Flujo De Campo Electrico Informe y242q

I.

INTRODUCCION

Una distribución de cargas positivas o negativas da lugar al campo eléctrico. Se llama campo eléctrico a todo el espacio alrededor de un cuerpo, dentro del cual su acción es apreciable. El campo eléctrico presente en cualquier punto determinado se puede descubrir colocando una carga de prueba pequeña y positiva denominada (qo.) El campo eléctrico debido a una distribución de carga y la fuerza que experimentan partículas cargadas en ese campo, se pueden visualizar en términos de las líneas de campo eléctrico. Las líneas del campo eléctrico son continuas en el espacio, en contraste al campo mismo, que está representado por un vector distinto en cada punto del espacio. Para calcular el campo en un punto del espacio se usa por definición la siguiente expresión: Pero hay casos que el campo se puede calcular mediante la ley de gauss; que permite hacerlo fácilmente para distribuciones simétricas de carga tales como cortezas esféricas e hilos infinitos. Para calcular el campo mediante esta ley, en primer lugar tenemos que determinar una superficie gaussiana que es imaginaria y cerrada, de manera que el campo sea constante y que sea paralelo o perpendicular al vector superficie; y también hay que considerar que si el campo es perpendicular al vector superficie, ese producto escalar será cero y si es paralelo, el producto escalar será igual al producto de los módulos ya que el coseno de 90º es igual a cero. El cálculo del campo eléctrico mediante la ley de gauss esta relacionado con las líneas de campo eléctrico. Estas salen de las cargas positivas y entran en las cargas negativas.

II.

OBJETIVOS 2.1 Objetivo General -

Llegar a comprender el tema.

2.2 Objetivos Específicos - Flujo del campo eléctrico. - Ley de Gauss. - Aplicación de la ley de Gauss.

III.

.MARCO TEORICO 3.1 FLUJO DE CAMPO ELECTRICO

El flujo eléctrico o flujo del campo eléctrico (ΦE) es una magnitud escalar que representa el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Su unidad en el Sistema Internacional es el newton por metro cuadrado y por culombio (N·m2/C). Esta definición comprende dos conceptos importantes: 



Por un lado, el número de líneas de fuerza, que como ya estudiamos anteriormente es siempre proporcional al módulo de la intensidad del campo eléctrico. Por otro, la superficie que atraviesan dichas líneas de fuerza. Cada superficie plana se puede representar por medio de un vector S⃗ que se caracteriza porque: o S⃗ es siempre perpendicular a dicha superficie. o El módulo de S⃗ equivale al área de la superficie.

Para calcular el flujo eléctrico consideraremos varios casos: 



Campo eléctrico uniforme o Superficie plana perpendicular al campo eléctrico. o Superficie plana no perpendicular al campo eléctrico. Campo eléctrico no uniforme o Superficie cualquiera abierta. o Superficie cualquiera cerrada.

Flujo eléctrico de un campo eléctrico uniforme a través de una superficie plana perpendicular Si nos atenemos a la definición de flujo eléctrico, cuando disponemos de un campo eléctrico uniforme E⃗ y una superficie S⃗, el flujo eléctrico (ΦE) se puede calcular por medio de la siguiente expresión: ΦE=E⃗ ⋅S⃗

Si consideramos que la superficie es perpendicular al campo eléctrico (es decir, S y E forman un Angulo de 0º entre ellos), aplicando la definición de producto escalar obtenemos que: ΦE=E⃗ ⋅S⃗ =E⋅S⋅cos 0 =E⋅S El flujo eléctrico que atraviesa una superficie plana perpendicular a un campo eléctrico uniforme, viene determinado por la siguiente expresión: ΦE=E⋅S

Flujo eléctrico de un campo eléctrico uniforme a través de una superficie plana no perpendicular En este caso, el ángulo (α) que forman el vector E⃗ y el vector S⃗ no es 0, por tanto el flujo eléctrico dependerá de dicho ángulo: ΦE=E⃗ ⋅S⃗ =E⋅S⋅cos α El flujo eléctrico (ΦE) que atraviesa una superficie plana S⃗ no perpendicular a un campo eléctrico uniforme E⃗ , viene determinado por la siguiente expresión: ΦE=E⋅S⋅cos α

