Filtro Iir 5g2g2f

FILTRO DIGITAIS – FILTRO IIR

CONCEITO Filtros com são chamados de filtros com resposta ao Impulso Infinita (IIR –Infinite Impulse Response)

y[n] = 0,6.x[n] + 0,2.x[n-1] + 0,4.y[n – 1]

EXEMPLOS

• De uma maneira geral, os filtros IIR são expressos como:

Forma Direta I de um filtro IIR

Forma Direta II de um filtro IIR.

TÉCNICAS DE PROJETO DE FILTROS

Em processamento digital de sinais há dois importantes tipos de sistemas: o primeiro tipo filtra os sinais no domínio do tempo e são chamados filtros digitais. O segundo tipo provê a representação do sinal no domínio da frequência e são chamados de analisadores de espectro.

TÉCNICAS DE PROJETO DE FILTROS O projeto de um filtro digital tem três os:

• Especificações: determinada pela aplicação a qual o filtro está sendo construído;

• Aproximações: o projeto do filtro especificamente. Aqui, define-se H(z).

• Implementações: a transcrição da função de transferência para hardware ou software.

TÉCNICAS DE PROJETO DE FILTROS Para •   filtros IIR, uma fase linear na banda de agem não é possível. Assim, consideraremos especificações em magnitude apenas. As especificações em magnitude podem ser dadas de duas maneiras:

• Especificações absolutas que proveem um conjunto de requisitos na magnitude da função de transferência, |H()|. Essas especificações são comuns para filtros FIR.

• Especificações relativas que provê os requisitos em decibéis (dB) e é dada por:

ESPECIFICAÇÃO ABSOLUTA DE UM FILTRO A BAIXA

Especificação absoluta de um filtro a-baixa real: banda de agem, banda de transição e banda de corte.

ESPECIFICAÇÃO RELATIVA DE UM FILTRO A BAIXA

Especificação relativa de um filtro a-baixa real

ESPECIFICAÇÃO RELATIVA DE UM FILTRO A BAIXA Os parâmetros das duas especificações são relacionados. Como:

PROJETO DE FILTROS IIR Filtros IIR têm resposta infinita ao impulso, assim eles podem ser igualados a filtros analógicos, os quais, em geral, têm resposta ao impulso infinitamente longa. Assim, a técnica básica de projeto de filtros IIR transforma filtros analógicos bem conhecidos em filtros digitais. Essa técnica é chamada de transformação de filtro analógicadigital (A/D). No entanto, as tabelas de filtros só estão disponíveis para filtros a-baixa.

PROJETO DE FILTROS IIR Para gerar outros filtros seletores de frequência, temos que aplicar transformações a filtros a-baixa. Existem duas formas de projeto de filtros IIR:

PROJETO DE FILTROS IIR Para projetar filtros IIR, vamos: 1) Projetar FPB analógicos; 2) Aplicar transformações no filtro para obter FPB digitais; 3) Aplicar transformações de frequência nas bandas para obter outros filtros digitais a partir do FPB.

ESCALA RELATIVA Seja Ha(jΩ) a resposta em frequência do filtro analógico. Então as especificações do FPB quanto à resposta quadrática de magnitude são dadas por:

ESCALA RELATIVA

Especificações de um filtro a-baixa analógico

ESCALA RELATIVA Os parâmetros ε e A estão relacionados aos parâmetros Rp e As na escala dB como:

ESCALA RELATIVA As tolerâncias da escala absoluta são relacionados a ε e A por:

Especificações de filtros analógicos não têm informação de fase. Para calcular a função de sistema Ha(s) no domínio-s considere:

A transformada de Fourier é equivalente à transformada bilateral de Laplace com argumento complexo s = jω.

MAPEAMENTO Para um sinal amostrado x[n], a transformada de Laplace é dada por: onde T é o período de amostragem.

 Essa relação expressa exatamente a transformada Z quando z =

MAPEAMENTO

PROTÓTIPOS ANALÓGICOS O projeto de filtros IIR reside na existência de filtros analógicos para obter filtros digitais. Esses filtros analógicos são chamados de filtros protótipos. Três protótipos são largamente usados na prática: Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico.

FILTRO A-BAIXA DE BUTTERWORTH A principal característica desse filtro é que a resposta em magnitude é plana (flat) na banda de agem e de corte. A resposta quadrática de magnitude de um FPB de N-ésima ordem é dada por:

onde N é a ordem do filtro e Ωc é a frequência de corte.

FILTRO A-BAIXA DE BUTTERWORTH

Característica de um filtro Butterworth com variação de parâmetros

FILTRO A-BAIXA DE BUTTERWORTH Sua função de sistema Ha(s) é:

Para projetar o filtro, precisamos encontrar as raízes e pólos da função do sistema. O FPB analógico é especificado pelos parâmetros ΩP, ΩS, RP e AS. Assim, a essência do projeto no caso do filtro de Butterworth é obter a ordem N e a frequência de corte dada Ωc.

