 1  a  1 a  1 a 1 a 1 2a 2  2   a  1 a  1  a  1  a  1 





2 a2  1 a 1 a 1   a  1 a  1  a  1  a  1  

Efectuamos las operaciones del denominador:

a  1 a  1  a  1   a  1   a 1 a 1  a  1 a  1 2

2

a  1 a  1 a 2  2a  1  a 2  2a  1   a 1 a 1  a  1 a  1 a 1 a 1 4a   a  1 a  1  a  1 a  1 Reescribiendo la fracción y resulta:



dividiendo el numerador entre el denominador



2 a2  1

a  1 a 1 2  2 a 1 a  1 a  1 a  1 a  1 a2  1     a 1 a  1     a  1 a 1 4a a  1 a  1 4 a 2a     a  1 a  1  a  1 a  1





Ejemplo 3. Simplificar

1 x

.

1

x

1 x 1

Las fracciones de esta forma se llaman continuas y se simplifican efectuando las operaciones indicadas empezando de abajo hacia arriba, así en este caso tendremos:

1 x x

1



1 1 x 1

1  x

x

1 x  x 1 x 1 2

1 x 1 x 2 x  x 1

1 1  3 x  x2  2x  1 x x2  x  1 1 x2  x  1  x x3  x 2  2 x  1 Operaciones del denominador:  



x   1  1 x 2  x  1 1 x   x 1 x 1 x 1

1 x 1  2 x  x 1 x  x 1 x 1 2





x x 2  x  1  x  1 x3  x 2  x  x  1 x 1  x 2  x2  x  1 x  x 1 x2  x  1 x3  x 2  2 x  1  x2  x  1

Ejercicios Resolver las siguientes fracciones algebraicas complejas.

x 3  1. x  4 x  3 1 2  x x4 3 2  5. x  1 x  1 1 5  x 1 x 1

1 1  2. x  2 x  3 1 1  x3 x4

1

6.

1

1

1

x 1 x 1  3. x  2 x  2 8 4 x2

1

7.

x

1 x

x

2

4x  3 x 4. x 1 2 x 4

1 x

Respuestas

x 3  12 x 1. 3 x 2  5 x  12 6. 1  x

7.

2.

2x  1 x 1

x4 x2

3.

3 2x  4

4.

3 x 1

5.

5 x 6  4x