Flujo eléctrico de un campo eléctrico no uniforme a través de cualquier tipo de superficie abierta. Lo más común es que los campos eléctricos no sean uniformes y las superficies no sean planas. En este caso, para calcular el flujo eléctrico es necesario dividir la superficie en pequeñas superficies elementales (dS⃗ ), cuyo carácter infinitesimal nos permita considerar que E⃗ en cada una de esas superficies elementales es constante. De esta forma, podemos definir el flujo que atraviesa cada superficie elemental de la siguiente forma: dΦ=E⃗ ⋅dS⃗ Una vez conocido el flujo que atraviesa cada superficie elemental, el flujo total que atraviesa toda la superficie será la suma de todos esos diferenciales de flujo. El flujo eléctrico que atraviesa una supercie no plana y creado por un campo eléctrico no uniforme se puede calcular por medio de la siguiente expresión: ΦE=∫SE⃗ ⋅dS⃗

Flujo eléctrico de un campo eléctrico no uniforme a través de cualquier tipo de superficie cerrada. Basándonos en el flujo de campo eléctricos no uniformes que atraviesan superficies abiertas, es posible deducir que si disponemos de una superficie cualquiera cerrada, el flujo en dicha superficie se puede obtener como la suma de los flujos de cada una de las superficies abiertas que constituyen dicha superficie. El flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada cualquiera creado por un campo eléctrico no uniforme se puede calcular por medio de la siguiente expresión: ΦE=∮SE⃗ ⋅dS⃗

3.2 CARL FRIEDRICH GAUSS Johann Karl Friedrich Gauss (Gauß) (?·i) (Brunswick, 30 de abril de 1777 – Gotinga, 23 de febrero de 1855), fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de los matemáticos» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Gauss pronto fue reconocido como un niño prodigio, pese a provenir de una familia campesina de padres analfabetos; de él existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente en el bachillerato y completó su magnum opus, Disquisitiones arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque fue publicado en 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

3.3 LEY DE GAUSS

El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε 0.

La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina superficie gaussiana. Matemáticamente,

La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con elteorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835. Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la superficie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas. Campo creado por un plano infinito El campo eléctrico creado por un plano infinito cargado puede ser calculado utilizando la ley de Gauss. En la siguiente figura se ha representado un plano infinito cargado con unadensidad superficial de carga σ (= q/S) uniforme y positiva. Las líneas de campo siempre salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano será uniforme (ya que la densidad de carga lo es) y sus líneas irán hacia afuera de ambos lados del plano.

El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es siempre el mismo (ley de Gauss); en este caso, por simplicidad de cálculo, se ha elegido una superficie gaussiana cilíndrica (representada en rojo en la figura). El flujo a través de la superficie lateral del cilindro es nulo (ninguna línea de campo la atraviesa). Las únicas contribuciones no nulas al flujo son las que se producen a través de sus dos bases. El flujo del campo eléctrico a través del cilindro es entonces:

Como las dos bases del cilindro son iguales y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de su superficie, la integral anterior se simplifica, quedando:

El valor del flujo viene dado por la ley de Gauss

Y q/S es la densidad superficial de carga σ:

Campo en el interior de un condensador

Un condensador o capacitor es un dispositivo formado por dos conductores (denominados armaduras), generalmente con forma de placas, cilindros o láminas, separados por el vacío o por un material dieléctrico (no conduce la electricidad), que se utiliza para almacenar energía eléctrica. La forma más sencilla de un condensador consiste en dos placas metálicas muy cercanas entre sí con cargas q en una y -q en la otra. Este tipo de condensador se denomina plano-paralelo. El módulo del campo eléctrico creado por cada una de las placas del condensador, como se ha visto en el ejemplo anterior, viene dado por:

Las líneas del campo eléctrico creado por la placa cargada positivamente están dirigidas hacia fuera de la misma, lo contrario que ocurre para la placa con carga negativa.

Por tanto, en el exterior del condensador el campo es nulo y en el interior su módulo es el doble del campo que crearía una sola de las placas:

Los condensadores se utilizan en circuitos electrónicos como dispositivos para almacenar energía. El primer condensador fue fabricado en 1746, y estaba constituido por un recipiente de vidrio recubierto por una lámina metálica por dentro y por fuera. Se conoce comúnmente como botella de Leiden.