FILTRO A-BAIXA DE BUTTERWORTH Assim, dadas essas especificações, queremos:

FILTRO A-BAIXA DE BUTTERWORTH Resolvendo as equações para N e Ωc, temos:

Em geral, N não é um inteiro e, por isso, deve ser truncado para o menor inteiro maior que o valor calculado

FILTRO A-BAIXA DE BUTTERWORTH Para satisfazer exatamente as especificações do projeto em Ωp:

ou para satisfazer exatamente as especificações em Ωs:

FILTRO A-BAIXA DE BUTTERWORTH Podemos escolher Ωc entre os dois valores obtidos. Assim, com o valo de N e Ωc pode-se encontrar:

TRANSFORMAÇÃO BILINEAR Para transformar o filtro em digital, podemos usar o método de transformação bilinear. Nele, consideramos:

onde T é um parâmetro. Dada a invariância ao impulso, o parâmetro T não tem consequência no projeto já que, no mapeamento de analógico para discreto, o efeito de T é cancelado. Logo, T pode ser escolhido de forma conveniente para cada problema.

TRANSFORMAÇÃO BILINEAR Mapeando o plano s com o plano z, temos:

que é a chamada transformação bilinear.

FILTRO A-BAIXA DE CHEBYSHEV Existem dois tipos de filtros de Chebyshev. O Chebyshev do tipo I tem resposta equirriple na banda de agem e o tipo II, na banda de corte. Os filtros Butterworth têm resposta monotônica em ambas as bandas. Lembramos que um filtro de resposta equirriple tem menor ordem. Assim, um filtro de Chebyshev tem menor ordem que um de Butterworth para as mesmas especificações.

FILTRO A-BAIXA DE CHEBYSHEV TIPO I A resposta quadrática de magnitude de um filtro Chebyshev tipo I é dada por:

onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da banda de agem e TN(x) é o polinômio de Chebyshev dado por:

FILTRO A-BAIXA DE CHEBYSHEV TIPO II Para um filtro de Chebyshev do tipo II:

EXEMPLO USANDO A FUNÇÃO FDATOOL DO MATLAB

EXEMPLO USANDO A FUNÇÃO FDATOOL DO MATLAB

Dois filtros com as mesmas especificações gerados como Butterworth e Chebyshev tipo I: o de Chebyshev tem menor ordem.

FILTRO A-BAIXA ELÍPTICO Esses filtros apresentam ondulações na banda de agem e de corte. São similares em magnitude a filtros FIR equirriple. São filtros ótimos no sentido que eles alcançam a menor ordem N para as dadas especificações. Esses filtros são muito difíceis de projetar e analisar. Não é possível projetá-los com ferramentas simples, sendo necessário uso de tabelas e computadores. A resposta quadrática de magnitude é dada por:

onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da banda de agem e UN(x) é a função elíptica Jacobiana de ordem N.

FILTRO A-BAIXA ELÍPTICO Apesar da análise complexa, o cálculo da ordem do filtro é simples e dado por:

COMPARAÇÃO ENTRE FILTROS FIR E IIR Para a maior parte das aplicações, filtros IIR elípticos são desejáveis do ponto de vista computacional. As condições mais favoráveis para filtros FIR são: 1. Grandes valores de δ1; 2. Pequenos valores de δ2; 3. Grande largura da banda de transição.

FILTROS ANALÓGICOS COMO DIGITAIS Uma das vantagens de se trabalhar com filtros IIR é que eles, como equivalente no mundo contínuo, têm os filtros analógicos convencionais:

Assim, pode-se equacionar um filtro no domínio de Laplace e ar de s para z usando uma técnica de projeto.

FILTROS ANALÓGICOS COMO DIGITAIS Exemplo com MATLAB: Obter a função de transferência do filtro digital, sendo o analógico correspondente dado abaixo. Usar a técnica de Aproximação de Derivadas.

FILTROS ANALÓGICOS COMO DIGITAIS Resolvendo analiticamente, tem-se que:

FILTROS ANALÓGICOS COMO DIGITAIS A função no mundo analógico têm as seguintes respostas em frequência:

FILTROS ANALÓGICOS COMO DIGITAIS No mundo digital, a situação já muda:

FILTROS ANALÓGICOS COMO DIGITAIS Exemplo com MATLAB: Aplicar o método de Transformação Bilinear para tornar o filtro RC a-baixa a seguir em um filtro digital.

FILTROS ANALÓGICOS COMO DIGITAIS A plotagem na frequência é igual a, no caso de um sistema contínuo:

FILTROS ANALÓGICOS COMO DIGITAIS Já no domínio discreto, tem-se que o gráfico é:

FILTROS ANALÓGICOS COMO DIGITAIS Analiticamente, vem que a função de transferência em Z é:

BIBLIOGRAFIA 1. Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital Signal Processing, Thomson Learning, 2000. 2. Michael Weeks, Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, Infinity Science Press, 2007. 3. Alan V. Oppenheim, Ronald Schafer, Discrete Time Signal Processing, Prentice Hall, 1989 4. Tamal Bose, Digital Signal and Image Processing, John Wiley and Sons, 2004.