IV.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un cubo de lado 0.3 m está colocado con un vértice en el origen de coordenadas como se muestra en la figura. Se encuentra en el seno de un campo eléctrico no uniforme, que viene dado por E⃗ =(−5⋅x⋅i⃗ +3⋅z⋅k⃗ ) N/C: a) Halla el flujo eléctrico a través de b) Determina la carga eléctrica total en su interior.

sus

seis

caras.

El flujo total (Φ) que atraviesa el cubo será la suma del flujo que atraviesa cada una de las caras (Φ1,Φ2, ...), o lo que es lo mismo: Φ=Φ1+Φ2+Φ3+Φ4+Φ5+Φ6 Adicionalmente nos centraremos en la definición del flujo eléctrico de un campo uniforme sobre una superficie plana el cual establece que: Φ=E⃗ ⋅S⃗ =E⋅S⋅cos(E⃗ ,S⃗ ) Por esta razón vamos a calcular el flujo para cada una de las caras: Flujo S1 (Φ1) Φ1=E⃗ ⋅S⃗ 1=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(l2⋅i⃗ ) = −5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅i⃗ +3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅i⃗ ⇒Φ1=−5⋅x⋅ l2⋅i⋅i⋅cos(i⃗ ,i⃗ )+3⋅z⋅l2⋅k⋅k⋅cos(i⃗ ,k⃗ ) ⇒Φ1=−5⋅x⋅l2 Durante toda la superficie S1, x vale exactamente el lado del cubo, es decir x = l, por tanto: Φ1=−5⋅l⋅l2 = −5⋅l3 ⇒Φ1=−5⋅(0.3)3 = −13.5⋅10−2 N⋅m2/C Flujo S2 (Φ2) Φ2=E⃗ ⋅S⃗ 2=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(−l2⋅i⃗ ) = 5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅i⃗ −3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅i⃗ ⇒Φ2=5⋅x⋅l 2⋅i⋅i⋅cos(i⃗ ,i⃗ )−3⋅z⋅l2⋅i⋅k⋅cos(i⃗ ,k⃗ ) ⇒Φ2=5⋅x⋅l2 Durante toda la superficie S2, x vale exactamente 0, es decir x = 0, por tanto: Φ2=5⋅0⋅l2 = 0 ⇒Φ2=0 N⋅m2/C Flujo S3 (Φ3) Φ3=E⃗ ⋅S⃗ 3=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(l2⋅k⃗ ) = −5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅k⃗ +3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅k⃗ ⇒Φ3=−5 ⋅x⋅l2⋅i⋅k⋅cos(i⃗ ,k⃗ )+3⋅z⋅l2⋅k⋅k⋅cos(k⃗ ,k⃗ ) ⇒Φ3=3⋅z⋅l2 Durante toda la superficie S3, z vale exactamente l, es decir z = l, por tanto: Φ3=3⋅l⋅l2 = 3⋅0.33⇒Φ3=8.1⋅10−2 N⋅m2/C Flujo S4 (Φ4) Φ4=E⃗ ⋅S⃗ 4=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(−l2⋅k⃗ ) = 5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅k⃗ −3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅k⃗ ⇒Φ4=5⋅x ⋅l2⋅i⋅k⋅cos(i⃗ ,k⃗ )−3⋅z⋅l2⋅k⋅k⋅cos(k⃗ ,k⃗ ) ⇒Φ4=−3⋅z⋅l2

Durante toda la superficie S4, z vale exactamente 0, es decir z = 0, por tanto: Φ4=−3⋅0⋅l2 ⇒Φ4=0 N⋅m2/C Flujo S5 (Φ5) Φ5=E⃗ ⋅S⃗ 5=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(l2⋅j⃗ ) = 5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅j⃗ −3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅j⃗ ⇒Φ5=5⋅x⋅l2⋅ i⋅j⋅cos(i⃗ ,j⃗ )−3⋅z⋅l2⋅i⋅j⋅cos(i⃗ ,j⃗ ) ⇒Φ5=0 N⋅m2/C Flujo S6 (Φ6) Φ6=E⃗ ⋅S⃗ 5=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(−l2⋅j⃗ ) = −5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅j⃗ +3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅j⃗ ⇒Φ6=−5⋅ x⋅l2⋅i⋅j⋅cos(i⃗ ,j⃗ )+3⋅z⋅l2⋅i⋅j⋅cos(i⃗ ,j⃗ ) ⇒Φ6=0 N⋅m2/C a) Flujo TOTAL Φ=8.1⋅10−2 − 13.5⋅10−2 ⇒Φ= −5.4⋅10−2 N⋅m2/C b) Para determinar la carga eléctrica en su interior utilizaremos el teorema de Gauss, que establece que: Φ=Qε0 ⇒Q=Φ⋅ε0 = −5.4⋅10−2 ⋅8.85⋅10−12 ⇒Q= −4.78⋅10−13 C 2. Una carga puntual q está situada en el centro de una superficie esférica de radio R. Calcula el flujo neto de campo eléctrico a través de dicha superficie.

ds

 E

El campo eléctrico creado por una carga puntual viene dado por

 q  E  k 2 ur r En la superficie de la esfera se cumple que r = R, luego

R q

 q  E  k 2 ur R

Para calcular el flujo a través de la superficie esférica, tenemos en cuenta que el campo eléctrico es paralelo a el vector superficie en cada punto, por lo tanto





  E  ds 



k

q

q

R

R2

ds  k 2



ds

El área de una superficie esférica viene dada por S = 4.pi.R2, luego

kq   4 R 2 R2   4 k q

Flujo total:

3.

Independiente de R

Supongamos un cilindro de radio R colocado en el seno de un campo eléctrico uniforme con su eje paralelo al campo. Calcula el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada. El flujo total es la suma de tres términos, dos que corresponden a las bases (b1 y b2) más el que corresponde a la superficie cilíndrica. En ésta última el flujo es cero ya que los vectores superficie y campo son perpendiculares. Así:

 ds

 E  E

 ds

 

b1

 

 ds

 E



  E  ds 



b2

E ds cos  

0



  E  ds



E ds cos 0

El flujo sólo es proporcional a la carga que encierra una superficie, no a la forma de dicha superficie.

4. Dos láminas infinitas no conductoras, con carga uniforme están enfrentadas paralelamente. La de la izquierda tiene una densidad de carga superficial y l. a de la derecha . Halle el campo eléctrico en todas las regiones , para la siguiente configuración :

Solución El campo eléctrico producido por una lámina infinita está dado por:

Normal a la superficie El campo resultante se obtiene por la superposición de los campos generados por cada lámina. Izquierda: Centro:

Derecha:

5. Un cilindro muy largo, macizo, de 5 cm de radio está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4·10-6 C/m3. Determinar, razonadamente, la expresión del campo eléctrico dentro y fuera del cilindro. Determinar la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje del cilindro y otro a 15 cm del mismo. Solución Distribución de carga con simetría cilíndrica.

El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje de cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es

∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=∫E⋅dS⋅cos0=E∫dS=E⋅2πrLbase inferior ∫E⋅dS=0 E⊥S2base superior ∫E⋅dS=0 E⊥S1 ∮E⋅dS=E⋅2πrL Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss ∮E⋅dS=qε0 E=q2πε0rL Para r<5 cm q=4⋅10−6πr2L=4π⋅10−6r2L

Para r>5 cm q=4⋅10−6π(0.05)2L=π⋅10−8L

Gráfica del campo

E=72 000π⋅r N/C

E=180πr N/C

Diferencia de potencial V0−V15=∫00.15E⋅dr=∫00.0572 000 πr⋅dr+∫0.050.15180πr⋅dr=90π(1+2ln3) V

V.

BIBLIOGRAFIA      



http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gauss http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/electrico/fluj o/gauss.htm https://www.fisicalab.com/apartado/flujo-electrico#contenidos http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/elect ro/gauss.html http://elfisicoloco.blogspot.com/2013/02/flujo-del-campo-electricoteorema-de.html https://www.google.com.pe/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web &cd=3&cad=rja&uact=8&ved=0CCgQFjAC&url=http%3A%2F%2Fw wwhypatia31.blogspot.com%2F2012%2F04%2Fley-degauss.html&ei=TJNeVdKANcu6ggStpoDwDA&usg=AFQjCNFCmH5 G6efYpXLVRG4oTjhIUuuaEw&sig2=upG4rnNXT4CbpNl6gJ6oQ&bvm=bv.93990622,d.eXY http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

VI.

ANEXOS